马尔科夫链例题整理课件
5马尔可夫链(精品PPT)
pij P( X n 1 j X n i ) P( f i, Yn 1 j ) P( f i, Y1 j )
二、切普曼-柯尔莫哥洛夫方程
1，随机矩阵 定义：称矩阵A=(aij)S×S为随机矩阵，若aij ≥0，且
i S , 有 aij 1
例5 Polya（波利亚）模型
罐中有b只黑球及r只红球，每次随机地取出一只后 把原球放回，并加入与抽出球同色的球c只，再第二次 随机地取球重复上面步骤进行下去，{Xn=i}表示第n回 摸球放回操作完成后，罐中有i只黑球这一事件，所以
i b r nc , i P X n 1 j X n i 1 , b r nc 0,
x
j i 1
( j i 1)!
dG x ,
j i 1, i 1 其它
Pij 0,
例3 G / M /1排队系统 来到时间间隔分布为G，服务时间分布为指数分布，参 数为 ，且与顾客到达过程独立。 Xn-----第n个顾客来到时见到系统中的顾客数（包括 该顾客），则{Xn，n≥1}是马尔可夫链。记
jS
显然马尔可夫链{Xn,n≥0}的一步转移概率矩阵P为 随机矩阵。 2，n步转移概率 定义：设{Xn,n≥0}是一马尔可夫链，称
n pij P X n m j X m i ,
n 0, i, j 0
为马尔可夫链{Xn,n≥0}的n步转移概率。记
i (n) P X n i ,
j ic j i else
这是一个非齐次的马尔可夫链，在传染病研究中有用。
下面的定理提供了一个非常有用的获得马尔可夫链的方 法，并可用于检验一随机过程是否为马尔可夫链。
马尔科夫链例题整理通用课件
马尔科夫链的理论。
在其他领域的应用
要点一
总结词
除了大数据和人工智能领域，马尔科夫链在其他领域也有 广泛的应用前景。
要点二
详细描述
例如在物理学中的统计力学、生物学中的基因序列分析、 经济学中的市场预测和交通规划等领域，马尔科夫链都可 以发挥重要作用。随着科学技术的发展，马尔科夫链的应 用前景将更加广阔。
05
马尔科夫链的优化与改进
状态转移概率优化
状态转移概率矩阵调整
01
根据实际数据和业务需求，对状态转移概率矩阵进行优化，以
提高模型预测的准确性和稳定性。
状态转移概率学习
02
通过训练数据学习状态转移概率，利用监督学习或强化学习等
方法对状态转移概率进用平滑技术处理状态转移概率，以减少模型预测的误差和不
用户行为分析
总结词
利用马尔科夫链分析用户在互联网上 的行为模式和习惯。
详细描述
通过分析用户在互联网上的行为数据 ，利用马尔科夫链可以发现用户的行 为模式和习惯，从而更好地理解用户 需求，优化产品设计和服务。
自然语言处理
总结词
利用马尔科夫链进行文本生成、语言模型等自然语言处理任 务。
详细描述
马尔科夫链在自然语言处理领域有着广泛的应用，如文本生 成、语言模型等。通过建立状态转移概率矩阵，可以模拟文 本生成的过程，从而生成符合语法和语义规则的自然语言文 本。
详细描述
马尔科夫链可以用于对大量数据进行建模， 通过分析数据之间的转移概率，预测未来的 趋势和模式。在大数据领域，马尔科夫链可 以应用于推荐系统、股票市场预测、自然语 言处理等领域。
理学随机过程马尔可夫链82页PPT
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利Βιβλιοθήκη 喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
理学随机过程马尔可夫链
6、法律的基础有两个，而且只有两个……公平和实用。——伯克 7、有两种和平的暴力，那就是法律和礼节。——歌德
8、法律就是秩序，有好的法律才有好的秩序。——亚里士多德 9、上帝把法律和公平凑合在一起，可是人类却把它拆开。——查·科尔顿 10、一切法律都是无用的，因为好人用不着它们，而坏人又不会因为它们而变得规矩起来。——德谟耶克斯
谢谢！
10第四章马尔可夫链精品PPT课件
P(4) 00
0.5749
定义： 称 pj(n )P {X nj}(,j I)为n时刻马尔 可夫链的绝对概率；
称 P T (n ) { p 1 (n ),p 2 (n ), } , n 0为n时刻的 绝对概率向量。
定义： 称 pj(0 )P {X 0j} ,(j I)为马尔可夫链的 初始概率；简记为 p j
j i 1,i-1, i 1
1 0 0 0 0 . .
q
0
p
0
0
.
.
0 q 0 p 0 . .
P
0
0
q
0
p
.
.
0 0 0 q 0 . . . . . . . . .
例题：带2个吸收壁的随机游动
质点在数轴上移动，规律同上例。随机游动的状态 空间I={0,1,2…a}, 其中0和a为吸收态 。求一步转移 概率。
解：
P(2) 00
P{Xm2
0|
Xm
0}
P{Xm2 0, Xm P{Xm 0}
0}
P{Xm2 0, Xm1 0,Xm 0} P{Xm2 0, Xm1 1,Xm 0}
P{Xm 0}
P{Xm 0}
P{Xm2 0, Xm1 0,Xm 0}P{Xm1 0,Xm 0} P{Xm1 0,Xm 0}P{Xm 0}
p(n) 21
p(n) 12
p(n) 22
p(n) 1m
p(n) 2m
为马尔可夫链的n步转移矩阵。规定
p(0) ij
0, 1,
i j i j
例题
设马尔可夫链{Xn,n∈T}有状态空间I={0,1}， 其一步转移概率矩阵为
P
p00 p10
第5章 马尔可夫链PPT课件
状态.
精选PPT课件
18
马尔可夫链
一般,一个特定的参保人年理赔要求的次数是参数为λ 的泊松随机变量,那么此参保人相继的状态将构成一个马 尔可夫链,并具有转移概率
但昨天没下雨,那么明天下雨的概率为0.5;如果昨天下雨
但今天没下雨,那么明天下雨的概率为0.4;如果昨、今两
天都没下雨,那么明天下雨的概率为0.2.
假设在时间n的状态只依赖于在时间n-1是否下雨,那么
上述模型就不是一个马尔可夫链.
但是,当假定在任意时间的状态是由这天与前一天两者
的天气条件所决定时,上面的模型就可以转变为一个马尔
令Xn为第n天结束时的存货量,则
XSX-nYn-nY++n1+1=,1,
若Xn≥s, 若Xn＜s.
构成的{Xn,n≥1}是Markov链.
例5.11 以Sn表示保险公司在时刻n的盈余,这里的时间以
适当的单位来计算(如天,月等), 初始盈余S0=x显然为
已知,但未来的盈余S1,S2,…却必须视为随机变量,增量
参保人的状态随着参保人要求理赔的次数而一年一年
地变化.低的状态对应于低的年保险金. 如果参保人在上
一年没有理赔要求,他的状态就将降低; 如果参保人在上
一年至少有一次理赔要求,他的状态一般会增加(可见,无
理赔是好的,并且会导致低保险金;而要求理赔是坏的,一
般会导致更高的保险金).
对于给定的一个好-坏系统, 以si(k)记一个在上一年 处在状态i,且在该年有k次理赔要求的参保人在下一年的
矩阵为
p11 p12 p13 p14
P=
p21 p22 p23 p24 0010
0001
例5.5(赌徒的破产或称带吸收壁的随机游动)系统的状态
《马尔可夫链分析法》课件
马尔可夫链分析法具有无后效性 、离散性和随机性，适用于描述 大量随机现象，如股票价格、人 口迁移等。
马尔可夫链分析法的应用领域
金融领域
马尔可夫链分析法用于描述股票价格、汇率等金融市场的随机波 动，以及风险评估和投资组合优化。
自然领域
在生态学、气象学、地质学等领域，马尔可夫链分析法用于描述物 种分布、气候变化、地震等自然现象。
ABCD
云计算应用
利用云计算资源，实现大规模数据的快速处理和 分析。
跨学科合作
加强与其他学科领域的合作，共同推动马尔可夫 链分析法的技术创新和应用拓展。
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感谢您的观看
CHAPTER 03
马尔可夫链分析法的基本步 骤
建立状态转移矩阵
确定系统的状态空间
首先需要确定系统可能的状态，并为其编号。
计算状态转移概率
根据历史数据或实验结果，计算从一个状态转移到另一个状态的 概率。
构建状态转移矩阵
将状态转移概率按照矩阵的形式排列，形成状态转移矩阵。
计算稳态概率
初始化概率向量
系统的长期行为
02
通过分析稳态概率，可以了解系统的长期行为和趋势，例如系
统的最终状态分布、系统的平衡点等。
预测未来状态
03
基于稳态概率，可以对系统未来的状态进行预测，从而为决策
提供依据。
CHAPTER 04
马尔可夫链分析法的应用实 例
人口迁移模型
描述人口迁移的动态过程
马尔可夫链分析法用于描述人口迁移的动态过程，通过分析人口在各个地区之间 的转移概率，预测未来人口分布情况。这种方法可以帮助政府和企业了解人口流 动趋势，制定相应的政策和计划。
第六章 马尔可夫链PPT课件
第一节 基本概念
５.马尔可夫链举例
例１(天气预报问题) 如果明天是否有雨仅与今天的
天气(是否有雨)有关，而与过去的天气无关. 并设
今天下雨、明天有雨的概率为a，
今天无雨而明天有雨的概率为b，又假设
有雨称为0状态天气，无雨称为1状态天气.
Xn表示时刻n时的天气状态，则
{Xn,n0}是以 S{0,1}为状态空间的齐次马尔可夫链.
25
第一节 基本概念
4.齐次马尔可夫链
为方便，一般假定时间起点为零．即
p(k) ij
P(Xk
j
X0
i)
i, j S,k 0
相应的k步与一步转移概率矩阵分别记为 P (k)与 P
定理 (1) P(k) Pk , k 0;
(2) q(k) q(0)Pk , k 0;
(3) {Xn, n 0}的有限维分布由其初始分布和一 步转移概率所完全确定
15
第一节 基本概念
２. Chapman-kolmogorov方程
C-K方程的直观意义：
系统在n 时从状态i的出发,经过k+m步转移,于 n+k+m时到达状态j,可以先在n时从状态i出发，经 过k步转移于n+k时到达某种中间状态l,再在n+k时 从中间状态l出发经过m步转移于n+k+m时到达最 终状态j,而中间状态l要取遍整个状态空间S.
1
整体概况
概况一
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01
概况二
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02
概况三
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03
2
Markov 过程
3
Markov过程
《马尔可夫链讲》课件
在平稳分布下，系统的各个状态之间转移的次数趋于平衡，每个状态的平均逗留时 的 马尔可夫链，都存在至少一个平
稳分布。
存在性定理的证明基于遍历理论 ，即如果马尔可夫链是遍历的，
那么它必然存在平稳分布。
根据接受概率判断是否接受样本的技 术，可以提高样本的质量和效率。
接受-拒绝抽样技术
接受概率
根据目标分布和当前状态计算出的概率，用于判断是否接受当前状态 转移为下一个状态。
拒绝概率
根据当前状态和接受概率计算出的概率，用于判断是否拒绝当前状态 转移为下一个状态。
接受-拒绝抽样过程
根据当前状态和接受概率计算出接受该状态的概率，如果该概率大于 随机数，则接受该状态作为下一个状态，否则拒绝并重新抽样。
详细描述
马尔可夫链定义为一个随机过程，其 中每个状态只与前一个状态有关，当 前状态只依赖于前一时刻的状态，不 受到过去状态的影响。
马尔可夫链的应用场景
总结词
马尔可夫链在多个领域有广泛应用。
详细描述
在自然语言处理中，马尔可夫链可以用于生成文本、语言模型等；在金融领域 ，马尔可夫链可以用于股票价格预测、风险评估等；在物理学中，马尔可夫链 可以用于描述粒子运动、化学反应等。
模型训练与预测
模型选择
根据数据特点和业务需求选择合适的马尔可 夫链模型。
模型训练
使用历史数据训练马尔可夫链模型。
参数设置
根据经验和业务理解设置模型参数。
预测与推断
基于训练好的模型对未来或未知数据进行预 测和推断。
结果评估与优化
评估指标
选择合适的评估指标（如准确率、召回率、F1值等）对预测结果进行评估。
107508-概率统计随机过程课件-第十三章马尔可夫链(习题课)
第十三章马尔可夫链(习题课)习题十三1. 已知齐次马尔可夫链的转移概率矩阵⎝⎛=03131P 323132⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫31310问此马尔可夫链有几个状态？求二步转移概率矩阵.解 因为转移概率矩阵是三阶的, 故此马尔可夫链的状态有三个;二步转移概率矩阵2)2()2()(P p P ij ==⎝⎛=0313*******⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫31310⎝⎛03131323132⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫31310⎝⎛=929293949594⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫939292 .2. 在一串贝努利试验中,事件A 在每次试验中发生的概率为p ,令⎩⎨⎧=发生次试验第不发生次试验第A n A n X n ,1,0 , ,3,2,1=n (1) },2,1,{ =n X n 是否齐次马尔可夫链？(2) 写出状态空间和转移概率矩阵; (3) 求n 步转移概率矩阵.解 (1) 根据题设条件知道 ,,,,21nX X X 是相互独立的, 所以 },2,1,{ =n X n 是马尔可夫链, 又转移概率⎩⎨⎧=======++1,0,}{}|{11j p j q j X P i X j X P n n n与n 无关,故},2,1,{ =n X n 是齐次马尔可夫链; (2) 状态空间}1,0{=S ,一步转移概率矩阵)(ij p P = ⎝⎛=q q ⎪⎪⎭⎫p p , ⎩⎨⎧========++1,0,}{}|{11j p j q j X P i X j X P p n n n ij . (3) n 步移概率矩阵nn ijn P pP==)()()( ⎝⎛=q q ⎪⎪⎭⎫p p . 3. 从次品率)10(<<p p 的一批产品中,每次随机抽查一个产品,以nX 表示前n 次抽查出的次品数,(1) },2,1,{ =n X n 是否齐次马尔可夫链？(2) 写出状态空间和转移概率矩阵; (3)如果这批产品共有100个,其中混杂了3个次品,作有放回抽样,求在抽查出2个次品的条件下,再抽查2次,共查出3个次品的概率. 解 (1)根据题意知,},2,1,{ =n X n 是齐次马尔可夫链; (2) 状态空间},,,2,1,0{ n S =, p 是次品率,p q -=1是正品率,根据题意知 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+>+==<====+1,01,,,0}|{1i j i j p i j q i j i X j X P pn n ij, ,,,2,1,0,n j i = ;(3)次品率03.0=p , 所求概率为)2(232}2|3{p X X P n n ===+∑+∞==032k k k p p ++⋅+⋅++=000q p p q0582.097.003.022=⨯⨯==pq .4. 独立重复地掷一颗匀称的骰子,以nX 表示前n 次掷出的最小点数, (1) },2,1,{ =n X n 是否齐次马尔可夫链？(2) 写出状态空间和转移概率矩阵; (3)求}3|3,3{21===++n n n X X X P ; (4)求}1{2=X P .解 (1) 根据题意知,},2,1,{ =n X n 是齐次马尔可夫链;(2)状态空间 }6,5,4,3,2,1{,=S , }|{1i X j X P p nn ij ===+⎩⎨⎧≥=====+2,01,1}1|{11j j X j X P p n n j ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥======+3,02,651,61}2|{12j j j X j X P p n n j⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥======+4,03,642,1,61}3|{13j j j X j X P p n n j ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=======+6,5,04,633,2,1,61}4|{14j j j X j X P p n n j ,⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=======+6,05,624,3,2,1,61}5|{15j j j X j X P p n n j ,6,,2,1,61}6|{16 =====+j X j X P p n n j ;(3) }3|3,3{21===++n n n X X X P}3|3{1===+n n X X P }3,3|3{12===⋅++n n n X X X P}3|3{1===+n n X X P }3|3{12==⋅++n n X X P9464643333=⋅=⋅=p p ;(4) }|1{}{}1{126112i X X P i X P XP i ==⋅===∑=3611616116162=⋅+⋅=∑=i . 5.设齐次马尔可夫链},2,1,0,{ =n X n 的转移概率矩阵为⎝⎛=03131P 323132⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫31310 ,且初始概率分布为,31}{)0(0===j X P p j 3,2,1=j ,(1) 求}3,2,1{321===X X X P ; (2) 求}3{2=X P ; (3) 求平稳分布.解 (1)}3,2,1{321===X X X P}1,2|3{}1|2{}1{123121=======X X X P X X P X P}2|3{}1|2{}1{23121======X X P X X P X P23121}1{p p X P ⋅⋅==231203110}|1{}{p p j X X P j X P j ⋅⋅====∑= 23123110}{p p p j XP j j ⋅⋅==∑=814)03131(313132=++⨯⋅=; (2)}3{2=X P }|3{}{03120j X X P j X P j ====∑=)2(331}{j j p j XP ∑===277)939292(31=++= ;(3)平稳分布),,(321p p p 满足方程组031313211p p p p ++=,3231323212p p p p ++=,313103213p p p p ++=,1321=++p p p解之得41,42,41321===p p p .例6.具有三状态:0,1,2的一维随机游动,以j t X =)(表示时刻t 粒子处在状态),2,1,0(=j j 过程},,,),({210 t t t t t X =的一步转移概率矩阵⎝⎛=0q q P q p 0 ⎪⎪⎪⎭⎫p p 0 , (1) 求粒子从状态1经二步、经三步转移回到状态1 的转移概率;(2) 求过程的平稳分布.解 (1)}1)(|1)({2)2(11===+nn t X t X P ppq pq qp p pk k k20121=++==∑=,⎝⎛==222)2(q q q P P pq pq pq 2 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫+222p pq p p ,⎝⎛+++==2333223)3(2pq q pq q p q q P P q p pq pq qp pq 2222++ ⎪⎪⎪⎪⎭⎫++3232222p q p p q p p 于是pq t X t X P p n n ====+}1)(|1)({3)3(11,(2) 平稳分布),,(210p p p 满足方程组 02100p q p q p p ++=, q p p p p p 21010++=, p p p p p p 21020++=,1210=++p p p ,解之得pq q p -=120 , pqpqp -=11,pq p p -=122 . 例7.设同型产品装在两个盒内,盒1内有8个一等品和2个二等品,盒2内有6个一等品和4个二等品.作有放回地随机抽查,每次抽查一个,第一次在盒1内取.取到一等品,继续在盒式内取;取到二等品,继续在2盒内取.以n X 表示第n 次取到产品的等级数,则},2,1,{ =n X n 是齐次马尔可夫链.(1) 写出状态空间和转移概率矩阵;(2) 恰第3、5、8次取到一等品的概率为多少？(3) 求过程的平稳分布解(1)根据题意, 状态空间}2,1{=S54108}1|1{111=====+n n X X P p, 51102}1|2{112=====+n n X X P p , 53106}2|1{121=====+n n X X P p ,52104}2|2{122=====+n n X X P p , 转移概率矩阵⎝⎛=5354P ⎪⎪⎪⎪⎭⎫5251 ; (2) 54}1{1==X P ,51}2{1==X P , }1,1,1{853===X X X P}1,1|1{}1|1{}1{358353=======X X X P X X P X P }1|1{}1|1{}1{58353======X X P X X P XP)3(11)2(113}1{p p X P ==9 )3(11)2(1121131}|1{}{p p i X X P i XP i ∑=====)3(11)2(1121)2(11}{p p p i XP i i ∑===,⎝⎛==251825192)2(P P ⎪⎪⎪⎪⎭⎫257256, ⎝⎛==12593125943)3(P P ⎪⎪⎪⎪⎭⎫1253212531,}1,1,1{853===X X X P)3(11)2(1121)2(11}{p p p i X P i i ∑===752.076.0)72.02.076.08.0(⨯⋅⨯+⨯=429783.0= ;(3) 平稳分布),(21p p 满足方程组 5354211p p p +=, 5251212p p p +=, 121=+p p ,解之得 431=p , 412=p .。
北大随机过程课件：第 2 章 第 5 讲 马尔可夫链应用分析举例
= ( c − j )d 0
c− j c c−a b ua = = c c uj =
同样道理，可以得到乙先输光的概率， 当 r ≠ 1 ， ua = 当 r＝ 1 ， ub =
1 − (q / p) a ， 1 − (q / p) c
a 。 c
该例题是有两个吸收壁的特例， 建立了边界条件、递推关系、首先概率表达式， 该例题着重研究对称和非对称的赌徒输光的问题。
构造：
( p + q )u j = pu j +1 + qu j −1 p (u j − u j +1 ) = q(u j −1 − u j ) (u j − u j +1 ) =
定义
q (u j −1 − u j ) p q =r， p
(u j − u j +1 ) = d j , (0 ≤ j < c),
建模：具有两个吸收壁，五个状态的随机游动
1．一局比赛的建模 问题：一局比赛共有多少个状态 很多，例如 15:0 就是一个状态，40:15 又是一个状态。还是回到我们分析比赛规则的目 的上来，我们是为了得到两名选手最终赢球与输球的概率，那么当一局比赛打到 30:40 的时 候， 如果选手 B 再取胜一球， 则 30:60， 选手 B 获胜， 而之前这局比赛到底是怎么打到 30:40 的并不是我们关心的问题，我们只关心一局比赛会打到 30:40 的概率（初始概率）以及之后 由状态 30:40 打到状态 30:60 的概率（转移概率） 。这是典型的马尔科夫链。 那么我们实际要做的事情就是如何确定比赛中对我们的分析有用的状态以及这些状态
例 2：网球比赛
网球比赛在选手 A 和 B 之间进行。网球的计分制是 15，30，40 和 60 分，如果选手 A 赢了 第一球，比分是 15:0，否则比分是 0:15。如果选手 A 接着赢了第二球，比分为 30:0，如果 A 接着赢了第三球，比分为 40:0，如果 A 再接着赢了第四球，则比分为 60:0，选手 A 赢得 该局比赛。当选手 A 赢了第一球而输了第二球，对手 B 得 15 分，从而比分为 15:15。平分 是指第六球后双方分数相同(例如 30:30，40:40，…)。在平分后，接下来的一球如果选手 A 得分/失分，则称此时的状态为 A 占先/B 占先。如果 A 在占先后再得分，则选手 A 赢得该 局。如果选手 B 在占先后再得分，则选手 B 赢得该局。 一旦第一局比赛结束，选手进入第二局比赛，直到一方赢得至少 6 局且至少领先对手两局， 这样该方获得一盘比赛的胜利。因而，一盘结束时的比分为下列情形之一：6:0，6:1，6:2， 6:3，6:4，7:5，8:6，…或是它们的逆序等等(实际规则中采用了决胜局的办法避免一盘比赛 的时间过长，此处不详细讨论)。一盘结束后，进行另一盘，直到一方赢得三盘中的两盘（或 五盘中的三盘） ，从而赢得整场比赛。 试对网球比赛中一局比赛的规则进行分析讨论。
马尔可夫链精品PPT课件
例2.1 (一维随机游动)
12345
设一随机游动的质点, 在如右上图所示的
直线点集I={1,2,3,4,5}作随机游动,并且仅仅在1秒,2秒
…等时刻发生游动.游动的概率规则是:如果Q现在位于点
i(1＜i＜5), 则下一时刻各以1/3的概率向左或向右移动
一格,或以1/3的概率留在原处; 如果Q现在位于点1(或5)
式.
利用积事件的概率及上述定义知: P{X0=i0,X1=i1,…,Xn=in} =P{Xn=in|X0=i0,X1=i1,…,Xn-1=in-1}P{X0=i0,X1=i1,…, Xn-1=in-1} =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{X0=i0,X1=i1,…,Xn-1=in-1} =… =P{Xn=in|Xn-1=in-1}P{Xn-1=in-1|Xn-2=in-2}…P{X1=i1| X0=i0}P{X0=i0}.
即马尔可夫链的统计特性完全由条件概率
P{Xn+1=in+1|Xn=in} 所决定. 如何确定这个条件概率,是马尔可夫链理论和应
用中的重要问题之一.
2.转移概率 条件概率P{Xn+1=j|Xn=i}的直观含义是:系统在时刻n处
于状态i的条件下,在时刻n+1系统处于状态j的概率.这相 当于随机游动的质点在时刻n处于状态i的条件下,下一步 转移到状态j的概率.
pij(n)为pij. 下面只讨论齐次马尔可夫链,并将齐次两字省略.
设I=P{为1,一2,步转移概率pij所组成的矩阵,状态空间
…},则 P=
p11 p12 … p1n … p21 p22 … p2n … … … … ……
pi1 pi2 … pin … …… … … …
北大随机过程课件：第 2 章 第 5 讲 马尔可夫链应用分析举例
3
状态 4：B 赢 P4 = q + 4q p
4 4
其中状态 0 和状态 4 是两个吸收壁，因此初始概率分布为
p(0) = [ p 4 + 4 p 4 q, 4 p 3 q 2 , 6 p 2 q 2 , 4 p 2 q 3 , q 4 + 4q 4 p]
该随机游动的转移概率矩阵为
⎡1 ⎢p ⎢ P = ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
例 2：网球比赛
网球比赛在选手 A 和 B 之间进行。网球的计分制是 15，30，40 和 60 分，如果选手 A 赢了 第一球，比分是 15:0，否则比分是 0:15。如果选手 A 接着赢了第二球，比分为 30:0，如果 A 接着赢了第三球，比分为 40:0，如果 A 再接着赢了第四球，则比分为 60:0，选手 A 赢得 该局比赛。当选手 A 赢了第一球而输了第二球，对手 B 得 15 分，从而比分为 15:15。平分 是指第六球后双方分数相同(例如 30:30，40:40，…)。在平分后，接下来的一球如果选手 A 得分/失分，则称此时的状态为 A 占先/B 占先。如果 A 在占先后再得分，则选手 A 赢得该 局。如果选手 B 在占先后再得分，则选手 B 赢得该局。 一旦第一局比赛结束，选手进入第二局比赛，直到一方赢得至少 6 局且至少领先对手两局， 这样该方获得一盘比赛的胜利。因而，一盘结束时的比分为下列情形之一：6:0，6:1，6:2， 6:3，6:4，7:5，8:6，…或是它们的逆序等等(实际规则中采用了决胜局的办法避免一盘比赛 的时间过长，此处不详细讨论)。一盘结束后，进行另一盘，直到一方赢得三盘中的两盘（或 五盘中的三盘） ，从而赢得整场比赛。 试对网球比赛中一局比赛的规则进行分析讨论。
f k ,0
马尔科夫链例题整理(课堂PPT)
一步转移概率矩阵的计算
引 例 例1 直线上带吸收壁的随机游动（醉汉游动）
设一质点在线段[1，5 ]上随机游动，每秒钟发生 一次随机游动，移动的规则是：
（1）若移动前在2，3，4处，则均以概率 或向右 移动一单位；
1 2
向左
（2）若移动前在1，5处，则以概率1停留在原处。
12
3
4
5
质点在1，5两点被“吸收”
首页
9
5．设袋中有a个球，球为黑色的或白色的，今随 机地从袋中取一个球，然后放回一个不同颜色的 球。若在袋里有k个白球，则称系统处于状态k， 试用马尔可夫链描述这个模型（称为爱伦菲斯特 模型），并求转移概率矩阵。
解 这是一个齐次马氏链，其状态空间为
I={0，1，2，…，a} 0 1 0 0 ... 0
i+1，以概率r停留在i，且 r p q 1 ，试
求转移概率矩阵。
E {...,2,1,0,1, 2,...}
... ... ... ... ... ... ... ...
P1
... ...
0 0
p 0
r p
q r
0 q
0 0
... ...
... ... ... ... ... ... ... ...
0 p 0 0 ... 0
0
0 q 0 p ... 0 0 P1 ... ... ... ... ... ... ...
0 0 ... 0 q 0 p
p 0 ... 0 0 q 0
首页 8
4．一个质点在全直线的整数点上作随机游动，移 动的规则是：以概率p从i移到i-1，以概率q从i移到
移概率。
首页 5
qp
第1章随机过程与马尔可夫链优秀PPT
第2节 一维随机过程的定义及物理意义
4、随机过程的物理意义：
1）、对于一个特定的试验结果（样本）eiS， X(ei，t)表示对应于ei的样本函数，也是随机过程的 一次实现。（样本函数族） 2）、对于每一个固定的参数 tjT， X(e，tj)是一 个定义在S上的随机变量。（随机变量族） 随机过程是依赖于参量 tT的一族随机变量。
例4：连续抛掷一枚骰子的实验，第n次实验的结果 记为X(n) (n=1,2, … )
参量(次数)离散，状态（点数）离散
第2节 一维随机过程的定义及物理意义
3、随机过程的定义
设E是随机试验，S＝{e}是其样本空间。如果对于每一个 样本e S ，总可以有一个确定的参数为t的实值函数X(e， t)，t T与之对应，我们称之为随机过程，记作：
出H 现 出T 现
P (H )P ( 1 )P (T)P (2)1 2
X (1)
2
1
P
1
1
2
2
1 F(x;1)P[X(1)x] 1 20
x2 2x－ 1
－ 1x
第3节 一维随机过程的统计特性
3）、
X ( 1 ) X (1)
0
2
1
1
1 2
0
2
0
1 2
1 F ( x1, x2 ; 2
,1)
P[ X
7、随机过程的分类
1）、按随机过程任一时刻的状态，可分为连续型 随机过程和离散型随机过程。 2）、按参量t（通常表示时间）时离散还是连续可 分为连续参量随机过程和离散参量随机过程 3)、说明：可列(离散)与非可列(连续)