曲面的切平面与法线方程

曲面的切平面与法线方程

设上中曲面Σ的方程为F (X , y , Z) = 0 ,函数F (X , y , Z)在曲面Σ上点'一J∣.∙.'一'.∣处可微，

W t) =

且1加卽龛丿，过点血任意引一条位于曲面Σ上的曲线Γ°设其

∖=Λ(∕)

y=y⅛)

方程为A邛,且对应于点不全为零。由于曲线Γ在Σ上，则有

⅛ g(x吨)+卩(血吨)+叭(⅜F(⅛)

及朮LF 。该方程表示了曲面上任意一条过点「厂的曲线在该点的切线都与向量WO) 垂直，并且这些切线都位于同一平面上，这个

平面就称为曲面Σ在点：处的切平面.点.称为切点.向量二心 2 -l称为曲面Σ在点-处的一个法向量。记为G。

基本方法：

1、设点l l- ■' ■" 1■■在曲面F(x, y, z)=0上，而F(x, y, Z)在点一∣处存在连续偏导数，且三个偏导数

不同时为零，则曲面F(x, y, z)=0在点处的切平面方程为

F：g )(r-r,>+ 兀厲XJ-Λ)÷Eg(H-^) = D

法线方程为

⅞ _ y~y ti_

X(Jf O)=X^) =

2、设点''■' ' l∙' ' ■'在曲面Z = f (x, y)上，且Z = f (x, y)在点M o (χo, y o)处存在连续偏导数，则该

曲面在点Al∙, "-" - -■处的切平面方程为

-f E j Ja-心)-力(心小Xy-几)2-齢MD

X = x(u, V) , y = y(u, V) , Z = z(u, V)

给出，∑上的点禺臨片九与UV平面上的点(U o , V0)对应，而X(U , V) , y(u , V) , Z(U , V)在( u o , v o)处

可微.曲面∑在点X o处的切平面方程及法线方程分别为

三、答疑解惑

问题：曲面∑的参数方程为X = X(U , V) , y = y(u , V) , Z = Z(U , V)，∑±的点：'I- ■ -,'ι■ •与u , V平面上的点(U o , VO)对应，怎样确定∑在点X o处的法向量？

注释：设X(U , V) , y(U , V) , Z(U , V)在(U o , VO)处可微，考虑在∑上过点X o的两条曲线.

Γ i: X = X(U , V o) , y = y(U , V o) , Z = Z(U , V o);

Γ 2 : X = X(U o , V) , y = y(U o , V) , Z = Z(UO, V).

它们在点X o处的切向量分别为

ξ=C⅛冲"⅛(⅜, ⅛(¾,⅛))

E■(兀(知岭h H(M e Mh 久(％%))

过X o的法线方程为

注：方法2实际上是方法

1 中取..'l--λ.'<-的情形

3、若曲面∑由参数方程

当＜ 'I -时，得∑在点Xo 处的法向量为

则∑在点Xo 处的法向量为

<‰v)r ^f V),页陽叭

四、典型例题 例1求椭球面x 2+2y 2+3z 2 = 6在（1, 1, 1 ）处的切平面方程与法线方程

解设F （x, y, Z ） = x 2+2y 2+3z 2 - 6,由于「八 F

J

- •二在全平面上处处连续， 在（1,1,1 ）

处'一儿一「'■ 一"，椭球面在点（1,1,1）处的法向量为（2, 4, 6）.则所求切平面方程为

2(z-l) + 4(y-1) ÷6(z-l) ■ 0

即 X + 2y + 3z = 6.

Λ- 1 _ y- I _

1

所求法线方程为

-

-

-

X-1 y-L Z-1 即 I-J ^ -.

* i Z=—卡 y

例2求曲面- 平行于Z = 2x+2y 的切平面方程

则曲面在一1'

^l 处的法向量为 'l ,' 曲面在点X 0处的切平面方程为

解设切点为 兀馆％殆.曲面

"J 」 j

2

,因此舐

瀚(Λ-心)十 2⅛O- M)- (Z -2o)-0

又切平面与已知平面 Z = 2x+2y 平行，因此

解得切点坐标为- ■■■■'■',

所求切平面方程为

2(^-3)+2(y-l)-(z-3)-0

例 3 求曲面■ ^ 11

■： 1

.∙ ^ ■ ■ - ■ ：.「「’「 -^

- - ^ 在点1 >. ^.：

处的切平面方程和法线方程.

解 点^∙l ∙,'^∙厂…对应曲面上的点

11 1

■■ 1 '其中

Λ⅛ =^Sin⅞¾ COE ⅛J I y o sm⅛r ¾ = L 7COS ⅞⅞

^^COS ⅛=^5m¼.os⅛

u

则曲面在点"-处的法向量为 V’ 4,亠」5 所求曲面在点X o 处的切平面方程

为

‰⅛I JS αcos⅝⅞ GOS ⅞

Sm ς⅛ sin ⅛ ^Sill 2 ≠¾ sin ⅛

-

2 」

2

≡t? Sm 处 c□≡φ¾

护 tin 贏 COS ⅛(X ^ΛSIH ‰ cos¾) + asm J ⅞¾ sm¾ sm ξ≡⅛ s πι ¾) + O l

Sln 砂 CaS

3

^ DiJS 妬)■ 0,

即 Q .一 -i ∣ J ■: , ； J I ς, • ■ I ■

] _ _ ∙f

Λ- asuι⅞⅛ cos6⅛ _ y- ^Sin⅛⅛ sin 6⅛

所求的法线方程为「一一 .,J -IJ - -J . L - -I - .'■ J -■-■.

Λ- sm⅛ J -ΛCCS ⅞¾

SIn ⅞J ¾COS ⅛

SHl ⅞¾ sin ⅛

cos⅛¾

解过直线的平面方程可设为

即］:"：l "

1

'''

其法向量为-■ 一

且有

J3Λ -2y-Z ~ 5

例4求过直线

'

,且与曲面

L

相切之切平面方程

Q i Fm 2 ⅞⅛ cosg⅛

3χ-2y- ∑ - 5^ Λ(Λ + y

+ z) - Q

FgFQ =加- 2y 2 + 2z -

设所求的切平面的切点为

■ ■,则曲面上

；=2

处的法向量为（％γ用②.

8

,则