二次函数的应用第二课时教案

2.4二次函数的应用(2)

教学目标：1、继续经历利用二次函数解决实际最值问题的过程。

2、会综合运用二次函数和其他数学知识解决如有关距离、利润等的函数最值问题。

3、发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。

教学重点和难点：

重点：利用二次函数的知识对现实问题进行数学地分析，即用数学的方式表示问题以及用数学的方法解决问题。

难点：例3将现实问题数学化，情景比较复杂。

教学过程：

一、复习：

1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和性质？并指出顶点、对称轴、与坐标轴的交点、与x轴两交点间的距离？

2.各类二次函数顶点位置与a、b、c的关系？

(顶点在x轴上、y轴上、原点、经过原点)

3.求二次函数y＝－2x2＋10x＋1的最大(或最小)值？

思考：如何求下列函数的最值：

(1) y＝－2x2＋10x＋1(3≤x≤4)

(2)y=2x2＋4x＋5

(3)y＝

1 100－5x2

(4) y=x2＋1 x2

2利用二次函数的性质解决许多生活和生产实际中的最大和最小值的问题，它的一般方法是：

(1)列出二次函数的解析式，列解析式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围。

(2)在自变量取值范围内，运用公式或配方法求出二次函数的最大值和最小值。

二、例题讲解

例题2：B船位于A船正东26km处，现在A、B两船同时出发，A船发每小时12km的速度朝正北方向行驶，B船发每小时5km的速度向正西方向行驶，何时两船相距最近？最近距离是多少？

分析：设经过t时后AB两船分别到达A’，B’，两船之间距离为A’B’=AB'2+AA'2=(26-5t)2+(12t)2 =169t2-260t+676 。因此只要求出被开方式169t2-260t+676的最小值，就可以求出两船之间的距离s的最小值。

解:设经过t时后，A，B AB两船分别到达A’，B’，两船之间距离为

S=A’B’=AB'2+AA'2=(26-5t)2+(12t)2

=169t2-260t+676 = 169（t-10

13）

2+576 （t>0）

当t=10

13时，被开方式169（t-10

13）

2+576有最小值576。

所以当t=10

13时，S最小值=576 =24（km）

答：经过10

13时，两船之间的距离最近，最近距离为24km

例3某饮料经营部每天的固定成本为200元,某销售的饮料每瓶进价为5元。

(1)若记销售单价比每瓶进价多x 元时，日均毛利润(毛利润＝售价－进价－固定成本)为y 元，求y 关于x 的函数解析式和自变量的取值范围；

(2)若要使日均毛利润达到最大，销售单价应定为多少元(精确到0.1元)？最大日均毛利润为多少？ 练习：P47课内练习

补充练习：

1.(06福建泉州)27（13分）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米.现以O 点为原点，OM 所在直线为X 轴建立直角坐标系（如图所示）.

（1）直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标；

（2）求出这条抛物线的函数解析式；

（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和．．．．

的最大值是多少？请你帮施工队计算一下.

27. （本小题13分）

解:⑴()()12,0,6,6M P --------- (2分)

⑵（法1）设这条抛物线的函数解析式 为:()266y a x =-+ ----------- (4分)

∵抛物线过O (0,0)

∴06)60(2=+-a

解得16a =-

----------- (6分) ∴这条抛物线的函数解析式为:()21666y x =-

-+ 即2126

y x x =-+. ---------------------- (7分) （法2）设这条抛物线的函数解析式 为:c bx ax y ++=2 -------------------- (3分)

∵抛物线过O (0,0),()()12,0,6,6M P 三点，

∴⎪⎩⎪⎨⎧=+⋅+⋅=+⋅+⋅=01212666022c b a c b a c 解得：⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧==-=0261c b a ---------------- (6分)

∴这条抛物线的函数解析式为:2126

y x x =-+. ---------------------- (7分) ⑶设点A 的坐标为21,26m m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭

----------------------- (8分) ∴OB=m ，AB=DC=m m 26

12+- 根据抛物线的轴对称,可得:OB CM m ==

∴122BC m =- 即AD=12－2m -------------------------------------------- (10分)

∴l ＝AB+AD+DC=m m

m m m 26

121226122+--++- =122312++-m m =15)3(3

12+--m ----------------------------------- (12分) ∴当m=3，即OB=3米时，

三根木杆长度之和l 的最大值为15米. -------------------------------------- (13分)

2.(06河北)24．（本小题满分12分）

利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加

7.?5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x （元），该经销店的月利润为y （元）．

（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；

（2）求出y 与x 的函数关系式（不要求写出x 的取值范围）；

（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？

（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．

24．解：（1）5.710

24026045⨯-+=60（吨）．……………………………………………（3分） （2）260(100)(457.5)10

x y x -=-+⨯，…………………………………………（6分） 化简得： 23

315240004

y x x =-+-．……………………………………（7分） ??（3）240003154

32-+-=x x y 23(210)90754x =--+． 利达经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元． ……（9分）

（4）我认为，小静说的不对． ………………………………………………（10分）

理由：方法一：当月利润最大时，x 为210元， 而对于月销售额)5.71026045(⨯-+=x x W 23(160)192004

x =--+来说， 当x 为160元时，月销售额W 最大．

∴当x 为210元时，月销售额W 不是最大．

∴小静说的不对． …………………………………………………（12分）

方法二：当月利润最大时，x 为210元，此时，月销售额为17325元；

而当x 为200元时，月销售额为18000元．∵17325＜18000，

∴当月利润最大时，月销售额W 不是最大．

∴小静说的不对．…………………………………………………（12分）

（说明：如果举出其它反例，说理正确，也相应给分）

3.心理学家研究发现：一般情况下，学生的注意力随着教师讲课时间的变化而变化，讲课开始时，学生的注意力y 随时间t 的变化规律有如下关系式：

（1）讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较，何时学生的注意力更集中？

（2）讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？

（3）一道数学难题，需要讲解24分钟，为了效果较好，要求学生的注意力最低达到180，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？