概率与统计：偶然—必然
唯物辩证法相关范畴——原因与结果、必然与偶然、可能与现实、现象与本质、内容与形式
1、原因和结果的含义
B、因果联系还具有时空上的相互依存性,因果联系是一种相互依存关系。 但不是所有的相互依存关系都是因果联系。如两种现象都由第三种现象引起，这两种现象之间就有着依存 关系，但它们之间并不是决定和被决定的关系，所以不是因果联系。例如，闪电之后必然伴有雷声，但闪 电不是打雷的原因，闪电和打雷都是云层中正电与负电碰撞的结果。
原因和结果又是相互联系的，二者 相互作用并在一定条件下相互转化。
生产的发展，孕 育并推动了科学技术 的发展；而科学技术 的发展反过来又极大 地促进了生产的发展。
因果联系的客观性、 普遍性、 多样性
①因果联系的客观性。因果联系的客观性是指 因果联系为客观事物所固有， 它不以人的意 志为转移。人们的因果观念不过是客观因果关 系的反映。
• 每一时代的历史任务，总要通过一定的代表 人物来实现，这是必然的；至于这些人物是 谁，又带有偶然性。
➢在一定条件下相互转化
在一定条件下，原来是必然的 现象转化为偶然的现象，原来是偶 然的现象转化为必然的现象。
必然性和偶然性的相互转化。在生 物进化过程中表现得十分明显。 生物物种的遗传和变异：
不能割裂必然性和偶然性的关系
因果关系是客观的、普遍的、多样的，其 中有：一因多果、同因异果、一果多因、同果 异因、多果多因、复合因果等。为了把握事物 发展的规律性，在分析复杂因果联系时，一定 要进行具体的、全面的、科学的分析。
掌握原因和结果辩证关系原理的意义
①承认因果联系的存在是我们从事科学研 究、 获得科学认识的前提。科学就是要根 据结果探寻原因， 根据原因预见结果。
原因和结果的辩证关系
原因和结果这两个观念，只有在 应用于个别场合时才有其本来的意 义；可是只要我们把这种个别场合 放在它和世界整体的总联系中来考 察，这两个观念就汇合在一起，融 合在普遍相互作用的观念中，在这 种相互作用中，原因和结果经常交 换位置；在此时或此地是结果，在 彼时或彼地就成了原因，反之亦然。 恩格斯
中考数学研究：偶然事件和必然事件中的概率性问题
中考数学研究：偶然事件和必然事件中的概率性问题偶然事件和必然事件中的概率性问题这个世界上的许多事情发生都是有偶然和必然的，正是因为有这些事件的不确定性才导致偶然事件的产生。
偶然事件就成为了现在人们研究的兴趣排除偶然去发现必然就是不断的发现误差的过程。
偶然的和必然的概率性研究就成了数学领域研究的重点。
既然绝大多数事情都同时包含偶然因素和必然因素，我们自然就想排除偶然去发现背后的必然。
偶然的失败和成功都不必大惊小怪，我根据必然因素去发现判断，这总可以吧？可以，但是必须先理解误差。
历史上最早的科学家曾经不承认实验可以有误差，认为所有的测量必须都是精确的，把任何误差归结为错误。
后来人们才渐渐意识到偶然因素是永远存在的，即使实验条件再精确也无法完全避免随机干扰的影响，所以做科学实验往往要测量多次，用取平均值之类的统计手段得出结果。
多次测量确实是一个排除偶然因素的好办法。
国足输掉比赛以后经常抱怨偶然因素，裁判不公、主力不在、不适应客场气候，草皮太软、草皮太硬，等等。
关键是，如果经常输球，我还是可以得出国足是个弱队的结论。
即便科学实验也是如此，科学家哪怕是测量一个定义明确的物理参数，也不能给出最后的“真实答案”，他们总在测量结果上加一个误差范围比如最近发现的希格斯粒子质量为125.3±0.4(stat)±0.5(sys)GeV意思是质量125.3，但其中有0.4的统计误差，还有0.5的系统误差。
真实的质量其实只有一个，但这个数字是多少，我不知道，它可以是这个误差范围内的任何一个数字。
事实上，甚至可能是误差范围外的一个数字。
这是因为误差范围是一个概率计算的结果，这个范围的意思是说物理学家相信真实值落在这个范围以外的可能性非常非常小。
所以真实值非常不易得。
而且，别忘了科学实验是非常理想化的，大多数事情根本没有机会多次测量。
若只能测一次，那么对这一次测量的结果该怎么解读？只能根据以往经验和类似案例，来估计一个大致的范围。
概率与统计中的事件独立性
概率与统计中的事件独立性概率与统计是数学领域中重要的分支之一，它研究的是事物发生的可能性以及事物之间的关联程度。
在概率与统计中，事件独立性是一个重要的概念。
本文将介绍事件独立性的定义、性质以及相关的应用。
一、定义事件独立性是指在一系列随机试验中，某一事件的发生与其他事件的发生无关。
具体地说，对于两个事件A和B，如果事件A发生与否不会对事件B的发生产生任何影响，或者说事件B的发生与否不会对事件A的发生产生任何影响，那么我们称事件A和事件B是相互独立的。
二、性质1. 互逆性：如果事件A和事件B相互独立，那么事件A的补事件和事件B也相互独立。
2. 自反性：任意事件与自身都是相互独立的。
3. 偶然性：事件A和事件B相互独立，并不意味着它们是不可能发生的，它们仍然可以同时发生或者同时不发生。
4. 独立性传递性：如果事件A和事件B相互独立，事件B和事件C 相互独立，那么事件A和事件C也相互独立。
三、应用事件独立性在概率与统计中有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 抛硬币：在抛硬币的过程中，每一次的抛硬币都是一个独立事件。
无论前一次抛硬币结果是正面还是反面，对于下一次抛硬币的结果都没有影响，每次抛硬币的概率仍然是50%。
2. 掷骰子：与抛硬币类似，每一次掷骰子的结果都是独立事件。
无论前一次掷骰子的点数是多少，对于下一次掷骰子的结果都没有影响。
3. 抽样调查：在进行抽样调查的时候，每一次的抽样都是独立事件。
例如，在进行市场调研时，每一次的问卷发放都是独立的，一个人接收到问卷并填写与其他人接收到问卷并填写之间没有关联性。
4. 生活中的决策：在日常生活中，我们经常需要根据过去的经验和信息做出决策。
如果我们认为某个事件的发生与其他事件是独立的，我们可以根据概率和统计的知识来进行决策。
总结起来，概率与统计中的事件独立性是一个重要的概念。
它可以帮助我们理解和分析随机事件之间的关系，并且在实际应用中有着广泛的用途。
材料作文“偶然和必然”及范文
材料作文“偶然和必然”及范文材料作文“偶然和必然”及范文太子头上的材料作文“偶然和必然”及范文作文材料——天下没有偶然，偶然不过是化了妆的、戴了面具的必然。
——钱钟书执偶然之果，寻必然之因穆彤偶然，是麦子抽穗前倏然而至的细雨，淅淅沥沥滋养大地；偶然，是果实成熟前云层乍现的阳光，洋洋洒洒温暖生命。
然而，麦粒的饱满或干瘪，果实的香甜或青涩，看似是阳光雨露偶然恩赐的结果，而实际上，农人的精耕细作，大地的日日供养才是其一朝成熟的必然原因。
自然万物如此，我们，作为诗意地栖居在大地上，一棵会思考的芦苇亦然。
正如钱钟书所言：“天下就没有偶然，那不过是化了妆的，戴了面具的必然。
”就好比钱老《围城》的横空出世，备受赞扬，即便当初是偶然试笔之作，其实也还是他反复读书，反复笔记造就的必然。
大多时候，人生在世目睹的一切成败荣辱，表面上仿佛都是偶然之机遇促成的，却都有其必然的铺垫。
我们倘若可以执偶然之果，找寻必然之因，人生之路就会愈加清晰，不复迷失。
或许，绝大多数人都会认为，是安史之乱的偶然造就了杜甫诗风的沉郁顿挫，是盛唐繁华的偶然促成了李白诗意的浪漫翩跹。
是的，环境，机遇，时事，这些都是偶然不假，可杜甫性情中的贫而不改其志，是他铸就诗史的必然，李白个性中的落拓而不改其狂，是他被誉为诗仙的必然。
杜甫心中牢不可破的“道”，使他对那个社会永不会失望，那希望支撑着他不妥协不苟且，当然也就不富贵不安逸；李白心中不可动摇的骄傲和不羁，使他始终被稳稳托于云端，使他始终拥有最酒意的诗和最恣意纵横的美。
今天，我们执着偶然的结果，沿着历史长河溯流而上，去探索，去寻找那些影影绰绰的必然因子。
不要只看到“会天大雨，道不通”，就以为陈胜、吴广起义只是偶然，而忘却了那田埂间“燕雀安知鸿鹄之志哉”的豪言壮语以及秦皇的暴戾恣睢而失却的民心；不要只看到楚霸王受围四面楚歌，就认定兵败垓下只是兵家常事，只是偶然，而忽略了曾经他的刚愎自用——正中了爱因斯坦那句箴言：“没有侥幸这回事，最偶然的意外，似乎也都是有必然性的。
话说安全事故的偶然与必然
话说安全事故的偶然与必然在日常生活中，我们时常会听到各种各样的安全事故，例如交通事故、火灾、爆炸等等。
对于这些突如其来的安全事故，我们常常会问自己：它们是偶然发生的还是必然发生的呢？对于这个问题，不同人有不同的看法。
本文探讨话说安全事故的偶然与必然。
1. 偶然性偶然指的是一种无法预计、无法预防的事件。
在一些安全事故中，偶然性起到了重要作用。
例如，我们穿过斑马线时，如果车速不快、司机不疲劳、天气不恶劣，那么我们的横穿道路的行为基本上是安全的。
但是，如果这些条件都不满足，那么发生交通事故的概率就会大大增加。
这就是偶然性的体现。
同样的，火灾、爆炸也常常是偶然发生的。
例如，火灾可能由于电气设备故障、烟雾过大、火源难以控制等原因而发生。
这些都是无法预料的事件，难以进行有效的防范。
同样的，爆炸也可能由于偶然因素而发生，例如瓶子的质量不符合标准、使用者没有正确使用等。
2. 必然性必然性指的是产生安全事故的必然性。
虽然看似矛盾，但是，在某些情况下，安全事故的发生是有必然性的。
这通常是由于人为因素导致的。
例如，过度劳累、酒后驾驶、无意忽视安全标识等都是导致安全事故发生的必然因素。
在这些情况下，事故的发生是可以预测的、可控制的。
必然性还体现在安全规程的不合理性上。
安全规程的不合理性可能会导致安全事故的发生。
例如，在某些工作场所，工人不得不长时间进行繁重的体力劳动，或是站着工作、坐着工作导致的身体不适。
如果这些问题没有得到及时解决，那么这些工人的身体负荷将会超过安全标准，安全事故的发生也就变得必然了。
3. 判断安全事故的偶然与必然的依据判断安全事故的偶然与必然，需要从多个方面进行考虑：(1) 是否可预测：如果是可以预测的，那么安全事故的发生基本上是必然的。
(2) 是否可控制：如果是可以控制的，那么安全事故的发生基本上是必然的。
(3) 是否能够改变：如果可以改变，那么这种情况下，做好预防措施是非常有效的。
总的来说，判断安全事故的偶然与必然，需要综合考虑多种因素。
概率论与数理统计教程
1.1 随机事件和样本空间
一、随机现象 二、随机试验 三、样本空间 样本点 四、随机事件的概念 五、随机事件的关系
一、随机试验
1.必然现象（确定） 2.偶然现象（不确定）随机
说明： 1.随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联系 ,
其数量关系无法用函数加以描述. 2.随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然性,
1、包含关系 若事件 A 出现, 必然导致 B 出现 则称事件 B 包含事件 A,记作B A 或 A B.
特别地 若事件A包含事件B,而且事件B包含 事件A, 则称事件A与事件B相等,记作 A=B.
2.两事件的和与并
“二事件 A, B至少发生一个”也是一个事件, 称为事件 A 与事件B的和事件.记作A B，显然 A B {e | e A或e B}.
若事件 A 、B 满足 A B 且 AB .
则称 A 与B 为互逆(或对立)事件. A 的逆记
作 A.
事件间的运算规律
设 A, B, C 为事件, 则有
(1) 交换律 A B B A, AB BA. ( AB)C A(BC).
(2) 结合律 ( A B) C A (B C),
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数。 试验中,骰子“出现1点”, “出现2 点”, … ,“出现6点”, “点数不大于4”, “点 数为偶数” 等都为随机事件.
五、随机事件的关系及运算
（1）、随机事件间的关系
设试验 E 的样本空间为 , 而 A, B, Ak (k 1,2,)是 的子集.
推广：
N元情形
n
推广 称 Ak 为n个事件 A1, A2 ,, An 的积事件,
k 1
即A1, A2 ,, An同时发生;
1.概率论的基本概念
问题： 问题： 下面的现象哪些是随机现象？ 下面的现象哪些是随机现象？
太阳从东方升起； A. 太阳从东方升起； 上抛物体一定下落； C. 上抛物体一定下落； 明天的最高温度； B. 明天的最高温度；
掷一颗骰子， D.掷一颗骰子，观察其向上点
数. 随机现象
{
大量性随机现象: 在完全相同的条件下 大量性随机现象: 可重复出现的随机现象 个别随机现象
i=1 ∞
A1 , A2 , …同时发生. 同时发生.
4°A 与 B 的差
A− B
不发生. 事A发生但事 B 不发生.
5°A 的逆事件 A
不发生. 事A 不发生.
对此有 A A = φ , A U A = Ω, A = Ω − A. 6°如果 A B = φ , 即 A 与 B 不同时发生, 不同时发生, 互不相容(或互斥). 则称A与 B 互不相容(或互斥). 要熟知一些常见的关系与运算, 要熟知一些常见的关系与运算,
测试其
可认为任一大于0的数都是一个可能结果， 可认为任一大于0的数都是一个可能结果，
**随机事件： 粗略地讲, 在一定条件下， **随机事件： 粗略地讲, 在一定条件下，试验中 随机事件 可能发生也可能不发生的事件称为 可能发生也可能不发生的事件称为 随机事件. 随机事件. 等表示事件. 一般以大写字母 A, B, C 等表示事件.
概率论与数理统计有广泛应用
(1).金融、信贷、医疗保险等行业策略制定； (1).金融、信贷、医疗保险等行业策略制定； 金融 (2).流水线上产品质量检验与质量控制 流水线上产品质量检验与质量控制； (2).流水线上产品质量检验与质量控制； (3).服务性行业中服务设施及服务员配置 服务性行业中服务设施及服务员配置； (3).服务性行业中服务设施及服务员配置； (4).生物医学中病理试验与药理试验 生物医学中病理试验与药理试验； (4).生物医学中病理试验与药理试验； (5).食品保质期 弹药贮存分析， 食品保质期、 (5).食品保质期、弹药贮存分析，电器与电 子产品寿命分析； 子产品寿命分析； (6). 物矿探测、环保监测、机械仿生与考古； (6). 物矿探测、环保监测、机械仿生与考古；
概率的故事
德摩根 布丰 Ｋ ·皮尔逊 Ｋ ·皮尔逊
２０４８ ４０４０ １２０００ ２４００
出现正面朝 上的次数 ｍ
１０６１ ２０４８ ６０１９ １２０１２
频率 m n
０．５１８ ０．５０６９ ０．５０１６ ０．５００５
容易看出，投掷次数越多，频率越接近于 ０．５。如果投掷两枚均匀的硬 币，这两枚硬币落下后，出现四种结果的可能性是相等的，如图：
长为πｄ 的铁丝扔下 ｎ 次时，与平行线相交的交点总数应大致为 ２ｎ。
现在再来讨论铁丝长为 ｌ 的情形。当投掷次数 ｎ 增大的时候，这种铁丝
跟平行线相交的交点总数 ｍ 应当与长度 ｌ 成正比，因而有：
ｍ＝ｋｌ
式中 Ｋ 是比例系数。
为了求出 Ｋ 来，只需注意到，对于 ｌ＝πｄ 的特殊情形，有 ｍ＝２ｎ。于
众宾哗然，一时议论纷纷，个个感到莫名其妙；“圆周率π？这可是与 圆半点也不沾边的呀！”
布丰先生似乎猜透了大家的心思，得意洋洋地解释道：“诸位，这里用 的是概率的原理，如果大家有耐心的话，再增加投针的次数，还能得到π的 更精确的近似值。不过，要想弄清其间的道理，只好请大家去看敝人的新作 了。”随着布丰先生扬了扬自己手上的一本《或然算术试验》的书。
与设想频率相差 －０．００１ ＋ ０．００２ ＋０．０１０ ＋ ０．０１２ ＋０．００５ －０．００８ ＋０．００２ －０．０２８ －０．００５ ＋０．０１０
法格逊觉得：向克斯计算的π，数码出现的次数不基本相同，可能是计 算有错。于是，他下定决心，用当时最先进的计算工具，从 １９４４ 年 ５ 月到 １９４５ 年 ５ 月，整整算了一年，终于发现：向克斯π的 ７０７ 位小数中，只有前 ５２７ 位是正确的，由于从当初向克斯没有发现，使他白白浪费了许多年的光 阴，这真是色。终生的憾事。法格逊的成就，基于他的一个猜想，即在π值 的数值式中各数码出现的概率相等。尽管这个猜想曾导致法格逊发现并纠正
《概率论与数理统计》笔记
《概率论和数理统计》笔记一、课程导读“概率论和数理统计”是研究随机现象的规律性的一门学科在自然界，在人们的实践活动中，所遇到的现象一般可以分为两类：确定性现象随机现象确定性现象在一定的条件下，必然会出现某种确定的结果．例如，向上抛一枚硬币，由于受到地心引力的作用，硬币上升到某一高度后必定会下落．我们把这类现象称为确定性现象（或必然现象）．同样，任何物体没有受到外力作用时，必定保持其原有的静止或等速运动状态；导线通电后，必定会发热；等等也都是确定性现象．随机现象在一定的条件下，可能会出现各种不同的结果，也就是说，在完全相同的条件下，进行一系列观测或实验，却未必出现相同的结果．例如，抛掷一枚硬币，当硬币落在地面上时，可能是正面（有国徽的一面）朝上，也可能是反面朝上，在硬币落地前我们不能预知究竟哪一面朝上．我们把这类现象称为随机现象（或偶然现象）．同样，自动机床加工制造一个零件，可能是合格品，也可能是不合格品；射击运动员一次射击，可能击中10环，也可能击中9环8环……甚至脱靶；等等也都是随机现象．统计规律性对随机现象，从表面上看，由于人们事先不能知道会出现哪一种结果，似乎是不可捉摸的；其实不然．人们通过实践观察到并且证明了，在相同的条件下，对随机现象进行大量的重复试验（观测），其结果总能呈现出某种规律性．例如，多次重复抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上的次数几乎相等；对某个靶进行多次射击，虽然各次弹着点不完全相同，但这些点却按一定的规律分布；等等．我们把随机现象的这种规律性称为统计规律性．●使用例子摸球游戏中谁是真正的赢家在街头巷尾常见一类“摸球游戏”．游戏是这样的：一袋中装有16个大小、形状相同，光滑程度一致的玻璃球．其中8个红色、8个白色．游戏者从中一次摸出8个，8个球中．当红白两种颜色出现以下比数时．摸球者可得到相应的“奖励”或“处罚”：结果（比数） A(8:0)B(7:1)C(6:2)D(5:3)E(4:4)奖金（元）10 1 0.5 0.2 -2 注：表中“-2”表示受罚2元解： 此游戏（实为赌博），从表面上看非常有吸引力，5种可能出现的结果．有4种可得奖．且最高奖达10元．而只有一种情况受罚．罚金只是2元．因此就吸引了许多人特别是好奇的青少年参加．结果却是受罚的多，何以如此呢？其实．这就是概率知识的具体使用：现在是从16个球中任取8个．所有可能的取法为816C 种．即基本事件总数有限．又因为是任意抽取．保证了等可能性．是典型的古典概型问题．由古典概率计算公式．很容易得到上述5种结果．其对应的概率分别是：3807048730121800099460000155404848385828681878.C C C P(E);.C C 2C P(D);.C C 2C P(C);.C C 2C P(B);.C 2P(A)816816816816816==========假设进行了1000次摸球试验， 5种情况平均出现的次数分别为：0、10、122、487、381次，经营游戏者预期可得2×381-(10×0＋1×10＋0.5×122＋0.2×487) =593.6（元）． 这个例子的结论可能会使我们大吃一惊，然而正是在这一惊之中．获得了对古典概率更具体、更生动的知识.戏院设座问题乙两戏院在竞争500名观众，假设每个观众完全随意地选择一个戏院，且观众之间选择戏院是彼此独立的，问每个戏院至少应该设多少个座位才能保证观众因缺少座位而离开的概率小于5%?解 由于两个戏院的情况相同，故只需考虑甲戏院即可。
概率与统计：偶然—必然
1654年7月到10月间， Pascal 与 Fermat 讨论了从“赌金
问题”中提出的问题，他们之间频繁的通信，被认为是数学 史上最早的概率论文献，开始了概率论和组合论的研究。
1654年，Mere，Cheradierde（1610 ~ 1685）向 Pascal 提
出一个类似于“Pacioli 赌金问题”的问题： 两个赌徒各出相等的赌金，规定先胜 S 次者赢得全部赌
例3、1654年8月24日Pascal 给 Fermat 的信（摘要） 我们采用一种新方法来讨论：甲胜 S - 2 次、乙胜 S - 3 次
时终止赌博如何分配赌金。 再有 4 次就可以确定胜负，将这种赌 4 次的赌局转换为赌
一次的赌局，即同时掷 4 个骰子。设对甲有利的骰面为 a ，对 乙有利的骰面为 b ，则会出现 16 种可能的骰面排列组合：
掷骰子问题给出科学的方法和精确的结果，但是他们的努力却 为概率论的创立作了有益的积累。
二、理论概括 文艺复兴以后，在欧洲促使概率论产生的强大动力来自
社会实践。随着生产的发展、社会的进步，尤其是商业、航 海业日益发达，保险业兴起。保险的对象都带有明显的随机 性色彩，这就需要对大量随机现象的规律性进行分析、研究， 从而为保险业提供一般理论。因此，概率论产生的时机来到 了。
令 m = s - a，n = s - b，则甲、乙两人应得赌金之比为
0
1
n -1
0
1
m -1
（C m + n -1+ Cm+n -1+ ···+Cm+n-1）：（Cm+n-1+ Cm+n-1+···+Cm+n-1 ）
概率统计(新课本) 第一章
四、 概率的古典定义
1. 古典概型－有限等概模型 设随机试验E 具有下列特点： 基本事件的个数有限 每个基本事件等可能性发生 则称 E 为 古典概型。 2. 概率的古典定义（P16 ,Laplace,1812年提出)
nA A中包含基本事件数 A中包含的样本点数 P ( A) = = = n 基本事件总数 样本点总数
（1）掷硬币试验
实验者 德•摩根 蒲 丰
n 2048 4040
nH 1061 2048 6019 12012 14994
fn(H) 0.5181 0.5069 0.5016 0.5005 0.4998
K •皮尔逊 12000 K •皮尔逊 24000 维尼 30000
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第一章
随机事件及其概率
一、概率这一概念的基本共识
§1.2 随 机 事 件 的 概 率
随机事件A发生的可能性大小的“量”，称为 随机事件的概率, 记为P(A). 直观上, 这个“量”用一个 数来刻划比较符合人们的认识规律。 显然： P(Ω)=1; P(Φ)=0. 0≤P(A)≤1, A为任意事件。
二、历史上概率的四次定义
①统计定义 ②古典定义 ③几何定义 ④公理化定义 基于频率的定义 概率的最初定义(1812,Laplace) 古典定义的扩展 1933年(柯尔莫哥洛夫)
(2) B = A1 B + ... + A5 B .
B
A
Ω
A 1
A Ω 5 A4
A1 B
2
A
BA B AB
A3 B
4
A5 B
A2
A 3
第一章
随机事件及其概率
例2 设A,B,C表示三个随机事件,试将下列事件 利用事件的关系和运算，用A,B,C表示出来。 (1)三个事件都发生 (2)A发生, 但B、C都不发生 (3)三个事件中至少有一个发生
《概率与统计》的认识及教学建议
对新教材第三册（选修）第一章《概率与统计》的认识及教学建议一、增加本章内容的背景与作用在全日制普通高级中学《教学大纲》中，增加概率与统计的初步知识是高中数学教学内容改革的重要组成部分。
《高中数学课程标准》的框架设想中指出，中学的概率与统计的教学，是中国数学教学的弱点，现在正在大力弥补。
由于概率、总体、样本等的概念很复杂，对高中学生来说难以严格地说清楚，所以新教材中采用描述方法来说明。
由于概率统计知识与日常生活、自然知识、社会生产实践的联系紧密，而日常生活中许多事件的发生往往是随机发生的，这与中学数学中长期占统治地位的确定性数学研究的对象有很大的不同，但它在数学众多分支中别具一格，与众不同。
教材中按排概率与统计的教学内容主要是培养学生的随机观念，弄清随机变量的取值规律是用概率和分布刻划的，会用随机观点处理随机现象，知道统计结果是概率地呈现的，可以有误差。
这样可使学生感觉到确定性和随机性数学思维方法的本质区别。
高中概率与统计内容教学的线索应该是：提出问题、收集资料、整理资料、解释资料、研究资料特征，做出统计判断，要使学生经历这样的全过程。
数据处理需要学生参与。
数据处理和概率的教学，主要依靠编制事例，提出课题，进行实际问题的处理。
在本章的第二部分“统计”中，教材选择了数理统计中最基本的问题来介绍这门学科的思想和方法。
第一个问题，就是采集样本。
有样本才能作统计推断。
抽样方法就是介绍怎样科学、合理公正地采集样本，教材介绍了简单随机抽样是最基本的抽样方法。
第二个问题，就是从样本中分布估计总体的分布。
教材首先介绍了总体分布的意义，并且实际例子介绍了用样本的频率分布估计总体分布。
第三个问题，就是假设检验。
教材利用线性回归的内容，介绍了相关系数的假设检验，通过具体的操作方法，介绍了假设检验的基本思想。
首先作出一个统计假设，在此假设下某些随机事件是否发生，从此来判断事先所作的统计假设：拒绝这个假设，还是接受这个假设。
《概率论与数理统计》第一章知识点
第一章随机事件及概率1.1随机事件1.1.1随机试验一、人在实际生活中会遇到两类现象：1.确定性现象：在一定条件下实现与之其结果。
2.随机现象（偶然现象）：在一定条件下事先无法预知其结果的现象。
二、随机试验满足条件：1.实验可以在相同条件写可以重复进行；（可重复性）2.事先的所有可能结果是事先明确可知的；（可观察性）3.每次实验之前不能确定哪一个结果一定会出现。
（不确定性）1.1.2样本空间1.样本点：每次随机试验E 的每一个可能的结果，称为随机试验的一个样本点，用w 表示。
2.样本空间：随机试验E 的所有样本点组成的集合成为试验E 的样本空间。
1.1.3随机事件1.随机事件：一随机事件中可能发生也可能不发生的事件称为试验的随机事件。
2.基本事件：试验的每一可能的结果称为基本事件。
一个样本点w 组成的单点集{w}就是随机试验的基本事件。
3.必然事件：每次实验中必然发生的事件称为必然事件。
用Ω表示。
样本空间是必然事件。
4.不可能事件：每次试验中不可能发生的事件称为不可能事件，用空集符号表示。
1.1.4事件之间的关系和运算1.事件的包含及相等“如果事件A 发生必然导致事件B 发生”，则称事件B 包含事件A ，也称事件A 是B 的子事件，记作A B B A ⊃⊂或。
2.事件的和（并⋃）“事件A 与B 中至少有一个事件发生”，这样的事件称为事件A 与B 的和事件，记作B A 。
3.事件的积（交⋂）“事件A 与B 同时发生”，这样的事件称作事件A 与B 的积（或交）事件，记作AB B A 或 。
4.事件的差“事件A 发生而事件B 不发生”，这样的事件称为事件A 与B 的差事件，记作A-B 。
5.事件互不相容（互斥事件）“事件A 与事件B 不能同时发生”，也就是说，AB 是一个不可能事件，即=AB 空集，即此时称事件A 与事件B 是互不相容的（或互斥的）6.对立事件“若A 是一个事件，令A A -Ω=,称A 是A 的对立事件，或称为事件A 的逆事件”事件A 与事件A 满足关系：=A A 空集，Ω=A A 对立事件一定是互斥事件；互斥事件不一定是对立事件。
《概率论与数理统计》课程思政元素
《概率论与数理统计》课程思政元素
一、辩证思维能力的培养
通过概率论与数理统计的学习，学生可以深刻理解偶然性与必然性的对立统一关系，树立辩证唯物主义世界观。
这种思维方式不仅有助于学生更好地理解课程内容，还能在日常生活中指导他们看待问题和做出决策。
二、科学精神与创新意识的激发
课程强调数据的真实性和分析的客观性，这有助于培养学生的科学精神。
同时，通过引导学生运用所学知识解决实际问题，鼓励他们进行创新思考和实践，从而激发他们的创新意识。
三、职业道德与工匠精神的培育
在学习过程中，强调数据的严谨性和分析的准确性，这有助于培养学生的职业道德和工匠精神。
学生将学会在工作中追求精益求精，注重细节，对待每一项任务都认真负责。
四、社会责任感的提升
通过课程中的实际案例，引导学生关注社会问题，如贫富差距、环境污染等，并运用概率论与数理统计的知识进行分析。
这将有助于提升学生的社会责任感，使他们更加积极地参与到社会问题的解决中来。
五、文化自信与家国情怀的增强
在课程中穿插介绍我国数学家在概率论与数理统计领域的杰出贡献，以及该学科在我国社会经济发展中的重要作用。
这将有助于增强学生的文化自信和家国情怀，激发他们为国家的繁荣富强贡献自己的力量。
综上所述，《概率论与数理统计》课程的思政元素涵盖了辩证思维、科学精神、职业道德、社会责任感以及文化自信等多个方面。
这些元素不仅有助于提升学生的专业素养，还能培养他们的思想道德品质，为实现高等教育的全面发展目标奠定基础。
1。
运用偶然和必然的辩证关系说明小概率事件的例子
运用偶然和必然的辩证关系说明小概率事件的例子家里突然有了一只猫，可以作为偶然与必然辩证关系的一个例子：在一定程度上，猫出现是必然的，因为如果不发生类似情况，就不可能有猫；但又取决于具体情况，如钱够不够，猫是买来还是赠送等，偶然也是一个必要因素。
因此偶然和必然有较小的概率相交，最终导致了家里出现了一只猫的小概率事件。
从某种角度来看，偶然和必然是一种辩证关系，可以用来说明小概率事件的例子。
一、概述偶然和必然之间的辩证关系说明了对于一件事情，它发生与否通常不是一个孤立的偶然事件，而是由一系列联系紧密的因果关系和规律性决定的必然。
当处理某个问题时，偶然和必然通常是互相制约，相互影响的。
二、偶然与必然之间的关系从某种角度讲，偶然和必然是一种辩证关系，也就是说他们之间存在着一种有机的联系，偶然并不是一个独立的事物，而是经过联系和规律性的因果联系形成的一种必然规律。
换句话说，在一定程度上，一件事情发生与否，往往受到这种联系的影响，在一定程度上它也被保证了发生与否的概率。
三、小概率事件小概率事件即指一个事件发生的概率比较低的事件，这种事件的发生很少会出现某种重大的影响，但却是一些不可预料的变化和不可抗拒的偶然，因此小概率事件有着十分重要的意义。
其实，小概率事件往往是一种偶然与必然混合的结果，既有一定概率又有一定规律，所以说小概率事件才可以正确地理解我们对它的认知。
四、实例分析小概率事件的例子很多，比如百分之一的概率赢得同等财富的抽奖，五十美元的小金库特别转账，百分之一的概率给银行账户转账。
这样的例子使得小概率事件不仅仅体现在实际事件上，还出现在我们日常生活中。
在我们实际应用过程中，偶然与必然关系也得到了凸现，也就是说一些小概率事件，既具有一定必然性，又有一定偶然性，表面上看似纯粹偶然事件，实际上是一种小概率事件，两者是有有机联系的。
五、结论总之，偶然与必然之间的辩证关系说明了对于一件事情的发生，它不是一个孤立的、纯粹的偶然事件，而是由一系列联系紧密的因果关系或规律性决定的一种必然规律。
必然和偶然的例子
必然和偶然的例子标题：必然还是偶然？——解读彩票中奖事件内容：近日，某彩票中心爆出大奖出现，一位幸运儿获得了亿元大奖。
这不禁让人思考，这是必然还是偶然呢？彩票中奖事件本身就存在着必然和偶然两种可能性。
彩票中奖的概率一般都被人们认为是非常小的，甚至很多人都认为中奖只能是偶然。
但其实，中奖也可能是必然的，只要你掌握了一定的方法，或者是运气比较好，中奖的可能性还是很大的。
首先，中奖的人数与所销售的彩票数量密切相关。
如果总共卖出的彩票数量很大，那么中奖的概率自然也会增加。
而如果总共卖出的彩票数量比较小，那么中奖的概率则很小。
因此，如果想要增加自己中奖的概率，可以选择在彩票总销售量比较小的时候去购彩。
其次，购买彩票的方式也会影响中奖的概率。
如果选的号码比较符合大众心理，那么中奖的概率就比较小。
而如果在选择号码时选择与众不同的，或者是基于专业知识而选出的号码，那么中奖概率就会大大增加。
最后，中奖也与运气有密切关系。
有些人运气好，几乎每次购买彩票都能中奖；有些人运气差，一辈子都不见得能中过一次奖。
那么，想要增加自己中奖的概率，除了选择了卖彩票总销售量比较小的时候去购买，还可以选择出门前右脚先迈一步、开九块的车、见事燃香、做好心理准备等方法来增加自己的运气。
综上所述，彩票中奖事件既有必然的因素，也有偶然的因素。
如果要增加自己中奖的概率，可以从多方面入手。
但也要注意，把购彩看做一种娱乐活动，并不要过分依赖中奖给自己带来的利益，更不要去追求不可能的梦想，付出比收获更多的代价。
概率与统计知识拓展
【知识拓展】1．“偶然”、“随机”应用的妙处．在某些国家的天气预报节目中，你会看到画面下方有一行注释性的文字：“降水概率82%”，关于这些注释，不用解说员过多解释人们也能明白：“今天下雨的可能性很大”．或人们常说的：“八成要下雨了，带上伞比较好．”但如果说降水概率为20%，你要不要为下雨作准备呢?一般人可能会想：“算了，下雨的可能性不大，不用带伞了．”可有时就因为这20%，你就会被雨淋一下子，这时你能怪气象台吗?天气预报并没有说不下雨，只是下雨的“概率”很小而已．太阳从东方升起，这是必然现象，永远也不会改变，但明天是否下雨，一般来说就没有必然性了，可能下，也可能不下，是偶然事件．在数学上，把偶然事件又称作随机事件，可事件的发生与否会随机而定吗?必然事件发生的可能性是100%，不发生的可能性为0%，而随机事件就不是这样了，发生的可能性可以为1%，也可以为99%，发生的大小可以用一个小数来衡量，这个数就叫做概率，概率的最大值取1，最小值取0．随机事件大量存在，自然界刮风下雨，社会中的彩票，炒股等等，都是随机现象．今天的股票是涨还是跌?那可没准，既可能疯狂飚升，也可能一落千丈．其他如某城市一天中交通事故的数目、学生某次考试的成绩等都具有随机性．人们常说的“风险”就是随机事件的一种认识．人活于世，不可能事事顺心，样样如意，有时候必须去搏，敢于冒险，对随机事件做出自己的判断，把“不一定”发生的事情变成现实，这就是我们的“胜利”．如果老是想干十拿九稳的事，大概成就不了大事业．说了这么多，究竟“偶然”、“随机”有什么用处呢?概率论能帮我们去处理随机事件吗?回答是肯定的，概率论就是用数学方法来计算各种随机事件发生的概率的大小，并用于指导人们的行动，虽说“天有不测风云”，气象台还是要给出各种天气现象发生的概率．1999年的冬天，中央气象台没有预报某某的一次大的降雪过程(即得出降雪的概率为0)．结果那里下了大雪，为此天气预报主持人还表示道歉，由此表明，中央电视台的预报准确率还是比较高的，由于偶然出错，才需要道歉．同样，尽管股市风险无常，股评家仍然在电视台上做各种预测，只不过其准确性远不如气象预报，股评不准，电台就不会负责任了．如此看来，概率确实和人们的生活息息相关，从而我们都应去了解概率的知识，“偶然”、“随机”各有自己的妙处，在各种场合的中奖问题中，这一点尤为突出．为了筹措特殊的资金，比如用于社会福利和体育事业，我国已经开始发行福利彩票和体育彩票了，这种彩票的面值不大，中奖后的奖金却高达上百万元．例如，某某的福利彩票，每期的发行量在1000万元左右，如果仅拿出价值的一半做为奖金，头奖的金额就可达100万元，而剩余的一半可用于某某的福利事业．这样既可满足许多人寻求中大奖，发大财的心理需求，又能解决某某市的福利资金问题，可以说是一举两得的善事，又由于彩票的面值较小，多数人不能中奖，就当是为国家的福利事业做了贡献．正是由于这种彩票采取了公开的“幸运抽奖”的方式，且有国家公证机关来保证抽奖的公正性，因而又不同于一般的赌搏，因此受到了政府的支持和人民的信任，这可以说是“偶然”、“随机”为国家做的大贡献，关于其他方面的知识，请读者自己去查阅相关资料．2．“街头摸奖”可信吗?你相信那些用摸彩来吸引人去碰“运气”的游戏吗?我们不妨来试试下面的彩球游戏．准备一个布袋，内装6个红球与6个白球，除颜色不同外，六个球完全一样，每次从袋中摸6个球，输赢的规则为：6个全红赢得100元5红1白赢得50元4红2白赢得20元3红3白输100元2红4白赢得20元1红5白赢得50元6个全白赢得100元如果你摸出了3红3白则输100元．而对于其他六种情况，你均能赢利相应的钱数，而不用花其他的钱，怎么样?动心了吗?[注：这个规则有时称为“袋子”模型]乍一看，此规则似乎处处对顾客有利，许多人都难免动心去碰碰“运气”，甚至有人连连试了数次．然而，顾客一个个都免不了扫兴而去，一连十几个人各试了5次，结果都以失败告终，每人输的钱在60元到130元不等，而且试的次数越多，则输的越多．其实，我们想一想也该明白，天下哪有免费的午餐呢?但要知道为什么会输就要用到我们的概率的知识了，要弄清这个问题并不难，我们不妨逐一计算顾客中奖的可能性，也就是输赢规则中7种情况各自出现的概率大小．用概率论的语言说，假如7种情况是等可能的，则赢的机会为76，输的机会仅为71,摸7次有6次都应该赢．但游戏的妙处就在于这7种情况的发生不是等可能的．由于球的形状、大小、重量等完全一样，所以我们无法看到的情况下是无法区分红球和白球的，任意摸6个球，不论红或白，共有924C 612=种可能，由此就可以计算出摸到5红1白的概率为%9.3C /C C 6121656=⋅．而摸到3红3白的概率为%2.43C /C C 6126336=⋅．可见，输钱的可能性约占21，正是由于各种情况出现的概率不均等，才导致了人们上当受骗，这7种情况出现的概率如下所示：结果出现的概率6个全红 0.1%5红1白 3.9%4红2白 24.4%3红3白 43.2%2红4白 24.4%1红5白 3.9%6个全白 0.1%很显然，上面7种情况的概率加起来是1，它们把全部的可能性100%进行了不均等的概率分配，从中还可以看出，要想摸出“6个全红”或“6个全白”的可能性仅为0.1%，相当于1000次中只有1次会赢100元，这是一个概率很小的事件，根据实际推断原理，在一次摸取中，基本上是不会发生的，而摸到3红3白的可能性为43.2%，即几乎每两次就有一次可能出现，几乎有一半的机会输掉100元，这就是摸得越多，输得越多的原因．为了进一步所以，我们赢钱的数学期望为()432.0100244.020039.050001.01002E ⨯-⨯+⨯+⨯⨯=η＝2×(0.1＋1.95＋4.88)－43.2＝－29.34．由期望的实际意义可知，我们每摸一次，平均就输掉29.34元．事实上，这种摸彩是一种“机会游戏”，它不过是概率论这门学科的低极表现形式而已，并不是什么新鲜的玩意儿，但若涉及到金钱，它就变成了赌搏．这就告诉我们，遇到诱惑时要谨慎行事，一般来说，诱惑越大的游戏，就越能使人输钱，以至于倾家荡产．3．“同年同月同日生”真的很稀奇吗？如果你学过概率，你就能得出一些使人吃惊的结论来，让我们来看一个著名的数学问题：生日的相合，367个人中间，肯定有两个人的生日相同．[注：这里我们只讨论出生的月份及日期，而不考虑年份．]这是根据抽屉原理得来的(因为一年最多只能有366天)．抽屉原理可叙述为：假如有n ＋1个(或更多)物体装入n 个盒子，那么一定有某个盒子至少装有两个物体．生日问题也许令人困惑：23个人中有两人生日相同的概率便超过21．你也许认为这是巧合．其实，这个奥妙也可以用概率的方法推断出来．为了简单，我们不记闰年，一年按365天算．某年级有n 个人(n ≤365)，问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大?试验是对人数为n 的年级进行生日调查，试验的基本结果是n 个人生日的一种具体分布．由于生日出现的随机性，保证了n 个生日种种分布的等可能性．基本事件的数学结构——构造性处理：把365天设想为365个“房间”，然后按n 个人的生日“对号人室”．这相当于n 个可辨质点的每一个都以相同的概率，等可能地被分配到某一“室”内．形象示意图如下：×表示人□表示日子图1-13基本结果总数就是把n 个人安排进这365个“房间”的所有可能的不同方法数．基本结果的差异不仅依“人”、依“房”，而且还依“房”内的“人数”相鉴别．因而基本事件总数恰为从365个不同元素中每次取出n 个的允许重复的排列数n365(乘法原理)．所关心的事件A ＝{至少有两人的生日在同一天}＝{有两个人的生日在同一天}U{有三个人的生日在同一天}U …U{n 个人的生日在同一天}．这是一个比较复杂的事件，我们应从反面去考虑原事件的逆事件A 的结构： {}同一天任意两个人的生日不在=A＝{n 个人的生日全不相同}＝{365个不同元素，每次任取n 个依一定的顺序排成一列}．这样就抓住了事件A 的数学结构的本质，从而可知A 的基本事件数为n C n365⋅！．由互逆事件的概率关系，即知()().!n 365365!3651365!n C 1A P n n n 365n -⋅-=⋅-= 具体地计算可有下面的结果：n 人中有两个生日相同的概率n15 20 23 24 25 30 40 50 55 P 0.25 0.41 0.51 0.54 0.57 0.71 0.89 0.97 0.99表1-34从表1-34中可知，只要人数n ≥55，则有2人生日相同的概率已相当接近1了． 不少团体人数都在23人以上，若有2人生日相同，可能彼此觉得真有缘分，备感亲切．而我们现在知道这其实是一件很容易发生的事件．中国人有十二种属相，这由某人生于何年而定．可能会令你不解的是：任意四个人中，有两人属相一样的可能约有一半．而在一个6口之家中，几乎可以断定有两个人属相一样．这种问题也是概率论研究的对象．有人曾查阅资料发现：美国前36任总统中有两个人生日一样，3人死在同一天(当然年份不同)．概率论这个数学工具是和人们“朝夕相处”的．4．小概率事件都可以被忽略吗?概率论的目的就在于从偶然性中探求必然性，从无序中探求有序．概率论是机遇的数学模型．你使用过锁吗?如果使用过，那你应该知道，一定不能忘了开锁的．比如你家门上的锁(如图1-14)有6个拨盘．由于每个拨盘上都有10个数字，因此一共可以组成610个不同的6位数码，组成每个数码的可能性是相等的，其中只有惟一的一个数码(例如图中的408226)对准开锁线时，锁才能打开．如果你忘记了开锁的，想试着拨一个数码就把锁打开，其概率仅有：000001.01016=.这个概率是很小的，因此，你想一次就把锁打开几乎是不可能的．做个有心人，我们会发现，生活中有不少这类发生的可能性很小的事情．我们称这类随机事件为小概率事件．人们从长期的实践中总结出：一件事件如果发生的概率很小的话，那它在一次试验中几乎是不会发生的．数学上称这个结论为小概率原理．例如，虽然飞机也有发生事故的时候，但据统计，发生事故的概率为40001，可能性很小，因此，人们可以放心地乘坐飞机．又如骗人的摸彩，桌上放有10X 外表相同的扑克牌，其中5X “梅花”，5X “方块”，一次让你翻5X 牌，如果5X 牌同花色(全是“梅花”，或全是“方块”)就算中彩．你很想碰运气，中彩的概率有多大呢?根据组合数公式可知，从10X 牌中一次翻5X 有()252!510!5!10C 510=-=种不同的等可能取法，而翻到5X 牌同花色只有两种可能．因此，你中彩的概率为,12612522=即你如果翻126次，通常才可能中彩一次(还不能保证一定会有一次)．这个概率很小，按小概率原理，要想翻一次就中彩几乎是不可能的．概率小到怎样才算很小呢?这可没有绝对的标准．只有相对于具体要讨论的事情而定，这正像人们说“这老鼠真大”和“这牛太小”一样，我们是让老鼠与老鼠比，牛与牛比．在生产中，比如一批铅笔的废品率为1%，可以认为1%很小而准许出售；但是，若一批注射用的针药有1%不合要求，使用后会危害人的健康，就不能认为1%小了．如果是发射宇宙飞船，100次有一两次失败，则“发射失败”就不是小概率事件了，尽管其概率也不超过0.02．又如，根据某地近数十年来的气象资料，查知发生极大的风暴仅一两次，因而在建造普通平房时，此小概率事件就可以认为是实际上的不可能事件而不予考虑．但在建造高楼大厦时，同一事件就必须加以重视，不能看成小概率事件，因而就不是实际上的不可能事件，不加以重视就会犯错误!在一般的问题中，一个事件发生的概率低于2%都可以看做是很小的．需要注意，一个小概率事件虽然在一次试验中几乎不会发生，但在多次试验中，常常也会发生．比如在开锁的问题中，虽然试开一次几乎不可能把锁打开，但试开很多次时，也有可能把锁打开．相反地，如果一个事件发生的概率很大(比如在99%以上)，那在一次试验中此事几乎一定会发生．一个小概率事件，不管其概率多么小，其值总是—个确定的正数．设某试验中出现事件A 的概率为ε，不管ε>0如何小，如果把此试验不断独立地重复下去，那么A 必然会出现1次，从而也必然会出现任意多次．这是因为，第1次试验中A 不出现的概率为1－ε，前n 次A 都不出现的概率为()n 1ε-，因此，前n 次试验中A 至少出现1次的概率为()n 11ε--，当n →∞时此概率趋于1．这表示A 迟早出现1次的概率为1．出现A 以后，把下次试验当作第1次，重复上述推理，可见A 必然再次出现．如此继续，可知A 必然出现任意多次，例如，在城市闹区乱放爆竹，就一次而论，引起火灾的可能性并不大，但如果很多人都这样乱放爆竹，则“迟早会引起火灾”这事件发生的可能性就很大．这正是人人皆知的常识在理论上的依据．庞加莱说：“最大的机遇莫过于一个伟人的诞生．”之所以如此，一是由于某人的诞生是一系列随机事件的复合：父母、祖父母、外祖父母…的结合，异性的2个生殖细胞的相遇，而这2个细胞又必须含有某些产生天才的因素；二是婴儿出生以后，各种偶然遭遇在整体上必须有利于他的成功，他所处的时代，他所接受的教育，他的各项活动，他所接触的人、事与物，都需为他提供好的机会．所以，某个特定的人要成为伟人，可能性是极小的．不过，尽管如此，各个时代仍然伟人辈出．一个人成功的概率虽极小，但几十亿人中总有佼佼者，这就是所谓“必然寓于偶然之中”的一种含义．应用小概率原理于伟人问题，一个人成为伟人的概率固然非常小，但千百万人中至少有一个伟人就几乎是必然的了．“必然寓于偶然之中”的另一含义是大数定律，它的特殊情形是频率的稳定性，即频率趋于概率．设某试验中事件A 出现的概率为p>0，将此试验独立地重复n 次，其中A 出现了m 次，于是频率为n m ．根据大数定律，当n →∞时，必然有．因此，当n 充分大时，得m ≈np ．我们不能确切预知一个婴儿的性别，只知他是男性的概率为21．但由于上述定律，我们可以断言，100万婴儿中，约有21即50万个男婴，这几乎是必然的．5．抓阄的方法是公正的吗?概率应用大则可指导生产、科研，小则在日常生活中也大有用处．比如，人们常乐于在分配短缺的情况下用抓阄的办法来解决问题，其合理性保证当然得归功于“概率”．事实上，抓阄的结果是一随机现象，而所谓合理性，无非是说明每个人“中阄”的可能性相等而已!果真如此吗?我们看看下面的问题．某校校庆，给每个班级5X 电影票，初三(2)班是一个团结的集体，共有50个同学，都不愿把电影票占为已有，王老师只好用抽签(抓阄)来决定．他制作了50X 小卡片，在其中5X 上写上电影票字样，让50个人轮流抽签，抽到的则当仁不让去看电影．但问题是同学们都犹豫了!小华提出了一个问题：“抽签也有先后，第一个人抽到的概率是505，如果第一个人抽到，第二个人抽到的概率只有494；如果第一人没有抽到，第二人抽到的概率就是495，抽签未必机会相等!”小陈听到这些话，愣住了，心想：“抽签明明是公平合理的方法，为什么还会有这个奇怪的分析结果呢?”此刻，两人不约而同地把目光转向了王老师，请他解答．王老师指出，小华的分析虽然有道理，但是，他计算出来的两个数494与495不是第二人抽到的概率，而是在第一人抽到或抽不到的条件下第二人抽到的条件概率．实际上，在抽签时不必争先恐后，先抽与后抽的概率是相等的．这可以用全概率公式计算得知．我们也可以用适当的数学语言来描述这个抓阄试验：“5X 电影票，50人抓阄”，其相应的样本空间的样本点可认定是50个阄按抓阄顺序在直线上的一次排列(5个代表有票的阄在这50个位置的某5个位置上)．由于事先阄混合得充分均匀，50个阄在直线上的每种排列的可能性是相等的，因而属于古典概型．我们所关心的第k 个人抓中有票的阄这一事件可如下构造之：设想从5个代表有票的阄中任取一个放在第k 个位置上，然后再把剩下的阄安排在剩下的位置上作全排列，如图1-15．(在第k 个位置先安排“有票的阄△”，再安排余下的阄．)从而由乘法原理知，有票的基本事件数为()!150C 15-⋅，以k P 表示第k 个人抓中阄的概率,即知.101505!50!49C P 15k ==⋅=此值不依赖于k ，即说明每个人抓中阄的概率都等于101，而与抓阄顺序无关．从而“试验”结束后的“倒霉”者也就不会怨天尤人了!可见，抽签的方法是公平合理的．这个例子可以推广到n 个人抓阄分物的情况．n 个阄，其中1个“有”，(n －1)个“无”，n 个人排队抓阄，每个人抓到“有”的概率都是n1． 若n 个阄中，有m(m<n)个“有”，(n －m)个“无”，则每个人抓到“有”的概率都是.n m6．如何应用期望值?美好的愿望是人类生存的精神支柱．为一个特定的目标而奋斗，通过艰苦的努力去战胜各种风险，以至终于达到预先的期望，这种成功的喜悦是最激动人心的场面之一：期望!伟大的期望!期望与风险并存．数学家从期望值来观察风险，分析风险，以便作出正确的决策．古典概率论可以说发源于此．帕斯卡(Pascal)首先提出了数学期望值的概念．如果卖出彩票1000X ，奖金总额为500元，那么帕斯卡会说，你每购买一X 彩票的期望值为().50.010001500元=⨯ 如果你买了600X ，那么期望值将是 ().3005005350010006005.0600元=⨯=⨯=⨯ 一般地，定义期望值E 为概率P 乘以奖金数A ，即E ＝P ·A ．我们也可以把期望值看成是一长串统计试验的结果．例如上例中，买600X 彩票，不妨看做在5000次摸彩中，3000次中奖，2000次落空(概率是53)，奖金为500元，故 ().30050053052500050050050000030002000元次次=⋅+⋅=+++++++我们可以说，摸奖落空的概率是52P 1=(奖金为0A 1=元)，获奖的概率是53P 2=(奖金为500A 2=元)，所以期望值E 可以定义为. A P A P E 2211⋅+⋅=再看一个复杂些的例子．假如有一场竞赛，规则如下：如掷一个骰子，出现1，你赢10元；出现2或3或4，你输2元；出现5或6，不输不赢．这场竞赛对你是否有利?我们还是算期望值．出现1的概率是61，出现2，3，4的概率是,63即21，出现5，6的概率是,62即31．所以期望值E 为(). 320312211061=⨯+-⨯+⨯ 因此，这场竞赛对你是有利的．以上我们举的是掷骰子、摸彩票的例子，好像如果不去赌博的人永远不会碰到期望值问题，其实不然，我们天天在和期望值打交道．例如，有一家个体户，有一笔资金，如经营西瓜，风险大但利润高(成功的概率为0.7，获利2000元)；如经营工艺品，风险小但获利小(95%会赚，但利润为1000元)．究竟该如何决策?于是计算期望值．若经营西瓜，期望值20007.0E 1⨯=即1400元．而经营工艺品为. 950100095.0E 2元=⨯=所以权衡下来，情愿“搏一搏”，去经营西瓜，因它的期望值高．期望值这个概念，并不是很容易接受的．在有些人看来，如中奖就拿1000元，不中奖就一分钱也没有，这个期望值1元(中将概率0.001乘以1000)是什么“东西”?应该说我国的广大干部和群众对这一数学知识的理解和认识是很差的，远不及“平均数”和“百分比”那样普及．但是在商品经济不断发展的今天，风险处处存在，决策时时要作．如无“期望值”的概念，作为领导者连经济人员写的可行性报告也看不懂，那怎么进行工作?这里我们不妨举一个某省关于某工程的投资决策的实例．某新工艺流程如投产成功可收益300万元．但投产之前，必须有小试和中试两步，每次分别需2万元和36万元．小试的成功率为0.7．如做两次小试，则成功率可提高到0.8，小试基础上的中试的成功率为0.7，如直接搞中试的成功率为0.5．于是有三种决策：(1)一小试一中试，此时工程投资获益的期望值为()(). 8.1197.0300367.02E 1万元=⨯+-⨯+-=(2)两小试一中试，此时期望值为()(). 2.1357.0300368.04E 2万元=⨯+-⨯+-=(3)有些领导急于求成，想省去小试，直接搞中试，那么期望值将是-36＋0.5×300＝114(万元)．显然，这时采取第二方案最有利．但是，如果一位领导者没有概率知识，对期望值概念一无所知，那么他对这份决策报告也许看不懂，不理解，这就很成问题了．让我们再举一个用期望值进行决策的例子．某投资者有10万元，有两种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获取利息．买股票的收益取决于经济形势，假设可分三种状态：形势好、形势中等、形势不好(即经济衰退)．若形势好可获利40000元，若形势中等可获利10000元，若形势不好要损失20000元．如果是存入银行，假设年利率为8%，即可得利息8000元．又设经济形势好、中、差的概率分别为30%、50%和20%．试问若采用某一标准，应选择哪一种方案?下面给出采用期望标准的解法．设1a 为购买股票，2a 为存银行，1θ为经济形势好，2θ为经济形势中等，3θ为经济衰退，()()3,2,1i P i =θ为三种形势的概率，ij a 为第i a 种方案和第j θ种状态结合的结果，把它们列成一X 表(称之为报偿表)，即：从上表可以看出，如果购买股票在经济形势好()1θ和经济形势中等()2θ的情况下是合算的，但如果经济形势衰退()3θ时，则采取存银行的方案比较好．因为这三种状态都有可能出现，采用期望值标准似乎是合理的．所谓期望值标准就是将各种情况下的收益分别乘以其概率之和．根据本例的数字，1a 和2a 的期望值标准分别为：()()()()().8000a EMV 130002.0200005.0100003.040000a EMV 21 ,元元==⨯-+⨯+⨯=因为()()21a EMV a EMV >，所以1a 方案期望的收益比2a 大．按最大收益原则，取期望收益高的方案，淘汰期望收益低的方案，所以应采用购买股票的方案．对上面的结果，有人提出疑问，购买股票方案在经济形势好和经济形势中等时获益自然是高，但若出现经济衰退，岂不损失惨重，他觉得从风险小的角度出发，无论如何也能赚进8000元，似乎存银行方案更优些．下面我们将从机会损失的角度出发，采用最小期望机会损失的标准选择最优方案，看存银行和购买股票两种方案孰优孰劣!这里的机会损失顾名思义就是指采用该方案的实际权益与采取能获得最高收益的方案时收入相比较的差额．将问题按机会损失列表如下：两个方案的期望机会损失分别为：()()()().元106000.200.520000.332000a EOL ，元56000.2280000.500.30a EOL 21=⨯+⨯+⨯==⨯+⨯+⨯=所以按最小期望机会损失的标准，还是应选择1a 方案． 说到这里要提另外一个问题：商业情报的价值几何?大家知道，商场如战场，商业情报可能会挽救一个企业，也可能搞垮一个巨大的集团．于是在现代信息技术高度发达的今天，一些信息咨询公司、市场调查机构就应运而生了．他们手中有某些商品的市场供求情报、市场需求预测，如现在普通市民对VCD 的需求如何，DVD。
中国古代对于偶然和必然的认识
中国古代对于偶然和必然的认识——形而上和形而下的启示史宁中东北师范大学数学与统计学院（长春市 130024）（教科书认为：偶然和必然是反映事物由本质因素和非本质因素所引起的两种不同类型的联系和发展趋势及其相互关系的一对哲学范畴。
）偶然和必然是描述事物发生形态的术语。
在这样的语境中人们普遍认定，事物的发生在本质上只有这两种形态。
这样，我们就可以得到三种可能的论断：偶然和必然是对立并存的，事物的发生要么是偶然的，要么是必然的；事物的发生既是必然的又是偶然的，可以通过必然解释偶然；事物的发生既是偶然的又是必然的，可以通过偶然认识必然。
恩格斯曾经有力地批驳了第一种情况，他在《自然辩证法》中说1：“这就是说：凡是可以纳入普遍规律的东西都是必然的，否则都是偶然的。
任何人都可以看出：这等同于这样一种科学，它把它能解释的东西自称为自然的东西，而把它解释不了的东西归之于超自然的原因；把解释不了的东西产生的原因，叫做偶然性或者叫做上帝，对事情本身来说是完全无关紧要的。
…在必然的联系失效的地方，科学便完结了。
”古代西方重视的大概是第二种情况。
在西方思想史中，关于偶然和必然的论述是从古希腊的哲学家留基伯开始的，因为他说过2：“没有什么是可以无端发生的，万物都是有理由的，而且都是必然的。
”他的学生德谟克利特论述的更加充分，他举例说明3，某些看来是偶然的事件，像种橄榄时挖地发现了宝藏，秃鹰从高空猛扑乌龟而碰破了脑袋等，都有必然的原因。
仔细分析他们的论述可以发现，他们更多地是在强调事物发生的原因。
这种思想对于现代的认识是有影响的，因为下面的说法是普遍认同的4：“必然性产生于本质因素，即事物内部的主要原因，决定着事物总体的发展前途和方向。
偶然性产生于非本质因素，即事物次要的外部的原因，在发展中一般居于从属地位，使总体上确定不移的过程在具体环节上又表现出非确定性的特点。
”1参见《自然辩证法》第92页，恩格斯著，于光远等译编，人民出版社，1984年。
概率与统计在中学数学中的应用刘晨希
概率与统计在中学数学中的应用刘晨希随着我国中学数学课程改革的发展，概率与统计的相关内容开始逐渐加入到中学数学课程中来，这既是概率统计学科发展应有的结果，也体现了新课程改革发展的演变过程。
在中学数学课程中，学生的认知层次主要局限于对具有因果关系的确定性事物的把握。
对偶然性与必然性的了解还比较肤浅，仅停留在定性甚至是感性认识的水平之上。
概率统计的特征在于随机性和规律性，通过研究随机现象，对随机现象进行描述，帮助我们预测结果进而做出合理的决策。
通过对概率统计知识的学习，我们可以掌握这种不确定性的思想，进而达到对事物本质的把握。
概率和其他确定性学科一样，是帮助我们认识世界，解决现实世界许多实际问题的重要科学方法。
因此，概率与统计内容引入到中学课程既合乎情理同时也具有它的必要性。
概率与统计既是现代数学的重要组成部分，又是近代经济尤其是计量经济学研究与应用的重要数学工具，特别是统计技术是信息社会数字化的必不可少的工具，与数学的其他分支有着密切联系，并在各个领域有着广泛的应用。
将概率与统计内容引入中学数学课程，有助于让学生认识到掌握概率统计工具对今后学习、工作和发展将会有着重要作用，在当今知识经济和信息时代，掌握这个工具及计算机基本运算准则将有利于学生取得长足的发展。
概率与统计的教学目的之一是使学生懂得研究随机现象的数学思想及基本统计方法，培养学生分析统计方法的特点、应用条件、适用范围和解决统计推断问题的能力，结合实际，掌握在计算机辅助下解决统计问题的技能。
概率统计从一个独立的学科发展到广泛地进入中学课程，只用了短短的几十年时间，这样的速度是代数、几何等其他内容不可比拟的。
然而，这样的快速推进也造成了教学研究跟不上课程改革步伐的被动局面。
因此在概率统计的教学中，在内容的安排、知识的展开、概念的外延、教学的策略、以及与其他学科的联系等方面加以研究都有着重要的意义。
由于概率统计课程的特殊性，应当对它的教学方向的问题进行充分的分析和研究，这样才能帮助我们合理地处理教材，设计教学过程，使教学达到应有的效果。
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但您在来信的最后一个例子中说，如果我在赌博时（以
掷八次为一局）要的是六点，而连掷三次都没有得到这个点 数。对手建议我不掷第四次，那我就该得到全部赌金的 125/1296作为补偿。
1 分，形成 2 ：2 的局面，这种情况下终止赌博，则甲、乙各 得赌金 32 。
我认为，在“甲得 2 分，乙得 1 分”的情况下终止赌博，
甲应该说：无论上述两种情况哪一种发生，我首先应得一半赌
金，至于剩下一半，我们获胜机会均等，应该再平分，所以我 应该得赌金（32 + 16）= 48 。
2、若甲得 2 分，乙得 0 分： 如果甲再得 1 分，则可得赌金 64；如果甲输掉，而乙再得 1分，形成 2 ：1 的局面，即1、的情形。 我认为，在“甲得 2 分，乙得 0 分”的情况下终止赌博， 甲应该说：我首先应得 3/4 赌金，至于剩下 1/4 ，我们获胜机 会均等，应再平分，所以我应得赌金（48 + 8）= 56 。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ掷骰子问题给出科学的方法和精确的结果，但是他们的努力却 为概率论的创立作了有益的积累。
二、理论概括 文艺复兴以后，在欧洲促使概率论产生的强大动力来自
社会实践。随着生产的发展、社会的进步，尤其是商业、航 海业日益发达，保险业兴起。保险的对象都带有明显的随机 性色彩，这就需要对大量随机现象的规律性进行分析、研究， 从而为保险业提供一般理论。因此，概率论产生的时机来到 了。
3、若甲得 1 分，乙得 0 分： 如果甲再得 1 分，形成 2 ：0 的局面，即 2、的情形；如 果甲输掉，而乙再得 1分，形成 1 ：1 的局面，此时终止赌博， 则甲、乙各得赌金一半 32。 我认为，无论如何甲首先应得 1/2 赌金，乙应得 1/8 赌金。 至于剩下的，他们机会均等，应平分。所以，在“甲得 1 分， 乙得 0 分”的情况下终止赌博，甲应得赌金（32 + 12）= 44， 乙应得赌金（8 + 12）= 20。
概率与统计：偶然——必然
• 概率论的源流 • 统计无处不在
• 概率论的源流
概率论的产生、发展，大致可以分为四个阶段：方法积 累、理论概括、系统理论、公理体系。
一、方法积累 始于对随机性游戏胜负的分析，甚至对赌博输赢的估计
及其赌金分配的确定。 Pacioli Luca（1445 ~ 1514） 《算术、几何、比与比例集成》（1494）中提出问题：
在一次赌博中规定，先胜 6 次者获全部赌金。两个赌徒分别 胜 5 次、2次时终止赌博，赌金如何分配？
Pacioli 认为按 5 ：2 分配。 试看先胜16次者获全部赌金，两个赌徒分别胜1 5 次、12 次时终止赌博，赌金如何分配？
Cardan，Jerome （1501 ~ 1576）
分析、估计剩下的次数，提出按（1 + 2 + 3 + 4）：1 的比 例分配赌金。思路正确，算法不对。
做了奠基性的工作。
1654年7月到10月间， Pascal 与 Fermat 讨论了从“赌金
问题”中提出的问题，他们之间频繁的通信，被认为是数学 史上最早的概率论文献，开始了概率论和组合论的研究。
1654年，Mere，Cheradierde（1610 ~ 1685）向 Pascal 提
出一个类似于“Pacioli 赌金问题”的问题： 两个赌徒各出相等的赌金，规定先胜 S 次者赢得全部赌
例1、1654年7月 Fermat 给 Pascal 的信
先生， 如果两人赌博时以掷八次骰子为一局，而在下赌注之后我
与对方商定，我放弃掷第一次的机会，那么根据我的理论应该 得到全部赌金的1/6作为补偿。
如果我继续放弃掷第二次的机会，就应该得到所剩赌金的 1/6，即全部赌金的5/36作为补偿。
如果在第三次轮到我掷的时候，我仍然弃权，应该得到上 次所剩赌金的1/6即全部赌金的25/216作为补偿。
我急于知道您是否同意我的理论，请来信赐教。我相信 我们会取得一致意见的，或者仅仅在它的应用方面有些异议。
致以衷心的祝福。 费马
例2、1654年7月29日Pascal 给 Fermat 的信（摘要） 下面给出两个赌徒之间分配赌金的方法：例如每人投放32
枚金币为赌金，并以先得3分为赢。 1、若甲得 2 分，乙得 1 分： 如果甲再得 1 分，则可得赌金 64；如果甲输掉，而乙再得
金，当他们分别胜 S - 1 次、 S - 2 次时终止赌局， 赌金如何 分配。
Pascal为这个问题考虑了好久，不得其解。于是，他将 这个问题提交给 Fermat 共同讨论，并取得以下共同认识：
1、不仅考虑过去的结果，更应该分析未来的情况； 2、利用组合论来解决概率问题； 3、注意不同类型的概率问题，尤其要区分独立概率、条 件概率。
最初，概率论还是产生于简单的模型，诸如“赌金分配
问题”。因为，从这些简单的问题中更容易呈现出“自然的 随机状态”，更有利于得出典型的规律，譬如“多次试验中 的频率稳定性”，再经过加工、提炼更能有效地形成一般理 论。
在这方面，Pascal，Blaise（1623 ~ 1662）、Fermat， Pierre de（1601 ~ 1665）、Huygens，Christian（1629 ~ 1695）
去世多年后，1663年《赌博之书》中探讨掷 2 颗、3 颗骰 子时，在全部可能的情况中，有多少种情况能得到某一点数。
Tartaglia，Niccolo（1506 ~ 1557）
从数学的角度，计算掷骰子时如何得到某个指定的和数。 运用的方法与排列、组合相关。
尽管 Pacioli 、 Cardan 、 Tartaglia 都没有对赌金问题、
按照我的理论，并非如此。因为在这种情况下，先掷的
三次什么也没得到，赌金总数未变，持有骰子而放弃掷第四 次的人应得的全部赌金的1/6作为补偿。
如果他已掷四次而没有发现期望的点数，双方商定他不 再掷第五次，他依然应得全部赌金的1/6，因为赌金的总数 依然如故。不管是从理论上说还是从常识上说，掷每一次的 价值应该是相等的。