数学物理方法1-1

20
2.
均匀弹性杆的微小纵振动
一根弹性杆中任意小段受外界影响发生纵振动，必使其相邻部分发生伸 长或缩短。最终，杆上任意小段的纵振动必然传播到整根杆。这种振动 的传播就是波。
杆的质量密度为
，横截面为S（常数），长度为
A
x
B
P( x x, t ) B' u ( x x, t )
外力密度为F(x,t)， x点在t时刻的纵向位移为u(x,t) 。 弹性模量E：杆伸长单位长度所需的 力
2
tan
u x, t
u
T'
,
M'
'
ds
M

gds
T
N
O
x
N' x dx
x
u 2 ( x, t ) 小弧段在时刻t沿u方向的加速度近似为 ， 2 t 小弧段的质量为 ds
T sin T ' sin ' gds ds 由牛顿第二定律有

ds
M

gds
T
N
在弦上任取一弧段 MM
' ，其长度为ds，
'
弧段两端所受张力为 T 和 T
O
x
N' x dx
x
是弦的线密度
由于假定弦是柔软的，所以在任意点处张力的方向总是沿着弦在该点的 切线方向。
14

现在考虑弧段 MM 在t时刻的受力和运动情况。 根据牛顿第二定律，作用于弧段上任一方向上力的总和等于这段弧的 质量乘以该方向上的运动加速度。
u

T'
'
在x方向弧段 MM 受力总和为
'
M'
'
T cos T cos
'
'
M
ds

由于弦只做横向运动，所以
T
gds
T cos T ' cos ' 0
N
O
x
N' x dx
x
按照弦作微小振动的假设，可知在振动过程中，弦上M和M’点处切线 的倾角都很小，即：
0, ' 0
'
T sin T ' sin ' gds,
' 其中， gds 是 MM 的重力。
16
当
0, ' 0
sin
时，
tan
2
x 1 tan u x dx, t ' ' sin tan , x
u x, t ds 1 dx dx. x
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教学基本要求



掌握波动方程、热传导方程、Laplace方程的 物理背景及其定解问题的提法； 熟练掌握三类方程定解问题的解法：分离变量 法，行波法、积分变换法等； 熟悉Bessel函数和Legendre函数的性质及其 应用。
学习方法
物理过程 数学模型 数学解 物理解 物理现象
第1章 数学物理方程及其 定解条件
上式左端方括号的部分是由于x产生 的改变量，可以用微分近似代替：
dx
u ( x, t ) 的变化引起的 x
u x dx, t x
所以式（*）变为 或

u x, t x
2u x , t u x, t dx dx 2 x x x
6




第三章 二阶常微分方程的级数解法 本征值问题 §3.1 二阶常微分方程的级数解法 §3.2 Legendre（勒让德）方程的级数解 §3.3 Bessel（贝塞尔）方程的级数解 §3.4 Sturm-Liouville（斯特姆--刘维尔）本征值问题 第四章 Bessel函数的性质及其应用 §4.1 Bessel方程的引出 §4.2 Bessel函数的性质 §4.3 Bessel函数的应用 *§4.4 修正Bessel函数 *§4.5 可化为Bessel方程的方程
O
u
T'
M'
'
ds
M

gds
T
N
x
N' x dx
x
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设弦上具有横坐标为x的点，在时刻t的位置为M，其位移MN记为u。 显然，在振动过程中，位移u是变量x和t的函数，即
u u( x, t )
采用微元法来建立位移u满足的方程：
u
T'
M'
'
把弦上点的运动先看成小弧段的运动，然 后再考虑小弧段趋于零的极限情况。
由牛顿第二定律，可得[x,x+△x]段的运动方程为：
2u ( , t ) S x ( x x, t ) S ( x, t ) S F ( x 2 x, t ) S x 2 t x x 22
1


2u ( , t ) S x ( x x, t ) S ( x, t ) S F ( x 2 x, t ) S x 2 t x x




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第五章 Legendre 多项式 §5.1 Legendre 方程及Legendre 多项式的引出 §5.2 Legendre 多项式的性质 §5.3 Legendre多项式的应用 *§5.4 关联Legendre 多项式及其应用

第六章 §6.1 §6.2 §6.3 §6.4
成绩评定

平时成绩：30%

考勤 作业

期末考试：70%
4
数学物理方法：
数学物理方程+特殊函数

数学物理方程 从物理学、工程科学与技术科学的实际问题中 导出的，反映物理量之间关系的偏微分方程和 积分方程。
特殊函数



与初等函数相对； 初等函数：常函数、指数函数、对数函数、幂函数、 三角函数和反三角函数
T cos T ' cos ' 0
T sin T ' sin ' gds ds
2 u x, t t 2 2 u x, t t 2
应该变为：
T cos T ' cos ' 0
Fds T sin T ' sin ' gds ds
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2 u 2 ( x, t ) 2 u ( x, t ) a 2 t x 2 2 u 2 ( x, t ) 2 u ( x, t ) a f ( x, t ) t 2 x 2
（*）
（**）
方程（*）和方程（**）的差别在于方程（ ** ）的右端多了一个与未 知函数u无关的项f(x,t)，这个项称为自由项。 包括有非零自由项的方程称为非齐次方程。 自由项恒等于零的方程称为齐次方程。 方程（*）为一维齐次波动方程， 方程（**）为一维非齐次波动方程。
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§1.1.1 波动方程
1.
均匀弦的微小横振动
设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，而且除了受不随时间变 化的张力及弦本身的重力外，不受其他外力的作用。 下面研究弦作微小横振动的规律。 所谓“横向”是指全部运动出现在一个 平面内，而且弦上的点沿垂直于x轴的方 向运动。 所谓“微小”是指运动的幅度及弦在任 意位置处切线的倾角都很小，以致它们 的高于一次方的项可以忽略不计。 弦是均匀的，设其线密度为 ；
行波法与积分变换法 一维波动方程的D’Alember(达朗贝尔)公式 三维波动方程的Poisson公式 Fourier积分变换法求定解问题 Laplace变换法解定解问题
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第七章 §7.1 §7.2 §7.3 §7.4 §7.5
Green函数法 引言 函数的定义与性质 Poisson方程的边值问题 Green函数的一般求法 用电像法求某些特殊区域的Dirichlet-Green函数
可得：
2 u 2 ( x, t ) 2 u ( x, t ) a t 2 x 2
其中， a 2 T /
这就是均匀弦的横振动所满足的泛定方程。它是一种波动方程。由于在 18 空间上是一维的，故称一维波动方程。
受迫振动
如果均匀弦上沿位移方向还经受外力场作用，单位长度弦上所受之力， 即力密度为F(x,t)。则在方程左端还应加上一项外力 F ( x, t )dx 。 则方程组
重复以上的推导过程，可得有外力作用时弦的振动方程为：
2 u 2 ( x, t ) 2 u ( x, t ) a f ( x, t ) t 2 x 2
（**）
其中， f ( x, t ) F ( x, t ) / ，表示t时刻单位质量的弦在x点所受的外力。 式（**）称为弦的受迫振动方程。
Hale Waihona Puke xP ( x, t ) A' u ( x, t )
应力 ：杆在伸缩过程中各点相互之间单位截面上的作用力 ( x, t ) ：杆上x点在t时刻的应力。 应变：杆的相对伸长
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如图，AB段的相对伸长是： x点的应变为：
A B AB
——
—— ' '
——
AB
u ( x x, t ) u( x, t ) u( x, t ) lim x 0 x x
u ( x x, t ) u ( x, t ) x
A B
x
P ( x, t ) A' u ( x, t )
P( x x, t ) B' u ( x x, t )