复变函数中曲线积分论文

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北京林业大学复变函数与积分变换结课论文

复变函数与积分变换结课论文题目：拉普拉斯变换及其在解微分方程（组）中的应用指导老师：学号：姓名：班级：学院：拉普拉斯变换及其在解微分方程（组）中的应用摘要拉普拉斯变换是一种用来解线性微分方程的较简单的工具。

它在电学、力学、控制论等很多工程技术与科学领域有着广泛的应用，由于它对像原函数f(t)要求的条件比傅氏变换要弱，故研究拉氏变换有极重要的意义。

本文将简单介绍拉普拉斯变换的定义以及其性质，并对其在解微分方程（组）中的应用做了简单的归纳总结。

关键词：拉普拉斯变换，性质，微分方程一、拉普拉斯变换的概念及其性质1.1问题的提出我们知道，一个函数当它除了满足狄氏条件外，还在（—∞，+∞）内满足绝对可积的条件时，就一定存在古典意义下的傅里叶变换。

但绝对可积的条件是比较强的，许多函数（如单位阶跃函数、正弦、余弦函数等）都不满足这个条件；其次，可以进行傅里叶变换的函数必须在整个是数轴上有定义，但在物理、无线电技术等实际应用中，许多以时间t 作为自变量的函数往往在t<0时是无意义的或者不用考虑的，想这些函数都不能取傅里叶变换。

虽然在引入δ函数后，傅里叶变换的适用范围被拓宽了许多，使得“缓增”函数也能进行傅氏变换，但仍然无法解决以指数级增长的函数。

[1]对于任意一个函数φ（t ），若用单位阶跃函数u （t ）乘φ（t ），则可以使积分区间由（—∞，+∞）换成[0，+∞），用指数衰减函数tβ-e（β>0）乘φ（t ）就有可能使其变得绝对可积，因此只要β选的恰当，一般来说，任意函数φ（t ）的傅氏变换是存在的，这样就产生了拉普拉斯变换。

1.2拉普拉斯变换的定义当函数)(t f 满足条件：（1）当t<0时，)(t f =0；（2）当0≥t 时，函数)(t f 连续；（3）当∞→t 时，)(t f 的增长速度不超过某个指数函数，即存在常数M 及α，使得t Me t f α≤|)(|，则含参数s 的无穷积分收敛。

复变函数中曲线积分若干问题的思考

复变函数中曲线积分若干问题的思考数学学科发展到现在,已成为了分支众多的学科之一,复变函数则是其中一个非常重要的分支，复变函数现在是大学理工科专业的一门重要的基础科，但是复变函数的学习要有高等数学的基础，如果没有这方面的知识，学习复变函数无疑会非常困难，因为这门课程在初学者看来非常抽象，理论性太强。

作为复变函数的教学工作者，如何使得这门课程的课堂变得生动有趣，而且使学生在学习过程中容易理解，是我们不得不思考的问题。

在这篇论文中，我们将对复变函数中难度最大的积分问题进行分类阐述，使我们对复变函数的积分这种问题变得不再桀骜难驯。

1 复变函数的发展历史在讲一门课之前，应当将这门课程的历史说一说，使得学生能对这门课程有个初步了解，便于学生对这门课程有个整体把握。

在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次方程x(10-x)=40时引进了复数。

他发现这个方程没有根，并把这个方程的两个根形式地表为。

在当时包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。

复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。

直到十七与十八世纪，随着微积分的产生与发展，情况才有好转。

特别是由于L.Euler的研究结果，复数终于起了重要的作用。

例如大家所熟知的Euler公式揭示了复指数函数与三角函数之间的关系。

然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand(法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865) 定义复数a+ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。

柯西写于1814年的关于定积分的论文是他创立复变函数论的第一步。

文中给出了所谓柯西－黎曼方程；讨论了改变二重积分的次序问题，提出了被积函数有无穷型间断点时主值积分的观念并计算了许多广义积分。

复变函数与积分变换论文电子信息

将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。
(3)求方程的全解
Y(0)=A+B+1/3=1
解得A=5/2,B=-11/6
拉氏变换方法
由本例题可以看出经典方法和拉氏变换方法都能解决连续信号系统的零输入响应、零状态响应、完全响应方面的问题。经典方法做题，思路比较简单，容易想出办法，但是计算比较繁琐，容易出错。用拉氏变换方法思路上稍显麻烦，但是计算要简单得多，减少了错误发生的概率。如果微分方程右边激励项较复杂，用经典方法就难以处理，用拉氏变换方法将数学模型转化为代数式，做起来就显得容易很多，既明了又简洁。如果激励信号发生变化，用经典方法做，就需要全部重新求解，相对与拉氏变换就麻烦得多。如果初始信号发生变化，用经典方法做题要全部重新求解，相当复杂。经典方法是一种纯数学的方法，无法突出系统响应的物理概念。拉氏变换相对的能够突出系统响应的物理概念。具体用哪种方法做题还得依题而论，如果题目比较简单，激励信号不发生变化，初始条件不发生变化，就用经典方法做题，因为经典方法思路比较简单，方法比较好想，减少了做题的时间，如果题目比较复杂，或者激励信号，初始条件发生变化，就用拉氏变换方法，做题步骤简单，节省时间，又减少了错误发生的概率。
由于篇幅有限，本文介绍的复变函数与积分变换中与解决本专业的问题只是冰山一角。在复变函数和积分变换的学习中，我们得到的不仅要作为科学创新基础的数学原理，还有一些创新思想方法，如解析函数高阶导数和积分变换中导数公式的归纳法思想、复数几何意义的直观性在初等几何中的应用思想、保形变换和积分变换中，对称思维、两类积分变换应用的同中求异和理论中的异中求同、复势应用中的猜想与证明，观察与实验等等都体现了创新思维的火花。我们在学习中掌握了这些方法，有利于在今后的工作和生活中发挥巨大的作用，因此，复变函数与积分变换课程的学习，有助于我们创新思维能力的训练和培养，培养我们运用基本理论和方法，解决实际问题的意识，兴趣和能力，尤其是解析函数在平面向量场中的应用，留数理论的应用，积分变化换在解微分方程中的应用和求广义积分，培养我们打破思维定势，打破常规惯例，用新的眼光看复变函数和积分变换，就是说变量从实数到复数，积分从直线到曲线，尤其是封闭曲线。

曲线积分和曲面积分论文 (2)

曲线积分和曲面积分论文引言曲线积分和曲面积分是微积分中重要的概念，具有广泛的应用领域。

本论文旨在介绍曲线积分和曲面积分的概念和计算方法，并讨论在实际应用中的一些应用情况。

曲线积分在微积分中，曲线积分用于计算沿一条曲线的函数的积分。

曲线积分有两种类型：第一类是沿曲线的弧长对函数进行积分，称为第一类曲线积分，第二类是对曲线上的函数在曲线元素上积分，称为第二类曲线积分。

第一类曲线积分第一类曲线积分表示为：$$ \\int_C f(x, y) ds $$其中，f(f,f)是曲线上的函数，ff表示沿曲线元素的弧长。

计算第一类曲线积分的方法通常包括参数化曲线和坐标变换两种。

例如，计算函数f(f,f)=f2+f2在曲线 $C: x = \\cos(t), y = \\sin(t), 0 \\leq t \\leq 2\\pi$ 上的第一类曲线积分。

首先，通过参数化得到曲线的弧长元素：$$ ds = \\sqrt{\\left(\\frac{dx}{dt}\\right)^2 +\\left(\\frac{dy}{dt}\\right)^2} dt $$代入曲线方程得到：$$ ds = \\sqrt{\\left(-\\sin(t)\\right)^2 +\\left(\\cos(t)\\right)^2} dt = dt $$然后，将函数和弧长元素代入积分得到：$$ \\int_C f(x, y) ds = \\int_0^{2\\pi} (1) dt = 2\\pi $$第二类曲线积分第二类曲线积分表示为：$$ \\int_C \\mathbf{F} \\cdot d\\mathbf{r} $$其中，$\\mathbf{F}$ 是曲线上的向量函数，$d\\mathbf{r}$ 表示曲线元素。

计算第二类曲线积分的方法通常包括参数化曲线和曲线方程两种。

例如，计算向量函数 $\\mathbf{F}(x, y) = (x, y)$ 沿曲线 $C: x = \\cos(t), y = \\sin(t), 0 \\leq t \\leq 2\\pi$ 的第二类曲线积分。

复变函数小论文

复变函数小论文本学期我学习了复变函数，丰富了数学的见识。

从实数到复数的延伸，形成一个全面的知识体系。

复变函数是以复数为中心进行一系列讨论和分析，而复数的独特之处在于它的虚部，也就是虚数部分；之前对虚数域的认识，完全在于一个虚字。

复数的出现，使得基本运算中的开方运算不再存在无解情况，n此多项式也不再存在增根，这为在某些运算提供了帮助。

复数可以解决一些物理数学上的问题，解题到最后经过转化所得到的实数解，才有物理上的意义。

虚数是有很大的的现实意义的，通过引入虚数，那些没有意义根式也变得有理可寻。

复数的集合复平面是一个二维平面，实数有自己的直角坐标系，而类似的复数也有坐标。

复数有实轴和虚轴，用（x,y）表示。

复变函数的极限与连续和实函数一样提到邻域的含义。

复函数是一元实变函数概念的推广，二者表述有所不同：1.实变函数是单值函数，而复变中有了多值函数。

2.复变函数实现了不同复平面的转化，运用了曲线或图形的映射。

复变函数的导数和微分定义与实变函数一致，但是前者多了一个要求，即对极限式要求是与路径和方式无关。

复变函数的积分许多与高等数学中曲线积分相似的性质，积分可化为第二类曲线积分，也可化为参数方程直接关于t的积分。

复数列极限在定义与性质上与实数列极限相似，可以将复数列极限的计算问题转化到实数列上，这其中的级数的敛散性与和的定义形式都与实数项级数相同。

通过课程的学习，我们可以了解到，复数可以应用的现实中的数学建模，其在很多运算中都有着不可思议的性质和规律。

复数的引入为人们解决实数域和物理科学提供了许多新的途径，打开了很多原本无法畅通的道路，无论是留数，还是保角映射，都为人类在解决非复领域上的问题提供了全新的思路与方便。

王琪材料31 2130201019。

复变函数与积分变换结业论文

基于matlab对复变函数与积分变量的研究姓名：徐庆学号：101044113单位：北京林业大学工学院自动化10-1内容摘要：《复变函数与积分变量》这门课程作为自动化专业的专业基础课程，对于后继课程有着极其重要的意义，但在学习过程中，很多量的求解需要繁琐的计算步骤与复杂的计算过程。

同时，作为一种抽象的函数，复变函数一般来说很难用具体图像来描绘其信息。

Matlab作为一款功能强大的科学计算软件，利用一些编程语句可以很轻松的解决上述问题。

例如，利用matlab可以对一个复常数进行基本的求模，求幅角，求实部、虚部的运算。

更进一步地，还可以求复数的指数、对数，对复数进行三角运算。

在对于复变函数的研究中，可以求解复变函数的留数，并用来求复变函数的积分，对复变函数进行泰勒级数展开。

在积分变换方面，可以对函数进行傅里叶变换、逆变换，进行拉普拉斯变换、逆变换。

在编程化的语句中，可以对同一类的问题进行统一的解决。

关键字：复变函数积分变量matlab语句运算结果目录1 matlab在复常数中的应用 (4)1.1 Matlab中对单个复常数的简单运算 (4)1.2 Matlab中对于单个复常数进行复杂的运算 (5)1.3Matlab中对于两个复常数之间进行乘法、除法运算 (7)2.利用matlab对函数进行泰勒级数展开 (8)3 matlab在留数和积分中的应用 (9)3.1利用matlab计算复变函数的留数 (9)3.2在matlab中，利用留数定理求解复变函数的积分 (10)4 利用matlab对信号做傅氏、拉氏变换 (11)4.1 利用matlab对信号做傅里叶变换 (11)4.2 利用matlab对信号做拉普拉斯变换 (13)5 利用matlab绘制复变函数 (14)1 matlab在复常数中的应用1.1 Matlab中对单个复常数的简单运算在matlab中，生成复数的形式分为两种：代数形式（如z=x+y*i）与指数形式（如z=r*exp(theta i)，其中r为模长，theta为幅角的弧度值）。

复变函数论文(DOC)

复变函数论文《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用系别：专业名称：学号：姓名：指导老师：年月日《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用摘录：随着现代科学技术理论的发展，学课间的联系越来越紧密，通过相互协助，使复杂的问题能够利用较简单的方法方便，快捷的解决。

由于复变函数与积分变换的运算是实变函数运算的一种延伸，且由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，以及Taylor级数展开，Laplace变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要，因此学习复变函数与积分变换对学习信号与系统具有很大的促进作用。

文章主要介绍了：1，Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的；2，怎样利用复变函数中的“留数定理”对Laplace反变换进行计算； 3，复变函数中的Z变换是怎样解决信号系统中离散信号与系统复频域问题分析的；4，复变函数与积分变换中的各种运算是怎样通过信号系统中的MATLAB来实现的。

关键词：留数，Laplace变换，Z变换， Fourier变换，Taylor级数，MATLAB。

1，Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的；当对一个信号系统进行分析和研究时，首先应该知道该信号系统的数学模型，即建立该信号系统的数学表达式，例如：根据Fourier 级数的理论，连续时间周期信号的频域分析的数学表达式即为无限项虚指数序列的线性叠加；而且信号的Fourier 变换建立了信号的时域与频域之间的一一对应的关系，并揭示了其在时域域频域之间的内在联系，因此为信号和系统的分析提供了一种新的方法和途径。

例1：已知描述某稳定的连续时间LTI 系统的微分方程为''''()3()2()2()3(),y t y t y t x t x t ++=+系统的输入激励3()()t x t e u t -=，求该系统的零状态响应()zs y t 。

复变函数论文

期中考试复变函数的微积分理论与实变函数微积分理论的比较与应用学院：数学与计量经济学院班级：10级数学与应用数学01班姓名：***学号：***********一·复变函数微积分理论1复变函数微分 (3)2复变函数积分 (4)二·复变函数微积分与实变函数微积分的比较······永远的对手或者同伴？1复变函数微积分与实变函数微积分的联系 (5)2复变函数微积分与实变函数微积分的区别 (6)三·复变函数微积分理论在实际中的应用1复变解析函数的应用：平面向量场 (7)2应用复变积分求积分的几个例子 (8)四.附注之写在论文后头的话 (8)1·复变函数微分仿照实变函数的定义，我们对复变函数的导数给出定义，我们说的是，在某点在Z 0的某领域有定义，且Δz 以任意方式趋于0的时候，如果比值Δf/Δz 的极限z f ∆-∆+→∆)(z f lim Z Z 000z ）（存在，就说此极限为函数f （z ）在Z 0处的导数。

同样，仿照实变函数，复变函数出现了微分，就在我们以为复变函数会依照实变函数的老路子一直走下去的时候，解析函数的概念横空出世，一个函数在某点解析比起它在这点可微要严格多了，因为解析就是配合区域出现的，好的，如果你在某点可导，没有其他选择，必须有这样一个区域包含该点，然后你在这个区域类可导。

如果函数在某点z （0）处不解析，但是在它的任意一个邻域内都有f （z ）的解析点，则z （0）为函数f （z ）的奇点，对这一点来说，它应该感到很无奈，明明可以构建一个解析点的点列以它为极限，但它就是就是不解析，这也就是说解析点不能“求极限”。

这个点又是骄傲的，沿环绕它的周线积分，积分值不再是0，比如i 2a -z dz cπ=⎰，其中C 为绕点a 的周线，此时尽管周线线上每点都是解析的，但函数沿周线积分不等于01，即奇点所在区域积分与路径有关。

复变函数与积分变换论文

复变函数论文复变函数在反馈系统稳定性中的应用姓名：李欢欢学号：0914101 21学院(系)：电气与电子工程系专业：电气工程及其自动化指导教师：秦志新评阅人：完成日期：2011年12月25日星期日复变函数在反馈系统稳定性中的应用一、摘要:Laplace变换在分析反馈系统稳定性有着关键作用，求解一些简单的稳定性问题也很方便。

但对于一些较为复杂的反馈系统，用Laplace变换就不方便了。

通过对“辐角定理和奎斯特判据”和Laplace变换及特征方程，根与系数关系劳斯判据，根据三种方法的对比及其不同方法的特点体现出利用辐角定理结合奎斯特判据处理反馈系统问题的优越性。

辐角定理与奈奎斯特判据解法简单易懂便于推广，同时在其他领域也有着广泛的应用。

二、关键词:反馈系统、幅角、奈奎斯特判据、极点、零点三、正文: 【提出问题】:在电气电子工程及其自动化控制过程中，如图所示负反馈放大电路是最为常见的，应用最广泛的电路之一Xi 为输入量，Xi ’为电路中信号净输入量，Xf 为反馈量，“ ”为反馈系统在实际应用中，当输入信号为零即Xi=0时。

由于某种电扰动（如合闸通电或者外来信号干扰）其中含有的信号经过电路的放大，产生输入信号，而输出信号再进过负反馈系统再次进入输入，如此循环下去，电路将产生自激振荡，反馈系统将无法正常工作，处于不稳定状态。

所以如何保持反馈系统稳定工作，不致于产生自激振荡、在实践上和理论上都是一个必须解决的问题。

【分析问题】:如图所示表示单个回路反馈系统，整个反馈系统的输出Y(s)，与输入X(s)之间的关系为Y(s)=H1(s)[X(s)-H2(s)Y(s)]则闭环传输函数）（s H s H s H s X s Y s H 211)(1)()()()(+==而开环传输函数）（）（s H s H s H 21)(='将H （s ）进行拉氏反变换得∑∑==--=-==ni ni pit kie pi s kig s H g t h 1111][][)(）（式中Pi 为H （s ）的极点。

复变函数论文

关键词：留数，Laplace变换，Z变换， Fourier变换，Taylor级数，MATLAB。

例1：已知描述某稳定的连续时间LTI 系统的微分方程为''''()3()2()2()3(),y t y t y t x t x t ++=+系统的输入激励3()()t x t e u t -=，求该系统的零状态响应()zs y t 。

复变函数论文

复变函数论文复变函数在数学和物理学中具有广泛的应用，是一门研究复数域上的函数性质的学科。

复变函数是指定义在复数域上的函数，即自变量和函数值都是复数。

复变函数研究的对象包括函数的连续性、可导性、解析性、奇点、级数展开等方面。

本文就复变函数的定义、主要性质及其在物理学中的应用进行了较为详细的讨论。

首先，复变函数的定义与实变函数类似。

设$z=x+iy$是复平面上的一个点，其中$x$和$y$是实数，$i$是虚数单位。

如果存在一个规则使得对于任意给定的$z$，有唯一确定的$w$与之对应，则称$w$是关于$z$的函数值。

这样的函数就是复变函数。

复变函数的一些重要性质包括连续性、可导性和解析性。

连续性是指函数在定义域内的收敛性，即当自变量趋向于某一点时，函数值也趋向于某个常数。

可导性是指函数在某一点处存在导数。

解析性是指函数在定义域内处处可导。

复变函数的导数和积分也有着独特的性质。

复变函数的导数可以通过极限定义来计算，与实变函数的导数在形式上类似。

但是，在复变函数的可导性上有一些额外的要求，即柯西—黎曼方程。

如果函数在某一点处可导，则其必须满足柯西—黎曼方程的实部和虚部。

复变函数在物理学中的应用十分广泛。

一些传统的物理学问题，如电场、磁场和流体力学中的速度场，都可以通过复变函数来描述。

例如，电场可以用复函数的实部，磁场可以用虚部来表示。

此外，复变函数还可以用来解决热传导、量子力学和场论的问题。

在电工学中，复变函数被广泛应用于交流电路的分析中。

通过使用复变函数，可以将交流电路中的电流和电压描述为复数，从而简化计算。

此外，复变函数还可用于计算电路的传输函数和频率响应。

在量子力学中，复变函数被用来描述波函数的演化。

波函数是用来描述粒子在量子力学中的运动状态的函数。

它的复变性质使得我们可以用复变函数来描述粒子的位置和动量，从而解决薛定谔方程。

总结起来，复变函数在数学和物理学中都有广泛而重要的应用。

它的研究涉及函数的连续性、可导性、解析性、积分等方面。

复变函数与积分变换论文

复变函数与积分变换论文复变函数与积分变换论文复变函数与积分变换是数学中一个基本的分支学科，它的研究对象是复变数的函数，复数起源于求代数方程的根。

通过学习《复变函数与积分变换》这门课程，我了解到它既是一门理论性较强的课程，又是解决实际问题的强有力的工具，它的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，同时老师也给我们了解到了更多关于复变函数的历史知识，让我更加对这门产生浓厚的学习兴趣。

《复变函数与积分变换》课程本身应该是一种将数学知识如何应用于工程的学科，是培养创新思维的非常重要的课程。

复变函数与积分变换对于我们的专业——电气工程自动化，十分重要。

除了要求我们掌握复变函数和积分变换课程的基础知识、基本方法外，更重要的是要培养创新型的思维能力我们在复变函数和积分变换课程的学习中面对的处处都是创新模式，没有创新就不能学好该课程。

复数域打破了实数域的限制、解析函数突破了二元函数和一元实函数的禁锢、洛朗级数克服了幂级数的局限性、拉普拉斯积分变换是傅里叶积分变换应用方面的创新等等。

在复变函数与积分变换的学习中，我得到的不仅有作为科学创新基础的数学原理，还有一些创新思想方法，如解析函数高阶导数和积分变换中导数公式的归纳法思想、复数几何意义的直观性在初等几何中的应用思想等等。

我们在学习中掌握了这些方法，有利于在今后的工作和生活中发挥巨大的作用。

通过对复变函数和积分变换的学习，培养我们运用基本理论和方法解决实际问题的意识、兴趣和能力，尤其是解析函数在平面向量场中的应用，留数理论的应用，积分变换在解微分方程中的应用和求广义积分，微分方程变换为初等方程，培养我们打破思维定式，打破常规惯例，用新的眼光看复变函数和积分变换。

我们从这门课程上可以学到傅里叶变换是一种对连续时间函数的积分变换。

自从我接触了一些我们的专业课知识，就深刻了解到傅里叶变换在处理和分析工程实际中的一些问题的重要作用。

通过变换技术，从另一个角度对问题进行处理和分析，使问题的性质更清楚、更便于分析，也使问题的求解更方便，更便于解决。

复变函数小论文

复变函数积分方法的教学思考数学与信息工程学院数学与应用数学专业王旭义1.引言复变函数是许多工科专业如自动化控制、交通工程、电子信息等必修的数学课程，学好复变函数可以为工科学生学习后续专业课程打下良好的数学基础.但是，由于课程内容抽象琐碎，学生学习这门课程有一定难度，容易失去学习兴趣.鉴于此，教师在教学过程中，如何帮助学生寻找合适的“窍门”，降低学习难度，激发学习兴趣，对学生学好复变函数非常重要.考虑到复变函数是高等数学的后续课程，学生对高等数学中实变量的函数积分非常熟悉，而纵观复变函数整个课程的内容，积分理论在大部分章节都占据了重要地位，并且它把许多经典内容如柯西—古萨定理、复合闭路定理、留数定理等有机地结合起来了，那么在复变函数的教学过程中，若把积分理论作为整个复变函数课程内容的一条线索，就会帮助学生理解得更加具体，从而提高学生学习的兴趣.本文集中讨论复变函数积分的常用理论和方法，并辅以适当的例题加深理解.根据积分路径的不同，复变函数积分大致可分为以下两类：沿非封闭曲线的积分和沿封闭曲线的积分.另外，本文还讨论了一个特殊情形的积分，即无穷限的广义积分.一、沿曲线C（非封闭）的积分f（z）dz当积分路径是非封闭的曲线时，可以用参数法和牛顿—莱布尼兹积分公式法.1.参数法路径是光滑的有向曲线C且可以表示成参数方程z=z（t），α≤t≤β，参数α、β分别对应C的起点和终点，则曲线积分可以用如下的公式计算：f（z）dz=f［z（t）］z′（t）dt.例1．计算zdz，其中C为从原点到1+3i的直线段.解：将C的方程写作z=（1+3i）t，0≤t≤1，则：zdz=（1+3i）td（1+3i）t=（1+3i）dt=-8+6i.2.线积分法如果f（z）=u（x，y）+iv（x，y）是连续函数，C是光滑曲线y=g（x），则f（z）dz 可以转变为两个二元实变函数的线积分，即：f（z）dz=udx-vdy+ivdx+udy.例2．计算积分（x+yi）dz，其中C为抛物线y=2x，0≤x≤1.解：u=x，v=y，则：（x+yi）dz=xdx-（2x）d（2x）+i（2x）dx+xd（2x）=（x-16x）dx+i（4x+4x）dx=-+i.3.牛顿—莱布尼兹积分公式法如果f（z）在单连通区域D内处处解析，G（z）为f（z）在区域D的一个原函数，z 与z是区域D内两点，则：f（z）dz=G（z）-G（z）.例3.沿区域Im（z）≥0，Re（z）≥0内的圆弧|z|=1计算积分dz的值.解：被积分函数在所给区域内处处解析，它的一个原函数为ln（z+1），则：dz=ln（z+1）|=［ln（1+i）-ln2］=--ln2+i.二、沿封闭曲线C的积分f（z）dz1.参数法如果积分路径是光滑的封闭曲线C且有参数方程z=z（θ），0≤θ≤2π，则曲线积分可以通过如下的公式计算：Cf（z）dz=f［z（θ）］z′（θ）dθ例4．计算C，其中C为以z为中心，r为半径的正向圆圈，n为整数.解：将C的方程写作z=z+re，0≤θ≤2π，代入积分式得：C=dθ=edθ=2πi，n=00，n≠0.2.利用柯西—古萨基本定理积分法如果f（z）在单连通区域B内处处解析，C是B的一条封闭曲线，则：Cf（z）dz=0.例5.计算积分Cdz，C：|z|=2.解：因为f（z）=在圆周|z|=2内处处解析，所以积分结果为0.3.利用高阶导数积分法如果f（z）是区域D上的解析函数，C是区域D内围绕z的一条正向简单封闭曲线，则：C=（n=1，2，…）例6.计算|z|=3dz解：|z|=3dz=（cosπz）［４］|=-.4.利用级数积分法若f（z）在圆环域B内处处解析，C是B内的一条封闭曲线，将f（z）展开成洛朗级数，f（z）=c（z-z），则：f（z）dz=c.例7.计算积分|z|=２dz解：f（z）=在1＜|z|＜+∞内解析，|z|=2在此区域内，则按洛朗级数展开有：f（z）=-=-（1+++…）（1+++…）=-1---…，则C=-2，所以|z|=２dz=2πi·（-2）=-4πi.5.利用留数积分法设函数f（z）在区域D内除有限个孤立奇点z，z，…，z外处处解析，C是D内包含这些奇点的一条封闭曲线，则Ｃf（z）dz=2πiRes［f（z），z］.例8.计算积分|z|=２解：被积函数f（z）=在区域|z|≤2的奇点是-i与1，所以|z|=２=2πi{Res［f（z），-i］+Res［f（z），1］}=-.注意：若函数f（z）在封闭曲线内的奇点个数较多，曲线外的奇点个数较少，则根据f （z）在扩充复平面上的所有奇点（包括∞）的留数的总和必为零这一结论可得：Ｃf（z）dz=-2πiRes［f（z），∞］（曲线外只有奇点∞）或Ｃf（z）dz=-2πi{Res［f（z），∞］+Res［f（z），z］}（z，z，…，z，∞为曲线外的奇点）.例9．计算积分|z|=２dz解：的奇点±1、±i在圆周|z|=2内，圆周外的奇点只有∞，则：Ｃf（z）dz=-2πiRes［f（z），∞］=2πiRe s［f（），，0］=2πiRes［，0］=0.总之，复变函数的积分理论是实变量函数积分理论的推广，但比实积分理论的内容要丰富和复杂得多.因而教师在讲授时应帮助学生理解复变函数积分理论与高等数学中积分理论的联系，同时又要强调二者的不同，这对学生掌握复变函数整个课程内容大有裨益.参考文献：［1］钟玉泉.复变函数论［M］.北京：高等教育出版社，2004.［2］陆庆乐.工程数学-复变函数（第四版）［M］.北京:高等教育出版社，1996.［3］王绵森.复变函数学习辅导与习题选解［M］.北京:高等教育出版社，2003.［4］王燕.复变函数积分的解法分析［J］.数学学习与研究，2009，12:90-91.［5］唐宝庆，杨润生，欧阳文等.对复变函数积分Ｃf（z）dz的计算在教学上的探讨［J］.数学理论与应用，2010，1（30）:120-122.。

复变函数积分论文

（二〇〇八年六月本科毕业论文题目：分离变量方法在微分方程求解中的应用分析学生姓名：王小飞学院：理学院系别：数学系专业：信息与计算科学班级：信计04-2指导教师：任文秀副教授摘要分离变量法是求解微分方程的最基本方法之一，对此法进行探索研究具有重要的理论和实践意义.为了让大家更透彻地理解分离变量法，本文首先在引言中详细地介绍了常微分方程分离变量法的起源及其进展情况；紧接着,在第一章综述了基于Sturm-Liouville 问题的传统分离变量法，内容涉及到分离变量法的力学背景、理论基础、基本思想、计算步骤、算例等几方面. 作为对偏微分方程求解方法的补充，我们还就非线性领域的分离变量法做了一个摘要; 最后, 在本文的主体部分—第二章中力图进一步完善辛-Fourier展开法（基于Hamilton体系的分离变量法）的应用体系, 主要工作包括以下三方面：第一，在Hamilton体系下尝试求解常微分方程并验证了该解法的正确性；第二，利用辛-Fourier展开法在Hamilton体系下求出了二阶椭圆型方程的通解,这比前人所做的工作都完善；第三，利用辛-Fourier展开方法初步探讨了抛物型方程，虽然没有得出满意的结果，但是也取得了一些收获.关键词：传统分离变量法；Sturm-Liouville问题；Hamilton系统；辛空间；辛-Fourier展开法AbstractThe method of Separation of variables is one of the most basic methods to solve differential equations. It provides importantly theoretical and practical significance to exploit and research this method.To make us understand about method of separation of variables, firstly, in the introduction, we study the origin and progress of this method for the ordinary differential equations; after that, we investigate the traditional method of separation of variables based on Sturm-Liouville problem in 1st chapter, which involves the mechanical background, the theoretical foundation, the basic idea, calculated steps, examples and other areas. As a supplementary of the method to solve partial differential equations, we also do a abstract about separation of variables on the non-linear field; finally, in the main part of this paper: 2nd chapter aimed to further improve symplectic-Fourier expansion method (namely, method of separation of variables based on Hamiltonian system) on application, we do the works as following: First, verify the correctness to solve ordinary differential equations in the Hamilton system; Second, take use of symplectic-Fourier expansion method to solve the second-order elliptic equation in Hamiltonian system, the results are more perfect than the work done by their predecessors; Third, try to discuss the parabolic equation by this new method. Although we do not obtain effective results, some techniques are showed in whole process.Key words: traditional method of separation of variables; Sturm-Liouville problem;Hamiltonian system; symplectic space; symplectic-Fourier expansionmethod目录绪论 (1)第一章偏微分方程中的传统分离变量法 (4)1.1力学背景 (4)1.2理论基础 (5)1.2.1线性叠加原理 (5)1.2.2 Sturm-Liouville理论 (6)1.3分离变量法的思想及实例 (7)1.3.1思想步骤 (7)1.3.2实例 (8)1.4非线性系统中的分离变量法简介 (9)1.4.1形式分离变量法 (10)1.4.2多线性分离变量法 (10)1.4.3泛函分离变量法 (11)1.4.4导数相关泛函分离变量法 (11)第二章 Hamilton体系下的分离变量法 (13)2.1辛空间的相关理论知识 (13)2.2 辛-Fourier展开法概述 (15)2.3 应用举例 (16)总结 (29)参考文献 (30)附录 (32)谢辞 (35)绪论说到分离变量法,就不得不提到微分方程, 因为分离变量法不仅是在求解微分方程过程中被提出的, 而且是在这个过程中不断被完善发展的. 一般地，微分方程包括常微分方程(简称ODE ）和偏微分方程(简称PDE)，是指含未知函数及未知函数导数的方程. 它起源于17世纪物理学的探索.17世纪末，分离变量法在ODE 中首次被提出. 由于该法在求解微分方程时体现出一定的优越性，所以吸引了众多专家学者的注意，在他们不懈地努力下，分离变量法从ODE 被逐步引入到PDE, 从线性领域跨越到非线性领域，甚至求解体系从欧式空间渗透到辛空间.下面，我们先从ODE 入手来叙述这一重要方法.一、起源与基本概念1691年，Leibniz （德国数学家、物理学家和哲学家）在给Huggens 的一封信中首次提出了常微分方程的分离变量法[1]. 他将形如)()(y g x f dy ydx =的方程写成ydy y g x f dx )()(=，然后两边进行积分，从而得到了原方程的解. 同一年，他利用变换zx y =将线性齐次方程)('xy f y = 变为可用分离变量法求解的方程xz z f dx dz -=)(. 1695年，James.Bernoulli 在某一学报中提出了Bernoulli 方程[1] n y x q y x p dxdy )()(+=. 一年后， Leibniz 利用变量替换n y z -=1把Bernoulli 方程化成线性方程（关于y 和'y 的一次方程）. 1698年，James 又在同一学报中本质上用分离变量法把Bernoulli 方程解出，进一步扩大了分离变量法的应用范围. 此外，Riccati 也为这一方法做出了贡献并且得到如下著名的定理：定理[2] 设Riccati 方程为 ,2m bx ay dxdy =+其中m b a ,,都是常数. 且设0≠a ，又设0≠x 和0≠y ，则当124,124,2,0--+--=k k k k m ),2,1( =k 时，Riccati 方程可通过若干适当的变换化为可分离变量的方程.综上,一般我们把形如)()(y g x f y =' （1）的方程称为可分离变量方程, 其中)(x f 和)(y g 分别是变量x 和y 的连续函数.不难看出，该方程具有特点：右端项为两个变量独立的一元函数之积. 往往可通过这一特征来判断方程是否为分离变量型，当然还可以通过Maple 程序包odeadvisor()来实现，详见文[3]中的介绍. 主要的处理代码如下> restart;> p:=eqs()> with(DEtools):> odeadvisor(p);> separablesol(p,y(x));且其求解方法可总结为:（1）如果0y 使得0)(0=y g ，则0y y =是（1）的解.（2）如果0)(≠y g ,可对方程（1）先分离变量，得dx x h dy y g )()(1=，再两边积分，即得原方程通解. 上述解法被称为分离变量法.二、选题背景与本文的主要工作可分离变量ODE 虽然形式较为简单，但它在实际中有很多应用，比如雪球融化问题、化学反应问题、跳伞的速度问题等等，都可以用这一数学模型来解决，因此对它的求解方法—分离变量法的探讨具有实践意义.然而分离变量思想有着更为宽广的应用背景，它更为广泛地体现于PDE 问题的求解中，通常，我们把PDE 中的分离变量法称为传统分离变量法[4-7]. 利用传统分离变量法求解偏微分方程经常会导致自共轭算子的特征值问题，即Sturm-Liouville 问题(简称S-L 问题)，该问题的求解已经形成了一套系统的理论（详见第一章介绍），但S-L 问题自身有一定的局限性，这样导致相当一大部分方程用传统分离变量法难以求解，比如椭圆型方程（本文在第二章中将要用新的方法来确定）.怎样处理这类传统分离变量法解决不了的问题呢？1991年, 钟万勰院士在文[8]中利用结构力学与最优控制的模拟理论，将无穷维Hamilton 体系应用到弹性力学等相关领域，并把传统方法难以解决的一类二阶椭圆型方程和条形板弯曲问题导向Hamilton 体系. 从而，首次为用分离变量法求解PDE 指出新的导向, 拓宽了基于S-L 问题的传统分离变量法.2000年, 周建方、卓家寿等对于S-L 问题，在Hamilton 体系下实施分离变量法，结果发现所得结果与传统分离变量法一致.从而说明了Hamilton 体系下的分离变量法（称之为辛-Fourier 方法）的正确性和潜在能力[9].我们认为基于Hamilton 体系的分离变量法的研究还仅仅是开始，但已显现出一定的优越性，相信随着研究的深入，必将给我们解决目前一些难以解决的问题提供更多的机会.本文意在介绍传统分离变量法和辛-Fourier 方法（即Hamilton 体系下的分离变量法）的思想.由于传统分离变量法已经形成了一套完善的理论，所以本文第一章对传统分离变量法只是作了一个综述，以方便所需之人阅读. 而辛-Fourier 方法还没有形成一套成熟的理论，也就成为了本文第二章研究的主要对象.我们首先在Hamilton 体系下尝试了常微分方程的分离变量法，发现所得结果与ODE 分离变量法一致. 紧接着，利用辛-Fourier 方法探讨了一个二阶椭圆型方程的定解问题⎪⎩⎪⎨⎧=====-++).(),1(),(),0(0)1,()0,(02y g y u y f y u x u x u eu cu bu au yy xy xx 相比文献[12]，我们的结果更具有一般性,而且积分常数是在辛正交的前提下直接确定的. 最后, 又利用辛-Fourier 方法探讨了抛物型方程 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤=>=+∂∂=><<∂∂=∂∂l x x x u t t l hu x t l u t u t l x x u a t u 0)()0,(00),(),(,0),0(0,0222ϕ虽没有顺利得出最后的结果，但还是把详细的解题过程给出了，希望能为日后的研究工作提供一个参考.第一章偏微分方程中的传统分离变量法分离变量法是求解偏微分方程的最基本方法之一. 通常,对偏微分方程实施分离变量之后, 将导致自伴算子的本征值问题, 对此已经有了全套的理论, 即S-L 理论.本章我们首先介绍PDE 中分离变量法的起源及最基本的S-L 理论; 其次结合算例,综述分离变量法的基本思想与步骤; 最后根据文献[10]，对分离变量法在非线性领域的发展情况做了摘要.1.1力学背景分离变量法是受驻波的启示而被提出的. 大体而言, 驻波是由两列等振幅相干波沿相反方向传播时叠加而成. 下面, 我们将利用波的叠加原理来介绍驻波的形成.设有两列振动方向相同、振幅相同、频率相同的平面余弦波：)(2cos ),.(1λγπx t A t x u -=；)(2cos ),(2λγπx t A t x u += 分别沿x 轴的相反方向传播，其中A 表示振幅，γ表示频率. 按照叠加原理，可合成驻波的波函数为 )](2cos )(2[cos A ),(),(),(21λγπλγπx t x t t x u t x u t x u ++-=+=. （1-1）利用三角函数关系，将式（1-1）简化为 ,2cos 2cos 2),(t x A t x u πγλπ⋅= （1-2）这里我们称(1-2)为驻波.为了更加形象地看到由余弦波),(1t x u 与),(2t x u 叠加形成驻波的过程，我们分别把2,4,8πππ=t 时的驻波图形画出来，即图1.1 不同时刻的驻波图形图中虚线表示),(1t x u ，长点划线表示),(2t x u ，实线表示合成的驻波),(t x u .我们都知道，在力学中，两端固定弦(假定长为l )的自由振动问题[5-6] ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤=∂∂=≥==><<∂∂=∂∂==== )x (0 )( )( 0)(t 0 ) 0 0 ( 00022222l x t u x u u u t l,x x u a t u t t l x x ψϕ，（1-3）能够形成驻波，而且弦线上驻波的形成是有条件的，它要求弦线长等于半波长的整数倍. 这样, 由驻波的表达式(1-2), 使我们很自然地想到，可设其特解形如 )()(),(t T x X t x u =, （1-4）其中)(x X 和)(t T 分别是变量x 和t 的待定函数. 将式（1-4）分别代入原方程及其定解条件中，就可确定)(x X ,)(t T . 从而, PDE 中的分离变量法(俗称驻波法)就被提出来了, 并逐步趋于完善, 最终成为求解PDE 定解问题最基本的方法之一.1.2理论基础1.2.1线性叠加原理在线性领域中研究分离变量法，线性叠加原理是重要的理论基础之一，该原理多次被应用到分离变量法的过程中，比如，我们最后得到的PDE 定解问题的解就是由所有特解线性叠加而成的，还有在处理非齐次PDE 定解问题时，我们通常把方程和边界条件视为几种类型叠加的结果等等.定理2.1(线性叠加原理)[4-7] 设i u 满足线性问题i i f Lu =; i i g Bu = ),2,1( =i其中L 和B 分别是线性偏微分算子和线性定解条件算子. 若级数i i i u c ∑∞=1收敛，且可以逐项微分，同时级数i i i f c ∑∞=1和i i i g c ∑∞=1都收敛，则i i i u c ∑∞=1是定解问题i i i f c Lu ∑∞==1; i i i g c Bu ∑∞==1的解.1.2.2 Sturm-Liouville 理论Sturm-Liouville 问题（简称S-L 问题）源起于十九世纪初叶J.Fourier 对热传导问题的数学处理中，到十九世纪三十年代时，Q.Sturm 和J.Liouville 又把Fourier 的方法进行了一般性的讨论. 后来，他们所得的结果成为了解决一大类PDE 定解问题的理论基础，也就是我们所谓的S-L 理论.继线性叠加原理，S-L 理论为分离变量法奠定了又一重要理论基础，它为分离变量法的应用提供了广阔的前景.分离变量法的本质特征是把PDE 的定解问题通过变量分离转化为一个特征值问题(ODE 问题)，而对于大量的特征值问题，其特征值及特征函数是不容易求出的，甚至，只能求助于数值解法求得近似解.但是有了S-L 问题的基本定理后，即使我们并不知道具体的特征值或特征函数的形式，我们仍然可以通过基本定理得到解的表达式，由此可见S-L 理论对于分离变量法的重要性.下面我们来看一下S-L 理论中的一些基本定理[11].为了简单起见，我们着重讨论二阶ODE 的特征值问题，即S-L 问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧='+='-=-- .0)()(0)0()0( 0)(])([2121l y b l y b y a y a y x s dx dy x p dx d λ 在S-L 问题中，假定系数)(x p 和)(x s 都是实函数且满足条件：（1）],0[)(],,0[)(1l C x s l C x p ∈∈;（2）在],0[l 上0)(,0)(0≥≥≥x s p x p ,参数)2,1(0,0=≥≥i b a i i 且0,022212221≠+≠+b b a a .定理1.2 S-L 问题的所有特征值λ都是实数.定理1.3 S-L 问题的所有特征值λ都是非负的.定理1.4 S-L 问题的所有特征值λ组成一个单调非减, 并以无穷远点为凝聚点的序列，即 ≤≤≤≤n λλλ21,且+∞=∞→n n λlim .定理1.5 S-L 问题不同的特征值所对应的特征函数在区间],0[l 上带权)(x s 正交，即当特征值k j λλ≠时，相应的特征函数)(x y j 和)(x y k 有关系式.0)()()(0=⎰dx x y x y x s k lj )(k j ≠定理1.6 S-L 问题的所有特征函数{}∞=1)(n n x y 能构成空间],0[2l L *的一组完全正交基，即对任意的函数∈)(x f ],0[2l L *可以按特征函数系{}∞=1)(n n x y 展成广义Fourier 级数 )()(1x y c x f n n n ∑∞==,其中 ,)()()()()(020⎰⎰=ln l n n dx x y x s dxx y x f x s c ),2,1( =n亦即0)()(lim *21=-∑=∞→L N n n n N x y c x f . 须说明的是以上摘录的定理是S-L 理论中最基本的结论,其余结论可参阅文[11].1.3 分离变量法的思想及实例1.3.1 思想步骤分离变量法作为PDE 的最基本解法之一，它的思想相对来说较为简单，解题步骤也很清晰，将其总结如下:基本思想[12]：将PDE 定解问题的解表示成单变量函数之积，即令解形如（1-3），然后将其带入原PDE ，从而，使PDE 降阶或化为带有参数的ODE ，达到简化问题的目的.基本步骤：（1）变量分离，设解的形式为（1-3）；（2）解ODE 的特征值问题，即确定特征值 n λ和特征函数)(x X n ；（3）求其余ODE 的解（一般为)(t T n ），并与特征函数相乘得到特解),(t x u n ;（4）将特解线性叠加，即得),(),(1t x u c t x u n n n ∑∞==;（5）用Fourier 级数法来确定待定系数n c .1.3.2 实例这里我们以有界弦的自由振动问题（1-3）为例，来说明用分离变量法求解PDE 定解问题的过程.为了简单起见，不妨设弦振动问题(1-3)，两端固定，且在初始时刻0=t 时处于水平状态，位移速度为)(x l x -，即相当于考虑在0)(=x ϕ, )()(x l x x -=ψ的特殊情形下，来求位移函数),(t x u .首先设问题(1-3)的解形如变量分离式(1-4), 将(1-4)代入(1-3)中的波动方程,有)()()()(2x X x X t T a t T ''=''λ-=, （常数）即;0)()(2=+''t T a t T λ (1-5) ,0)()(=+''x X x X λ (1-6) 这里函数)(t T 不恒等于零，故由（1-3）中的边界条件知0)()0(==l X X . (1-7) 经验证，只有当02>=βλ时，特征值问题(1-6)才有非零解，且其通解为x B x A x X ββsin cos )(+=. (1-8) 把边界条件(1-7)代入(1-8)中, 可推得特征值为 ,2⎪⎭⎫ ⎝⎛=l n n πλ（ ,2,1=n ）从而得特征函数是x l n B x X n n πsin )(=.（ ,2,1=n ）将n λ代入方程(1-5)解得 .sin cos )(lat n D l at n C t T n n n ππ'+'=（ ,2,1=n ）则波动方程(1-3)的形式解为x l n l at n D l at n C t T x X t x u n n n n n πππsin sin cos )()(),(⎪⎭⎫ ⎝⎛+==,（ ,2,1=n ）其中参数n n n n nn B D D B C C '='= ,. 因为定解问题中的方程和定解条件均为齐次，由线性叠加原理1.1知, 解 ∑∑∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==11sin sin cos ),(),(n n n n n x l n l at n D l at n C t x u t x u πππ (1-9) 仍满足式(1-3)中的边界条件. 故将其代入(1-3)中的初始条件,可得∑∞====10sin 0n n t x l n C u π; ∑∞===-=∂∂10sin )(n n t x ln l a n D x l x t u ππ. 上两式表明参数n C 和la n D nπ分别为函数0与)(x l x -在区间],0[l 上的Fourier 级数展开式的系数, 利用定理1.6的Fourier 系数公式, 自然可得;0sin 020⎰=⋅=l n xdx ln l C π ⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎰为偶数为奇数n n n l xdx l n x l x a n D l n ,0,4sin )(23330πππ再将n C 和n D 代入式(1-9), 就产生了定解问题(1-3)的解： ⎪⎩⎪⎨⎧==∑∑∞=∞=为偶数为奇数n n x ln l at n n l t x u t x u n n n ,0,sin sin 4),(),(13331πππ且1=n ，3=n ，5=n 时, 某时刻解的图形如下图1.2 解在n 取不同值时的图形在所学范围内，我们认为分离变量法一般适用于齐次线性方程的齐次定解问题, 这里不再多举例.1.4 非线性系统中的分离变量法简介对于线性系统，人们已经有了比较深入的了解和应用，但是线性系统只是对于复杂事物近似的线性抽象和描述.为了更近一步探索复杂事物的本质，往往把目光放到了非线性系统，从而非线性科学得到了蓬勃的发展. 随着科学的进步, 我们一直探索的分离变量法也随之进入了非线性系统. 目前大体研究方向如下1.4.1 形式分离变量法形式分离变量法实际上就是最早由我国著名学者曹策问教授提出的非线性化方法，后来发展为李翊神教授和程艺教授的对称约束法.目前我国还有许多专家学者在致力于这方面的研究.通常这种方法只适用于Lax 可积系统. 楼森岳和陈黎丽将它推广到了不可积系统并称之为形式分离变量法，在文[7]中作者给出了求解非线性系统的形式分离变量法的一般过程，其描述如下：对于N 阶1+n 维非线性系统，0)(),,,,,,,,(121=≡⋅⋅⋅u F u u u u x x x t F N i j i i j i i x x x x x x n , (1-10)引入一组变量分离形式分离方程,i x K i =ψ ,,,,2,1,00t x n i ≡= (1-11) 其中,),,,(21T M x i ψψψψ ≡),,,,,(21n i i x x x t ψψ≡)(ψi i K K =是有M 个分量的矩阵函数. 根据相容性条件i j j i x x x x ψψ=, 要求i K 必须满足 0))()((],[0''=+-+∂∂≡-≡=εεψεψεi j i i j j i j i K K K K K K K K K K . (1-12) 假定（1-10）的解与ψ之间的关系为)(ψU u =, (1-13) 把(1-11)和(1-13)代入(1-10)后确定出函数U 和i K ，由此可得到形式分离变量解.可以看到，ψ是},,,,{21n x x x t 的函数，所以形式分离变量解中函数的变量并没有真正地实现分离，而只是1+n 个变量分别显现在1+n 个方程(1-11)中, 详见参考文献[10]的第六章. 1.4.2 多线性分离变量法上面提到的形式分离变量法本质上并没有真正的实现变量分离，因此为了实现真正意义上的变量分离，1996年搂森岳和陆继宗在关于DS 系统的论文中提出了一种分离变量法，即多线性分离变量法的雏形. 之后一直没有任何进展，直到5年后，才在已有的多线性分离变量法雏形的基础上开展了进一步的研究，建立了完善的多线性分离变量法，使得多线性分离变量法真正得到发展, 以致能够推广应用于大量的非线性模型.到目前为止，多线性分离变量法已经成功求解了一大类的2+1维非线性系统和一些1+1和3+1维的非线性系统.多线性分离变量法也已经成功的应用到了差分微分系统.我们称这些可以用多线性分离变量法求解的非线性PDE 为多线性分离变量可解方程，对应的解被称为多线性分离变量解.我们发现所有的非线性系统的多线性分离变量解都可以由一个形式上统一的式子表示.特别地，这个通式中包含了低维任意函数.此外，多线性分离变量法还可以被进一步推广为一般多线性分离变量法，从而得到一些非线性系统的一般多线性分离变量解，这个解包含了更多低维的变量分离函数.详见文[10]的第四章.1.4.3 泛函分离变量法泛函分离变量法主要是由俄罗斯的Zhdanov 和我国的屈长征教授等发展的，在文献（Qu C Z,Zhang S L,Liu R C.Physica D,2000,144:97）中作者提出了泛函分离变量法并建立了利用一般条件对称对方程进行归类和求解的步骤和实现方法.以N 阶1+1维非线性系统0)(),,,,,,,(=≡u F u u u u u t x F t t x x t x (1-14) 为例，可以对其求乘积型分离变量解 )()(t x u ψφ=(类同于传统分离变量法的形式解)或和式分离变量解)()(t x u ψφ+=.然而，绝大多数非线性系统没有此种解，因此可以进而寻求泛函分离变量解 )()()(t x u f ψφ+= (1-15) 其中)(u f 是可逆函数，泛函分离变量解(1-15)满足约束条件0)(=+≡t x t x u u u g u η,其中)()()(u f u f u g '''≡.这一问题等价于寻求方程(1-16)的一般条件对称 .])([uu u u g u u V t x t x ∂∂+≡∂∂=η 由此可以给出系统(1-14)具有泛函分离变量解(1-15)的完全归类, 并给出归类方程的泛函分离变量解, 详见文[10]的第五章.1.4.4 导数相关泛函分离变量法导数相关泛函分离变量法是泛函分离变量法的更一般的推广，它能够给出完整的分离变量解归类.对于非线性系统(1-14)，可定义下列4种形式的分离变量解：(1))()(),(t x u u f x ψφ+=;(2))()()()(),(t x t x u u f x ηξψφ++=;(3) );()())()((),,,,,,(11t x t x u u u u u u f i Ni i M i i i t t t x x x t x ηξψφ∑∑==++=(4)),(),,,,,,(ηξF u u u u u u f t t t x x x t x = ),(t x ξξ=),(t x ηη=.在利用导数相关泛函分离变量法对一些类型的非线性系统进行导数相关泛函分离变量可解的完全归类的研究中，对一些不同类型的非线性模型，先要求各种场量及其导数的某种（泛函）组合可以有加法或乘法的变量分离解；然后根据这一要求来确定相应的一般条件对称，进而利用一般条件对称、不变曲面条件和群论方法来确定所有可能的方程和可能的泛函组合，定出方程的所有可能的等价类；最后再分别求出导数相关泛函分离变量解.至今已经利用此方法对一般非线性扩展型方程、一般非线性波动方程和一般KdV 型方程做出了完整的分离变量可解归类，并且给出了这类非线性系统的严格解以及解的对称群解释.详见文[10]的第五章.从以上的摘录中,我们看到了分离变量法在非线性领域中的应用也是很广泛的,那么它的求解体系是否也能拓展呢? 我们将在下一章中讨论.第二章 Hamilton 体系下的分离变量法在第一章中通过对传统分离变量法的探讨，可以看出，能够应用传统分离变量法求解的偏微分方程总会导致自共轭算子的特征值问题，即S-L 问题. 然而，在实际应用中很多问题并不能导致自共轭算子，这就超出了传统分离变量法的应用范围. 为了克服这个困难，1991年钟万勰教授将无穷维Hamilton 系统引入到弹性力学，结合无穷维Hamilton 算子建立了弹性力学求解新体系.从而，为用分离变量法求解方程开辟出一条新道路, 拓宽了基于S-L 问题的传统分离变量法.2000年周建方等对S-L 问题，如波方程和调和方程在Hamilton 体系下实施分离变量法，结果发现所得结果与传统分离变量法一致，那么对常微分方程、传统方法所解决不了的二阶椭圆型方程、抛物型方程在Hamilton 体系下实施分离变量法结果会怎样？这就是本章所要解决的问题.2.1 辛空间的相关理论知识辛空间是研究面积的(或研究做功的), 不同于欧几里德空间, 它是指装备了一种具有特定性结构的空间, 是Hamilton 系统的数学基础. 下面以有限维(偶数维)辛空间为例来说明将要用到的相关基本知识[13].定义 2.1 设W 是实数域R 上的一个n 2维相空间,对W 中的任意两个向量α,β依一定法则对应着一个实数,这个数称为辛内积,记作],[βα, 并且辛内积],[βα运算满足下列4个条件:(1)反对称性：],[],[αββα-=；(2)齐次性：],[],[βαβαk k =，其中k 为任意实数；(3)可加性：],[],[],[βγβαβγα+=+，其中γ是W 中的任意向量；(4)非退化性：若向量α对W 中任一向量β均有0],[=βα, 则0=α，称定义有这样辛内积的相空间为辛空间(symplectic space).特别声明的是由辛内积的反对称性知,任一向量与其自身的辛内积一定是零,即对任意向量α, 有0],[=αα,这一点与欧氏空间是有本质区别的, 在欧氏空间中0],[2≥=a αα.定义 2.2 设在n 2维实向量空间n R 2中,对任意向量T n x x x x ),,(221 =,T n y y y y ),,(221 =, 定义一种辛内积为y J x y x y x y J x y x n T ni i i n i n i n 212)(),(],[=-==∑=++,其中矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=002nn n I I J , (2-1) 这里称n J 2为单位辛矩阵,简记为J . 定义2.3 若向量α,β的辛内积0],[=βα,则称α与β辛正交; 否则, 则称α与β辛共轭.定义 2.4 对于n 个自由度的保守力学系统,设广义坐标n q q ,,1 , 广义共轭动量n p p ,,1 , 若系统描述为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂=∂∂-=⋅⋅,;i i i i p H q q H p ),,1(n i = (2-2) 或改写成形式)(z H J dtdz ∇= 其中T n n p p q q z ),,,,(11 =,H ∇为能量函数H 的梯度向量,称式(2-2)为经典Hamilton 方程(有限维Hamilton 系统).定义2.5[14-15] 设X 为Hilbert 空间,X X X X H D H ⨯→⨯⊂)(:为微分算子,若H 满足JHJ H =*,则称如下发展方程(组)为无穷维Hamilton 正则系统Hu u =., (2-3)其中J 的表达式为(2-1).定义 2.6[14-15] 设X 为Hilbert 空间,X X D C B A →:,,,,若B B =*,C C =*, A D -=*,则称 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=D C B A H 为无穷维Hamilton 正则算子,简称为Hamilton 算子.定理2.7 如μ是Hamilton 算子H 的本征值，重数为m ，则μ-也一定是其本征值，重数也为m ；如Hamilton 算子H 存在零本征值，则重数一定为偶数.定理2.8 有限维Hamilton 算子H 具有归一加权)(x s 辛正交特征函数系, 即算子H 的特征函数系{k U }, ,,,2,1n k ±±±=满足⎩⎨⎧≠+=+=0,00,])(,[l k l k JU x s U l k 非零常数还有很多有关辛空间的理论,详见姚伟岸、钟万勰的专著[11].2.2 辛-Fourier 展开法二十世纪九十年代初, 钟万勰院士首次根据结构力学与最优控制理论,将由原变量及其对偶变量组成的辛空间(偶数维)引入到弹性力学,从而使分离变量思想及按辛本征函数展开的直接解析法得以实现,形成了弹性力学求解新体系,被学者们称之为辛-Fourier 展开法.这个新方法不同于偏微分方程求解的传统思路,它充分利用到了Hamilton 系统的优势：(1)一切真实耗散不计的过程都可以包容在当中；（2）使得方程组从形式上看降低了阶次为一阶，对一类问题可以在Hamilton 体系下实施Fourier 展开法;(3)从结构属性上，线性Hamilton 正则系统具有分离变量形式. 随着研究的深入，它往往不仅仅局限于弹性力学，也可以应用在偏微分方程的定解问题中. 具体的方法是将研究问题引入到无穷维Hamilton 系统，然后利用无穷维Hamilton 算子特征函数系展开给出形式解, 再讨论其收敛性. 这里我们将求解过程大致总结如下:(1)设法寻求一个满足定义2.6的Hamilton 正则算子，将要解决的方程导入形如(2-3)的Hamilton 体系;(2)对新引入的状态变量V 实施分离变量,即令)()(x X t T V n n =，从而导致Hamilton算子的特征值问题,并解得特征值n λ与特征函数;(3)类似于前一章介绍的传统分离变量法, 写出形式解;(4)验证相应Hamilton 算子的特征函数系的辛正交性(此步是该法的关键);(5)利用Fourier 展开方法确定形式解中的待定参数.此法尚在完善之中, 有很多工作有待进一步解决[16-17].由于知识所限, 我们暂不考虑该法关于收敛性方面的严格数学证明, 只在下一节中直接分析它的应用.。

《复数函数的积分变换》论文

《复数函数的积分变换》论文
《复数函数的积分变换》
近年来，复数函数在微分方面的研究有了很大发展。

虽然复数函数在积分上仍然存在许多挑战，然而，有一种重要的积分变换，可以有效解决此问题--复数函数的积分变换。

本文从复数
函数的积分变换出发，详细介绍了它的原理和应用。

首先，本文介绍了复数函数的积分变换的原理。

对于一个复数函数f(z)，其积分变换F(z)定义为：F(z)=∫f(x)dx,其中z是变量，x是积分区间上的一个变量。

这里，积分变换不仅仅涉及复数
函数的计算，也涉及复数函数原有函数的变换。

因此，复数函数的积分变换又被称为“变换积分法”。

其次，本文介绍了复数函数的积分变换的应用。

复数函数的积分变换在现代数学应用中有着重要的地位。

例如，在解决常微分方程的问题中，使用复数函数的积分变换可以获得十分有效的解决方案。

此外，应用复数函数的积分变换，还可以更好地理解某些特殊复数函数的性质。

因此，复数函数的积分变换有着广泛的应用前景。

最后，本文总结了复数函数的积分变换，指出复数函数的积分变换不仅仅涉及复数函数的计算，还涉及复数函数原有函数的变换，具有广泛的应用前景。

虽然今天的研究已经取得了一定的成果，但复数函数的积分变换在它的应用方面仍然具有很大的可探索空间。

最后，本文对此进行了展望，指出将来进一步的研究可以使这一领域的理论更加完善。

综上所述，本文全面介绍了复数函数的积分变换的原理及其应用，扩大了人们关于复数函数积分变换的认识。

本文还对将来关于这一领域的研究方向作了展望，为增进人们对复数函数积分变换的理解提出了新的思考。

复变函数曲线积分

复变函数曲线积分
复变函数和曲线积分是数学中的两个重要概念，尤其在复分析和向量分析中。

复变函数是实变函数的扩展，其中变量和函数值都是复数。

这种函数在复平面上定义，其中每个复数都可以表示为一个点。

复变函数的研究包括极限、连续性、可微性、积分等概念，这些与实变函数中的相应概念有许多相似之处，但也有一些重要的区别。

曲线积分则是向量分析中的一个基本概念，用于计算向量场沿曲线的积分。

给定一个向量场（即每个点都有一个向量与之对应的空间区域）和一条曲线，曲线积分就是计算向量场沿这条曲线的“累积效应”。

这种积分在物理和工程中有许多应用，例如计算力场对物体的做功，或者计算电场或磁场对电荷或电流的影响。

复变函数中的曲线积分与实变函数中的曲线积分有一些相似之处，但也有一些重要的区别。

在复平面上，曲线积分通常是通过参数化曲线来计算的，即把曲线表示为一个实变量的函数。

然后，复变函数的积分就可以通过计算这个函数的实部和虚部的积分来得到。

复变函数的一个重要特性是它们在某些点（称为奇点）上可能不是定义良好的。

在这些点上，函数可能趋于无穷大，或者有多个不同的极限值。

在计算包含奇点的曲线的积分时，需要特别小心。

在某些情况下，可能需要通过改变积分的路径或者使用留数定理等方法来得到正确的结果。

复变函数和曲线积分都是数学中的重要工具，它们在许多领域
都有广泛的应用。

理解这些概念需要一定的数学基础，但一旦掌握了它们，就可以解决许多复杂的问题。

复变函数与积分变换论文-

学习《复变函数与积分变换》心得这个学期，我们学习了复变函数与积分变换这门课程，作为一门工科类各专业的重要基础理论课程，它与工程力学、电工技术、电磁学、无线电技术、信号系统和自动控制等课程的联系十分密切，其理论方法应用广泛。

同时，作为一门工程数学的课程，它主要是以工程背景为依托来展开讨论和研究的，其前提就是为了服务于实际工程。

近年来高校扩招，基础类课程学时缩减成为一种大的趋势。

在这种情况下，复变函数与积分变换这门课程如何取得最佳的教学效果，是需要探索和实践的。

复变函数与积分变换作为一门工程数学课程，概念晦涩难懂、计算繁琐和逻辑推理不易理解。

它既具有传统数学的一些特点，又具有与实际工程相结合才能理解的特点。

传统数学主要注重对于基本概念的理解和对理论的讲解，要求理论推导具有严密的逻辑性，而不太注重其实际应用。

而工程数学在推导定理或概念的过程中就会出现一些不完全符合严密逻辑的推理，但在现实中又是实实在在存在的一些特殊情况。

如单位脉冲函数，对于集中于一点或一瞬时的量如点电荷、脉冲电流等，这些物理量都可以用通常的函数形式来描述。

在老师的教学中，老师向我们详细介绍该课程在所属学科领域的地位、用途和应该掌握的内容，学好这门课程的方法以及该课程的后继课程有哪些。

让学生了解该课程与先修课程间的联系，了解到复变函数是在实变函数的基础上产生和发展起来的，在理论研究的各个方面既有区别又有联系。

老师注重启发式的教学，启发学生去发现已学知识与所学知识之间的联系，让学生学会在已学知识的基础上去推广得到新的结论并对新的结论进行论证。

这样既提高了学生发现问题分析问题的能力，也使学生在学习的过程中真正理解相关概念和定理，从而降低了学习难度。

我们学电气专业的，结合学生的相关专业，老师给我们补充一些与实际紧密结合的问题，用课堂所学内容予以解决，既能激发我们学习复变函数与积分变换这门课程的兴趣，又能使我们更好的了解本专业方向，为以后专业课的学习打下良好的数学基础。

mathematica复变函数围绕简单闭合曲线积分

mathematica复变函数围绕简单闭合曲线积分在数学领域，复变函数围绕简单闭合曲线积分是一个非常重要的概念。

这种积分的计算可以帮助我们理解复变函数在复平面上的特点，同时也为我们解决一些实际的问题提供了很大的帮助。

在本篇文章中，我们将使用Mathematica来介绍复变函数围绕简单闭合曲线积分的计算方法。

一、复变函数的概念在复变函数中，我们常常使用复数的形式来表示函数。

一个复变函数可以被定义为：f(z)=u(x,y)+iv(x,y)其中，z=x+iy，u和v是两个实函数，i是虚数单位。

这个函数表示了一个实平面上的点（x，y）和一个复平面上的点（z，f(z)）之间的对应。

复变函数的特点在于，它们可以通过复平面上的算术运算进行计算。

二、围绕简单闭合曲线积分的概念围绕简单闭合曲线积分是指一个复变函数在一个简单闭合曲线围成的区域上的积分。

这个积分可以用下面的公式来表示：∮f(z)dz其中，曲线是一个封闭的路径，它由有限个相邻的线段构成。

z是一个与曲线有关的复变量，dz是一个无穷小量。

围绕简单闭合曲线积分的计算方法是在计算路径上的每一个点处，将函数值和微小线段的乘积相加。

这个微小线段的方向和乘积的符号由曲线的旋转方向来决定。

三、使用Mathematica计算围绕简单闭合曲线积分要计算围绕简单闭合曲线积分，我们需要在Mathematica中使用Integrate[]函数。

这个函数的第一个参数是我们想要计算的表达式，第二个参数是路径。

例如，我们可以使用下面的代码来计算一个简单的积分：Integrate[z, {z, 0, 2 Pi}]这个积分的结果是0，因为曲线穿过了原点，并且对积分的贡献相互抵消。

在用Mathematica计算积分时，我们还需要注意路径的方向。

如果我们想要反向计算积分，可以使用下面的代码：Integrate[z, {z, 2 Pi, 0}]这个积分的结果是2 Pi i，因为在反向路径上所有的符号都发生了变化。

复变函数论文

复变函数论文复变函数论文复变函数的精确之美学习复变的感想对于理科类学科的学习而言，最重要的一点莫过于概念的清晰程度。

因为所有的推导、证明以及应用，归根结底都是在基本概念的基础上衍生而来的。

因此只有将相关概念真正理解同时牢记于心，才可以真正地走进一门学科，真正的领略一门学科的美妙与精华所在。

在我的理解看来，复变函数从某种意义上来说可以看成是大一所学的高等数学的一种延伸与拓展。

在高等数学，也就是我们通常所说的微积分学中，我们所研究讨论的对象都是实函数，也就是函数的定义域与值域所代表的集合都是实数集合。

这样的研究将许多生活中遇到的数学问题用实变函数的微分与积分表达出来，让我们能够很快地了解一些微积分中的基本概念、知识以及应用技巧。

但是同时，实变函数的应用范围十分狭窄。

尤其是电气工程等方面的计算和问题中，实变函数几乎可以算是毫无用武之地。

因此为了能够更好地解决工程中遇到的问题，我们便对现有的实变函数进行了拓展延伸，创建了复变函数体系，并总结发现了一系列复变函数的定义、定理、方法以及技巧。

精确是所有理科研究学科，尤其是数学学科的一个重要特点，这一点在复变函数中也体现的尤为明显。

复变函数是将复数域之间的映射的特点和关系进行全面系统的总结和归纳。

其研究对象就是复数域之间映射的函数关系。

因此在复变函数的研究中基本都是代数运算，没有带数字之后为计算方便而出现约等的情况。

当然复变函数的精确美远远不止表现与这些方面。

为了解决问题的方便，复变函数的研究中总结归纳了许多的定理和方法。

但每一种的定理与方法都有其十分明确的适用范围和使用方法。

这是为了保证它们在被使用于求解相应问题时不出现错用、误用而最终导致结果有偏差甚至完全错误。

比如在我们在计算闭路积分时常运用的留数定理就有其很明确的适用范围。

此外，复变函数在许多相似概念的区分上也做到了精确二字。

如可导、连续以及解析之间的区别，在复变函数中就体现的尤为明显。

作为一门研究数的学科，复变函数对于结果的精确程度是有着相当高的要求的。

复积分的求法论文

复积分的求法论文复积分的求法论文（通用10篇）复积分的求法论文篇1摘要：对比复积分的柯西定理，柯西积分公式，高阶导数公式，留数定理，来归纳出复变函数在简单闭曲线上积分的不同处理方法，对复积分的求解有着更清晰的认识。

关键词：复积分;柯西定理;柯西积分公式;高阶导数公式;留数定理一、引言与预备知识复变函数积分的概念和实变函数中定积分的概念类似，复积分存在条件是复变函数在光滑曲线C上连续，我们假定所遇到的复积分于曲线C上均连续，也就是我们以下讨论的复积分均存在。

当曲线积分的积分路径C由参数方程给出时，复积分可以转化为单变量积分，其求解方法与实变函数中定积分类似。

在此仅讨论被积曲线C为简单闭曲线的情况。

定理一(柯西-古沙定理)如果函数在单连域内处解析，那么函数沿内任意一条闭曲线的积分为零，即定理二(复合闭路定理)设C为多连域D内的一条简单闭曲线，C1，C，…，Cn是在C内部的简单闭曲线，且C1，C，…，Cn中的每一个都在其余的外部，以C，C1，C2，…，Cn为边界的区域全含于D。

如果在D内解析，那么有(1)，其中C及所有的Ck都取正向(2)，这里为由C以及Ck-(k=1，2，…，n)所组成的复合闭路(其方向为：C按逆时针方向，Ck-按顺时针方向)。

定理三(柯西积分公式)如果在区域内D处处解析，C为D内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D，z0为C内的任一点，那么定理四(高阶导数公式)解析函数的导数仍为解析函数，它n的阶导数为其中C为的解析区域D内包含z0在其内部的任意一条正向简单闭曲线，而且它的内部全属于D。

定义设函数在z0的去心领域内解析，点z0为的一个孤立奇点，C 是任意正向圆周，则积分的值称为在z=z0处的留数，记为。

定理五(留数定理)设函数在区域D内除有限个孤立奇点外处处解析，C为D内包围各奇点的一条正向简单闭曲线，则二、留数定理与其他积分公式之间的联系与区别(一)孤立奇点的分类设函数在z0的去心领域内处处解析，点z0为的一个孤立奇点，于是在内可展开成罗伦级数留数Res[,z0]即为展开式中的C-1。

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