信号与系统——各种分析法共性与特征的论述

信号与系统是研究信号分析、信号处理的一门学科。我认为信号与系统的核心问题在于，在已知输入信号的情况下，如何从给定的系统中求得输出信号。只要解决了这个基本问题，就可以在大系统中，对各个子系统的输入输出进行分析，从而可以很容易的对整个系统的功能和信号相应做出判断。

虽然在信号与系统中对信号分析的方法众多。包含时域分析法、傅里叶变换分析法、拉普拉斯变换分析法、Z变换分析法、状态变量分析法等。但归纳其公共点，均是对给定的已知系统，分析其输入与输出信号的关系。只是分析的角度不同，条件不同，方法不同而已。

在经典的电路分析理论中，对系统的分析，仅仅局限于对时域信号的分析，即任何信号（包括电压和电流），均是随着时间的变化而变化。一般可以通过一系列独立而完备的方程组求解出系统的输出相应。

在信号与系统中，还可以对时域信号x(t)进行分解，分解为无限多个强度为x(τ)dτ的冲激信号*x(τ)dτ+δ(t-τ)的积分。通过对系统的冲激相应进行分析。求出每个*x(τ)dτ+δ(t-τ)所对应的冲激相应*x(τ)dτ+h(t-τ)。对其在R上积分，即得到输出信号y(t)。我们可以运用卷积运算将y(t)写成x(t)*h(t)。时域卷积分析法是信号与系统中最经典的分析法，这种分析法的本质揭示了“信号是可以分解，可以合成的”。我们可以运用时域卷积分析法求解众多系统下输入信号所对应的输出信号相应。

傅里叶变换分析法，则揭示了信号的另一个特性。通过傅里叶变换。时域信号y(t)可以分解为若干个余弦信号或复指数信号之和。而这些余弦信号或复指数信号的系数是仅关于角频率ω的函数。也就是说，对于特定的一个时域信号y(t)，只要其满足狄里赫利(Dirichlet)条件，总存在关于ω的函数F(ω)与之相对应，反之亦然。这种时域函数与频域函数一一对应的关系，表明信号不仅具有时间特性，还具有频率特性。信号之所以不同，是因为它们各自有不同的时间特性和频率特性，而这两种特性相互关联，相互对应，不是孤立存在的。傅里叶变换分析法就是将传统的时域信号转化为频域信号来分析。时域信号的卷积分析法中，y(t)=x(t)*h(t)，而在傅里叶变换后，信号在频域中，有时域卷积性质知Y(ω)=X(ω)·H(ω)。可见时域卷积变为了频域乘法，这种分析法极大地降低了卷积运算的难度。对于时域信号x(t)以及系统冲激相应h(t)，可以先求其傅里叶变换X(ω)，H(ω)，计算出Y (ω)，再通过傅里叶反变换，求出输出信号y(t)。

而拉普拉斯变换分析法是傅里叶变换分析法的一种推广。由于许多时域信号不满足狄里赫利条件，在实数集R上并不是绝对可积，不存在傅里叶变换，难以用傅里叶变换分析法分析信号。因此，通过拉普拉斯变换，引入收敛因子e-σt，使得f(t)e-σt满足收敛条件，并将σ+jω记为s。所以，拉普拉斯变换实际上是一种“广义的傅里叶变换”，故两种分析方法类似，只是在使用拉普拉斯变换分析信号时，时域运算变为了复频域运算，并且需要考虑变量s 的收敛域。

对于离散信号的分析，主要采用Z变换分析法。离散信号f(k)，可视为连续信号f(t)经过理想取样后得到。因此，对理想取样后的信号拉普拉斯变换可以推导出Z变换的原始表达式。Z变换与傅里叶变换，拉普拉斯变换的不同在于处理的信号是离散而非连续的，故系统模拟后的数学表达式为差分方程，而非微分方程。然而，Z变换的时域卷积性质，与傅氏变换与拉氏变换相似，仍可以将时域卷积转化为Z域中的乘法，给运算带来便利。

状态变量分析法，不同与前面所述的端口分析法。状态变量分析法，用状态矢量描述系统的内部变量特性，通过状态变量将系统的输入输出变量联系在起来，进而表述系统的外部特征。这种分析方法不仅适合线性系统时不变系统，还适合于非线性时变，多输入多输出的复杂系统，因此状态变量分析法适用范围广泛。

无论是那种分析方法，均是分析系统的输入与输出信号的关系。但具体用哪种分析方法，应视情况而定，选择最便捷的方式。

时域分析

时域分析是指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。

由于时域分析是直接在时间域中对系统进行分析的方法，所以时域分析具有直观和准确的优点。

系统输出量的时域表示可由微分方程得到，也可由传递函数得到。

在初值为零时，一般都利用传递函数进行研究，用传递函数间接的评价系统的性能指标。

具体是根据闭环系统传递函数的极点和零点来分析系统的性能。此时也称为复频域分析。

频域分析

频域（频率域）——自变量是频率，即横轴是频率，纵轴是该频率信号的幅度，也就是通常说的频谱图。频谱图描述了信号的频率结构及频率与该频率信号幅度的关系。

对信号进行时域分析时，有时一些信号的时域参数相同，但并不能说明信号就完全相同。因为信号不仅随时间变化，还与频率、相位等信息有关，这就需要进一步分析信号的频率结构，并在频率域中对信号进行描述。动态信号从时间域变换到频率域主要通过傅立叶级数和傅立叶变换实现。周期信号靠傅立叶级数，非周期信号靠傅立叶变换。