向量的加减法课件
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6.3.3平面向量的加减运算的坐标表示课件共12张PPT
A O
C D
x
而 OD = OB + BD = (-1, 3) + (3, -1) = (2, 2)
所以顶点D的坐标为（2，2）
达标检测
1．点 A(1，－3)，A→B的坐标为(3，7)，则点 B 的坐标为( A )
A．(4，4)
B．(－2，4)
C．(2，10)
D．(－2，－10)
【解析】 设点 B 的坐标为(x，y)，由A→B＝(3，7)＝(x，y)－(1，
【解】 如图，正三角形 ABC 的边长为 2，
3．已知边长为 2 的正三角形 ABC，顶点 A 在坐标原点，AB 边在 x
轴上，C 在第一象限，D 为 AC 的中点，分别求向量A→B，A→C，B→C，B→D
的坐标.
则顶点 A(0，0)，B(2，0)，C(2cos 60°，2sin 60°)，
∴C(1，
(1, 2) = (3 - x, 4 - y)
y B
A O
C D
x
1= 3-x 2= 4-y
解得 x=2,y=2 所以顶点D的坐标为（2，2）
y B
解法2：由平行四边形法则可得
BD = BA + BC = (-2 - (-1),1 - 3) + (3 - (-1), 4 - 3) = (3, -1)
O
x
结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段 的终点的坐标减去起点的坐标.
例2：如图，已知平行四边形ABCD 的三个顶点A、B、C的坐标分别 是（-2，1）、（-1，3）、（3，4），试求顶点D的坐标.
解法１：设点D的坐标为（x,y）
AB = (-1, 3) - (-2,1) = (1, 2) DC = (3, 4) - (x, y) = (3 - x, 4 - y) 且AB = DC
2.2.2向量的减法(共18张PPT)
例2、如图,已知向量AB
a,
AD
b，DAB
120o，
且
|
a||
b
|
3，求
|
a
b|
和
|
a
b
|
解：以AB、AD为邻边作平行四边形ABCD， C
由于 | AD || AB | 3，故此四边形为菱形
由向量的加减法知
AC
a
b，DB
a
b
故
|
AC
||
a
b
|
，| DB
||
a
b
|
D b
12O`0o a B
起点，作 BC b，
连接AC， 那么向量 AC c 称为向量 a 与 b
的和，记作 a b ，即 c a b ．
a
注意求和过程：
c
b
b a
这种作出两向量之和的方法叫三角形法则． 三角形法则 “首尾相接，首尾连”
平行四边形法则：
当向量 a 与 b 不平行时， 作 AB a ，AD b， 以AB、
A
因为DAB 120O，所以DAC 60O
所以ADC是正三角形，则 | AC | 3 由于菱形对角线互相垂直平分
所以AOD是直角三角形， | OD || AD | sin 60o 3 3 3 3
22
所以 |
a
b
|
3，| a
b |
3
3
uuur 例3、如图，平行四边形ABCD中，AB
ar，
那么向量的减法有什么规律呢？
我们来看一个例子：已知向量a、b求作向量a-b。
a
a-b
b
从加法的概念考虑, 所求的向量a-b与b的 和为a，因而向量a-b 应以b的末端开始， 指向a的末端。
《向量的加减法》课件
《向量的加减法》PPT课 件
欢迎来到《向量的加减法》课件！在本课程中，我们将深入探讨向量的定义、 加法、减法、平移和线性组合等概念。
1. 概述
向量是一个常见且重要的数学概念，它既可以用于表示物理量，也可以用于 描述几何关系。本节将介绍向量的定义和基本性到一个新的向量。我们将讨论加法的几何意义、计算方法和运算规律。
3. 向量的减法
向量的减法是指将一个向量从另一个向量中减去，从而得到一个新的向量。 我们将探讨减法的几何意义、计算方法和运算规律。
4. 向量的平移
向量的平移是指将一个向量从一个点移动到另一个点，从而得到一个平移后 的向量。我们将研究平移的定义、几何意义和计算方法。
5. 向量的线性组合
向量的线性组合是指用标量乘以向量再相加的运算。我们将介绍线性组合的 定义、概念、计算方法和应用。
6. 例题解析
通过解析一些实例题，我们将加深对向量加减法、平移和线性组合的理解， 并学会如何应用这些概念解决实际问题。
7. 总结
在本课程的总结中，我们将回顾重点概念、整理知识点，并提供学习建议，帮助你更好地掌握向量的加减法。
欢迎来到《向量的加减法》课件！在本课程中，我们将深入探讨向量的定义、 加法、减法、平移和线性组合等概念。
1. 概述
向量是一个常见且重要的数学概念，它既可以用于表示物理量，也可以用于 描述几何关系。本节将介绍向量的定义和基本性到一个新的向量。我们将讨论加法的几何意义、计算方法和运算规律。
3. 向量的减法
向量的减法是指将一个向量从另一个向量中减去，从而得到一个新的向量。 我们将探讨减法的几何意义、计算方法和运算规律。
4. 向量的平移
向量的平移是指将一个向量从一个点移动到另一个点，从而得到一个平移后 的向量。我们将研究平移的定义、几何意义和计算方法。
5. 向量的线性组合
向量的线性组合是指用标量乘以向量再相加的运算。我们将介绍线性组合的 定义、概念、计算方法和应用。
6. 例题解析
通过解析一些实例题，我们将加深对向量加减法、平移和线性组合的理解， 并学会如何应用这些概念解决实际问题。
7. 总结
在本课程的总结中，我们将回顾重点概念、整理知识点，并提供学习建议，帮助你更好地掌握向量的加减法。
向量的加减法课件
题目2
已知向量$overset{longrightarrow}{a} = (2,3)$，$overset{longrightarrow}{b} = ( - 1,2)$，求$overset{longrightarrow}{a} overset{longrightarrow}{b}$。
进阶练习题
题目3
三角形法则的几何解释
向量减法的三角形法则可以理解为两个向量在起点和终点之间形成的闭合三角形，减数向量是三角形的一条边。
向量减法的向量场意义
向量场
向量场是由一组有序的向量所组成的集合，每个向量都有一个起点和一个终点。
向量场中向量的加减法
在向量场中，向量的加减法可以通过将减数的起点移动到被减数的起点来实现，然后按照向量的加法 法则进行计算。
感谢您的观看
THANKS
02 向量加法的几何意义
向量加法的平行四边形法则
总结词
向量加法的平行四边形法则是向量的基本运算法则之一，它 基于平行四边形的性质，将两个向量相加得到一个新的向量 。
详细描述
向量加法的平行四边形法则是通过构造一个平行四边形，其 中两个相邻的边分别表示要相加的向量，然后连接对角线来 表示这两个向量的和。
详细描述
在向量场中，向量加法运算可以看作 是将一个向量从一个点平移到另一个 点，这种平移过程可以用来描述物体 在空间中的运动和力的作用。
03 向量减法的几何意义
向量减法的三角形法则
三角形法则
向量减法可以通过作平行四边形并取对角线来实现，也可以通过连接两个向量的起点，并作与减数平行的向量来 实现。
答案3
$2overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b} = (5,5)$
北师大版 向量加减法优秀课件
a
(2)
a a-b
b
02.04.2019
.
b
平移同起点,方向指向被减数a
9
例3,如图,已知 向量a,b,c,d,求作向量a-b,c-d
b a
(1)
d c
a-b
a
b
d
c
c-d
. o
02.04.2019
10
例题4：如图，平行四边形ABCD，AB=a， AD=b，用a、b表示向量AC、DB。 D b A a B 注意向量的方向， 向量 AC= a+b 向量 DB= a-b
(2)同步做练习册
谢谢指导！
02.04.2019
18
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智
《平面向量加减法》课件
三角形法则：将 两个向量首尾相 接，构成一个三 角形，则其对角 线就是两个向量 的和。
平行四边形法则 和三角形法则的 适用范围：适用 于任意两个向量 的加法运算。
平行四边形法则 和三角形法则的 优缺点：平行四 边形法则直观易 懂，但计算量较 大；三角形法则 计算量较小，但 需要一定的几何 知识。
向量减法的平行四边形法则和三角形法则
几何意义：向量减法的几何意义是表示两个向量的差向量，即从第一个向 量的终点指向第二个向量的终点的向量。
应用：向量减法在物理、工程等领域有着广泛的应用，如力的合成与分解、 速度的合成与分解等。
注意事项：在进行向量减法时，需要注意两个向量的起点必须重合，否则 得到的差向量可能不是正确的。
向量加减法的应用实例
向量减法的定义
向量减法是向量加法的逆运算
向量减法的定义式为：A-B=C，其中A、B、C都是向量
向量减法的运算法则为：A-B=C，其中A、B、C都是向量，且A、B、 C的起点相同 向量减法的运算结果为一个新的向量，其方向与A、B的差方向相同， 其大小为A、B的差大小
03
向量加减法的几何 意义
向量加法的几何意义
向量加法是将两个向量首尾相接， 得到一个新的向量
新的向量的方向由两个向量的方 向决定
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
新的向量的长度等于两个向量长 度之和
新的向量的起点和终点分别对应 两个向量的起点和终点
向量减法的几何意义
向量减法：将两个向量的起点重合，然后从第一个向量的终点指向第二个 向量的终点，得到的向量就是两个向量的差向量。
向量加法的结合 律： (a+b)+c=a+(b+ c)
《向量的加减法》课件
03 向量的数乘
数乘的定义
定义
对于向量$overset{longrightarrow}{a}$ 和实数$k$，数乘 $koverset{longrightarrow}{a}$是一个 向量，其长度为 $|k||overset{longrightarrow}{a}|$，方 向与$overset{longrightarrow}{a}$相同 或相反，取决于$k$的正负。
向量加法的性质
向量加法满足结合律
即$(overset{longrightarrow}{a} + overset{longrightarrow}{b}) + overset{longrightarrow}{c} = overset{longrightarrow}{a} + (overset{longrightarrow}{b} + overset{longrightarrow}{c})$。
谢谢聆听
02
当$k < 0$时，$koverset{longrightarrow}{a}$表示向 量$overset{longrightarrow}{a}$按比例缩小$-k$倍。
03
当$k = 0$时，$0overset{longrightarrow}{a} = mathbf{0}$，即零向量。
数乘的性质
箭头表示法
详细描述
向量通常用带箭头的线段表示，箭头指向代表方向，长度代表大小。
向量的模
总结词
向量的长度
详细描述
向量的模表示向量的长度，记作$|overrightarrow{AB}|$，计算公式为$sqrt{x^2+y^2}$。
02 向量的加法
向量加法的定义
定义
向量加法是指将两个向量首尾相接，以第一个向量的起点为 共同起点，以第二个向量的终点为共同终点，连接第一个向 量的终点与第二个向量的起点的向量。
向量的加减法运算
向量减法的性质
向量减法不满足交换律，即a-b≠b-a 向量减法满足结合律，即(a-b)-c=a-(b+c) 向量减法的零元是零向量，即任意向量a与零向量的差等于零向量 向量减法的逆元是相反向量，即任意向量a与相反向量的和等于零向量
04
向量加减法的运算律
平行四边形法则
定义：向量加法满足平行四边形法则，即以两个向量为邻边的平行四边形的对角线等于 这两个向量的和。
02
向量加减法的几何意义
向量加法的几何意义
平行四边形法则：向量加法可以通过作两 个向量的平行四边形来得出结果向量
向量加法的性质：向量加法满足结合律， 不满足交换律
三角形法则：向量加法也可以通过作两 个起点的公共起点，连接两个终点，再 连接公共起点和公共终点构成三角形来 得出结果向量
向量加法的模：两个向量的和的模等于两 个向量的模的和
与分解
速度和加速度的合成 与分解
运动的合成与分解
刚体的平移和旋转
在数学中的应用
向量加减法在解析几何中的应用，例如求向量的模、向量的投影等。 向量加减法在代数中的应用，例如求解线性方程组、进行矩阵运算等。 向量加减法在微积分中的应用，例如求导数、积分等。 向量加减法在概率论与数理统计中的应用，例如计算概率、期望和方差等。
向量减法的几何意义
向量减法可以表示为向量的头尾连接 向量减法的结果与原向量的顺序有关 向量减法可以用于表示速度和加速度的变化 向量减法可以用于解决物理问题中的矢量问题
03
向量加减法的性质
向量加法的交换律和结合律
交换律：向量加法满足交换律，即向量a加向量b等于向量b加向量a。 结合律：向量加法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)。
向量的加减法
2.向量的减法
长度相等方向相反的向 量. 相反向量：
a 与 a 互为相反向量 . 规定， 记作 a ， 0 0.
于是 ( a ) a , a (a ) (a ) a 0 .
与 a 长度相等 , 方向相反的向量 ,叫做 a 的相反向量，
如果 a 、 b 互为相反的向量 ， 那么
与a、 b 都不相同， 且 | a b | | a | | b |. 当向量 a 与 b 同向时 ， a b 的方向 与a、 b 都同向， 且 | a b | | a | | b |. 当 a 与 b 反向时 (设 | b | | a |) ， a b 的方向 与 b 同向， 且 | a b | | b | | a |.
OB a b
B
O
a b
O
A
A
.
b
b
b a
.
OB a b
例3 如图， 已知向量 a 、 b、 c、 d， 求作向量 a b ， cd .
B
A
a b
D
d
c
b a
d
c
C
作法：
O
在平面内任取一点O ，作 OA a ， OB b ， OC c ， OD d . 作 BA ， DC ，则 BA a b ，DC c d .
2.2.1 - 2.2.2向量的加减法
1、向量的加法： (2)、图示：
a a a a a a a a a a b O
(1)、定义：求两个向量和的运算叫向量的加法。 A
b b
b
b
b
B
a+b
O (3)、作法 1在平面内任取一点 2作OA a , AB b 3则向量OB a b
平面向量的加减法41564PPT课件
＝ OB ＋ BO ＝0.
2 AB ＋ MB ＋ BO ＋ OM
＝ AB ＋ BO ＋ OM ＋ MB
＝ AO ＋ OB ＝ AB .
ppt精选版
17
例题讲解
[例 3] 船在静水中的速度为 20 m/min，水流的速度为 10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船 行进的方向．
AB BC
||＝1200＝12，
∴∠ABC＝60°，从而船与水流方向成 120°的角．
故船行进的方向与水流的方向成 120°的角．
ppt精选版
19
跟踪练习
1．一艘船以 8 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶，由于水 流的原因，船的实际航行速度的大小为 4 5 km/h，则水流 速度的大小为________．
b的和或和向量，记作a＋b，即a＋b＝ AB ＋
BC ＝ AC .上述求两个向量和的方法，称为向量加法的三角
形法则．
ppt精选版
5
(2)平行四边形法则： 已知两个不共线向量a，b，作 OA ＝a OB ＝b，以a，b为邻边作▱OACB，则以O为 起点 的对角线 OC 就是a与b的和，如图．这种作两个向量 和的方法叫做向量加法的平行四边形法则． 对于零向量与任一向量a，规定：a＋0＝ 0 ＋ a ＝a .
32
2．如图，在四边形 ABCD 中，根据图示填空： a＋b＝____，b＋c＝____，c－d＝____， a＋b＋c－d＝____.
解析：a＋b＝ AB ＋ BC ＝ AC ＝－f； b＋c＝ BC ＋ CD ＝ BD ＝－e； c－d＝ CD － AD ＝ DA － DC ＝ CA ＝f； a＋b＋c－d＝ AB ＋ BC ＋ CD － AD ＝ AD － AD ＝0.
相关主题
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的终点的向量.
小结:作两向量的差向量的步骤:
(1)将两向量移到共同起点
(2)连接两向量的终点,方向指向被减向量
特点：同起点，连终点，方向指向被减向量
字母表示：OA-OB=BA
B
a－b
被减向量 减向量
O
b
a
a b
A
练习：
DB 1、 AB AD __________
CA 2、 BA BC __________
解：如图所示，
B
OB OA AB a b
因为△OAB为直角三角形，所以
OB 32 32 3 2 ( km)
O
b
a
A
又因为∠AOB=450，所以
ab
表示向东北走 3
2km .
想一想
对于多个向量相加，如何做出和向量？
探 究 思 考 一
对于n个向量，依次把这n个向量首尾相连， 以第一个向量的起点为起点，第n个向量的 终点为终点的向量叫这n个向量的和向量。
高中数学
向量的加减法
复习回顾:
1.向量加法三角形法则
特点：尾首相接，首尾相连
C
2.向量加法平行四边形 法则
特点:共起点，邻边做行
B
a
b
a b
C
a b
A
b
b
a
B
O
a
A
a ，接着“向北走 例：某人先“向东走3km”，位移 记作： 3km”，位移 记作： b
问a b表示什么，并求出它的模和方向
b
a
D
a
C
A
.
b
ba
.
A
ab
C
b
a
B
向 量 加 法 的 交 换 律
已知不共线向量 a, b, 作出a b和b a
b
a
D
a
C
.
A
b
ba
.
A
ab
C
b
a
B
ab ba
向 量 加 法 的 结 合 律
(a b) c a (b c)
向量加法满足交换律和结合律
(1)向量加法交换律：
C
DB AB AD a b.
a
B
练习:如图：平行四边形ABCD中,AB a, AD b, 用 a, b表示向量 AC, DB. D 解：由向量加法的平行四边形法则，得
AC a b;
由向量的减法可得，
b
A
C
DB AB AD a b.
a
B
变式一: 在本例中,当a,b满足 什么条件时,a+b与a-b相互垂直? （|a| = |b|） 变式二: 在本例中,当a,b满足 什么条件时,|a+b|=|a-b|? （a， b互相垂直） 变式三: 在本例中, a+b与a-b有可能相等吗?
再作BC c, 并以BA和BC为邻边作BADC， 则BD BA BC a b c。
练习:如图：平行四边形ABCD中, AB a, AD b, 用 a, b 表示向量 AC, DB. D 解：由向量加法的平行四边形法则，得
AC a b;
由向量的减法可得，
b
A
2．已知向量a，b，且|a|＝|b|＝4，∠AOB＝60°. 则|a＋b|＝ ，|a－b|＝ .
向 量 减 法 小 结
从同一点出发的两个向量a , b， a b 就可以表示为从向量b的 终点指向向量a的终点的向量.
B
ab
同起点， 连终点， 方向指向被减向量
C
b
A
a
作
业
导学：向量加减法
（不可能，∵ 对角线方向不同）
例2 已知|a|=6,|b|=8,且|a+b|=| a- b|,求|a- b|.
解 设AB a, 作AD b,以AB和AD为邻边作ABCD， 则 则AC a b, DB a b
| a b || a b | | AC || DB |
AC 3、 BC BA __________
4、 AB AC BD CD __________
5、 NQ QP MN MP _________
例1 已知向量a,b,c,求作向量a-b+c.
C
c
Ｂ
D
b a
解
Ｏ
Ａ
在平面上任取一点 O，作OA a, 作OB b, 则BA a b。
ab ba
(2)向量加法结合律：
(a+b)+c a (b c)
以上两个AD (1) A B C D BC ________
( 2 ) M A BN A C C B ________ MN
(3) AB BD C A D C _____ 0
上述法则叫向量求和的多边形法则。
思考完成下面问题，并归纳出运算的规律？
探究？
（1） （2）
a 0 __ 0a
a 0
探 究 思 考 二
a (a) __ (a) a
向量加法的交换律：
ab ba
向 量 加 法 的 交 换 律
已知不共线向量 a, b, 作出a b和b a
1.负向量
我们把与 a 长度相等，方向相反的向量，叫作 a
的负向量.记作
a
并且规定，零向量的负向量仍是零向量．
重要提示 : 重要提示 AB BA : AB BA 请问 的负向量是
记做 : AB BA
A B
2.向量的减法
a b 定义: 向量 a加上 的负向量，叫作 与 b a b aa ( b( ) b) b a (b) 的差，即
a b a (b)
求两个向量差的运算,叫做向量的减法.
3.如何求两个向量的差？
B
ab
b
A
a
C
从向量差的作法我们可 以得到这样 的结论： 从同一点出发的两个向 量a , b，a b就 可以表示为从向量 b的终点指向向量 a (比较：如果两个向量 a , b首尾顺次连接， 则a b可表示为从向量 a的始点指向向量
又因为四边形 ABCD为平行四边形 ， 所以四边形ABCD为矩形，AD AB
B C
a
A
b
D
| DB | | DB |2 | DB |2 62 82 10 | a b || a b | 10
1.Δ ABC中,BC=a,CA=b,则,AB=( ) A.a+b B.–(a+b) C. a-b D. b-a