第十二章 动能定理 2PPT课件

W 12 m(zg C 1zC 2)
弹性力的功
W1212k(12 22)
6
5 作用于刚体上的力的功
① 刚体作平移时
W F idri FidrC
FR drC
② 刚体作定轴转动时
WFτdsFτ Rd
Mz d
③ 刚体作平面运动时
W F R dr C M C d
7
6 内力的功
z
质点系中的质点如图所示。
质点动能定理的积分形式
19
2 质点系的动能定理
对每一个质点
d(1
2
mivi2)
Wi
求和:
d(1 2
mivi2)
Wi
交换求和与求微分的次序，有:
d(1 2
mivi2)
Wi
可写为:
dT
质点系动能定
Wi 理的微分形式
积分得到:
T2T1
W质点系动能定理 i 的积分形式20
例1 已知：鼓轮作纯滚动，m,
r )s R
(1)
vC
2FT(cosr R)s m(1C 2 R2)
② 支承面运动时 无相对滑动时（静摩擦力）
W0
有相对滑动时（动摩擦力）
F F’
WFdsr
结论: 一对静摩擦力的功为零;
一对动摩擦力作负12 功。
③ 作用在纯滚轮上的摩擦力的功 接触点为瞬心，滑动摩擦力 作用点没动，此时滑动摩擦 力也不做功。
W F drp 0
如果不是纯滚动，有相对滑 动，则摩擦力作负功。
第十二章 动能定理
动量定理 动量矩定理
动能定理
动量原理
可以研究机械运动以 机械运动的形式 传递的情况。
原理
除了可以研究机械运动 以机械运动的形式 传递的情况外，还可以 研究机械运动与其它形 式的运动之间进行转换 的情况。
1
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R
A
FT
d
Cds vc
mg
W12 FTcos s FTr
F
将 用 s 表示:
FN
s
因为: sR s R
得:
W12
FT(cos
r )s R
23
动能 力的功
T1 0,
T2
1m(1
2
RC22 )vC2
W12
FT(cos
r )s R
由动能定理
T2T1W12
有:
1 m(1
2
C2
R2
)vC2
0 FT (c os
单位: Nm J
2 变力在曲线运动中的功
元功 WFdr
4
2 变力在曲线运动中的功
元功 WFdr
还可写为:
WFcosds
弧坐标形式
k ij
又: FFxiFyjFzk,
d r dxi dyj dzk
所以:
W F xdxF ydyF zdz
直角坐标形式
变力在一段路程上的功
W M2 Fdr M1
5
4 两种常见力的功 重力的功
一对内力满足: FAFB
W FA drAFBdrB
A FA
rA
FB drAB
B
rB
y
FBdrAFBdrB O F Bd(rBrA)FBdx rAB
即: WFBdrA B
所以，当质点系内质点间的距离可变化时，内力的元 功之和不为零。 对刚体，内力的元功之和恒为零。8
7 约束力的功 ① 光滑固定面约束
W F1 dr1 F2dr2
F1dr1cos1
F2dr2co2 s
因为: F1 F2
且绳不可伸长，有: dr1cos1dr2cos2
所以:
W 0
理想约束
约束反力作功为零或作功之和为零的约束。
11
8 摩擦力的功 ① 支承面固定时
ds F
无相对滑动时(静摩擦力) W0 FN
有相对滑动时(动摩擦力) WFds
所以: 即:
T1
2
J
C
2
1 2
m rC2 2
T1
2
mv
2 C
1 2
J C 2
v
2 c
16
4 柯尼希定理
质点系的动能可表示为:
T
1 2
mvC2
Tr
即：质点系的动能等于质点系随质心平动的动
能与相对于质心运动的动能之和。
注意：柯尼希定理只在以质心为基点时成立，对 其它的基点不成立。
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§12 - 3 动能定理
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本章内容 1 力的功 2 质点和质点系的动能 3 动能定理 4 功率、功率方程、机械效率 5 势力场、势能、机械能守恒定律 6 普遍定理的综合应用举例
3
§12 -1 力的功
力的功 是力在一段路程上对物体作用的累积效 应的度量。
1 常力在直线运动中的功
WFcossFs
力的功是标量, 是过程量。
∵ FNdr
∴ WFNdr 0
② 光滑铰链支座约束、轴承
dr
∵ FNdr ∴ WFNdr 0 9
③ 连接刚体的光滑铰链(中间铰)
W FN dr FN dr
FN dr FNdr
0
即：约束反力作功之和为零。
④ 无重刚性杆约束（二力杆） 与内力的功类似，一对约束 反力作功之和为零。
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⑤ 不可伸长的柔索
1 质点的动能定理
由牛顿第二定律 m d v F dt
两边点乘 dr m d v d r Fdr 因为drvdt
dt
所以
m d v v dt W
dt
即
mvdv W
所以
d( 1 mv 2 ) W
2
18
所以
d( 1 mv 2 ) W
2
将上式积分，得到
质点动能定理的微分形式
1m
2
2v2 12m1v2 W12
R, r, c , FT=常数, =常数,
初始静止。 求：轮心的位移为s时，轮 心C的速度和加速度。
解： 取轮为研究对象， 受力如图。
A FT
r C vc
R mg
F
FN
s
计算动能 设速度、角速度如图。
T1 0,
T2
1
2
mv
2 C
1 2
J C 2
21
计算动能
T1 0,
T2
1 2
mv
2 C
1 2
J C 2
13
§12 - 2 质点和质点系的动能
1 质点的动能
T 1 mv 2
2
动能是恒正的标量， 是瞬时量。
单位: kgm2 /s2kgm/s2mNm J
2 质点系的动能 3 刚体的动能
T
1 2
mivi2
刚体的动能应根据刚体的运动情况来计算。
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(1) 平动刚体的动能
T
1
m
i
v
2 i
2
1
(
m
i
)
v
将 用 vC 表示, 有:来自AFTr C vc
T2
1 2
mv
2 C
1 2
mC2 (vRc
)2
R
F
mg
1 2
m(1
C2
R2
)vC2
FN
s
计算力的功 只有FT力作功
W FT drC MC(FT)d
22
计算力的功 只有FT力作功
W FT drC MC(FT)d
FTcosdsFTrd r
积分可得全功:
2 C
2
(2) 定轴转动刚体的动能
T
1 2
mivi2
1 2
mi ri2 2
1 2
(miri2 )2
Jz
所以，刚体定轴转动的动能为:
T
1 2
J z 2
1
m
v
2 C
2
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(3) 平面运动刚体的动能
设刚体作平面运动，如图。
由定轴转动刚体动能的公式
C
T
1 2
J p 2
rc p
由平行轴定理，有:
Jp JCmrC2