1.4 正切 课件(湘教版九年级上)
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高中数学1.4.3正切函数的图像与性质优秀课件
3x
3
的定义域、值域，并
指出它的单调性、奇偶性和周期性；
答案: 定义域
x
|
x
1 3
k
5
18
k
Z
值域 R
单调性 在 1 3k 1 8 ,1 3k 5 1 8 ( k Z ) 上 是 增 函 数 ；
奇偶性 非奇非偶函数
周期性 最小正周期是
3
例2 比较以下每组数的大小.
(1) tan167 与 tan173
AT向oy轴的正方向无限延伸.
tan x 在( ， )内 可以取任意实数，
22
但没有最大值、最小值.
y
T2
O
Ax
ห้องสมุดไป่ตู้
T1
作法: (1) 等分
(2) 作正切线， 平移 o1
(3) 连线
y
学.科.网
2
x
0 3
3
84 8
84 8
正切函数的图像
y
3 2
2
3
x
2
2
正切函数的性质 :
定义域：x
x 2 k,kZ
值域： R
周期性：T
奇偶性：奇函数
单调性：在开区间 2k,2内递k增kZ
在每一个开区间内都是单调增函数.能不能说正切函 数在整个定义域上单调递增？
例1〔教材44页例6〕 求函数 ytan(x ) 的定义域、
周期和单调区间.
23
解： 函数的自变量 x 应满足 xk,kZ,
即： x 2k 1,kZ. 3
(2)
tan
11
4
与
tan
1
3 5
解:
(1)∵
湘教版九年级数学上册《 正切练习》课件
解：根据题意有 AB＝ AC2＋BC2＝25，∴sinA＝BACB＝275， cosA＝AACB＝2245，tanA＝ABCC＝274
14．直角三角形的斜边和一直角边的比为13∶5，设较大 锐角为α，求sinα，cosα，tanα的值．
解：根据题意知直角三角形三边比为 5∶12∶13，∴sinα ＝1123，cosα＝153，tanα＝152
21．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC， DF⊥AE，垂足为点F，连接DE. (1)求证：AB＝DF； (2)若AD＝10，AB＝6，求tan∠EDF的值．
解：(1)易证△ABE≌△DFA，∴AB＝DF
(2)在 Rt△ADF 中，AD＝10，DF＝AB＝6，∴AF＝ AD2－DF2＝8，∵AE＝AD＝10，∴EF＝AE－AF＝2，
锐角的按键顺序是：先按___键__2_n_d_F____，再按___键__t_a_n___，
最后输入___数__值____．
4．锐角的__正__弦____、__余__弦____和___正__切____统称为锐角三角
函数．
知识点一：正切的定义 1．(2014·温州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2， BC＝1，则tanA的值是_1___．
正切
1．在直角三角形中，锐角α的_____对__边___与___邻__边___的比叫
作2．角taαn的30正°切的，值记为作__t3_a_n，α，ta即n4t5a°nα的＝值__为___．1对邻__边边_，tan60°的值
为__3__．
3
3．用计算器求一个锐角的正切值的按键顺序是：先按
__键__t_a_n____，再输入__角__，已知一个锐角的正切值，求这个
解：tanA＝ACDD，∴32＝A6D，∴AD＝4，∴BD＝AB－AD＝8， ∴BC＝ CD2＋BD2＝10，∴sinB＝CBCD＝160＝35，cosB＝BBDC＝ 180＝45
14．直角三角形的斜边和一直角边的比为13∶5，设较大 锐角为α，求sinα，cosα，tanα的值．
解：根据题意知直角三角形三边比为 5∶12∶13，∴sinα ＝1123，cosα＝153，tanα＝152
21．如图，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC， DF⊥AE，垂足为点F，连接DE. (1)求证：AB＝DF； (2)若AD＝10，AB＝6，求tan∠EDF的值．
解：(1)易证△ABE≌△DFA，∴AB＝DF
(2)在 Rt△ADF 中，AD＝10，DF＝AB＝6，∴AF＝ AD2－DF2＝8，∵AE＝AD＝10，∴EF＝AE－AF＝2，
锐角的按键顺序是：先按___键__2_n_d_F____，再按___键__t_a_n___，
最后输入___数__值____．
4．锐角的__正__弦____、__余__弦____和___正__切____统称为锐角三角
函数．
知识点一：正切的定义 1．(2014·温州)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2， BC＝1，则tanA的值是_1___．
正切
1．在直角三角形中，锐角α的_____对__边___与___邻__边___的比叫
作2．角taαn的30正°切的，值记为作__t3_a_n，α，ta即n4t5a°nα的＝值__为___．1对邻__边边_，tan60°的值
为__3__．
3
3．用计算器求一个锐角的正切值的按键顺序是：先按
__键__t_a_n____，再输入__角__，已知一个锐角的正切值，求这个
解：tanA＝ACDD，∴32＝A6D，∴AD＝4，∴BD＝AB－AD＝8， ∴BC＝ CD2＋BD2＝10，∴sinB＝CBCD＝160＝35，cosB＝BBDC＝ 180＝45
正切函数的性质与图象 课件(34张)
提示:奇偶性.
数学
[问题1-4] 结合正切函数的图象.你能判断一下它的单调性吗?
提示:在每一个开区间(- +kπ, +kπ)(k∈Z)上都单调递增.
梳理
正切函数y=tan x的性质与图象
y=tan x
图象
数学
定义域
{x|x∈R,且 x≠kπ+ ,k∈Z}
R .
值域
周期
最小正周期为 π .
奇偶性
奇函数 .
单调性
在开区间
(kπ- ,kπ+ )(k∈Z)
内递增
数学
小试身手
1.函数 y=tan 2x 的周期为( A
)
(A)
(B)π
(C)2π
(D)4π
解析:由题意可知,函数 y=tan 2x 的周期为 T= .故选 A.
数学
2.函数 f(x)=3tan(x+π)是( A
)
x 的范围即可.②若ω<0,可利用诱导公式先把 y=Atan(ωx+ )中 x 的系
数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得 x 的取值范围即可.
(2)比较正切值的大小
第一步:运用学过的三角函数的周期和诱导公式将角化到同一单调区
间上;
第二步:运用正切函数的单调性比较大小关系.
数学
备用例题
数学
5.4.3
正切函数的性质与图象
数学
核心知识目标
核心素养目标
1.了解正切函数图象的画法,理解
通过利用正切函数的图象与性质
数学
[问题1-4] 结合正切函数的图象.你能判断一下它的单调性吗?
提示:在每一个开区间(- +kπ, +kπ)(k∈Z)上都单调递增.
梳理
正切函数y=tan x的性质与图象
y=tan x
图象
数学
定义域
{x|x∈R,且 x≠kπ+ ,k∈Z}
R .
值域
周期
最小正周期为 π .
奇偶性
奇函数 .
单调性
在开区间
(kπ- ,kπ+ )(k∈Z)
内递增
数学
小试身手
1.函数 y=tan 2x 的周期为( A
)
(A)
(B)π
(C)2π
(D)4π
解析:由题意可知,函数 y=tan 2x 的周期为 T= .故选 A.
数学
2.函数 f(x)=3tan(x+π)是( A
)
x 的范围即可.②若ω<0,可利用诱导公式先把 y=Atan(ωx+ )中 x 的系
数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得 x 的取值范围即可.
(2)比较正切值的大小
第一步:运用学过的三角函数的周期和诱导公式将角化到同一单调区
间上;
第二步:运用正切函数的单调性比较大小关系.
数学
备用例题
数学
5.4.3
正切函数的性质与图象
数学
核心知识目标
核心素养目标
1.了解正切函数图象的画法,理解
通过利用正切函数的图象与性质
正切教案课件
正切教案课件教案标题：正切教案课件教学目标：1. 理解正切的定义和性质。
2. 能够计算给定角度的正切值。
3. 能够应用正切函数解决实际问题。
教学重点：1. 正切的定义和性质。
2. 正切值的计算方法。
3. 正切函数的应用。
教学准备：1. 教师准备：- 确定教学目标和重点。
- 准备教案课件。
- 准备相关练习题和答案。
- 确保教室设备正常运行。
2. 学生准备：- 准备好纸和笔。
- 复习相关的三角函数知识。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入正切的概念，回顾学生已学过的三角函数知识。
2. 提问学生，正切的定义是什么？正切有哪些性质？二、讲解正切的定义和性质（10分钟）1. 使用教案课件，通过图示和文字解释正切的定义。
2. 讲解正切的周期性和对称性。
3. 强调正切值的范围。
三、计算给定角度的正切值（15分钟）1. 使用教案课件，展示正切值的计算方法。
2. 指导学生通过计算器或查表计算给定角度的正切值。
3. 给予学生练习的机会，解决一些简单的计算题。
四、正切函数的应用（15分钟）1. 使用教案课件，展示正切函数在实际问题中的应用。
2. 引导学生分析和解决一些实际问题，例如建筑物高度的计算等。
五、总结和拓展（5分钟）1. 总结正切的定义和性质。
2. 引导学生思考正切函数的应用领域，鼓励他们进一步探索。
六、作业布置（5分钟）1. 布置相关的课后作业，包括计算和应用题目。
2. 提醒学生按时完成作业，并预告下一堂课的内容。
教学反思：1. 教学过程中，要注重理论与实际应用的结合，帮助学生更好地理解和掌握正切函数的概念和使用方法。
2. 在教案课件的设计上，要注意图示的清晰度和文字的简洁明了，以便学生更好地理解和记忆。
3. 在教学中，要注重学生的参与和互动，通过提问、讨论和练习等方式激发学生的学习兴趣和积极性。
湘教版九年级上册第四章第二节《正切》说课稿
正切说课稿崇山中学田湘茂各位评委，各位老师：大家好！今天我说课的题目是湘教版数学九年级上册第四章第二节《正切》的第1课时.下面我从教材分析、学情分析、教学目标、教学方法、教学过程、设计说明几个方面谈谈对本节课的理解.一、教材分析本节课是湘教版九年级(上)第四章《锐角三角函数》的第四节课，它的重要性体现在它是解直角三角形知识体系中的基础，而解直角三角形的知识是广泛地应用于测量、工程技术之中，通过学习有利于培养学生应用数学解决问题的能力．在教材的处理上，它隐含着角度与三角函数值之间一一对应的函数思想，锐角A与三角函数值互相对应并且用符号tanA来表示．学生结合以前关于函数的学习，承前启后进一步深化理解函数思想．本课的学习，以正弦与余弦为背景并从学生已有的直角三角形和相似三角形的有关知识出发，引入正切函数概念．学生在知识的形成中，进一步感受数形结合的数学思想方法．通过实际问题的思考、探索，提高解决实际问题的能力和应用数学的意识．为下面的学习打下基础，作好铺垫．二、学情分析该年龄阶段学生，对新鲜事物有好奇心，并且已经具备了一定的学习能力，但理性思维的方法、习惯和深度都不够完善.在以前的学习中，学生已分别对直角三角形的边，角之间的关系有一定了解，并掌握了相似三角形的相关知识,具备了一定的抽象、概括和归纳的能力.在本节课的教学中，通过生活中的实际问题引导学生进行有效的小组讨论,激发学生的求知欲望，并组织学生通过观察、分析讨论，从而归纳出所观察现象的本质特征，再总结出有价值的理论知识.在探索过程中培养学生有条理地思考、表达与交流的能力,学生通过自主探究、讨论归纳获得正切函数的概念.三、教学目标、重点、难点【教学目标】知识与技能：1、理解并掌握正切的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正切值；2、了解计算一个锐角正切值的方法；3、熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数；过程与方法经历操作、观察、思考、求解等过程，感受数形结合的思想方法，培养学生理性思维的习惯与方法情感、态度与价值观1、在自主探索、共同发现、共同交流的过程中分享成功的喜悦；2、在讨论过程中使学生感受集体的力量，培养团队意识；3、逐步培养学生观察、比较、分析、综合、概括等逻辑思维能力，培养独立思考勇于创新的精神和良好的学习习惯。
新湘教版九年级数学上册课件：正切
30
=
BC AC
=
1= 3
1· 3 = 3· 3
3 3
.
由于∠B=60°，因此 tan 60 = AC = 3 . BC
说一说
tan 45°的值是多少？ 答：tan 45°= 1. 你能说出道理吗？
现在我们把30°，45°，60°的正弦、余弦、 正切值列表如下：
α sinα cosα tanα
30° 45° 60°
1
2
3
2
2
2
3
2
1
2
2
2
3 3
1
3
我们可以用计算器求任意一个锐角的正切值， 其使用方法与求正弦值或余弦值类似，只是按的键 应为 键．
例如，用计算器可求出 tan 25°≈ 0.466 3 .
说一说
现在你能求出图中东方明珠塔的高BD吗？
在图4-15的Rt△ABC中， ∠A=25°，AC=1000m， ∠A的对边为BC，邻边为AC， 1.7m
4.2 正 切
动脑筋
如图，在离上海东方明珠塔1000m的A处，用仪 器测得塔顶的仰角为25°(在视线与水平线所成的角 中，视线在水平线上方的叫作仰角，在水平线下方 的叫作俯角)，仪器距地面高为1.7m.
你能求出上海东方明珠塔的高BD吗？
？
1.7m
？AB,
1.7m
求东方明珠塔高的 关键是求三角形ABC的 边长BC，因为塔高等于 BC加上仪器的高1.7m.
tan =
角 的对边 角 的邻边
.
如何求 tan 30°，tan60°的值呢？
解: 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，
∠A=30°，
于是 从而
BC
湘教版-数学-九年级上册 4.2正切 配套课件
（1）如图：如果锐角A的大小已确定，我们可 以作出无数个相似的Rt△AEF，Rt△AHG，Rt△ABC…， 那么有：Rt△AEF∽ _R_t_△__A_H__G ∽ R__t△__A__B_C_ …… 根据相似三角形相似性质，得：
EF AF
HG
BC
＝___A_G_____＝____A_C____ ……
角A的邻边
定义强化：如图在Rt△ABC
B
中你能 写出∠A，∠B的正切
a
的值吗？
a
tanA= b tanB= b
A
b
C
通过上述计算，你有什么发现？
a
做一做1
根据下列图直角三角形中所给条件
驶向胜利 的彼岸
分别求出下列图中∠A、∠B的正切值。
C B
1 BC 1
AC 2
tanB= AC 2
小试牛刀2：
快速填空 ：P69页导学案 新知探 究2、3、4
拓展延伸
例1、快速计算：
4sin 30 2 sin 45 3 tan 60
拓展延伸
例2：在等腰△ABC中,AB=AC=10,BC=16,求 底边角B的正切、正弦、余弦的值。
思路导航:等腰三角形底边上的高平分底边，可先 A 做一条底边的高，再利用勾股定理正确 求角B的正切、正弦、余弦的值。
tan 45 BC BC 1 AC BC
tan 60 AC
(2BC)2 BC2
3BC
3
BC
BC
BC
细心体会：
观察：tan 30 ，tan 60 ，tan 45 的值，
这些正切的值有什么变化规律？
tan 30 3 3
tan 45 1
tan 60 3
正切函数ppt课件
22
然后,分别作出：
问题：如何作出正切函数的图象？ 方法：利用单位圆中正切线作正切函数的图象。
y
O1
2
3 8
4
8O
x
A
3
84 8 2
用光滑曲线 将这些正切
线的终端连结 起来
根据正切函数的周期性，我们可以把图象向左、右扩展，
得到正切函数 y tan x x R ，x k 且
• 注意（1）单调性：利用单调性比较大小时， 应使自变量在同一单调区间内
（2）求单调性、奇偶性、周期性时要化 简，但不要忘记对定义域的讨论。
练习：书P72 1- 6
作业：P73 1- 6
优游 优游
hnq781dgk
车间，也有露天大罐发酵。”说着就到了一幢二层高的楼前。一迈进二楼，就看见车间内的几只大锅，围绕操作台依次排开，空间显得有点拥 挤。走近一看糊化锅、糖化锅竟然是铜制的，经过时间的打磨，锅表面的铜已经变成了紫黑色。因为马启明毕业前在南京啤酒厂和西安啤酒厂 实习过，对啤酒厂设备有一些了解，所以他估摸糖化锅大概只有五六吨的糖化能力，煮沸锅应在十二吨左右。他没有想到现在竟还有容积这么 小、这么老的糖化生产设备，像是走到了啤酒历史博物馆一样。车间东面的麦汁过滤槽旁边有一个长方形麦汁收集槽，上面一排排铜考克正往 下流着金黄色清亮的麦汁。当有的考克麦汁流量变小时，就有操作工马上过来把考克调一下，马启明脑海里突然闪现出母亲在家里做醋时过滤 醋的情景。再一抬头扭身，恰好看到有操作工用麻袋正直接往糖化锅里倒粉碎好的麦芽粉，马启明诧异地问张钢铁：“怎么是往锅里直接倒料？ 太落后了!”便露出了不屑的神情，好像看见原始人用石器割东西一样。张钢铁脸上的笑容立刻消失了，背着双手，眼神像锥子一样在马启明的 身上很剜一下，咬牙切齿地回了句：“望神尼东丝啊！”什么意思？莫名奇妙的回答让马启明一下子蒙了，愣了几秒钟。张钢铁铁青着脸说道： “这是最老的糖化，下半年马上要停了。我们去看新糖化工段，是抽风机吸料。”说着就急匆匆地往外走，看也不看马启明一眼。他在想，马 启明你别昂，虽然你是个大学生，对啤酒还是个门外汉，是小弟，我才是祖师爷。马启明心想，是不是刚才说错了话？是不是刚才的言行伤着 张钢铁的感情了？看来张钢铁是张飞穿针－粗中有细。一出车间门，张钢铁便边走边介绍：“新糖化是刚建起来的，用吸风机吸料，全部操作 都通过控制屏进行，自动化程度很高，每锅生产45吨麦汁。”说到“用吸风机吸料”时语气很重，脸上始终没有笑容，像是碰到了阶级敌人似 的。没走几步路便来到了一幢白色、第二层屋沿上面镶一圈蓝边、顶部有一大一小不锈钢半圆球的两层半建筑物前，马启明突然想到“二球”， 笑着说：“这就是新糖化楼。”猛地一转头，马启明立刻被门东侧两棵粗壮、直插云霄的古树吸引住了，有生以来他还是第一次看到这么大的、 这么高的树，两个人合拢抱都抱不住，不由提声惊讶地说道：“好大好高的两棵树，张主任，这是什么树？”“这是白果树，就是银杏树，它 的年纪比你大得多，你得叫它太祖爷爷。据说有500的历史了，解放前拿它还做过飞机的导航树呢！在厂子西面还有个古龙王庙呢，历史可以上 溯到康熙年间，它历经千年，几经兴衰，这个地方说不定要形成神佛并尊的独特景观呢！”马启明没有想到张钢铁居然会说出这么文雅的词句 来。“哎呀，哎呀，哎呀呀！我还是第一次见这么
然后,分别作出：
问题：如何作出正切函数的图象？ 方法：利用单位圆中正切线作正切函数的图象。
y
O1
2
3 8
4
8O
x
A
3
84 8 2
用光滑曲线 将这些正切
线的终端连结 起来
根据正切函数的周期性，我们可以把图象向左、右扩展，
得到正切函数 y tan x x R ，x k 且
• 注意（1）单调性：利用单调性比较大小时， 应使自变量在同一单调区间内
（2）求单调性、奇偶性、周期性时要化 简，但不要忘记对定义域的讨论。
练习：书P72 1- 6
作业：P73 1- 6
优游 优游
hnq781dgk
车间，也有露天大罐发酵。”说着就到了一幢二层高的楼前。一迈进二楼，就看见车间内的几只大锅，围绕操作台依次排开，空间显得有点拥 挤。走近一看糊化锅、糖化锅竟然是铜制的，经过时间的打磨，锅表面的铜已经变成了紫黑色。因为马启明毕业前在南京啤酒厂和西安啤酒厂 实习过，对啤酒厂设备有一些了解，所以他估摸糖化锅大概只有五六吨的糖化能力，煮沸锅应在十二吨左右。他没有想到现在竟还有容积这么 小、这么老的糖化生产设备，像是走到了啤酒历史博物馆一样。车间东面的麦汁过滤槽旁边有一个长方形麦汁收集槽，上面一排排铜考克正往 下流着金黄色清亮的麦汁。当有的考克麦汁流量变小时，就有操作工马上过来把考克调一下，马启明脑海里突然闪现出母亲在家里做醋时过滤 醋的情景。再一抬头扭身，恰好看到有操作工用麻袋正直接往糖化锅里倒粉碎好的麦芽粉，马启明诧异地问张钢铁：“怎么是往锅里直接倒料？ 太落后了!”便露出了不屑的神情，好像看见原始人用石器割东西一样。张钢铁脸上的笑容立刻消失了，背着双手，眼神像锥子一样在马启明的 身上很剜一下，咬牙切齿地回了句：“望神尼东丝啊！”什么意思？莫名奇妙的回答让马启明一下子蒙了，愣了几秒钟。张钢铁铁青着脸说道： “这是最老的糖化，下半年马上要停了。我们去看新糖化工段，是抽风机吸料。”说着就急匆匆地往外走，看也不看马启明一眼。他在想，马 启明你别昂，虽然你是个大学生，对啤酒还是个门外汉，是小弟，我才是祖师爷。马启明心想，是不是刚才说错了话？是不是刚才的言行伤着 张钢铁的感情了？看来张钢铁是张飞穿针－粗中有细。一出车间门，张钢铁便边走边介绍：“新糖化是刚建起来的，用吸风机吸料，全部操作 都通过控制屏进行，自动化程度很高，每锅生产45吨麦汁。”说到“用吸风机吸料”时语气很重，脸上始终没有笑容，像是碰到了阶级敌人似 的。没走几步路便来到了一幢白色、第二层屋沿上面镶一圈蓝边、顶部有一大一小不锈钢半圆球的两层半建筑物前，马启明突然想到“二球”， 笑着说：“这就是新糖化楼。”猛地一转头，马启明立刻被门东侧两棵粗壮、直插云霄的古树吸引住了，有生以来他还是第一次看到这么大的、 这么高的树，两个人合拢抱都抱不住，不由提声惊讶地说道：“好大好高的两棵树，张主任，这是什么树？”“这是白果树，就是银杏树，它 的年纪比你大得多，你得叫它太祖爷爷。据说有500的历史了，解放前拿它还做过飞机的导航树呢！在厂子西面还有个古龙王庙呢，历史可以上 溯到康熙年间，它历经千年，几经兴衰，这个地方说不定要形成神佛并尊的独特景观呢！”马启明没有想到张钢铁居然会说出这么文雅的词句 来。“哎呀，哎呀，哎呀呀！我还是第一次见这么
正切函数课件(23张)
C .b<c<a D. b<a<c
2.已知θ是三角形的一个内角，且有tanθ≥ -1,
则θ的取值范围是 ( C )
A.
3 4
,
B.
0, 2
C.
0,
2
3 4
,
D.以上都不对
3.求函数 y＝ tan x 1的定义域. 解：要使函数有意义，需tan x+1≥0， 即tan x≥-1.结合正切函数的图像可知
§7 正切函数 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的图像与性质
在前两节中，我们学习了任意角的正、余弦 函数，并借助于它们的图像研究了它们的性质.
今天我们类比正弦、余弦函数的学习方法， 在直角坐标系内学习任意角的正切函数.
1.了解任意角的正切函数的概念.(重点) 2.能用单位圆中的正切线画出正切函数的图像.(重点) 3.根据正切函数的图像熟练推导出正切函数的性 质.(难点) 4.能熟练掌握正切函数的图像与性质.(重点)
3
O
2
函数 性质
定义域
值域
y=tan x
{x | x R, x k, k Z} 2
R
奇偶性
奇函数
周期性 单调性
周期kπ(k∈Z,k≠0),
最小正周期是π
在每一个区间
( k, k)(k Z) 22
上是增加的
例1． 若 tanα＝ 2 ，借助三角函数定义求角α的正弦函 3
数值和余弦函数值.
4
解: 设t x ，
4
因为y
tan
t在开区间
-
2
k
,
2
k
（ k
Z）上是增加的，
所以
2
正切课件2021-2022学年湘教版九年级上册
(2)tan α＝7.915 9；
82.8°
课堂练习
6．求下列各式的值：
(1)sin 60°tan 30°－2cos230°tan 45°；
解：原式=
·
−·（
°－ °
°
(2)
＋
.
°＋ °
°
解：原式=
−
+
+ = .
cosα
tan α
30°
45°
60°
讲解知识
【例1】计算：tan45°+tan²30°·tan²60°
解：原式=1+（ ）²·（ ）²
=1+1
=2
讲解知识
从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角A,都有唯一确定的比值sin
A(或cos A, tan A)与它对应.并且我们还知道，当锐角a变化时，它的比值sin A(cos A,
感谢观看！
数）. 那么这个锐角的对边与邻边的比值是否也是一个常数呢？
∠的对边
∠的邻边
=
= 是否为一个常数？
导入知识
如图，△ABC和△A’B’C’都是直角三角形，其中，∠A=∠D=∠α，∠C=∠F=90°，则
=
成立吗？为什么？
∵∠A=∠D=∠α，∠C=∠F=90°，
∴Rt△ABC∽Rt△DEF
tanB=
=
∠的邻边
思考：tanA和tanB是什么关系？
《正切》PPT课件 (公开课获奖)2022年湘教版 (3)
如图 ,在数轴上表示－5的点与原点的距离是5 , 即－5的绝||对值是5 ,记作|－5|＝5.
议一议 一个数的绝||对值与这个数有 什么关系 ? 例如：|3|＝3 ,|＋7|＝7 一个正数的绝||对值是它本身；
例如：|－3|＝3 ,|－2.3|＝2.3
一个负数的绝||对值是它的相反数；
0的绝||对值是0.
你能明白吗 ?
•想一想 互为相反数的两个数的绝||对 值有什么关系 ?
•一对相反数虽然分别在原点两边 , 但 它们到原点的距离是相等的.
一个数a的绝||对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.
一个数的绝||对值就是在这个数的两旁各画一条 竖线 ,如 +2的绝||对值等于2 ,记作| +2|＝2 . 数a的绝||对值记作|a|.
＝ 3. 10
10. 10
＝ 3 10 .
10
∠α余弦的定义 代入数值 化简
［抽象］锐角三角函数的概念从正弦、余弦、正切的定义 知道 ,任意给定一个锐角α ,都有唯一确定的值sinα〔或 cosα ,tanα〕与它对应 ,因此我们把锐角的正弦、余弦和正 切统称为锐角三角函数.
3.探究同一个锐角的正弦、余弦和正切的关系 sin
1.2.3 绝|| 对 值
观察
上图中 ,单位长度为1米 ,那么小黄狗、大 白兔、小灰狗分别距离原点多远 ?
赶快思考啊 ! ! !
13
-
-
-
0
1
2
3
3
2
1
聪明的同学们一眼就可以看出来了吧 . 小黄狗距离原点3米 大白兔距离原点2米 小灰狗距离原点3米
抽象
总结
在数轴上 ,表示一个数的点与原点的距 离叫做该数的绝||对值〔absolute value) .
议一议 一个数的绝||对值与这个数有 什么关系 ? 例如：|3|＝3 ,|＋7|＝7 一个正数的绝||对值是它本身；
例如：|－3|＝3 ,|－2.3|＝2.3
一个负数的绝||对值是它的相反数；
0的绝||对值是0.
你能明白吗 ?
•想一想 互为相反数的两个数的绝||对 值有什么关系 ?
•一对相反数虽然分别在原点两边 , 但 它们到原点的距离是相等的.
一个数a的绝||对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.
一个数的绝||对值就是在这个数的两旁各画一条 竖线 ,如 +2的绝||对值等于2 ,记作| +2|＝2 . 数a的绝||对值记作|a|.
＝ 3. 10
10. 10
＝ 3 10 .
10
∠α余弦的定义 代入数值 化简
［抽象］锐角三角函数的概念从正弦、余弦、正切的定义 知道 ,任意给定一个锐角α ,都有唯一确定的值sinα〔或 cosα ,tanα〕与它对应 ,因此我们把锐角的正弦、余弦和正 切统称为锐角三角函数.
3.探究同一个锐角的正弦、余弦和正切的关系 sin
1.2.3 绝|| 对 值
观察
上图中 ,单位长度为1米 ,那么小黄狗、大 白兔、小灰狗分别距离原点多远 ?
赶快思考啊 ! ! !
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-
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2
3
3
2
1
聪明的同学们一眼就可以看出来了吧 . 小黄狗距离原点3米 大白兔距离原点2米 小灰狗距离原点3米
抽象
总结
在数轴上 ,表示一个数的点与原点的距 离叫做该数的绝||对值〔absolute value) .
湘教版九年级数学上册教学课件 正切
乙梯中, tan 6 3 .
84
∵tanβ＞tanα,∴乙梯更陡.
一个锐角的正 切表示梯子的 倾斜程度.
议一议
用数学去解释生活
如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例
如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升
高60m,那么山坡的坡度i(即tanα)就是:
i tan 60 3 .
老师提示:
┌
B
D
C
过点A作AD垂直于BC于点D.
求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的
随堂练习
相信自己
12. 在Rt△ABC中,∠C=90°. (1)如图(1),AC=25.AB=27. 求tanA和tanB.
解: 1如图,在RtABC中, AB 27, AC 25,
BC 272 252 2 26.
B1
与tanA有关:tanA的值越大, 梯子AB1越陡. 与∠A有关:∠A越大,梯子 A AB1越陡.
B2
C2
C1
例题欣赏
行家看“门道”
例1 下图表示两个自动扶梯,那一个自动扶梯比
较陡?
13m
甲
5m
乙 6m
α
┌
┐ 8m β
解:甲梯中, tan 5 5 . 老师提示:在 132 52 12 生活中,常用
4.2 正切
有的放矢
看看谁的本领大
在直角三角形中,知道一边和 一个锐角,你能求出其它的边 和角吗? 猜一猜,这座古塔有多高?
想一想,你能运用所学的 数学知识测出这座古塔的 高吗?
想一想
办法不只一种
本领大不大, 悟心来当家
小明在A处仰望塔顶,测得∠1的大小,再 往塔的方向前进50m到B处,又测得∠2的 大小,根据这些他就求出了塔的高度.你 知道他是怎么做的吗？
湘教版-数学-九年级上册 4.2正切 优质课件
30º
C
A
从而 AC2 AB2 BC2 2BC2 BC2 3BC2.
因此 AC 3BC,
tan 30 BC BC 1 3 . AC 3BC 3 3
由于∠B= 60º
因此 tan60=
AC
3.
BC
tan45º的值是多少？
说一说 你能说出道理吗？
tan45º=1
？
特殊角度的三角函数值
当直角三角形的一个锐角的大小确定时， 其对边与邻边比值也是确定的吗？
驶向胜利 的彼岸
B B1
C1 C
想一想
进步的标志 由感性上升到理性
驶向胜利 的彼岸
如果直角三角形的一 个锐角的大小确定,那 么这个锐角的对边与 邻边的比值也确定.
A
B
c a ∠A的对边
b┌ ∠A的邻边 C
在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边 的比叫做∠A的正切,记作tanA,即
2
3
2
1
0
sin 0 cos 1 tan 0
1
1
30 45 60 90 计算：csoins0 ，并 9与0tan比较大小。
1 2
2 2
3 2
1 同0 角si的n正1切随与着正角余度的弦增计大算而增关大系
3 21 22 2
0 1 cos A ta0n随=着cs角oins度的增大而减小
31 3
3 不存在 tan 0 随着角度的增大而增大 0 90
验证：sin2 + cos2 =1 是否成立？
想一 想
由感性到理性
(1).Rt△AB1C1和Rt△ABC有什么关系?
(2). B1C1 和 BC 有什么关系?
AC1 AC 如果作B2C2⊥AC,
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BC 1
在Rt △ABC 中， ∠C=90º ， ∠A=α
１
α
３
A
由于
因此
AB BC AC 3 1 10,
2 2 2 2 2
AB 10,
BC 1 10 10 sin , AB 10 10 10 10
AC 3 3 10 3 10 cos . AB 10 10 10 10
3 1 1 3
sin 30 ; 2 tan 30
4 tan30 tan60.
3 1 3 1
解 （1） 原式=
（2） 原式=
（3） 原式=
1 3 2 3 3 3 . 2 3 2 3 2 3 3 3 3 2 3
2 3
2
2
3 1
42 3 2 3. 2
5
cos 7 7 74 5 . 74 74
α C
7
5 5 74 sin , 2 2 74 74 5 7
A
2.求下列各式的值
练一练
tan 60 tan 45 ; 1 1 tan 60 tan 45
2 tan 30 ; 3 2 1 tan 30
定义
任意给定一个锐角α，都有唯一确定的比值 sin （或 cos ，tan ） 与它对应，把锐角的正弦、余弦
和正切统 tan , α是锐角，求 tan 90 , sin , 7 B cos 的值．
5 tan 90 , 7
A
B
小结
锐角的三角函数包括正弦、余弦、正切． 角的对边 sin . 斜边 角的邻边 cos . 斜边 角的对边 ． tanα 角的邻边 灵活运用三角函数解决实际问题．
FC 1.2m , 在Rt △BFC 中， tan 50 BF FC BF tan50 1.6 1.19 1.9 m .
又DE=FC， ∴ DC=2DE+EF=2DE+AB=2×1.9+1.2=5.0（m）
∠ABC=140º ∠FBC=140º －90º =50º
3 1 3
1 1 3
3
2 2
3
3.
（4） 原式=
3 3
3 1.
３．如图，一水渠的横断面为等腰梯形， 渠深为1.6m， 渠底宽为1.2m， 一腰与渠底所成的内角为140º ，
练一练
如图
求渠口宽（精确到0.1m）．
解
AB=1.2m
AE=BF=1.6m
D
E
F 140º
C 1.6m
在直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比叫作角
复习
角的对边 α的正切，即： tanα ． 角的邻边
1 例１．已知 tan , α是锐角，求 tan 90 , sin , 3 题 B cos 的值．
解
1 由于 tan , 可以设AC=3，BC=1． C 3 由于 B 90 , AC 3 3. 因此 tan 90 tan B
在Rt △ABC 中， ∠C=90º ， ∠A=α
１
α
３
A
由于
因此
AB BC AC 3 1 10,
2 2 2 2 2
AB 10,
BC 1 10 10 sin , AB 10 10 10 10
AC 3 3 10 3 10 cos . AB 10 10 10 10
3 1 1 3
sin 30 ; 2 tan 30
4 tan30 tan60.
3 1 3 1
解 （1） 原式=
（2） 原式=
（3） 原式=
1 3 2 3 3 3 . 2 3 2 3 2 3 3 3 3 2 3
2 3
2
2
3 1
42 3 2 3. 2
5
cos 7 7 74 5 . 74 74
α C
7
5 5 74 sin , 2 2 74 74 5 7
A
2.求下列各式的值
练一练
tan 60 tan 45 ; 1 1 tan 60 tan 45
2 tan 30 ; 3 2 1 tan 30
定义
任意给定一个锐角α，都有唯一确定的比值 sin （或 cos ，tan ） 与它对应，把锐角的正弦、余弦
和正切统 tan , α是锐角，求 tan 90 , sin , 7 B cos 的值．
5 tan 90 , 7
A
B
小结
锐角的三角函数包括正弦、余弦、正切． 角的对边 sin . 斜边 角的邻边 cos . 斜边 角的对边 ． tanα 角的邻边 灵活运用三角函数解决实际问题．
FC 1.2m , 在Rt △BFC 中， tan 50 BF FC BF tan50 1.6 1.19 1.9 m .
又DE=FC， ∴ DC=2DE+EF=2DE+AB=2×1.9+1.2=5.0（m）
∠ABC=140º ∠FBC=140º －90º =50º
3 1 3
1 1 3
3
2 2
3
3.
（4） 原式=
3 3
3 1.
３．如图，一水渠的横断面为等腰梯形， 渠深为1.6m， 渠底宽为1.2m， 一腰与渠底所成的内角为140º ，
练一练
如图
求渠口宽（精确到0.1m）．
解
AB=1.2m
AE=BF=1.6m
D
E
F 140º
C 1.6m
在直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比叫作角
复习
角的对边 α的正切，即： tanα ． 角的邻边
1 例１．已知 tan , α是锐角，求 tan 90 , sin , 3 题 B cos 的值．
解
1 由于 tan , 可以设AC=3，BC=1． C 3 由于 B 90 , AC 3 3. 因此 tan 90 tan B