历年全国高中数学联赛二试几何题汇总汇总

历年全国高中数学联赛二试几何题汇总 2007联赛二试 类似九点圆如图，在锐角∆ABC 中，AB<AC ，AD 是边BC 上的高，P 是线段AD 内一点。

过P 作PE ⊥AC ，垂足为E ，作PF ⊥AB ，垂足为F 。

1O 、2O 分别是∆BDF 、∆CDE 的外心。

求证：1O 、2O 、E 、F 四点共圆的充要条件为P 是∆ABC 的垂心。

（官方解答）证明：连BP 、CP 、1O 2O 、E 2O 、EF 、F 1O 。

因为PD ⊥BC ，PF ⊥AB ，则B 、D 、P 、F 四点共圆，且BP 为该圆的直径。

又因为1O 是∆BDF 的外心，故1O 在BP 上且是BP 的中点。

同理可证，C 、D 、P 、E 四点共圆，且2O 是CP 的中点。

于是，1O 2O 平行于BC ，则∠P 2O 1O =∠PCB 。

因为AF*AB = AP*AD = AE*AC ，所以B 、C 、E 、F 四点共圆。

充分性：设P 是∆ABC 的垂心，由于PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，所以，B 、1O 、P 、E 四点共线，C 、2O 、P 、F 四点共线，∠F 2O 1O=∠FCB =∠FEB = ∠FE 1O ，故1O 、2O 、E 、F 四点共圆 必要性：设1O 、2O 、E 、F 四点共圆，则∠1O 2O E + ∠EF 1O = π注意到∠P 2O 1O =∠PCB=∠ACB - ∠ACP ，又因为2O 是直角∆CEP 的斜边中点，也就是∆CEP 的外心，所以∠P 2O E=2∠ACP 。

因为1O 是直角∆BFP 的斜边中点，也就是∆BFP 的外心，从而ABDCEFP1O 2O∠PF 1O =2π - ∠BF 1O = 2π- ∠ABP 因为B 、C 、E 、F 四点共圆，所以∠AFE =∠ACB ，∠PFE =2π- ∠ACB 于是，由∠1O 2O E + ∠EF 1O = π得： （∠ACB - ∠ACP+ 2∠ACP ）+ (2π - ∠ABP +2π- ∠ACB) = π ， 即∠ABP =∠ACP 。

又因为AB<AC ，AD ⊥BC ，故BD<CD 。

设B '是点B 关于直线AD 的对称点，则B '在线段DC 上且B 'D = BD 。

连结A B '、P B '。

由对称性，有∠A B 'P =∠ABP ，从而∠A B 'P=∠ACP ，故A 、P 、B '、C 四点共圆。

由此可知，∠P B 'B =∠CAP = 2π- ∠ACB 。

又因为∠PBC=∠P B 'B ，故∠PBC + ∠ACB = 2π，即BP ⊥AC 又AP ⊥BC ，故P 是∆ABC 的垂心2006 联赛二试以0B 和1B 为焦点的椭圆与10B AB ∆的边i AB 交于i C (i=0,1)。

在0AB 的延长线上任取点0P ，以0B 为圆心，00P B 为半径作圆弧00Q P 交01B C 的延长线于0Q ；以1C 为圆心，01Q C 为半径作圆弧10P Q 交A B 1的延长线于1P ；以1B 为圆心，11P B 为半径作圆弧11Q P 交01C B 的延长线于1Q ；以0C 为圆心，10Q C 为半径作圆弧01P Q '交0AB 的延长线于'0P 。

试证：（1） 点'0P 与点0P 重合，且圆弧00Q P 与10Q P 相内切于0P ；（2）四点0P ，0Q ，1Q ，1P 共圆证明：（1）由题设的四段圆弧有：00P B =00Q B 01B C +00Q B =11P C 11C B +11P C =01C B +10Q C10Q C =00B C +'00P B以上四个式子相加，整理得：00P B +01B C +11C B =01C B +00B C +'00P B 又由题设的椭圆有：11C B +01B C =01C B +00B C 于是，00P B ='00P B ，即点'0P 与点0P 重合。

又因为圆弧00Q P 与10Q P 对应的圆心0B 、0C 和点0P 三点共线，且点0P 在线段00B C 的延长线上，所以圆弧00Q P 与10Q P 相内切于0P（2）过点0P 、1P 分别引相应圆弧的公切线T P 0和T P 1交于点T ；再过点1Q 引相应圆弧的公切线RS ，分别交T P 0、T P 1于R 、S 。

得到等腰三角形R Q P 10和S Q P 11。

基于此，我们有：π-110P Q P ∠=R Q P 10∠+S Q P 11∠= (10P TP ∠-101P P Q ∠)+(01P TP ∠-011P PQ ∠) 又π-110P Q P ∠=101P PQ ∠+011P P Q ∠，从而有： 110P Q P ∠=π-21(10P TP ∠+01P TP ∠)同理可得100P Q P ∠=π-21(10P TP ∠+01P TP ∠)所以， 0P ，0Q ，1Q ，1P 四点共圆。

2005 联赛二试如图，在∆ABC 中，设AB>AC ，过A 作∆ABC 的外接圆的切线L 。

又以A 为圆心，AC 为半径作圆分别交线段AB 于D ；交直线L 于E 、F 。

证明：直线DE 、DF 分别通过∆ABC 的内心与一个旁心。

（官方解答）证明：（1）先证DE 通过∆ABC 的内心。

连结DC 、 DE ，作∠BAC 的平分线，交DC 于G ，交DE 于I 。

又AD=AC ，则∆GAC 与∆GAD 全等，即有∠IAC=∠IAD=21∠DAC 又D 、C 、E 在以A 为圆心的圆上，则21∠DAC=∠IEC 故∠IAC=∠IEC ，即A 、I 、C 、E 四点共圆。

于是，∠ACI=∠AEI又F 、D 、E 在以A 为圆心的圆上，则∠AEI =21∠FAD 又因为相切有∠FAD=∠ACB ，故∠ACI=21∠ACB 所以，I 为内心。

(2) DF 通过∆ABC 的一个旁心。

设FD 与AI 的所在直线交于A I ，连B A I ， BI 。

则∠BI A I =2ABCBAC ∠+∠，而∠BD A I =∠ADF ，又AD=AF ，则∠ADF=∠AFD=2DAE ∠=2CAEBAC ∠+∠，又因为相切有∠ABC=∠CAE ，故∠BI A I =∠BD A I ，即I 、D 、B 、A I 四点共圆。

于是，∠I B A I =∠ID A I =︒90，又因为∠ABC 的平分线与其外角平分线互相垂直，故B A I 为其外角平分线。

所以，A I 为∆ABC 的BC 边外的旁心。

2004联赛二试在锐角三角形ABC 中，AB 上的高CE 与AC 上的高BD 相交于点H ，以DE 为直径的圆分别交AB 、AC 于F 、G 两点，FG 与AH 相交于点K ，已知BC ＝25，BD=20，BE ＝7，求AK 的长。

解：在直角∆BCE 中，BC=25，BE=7，则CE=24；同理，在直角∆BCD 中，BC=25，BD=20，则CD=15。

sinA = sin(B+C) = sinBcosC+cosBsinC =2524*2515+257*2520= 54 于是，AC=A CEsin =30，则AD=15。

同理，AB=ABDsin =25，则AE=18。

注意到：AB=BC ，则∠A=∠C由于∠CDB=∠CEB=︒90，C 、D 、E 、B 四点共圆， 则∠C=∠AED 。

于是，∠A =∠AED ，则DE=AD 。

连FD ，则DF ⊥AE ，于是AF=21AE=9，则AG=AD AE AF *=554。

由于AFG S ∆=AFK S ∆+AGK S ∆，即21AF*AGsinA=21AF*AKsin ∠FAK+21AG*AKsin ∠GAK其中，sin ∠FAK=sin ∠BCE=257，sin ∠GAK =sin ∠CBD=2515将数据代进去，计算得：AK=25216（这里实际上使用了张角公式，而官方解答注意到GF 与BC 平行的关系）2003 联赛二试两点，、。

所作割线交圆于，割线，切点为作圆的两条切线和一条过圆外一点D C B A P .PAC DBQ PBC DAQ Q CD D P C ∠=∠∠∠，求证：＝，使上取一点之间，在弦、在简证：连AB ，注意到：∠AQP=∠DAQ+∠QDA=∠PBC+∠ABC=∠ABP 于是，P 、A 、Q 、B 四点共圆。

那么，∠PAB=∠PQB即 ∠PAC+∠BAC = ∠BDC+∠DBQ又因为 ∠BAC =∠BDC ，所以∠PAC =∠DBQ2002 联赛二试如图，在∆ABC 中，∠A=︒60，AB>AC ，点O 是外心。

两条高BE 、CF 交于H 点。

点M 、N 分别在线段BH 、HF 上，且满足BM=CN 。

求 OHNHMH +的值。

机械解法：设外接圆半径为R ， 引理1：A AH cos =B BH cos = CCHcos = 2R (锐角三角形) 引理2：OH =OA +OB +OC 引理1的证明：BH=ABHBF ∠cos =A Ba sin cos =2RcosB ，同理有：AH=2RcosA ， CH=2RcosC 。

引理2的证明：设H '满足H O '=OA +OB +OC ，则H A '=OB +OCH A '*BC =(OC +OB )*(OC -OB ) = OC 2- OB 2 = 0 ，所以A H '⊥BC同理，B H '⊥AC ，所以H '与H 重合。

题目的证明：图中H 在三角形内部，可以判断∆ABC 为锐角三角形。

∠A=︒60，AB>AC ，则∠C>∠B 。

于是可设∠B=︒60-α，∠C=︒60+α，其中0<α<︒30。

因为BM=CN ，则MH+NH =(BH-BM)+(CN-CH) = BH-CH = 2R(cosB-cosC) = 2R[cos(︒60-α)-cos(︒60+α)] =23Rsin α而OH 2= (OA +OB +OC )2= 3R 2+2R 2(cos2A+cos2B+cos2C)= 3R 2+2R 2[cos ︒120+cos(︒120-2α)+cos(︒120+2α)] = 2R 2(1-cos2α) = 4R 2sin2α ，即OH=2Rsin α故OH NH MH + = ααsin 2sin 32R R = 32001联赛二试如图，∆ABC 中，O 为外心，三条高AD 、BE 、CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，FD 和AC 交于点N 。