历年全国高中数学联赛二试几何题汇总汇总

历年全国高中数学联赛二试几何题汇总 2007

联赛二试 类似九点圆

如图，在锐角∆ABC 中，AB

求证：1O 、2O 、E 、F 四点共圆的充要条件为P 是∆ABC 的垂心。（官方解答）

证明：连BP 、CP 、1O 2O 、E 2O 、EF 、F 1O 。

因为PD ⊥BC ，PF ⊥AB ，则B 、D 、P 、F 四点共圆，且BP 为该圆的直径。又因为1O 是∆BDF 的外心，故1O 在BP 上且是BP 的中点。

同理可证，C 、D 、P 、E 四点共圆，且2O 是CP 的中点。 于是，1O 2O 平行于BC ，则∠P 2O 1O =∠PCB 。

因为AF*AB = AP*AD = AE*AC ，所以B 、C 、E 、F 四点共圆。 充分性：

设P 是∆ABC 的垂心，由于PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，所以，B 、1O 、P 、E 四点共线，C 、2O 、P 、F 四点共线，∠F 2O 1O

=∠FCB =∠FEB = ∠FE 1O ，故1O 、2O 、E 、F 四点共圆 必要性：

设1O 、2O 、E 、F 四点共圆，则∠1O 2O E + ∠EF 1O = π

注意到∠P 2O 1O =∠PCB=∠ACB - ∠ACP ，又因为2O 是直角∆CEP 的斜边中点，也就是∆CEP 的外心，所以∠P 2O E=2∠ACP 。

因为1O 是直角∆BFP 的斜边中点，也就是∆BFP 的外心，从而

A

B

D

C

E

F

P

1O 2

O

∠PF 1O =

2π - ∠BF 1O = 2

π

- ∠ABP 因为B 、C 、E 、F 四点共圆，所以∠AFE =∠ACB ，∠PFE =2

π

- ∠ACB 于是，由∠1O 2O E + ∠EF 1O = π得： （∠ACB - ∠ACP+ 2∠ACP ）+ (

2π - ∠ABP +2

π

- ∠ACB) = π ， 即∠ABP =∠ACP 。

又因为AB

π

- ∠ACB 。 又因为∠PBC=∠P B 'B ，故∠PBC + ∠ACB = 2

π

，即BP ⊥AC 又AP ⊥BC ，故P 是∆ABC 的垂心

2006 联赛二试

以0B 和1B 为焦点的椭圆与10B AB ∆的边i AB 交于i C (i=0,1)。在0AB 的延长线上任取点0P ，以0B 为圆心，00P B 为半径作圆弧00Q P 交01B C 的延长线于0Q ；以1C 为圆心，01Q C 为半径作圆弧10P Q 交A B 1的延长线于1P ；以1B 为圆心，11P B 为半径作圆弧11Q P 交01C B 的延长线于1Q ；以0C 为圆心，10Q C 为半径作圆弧01P Q '交0AB 的延长线于'

0P 。试证：

（1） 点'

0P 与点0P 重合，且圆弧00Q P 与10Q P 相内切于0P ；（2）四点0P ，0Q ，1Q ，1P 共圆

证明：（1）由题设的四段圆弧有：

00P B =00Q B 01B C +00Q B =11P C 11C B +11P C =01C B +10Q C

10Q C =00B C +'00P B

以上四个式子相加，整理得：00P B +01B C +11C B =01C B +00B C +'

00P B 又由题设的椭圆有：11C B +01B C =01C B +00B C 于是，00P B ='00P B ，即点'

0P 与点0P 重合。

又因为圆弧00Q P 与10Q P 对应的圆心0B 、0C 和点0P 三点共线，且点0P 在线段00B C 的延长线上，所以圆弧00Q P 与10Q P 相内切于0P

（2）过点0P 、1P 分别引相应圆弧的公切线T P 0和T P 1交于点T ；再过点1Q 引相应圆弧的公切线RS ，分别交T P 0、T P 1于R 、S 。得到等腰三角形R Q P 10和S Q P 11。基于此，我们有：

π-110P Q P ∠=R Q P 10∠+S Q P 11∠= (10P TP ∠-101P P Q ∠)+(01P TP ∠-011P P

Q ∠) 又π-110P Q P ∠=101P P

Q ∠+011P P Q ∠，从而有： 110P Q P ∠=π-2

1

(10P TP ∠+01P TP ∠)

同理可得100P Q P ∠=π-2

1

(10P TP ∠+01P TP ∠)

所以， 0P ，0Q ，1Q ，1P 四点共圆。

2005 联赛二试

如图，在∆ABC 中，设AB>AC ，过A 作∆ABC 的外接圆的切线L 。又以A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于D ；交直线L 于E 、F 。

证明：直线DE 、DF 分别通过∆ABC 的内心与一个旁心。（官方解答）

证明：（1）先证DE 通过∆ABC 的内心。

连结DC 、 DE ，作∠BAC 的平分线，交DC 于G ，交DE 于I 。 又AD=AC ，则∆GAC 与∆GAD 全等，即有∠IAC=∠IAD=2

1

∠DAC 又D 、C 、E 在以A 为圆心的圆上，则

2

1

∠DAC=∠IEC 故∠IAC=∠IEC ，即A 、I 、C 、E 四点共圆。 于是，∠ACI=∠AEI

又F 、D 、E 在以A 为圆心的圆上，则∠AEI =2

1

∠FAD 又因为相切有∠FAD=∠ACB ，故∠ACI=2

1

∠ACB 所以，I 为内心。

(2) DF 通过∆ABC 的一个旁心。

设FD 与AI 的所在直线交于A I ，连B A I ， BI 。则∠BI A I =

2

ABC

BAC ∠+∠，

而∠BD A I =∠ADF ，又AD=AF ，则∠ADF=∠AFD=2DAE ∠=2

CAE

BAC ∠+∠，