立体几何中的截面(解析版)

专题13 立体几何中的截面

【基本知识】

1．截面定义：在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。

2、正六面体的基本斜截面：

3、圆柱体的基本截面：正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。

【基本技能】

技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题；

技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；

技能3.猜想法求最值问题：要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：如正三角形、正六边形、正三棱锥等；

技能4.建立函数模型求最值问题：①设元②建立二次函数模型③求最值。

例1 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能

．．．

是（）

分析考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D。

例2 如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：

①水的部分始终呈棱柱状；

②水面EFGH的面积不改变；

③棱A1D1始终与水面EFGH平行；

④当容器倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值；

其中正确的命题序号是______________

A C

B

D

分析 当长方体容器绕BC 边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EH//FG ，但EH 与FG 的距离EF 在变，所以水面EFGH 的面积在改变，故②错误；在转动过程中，始终有BC//FG//A 1D 1，所以A 1D 1//面EFGH ，③正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5（2），因为

BC BF BE V ⋅⋅=

2

1

水是定值，又BC 是定值，所以BE ·BF 是定值，即④正确。所以正确的序号为①③④. 例3 有一容积为1 立方单位的正方体容器ABCD-A 1B 1C 1D 1，在棱AB 、BB 1及对角线B 1C 的中点各有一小孔E 、F 、G ，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是（ ）

A ．

21 B ．87 C ．12

11 D ．4847 分析 本题很容易认为当水面是过E 、F 、G 三点的截面时容器可装水的容积最大图（1），最大值为

8

7

12121211=⋅⋅⋅-

=V 立方单位,这是一种错误的解法，错误原因是对题中“容器是可以任意放置”的理解不够，其实，当水平面调整为图（2）△EB 1C 时容器的容积最大，最大容积为1211

112121311=⋅⋅⋅⋅-=V ，

故选C 。

例4 正四棱锥P ABCD -的底面正方形边长是3，O 是P 在底面上的射影，6, PO Q =是 AC 上的一点，过Q 且与, PA BD 都平行的截面为五边形EFGHL ，求该截面面积的最大值.

C 1 A

B

C

D A 1

D 1 B 1

E G

F 图（1）

C 1

A B C

D A 1

D 1 B 1

E

G

F

图（2）

解：如图，连接, AC BD ，设截面与正四棱锥P ABCD -的底面相交于EL ,AC 与EL 相交于Q 点，由//BD 截面EFGHL 得//LE BD , //AP 截面EFGHL ，得//AP QG ，那么，EL 必定分别与, AB AD 相交于

, E L ，否则，截面将是三角形，则//AP EF ，//AP LH ，在正四棱锥P ABCD -中，BD AP ⊥，由//, //, LE BD AP QG GQE ∠是异面直线BD 与PA 所成角，则QG EL ⊥，所以，GFEQ 和GHLQ 是两

个全等的直角梯形.

设：(

)03, AE x x AP =<<== 由//AP EF

得

393EF x -=，

故)3EF x =-，

而AQ =，由//AP QG

得9QG

=，

于是16x QG ⎫

=

-⎪⎭

，从而：

)()2

21992139292644EFGHL x S x x x x ⎫=⨯-+-=-+=--+⎪⎭ 所以，当2x =时，截面EFGHL 的面积取得最大值9.

基本方法介绍

①公理法：用平面基本性质中的公理来作平面； ②侧面展开法：将立体图形展开为平面图形进行研究；

例5 能否用一个平面去截一个正方体，使得截面为五边形？进一步，截面能否为正五边形呢？

解：如图所示，我们可以用一个平面截一个正方体1111ABCD A B C D -，使得截面为一个凸五边形.

点I 是1B B 延长线上一点，使得11

2

IB BB =

，E 为11A D 的中点，F 为1AA 上的点，使得

113AF A F =.则截面1C EFGH 为过直线EF 与1C I （这里1//EF C I ）的平面与正方体1111ABCD A B C D -相截所得的凸五边形

截面.

用一个平面去截一个正方体所得截面不能是一个正五边形.事实上，若截面可以为一个正五边形，则此五边形的五条边分属于此正方体的五个不同的面.

我们将正方体的每两个相对的面作为一个抽屉，则上述包含正五边形的边的五个面中，必有两个面为相对的平面，它们是平行的，利用平行平面的性质，可知此五边形中有两条边是平行的.但是正五边形的五条边是彼此不平行的，矛盾.

例6 已知一个平面截一个棱长为1的正方体所得的截面是一个六边形（如图所示），证明：此六边形的周

长≥

证明：如图，我们将正方形的各个面依次展开，从正方形''

PQQ P 出发，依次为

'''''''''''',,,,,.PP Q Q Q QRR Q R S P R S SR S SPP PSRQ

从上述展开图可知截面六边形的周长大于等于'

AA

，而'AA =

.