二次函数的应用第二课时教案

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二次函数的图象第二课时教案

二次函数的图象第二课时教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点的概念；（2）学会如何通过二次函数的系数判断开口方向和对称轴的位置；（3）能够熟练运用二次函数的性质解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察、分析、归纳二次函数图象的性质；（2）利用数形结合的方法，理解二次函数图象与系数的关系。

3. 情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生分析问题、解决问题的能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点的判断方法；（2）运用二次函数的性质解决实际问题。

2. 教学难点：（1）开口方向与对称轴的判断；（2）二次函数图象与实际问题的结合。

三、教学过程1. 复习导入：（1）回顾一次函数图象的性质；（2）引导学生思考二次函数图象的特点。

2. 新课讲解：（1）介绍二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点的概念；（2）讲解如何通过二次函数的系数判断开口方向和对称轴的位置；（3）举例说明二次函数图象与系数的关系。

3. 课堂练习：（1）让学生绘制几个二次函数的图象，观察开口方向、对称轴和顶点的位置；（2）引导学生分析二次函数图象与系数的关系。

四、课后作业2. 选取几个实际问题，运用二次函数的性质进行解答。

五、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学效果，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高学生对二次函数图象的理解和运用能力。

关注学生在课堂上的参与度和思维发展，激发学生的学习兴趣。

六、课堂实践1. 案例分析：分析实际问题，将其转化为二次函数形式；利用二次函数的性质，解答实际问题。

2. 分组讨论：学生分组，讨论如何将实际问题转化为二次函数；每组选取一个实际问题，展示解题过程和答案。

七、拓展与延伸1. 探讨二次函数图象在其他领域的应用；引导学生思考二次函数在物理学、经济学等领域的应用；举例说明二次函数在其他领域的实际应用。

2. 课堂小结：强调二次函数图象在实际问题中的应用价值。

《二次函数的应用》word版公开课一等奖教案 (2)

当我们在日常办公时,经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料.这些资料因为用的比拟少,所以在全网范围内,都不易被找到.您看到的资料,制作于2021年,是根据最|新版课本编辑而成.我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师,进行集体创作,将日常教学中的一些珍贵资料,融合以后进行再制作,形成了本套作品.本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验,经过创作、审核、优化、发布等环节,最|终形成了本作品.本作品为珍贵资源,如果您现在不用,请您收藏一下吧.因为下次再搜索到我的时机不多哦!第2课时二次函数的应用教学目标1．会用待定系数法求二次函数解析式 ,能根据二次函数图象的特点设出相应的解析式．2．能建立适当的直角坐标系 ,并能设出相应的解析式 ,利用二次函数的知识解决实际问题．3．体会二次函数解决实际问题时 ,应如何建立适当的坐标系从而使解题简便．教学重难点建立适当的坐标系 ,利用二次函数简便地解决实际问题．教学过程导入新课欣赏生活中抛物线的图片 ,回忆二次函数的有关知识．推进新课一、合作探究【问题】有一座抛物线形拱桥 ,如图．当水面在l时 ,拱顶离水面2 m ,水面宽4 m．求这座抛物线形拱桥的解析式．思路分析：这是一座抛物线形拱桥 ,要求它的解析式 ,因为二次函数的图象是抛物线 ,所以只要在这座抛物线形拱桥上建立适当的坐标系 ,就可以求出这条抛物线表示的二次函数．让学生分组合作 ,讨论、交流应如何建立坐标系．此题方法很多 ,要充分发挥学生的优势 ,各抒己见．通过这一道题到达解决一类题的目的．方法一：以抛物线形拱桥的顶点为原点建立直角坐标系 ,可设二次函数的解析式为y＝ax 2.然后把其中一点的坐标(2 ,－2)代入解析式 ,即可求出a ＝－12. 方法二：以水面所在的直线为x 轴 ,抛物线形拱桥的顶点与水面的垂线为y 轴建立直角坐标系 ,此时应设二次函数的解析式为y ＝ax 2后把点(2,0)代入解析式 ,即可求出a ＝－12. 方法三：以水面与抛物线形拱桥左边的交点为原点建立直角坐标系 ,因为顶点坐标为(2,2) ,所以可设二次函数的解析式为y ＝a (x －2)2＋2.然后把点(0,0)代入解析式 ,即可求出a ＝－12. 从以上方法可以看出 ,建立的坐标系不同 ,所求函数的解析式也不同 ,但都是正确的．在具体的实际问题情境中 ,建立适当的坐标系求得的解析式 ,对解决问题可能很简单．二、稳固提高【例题】见课本例3.由学生求出解析式后 ,试着进行解答．【补例】如下图 ,公园要建造圆形喷水池 ,在水池(中|央）垂直于水面处安装一个柱子OA ,O 恰在水面中|心 ,OA ＝1.25米．由柱子顶端A 处的喷头向外喷水 ,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下 ,为使水流形状较为漂亮 ,要求设计成水流在离OA 距离为1米处到达距水面最|大高度．(1)求该抛物线的解析式． (2)如果不计其他因素 ,那么水池的半径至|少要多少米 ,才能使喷出的水流不致落到池外 ?(3)假设水流喷出的抛物线形状与(2)相同 ,水池的半径为米) 此题应先让学生建立适当的坐标系 ,再进行解答．三、达标训练1．在跳大绳时 ,绳甩到最|高处的形状可近似地看作抛物线 ,如图 ,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4米 ,距地面均为1米 ,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米和处 ,绳子甩到最|高处时 ,刚好通过他们的头顶 ,学生丙的身高是．(1)建立直角坐标系 ,求点A 、B 、C 的坐标．(2)求过点A 、B 、C 的抛物线的函数解析式．(3)你能算出丁的身高吗 ?(4)假设现有一身高为1.625 m 的同学也想参加这个活动 ,请问他能参加这个活动吗 ?假设能 ,那么他应从离甲多远的地方进入 ?假设不能 ,请说明理由．假设身高为1.7 m 呢 ?2．有一座抛物线形拱桥 ,在正常水位时水面AB 的宽为20 m ,如果水位上升3米时 ,水面CD 的宽为10 m.(1)建立如图直角坐标系 ,求点B 、D 的坐标．(2)求此抛物线的解析式．(3)现有一辆载有救援物质的货车 ,从甲出发需经此桥开往乙 ,甲距此桥280 km(桥长忽略不计)．货车以40 km/h 的速度开往乙；当行驶1小时 ,突然接到通知 ,前方连降暴雨 ,造成水位以每小时0.25 m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处 ,当水位到达最|高点E时 ,禁止车辆通行)．试问：如果货车按原速行驶 ,能否平安通过此桥 ?假设能 ,请说明理由 ,假设不能 ,要使货车平安通过此桥 ,速度应不小于每小时多少千米 ?本课小结1．根据实际问题的情境建立适当的坐标系 ,求出抛物线的解析式是解决实际问题的关键．2．会借用函数思想方法来解决实际问题,培养学生的"转化〞思想,即实际问题中的某些值,实际上就是二次函数解析式中知道横坐标求纵坐标或知道纵坐标求横坐标．本课教学反思英语教案注重培养学生听、说、读、写四方面技能以及这四种技能综合运用的能力.写作是综合性较强的语言运用形式, 它与其它技能在语言学习中相辅相成、相互促进.因此, 写作教案具有重要地位.然而, 当前的写作教案存在" 重结果轻过程〞的问题, 教师和学生都把写作的重点放在习作的评价和语法错误的订正上,无视了语言的输入.这个话题很容易引起学生的共鸣,比拟贴近生活,能激发学生的兴趣, 在教授知识的同时,应注意将本单元情感目标融入其中,即保持乐观积极的生活态度,同时要珍惜生活的点点滴滴.在教授语法时,应注重通过例句的讲解让语法概念深入人心,因直接引语和间接引语的概念相当于一个简单的定语从句,一个清晰的脉络能为后续学习打下根底.此教案设计为一个课时,主要将安妮的处境以及她的精神做一个简要概括,下一个课时那么对语法知识进行讲解.在此教案过程中,应注重培养学生的自学能力,通过辅导学生掌握一套科学的学习方法,才能使学生的学习积极性进一步提高.再者,培养学生的学习兴趣,增强教案效果,才能防止在以后的学习中产生两极分化.在教案中任然存在的问题是,学生在"说〞英语这个环节还有待提高,大局部学生都不愿意开口朗读课文,所以复述课文便尚有难度,对于这一局部学生的学习成绩的提高还有待研究.。

2.4 二次函数的应用第2课时(教案)-北师大版数九年级下册

第2课时利用二次函数解决利润问题1.经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感受数学的应用价值.2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值,发展解决问题的能力.1.经历销售中最大利润问题的探究过程,让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.2.发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.1.体会数学与人类社会的密切联系,了解数学的价值,增进对数学的理解和学好数学的信心.2.认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具,了解数学对促进社会进步和人类发展的作用.【重点】1.探索销售中最大利润问题,从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义.2.引导学生将简单的实际问题转化为数学问题,并运用二次函数知识求出实际问题的最大(小)值,从而得到解决某些实际生活中最大(小)值问题的思想方法.【难点】能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并能利用二次函数知识解决某些实际生活中的最大(小)值问题.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习关于销售的相关量之间的关系及二次函数最值的求法.导入一:【引入】如果你是某企业老总,你最关心的是什么?是的,当然是利润,因为它是企业生存的根本,并且每个企业都想在限定条件内获得更大利润.本节课我们就来探究形如最大利润的问题.[设计意图]开门见山,直入正题,让学生对本节课所要了解的知识一目了然,使他们的学习更有针对性.导入二:请同学们思考下面的问题:某工厂生产一种产品的总利润L(元)是产量x(件)的二次函数L=-x2+2000x-10000,则产量是多少时总利润最大?最大利润是多少?学生分析数量关系:求总利润最大就是求二次函数L=-x2+2000x-10000的最大值是多少.即L=-x2+2000x-10000=-(x2-2000x+10002-10002)-10000=-(x-1000)2+990000.∴当产量为1000件时,总利润最大,最大利润为99万元.【引入】显然我们可以通过求二次函数最大值来确定最大利润,你能利用这种思路求解下面的问题吗?[设计意图]让学生通过对导入问题的解答,进一步强化将实际问题转化为数学模型的意识,使学生感受到“何时获得最大利润”就是在自变量取值范围内,此二次函数何时取得最大值问题.服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元.根据市场调查,以单价13元批发给经销商,经销商愿意经销5000件,并且表示单价每降价0.1元,愿意多经销500件.请你帮助分析,厂家批发单价是多少时可以获利最多?思路一教师引导学生思考下面的问题:1.此题主要研究哪两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?生审题后回答:批发价为自变量,所获利润为因变量.2.此题的等量关系是什么?3.若设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元,请完成下面的填空题:(1)销售量可以表示为;(2)每件T恤衫的销售利润可以表示为;(3)所获利润与批发价之间的关系式可以表示为.4.求可以获得的最大利润实质上就是求什么?【师生活动】教师启发学生依次探究问题,根据引导要求学生独立解答后,小组交流,共同解决所发现的问题.解:设批发价为x元,该服装厂获得的利润为y元.由题意得y=(x-10)=(70000-5000x)(x-10)=-5000(x-12)2+20000.∴当x=12时,y=20000.最大∴厂家批发价是12元时可以获利最多.思路二【思考】此题还有其他的解法吗?可以不直接设批发价吗?【师生活动】学生进行小组讨论,师巡视并参与到学生的讨论之中去.组长发言,师生共同订正.解:设降价x元,该服装厂获得的利润为y元.则y=(13-10-x)=(5000+5000x)(3-x)=-5000(x-1)2+20000,=20000.∴当x=1时,y最大13-1=12.∴厂家批发价是12元时可以获利最多.【教师点评】在利用二次函数解决利润的问题时,可以直接设未知数,也可以间接设未知数.[设计意图]让学生回顾列一元二次方程解决“每件商品的销售利润×销售这种商品的数量=总利润”这种类型的应用题,做好知识的迁移,为下一环节的教学做好准备,以便降低学生接受知识的(教材例2)某旅馆有客房120间,每间房的日租金为160元时,每天都客满.经市场调查发现,如果每间客房的日租金增加10元,那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素,旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?〔解析〕此题的等量关系是:客房日租金总收入=提价后每间房的日租金×提价后所租出去的房间数.如果设每间房的日租金提高x个10元,那么提价后每间房的日租金为(160+10x)元,提价后所租出去的房间数为(120-6x)间.解:设每间房的日租金提高10x元,则每天客房出租数会减少6x间.设客房日租金总收入为y元,则y=(160+10x)(120-6x),即y=-60(x-2)2+19440.∵x≥0,且120-6x>0,∴0≤x<20.=19440,当x=2时,y最大这时每间客房的日租金为160+10×2=180(元),因此,每间客房的日租金提高到180元时,客房总收入最高,最高收入为19440元.[设计意图]让学生通过对例题的解答,进一步熟悉和掌握本课所学知识,拓宽知识面,使其解题能力和应用能力得到进一步提升.二、利用二次函数图象解决实际问题课件出示:【议一议】还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗?我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000.问题(1):利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系.请同学们在课本第49页图2-11中画出二次函数y=-5x2+100x+60000的图象.要求:同伴合作,画出图象.师课件出示函数图象,供学生参考.问题(2):增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?看一看:从图象中你们可以发现什么?增种多少棵橙子树,可以使橙子的总产量在60400个以上?请同学们开始小组讨论交流.学生积极思考,合作交流.请代表展示他们的讨论成果:结论1:当x<10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加;当x=10时,橙子的总产量最大;当x>10时,橙子的总产量随增种橙子树的增加而减少.结论2:由图象可知,增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵,都可以使橙子总产量在60400个以上.能力提升:在分析的过程中,用到了什么数学思想方法?学生迅速得出:用到了数形结合的数学思想方法.[设计意图]让学生绘制该二次函数图象,并利用图象进行直观分析,体会数形结合的思想方法,并感受自变量的取值范围.用二次函数知识解决实际问题的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系;(3)用数学的方式表示它们之间的关系;(4)利用二次函数求解;(5)检验结果的合理性.1.某商店经营2014年巴西世界杯吉祥物,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956.则获利最多为()A.3144元B.3100元C.144元D.2956元解析:利润y(元)与销售的单价x(元)之间的关系为y=-x2+24x+2956,∴y=-(x-12)2+3100.∵-1<0,∴当x=12时,y有最大值,为3100.故选B.2.某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,床位可全部租出;若每床每晚收费提高2元,则减少10张床位租出;若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次提高2元的这种方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高()A.4元或6元B.4元C.6元D.8元解析:设每床每晚收费应提高x个2元,获得利润为y元,根据题意得y=(10+2x)(100-10x)=-20x2+100x+1000=-20+1125.∵x取整数,∴当x=2或3时,y最大,当x=3时,每床收费提高6元,床位最少,即投资少,∴为了投资少而获利大,每床每晚收费应提高6元.故选C.3.某产品进货单价为90元,按100元一件出售时,能售500件,如果这种商品每涨1元,其销售量就减少10件,为了获得最大利润,其单价应定为.解析:设应涨价x元,则所获利润为y=(100+x)(500-10x)-90×(500-10x)=-10x2+400x+5000=-10(x2-40x+400)+9000=-10(x-20)2+9000,可见当涨价20元,即单价为100+20=120元时获利最大.故填120元.4.(2014·沈阳中考)某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x为整数)出售,可卖出(30-x)件.若使利润最大,每件的售价应为元.解析:设最大利润为w元,则w=(x-20)(30-x)=-(x-25)2+25.∵20≤x≤30,x为整数,∴当x=25时,w 有最大值,为25.故填25.5.每年六、七月份,南方某市荔枝大量上市,今年某水果商以5元/千克的价格购进一批荔枝进行销售,运输过程中质量损耗5%,运输费用是0.7元/千克,假设不计其他费用.(1)水果商要把荔枝售价至少定为多少才不会亏本?(2)在销售过程中,水果商发现每天荔枝的销售量m(千克)与销售单价x(元)之间满足关系:m=-10x+120,那么当销售单价定为多少时,每天获得的利润w最大?解:(1)设购进荔枝k千克,荔枝售价定为y元/千克时,水果商才不会亏本,由题意,得y·k(1-5%)≥(5+0.7)k.∵k>0,∴95%y≥5.7,∴y≥6.∴水果商要把荔枝售价至少定为6元/千克才不会亏本.(2)由(1)可知,每千克荔枝的平均成本为6元,由题意得w=(x-6)m=(x-6)(-10x+120)=-10(x-9)2+90,∵a=-10<0,∴当x=9时,w有最大值.∴当销售单价定为9元时,每天可获利润w最大.第2课时用二次函数知识解决实际问题的基本思路:(1)理解问题;(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系;(3)用数学的方式表示它们之间的关系;(4)利用二次函数求解;(5)检验结果的合理性.一、教材作业【必做题】1.教材第49页随堂练习.2.教材第50页习题2.9第1,2题.【选做题】教材第50页习题2.9第3题.二、课后作业【基础巩固】1.学校商店销售一种练习本所获得的总利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式为y=-2(x-2)2+48,则下列叙述正确的是()A.当x=2时,利润有最大值48元B.当x=-2时,利润有最大值48元C.当x=2时,利润有最小值48元D.当x=-2时,利润有最小值48元2.一件工艺品进价为100元,按标价135元售出,每天可售出100件.若每降价1元出售,则每天可多售出4件.要使每天获得的利润最大,每件需降价()A.5元B.10元C.12元D.15元3.某民俗旅游村为接待游客住宿需要,开设了有100张床位的旅馆,当每张床位每天收费100元时,床位可全部租出.若每张床位每天收费提高20元,则相应地减少了10张床位租出.如果每张床位每天以20元为单位提高收费,为使租出的床位少且租金高,那么每张床位每天最合适的收费是元.4.(2015·营口中考)某服装店购进单价为15元的童装若干件,销售一段时间后发现:当销售价为25元时,平均每天能售出8件,而当销售价每降低2元,平均每天能多售出4件,当每件的定价为元时,该服装店平均每天的销售利润最大.【能力提升】5.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y (单位:万元)与销售量x (单位:辆)之间分别满足:y 1=-x 2+10x ,y 2=2x ,若该公司在甲、乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润为()A.30万元B.40万元C.45万元D.46万元6.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价0.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元,为了减少库存,该经营户要想每天盈利200元,应将每千克小型西瓜的售价降低()A.0.2元或0.3元B.0.4元C.0.3元D.0.2元7.某商场购进一种每件价格为100元的新商品,在商场试销发现:销售单价x(元)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系.(1)求出y与x之间的函数关系式;(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式.若你是商场负责人,会将售价定为多少,来保证每天获得的利润最大?最大利润是多少?8.(2015·汕尾中考)九年级数学兴趣小组经过市场调查,得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表:售价/(元/100110120130件)…月销量/200180160140件…已知该运动服的进价为每件60元,设售价为x元.(1)请用含x的式子表示:①销售该运动服每件的利润;②月销量.(2)设销售该运动服的月利润为y元,那么售价为多少时,当月的利润最大?最大利润是多少?【拓展探究】9.(2015·舟山中考)某企业接到一批粽子生产任务,按要求在15天内完成,约定这批粽子的出厂价为每只6元,为按时完成任务,该企业招收了新工人,设新工人李明第x天生产的粽子数量为y只,y与x 满足下列关系式:y=(1)李明第几天生产的粽子数量为420只?(2)设第x天粽子的成本是p元/只,p与x之间的关系可用如图所示的函数图象来刻画.若李明第x 天创造的利润为w元,求w与x之间的函数表达式,并求出第几天的利润最大,最大利润是多少元?(利润=出厂价-成本)(3)设(2)小题中第m天利润达到最大值,若要使第(m+1)天的利润比第m天的利润至少多48元,则第(m+1)天每只粽子至少应提价几元?【答案与解析】1.A(解析:在y=-2(x-2)2+48中,当x=2时,y有最大值,是48.)2.A(解析:设每件降价x元,利润为y元,每件的利润为(135-100-x)元,每天售出的件数为(100+4x)件,=3600.)由题意,得y=(135-100-x)(100+4x)=-4x2+40x+3500=-4(x-5)2+3600,∵a=-4<0,∴当x=5时,y最大3.160(解析:设每张床位提高x个20元,每天收入为y元.则有y=(100+20x)(100-10x)=-200x2+1000x+10000.当x=-==2.5时,可使y有最大值.又x为整数,则当x=2时,y=11200;当x=3时,y=11200.故为使租出的床位少且租金高,每张床收费100+3×20=160(元).)4.22(解析:设定价为x 元,根据题意得平均每天的销售利润y =(x -15)·[8+2(25-x )]=-2x 2+88x -870,∴y =-2x 2+88x -870=-2(x -22)2+98.∵a =-2<0,∴抛物线开口向下,∴当x =22时,y 最大值=98.故填22.)5.D (解析:设在甲地销售x 辆,则在乙地销售(15-x )辆,根据题意得出:W =y 1+y 2=-x 2+10x +2(15-x )=-x 2+8x +30=-(x -4)2+46,∴最大利润为46万元.)6.C (解析:设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元.根据题意,得(3-2-x )-24=200.解这个方程,得x 1=0.2,x 2=0.3.∵要减少库存,且200+>200+,∴应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元.)7.解:(1)设y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b (k ≠0),由所给函数图象可知解得故y 与x 的函数关系式为y =-x +180.(2)∵y =-x +180,∴W =(x -100)y =(x -100)(-x +180)=-x 2+280x -18000=-(x -140)2+1600.∵a =-1<0,∴当x =140时,W 最大=1600,∴售价定为140元/件时,每天获得的利润最大,最大利润为1600元.8.解:(1)①销售该运动服每件的利润是(x -60)元.②设月销量w 与x 的关系式为w =kx +b ,由题意得解得∴w =-2x +400.∴月销量为(-2x +400)件.(2)由题意得y =(x -60)(-2x +400)=-2x 2+520x -24000=-2(x -130)2+9800,∴售价为130元时,当月的利润最大,最大利润是9800元.9.解:(1)设李明第n 天生产的粽子数量为420只,由题意可知30n +120=420,解得n =10.答:第10天生产的粽子数量为420只.(2)由图象得当0≤x ≤9时,p =4.1;当9≤x ≤15时,设p =kx +b ,把点(9,4.1),(15,4.7)代入,得解得∴p =0.1x +3.2.①当0≤x ≤5时,w =(6-4.1)×54x =102.6x ,当x =5时,w 最大=513(元);②当5<x ≤9时,w =(6-4.1)×(30x +120)=57x +228,∵x 是整数,∴当x =9时,w 最大=741(元);③当9<x ≤15时,w =(6-0.1x -3.2)×(30x +120)=-3x 2+72x +336,∵a =-3<0,∴当x =-=12时,w 最大=768元.综上所述,第12天的利润最大,最大利润为768元.(3)由(2)可知m =12,m +1=13,设第13天每只粽子提价a元,由题意得w=[6+a-(0.1×13+3.2)](30×13+120)=510(a+1.5),∴510(a+1.5)-768≥48,解得a≥130.1.答:第13天每只粽子至少应提价0.1元.本节课设计了以生活场景引入问题,通过探索思考解决问题的教学思路.由于本节课较为抽象,学生直接解决比较困难,因此,在导入问题中,让学生初步接触“何时获得最大利润”这一问题,引导学生分析问题,初步掌握数学建模的方法,然后再放手给学生自主解决问题,并充分发挥小组的合作作用,以“兵教兵”的方式突破难点.在教学过程中,重点关注了学生能否将实际问题表示为函数模型,是否能运用二次函数知识解决实际问题并对结果进行合理解释,加强了学生在教师引导下的独立思考和积极讨论的训练,并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励,收到了非常好的教学效果.对学情估计不足.原本认为学生的计算能力不错,但实际在解题过程中却出现了很多问题.今后还要在计算方法和技巧方面对学生多加以指导,加强学生建立函数模型的意识.随堂练习(教材第49页)解:设销售单价为x元(30≤x<50),销售利润为y元,则y=(x-20)[400-20(x-30)]=-20x2+1400x-20000=-20(x-35)2+4500.当x=35时,y=4500.所以当销售单价为35元时,半月内可以获得的利润最大,最大最大利润为4500元.习题2.9(教材第50页)1.解:设旅行团的人数是x人,营业额为y元,则y=[800-10(x-30)]x=-10x2+1100x=-10(x-55)2+30250,当x=55时,y=30250.答:当旅行团的人数为55人时,旅行社可以获得最大的营业额,为30250元.最大值2.解:设销售单价为x(x≥10)元,每天所获销售利润为y元,则y=(x-8)[100-10(x-10)]=-10x2+280x-=360.答:将销售单价定为14元,才能使每天所获销售利润1600=-10(x-14)2+360,所以当x=14时,y最大值最大,最大利润为360元.3.解:y=x2-13x+42.25+x2-11.8x+34.81+x2-12x+36+x2-13.4x+44.89+x2-9x+20.25=5x2-59.2x+178.2=5(x2-11.84x+35.64)=5[(x-5.92)2+0.5936]=5(x-5.92)2+2.968,当x=5.92时,y的值最小,所以大麦穗长的最佳近似长度为5.92cm.利润问题之前已经有所接触,所以学生课前要熟练掌握进价、销售价、利润之间的关系.找出实际问题中的等量关系是前提,会把二次函数的一般式转化为顶点式是保障,而能熟练运用转化的数学思想方法把实际问题转化为数学问题是运用二次函数解决实际应用问题的关键,所以在解题的过程中要及时总结归纳出用二次函数知识解决实际问题的基本思路,并总结出销售利润问题的数学模型,提高解决此类问题的综合能力.某班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第x(1≤x≤90)天的售价与销量的相关信息如下表:时间x/天1≤x<5050≤x≤90售价/(元/x+4090件)每天销量/200-2x件已知该商品的进价为每件30元,设销售该商品的每天利润为y元.(1)求出y与x的函数关系式;(2)销售该商品第几天时,当天销售利润最大?最大利润是多少?(3)该商品在销售过程中,共有多少天每天销售利润不低于4800元?请直接写出结果.〔解析〕(1)根据(售价-进价)×数量=利润,可得答案.(2)根据分段函数的性质,可分别得出最大值,根据有理数的比较,可得答案.(3)根据二次函数值大于或等于4800,一次函数值大于或等于4800,可得不等式组,然后解不等式组,可得答案.解:(1)当1≤x<50时,y=(200-2x)(x+40-30)=-2x2+180x+2000.当50≤x≤90时,y=(200-2x)(90-30)=-120x+12000.综上所述,y=(2)当1≤x<50时,二次函数的图象开口向下,二次函数图象的对称轴为直线x=45,=-2×452+180×45+2000=6050.当x=45时,y最大当50≤x≤90时,y随x的增大而减小,=6000.当x=50时,y最大综上所述,销售该商品第45天时,当天销售利润最大,最大利润是6050元.(3)当20≤x≤60时,即共41天,每天销售利润不低于4800元.。

浙教版数学九年级上册1.4《二次函数的应用(2)》参考教案

1 / 31.4二次函数的应用（2）教学目标：1、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。

2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离等函数最值问题。

3、发展学生应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。

教学重点和难点：重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。

难点：例2、3将现实问题数学化，情景比较复杂。

教学过程：一、复习：1、利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：(1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。

(2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值。

2、上节课我们讨论了用二次函数的性质求面积的最值问题。

出示上节课的引例的动态图形（在周长为8米的矩形中）（多媒体动态显示）设问：（1）对角线（L ）与边长（x ）有什何关系？222)4(x x l -+= 4)l x =<<（2）对角线（L ）是否也有最值？如果有怎样求？L 与x 并不是二次函数关系，而被开方数却可看成是关于x 的二次函数，并且有最小值。

引导学生回忆算术平方根的性质：被开方数越大（小）则它的算2 /3 术平方根也越大（小）。

指出：当被开方数9622+-x x 取最小值时，对角线也为最小值。

二、例题讲解例题2：B 船位于A 船正东26km 处，现在A 、B 两船同时出发，A 船发每小时12km 的速度朝正北方向行驶，B 船发每小时5km 的速度向正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？多媒体动态演示，提出思考问题：（1）两船的距离随着什么的变化而变化？（2）经过t 小时后，两船的行程是多少？两船的距离如何用t 来表示？设经过t 小时后AB 两船分别到达A’，B’，两船之间距离为A’B’=AB'2+AA'2 =(26-5t)2+(12t)2 =169t 2-260t+676 。

《二次函数的应用》(第2课时)示范公开课教学设计【北师大版九年级数学下册】

第二章二次函数2.4二次函数的应用第2课时一、教学目标1．经历计算最大利润问题的探索过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学是应用价值．2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值，增强解决问题的能力．二、教学重点及难点重点：1．探索销售中的最大利润问题．2．能分析并表示实际问题中变量之间的二次函数关系，运用二次函数的相关知识解决实际问题中的最大（小）值，提高解决实际问题的能力．难点：运用二次函数的知识解决实际问题．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板。

四、相关资源《生产服装》动画，，.五、教学过程【情境导入】【情景演示】生成服装，描写工厂生产服装的场景。

服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元．根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件．请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？同学们，你们能解决这个问题吗？这就是我们今天要研究的内容——何时获得最大利润．师生活动：教师出示问题，引出本节课所学内容．设计意图：通过问题情境引出本节课要研究的内容，激发学生的学习兴趣．【探究新知】教师引导学生分析问题中的数量关系，设出未知数，将销售量、销售额、获得的利润用含未知数的式子表示出来，然后利用二次函数模型确定获得的最大利润．设厂家批发单价是x元时可以获利最多，获得的最大利润为y元．那么销售量可表示为1350005000.1x-⎛⎫+⨯⎪⎝⎭件．所以销售额为1350005000.1xx-⎛⎫+⨯⎪⎝⎭；所获利润135000500(10)0.1xy x-⎛⎫=+⨯-⎪⎝⎭．整理，得y=-5000(x-14)(x-10)=-5000(x2-24x+140)=-5000(x-12)2+20000．∵a=-5000＜0，∴二次函数有最大值．当x=12时，y最大值=20000．答：厂家批发单价是12元时可以获利最多．设计意图：培养学生把文字语言转化为数学符号的能力．议一议在本章开始“种多少棵橙子树”的问题中，我们得到表示增种橙子树的数量x （棵）与橙子总产量y（个）的二次函数表达式y=(600-5x)(100+x)=-5x2+100x+60000．（1）利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系．（2）增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上？师生活动：教师出示问题，学生画出函数的图象并回答问题．解：（1）列表：描点、连线，如下图所示，由图象知，当0≤x≤10时，橙子的总产量随橙子树的增种而增加；当x≥10时，橙子的总产量随橙子树的增种而减少．（2）由图象知，当增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵时，都可以使橙子的总产量在60400个以上．设计意图：进一步用图象刻画橙子的总产量与增种橙子树之间的关系，并利用图象解决问题.通过运用函数模型让学生体会数学的实际价值，通过建模学会用函数的观点认识问题，解决问题，体会数形结合思想，激发学生的探索精神，并提高学生解决问题的自信心．【典例精析】例某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满．经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间．不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？旅馆的客房师生活动：教师出示问题，学生小组讨论，师生共同完成解题过程．解：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会减少6x间．设客房日租金总收入为y元，则y=(160+10x)(120-6x)=-60(x-2)2+19440．∵x≥0，且120-6x＞0，∴0≤x＜20．当x=2时，y最大=19440．这时每间客房的日租金为160+10×2=180（元）．因此，每间客房的日租金提高到180元时，客房总收入最高，最高收入为19440元．设计意图：培养学生分析问题和解决问题的能力．【课堂练习】1．某民俗旅游村为接待游客住宿，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费10元时，床位每天可全部租出，若每张床位每天的收费每提高2元，则相应地每天就减少了10张床位的租出．如果每张床位每天以2元为单位提高收费，为使每天租出的床位少且总租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（）．A．14元B．15元C．16元D．18元2．某产品进货单价为90元，按每个100元售出时，每周能售出500个，如果这种商品的销售单价每上涨1元，其每周的销售量就减少10个，那么为了获得最大利润，其销售单价应定为（）．A．130元B．120元C．110元D．100元3．某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．销售单价为多少元时，半月内获得的利润最大？4．某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件．调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件．（1）请写出每月销售该商品的利润y(元)与单价上涨x(元)间的函数关系式；（2）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？5．某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：y= -10x+500．（1）设李明每月获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．参考答案1．C．2．B．3．销售单价为35元时，半月内可以获得最大利润4500元．4．解：（1）因为单价上涨x元后，每件商品的利润是(80+x-60)元，每月售出的件数为(300-10x)件，所以y与x之间的函数关系式为y=(x+20)(300-10x)=-10x2+100x+6 000．（2）将y=-10x2+100x+6 000配方，得y=-10(x-5)2+6250．因为a=-10＜0，所以y有最大值．因为300-10x≥0，且x≥0，所以0≤x≤30．所以当x=5时，y有最大值，最大值为6 250．所以当单价定为85元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为6 250元．5．解：（1）由题意，得w=(x-20)·y=(x-20)·(-10x+500)= -10x2+700x-10 000．当x=7003522(10)ba-=-=⨯-时，w有最大值，符合题意，所以当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．（2）由题意，得-10x2+700x-10 000=2 000．解这个方程，得x1=30，x2=40．答：李明想要每月获得2 000元的利润，销售单价应定为30元或40元．设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．六、课堂小结利用二次函数解决实际问题的一般步骤：（1）根据题意，列出二次函数表达式，注意实际问题中自变量x的取值范围；（2）将二次函数表达式配方为顶点式的形式；（3）根据二次函数的图象及其性质，在自变量的取值范围内求出函数的最值．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．七、板书设计2.4二次函数的应用（2）1．一般步骤。

九年数学下册第二章二次函数4二次函数的应用第2课时利用二次函数解决利润问题教案北师大版

第2课时利用二次函数解决利润问题【知识与技能】能为一些较简单的生活实际问题建立二次函数模型，并在此基础上，根据二次函数关系式和图象特点，确定二次函数的最大（小）值，从而解决实际问题.【过程与方法】经历探究二次函数最大（小）值问题的过程，体会函数的思想方法和数形结合的思想方法.【情感态度】积极参加数学活动，发展解决问题的能力，体会数学的应用价值.从而增强数学学习信心，体验成功的乐趣.【教学重点】探索销售中最大利润问题，从数学角度理解“何时获得最大利润”的意义.【教学难点】从实际问题中抽象出二次函数模型，以利用二次函数知识解决某些实际生活中的最大（小）值问题一、情景导入，初步认知问题：某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是20元.根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是35元时，销售量是600件，而单价每降低1元，就可以多销售200件.若设销售单价为x(20＜x＜35的整数)元，该商店所获利润为y元.请你帮助分析，销售单价是多少元时，可以获利最多？你能运用二次函数的知识解决这个问题吗？【教学说明】用生活中的事例，更贴近实际生活，帮助学生理解题意，激发学生的学习热情.二、思考探究，获取新知1.教师提问：（1）此题主要研究哪两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？（2）销售量可以表示为；销售额(销售总收入）可以表示为；所获利润与销售单价之间的关系式可以表示为 .（3）当销售单价是元时，可以获得最大利润，最大利润是元.2.在解决第（3）问中，先引导学生观察得出此函数为二次函数，再引导学生探索思考“何时获得最大利润”的数学意义.【教学说明】在本章前面的学习中，学生已初步了解求特殊二次函数最大(小)值的方法.鼓励学生大胆猜想、探索求此二次函数最大值的方法.【归纳结论】求二次函数最大（小）值的方法：（1）配方化为顶点式求最大（小）值；（2）直接带入顶点坐标公式求最大（小）值；（3）利用图象找顶点求最大（小）值.三、运用新知，深化理解1.见教材P48例2.2.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满.当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲.宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用.根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元.设每个房间的房价每天增加x元(为10的正整数倍). （1）设一天订住的房间数为y，直接写出 y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）设宾馆一天的利润为W元，求W与 x的函数关系式；（3）一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？分析：当每天的房价增加x 元时，就会有10x 个房间空闲.∴一天订住的房间数为（50-10x ），每间房可获利（180 + 2-20)，从而可列出函数关系式.答：一天订住34个房间时，宾馆的利润最大，最大利润是10880元.3.某商店将每件进价8元的某种商品按每件10元出售，一天可售出约100件，该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0. 1元，其销售量可增加约10件.将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？分析：先写出函数关系式，再求出函数的最大值解:设每件商品降价x 元（0＜x ＜2)，该商品每天的利润为y 元.商品每天的利润y 与x 的函数关系式是：y=（10-x-8）（100+100x ）即y=-100x 2+100x+200配方得21-100+2252y x =-（）因为x=1/2时，满足0≤x ≤2.所以当x=1/2时，函数取得最大值，最大值y=225.答：将这种商品的售价降低1/2元时，能使销售利润最大4.某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件.为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告. 根据经验，每年投入的广告费是x(十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且y 是x 的二次函数，它们的关系如下表：（1）求y 与x 的函数关系式;（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S(十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10?30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？【教学说明】通过练习，前后呼应，巩固已学知识，并让学生体会二次函数是解决实际问题的一类重要数学模型.四、师生互动，课堂小结求二次函数最大(小)值的方法：（1）配方化为顶点式求最大(小)值；（2）直接带入顶点坐标公式求最大(小)值；（3）利用图象找顶点求最大(小)值.1.布置作业：教材“习题2.9”中第1、2题.2.完成练习册中本课时的练习.在本课教学中，应关注学生能否将实际问题表示为函数模型；是否能运用二次函数知识解决实际问题并对结果进行合理解释;课堂中学生是否在教师引导下进行了独立思考和积极讨论.并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励.。

人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数第2课时《销售利润问题》教案

人教版九年级数学上册22.3实际问题与二次函数第2课时《销售利润问题》教案一. 教材分析本节课是人教版九年级数学上册第22.3节实际问题与二次函数的第2课时，主要内容是销售利润问题。

教材通过引入实际问题，让学生理解和掌握二次函数在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

本节课的内容与学生的生活实际紧密相连，有利于激发学生的学习兴趣和积极性。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。

但是，将二次函数应用于实际问题的解决上，可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生运用二次函数解决实际问题的能力。

三. 教学目标1.理解销售利润问题的背景和意义，掌握销售利润问题的解决方法。

2.能够将二次函数知识应用于解决实际问题，提高学生的数学应用能力。

3.培养学生的团队协作能力和问题解决能力，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.重点：掌握销售利润问题的解决方法，能够将二次函数应用于实际问题的解决。

2.难点：如何引导学生将二次函数与实际问题相结合，提高学生的问题解决能力。

五. 教学方法本节课采用问题驱动的教学方法，通过引入实际问题，引导学生运用二次函数知识进行解决。

同时，采用小组合作学习的方式，鼓励学生积极参与讨论，提高学生的团队协作能力和问题解决能力。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生进行思考和讨论。

2.准备教学课件，用于辅助教学。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的销售利润问题，如商品打折、促销活动等，引导学生关注销售利润问题，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）呈现一个具体的销售利润问题，如某商品原价为100元，售价为80元，求商品的利润。

引导学生运用二次函数知识进行解决。

3.操练（10分钟）学生分组讨论，每组选取一个销售利润问题进行解决。

教师巡回指导，解答学生的问题，引导学生运用二次函数知识进行解决。

北师大版数学九年级下册2.4《二次函数应用》教案2

北师大版数学九年级下册2.4《二次函数应用》教案2一. 教材分析北师大版数学九年级下册2.4《二次函数应用》是学生在学习了二次函数的图象与性质的基础上进行的一节应用性较强的课程。

本节课主要让学生学会如何运用二次函数解决实际问题，进一步巩固二次函数的知识。

教材通过生活中的实例，引导学生运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图象与性质有一定的了解。

但是，学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为二次函数问题。

因此，在本节课中，教师需要引导学生将实际问题与二次函数知识相结合，提高学生的数学应用能力。

三. 教学目标1.让学生掌握二次函数在实际问题中的应用方法。

2.培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。

3.提高学生的数学应用意识，培养学生的数学素养。

四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的应用方法。

2.难点：如何将实际问题转化为二次函数问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引导学生感受二次函数在实际问题中的应用。

2.问题驱动法：教师提出问题，引导学生思考，培养学生解决问题的能力。

3.合作学习法：学生分组讨论，共同解决问题，提高学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关的生活实例，用于引导学生思考。

2.准备多媒体教学设备，用于展示实例和讲解。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一个生活中的实例，如抛物线形篮球架的高度与投篮命中率的关系，引导学生思考如何运用二次函数知识解决实际问题。

2.呈现（10分钟）教师给出几个实际问题，如汽车油耗与行驶距离的关系，让学生尝试将实际问题转化为二次函数问题。

学生在小组内讨论，共同解决问题。

3.操练（15分钟）教师给出一些实际问题，让学生独立解决。

学生通过解决问题，进一步巩固二次函数在实际问题中的应用方法。

4.巩固（5分钟）教师针对学生解决问题的过程进行讲评，指出不足之处，并给出正确的解决方法。

2.4 二次函数的应用(2)——抛物线形问题教案 2021—2022学年北师大版数学九年级下册

2.4 二次函数的应用（2）——抛物线形问题教案一、教学目标1.理解抛物线形问题的概念及其应用背景；2.掌握通过二次函数求解抛物线形问题的方法；3.能够运用二次函数解决实际问题。

二、教学重点1.理解抛物线形问题的概念；2.掌握通过二次函数求解抛物线形问题的方法。

三、教学难点1.运用二次函数解决实际问题；2.分析问题中所给条件，建立数学模型。

四、教学过程1. 引入•引导学生思考下面的问题：–什么是二次函数？–二次函数有什么特点？•解答学生的问题，简要介绍二次函数。

2. 了解抛物线形问题•通过实际例子，引入抛物线形问题的概念。

•解释抛物线形问题与二次函数的关系。

3. 运用二次函数求解抛物线形问题•通过示例，详细讲解如何运用二次函数解决抛物线形问题。

•引导学生思考步骤，并进行示范。

4. 实践练习•给学生提供一些实际问题，并要求他们运用二次函数解决。

•分组讨论，学生之间相互交流思路。

•点名让各组发表他们的解题思路和答案。

5. 拓展延伸•引导学生思考更复杂的抛物线形问题，并让他们自己尝试解决。

•鼓励学生进行积极思考和探索，提高问题解决能力。

6. 小结•对本课所学内容进行总结和归纳。

7. 作业布置•布置作业：要求学生完成课本上的相关练习题，并要求写出详细解题思路。

五、教学反思通过本节课的教学，学生对抛物线形问题有了更深入的了解，并能够熟练运用二次函数解决相关问题。

课堂上进行了实践练习，有利于学生独立思考和解决问题的能力的培养。

在拓展延伸环节，带领学生探索更复杂的问题，提高了学生的解决问题的灵活性。

整体而言，本节课教学效果良好。

(完整版)二次函数的应用教案.docx

22．5二次函数的应用岑川中学龙小丹一、教学目标1、知与技能：通本学，巩固二次函数y=ax2+bx+c（ a≠ 0）的象与性，理解点与最的关系，会求解中的最。

2、程与方法：通察象，理解点的特殊性，会把中的最化二次函数的最，通手，提高分析解决的能力，并体会一般与特殊的关系，了解数形合思想、函数思想和数学模型思想。

3、情感度价：通学生之的、交流和探索，建立合作意，提高探索能力，激学的趣和欲望，体会数学在生活中广泛的用价。

二、重点、难点教学重点：利用二次函数y=ax2+bx+c （a≠ 0）的象与性，求最教学点： 1、正确构建数学模型2、函数象点、端点与最关系的理解与用三、教学方法与手段的选择由于本是用，重在通学解决的方法，因而本以“启探究式” 主开展教学活，解决以学生手探究主，必要加以小合作，充分学生学极性和主性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。

了提高堂效率，展示学生的学效果，适当地以多媒体技。

四、教学流程（一）复引入（1）由二次函数 y= -x 2 +20x 的解析式我能想到的象特征和性是⋯？（2）根据同学描述信息，画出函数的示意：（二）讲解新课1、在情境中发现问题[ 做一做 ]1）、你能够画一个周长为40cm 的矩形吗？2）、周长为 40cm 的矩形是唯一的吗？3）、谁画出的矩形的面积最大？4）、有没有一个矩形的面积是最大呢？最大面积为多少？2、在解决问题中找出方法[想一想 ]：某小区想用40m的栅栏围成一个矩形花园，问矩形的长和宽各取多少米，才能使花园的面积最大，最大面积为多少？3、在巩固与应用中提高技能变式一：如果矩形的一面靠墙，（墙的最大利用长度为18m），18m 那么此时用 40m 的栅栏可以围成矩形的面积（1）能够为 202m2吗？（2）能够为 200m2吗？（3）此时还会有最大面积吗？如果有，请说明最大面积为多少？画出示意图。

在（想一想）的基础上，我在此设计了一个条件墙长18 米来限制定义域，目的在于告诉学生一个道理，数学不能脱离生活实际，估计大部分学生在求解时还会在顶点处找最值，导致错解，此时教师再提醒学生通过画函数的图像辅助观察、理解最值的实际意义，体会顶点与端点的不同作用，加深对知识的理解，做到数与形的完美结合，通过此题的有意训练，学生必然会对定义域的意义有更加深刻的理解，这样既培养了学生思维的严密性，又为今后能灵活地运用知识解决问题奠定了坚实的基础。

二次函数的应用教学设计

21.5二次函数的应用教学设计（第二课时）安徽省亳州市利辛县第二中学张秀强教学目标：知识与技能：让学生学会解函数应用题的步骤，进而建构二次函数的应用题的类型。

过程与方法：采用实例的方法讲解解函数应用题的步骤，使学生做题有程序感。

情感态度与价值观：培养学生的解题模型感，以及数学的实际运用感即掌握数学建模的思想，体会到数学来源于生活，又服务于生活。

教学重难点：重点：根据情景建立二次函数关系式，利用二次函数有关性质求解实际问题.难点：根据情景建立二次函数教法：讲授法、列举法、归纳法学法：练习法、自主探究、合作交流教学手段：多媒体教学课时：2课时教学过程：一、复习提问1、二次函数的最值一般受什么影响？开口方向以及自变量的范围。

2、二次函数的最值有哪些求法？各种方法通过怎样的变形转化而来的？配方法，公式法，找图象的最高点和最低点等a b ac a b x a y 44)2(22-++=，对称轴：直线a b x 2-=，顶点坐标)44,2(2ab ac a b -- 二、创设情景，引入新课在生活中经常遇到用二次函数来解决的实际问题，如：求怎样操作使面积最大，怎样最省钱，怎样安排人数生产的产品最多等等例1、某水产养殖户用长40米的围网，在水库中为一块矩形的水面，投放鱼苗，要使围成的水面面积最大，它的长应该是多少米？它的最大面积是多少？解：设围成的水面面积为y 米2，围成的矩形水面的长为x 米宽则为（20-x ）米，依题意可得到：100)10(20)200()20(22+--=+-=<<-=x x x x x x y此二次函数是一条开口向下的抛物线，顶点坐标是（10,100），当x=10时，y 最大值=100答：要使围成的水面面积最大，它的长应该是10米，它的最大面积是100米2.探究一：如何解函数应用题。

步骤：1.找出自变量和因变量，若未给出应出自变量或者因变量。

2.采用待定系数法或者列出等量关系式。

《二次函数的应用2》教学设计

《二次函数的应用2》教学设计
一、教学内容及内容解析
分析实际变量中的二次函数的关系，运用二次函数求出最大（小）值问题.二、教学目标
1．知识与技能：经历探索销售中最大利润等问题的过程，体会用二次函数解决最优化问题的过程，并感受数学的应用价值．
2．过程与方法：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力．
3.情感、态度与价值观：经历销售中最大利润问题的探究过程，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力，培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神．三、教学问题诊断分析
根据教学目标确定重难点如下：
重点：探索销售中最大利润问题，能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，发展解决问题的能力．
难点：能正确理解题意，找准数量关系，运用二次函数的知识解决实际问题．四、教学过程设计（脚本）。

北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用》教案

北师大版九年级数学下册：2.4《二次函数的应用》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第2.4节《二次函数的应用》主要介绍了二次函数在实际生活中的应用，包括二次函数图像的识别和利用二次函数解决实际问题。

这部分内容是学生在学习了二次函数的性质和图像后，对二次函数知识的进一步拓展，使学生能够将所学知识应用到实际生活中，提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识和图像，对二次函数有一定的理解。

但学生在解决实际问题时，可能会对将理论知识和实际问题相结合感到困难。

因此，在教学过程中，教师需要引导学生将所学知识与实际问题相结合，提高学生的应用能力。

三. 教学目标1.理解二次函数在实际生活中的应用；2.学会利用二次函数解决实际问题；3.提高学生的数学应用能力。

四. 教学重难点1.二次函数在实际生活中的应用；2.利用二次函数解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。

通过设置问题，引导学生思考；通过案例分析，使学生理解二次函数在实际生活中的应用；通过小组合作，让学生在讨论中解决问题，提高学生的合作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的案例和问题；2.准备多媒体教学设备。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出二次函数的应用，例如：一个农场计划种植两种作物，种植面积为固定的10亩。

如果种植苹果树，每亩收益为2000元；如果种植梨树，每亩收益为3000元。

请问如何分配种植苹果树和梨树的面积，才能使总收益最大？2.呈现（10分钟）呈现教材中的案例，让学生了解二次函数在实际生活中的应用。

例如，教材中有一个关于抛物线形跳板的问题，通过二次函数来求解跳板的长度。

3.操练（10分钟）让学生根据教材中的案例，尝试解决实际问题。

例如，教材中有一个关于二次函数图像的问题，让学生根据图像信息，求解相关参数。

4.巩固（10分钟）通过小组合作，让学生解决一些实际问题。

《二次函数的应用》教案

《二次函数的应用》教案教学目标一、知识与技能1．巩固并熟练掌握二次函数的性质．2．能够运用二次函数的性质解决实际问题．3．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值．增强解决问题的能力．二、能力目标建立二次函数模型，进一步体会如何应用二次函数的有关知识解决一些生活实际问题，进而提高理解实际问题、从数学角度抽象分析实际问题和运用数学知识解决实际问题的能力．三、情感态度与价值观1．从实际生活中认识到：数学来源于生活，数学服务于生活．2．培养学生的独立思考的能力和合作学习的精神，在动手、交流过程中培养学生的交际能力和语言表达能力，促进学生综合素质的养成．3．经历求最大面积的探索过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值．教学重点能利用实际问题列出二次函数的解析式，并能利用二次函数的性质求出最大值和最小值．教学难点能利用几何图形的有关知识求二次函数的解析式．教学过程一、相关知识回顾1．函数223y x x =+-的最值是，是最（填“大”或者“小”）值．2．说说你是如何做的？3．将函数2245y x x =+-化成顶点式，并指出顶点坐标，对称轴．二、新课引入1．合作讨论，解决问题：如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角的边上．（1）如果设矩形的一边AB =x m ，那么AD 边的长度如何表示？（2）设矩形的面积为y m 2，当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？解：（1）设AD 的长度为a m ，则：BC =a mBC ∥AD （已知） ∴403040a x -= ∴3304a x =- 即3304AD x =-（2）∵223(30)433043(20)300(040)4y x ax x x x x x =⋅=⋅-=-+=--+<< 当20300x y ==最大时，2．变式训练，灵活运用议一议：如果把上题中的矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？小组成员之间相互讨论．解：由勾股定理可得，这个三角形的斜边长为50m易求得斜边上的高为24m ．设矩形的一边 m AD x =，另一边AB =a m ，则有242450a x -= 解得：122425a x =-所以2212242512(25)300(050)25y x ax x x x =⋅=-=--+<< 因此，当25=x 时，300=最大y3．归纳总结解决问题的路和方法整理（1）数据（常量、变量）提取；（2）自变量、因变量识别；（3）构建函数解析式，并求出自变量的取值范围；（4）利用函数（或图像）的性质求最大（或最小）值．4．迁移运用，培养能力例1、某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m .当x 等于多少时，窗户通过的光线最多？（结果精确到0.01m ），此时，窗户的面积是多少？解： 74π 15x y x ++= ∴4715x x y π--= 015x <<且1570154x x π--<< ∴0 1.48x <<设窗户的面积是S m 2.则：22+ππx 22221π221157ππ22471522715225()21456S x xy x x x x x x x =+--=+⋅=-+=--+ ∴当15 1.0714x =≈时，225 4.0256S =≈最大因此，当x 约为1.07 m 时，窗户通过的光线最多，此时窗户的面积约为4.02m 2.例2、某网络玩具店引进一批进价为20元/件的玩具，如果以单价30元销售，那么一个月内可售出180件.根据销售经验，提高单价会导致销售量的下降，即销售单价每上涨1元，月销售量会减少10件.当销售单价为多少时，该店能在一个月内获最大利润？5．归纳总结，探索规律．（1）对问题情景中的数量（提取常量、变量）关系进行梳理；（2）建立函数模型（求出解析式及相应自变量的取值范围等）（3）建立函数模型（求出解析式及相应自变量的取值范围等），解决问题用字母（参数）来表示不同数量（如不同长度的线段）间的大小联系；6．变式与拓展，灵活掌握练习1、如图，隧道横截面的下部是矩形，上部是半圆，周长为16米．（1）求截面积S （米2）关于底部宽x （米）的函数解析式，及自变量x 的取值范围？（2）试问：当底部宽x 为几米时，隧道的截面积S 最大（结果精确到0.01米）？练习题2、已知，直角三角形的两直角边的和为2，求斜边长可能达到的最小值，以及当斜边长达到最小值时两条直角边的长．1．解：∵隧道的底部宽为x ，周长为16，则隧道下部矩形的高为π284x +-故当48.4432≈+=πx 米时，S 有最大值答：当隧道的底部宽度为4.48米时，隧道的面积最大2．解：设其中的一条直角边长为x ，则另一条直角边长为（2－x ），又设斜边长为y ，则：所以：当x =11练习3、如课本图，抛物线形悬索桥，已知悬索桥两端主塔高150m ，主塔之间的距离为900m ，是建立适当的直角坐标系，求出该抛物线形桥所对应的二次函数表达式.练习4、小妍想将一根72cm 长的彩带剪成两段，分别为成两个正方形，则她要怎么剪才能让这两个正方形的面积和最小？此时的面积和是多少？归纳小结：1．本节课我们主要学习了哪些知识？利用几何图形的性质，列出二次函数的解析式，并求最大（小）值y =。

6.4二次函数应用(2)教案

课题: §6.3二次函数的应用（2）教学目标：1.能根据揭示实际问题中数量变化关系的图象特征，用相关的二次函数知识解决实际问题；2.会用二次函数的相关知识解决现实生活中一些有关抛物线的问题教学重点：运用二次函数的相关知识解决现实生活中一些有关抛物线的问题教学难点：揭示实际问题中数量变化关系的图象特征教学程序设计：一、情境创设打高尔夫球时，球的飞行路线可以看成是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，某次球的飞行高度y （单位：米）与飞行距离x （单位：百米）满足二次函数：y ＝－5x 2＋20x.（1）这个球飞行的水平距离最远是多少米？（2）这个球飞行的最大高度是多少米？师生活动设计：师：出示问题，让学生思考后尝试解答生：思考并尝试解答情境中的两个问题设计意图：该情境属于简单、常见的问题，根据已有的知识立刻可以知道该如何去做，从而为本节课做一个很好的铺垫，也符合学生的认知规律二、探索活动（4）如何求出抛物线的顶点坐标？师生活动设计：生1：求这个球飞行时最远的水平距离就是求落地点与原点的距离，因此只要求出飞行路线与x 轴的两个交点坐标.生2：只要令y=0，求出相应x 的值，就可求出飞行路线与x 轴的两个交点坐标. 生3：只要求出抛物线的顶点坐标.生4：把解析式配成顶点式或利用顶点公式.师：根据学生的回答依次板演解答过程.设计意图：通过活动的引导，让学生理解解决二次函数图象问题时，数形结合是重要的方活动：（1）如何求这个球飞行时最远的水平距离？（2）如何求出飞行路线与x 轴的两个交点坐标呢？（3）如何求这个球飞行的最大高度？法，而在解决问题的过程中，求抛物线上某点的坐标是关键三、例题教学例2：如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米．师生活动设计师：出示例1生：先思考尝试解答. 师：请学生回答并说出解答过程，教师根据学生的回答板书师：出示例2生：独立思考后小组交流.师：请同学谈谈自己的做法，然后师生共同总结.设计意图：例1与例2是两个基本的二次函数的图象问题.例1相对简单，关键是确定二次函数的解析式，并求出二次函数的图象上某点的坐标去解决；而例2有所深化，要综合分析题意后思考解决.例1：某喷灌设备的喷头B 高出地面1.2m ，如果喷出的抛物线形水流的水平距离x(m)与高度y(m)之间的关系为二次函数y=a （x-4）2+2.求水流落地点D 与喷头底部A 的距离（精确到0.1m ）BD O （A ）答案：∵水流抛物线对应的二次函数为y=a （x-4）2+2，且该抛物线经过点B （0，1.2）∴把x ＝0、y ＝1.2代入y=a （x-4）2+2，得1.2=a （0-4）2+2，解得a ＝－0.05∴y=－0.05（x-4）2+2，把y ＝0代入y=－0.05（x-4）2+2，得－0.05（x-4）2+2＝0，解得x 1≈－2.3（舍去），x 2≈10.3答：水流落地点D 与喷头底部A 的距离约为10.3m.四、课堂小结本节课学到了什么？本节课主要探索由“形（函数图象）”到“数（函数关系式）”的实际问题，如喷泉、喷灌等喷出的抛物线形水流及体育运动中一些呈抛物线状的运动轨迹等.确定这些“隐性”函数图象对应的函数关系式，并进行有效调控，可以使有关实际问题获得理想的解决.师生活动设计：生：总结本节课的内容，并发言，其它学生补充。

二次函数教案第2课时

用函数观点看一元二次方程（2）课时：1课时编者：陈和柏一、学习目标：1．知道二次函数与二次不等式的关系．2．会用二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的公共点情况解二次不等式．学习重点：能根据图象判断一些特殊方程或不等式是否成立。

学习难点：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与一元二次方程以及二次不等式的关系。

二、学前准备预习引导：⑴a 的符号由决定：①开口向 ⇔ a 0；②开口向 ⇔ a 0.⑵b 的符号由决定：① 在y 轴的左侧 ⇔b a 、；② 在y 轴的右侧 ⇔b a 、；③ 是y 轴 ⇔b 0.⑶c 的符号由决定：①点（0，c ）在y 轴正半轴 ⇔c 0；②点（0，c ）在原点 ⇔c 0；③点（0，c ）在y 轴负半轴 ⇔c 0.⑷ac b 42-的符号由决定：①抛物线与x 轴有交点⇔ ac b 42- 0 ⇔方程有实数根； ②抛物线与x 轴有交点⇔ac b 42- 0 ⇔方程有实数根；③抛物线与x 轴有交点⇔ac b 42- 0 ⇔方程实数根； ④特别的，当抛物线与x 轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的点.（5）三、课堂探究师生探究，合作交流1、根据图象填空：（1）a_____0；（2）b_____0；（3）c______0；（4）△＝b 2－4ac_____0；（5）a ＋b ＋c_____0；（6）a －b ＋c_____0；（7）2a ＋b_____0；（8）方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为__________；（9）当y ＞0时，x 的范围为___________；（10）当y ＜0时，x 的范围为___________；2、已知关于x 的不等式ax 2-2ax +2a +3＜0的解集为空集，求a 的取值范围。

独立思考，解决问题1.根据图象填空：（1）a _____0；（2）b 0；（3）c 0;（4）ac b 42- 0 ;(5)2a b +______0；（6）0a b c ++⎽⎽⎽⎽；（7）0a b c -+⎽⎽⎽⎽；2、不等式x 2-x +1＞0的解集是 .3、对于任意实数x ，一元二次不等式(2m -1)x 2+(m +1)x +(m -4)＞0恒成立，求实数m 的取值范围.五、限时检测：1、利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式（1）方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为___________；（2）方程ax 2＋bx ＋c ＝－3的根为__________；（3）方程ax 2＋bx ＋c ＝－4的根为__________；（4）不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为________；（5）不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为________；（6）不等式－4＜ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为________．2、不等式x 2+x ＜-1的解集是 . 3、不等式0＜x 2+x -2≤4的解集是_______________ .4、已知函数y ＝ax 2+bx +c ，如果a ＞b ＞c ，且a +b +c ＝0，则它的图象可能是5、若关于x 的不等式ax 2+bx +c ＜0(a ≠0)的解集是空集，则A.a ＜0且b 2-4ac ＞0B.a ＜0且b 2-4ac ≤0C.a ＞0且b 2-4ac ≤0D.a ＞0且b 2-4ac ＞06、已知函数y ＝(m -1)x 2-mx -m 的图象如图，则m 的取值范围是A.m ＜54B.0＜m ＜54C.m ＜1D.0＜m ＜17、a 为何值时，不等式(a 2－3a +2)x 2+(a －1)x +2＞0的解为一切实数？8、方程(m +3)x 2-4mx +2m -1=0的两个根异号，且负根的绝对值比正根的绝对值大，求m 的范围。