高中数学第一章坐标系1.1.2平面直角坐标轴中的伸缩变换备课资料北师大版选修44
《1.1.2平面直角坐标系中的伸缩变换》教学案3
《平面直角坐标系中的伸缩变换》导学案学习目标：1.理解平面直角坐标系中的伸缩变换；2．了解在平面直角坐标系中伸缩变换作用下平面图形的变化情况；3.会用坐标变换和伸缩变换解决实际问题.学习重点：在伸缩变换作用下，图形的变化情况.学习难点：用坐标变换和伸缩变换解决实际问题.学习过程：一、课前准备阅读教材14P P -的内容，体会平面直角坐标系中伸缩变换的情况.并回顾以下问题： 1.在直角坐标系中，已知点(,)M a b ，则①M 关于原点O 的对称点为(,)a b --； ②M 关于x 轴的对称点为(,)a b -； ③M 关于y 轴的对称点为,)a b (-； ④M 关于直线y x =的对称点为(,)b a ； ⑤M 关于直线y x =-的对称点为(,)b a --；⑥M 关于直线y x t =+的对称点为(,)b t a t -+.2．平移变换①平面上任一点P 的坐标(,)x y ，按向量(,)a h k = 平移后的坐标为(,)P x y '''，则有x k x y k y'+=⎧⎨'+=⎩ ②曲线(,)0F x y =的图像，按(,)a h k = 平移后的曲线方程为(,)0F x h y k --=.3.填空题：(1)已知点(4,3)P -按向量(1,5)a = 平移到Q 点，则Q 的坐标为(3,8)-．(2)函数2()23f x x =-向右平移3个单位，向下平移1个单位，得到的函数解析式是 ()f x =22(3)4x --.(3) 抛物线22y x =按向量(3,2)n =- 平移，得到的曲线的方程是2(2)2(3)y x -=+.二、新课导学(一)新知：伸缩变换①一般地，由(0)kx x k y y'=⎧>⎨'=⎩所确定的伸缩变换，是指曲线上的所有点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的k 倍；②由(0)x x k ky y '=⎧>⎨'=⎩所确定的伸缩变换，是指曲线上的所有点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的k 倍；上面的变换中，当1k >时表示伸长；当01k <<时，表示压缩；③定义点(,)P x y 是平面直角坐标系中的任一点，在变换(0,0)x x y y λλμμ'=⎧>>⎨'=⎩作用下，点(,)P x y 对应到(,)P x y '''称为平面坐标系中坐标的伸缩变换．(二)典型例题【例1】求曲线224x y +=按照32x x y y '=⎧⎨'=⎩作伸缩变换后的曲线方程. 【解析】由⎪⎩⎪⎨⎧==''23y y x x 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==23''y y x x ，代入方程224x y +=化简可得2213616x y ''+=． 【例2】．试述如何由1sin(2)33y x π=+的图象得到sin y x =的图象. 【解析】方法一：1sin(2)33y x π=+ ）（纵坐标不变倍横坐标扩大为原来的3πsin 312+=−−−−−−−−−→−x y x y sin 313π=−−−−−−−−→−纵坐标不变个单位图象向右平移x y sin 3=−−−−−−−−−→−横坐标不变倍纵坐标扩大到原来的. 方法二：(1)先将1sin(2)33y x π=+的图象向右平移6π个单位，得1sin 23y x =的图象； (2)再将1sin 23y x =上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变)，得1sin 3y x =的图象；(3)再将1sin 3y x =图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变)，即可得到sin y x =的图象.【例3】已知函数22())cos()(0)33f x x x ππωωω=+-+>图象的两相邻对称轴间的距离为2π. (1)求()8πf 的值；(2)将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的表达式.【解析】(1)22())cos()33f x x x ππωω=+-+＝2122)cos()323x x ππωω⎤+-+⎥⎣⎦＝2sin()2x πω+2cos x ω=， 因为函数图象的两相邻对称轴间的距离为2π. 即半个周期为2π，所以2T ππω==，所以2ω=. 故()2cos 2f x x =，因此()2cos 84f ππ==(2)将()2cos 2f x x =的图象向右平移个6π个单位后，得到2cos 2()6y x π=-的图象， 再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到()2cos 2()2cos()4623x x g x ππ=-=-的图象. 动动手：将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位， 再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A .cos 2y x =B .22cos y x =C .)42sin(1π++=x y D .22sin y x = 【解析】 将函数sin 2y x =的图象向左平移4π个单位，得到函数sin 2()4y x π=+即sin(2)cos 22y x x π=+=的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为21cos22cos y x x =+=，故选B .三、总结提升：1．本学案总结了三种变换类型：对称变换、平移变换和伸缩变换，这三种变换都是在以前的教材或学习内容中遇到过的，通过这次的学习总结，希望起到加深理解、熟练运用的作用.2.在解决与变换有关的问题时，特别是对称或平移的问题时，应尽可能的画出图形，以帮助我们正确的使用变换公式.四、反馈练习：1．下列有关坐标系的说法错误的是( D )A ．在直角坐标系中，直线经过伸缩变换还是直线B ．在直角坐标系中，通过伸缩变换可把圆变成椭圆C ．在直角坐标系中，平移不会改变图形的形状和大小D ．在直角坐标系中，通过伸缩变换可把双曲线变成抛物线2． 已知()sin ,()sin (0),()f x x g x x g x ωω==>的图像可以看作把()f x 的图像上各点的横坐标压缩成原来的13(保持纵坐标不变)而得到的，则ω为( C ) A ．12 B ． 2 C ． 3 D ． 133．曲线2(1,2)y x a ==- 按向量平移得到的曲线方程为( A ) A ． 22(1)y x +=- B ． 22(1)y x +=+C ． 22(1)y x -=-D ． 22(1)y x -=+4．点(,)10a b x y --=关于直线的对称点坐标为( B )A ．(1,1)b a -+B ．(1,1)b a +-C ．(1,1)b a --D ．(1,1)b a ++5．已知曲线2211242x x x y y y ⎧'=⎪-=⎨⎪'=⎩通过伸缩变换后得到的曲线方程为( A ) A ．2214y x -= B ．221x y -= C ．221164x y -= D ．221416x y -= 6．已知圆2216x y +=经过伸缩变换后得到椭圆22116x y ''+=，则它经过的伸缩变换为14x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩． 7．直线223403x x x y y y '=⎧+-=⎨'=⎩经过的伸缩变换得到的方程为40x y ''+-=． 五、学后反思：。
1_1_2、平面直角坐标系中的伸缩变换
纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 1， a
2）当0 < a <1时，将y = f(x)图象上每一个点的
纵坐标不变，横坐标伸长到原来的 1 倍，
即得函数y = f(ax)的图象；a
特殊地：y=sin x, x R( >0, 1)的图象能够由y=sinx
1.1.2平面直角坐标 系中的伸缩变换
• 教学目标：
• （1）学会用坐标法来解决几何问题。
• （2）能用变换的观点来观察图形之间的因果联 系，知道图形之间是能够类与类变换的。
• （3）掌握变换公式，能求变换前后的图形或变 换公式。
• 教学重点：应用坐标法的思想及掌握变换公式。
• 教学难点：掌握坐标法的解题步骤与应用，总结 体会伸缩变换公式的应用。通过典型习题的讲解、 剖析，及设置相关问题引导学生思考来突破难点。
(C)纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变
(D)纵坐标缩短到原来的1 倍,横坐标不变 2
1.选择题 :已知函数y 3sin( x )的图象为C.
5
(3)为了得到函数y 4sin( x )的图象,只要
5
把C上所有的点 C
( A)横坐标伸长到原来的4 倍,纵坐标不变 3
(B)横坐标缩短到原来的3 倍,纵坐标不变 4
亿元上升到1995年6月的18.281亿元，能够用图1和图2来
表示增长幅度。
贷款/亿元
20
贷款/亿元
18
18 16
图1 16
14
14
图2
3 6 月份
3 6 月份
这两个图中所表示的数据是相同的，但是给我们的感
觉是图2显示的增长的幅度要大，产生这种误解的原因是
高中数学第一章坐标系1.1.2平面直角坐标轴中的伸缩变换练习(含解析)北师大版选修4_4
1.2 平面直角坐标轴中的伸缩变换1.一个正方形经过平面直角坐标系中的伸缩变换后,其图形可能是( )A.正方形B.矩形C.菱形D.正方形、菱形或矩形解析:正方形在平面直角坐标系中进行伸缩变换后,图形的形状是由其在平面直角坐标轴上的位置决定的.若顶点在坐标轴上,则是菱形或正方形;若顶点在象限内,则是矩形或正方形.答案:D2.将一个圆作伸缩变换后,所得图形不可能是( )A.椭圆B.比原来大的圆C.比原来小的圆D.双曲线解析:将圆作伸缩变换,如果保持一轴不变,另一轴压缩或伸长都会出现椭圆的形状,故选项A正确.当两轴同时放大或缩小时,会得到比原来大或小的圆,故选项B,C正确,故选D.答案:D3.在平面直角坐标系中,将x轴上的单位长度变为y轴上单位长度的6倍,则圆x2+y2=36进行伸缩变换后的图形是( )A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案:B4.在平面直角坐标系中,如果x轴上的单位长度变为y轴上单位长度的,则一条线段经过变换后的图形是( )A.直线B.射线C.与原来长度相同的线段D.比原来长度短的线段解析:通过作图可知答案.答案:D5.如果x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍,则方程x+y=-1的图形是.答案:直线6.如图,在x轴上的单位长度是y轴上单位长度的2倍的平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点分别为A(0,8),B(-16,0),C(-8,0),则△ABC的面积为.答案:327.在下列平面直角坐标系中,分别作出双曲线=1的图形:(1)x轴与y轴具有相同的单位长度;(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍;(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的.解:(1)建立平面直角坐标系,使x轴与y轴具有相同的单位长度,双曲线=1的图形如下图.(2)如果x轴上的单位长度保持不变,y轴上的单位长度缩小为原来的,双曲线=1的图形如下图.(3)如果y轴上的单位长度保持不变,x轴上的单位长度缩小为原来的,双曲线=1的图形如下图.。
高中数学 第一章 坐标系 1.1 直角坐标系,平面上的伸缩变换导学案(无答案)新人教B版选修4-4
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1.1直角坐标系，平面上的伸缩变换一、 学习目标及学法指导1．学习目标：初步了解平面上的一种简单变换—伸缩变换2．重、难、考点：伸缩变换二、预习案预习教材1-5页并完成下列问题1. 直角坐标系：（1） 直线上点的坐标（2） 平面直角坐标系:（3） 空间直角坐标系：2. 平面上的伸缩变换引例：（1)怎样由正弦曲线 ,得到曲线 ？（2）怎样由正弦曲线 ，得到曲线 ?（3）怎样由正弦曲线 ,得到曲线 ?3. 定义：设P(x,y ）是平面直角坐标系中任意一点,在变换_____________________________的作用下，点P （x ，y)对应称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换。
三、课中案例1. 在同一平面直角坐标系中，求下列方程x y sin =x y 2sin =x y sin =x y sin =x y sin 3=x y 2sin 3=).,(y x P '''ϕ:ϕx x 21='所对应的图形经过伸缩变换 后的图形（1） (2）练习1.设平面上伸缩变换的表达式为求圆x 2+y 2=4在此伸缩变换下的方程.练习2. 伸缩变换的坐标表达式为曲线C 在此伸缩变换下变为椭圆求曲线C 的方程。
2021_2022学年高中数学第1章坐标系1.1直角坐标系平面上的伸缩变换课件新人教B版选修4_4
[解] 如图所示，以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴．垂直 于 AB 的直线为 y 轴建立坐标系，
则 A(0,0)，B(－1 000,0)． 由 W 位于 A 的西北方向， 且|AW|＝400， ∴点 W(－200 2，200 2)， 由直线 m 过点 B，且倾斜角 α＝90°－60°＝30°，
法二 (向量法) 在▱ABCD 中，A→C＝A→B＋A→D， 两边平方得A→C2＝|A→C|2＝A→B2＋A→D2＋2A→B·A→D， 同理得B→D2＝|B→D|2＝B→A2＋B→C2＋2B→A·B→C， 以上两式相加，得|A→C|2＋|B→D|2 ＝2(|A→B|2＋|A→D|2)＋2B→C·(A→B＋B→A) ＝2(|A→B|2＋|A→D|2)， 即|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2)．
②直线上的点与全体实数之间就建立了_一__一_对__应__关系．
1．直角坐标系
(2)平面直角坐标系 ①取定两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上
的一个直角坐标系，记为 xOy，有序数组__(_x_，__y_) ___为点 M 的坐标．
②在平面上建立了直角坐标系后，平面上的点就与全体有顺序的 实数对之间建立了一一对应关系．
1．点 P(－1,2)关于点 A(1，－2)的对称点坐标为( ) A．(3,6) B．(3，－6) C．(2，－4) D．(－2,4) [解析] 设对称点的坐标为(x，y)， 则 x－1＝2，且 y＋2＝－4， ∴x＝3，且 y＝－6.
[答案] B
2．为了得到曲线 y＝3sin x，只需把曲线 y＝2sin x 怎样变换( ) A．纵坐标不变，横坐标变为原来的32倍 B．横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍 C．纵坐标不变，横坐标变为原来的23倍 D．横坐标不变，纵坐标变为原来的23倍
高中数学第一章坐标系1.1平面直角坐标系1.1.1平面直角
题型一 题型二 题型三
解:(1)设
������ ������
=
������,
得y=kx,所以
k
为过原点的直线的斜率.
又 x2+y2-4x+1=0 可化简为(x-2)2+y2=3,
它表示以(2,0)为圆心, 3为半径的圆,如图所示.
当直线 y=kx 与已知圆相切,且切点在第一象限时,k 最大,
此时,|CP|= 3, |������������| = 2,
(2)曲线可看作是满足某些条件的点的集合或轨迹,由此我们可借 助坐标系,研究曲线与方程间的关系.
名师点拨1.两点间的距离公式:在平面直角坐标系 中,P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点之间的距离公式为
|P1P2|= (������1-������2)2 + (������1-������2)2.
所以
-1 + 2������ < -3-������ < 0,
0,
即
������
<
1 2
,
������ > -3.
所以-3<m< 12.
答案:-3<m<
1 2
2.曲线与方程 在平面直角坐标系中,如果某曲线C上的点与一个二元方程 f(x,y)=0的实数解建立了如下关系: (1)曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解; (2)以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上. 那么,方程f(x,y)=0叫作曲线C的方程,曲线C叫作方程f(x,y)=0的曲 线. 名师点拨求曲线的方程一般有以下五个步骤:(1)建立适当的平面 直角坐标系,并用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标;(2)写出适合条 件p的点M的集合p={M|P(M)};(3)用坐标表示条件p(M),写出方程 f(x,y)=0;(4)化简方程f(x,y)=0(必须等价);(5)证明以(4)中方程的解为 坐标的点都在曲线上.一般地,方程的变形过程若是等价的,则步骤 (5)可以省略.
《1.1.2 平面上的伸缩变换》课件2-优质公开课-人教B版选修4-4精品
当 堂 双 基 达 标
的作用下，点 P(x，y)对应到点
课 堂 互 动 探 究
P′(x′，y′)，称 φ 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换， 简称为伸缩变换．
菜
单
课 前 自 主 导 学
1．如果 x 轴的单位长度保持不变，y 轴的单位长度缩小 1 为原来的 ，圆 x2＋y2＝4 的图形变为什么图形？伸缩变换可 2 以改变图形的形状吗？那平移变换呢？
课 堂 互 动 探 究
纵 坐 ＜k＜1 时， 表示压缩)， 即曲线上所有点的横坐标不变，
标变为原来的 k 倍(这里(x，y)是变换前的点，(x′，y′)是变 换后的点)．
菜
单
课 前 自 主 导 学
3．伸缩变换 一般地，设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点， 在变换
x′＝λxλ＞0， φ： y′＝μyμ＞0
1 1 (1)由 k y′＝k( k x′)＋b，y′＝kx′＋kb，得直线 y＝kx
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
＋b 经过伸缩变换后的方程为 y＝kx＋kb，仍然是一条直线． 当 b＝0 时，该直线和原直线重合；当 b≠0 时，该直线 和原直线平行．
菜
单
课 前 自 主 导 学
1 1 2 (2)由( kx′－a) ＋(k y′－b)2＝r2， (x′－ka)2＋(y′－kb)2 ＝(kr)2，得圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 经过伸缩变换后的方程为(x
当 堂 双 基 达 标
课 堂 互 动 探 究
下列平面直角坐标系中，分别作出 f(x，y)＝0 的图形：(1)x 轴与 y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为 y 轴 上单位长度的 k 倍；
高中数学第1章坐标系11.1平面直角坐标系与曲线方程1.2平面直角坐标轴中的伸缩变换课件北师大版选修4_4
(2)由(1)知 M(2,0)，N(－2,0)，Q(1， 3)， ∴2a＝|QN|＋|QM|＝2 3＋2， ∴a＝ 3＋1，c＝2， ∴b2＝a2－c2＝2 3， ∴椭圆方程为：4＋x22 3＋2y23＝1.
平面直角坐标系中的伸缩变换
[探究问题] 1．在平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，直线变为什么图形？ 圆、椭圆、双曲线和抛物线呢？ [提示] 在平面经过伸缩变换，直线伸缩后仍为直线；圆伸缩后 可能是圆或椭圆；椭圆伸缩后可能是椭圆或圆；双曲线伸缩后仍为双 曲线；抛物线伸缩后仍为抛物线．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
教材整理 2 平面直角坐标系中曲线与方程的关系 曲线可看作是 满足某些条件的点 的集合或轨迹，在平面直角坐
标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x，y)＝0 的实数解建 立了如下的关系：
(1)曲线 C 上的 点的坐标 都是方程 f(x，y)＝0 的 解 ； (2)以方程 f(x，y)＝0 的 解为坐标的点 都在曲线 C 上． 那么，方程 f(x，y)＝0 叫作曲线 C 的方程，曲线 C 叫作方程 f(x， y)＝0 的曲线．
[解] (1)设平行四边形的另两个顶点为 C，D，由围墙总长为 8 km， 得|CA|＋|CB|＝4>|AB|＝2，
由椭圆的定义知，点 C 的轨迹是以 A，B 为焦点，长轴长 2a＝4， 焦距 2c＝2 的椭圆(去除落在直线 AB 上的两点)．
以 AB 所在直线为 x 轴，线段 AB 的中垂线为 y 轴，建立直角坐标 系，则点 C 的轨迹方程为x42＋y32＝1(y≠0)．
[精彩点拨] 本题求解的关键在于确定商船相对于甲舰的相对 位置，因此不妨用点 A，B，C 表示甲舰、乙舰、丙舰，建立适当坐 标系，求出商船与甲舰的坐标，问题可解．
2020学年高中数学第1章坐标系1.1直角坐标系平面上的伸缩变换讲义新人教B版选修4-4(最新整理)
1。
1 直角坐标系，平面上的伸缩变换1.1.1 直角坐标系 1。
1.2 平面上的伸缩变换学习目标：1.回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法,体会坐标系的作用。
2.了解在伸缩变换作用下平面图形的变化情况，掌握平面直角坐标系中的伸缩变换．（重点）1．直角坐标系(1)直线上点的坐标①点O,长度单位和选定的方向三者就构成了直线上的坐标系，简称数轴．②直线上的点与全体实数之间就建立了一一对应关系．（2)平面直角坐标系①取定两条互相垂直的且有方向的直线和长度单位构成平面上的一个直角坐标系，记为xOy，有序数组（x，y）为点M的坐标．②在平面上建立了直角坐标系后，平面上的点就与全体有顺序的实数对之间建立了一一对应关系．（3）空间直角坐标系①过空间中一个定点O，作三条互相垂直且有相同长度单位的数轴,就构成了空间直角坐标系．②在建立了空间直角坐标系后，空间中的点和有序数组(x，y，z）之间建立了一一对应关系．2．平面上的伸缩变换把点P（x,y)变为平面上新的点Q(X，Y)，伸缩变换的坐标表达式为：错误!,其中a>0，b>0。
特别提醒：(1)在坐标伸缩变换的作用下，可以实现平面图形的伸缩，因此，平面图形的伸缩变换可以用坐标的伸缩变换来表示．(2）在使用时，要注意点的对应性，即分清新旧：Q（X,Y)是变换后的点的坐标，P（x，y)是变换前的点的坐标．思考1：如何根据几何图形的几何特征建立恰当的坐标系？[提示］①如果图形有对称中心,可以选对称中心为坐标原点;②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；③若题目有已知长度的线段,以线段所在的直线为x轴，以端点或中点为原点．建系原则：使几何图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．思考2：如何理解点的坐标的伸缩变换？［提示］在平面直角坐标系中，点P(x,y)变换到点Q(X，Y）．当a>1时，是横向拉伸变换，当0<a<1时，是横向压缩变换;当b>1时，是纵向拉伸变换,当0<b<1时，是纵向压缩变换．1．点P（－1,2）关于点A(1，－2）的对称点坐标为( )A．（3，6) B．(3，－6) C．（2，－4） D．（－2,4）［解析]设对称点的坐标为(x,y），则x－1＝2，且y＋2＝－4，∴x＝3，且y＝－6.[答案］B2．为了得到曲线y＝3sin x，只需把曲线y＝2sin x怎样变换( ）A．纵坐标不变，横坐标变为原来的错误!倍B．横坐标不变，纵坐标变为原来的错误!倍C．纵坐标不变，横坐标变为原来的错误!倍D．横坐标不变,纵坐标变为原来的2 3倍［答案］B3．将点P(－2,2）变换为点Q（－6,1）的伸缩变换公式为（）A．错误! B．错误! C．错误! D．错误!［解析］将错误!与错误!代入到公式φ：错误!中,有错误!∴错误!［答案］C4．将圆x2＋y2＝1经过伸缩变换错误!后的曲线方程为________．［解析]由错误!得错误!代入到x2＋y2＝1，得错误!＋错误!＝1。
【北师大版】高中选修4-4数学：第1章《平面直角坐标轴中的伸缩变换》学案(含答案)
1.2 平面直角坐标轴中的伸缩变换1．会画出伸缩变换后的平面图形．2．了解在平面直角坐标系中的伸缩变换作用下平面图形的变化情况．3．能用变换的观点来观察图形之间的因果关系，知道图形之间是可以类与类变换的．平面直角坐标轴中的伸缩变换在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x 轴或y 轴的________，将会对图形产生影响．(1)若P (x ，y )为坐标轴中任意一点，保持纵坐标不变，将横坐标x 缩为原来的12，得到点P ′(x ′，y ′)，坐标对应为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝y ，通常叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换．(2)若P (x ，y )，保持纵坐标不变，将横坐标伸长为原来的2倍，得到P ″(x ″，y ″)．坐标对应为⎩⎪⎨⎪⎧x ″＝2x ，y ″＝y ，通常叫做平面直角坐标系中的一个伸长变换．【做一做】将一条直线作伸缩变换后得到图形可能是( )． A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线1．对平面直角坐标轴中伸缩变换的理解剖析：在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x 轴或y 轴的单位长度，将会对图形产生影响．其特点是坐标系和图形发生了改变，而图形对应的方程不发生变化．如在下列平面直角坐标系中，分别作出f (x ，y )＝0的图形：(1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x轴上的单位长度为y 轴上单位长度的k 倍；(3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的1k.第(1)种坐标系中的意思是x 轴与y 轴上的单位长度一样，f (x ，y )＝0的图形就是我们以前学过的平面直角坐标系中的f (x ，y )＝0的图形；第(2)种坐标系中的意思是如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的1k，此时f (x ，y )＝0表示的图形与第(1)种坐标系中的图形是不同的；第(3)种坐标系中的意思是如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的1k，此时f (x ，y )＝0表示的图形与第(1)种坐标系中的图形是不同的．2．对伸缩变换图形的画法剖析：图形的伸缩变换，是坐标轴中x 轴和y 轴的变化，可以利用“五点作图法”进行转化，画出相应图形，再研究其性质．答案： 单位长度【做一做】A 直线在伸缩变换中图形是不会发生变化的．题型一 椭圆在平面直角坐标系中的伸缩变换【例1】在下列平面直角坐标系中，分别作出椭圆x 29＋y 24＝1的图形：(1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍；(3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12.分析：(1)常规描点法画椭圆；(2)改变y 轴上的单位长度；(3)改变x 轴上的单位长度． 反思：改变x 轴或y 轴的单位长度，导致了椭圆x 29＋y 24＝1的图形的变化，改变了哪个轴的单位长度及改变了多少一定要清楚，不然画出的伸缩变换后的图形就不符合题目要求了．题型二 双曲线在平面直角坐标系中的伸缩变换【例2】在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线x 29－y 24＝1的图形：(1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的3倍；(3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的13.反思：图形的变化，有的不仅是坐标轴单位长度的变化，有的会引起图形形状的变化． 【例1】解：(1)建立平面直角坐标系，使x 轴与y 轴具有相同的单位长度，x 29＋y 24＝1的图形如下：(2)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的12，x 29＋y24＝1的图形如下：(3)如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，x 29＋y24＝1的图形如下图：【例2】解：(1)建立平面直角坐标系，使x 轴与y 轴具有相同的单位长度，x 29－y 24＝1的图形如下图：(2)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的13，x 29－y24＝1的图形如下：(3)如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的13，x 29－y24＝1的图形如下图：1 一条双曲线在平面直角坐标系中进行伸缩变换后，其图形可能是( )． A ．双曲线 B ．圆 C ．椭圆 D ．抛物线2已知一椭圆的方程为22=1164x y ，如果x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12，则该椭圆的形状为( )．3一个平行四边形经过平面直角坐标轴中的伸缩变换后，其图形是__________．4在下列平面直角坐标系中，分别作出抛物线y 2＝－4x 的图形： (1)x 轴与y 轴具有相同的单位长度；(2)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的2倍； (3)x 轴上的单位长度为y 轴上单位长度的12. 答案：1．A 双曲线在平面直角坐标系中进行伸缩变换后，图形形状是不会发生变化的．2．B 如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，则该椭圆的形状为选项B 中所示．3．平行四边形4．解：(1)建立平面直角坐标系使x 轴与y 轴具有相同的单位长度，抛物线y 2＝－4x 的图形如下：(2)如果x 轴上的单位长度保持不变，y 轴上的单位长度缩小为原来的12，抛物线y 2＝－4x 的图形如下：(3)如果y 轴上的单位长度保持不变，x 轴上的单位长度缩小为原来的12，抛物线y 2＝－4x 的图形如下：。
2019-2020年高中数学第一章坐标系1.1平面直角坐标系1.1.2平面直角坐标轴中的伸缩变换课后训练北师大版选修
2019-2020年高中数学第一章坐标系1.1平面直角坐标系1.1.2平面直角坐标轴中的伸缩变换课后训练北师大版选修1一条抛物线经过平面直角坐标系中的伸缩变换后，其图形可能是( )．A．直线 B．圆 C．抛物线 D．双曲线2将一个圆作伸缩变换后，所得图形不可能是( )．A．椭圆 B．比原来大的圆C．比原来小的圆 D．双曲线3在平面直角坐标系中，将x轴上的单位长度变为y轴上单位长度的2倍，则圆x2＋y2＝1进行伸缩变换后的图形是( )．A．圆 B．椭圆C．双曲线 D．抛物线4在平面直角坐标系中，如果y轴上的单位长度变为x轴上单位长度的倍，则一条线段经过变换后的图形是( )．A．直线B．射线C．与原来长度相同的线段D．比原来长度短的线段5如果x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍，则方程x＋y＝－1的图形是__________．6如图，在x轴上的单位长度是y轴上单位长度的两倍的平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(0,4)，B(－8,0)，C(－4,0)，则△ABC的面积为__________．7在下列平面直角坐标系中，分别作出双曲线的图形：(1)x轴与y轴具有相同的单位长度；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍；(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍．参考答案1 答案：C 抛物线在平面直角坐标系中进行伸缩变换后，图形的形状是不会发生变化的．2 答案：D 将圆作伸缩变换，如果保持一轴不变，另一轴压缩或伸长都会出现椭圆的形状，故选项A正确．当两轴同时放大或缩小时，会得到比原来大或小的圆，故选项B，C正确，故选D.3 答案：B4 答案：D 通过作图可知答案．5 答案：直线6 答案：87 答案：解：(1)建立平面直角坐标系，使x轴与y轴具有相同的单位长度，双曲线的图形如下：(2)如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的，双曲线的图形如下：(3)如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的，双曲线的图形如下：2019-2020年高中数学第一章坐标系1.1平面直角坐标系课时提升作业含解析新人教A版选修一、选择题(每小题6分,共18分)1.(xx·泰安高二检测)函数y=xsinx的图象关于( )A.原点对称B.y轴对称C.y=x对称D.y=-x对称【解析】选B.函数y=xsinx的定义域为R,且为偶函数,所以函数的图象关于y轴对称.2.如图曲线的方程为( )A.|x|+y=1B.x+|y|=1C.|x|-|y|=1D.|x|+|y|=1【解析】选D.因为曲线关于坐标轴对称,也关于原点对称,且过点(±1,0),(0,±1),故选D. 【补偿训练】如图所示的曲线方程是( )A.|x|-y=0B.x-|y|=0C.x-1=|y|D.|x|-1=y【解析】选B.由图象知:一个x对应两个y值且y可以为0.3.(xx·成都高二检测)在同一坐标系中,将曲线y=3sin2x变为曲线y′=sinx′的伸缩变换是( )A. B.C. D.【解析】选B.设P(x,y)为曲线y=3sin2x上任一点,经过伸缩变换得到P′(x′,y′),将代入y=3sin2x,得y′=3sinx′,所以y′=3μsinx′,由于y′=sinx′,所以所以所以二、填空题(每小题6分,共12分)4.将复数z=1+i(i为虚数单位)对应的向量绕起点逆时针旋转30°所得复数为________.【解析】如图,在复平面内,复数z=1+i(i为虚数单位)对应的向量=(1,)=2(cos60°,sin60°),将向量=(1,)绕起点逆时针旋转30°所得向量的坐标为=2(cos90°,sin90°)=(0,2),所以对应的复数z=2i.答案:2i5.将曲线y2=4x按φ:变换后得到曲线的焦点坐标为________.【解题指南】将变换后的方程化为标准方程y′2=2px′,焦点为(p>0).【解析】将曲线y2=4x按φ:变换后得到曲线方程为y′2=x′,所以焦点坐标为.答案:三、解答题(每小题10分,共30分)6.已知一条曲线在x轴的上方,它上面的每一点到点A(0,2)的距离减去它到x轴的距离的差都是2,求这条曲线的方程.【解析】设点M(x,y)是曲线上的任意一点,根据题意,得它到x轴的距离是y,所以-y=2,化简整理可得y=x2.因为曲线在x轴的上方,y>0,虽然原点O的坐标(0,0)满足方程y=x2,但不属于已知曲线,所以所求曲线方程为y=x2(x≠0).7.(xx·上饶高二检测)在同一平面直角坐标系中,求满足下列图形变换的伸缩变换:曲线4x2+9y2=36变成曲线x′2+y′2=1.【解析】设伸缩变换为代入x′2+y′2=1,得(λx)2+(μy)2=1,即36λ2x2+36μ2y2=36,①将①式与4x2+9y2=36比较,得λ=,μ=,故所求的伸缩变换为【补偿训练】在平面直角坐标系中,求下列曲线方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形形状.(1)y2=2x.(2)x2+y2=1.【解析】(1)由伸缩变换可知将代入y2=2x,可得4y′2=6x′,即y′2=x′.即伸缩变换之后的图形还是抛物线.(2)将代入x2+y2=1,得(3x′)2+(2y′)2=1,即+=1.即伸缩变换后的图形为焦点在y轴上的椭圆.8.(xx·枣庄高二检测)据气象部门预报,在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心,正以每小时20km的速度向正北方向移动,距风暴中心450km以内的地区都将受到影响,从现在起多长时间后,该码头将受到热带风暴中心的影响,影响多长时间?(精确到0.1h)【解题指南】建立平面直角坐标系,在三角形中利用余弦定理和不等式求解.【解析】以码头为原点O,正东方向为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,记现在热带风暴中心的位置为点A,t小时后热带风暴到达B点位置.在△AOB中,OA=600,AB=20t,∠OAB=45°.根据余弦定理,得6002+400t2-2×20t×600×≤4502,整理,得4t2-120t+1575≤0,解之,得≤t≤,且≈13.7(h),Δt=-=15(h).答:从现在起13.7小时后,该码头将受到热带风暴中心的影响,影响15小时.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(xx·蚌埠高二检测)如图,在直角坐标系xOy中,射线OP交单位圆O于点P,若∠AOP=θ,则点P的坐标是( )A.(cosθ,sinθ)B.(-cosθ,sinθ)C.(sinθ,cosθ)D.(-sinθ,cosθ)【解析】选A.设P(x,y),则cosθ==x,sinθ==y,即P点坐标为(cosθ,sinθ).2.(xx·德州高二检测)过点(-,0)的直线l与曲线x2+y2=1有两个交点,则l的倾斜角的取值范围是( )A. B.C.∪D.∪【解析】选D.如图,过点(-,0)的直线l与圆x2+y2=1相切时,由几何性质,得两条切线的倾斜角分别为,,结合图形,要满足直线与圆有两个交点,则l的倾斜角的取值范围是∪.二、填空题(每小题5分,共10分)3.将点(xx,3)向左平移xx个单位得到点P,点P(2,3)经过伸缩变换后得到点的坐标为________.【解析】将点(xx,3)向左平移xx个单位得到点P(2,3),由伸缩变换公式得即变换后点的坐标为(1,9).答案:(1,9)4.将椭圆+=1按φ:变换后的曲线围成图形的面积为________.【解析】设椭圆+=1上任意一点的坐标为P(x,y),按φ变换后的对应点的坐标为P′(x′,y′),由φ:得代入椭圆方程,得+=1,即x′2+y′2=1,圆的半径为1,所以圆的面积为π.答案:π三、解答题(每小题10分,共20分)5.在平面直角坐标系xOy上,直线l:x=-2交x轴于点A.设P是l上一点,M是线段OP的垂直平分线上一点,且满足∠MPO=∠AOP.当点P在l上运动时,求点M的轨迹E的方程.【解析】如图所示,连接OM,则|PM|=|OM|.因为∠MPO=∠AOP,所以动点M满足MP⊥l或M在x的负半轴上,设M(x,y),①当MP⊥l时,|MP|=|x+2|,|OM|=,|x+2|=,化简得y2=4x+4(x≥-1).②当M在x的负半轴上时,y=0(x<-1),综上所述,点M的轨迹E的方程为y2=4x+4(x≥-1)或y=0(x<-1).答案:y2=4x+4(x≥-1)或y=0(x<-1)6.已知椭圆C:+=1,P,Q为椭圆C上的两点,O为原点,直线OP,OQ的斜率的乘积为-,求|OP|2+|OQ|2的值. 【解析】方法一:参数法设直线OP的方程为y=kx(k≠0),代入椭圆C:x2+4y2-16=0,得x2=,所以=x2+y2=.由于直线OP,OQ的斜率的乘积为-,故直线OQ的方程为y=-x(k≠0),用-代换k,得==,所以+===20.方法二:伸缩变换法设P(x1,y1),Q(x2,y2)在椭圆上,根据椭圆方程+=1,令φ:得到圆O:x′2+y′2=4.由题意,得k OP·k OQ==-.因为对应点P′(x′1,y′1),Q′(x′2,y′2)在圆O上,满足k OP′·k OQ′===-1, 所以OP′⊥OQ′,如图,由全等三角形的性质,易得x=y,x= y.所以+=+++=4x+y+4x+y=(x+y)+(x+y)+3(x+x)=4+4+3(x+y)=4+4+12=20.。
《 平面直角坐标系》 (北师大版 选修4-4)
(3)定义法：若动点满足已知曲线的定义，可先设 方程再确定其中的基本量。 (4)参数法：有时很难直接找出动点的横、纵坐标
之间的关系，如果借助中间参量(参数)，使x、y之
间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，这 样便可得动点的轨迹方程。
故点P的轨迹方程为x2＋y2＝4.
答案：x2＋y2＝4
当堂检测
《三维设计》第2页 “即时突破”
方法总结
1．求曲线方程一般有下列五个步骤：
(1)建立适当的直角坐标系，并用(x，y)表示曲线上 任意一点M的坐标，在建立坐标系时，应充分考虑平
行、垂直、对称等几何因素，使得解题更加简化；
(2)写出适当条件P下的点M的集合：{M|P(M)}；
图形。
2.解：将 xy
3x y
代入
x2 -9y2 =9
得9x2 -9y2 =9 即x2 -y2 =1
当堂检测
3.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：
曲线4x2+9y2=36变为曲线 x2 y2 1
1解：设伸缩变换
x
y
x y
，
北师大版 选修 4-4
第一章《坐标系》
§1 平面直角坐标系
学习目标
1.了解曲线与方程的关系; 2．会运用坐标法求曲线方程问题; 3．通过具体例子，了解在平面直角坐标系 伸缩变换下平面图形的变化情况及作用．
自主学习
自学课本P1—P5的内容，并完成下列问题： 1.完成《三维设计》中第1页“自主学习” 2.如何根据题设条件建立适当的平面直角坐标系？ 3.求曲线的方程有哪些方法？应该注意什么问题？ 4.平面直角坐标系的作用是什么？
高中数学第一章坐标系1.2.2点的极坐标与直角坐标的互化备课资料北师大版选修44
高中数学第一章坐标系1.2.2点的极坐标与直角坐标的互化备课资料北师大版选修44教学建议1.将极坐标系与直角坐标系建在一起,通过例题分析,让学生弄清两者之间的转化关系.2.借助于例题讲解和易错辨析,使学生明确点的极坐标的不唯一性.3.引入极坐标系的原因.我们描述一个人所走的方向和路程,经常这样说:从A点出发向北偏东60°方向走了一段距离到B点,再从B点向南偏西15°方向行走;我们描述某飞机的位置:飞行高度1200米,从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31'.这种位置的刻画能够给我们一个很直观的形象.因此,使用极坐标是我们生产生活的需要.4.极坐标与直角坐标的相同点和不同点极坐标系是用距离和角度来表示平面上的点的位置的坐标系,它由极点O与极轴Ox组成.对于平面内任一点P,若|OP|=ρ(ρ≥0),以Ox为始边,OP为终边的角为θ,则点P可用有序实数对(ρ,θ)表示.直角坐标系是在数轴的基础上发展起来的,首先定义原点,接着用两条互相垂直的直线分别构成x轴和y轴.点的位置用有序实数对(x,y)来表示.在平面直角坐标系内,点与有序实数对即坐标(x,y)是一一对应的,但在极坐标系内,虽然一个有序实数对(ρ,θ)只能与一个点P对应,但一个点P却可以与无数多个有序实数对(ρ,θ)对应.也就是说平面上一点的极坐标是不唯一的.极坐标系中的点与有序实数对(ρ,θ)不是一一对应的.备选习题1.已知极点在点(2,-2)处,极轴方向与x轴正方向相同的极坐标系中,点M的极坐标为,求点M在直角坐标系中的坐标.解:设M(x,y),则x-2=ρcosθ=4cos=2,∴x=2+2,y-(-2)=ρsinθ=4sin=2.∴y=2-2=0.∴点M的直角坐标为(2+2,0).2.已知∠AOB=,点P在OA上,点Q在OB上,M是PQ的中点,且△POQ的面积为8,试问能否确定OM的最小值?若能,求出其最小值;若不能,请说明理由.解:以O为极点,OB为极轴建立极坐标系,如图并设P,Q(ρ2,0),则由题意,有ρ1ρ2sin=8,即ρ1ρ2=.又因为S△POM=ρρ1sin=4,S△QOM=ρρ2sinθ=4,所以两式相乘,得ρ2·ρ1ρ2sin sinθ=64.所以ρ2=,从而当且仅当cos=1,即θ=时,ρ2取到最小值8,故|OM|取到最小值2.。
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高中数学第一章坐标系1.1.2平面直角坐标轴中的伸缩变换备课
资料北师大版选修44
教学建议
1.平面几何图形的伸缩变换是常见的几何变换,将图形看成是点的运动轨迹,并在平面直角坐标系中用方程表示它,那么图形的伸缩变换就可以归结为坐标轴中的伸缩变换和坐标伸缩变换,这就是用代数方法研究几何变换.
2.在伸缩变换下,直线仍然为直线(伸缩变换下的不变性),抛物线仍为抛物线,双曲线仍为双曲线,圆可以变为椭圆,椭圆可以变为圆或椭圆.
3.可以利用信息技术,向学生展示曲线的伸缩变换,让学生直观感受伸缩变换的几何意义.
备选习题
在下列平面直角坐标系中,分别作出以O'(2,2)为圆心,以1为半径的圆:
(1)x轴与y轴具有相同的单位长度;
(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的2倍;
(3)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的倍.
解:(1)建立平面直角坐标系使x轴与y轴具有相同的单位长度,以O'(2,2)为圆心,以1为半径的圆,如图:
(2)如果x轴上的单位长度保持不变,y轴上的单位长度缩小为原来的,则以O'(2,2)为圆心,以1为半径的圆的图形为:
(3)如果y轴上的单位长度保持不变,x轴上的单位长度缩小为原来的,则以O'(2,2)为圆心,以1为半径的圆的图形为:。