第九章矩阵位移法习题集

第九章 矩阵位移法 【练习题】9-1 是非题：1、单元刚度矩阵反映了该单元杆端位移与杆端力之间的关系。

2、单元刚度矩阵均具有对称性和奇异性。

3、局部坐标系与整体坐标系之间的坐标变换矩阵T 是正交矩阵。

4、结构刚度矩阵反映了结构结点位移与荷载之间的关系。

5、用 矩 阵 位 移 法 计 算 连 续 梁 时 无 需 对 单 元 刚 度 矩 阵 作 坐 标 变 换。

6、结 构 刚 度 矩 阵 是 对 称 矩 阵 ，即 有K i j = K j i ，这 可 由 位 移 互 等 定 理 得 到 证 明 。

7、结构刚度方程矩阵形式为：[]{}{}K P ∆=，它是整个结构所应满足的变形条件。

8、在直接刚度法的先处理法中，定位向量的物理意义是变形连续条件和位移边界条件。

9、等效结点荷载数值等于汇交于该结点所有固端力的代数和。

10、矩阵位移法中，等效结点荷载的“等效原则”是指与非结点荷载的结点位移相等。

11、矩阵位移法既能计算超静定结构，也能计算静定结构。

9-2 选择题：1、已知图示刚架各杆EI = 常数，当只考虑弯曲变形，且各杆单元类型相同时，采用先处理法进行结点位移编号，其正确编号是：(0,1,2)(0,0,0)(0,0,0)(0,1,3)(0,0,0)(1,2,0)(0,0,0)(0,0,3)(1,0,2)(0,0,0)(0,0,0)(1,0,3)(0,0,0)(0,1,2)(0,0,0)(0,3,4)A.B.C.D.21341234123412342、平面杆件结构一般情况下的单元刚度矩阵[]k 66⨯，就其性质而言，是： A ．非对称、奇异矩阵； B ．对称、奇异矩阵； C ．对称、非奇异矩阵； D ．非对称、非奇异矩阵。

3、单元i j 在图示两种坐标系中的刚度矩阵相比：A ．完全相同；B ．第2、3、5、6行(列)等值异号；C ．第2、5行(列)等值异号；D ．第3、6行(列)等值异号。

jxi4、矩阵位移法中，结构的原始刚度方程是表示下列两组量值之间的相互关系： A ．杆端力与结点位移； B ．杆端力与结点力； C ．结点力与结点位移； D ．结点位移与杆端力 。

5、单 元 刚 度 矩 阵 中 元 素 k ij 的 物 理 意 义 是 ：A ．当 且 仅 当 δi =1 时 引 起 的 与 δj 相 应 的 杆 端 力 ；B ．当 且 仅 当 δj =1时 引 起 的 与 δi 相 应 的 杆 端 力 ；C ．当 δj =1时 引 起 的 δi 相 应 的 杆 端 力 ；D ．当 δi =1时 引 起 的 与 δj 相 应 的 杆 端 力。

9-3 填充题：1、图示结构用矩阵位移法计算时（计轴向变形）未知量数目为8个。

2、图 示 刚 架 用 两 种 方 式 进 行 结 点 编 号 ，结 构 刚 度 矩 阵 最 大 带 宽 较 小 的 是 图 。

35641271234567(a)(b)3、图 示 梁 结 构 刚 度 矩 阵 的 主 元 素 K K 1122== ,ll4、图 示 桁 架 结 构 刚 度 矩 阵 有 个 元 素 ，其 数 值 等 于 。

3m3m ABC DEAEAEA5、用 矩 阵 位 移 法 解 图 示 连 续 梁 时 ，结 构 的 综 合 结 点 荷 载 是l /2lll /26、已知图示桁架杆件①的单元刚度矩阵为式(a)，又已知各结点位移为式(b)，则杆件①的轴力（注明拉力或压力）应为N①= 。

l[]k EA l u v u v u v u v Pl EA ①=--⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪=-⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎫⎬⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪1(a) b)010*********005100230011223344 (9-4 用先处理法写出图示梁的整体刚度矩阵[]K 。

123llli 0123i i9-5 用先处理法写出图示梁的结构刚度矩阵[]K 。

123ll4lEI EI EI 239-6 计算图示结构的综合结点荷载列阵{}P 。

l /2l /2l /2l /2ll9-7 计算图示连续梁对应于自由结点位移的荷载列阵{}P 。

l /2l l /29-8 已 知 图 示 连 续 梁 结 点位 移 列 阵 {}θ如 下 所 示 ，试 用 矩 阵 位 移 法 求 出 杆 件 23 的 杆 端 弯 矩 并 画 出 连 续 梁的 弯 矩 图 。

设 q = 20kN /m ，23 杆 的 i =⨯⋅10106.kN cm 。

{}θ=--⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪⨯-365714572286104....rad6m3m3m9-9 已知图示梁结点转角列阵为{}[]∆=056516822-/ /Tql i ql i ，EI =常数。

计算B 支座的反力。

1m1m9-10 试 用 矩 阵 位 移 法 解 图 示 连 续 梁 ，绘 弯 矩 图 。

EI = 已 知 常 数 。

xθ9-11 试 求 结 构 原 始 刚 度 矩 阵 中 的 子 块 []K 22，已 知 单 元 ①的 整 体 坐 标 的 单 元 刚 度 矩阵 为 ：[]K ①=-⨯-⨯---⨯-⨯⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥72360072360036003600723600360036001103600210442101107244ll9-12 用先处理法写出图示结构的结构刚度矩阵[]K 。

E =常数。

ll 9-13 用先处理法计算图示连续梁的结点荷载列阵{}P 。

m4m4m49-14 计算图示连续梁对应于自由结点位移的荷载列阵{}P 。

m3m3m 4m 49-15 已 知 图 示 两 端 固 定 梁 跨 中 结 点 C 的 竖 向 位 移 为 ∆CV l EI =-5123() ，转 角 ϕC =0 ，l =5m ，EI =常 数 。

试 求 单 元 ① 、② 的 杆 端 力 列 阵 。

ll9-16 用先处理法计算图示结构刚度矩阵的元素133322,,K K K 。

123ll4l5EI2EIEA(0,0,0)(0,0,1)(0,2,3)(0,0,0)(0,2,4)(0,0,0)EI9-17 用先处理法计算图示刚架结构刚度矩阵的元素153422,,K K K 。

EI ，EA 均为常数。

l9-18 写出图示结构以子矩阵形式表达的结构原始刚度矩阵的子矩阵[][]K K 2224,。

[][]k k 1112 [][]k k 2122 []k =ii iii单刚分块形式为 ：9-19 已知图示结构在整体坐标系中的单元刚度矩阵。

用先处理法集成结构刚度矩阵[]K 。

（用子块形式写出）。

[][]k k 1112 [][]k k 2122 []k =ii iii单刚分块形式为 ：9-20 用先处理法写出图示刚架的结构刚度矩阵[]K ，只考虑弯曲变形。

EI EI EIEI=o ol ll9-21 用先处理法写出图示结构的结构刚度矩阵[]K 。

各杆长度为l ，EA 、EI 为常数。

ABCD9-22 用先处理法写出以子块表示的图示结构的结构刚度矩阵[]K 。

m 12m9-23 用先处理法写出图示刚架结构刚度矩阵[]K 。

已知：[][][]k k k ①②③===⨯--------⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥10300003000001230012300301000305030000300000123001230030500301004x9-24 计算图示结构结点3的等效结点荷载列阵{}P 3E 。

m224m49-25计算图示结构结点2的等效结点荷载列阵{}P 2E 。

l /2l /29-26 计算图示结构的综合结点荷载列阵元素431,,P P P 。

lll9-27 用先处理法计算图示结构的综合结点荷载列阵{}P 。

l/2/29-28 计算图示结构结点荷载列阵中的元素654,,P P P 。

l/2l /2(0,7,8)39-29 计算图示结构综合结点荷载列阵中的元素431,,P P P 。

P l l l9-30 计算图示结构综合结点荷载列阵{}P 中的元素9873,,,P P P P 。

lll29-31 计算图示刚架对应于自由结点位移的综合结点荷载列阵{}P 。

m3m3m9-32 计算图示刚架对应自由结点位移的综合结点荷载列阵{}P 。

各杆长度为 4m 。

9-33 计算图示结构结点2的综合结点荷载列阵{}P 2。

l /2l l /2l l9-34 计算图示刚架考虑弯曲、轴向变形时的综合结点荷载列阵{}P 。

9-35 若考虑弯曲、轴向变形，用先处理法写出图示结构综合结点荷载列阵{}P 。

l /2l/2ql9-36 考虑弯曲、轴向变形，计算图示结构综合结点荷载列阵{}P 。

m 4m2m2m39-37 考虑弯曲、轴向变形时，用先处理法计算图示结构综合结点荷载列阵{}P 。

8mm5m69-38 用先处理法计算图示结构的综合结点荷载列阵{}P 。

/2/2ll9-39 试 用 矩 阵 位 移 法 解 图 示 结构，绘 弯 矩 图 。

m 1mm1kN m.9-40 计算下图结构（a ）中杆34的杆端力列阵中的第3个元素和第6个元素。

不计杆件的轴向变形。

已知下图结构（a ）结点位移列阵为：{}[]T0.666670.2 0.7556- 0 0.3667 0 0.3333 0.2 0.2- 0.1333 00.2- 0 0 0=∆。

1m1mll（a ） （b ）9-41 计算上图结构（b ）单元③的杆端力列阵{}③F，已知各杆,cm 300 ,kN/cm 101.2424=⨯=I E ,cm 202=A cm l 100=，结点2位移列阵{}[][]T T 2rad cm cm 5313.04596.04730.01012222--⨯⨯==-θ∆v u 。

9-42考虑杆件的轴向变形，计算图示结构中单元①的杆端力{}F ①。

已知：I =(/),124m4E =⨯3107kN /m 2，m 2A =05.。

结点1的位移列阵{}[]δ16110370022710151485=⨯⨯---...m m rad T。

5m9-43 计算图示刚架单元①在局部坐标下的杆端力{}F ①。

已知各杆E 、A 、I 、l 均为常数，不考虑杆件的轴向变形，{}[]∆=--ql EIl l 2100002727 0 5 19 0 0T。

lq9-44 已求得图示结构结点2、3的结点位移为式(a)、(b)并已知单元②的整体坐标的单元刚度矩阵。

计算单元②2端的弯矩。

（长度单位m ，力单位kN ，角度单位弧度）(b)10 , (a)1040-160-0.2=5-5- ⨯⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧---=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⨯⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧108.1593.0333222φφv u v u[]510205.1105.1050005005.105.15.105.1105.1205.1050005005.105.15.105.1⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-------=②k9-45 用先处理法写出图示桁架的结构刚度矩阵[]K 。