华南理工大学 运筹学 第5章 运输问题(简) 工商管理学院

标准运输问题的表上作业法

最小元素法

按照单位运费由低到高的次序来选择每次迭代中指 派运输量的单元格。
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最小元素法示例1
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最小元素法示例1
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标准运输问题的表上作业法

伏格尔法

在最小元素法的基础上，引入了决策分析中后悔值 的思想：如果存在一个与最低单位运费差异不大的 另一个次低单位运费，那么选择最低单位运费所在 的单元格进行运输所带来的成本节约就不多，事后 后悔的可能性就会较大；反之，如果最低单位运费 与次低单位运费差异较大，则后悔的可能性就较小 。

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标准运输问题的表上作业法
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标准运输问题的表上作业法
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位势法示例1
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位势法示例1
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位势法示例1
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标准运输问题的表上作业法

3- 基本可行方案的改进

检验数为负值的非基变量格增加运输量可以减少总 运费，而在所有检验数为负的非基变量格中，选择 绝对值最大的负检验数所在非基变量格作为入基变 量，则能最有效地减少总运费； 某非基变量格运输量的增加，必然导致其闭回路上 各个顶点单元格运输量的变化，这时需要确定该非 基变量格能增大运输量的上限，以及哪一个原有的 基变量格的运输量会降为0而成为非基变量。
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指派问题示例1
0的位置就是指派 问题中1的位置
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指派问题的扩展



1-目标为求最大值的指派问题，可采取的转换 方法与求运输利润最大化的运输问题处理方式 相同。 2- 任务和人员数量不等的指派问题，可采用与 产销不平衡运输问题类似的处理方式。 3- 1个人需要做多项任务，将1个人分解成多个 费用系数相同的人；同理如果1项任务需要多 个人，可以将任务分解多个费用系数相同的任 务。
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标准运输问题的表上作业法
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扩展的运输问题

供大于求
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产销不平衡的运输问题示例1
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扩展的运输问题

供不应求
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扩展的运输问题

2-产地运出量的下限或销地的最低需求必须满 足的运输问题

当某些产地的运出量至少要满足一个规定的下限时 ，这种产销不平衡的问题称为产地运出量的下限必 须满足的运输问题。 类似地，还有销地的最低需求必须满足的问题。这 类问题也可以转化为产销平衡运输问题来求解。
[7] [M] 80 V1=9
35[8]
13[8] [14] 65
[14]
[14]
[16]
[16]
[M]
7[0] [M] 13
115
20 100
U3=-2
U4=-2 U5=-3
70[8] 30[14] 70 85
V2=10 V3=11 V4=17 V5=2
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扩展的运输问题

3-最大值问题
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扩展的运输问题
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运输问题的数学模型

标准运输问题（一类特殊的线性规划问题）的 数学模型为：
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运输问题的数学模型

A矩阵的特性
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标准运输问题的表上作业法

作为一种特殊的线性规划问题，标准运输问题 模型并不包含天然的基变量和初始基本可行解 ，求解时需要在每个等式中引入人工变量，计 算较为烦琐。
对于标准运输问题，在某种特殊形式的表格上 来应用单纯形法，可使求解过程大大简化，这 种方法叫作运输问题的表上作业法。 需特别强调的是，用表上作业法求解运输问题 ，产销平衡是一个基本前提！ 7
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标准运输问题的表上作业法

闭回路

在运输问题表上作业法中，以某非基变量格为起点 ，其余顶点均为基变量格的由横向与纵向路径构成 的闭合回路，称为该非基变量格的闭回路。 任意一个非基变量格一定有且只有唯一的闭回路。

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闭回路法示例1
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标准运输问题的表上作业法

非基变量格检验数的闭回路计算方法：
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应用问题示例1
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指派问题
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指派问题

求解指派问题的匈牙利算法


第1步-各行减去该行的最小元素，各列减去该列的 最小元素； 第2步-判断方案是否最优；

用最少数量的（水平或垂直）直线覆盖0元素，如果直线 数量等于n，则可通过观察读出最优方案：在矩阵中找出n 个0元素，这些0元素中任意两个不在一行或一列中同时出 现，则这些0元素就对应着最优指派方案。如直线数量少 于n，转到第3步。
第5章
运输问题 (Transportation Problems)
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基本概念

将某种物资从若干个产地运输到另外若干个销 地，要求总运费最小的问题，这一类问题及其 衍生问题统称为运输问题(Transportation Problem)。
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引例

FreshFruit公司旗下有3个苹果种植基地，预计 年产量分别为75、125和100吨，近期该公司与 4个不同地区的客户签订了今年的苹果供应合 同，其销量分别80、65、70和85吨。由于交通 条件差异，从3个基地到4个客户所在地的单位 运费不同，其运价表如表所示。
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标准运输问题的表上作业法
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标准运输问题的表上作业法
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伏格尔法示例1
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最小元素法示例2

运输问题的基本可行方案是指包含有m+n-1个 取值非负的运输量的运输方案！！
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最小元素法示例2

错误
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最小元素法示例2

正确
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标准运输问题的表上作业法

2- 最优化判断


判断一个运输方案是否最优，可以通过检验是否存 在这样的非基变量格：令其运输量从0变为1，总运 费将减少。如果存在这样的非基变量格，则当前方 案就不是最优的。 在运输问题表上作业法中，称这个数量为非基变量 格的检验数，其数学意义为非基变量格增加1单位 运输引起的总运费的变化。

1- 给出初始基本可行方案

运输问题的基本可行方案是指包含有m+n-1个取值 非负的运输量的运输方案。 一个初始基本可行方案是运输问题表上作业法求解 的起点，这个方案并不要求是优化的。 如果通过简单的计算能得到一个接近最优解的初始 基本可行方案，则能减少最优判断检验与改进方案 的迭代次数。
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记录该非基变量格闭回路依次经过的顶点的序号（ 其中出发的非基变量格为1），然后用奇数号顶点 格的单位运费之和，减去偶数号顶点格的单位运费 之和。
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闭回路法示例1
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标准运输问题的表上作业法

位势法

检验一个基本可行解是否最优，需要计算mn-mn+1个非基变量(格)的检验数，如果采用闭回路法 计算检验数则需要找出mn-m-n+1条闭回路。 当m和n都很大时，计算检验数的工作将变得麻烦， 这时位势法的优势就非常显著。

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产销不平衡的运输问题示例2

保证各个种植基地的最低产量（ A1为72和A2 为115）全部销售出去。
需求量：80+65+70+85=300 最大供应量：78+135+100=313 最少供应量：72+115+100=287
287 < 300 < 313
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产销不平衡的运输问题示例2
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产销不平衡的运输问题示例2
60
确保运输量为0
最低供应量
“松弛”供应量
需求量和（最大）供应量之间的差值
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扩展的运输问题

如果所有无穷大单位运费（统一用“������”表示 ），当出现以下情况时可以根据以下的规则来 确定该非基变量格的检验数：

(1) 当该非基变量格本身的单位运费就为������时，该 单元格的检验数就是������； (2) 在用闭回路法或位势法计算非基变量格检验数 的算式中，一旦有+������项，则令该格的检验数为������， 而不论是否有−������项出现。
转运问题

(2) 确定供应方的供应量和需求方的需求量：

原始转运问题中供应方的供应量和需求方的需求量 直接移植入标准运输问题；转运点的供应量和需求 量相同，数值为经过该转运点的最大可能转运量。
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转运问题

(3) 确定供应方和需求方间的单位运输费用：

将原始问题中已知的两地之间的单位运输费用移植 入标准运输问题；各转运点到其自身的单位运输费 用为0；对于原始转运问题中不存在的运输路线， 单位运费为无穷大，用任意大的正数������表示。


标准运输问题的表上作业法

解题步骤：

1- 初始化 给出初始基本可行方案；

2- 迭代

第1步基本可行方案的最优判定，判断当前基本可行 方案是否最优。如果不是，进入第2步；

第2步基本可行方案的改进，然后返回第1步；
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标准运输问题的表上作业法

运输问题作业表/产销平衡表
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标准运输问题的表上作业法

求解思路
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转运问题

运输问题中，供应方的货物通过第三方转运点 （中间节点）转运到需求方。
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转运问题

(1) 确定标准运输问题中的供应方和需求方： 转运点既是供应方，又是需求方。

标准运输问题中的供应方为原始转运问题中的供应 方和所有的转运点，需求方为原始问题中的需求方 和所有的转运点。
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转运问题
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其它问题

一些应用问题虽然与物资运输、分销没有任何 联系，但是由于其问题背景与运输问题有相似 的形式，亦可将其抽象并建模为广义的产销平 衡运输问题，从而采用运输问题的表上作业法 进行求解。
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应用问题示例1

某企业未来6周需交付的订单数量(件)、生产线 各周生产能力(件)以及各周的生产成本(元)如 表。由于库存和资金占用因素，每件存储1周 的费用为0.2元。在不允许推迟交付订单的前 提下，应怎样安排生产可保证总成本最小？

第3步-找出未被直线覆盖的元素中最小元素������。未 被直线覆盖的元素−������，直线交叉位置的元素+������， 其它元素不变，返回第2步。
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指派问题示例1
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指派问题示例1
3.1）找出未被直线覆盖的元素中最小元素������。 3.2）未被直线覆盖的元素−������，直线交叉位 置的元素+������，其它元素不变。 返回第2步。
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标准运输问题的表上作业法

3- 基本可行方案的改进

1-选择绝对值最大的负检验数所在的非基变量格作 为入基变量格； 2-令调整量������ =min{闭回路中偶数号顶点格的运输 量}，������就是入基变量能增加运输量的上限； 3-令闭回路上奇数号顶点格的运输量增加������，偶数 号顶点格的运输量减少������，其他格运量不变； 4-将一个偶数号顶点格中的0删去(变成空单元格)， 表明其成为非基变量格。
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扩展的运输问题

例5-5（西北角法确定初始可行解）
M - ( 2 + (M+6) ) = -8
M
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扩展的运输问题

例5-5（最小元素法确定初始可行解）
[13] 55[17] [13] [17] [M] 6[0] 72 6 U1=0 U2=-2 [10]
[9] 17[10] [9]
80[7]
3
运输问题的数学模型

运输问题：从m个产地（供应方）向n个销地 （需求方）运输某种物资，产地i到销地j的单 位运费是cij（呈比例关系），产地i的产量是ai ，销地j的销量是bj，要求找到使得总运费最小 的整体运输方案。 当问题满足总产量与总销量相等，这类问题称 为标准运输问题，或者产销平衡运输问题。