闭环脉冲传递函数

X 1 ( z ) ￡1(t ) 1(kT ) z k 1 z 1 z 2
k 0

1 z 1 1 z z 1
②
x2 (t ) T (t ) (t kT )
k 0

拉氏变换为 Z 变换为
X ( s) e
2 k 0

kTs
X 2 ( z) z
k 0

k
1 z z
1
2
1 z 1 1 z z 1
上两式表明不同的连续时间函数可能具 有相同的 Z 变换。
③
x3 e

at

x3 (t ) x(kT ) (t kT ) e akT (t kT )
k 0 k 0
X 3 ( s) e
k 0

akT
e
kTs
X ( z ) Le e
aT 3 k 0
aT
z z
k
1 e
上式乘
aT
z e
1
2 aT
2
e
kaT
z
k

e at z 1并经过整理得
Z 变换为
X 3 ( z)
学习本章重要意义：
引言
1 控制工程中普遍存在离散时间系统 2 计算机的高速发展和数字控制的广泛应用
离散、采样、数字控制的差别
离散信号＝采样信号＋数字信号 时间整量化 时间和幅值同时整量化
连续模拟信号与采样信号
u (t )
0
t
连续整量化信号与数字信号
u (t )
0
k k 1
t
连续系统和离散系统分析方法的比较
连续系统分析
微分方程
（L变换）
传递函数，频域分析（经典）
状态方程：求运动解，通过系统矩阵分析（现代）
离散系统分析
差分方程
（z变换）
脉冲传数，频域分析（经典）
差分状态方程：状态空间方法（现代）
7.1.3 复杂的计算机控制系统
1. 直接数字控制系统（DDC—Direct Digital Control System）
2.
Z变换方法
已知函数 x1 (t ) 1, x2 (t ) (t kT ) , x3 e at
k 0
（1）级数求和法
例7.1 解： ①
求它们的Z变换表达式。
单位阶跃函数 x1 (t ) 1(t ) 在所有时刻上的
采样值均为1，即 x1 (kT ) 1 Z 变换为
1 1 e
aT
z
1
z aT z e
（2）部分分式法（查表法） 对于较复杂的函数求 Z 变换表达式时，可以用 部分分式法。
s域
ai X ( s) i 1 s pi
n
时域
ai s pi
ai e
pi t
z域 ai piT 1 1 e z
pi 是 X ( s) 的极点，ai 是相应部分分式的系数。
Z 变换为
n ai z ai X ( z ) ￡ [ x(t )] piT piT 1 z i 1 z e i 1 1 e n
例7.2
设连续时间函数的拉氏变换为
ba X ( s) ( s a)( s b)
求其原函数的 z 变换。
解：
部分分式法
ba X ( z ) Z [ X ( s )] Z [ ] ( s a )( s b) 1 1 Z[ ] sa sb
第七章
线性离散控制系统
本章主要内容：
源自文库
1 预备知识：模型离散化（采样，保持）； 数学工具（Z变换）； 2 模型：三种描述方式（差分方程，脉冲传 递函数，差分状态方程）及其相互 转化 3 分析：时域响应分析；稳定性分析（劳斯， 奈式判据）；稳态误差分析 4 综合：数字控制器的设计（最小拍设计）
7.1
由于在采样时刻， x(t ) 的值就是 x(kT ) , 所以从
这个意义上说，X ( z ) 既是 x (t ) 的 Z 变换，也可以写
为 x(t ) 的 Z 变换，即
z X (t ) zX (t ) X ( z ) x(kT )e
k 0



k
将在 S 域分析的问题变成 Z 域的分析问题。
查表得
z z X ( z) aT bT z e z e
（2）留数计算法
若连续时间函数 x(t ) 的拉氏变换 X ( s) 及其全部 极点 pi 已知，则可采用留数法求其 Z 变换。
Z 变换为
z X ( z ) Re s X ( s ) sT z e s pi i 1
数字量
计算机 D/A A/D
输入
模拟量 执行 机构
传感器
工业 过程
输出
数字量
2.计算机监督控制系统（SCC—Surveillance Computer Control System）
A/D
输入 …… 模拟 控制器 被控 过程 执行 机构
Compu ter
D/A
输出
……
检测 装置
3. 集散控制系统（TDC—Total and Distributed Control）
k 0

kTs
1.
若令 则有
Z变换的定义
ze
Ts
X ( z)
￡ x (t )

x(kT ) z
k 0
1 s ln z T
k
X ( z ) 称为 x (t ) 的 Z 变换，记为 Z X * (t )
X ( z ) 为采样脉冲序列的 Z 变换， 在 Z 变换中， 即只考虑采样时刻的信号值。
集中调度控制中心
子调度控制中心
SCC DDC
MIS
MIS SCC SCC DDC SCC DDC
MIS
DDC
………
被控过程
……………………….
被控过程
7.3 Z变换 7.3.1 Z变换的定义和方法
x x ( t ) 连续信号 经采样器后得到的采样信号 (t )
的拉氏变换为
X ( s) x(kT )e
n
z Re s X ( pi ) pi T z e i 1
n
Ri
i 1
n
n z X ( z ) Re s X ( pi ) Ri piT z e i 1 i 1 式中 z Ri Re s X ( pi ) piT z e z Ri 为 X ( s) 在极点 s pi 上的留数。 piT z e ① 当 X ( s) 具有单极点 s pi 时 n