2-3-1-2幂函数习题课
高二数学(人教B版)选修1-1全册课件1、3-2-1~3-2-2常数与幂函数的导数和导数公式表
人 教 B 版 数 学
[解析]
∵y′＝(cosx)′＝－sinx，
π
π 3 ∴y′|x＝ ＝－sin ＝－ . 3 2 3
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
5 ． 曲 线 y ＝ xn 在 x ＝ 2 处 的 导 数 为 12 ， 则 n 等 于 ____________． [答案] 3
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第三章 导数及其应用
(选修1-1)
人 教 B 版 数 学
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
本节重点：常数函数、幂函数的导数．
本节难点：由常见幂函数的求导公式发现规律，得到
幂函数的求导公式．
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第三章 导数及其应用
(选修1-1)
人 教 B 版 数 学
第三章 导数及其应用
3
人 教 B 版 数 学
求简单函数的导数．
2．过程与方法 通过利用导数定义推导及归纳导数公式的过程，掌握
利用导数公式求函数导数的方法．
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
3．情感、态度与价值观
通过公式的推导与归纳，进一步体会极限思想，培养
从特殊到一般、从有限到无限的思维方法；通过使用数学 软件求导，体会算法思想，进一步感受数学的应用价值， 培养探究问题、发现问题的兴趣．
1 1 1 y′＝x＝k，∴x＝k，切点坐标为 k，1，
)
[答案] C
[解析]
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1 又切点在曲线 y＝lnx 上，∴ln ＝1， k 1 1 ∴ ＝e，k＝ . k e
第三章 导数及其应用
(选修1-1)
二、填空题 π 1 4．曲线 y＝cosx 在点 P( ， )处的切线的斜率为 3 2 ____________．
2014年高中数学(入门答疑+思维启迪+状元随笔)2-3 幂函数同步课堂讲义课件 新人教A版必修1
3
3 1
(3)y＝x 3＝
－
5 (4)y＝x ＝x5＝ x
0.2
x2 答案： (1){x|x≠0}
偶函数 (4)R
(2){x|x≥0} 奇函数
非奇非
偶
(3){x|x≠0}
偶函数
幂函数的概念
函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当 x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式． [思路点拨] 首先根据幂函数的定义，幂的系数 为1，其次根据性质确定m的值，进而得解．
－
(4)4.15，3.8 3，(－1.9) 5.
－
3
[思路点拨]
7
(1)可利用 y＝x 2的单调性比较；(2)
－
－
5
可利用 y＝x8的单调性比较；(3)可以利用 y＝x 3的 单调性比较；(4)可以利用“找中间量”搭桥比较．
2
解析：
(1)函数 y＝ x 2在 (0，＋∞)上为减函数，
－
－
5
又 3<3.1，所以 3 2>3.1 2. (2)－ 8
幂函数的概念
幂函数的概念 α x y ＝ x 一般地，函数__________叫做幂函数，其中_____ α 是常数． 是自变量，______
幂函数与指数函数的区别
幂函数的图象与性质
函 特征 数 y＝x
性质
定义域 R R R y＝x2 y＝x3 y＝x2
1
y＝x－1
[0 ，＋∞) {x|x∈R ________ 且x≠0 _________} [0 ，＋∞) {y|y∈R， ________ 且y≠0 _________}
－
5
－
5
高中数学必修一 《3 3 幂函数》精品说课课件
y＝x2 _R__ _[_0_，__＋__∞__) _偶__
y＝x3
1
y x2
_R__ [_0_，__＋__∞__)
_R__ _[0_，__＋__∞__)_
_奇__ __非__奇__非__偶__
y＝x－1 {_x_|_x_≠__0_} {_y_|_y_≠__0_}
2
解 y x3 3 x2 ，定义域为R，在[0，＋∞)上是上凸的增函数，且是偶函数，
故其图象如下：
12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)幂函数的定义. (2)几个常见幂函数的图象. (3)幂函数的性质. 2.方法归纳： (1)运用待定系数法求幂函数的解析式. (2)根据幂函数的图象研究幂函数的性质即数形结合思想. 3.常见误区：对幂函数形式的判断易出错，只有形如y＝xα(α为常数)为幂函数，其它 形式都不是幂函数.
1.以下结论正确的是 A.当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点 C.若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大
√D.幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限
12345
2.下列不等式成立的是
√
1
1 2
A. 3
跟踪训练 1 (1)已知幂函数 f(x)＝k·xα 的图象过点12， 22，则 k＋α 等于
1 A.2
B.1
√3
C.2
D.2
解析 由幂函数的定义知k＝1. 又 f 12＝ 22，所以12α＝ 22， 解得 α＝12，从而 k＋α＝32.
(2)已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是幂函数，则a＋b等于
2023年高考数学一轮复习第二章函数5二次函数与幂函数练习含解析
二次函数与幂函数考试要求 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．知识梳理1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)常见的五种幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象和性质函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)y＝ax2＋bx＋c(a<0)图象(抛物线)定义域 R值域 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a 对称轴 x ＝－b2a顶点 坐标 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a奇偶性当b ＝0时是偶函数，当b ≠0时是非奇非偶函数单调性在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递减； 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递增在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－b 2a 上单调递增；在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b2a ，＋∞上单调递减思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝1212x 是幂函数．( × )(2)若幂函数y ＝x α是偶函数，则α为偶数．( × )(3)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象恒在x 轴下方，则a <0且Δ<0.( √ )(4)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．( × ) 教材改编题1．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(2，2)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14等于( ) A ．－12B.12 C ．±12D.22答案 B解析 设f (x )＝x α， ∴2α＝2，α＝12，∴f (x )＝12x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝12.2．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,20]上单调，则实数k 的取值范围为________． 答案 (－∞，40]∪[160，＋∞)解析 依题意知，k 8≥20或k8≤5，解得k ≥160或k ≤40.3．已知y ＝f (x )为二次函数，若y ＝f (x )在x ＝2处取得最小值－4，且y ＝f (x )的图象经过原点，则函数解析式为________． 答案 f (x )＝x 2－4x解析 因为y ＝f (x )在x ＝2处取得最小值－4， 所以可设f (x )＝a (x －2)2－4(a >0)，又图象过原点，所以f (0)＝4a －4＝0，a ＝1， 所以f (x )＝(x －2)2－4＝x 2－4x .题型一 幂函数的图象与性质例1 (1)若幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为( )A ．－1<m <0<n <1B ．－1<n <0<m <12C ．－1<m <0<n <12D ．－1<n <0<m <1 答案 D解析 幂函数y ＝x α，当α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸， ∴0<m <1.当α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减． 不妨令x ＝2，由图象得2－1<2n，则－1<n <0. 综上可知，－1<n <0<m <1.(2)(2022·长沙质检)幂函数f (x )＝(m 2－3m ＋3)x m的图象关于y 轴对称，则实数m ＝________. 答案 2解析 由幂函数定义，知m 2－3m ＋3＝1， 解得m ＝1或m ＝2，当m ＝1时，f (x )＝x 的图象不关于y 轴对称，舍去， 当m ＝2时，f (x )＝x 2的图象关于y 轴对称， 因此m ＝2. 教师备选1．若幂函数f (x )＝()12255a a a x ---在(0，＋∞)上单调递增，则a 等于( )A ．1B ．6C ．2D ．－1 答案 D解析 因为函数f (x )＝()12255a a a x---是幂函数，所以a 2－5a －5＝1，解得a ＝－1或a ＝6. 当a ＝－1时，f (x )＝12x 在(0，＋∞)上单调递增；当a ＝6时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上单调递减，所以a ＝－1.2．若f (x )＝12x ，则不等式f (x )>f (8x －16)的解集是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，167B ．(0,2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，167 D ．[2，＋∞)答案 A解析 因为函数f (x )＝12x 在定义域[0，＋∞)内为增函数，且f (x )>f (8x －16)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，8x －16≥0，x >8x －16，即2≤x <167，所以不等式的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，167.思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x ＝1，y ＝1，y ＝x 所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．跟踪训练1 (1)(2022·宝鸡检测)已知a ＝432，b ＝233，c ＝1225，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b答案 A解析 由题意得b ＝233<234＝432＝a ，a ＝432＝234<4<5＝1225＝c ，所以b <a <c .(2)已知幂函数y ＝p qx (p ，q ∈Z 且p ，q 互质)的图象关于y 轴对称，如图所示，则( )A ．p ，q 均为奇数，且p q>0 B ．q 为偶数，p 为奇数，且p q <0 C ．q 为奇数，p 为偶数，且p q >0 D ．q 为奇数，p 为偶数，且p q<0 答案 D解析 因为函数y ＝p q x 的图象关于y 轴对称，于是函数y ＝p qx 为偶函数，即p 为偶数， 又函数y ＝p qx 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且在(0，＋∞)上单调递减，则有p q<0， 又因为p ，q 互质，则q 为奇数，所以只有选项D 正确． 题型二 二次函数的解析式例2 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定该二次函数的解析式．解 方法一 (利用“一般式”解题) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.方法二 (利用“顶点式”解题) 设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． 因为f (2)＝f (－1)， 所以抛物线的对称轴为x ＝2＋－12＝12， 所以m ＝12.又根据题意，函数有最大值8，所以n ＝8，所以f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8.因为f (2)＝－1，所以a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4，所以f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.方法三 (利用“零点式”解题)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 又函数有最大值8， 即4a－2a －1－－a24a＝8.解得a ＝－4或a ＝0(舍去)．故所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 教师备选若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(a ，b ∈R )满足条件f (－x )＝f (x )，定义域为R ，值域为(－∞，4]，则函数解析式f (x )＝________. 答案 －2x 2＋4解析 f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a ) ＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2.∵f (－x )＝f (x )， ∴2a ＋ab ＝0， ∴f (x )＝bx 2＋2a 2.∵f (x )的定义域为R ，值域为(－∞，4]， ∴b <0，且2a 2＝4，∴b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋4.思维升华 求二次函数解析式的三个策略：(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；(3)已知图象与x 轴的两交点的坐标，宜选用零点式．跟踪训练2 (1)已知f (x )为二次函数，且f (x )＝x 2＋f ′(x )－1，则f (x )等于( ) A ．x 2－2x ＋1 B ．x 2＋2x ＋1 C ．2x 2－2x ＋1 D ．2x 2＋2x －1答案 B解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ， 由f (x )＝x 2＋f ′(x )－1可得ax 2＋bx ＋c ＝x 2＋2ax ＋(b －1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝2a ，c ＝b －1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2，c ＝1，因此，f (x )＝x 2＋2x ＋1.(2)已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，且图象被x 轴截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )的解析式为________．答案 f (x )＝x 2－4x ＋3解析 ∵f (2＋x )＝f (2－x )对任意x ∈R 恒成立， ∴f (x )图象的对称轴为直线x ＝2， 又∵f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2， ∴f (x )＝0的两根为1和3，设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)， ∵f (x )的图象过点(4,3)， ∴3a ＝3，∴a ＝1，∴所求函数的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)， 即f (x )＝x 2－4x ＋3.题型三 二次函数的图象与性质 命题点1 二次函数的图象例3 设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )答案 D解析 因为abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，那么可知， 在A 中，a <0，b <0，c <0，不符合题意； B 中，a <0，b >0，c >0，不符合题意； C 中，a >0，c <0，b >0，不符合题意，故选D. 命题点2 二次函数的单调性与最值 例4 已知函数f (x )＝x 2－tx －1.(1)若f (x )在区间(－1,2)上不单调，求实数t 的取值范围； (2)若x ∈[－1,2]，求f (x )的最小值g (t )．解 f (x )＝x 2－tx －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －t 22－1－t 24.(1)依题意，－1<t2<2，解得－2<t <4，∴实数t 的取值范围是(－2,4)．(2)①当t2≥2，即t ≥4时，f (x )在[－1,2]上单调递减，∴f (x )min ＝f (2)＝3－2t . ②当－1<t2<2，即－2<t <4时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2＝－1－t 24.③当t2≤－1，即t ≤－2时，f (x )在[－1,2]上单调递增，∴f (x )min ＝f (－1)＝t .综上有g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，t ≤－2，－1－t24，－2<t <4，3－2t ，t ≥4.延伸探究 本例条件不变，求当x ∈[－1,2]时，f (x )的最大值G (t )． 解 f (－1)＝t ，f (2)＝3－2t ，f (2)－f (－1)＝3－3t ，当t ≥1时，f (2)－f (－1)≤0， ∴f (2)≤f (－1)， ∴f (x )max ＝f (－1)＝t ； 当t <1时，f (2)－f (－1)>0， ∴f (2)>f (－1)， ∴f (x )max ＝f (2)＝3－2t ，综上有G (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t ，t ≥1，3－2t ，t <1.教师备选1．(多选)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1,0)，顶点坐标为(1，n )，与y 轴的交点在(0,2)，(0,3)之间(包含端点)，则下列结论正确的是( )A ．当x >3时，y <0B ．4a ＋2b ＋c ＝0C ．－1≤a ≤－23D ．3a ＋b >0答案 AC解析 依题意知，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴交于点A (－1,0)，顶点坐标为(1，n )， ∴函数与x 轴的另一交点为(3,0)， ∴当x >3时，y <0，故A 正确；当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c >0，故B 错误；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－1,0)，且a <0，∴a －b ＋c ＝0，∵b ＝－2a ，∴a ＋2a ＋c ＝0， ∴3a ＋b <0，c ＝－3a ， ∵2≤c ≤3，∴2≤－3a ≤3， ∴－1≤a ≤－23，故C 正确，D 错误．2．(2022·沈阳模拟)已知f (x )＝ax 2－2x ＋1. (1)若f (x )在[0,1]上单调，求实数a 的取值范围； (2)若x ∈[0,1]，求f (x )的最小值g (a )． 解 (1)当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋1单调递减； 当a >0时，f (x )的对称轴为x ＝1a ，且1a>0，∴1a≥1，即0<a ≤1；当a <0时，f (x )的对称轴为x ＝1a 且1a<0，∴a <0符合题意． 综上有，a ≤1.(2)①当a ＝0时，f (x )＝－2x ＋1在[0,1]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (1)＝－1.②当a >0时，f (x )＝ax 2－2x ＋1的图象开口方向向上，且对称轴为x ＝1a.(ⅰ)当1a<1，即a >1时，f (x )＝ax 2－2x ＋1图象的对称轴在[0,1]内，∴f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1a 上单调递减，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，1上单调递增．∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1a －2a＋1＝－1a ＋1.(ⅱ)当1a≥1，即0<a ≤1时，f (x )在[0,1]上单调递减．∴f (x )min ＝f (1)＝a －1.③当a <0时，f (x )＝ax 2－2x ＋1的图象的开口方向向下，且对称轴x ＝1a<0，在y 轴的左侧，∴f (x )＝ax 2－2x ＋1在[0,1]上单调递减． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －1.综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1，a ≤1，－1a＋1，a >1.思维升华 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．跟踪训练3 (1)若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均单调递增，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－113，－3B ．[－6，－4]C ．[－3，－22]D ．[－4，－3]答案 B解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[1,2]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增， 当x >0时，f (x )＝x 2＋ax ＋2， 对称轴为x ＝－a 2，∴2≤－a2≤3，解得－6≤a ≤－4.(2)(2022·抚顺模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋2x ＋5在区间[0，m ]上有最大值6，最小值5，则实数m 的取值范围是________． 答案 [1,2]解析 由题意知，f (x )＝－(x －1)2＋6， 则f (0)＝f (2)＝5＝f (x )min ，f (1)＝6＝f (x )max ，函数f (x )的图象如图所示，则1≤m ≤2.课时精练1．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2－2x 答案 B解析 二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点， 设二次函数为g (x )＝ax 2＋bx ，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝1，a －b ＝5，解得a ＝3，b ＝－2，所求的二次函数为g (x )＝3x 2－2x .2．(2022·延吉检测)若函数y ＝()222433m m m m x +--+为幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则实数m 的值为( ) A ．0B ．1或2C ．1D ．2 答案 C解析 由于函数y ＝()222433mm m m x +--+为幂函数，所以m 2－3m ＋3＝1，解得m ＝1或m ＝2，当m ＝1时，y ＝x －1＝1x，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意．当m ＝2时，y ＝x 4，在(0，＋∞)上单调递增，不符合题意．3．(2022·长沙模拟)已知函数f (x )＝x 2－2mx －m ＋2的值域为[0，＋∞)，则实数m 的值为( ) A ．－2或1 B ．－2 C ．1 D ．1或2答案 A解析 因为f (x )＝x 2－2mx －m ＋2＝(x －m )2－m 2－m ＋2≥－m 2－m ＋2，且函数f (x )＝x 2－2mx －m ＋2的值域为[0，＋∞)，所以－m 2－m ＋2＝0，解得m ＝－2或m ＝1.4．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1.下面四个结论中正确的是( )A ．b 2<4ac B ．2a －b ＝1 C ．a －b ＋c ＝0 D ．5a <b答案 D解析 因为二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象过点A (－3,0)，对称轴为直线x ＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧－b 2a＝－1，9a －3b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ，c ＝－3a ，因为二次函数的图象开口方向向下，所以a <0，对于A ，因为二次函数的图象与x 轴有两个交点，所以b 2－4ac ＝4a 2＋12a 2＝16a 2>0， 所以b 2>4ac ，故选项A 不正确； 对于B ，因为b ＝2a ，所以2a －b ＝0，故选项B 不正确；对于C ，因为a －b ＋c ＝a －2a －3a ＝－4a >0， 故选项C 不正确； 对于D ，因为a <0，所以5a <2a ＝b ，故选项D 正确．5．(多选)(2022·宜昌质检)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a 有两个零点x 1，x 2，以下结论正确的是( ) A ．a <1B ．若x 1x 2≠0，则1x 1＋1x 2＝2aC ．f (－1)＝f (3)D ．函数y ＝f (|x |)有四个零点 答案 ABC解析 二次函数对应二次方程根的判别式Δ＝(－2)2－4a ＝4－4a >0，a <1，故A 正确； 由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝a ，1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝2a，故B 正确；因为f (x )的对称轴为x ＝1，点(－1，f (－1))，(3，f (3))关于对称轴对称，故C 正确； 当a <0时，y ＝f (|x |)只有两个零点，故D 不正确． 6．(多选)已知幂函数f (x )＝()2231m m m m x +---，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，都满足f x 1－f x 2x 1－x 2>0，若a ，b ∈R 且f (a )＋f (b )<0，则下列结论可能成立的有( )A ．a ＋b >0且ab <0B ．a ＋b <0且ab <0C ．a ＋b <0且ab >0D ．以上都可能 答案 BC解析 因为f (x )＝()2231m m m m x +---为幂函数，所以m 2－m －1＝1， 解得m ＝2或m ＝－1.依题意f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 所以m ＝2，此时f (x )＝x 3，因为f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )， 所以f (x )＝x 3为奇函数． 因为a ，b ∈R 且f (a )＋f (b )<0， 所以f (a )<f (－b )． 因为y ＝f (x )为增函数， 所以a <－b ，所以a ＋b <0.7．(2022·张家口检测)已知幂函数f (x )＝mx n＋k 的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫116，14，则m －2n ＋3k ＝________. 答案 0解析 因为f (x )是幂函数， 所以m ＝1，k ＝0，又f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫116，14， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫116n ＝14，解得n ＝12，所以m －2n ＋3k ＝0.8．(2022·江苏海安高级中学模拟)函数f (x )＝x 2－4x ＋2在区间[a ，b ]上的值域为[－2,2]，则b －a 的取值范围是________． 答案 [2,4]解析 解方程f (x )＝x 2－4x ＋2＝2， 解得x ＝0或x ＝4，解方程f (x )＝x 2－4x ＋2＝－2，解得x ＝2， 由于函数f (x )在区间[a ，b ]上的值域为[－2,2]． 若函数f (x )在区间[a ，b ]上单调， 则[a ，b ]＝[0,2]或[a ，b ]＝[2,4]， 此时b －a 取得最小值2；若函数f (x )在区间[a ，b ]上不单调，且当b －a 取最大值时，[a ，b ]＝[0,4]，所以b －a 的最大值为4.所以b －a 的取值范围是[2,4]．9．已知二次函数f (x )＝ax 2＋(b －2)x ＋3，且－1，3是函数f (x )的零点． (1)求f (x )的解析式，并解不等式f (x )≤3； (2)若g (x )＝f (sin x )，求函数g (x )的值域．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝－b －2a，－1×3＝3a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝4，∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3，∴当－x 2＋2x ＋3≤3时，即x 2－2x ≥0， 解得x ≥2或x ≤0，∴不等式的解集为(－∞，0]∪[2，＋∞)． (2)令t ＝sin x ，则g (t )＝－t 2＋2t ＋3＝－(t －1)2＋4，t ∈[－1,1]， 当t ＝－1时，g (t )有最小值0， 当t ＝1时，g (t )有最大值4， 故g (t )∈[0,4]． 所以g (x )的值域为[0,4]．10．(2022·烟台模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋1.(1)求函数f (x )的解析式；(2)当x ∈[t ，t ＋2](t ∈R )时，求函数f (x )的最小值g (t )(用t 表示)．解 (1)因为二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a x ＋12＋b x ＋1＋c －ax 2＋bx ＋c ＝2x ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，2ax ＋b ＋a ＝2x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝2，b ＋a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，a ＝1，b ＝0，因此f (x )＝x 2＋2.(2)因为f (x )＝x 2＋2是图象的对称轴为直线x ＝0，且开口向上的二次函数， 当t ≥0时，f (x )＝x 2＋2在x ∈[t ，t ＋2]上单调递增， 则f (x )min ＝f (t )＝t 2＋2； 当t ＋2≤0，即t ≤－2时，f (x )＝x 2＋2在x ∈[t ，t ＋2]上单调递减，则f (x )min ＝f (t ＋2)＝(t ＋2)2＋2＝t 2＋4t ＋6； 当t <0<t ＋2，即－2<t <0时，f (x )min ＝f (0)＝2，综上g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2，t ≥0，2，－2<t <0，t 2＋4t ＋6，t ≤－2.11．(2022·福州模拟)已知函数f (x )＝2x 2－mx －3m ，则“m >2”是“f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立”的( ) A ．充分不必要条件 B ．充要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 若f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧f 1＝2－4m <0，f3＝18－6m <0，解得m >3，{m |m >3}是{m |m >2}的真子集，所以“m >2”是“f (x )<0对x ∈[1,3]恒成立”的必要不充分条件．12.幂函数y ＝x α，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A (1,0)，B (0,1)，连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x a，y ＝x b的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA ，那么a －1b等于( )A ．0B ．1C.12D ．2答案 A解析 由BM ＝MN ＝NA ，点A (1,0)，B (0,1)，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，13， 将两点坐标分别代入y ＝x a，y ＝x b， 得a ＝132log 3，b ＝231log 3， ∴a －1b＝132log 3－2311log 3＝0.13．(多选)关于x 的方程(x 2－2x )2－2(2x －x 2)＋k ＝0，下列命题正确的有( ) A ．存在实数k ，使得方程无实根B ．存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根C ．存在实数k ，使得方程恰有3个不同的实根D ．存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根 答案 AB解析 设t ＝x 2－2x ，方程化为关于t 的二次方程t 2＋2t ＋k ＝0.(*)当k >1时，方程(*)无实根，故原方程无实根；当k ＝1时，可得t ＝－1，则x 2－2x ＝－1，原方程有两个相等的实根x ＝1； 当k <1时，方程(*)有两个实根t 1，t 2(t 1<t 2)， 由t 1＋t 2＝－2可知，t 1<－1，t 2>－1. 因为t ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，所以x 2－2x ＝t 1无实根，x 2－2x ＝t 2有两个不同的实根． 综上可知，A ，B 项正确，C ，D 项错误．14．设关于x 的方程x 2－2mx ＋2－m ＝0()m ∈R 的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________． 答案 7解析 由题意有⎩⎪⎨⎪⎧α＋β＝2m ，αβ＝2－m ，且Δ＝4m 2－4(2－m )≥0， 解得m ≤－2或m ≥1，α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m 2＋2m ＋1，令f (m )＝4m 2＋2m ＋1，而f (m )图象的对称轴为m ＝－14，且m ≤－2或m ≥1， 所以f (m )min ＝f (1)＝7.15．(2022·台州模拟)已知函数f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋ax ＋b )是偶函数，则f (x )的值域是________． 答案 [－16，＋∞)解析 因为f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋ax ＋b ) ＝(x －3)(x ＋1)(x 2＋ax ＋b )是偶函数， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧f －3＝f 3＝0，f1＝f －1＝0，代入得⎩⎪⎨⎪⎧9－3a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－3.所以f (x )＝(x 2－2x －3)(x 2＋2x －3)＝(x 2－3)2－4x 2＝x 4－10x 2＋9 ＝(x 2－5)2－16≥－16.16．已知a ，b 是常数且a ≠0，f (x )＝ax 2＋bx 且f (2)＝0，且使方程f (x )＝x 有等根． (1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m ，n (m <n )，使得f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m,2n ]? 解 (1)由f (x )＝ax 2＋bx ，且f (2)＝0， 则4a ＋2b ＝0，又方程f (x )＝x ，即ax 2＋(b －1)x ＝0有等根， 得b ＝1，从而a ＝－12，所以f (x )＝－12x 2＋x .(2)假定存在符合条件的m ，n ，由(1)知f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12，则有2n ≤12，即n ≤14.又f (x )图象的对称轴为直线x ＝1， 则f (x )在[m ，n ]上单调递增，于是得⎩⎪⎨⎪⎧m <n ≤14，f m ＝2m ，f n ＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m <n ≤14，－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ，解方程组得m ＝－2，n ＝0，所以存在m ＝－2，n ＝0，使函数f (x )在[－2,0]上的值域为[－4,0]．。
人教版高中数学必修一2、3幂函数教案
《2.3幂函数》教学案例1.教学设计1.1教材的地位和作用《2.3幂函数》是继指数函数和对数函数后学习的另一个基本函数。
幂函数出现在必修一第二章第三节，是基本初等函数之一，是在学生系统学习了函数概念与函数性质之后，进入高中以来遇到的第三种特殊函数，是对函数概念及性质的应用，能培养学生应用性质（定义域，值域，图象，单调性，奇偶性）研究一个函数的意识。
本节课从概念到图象，通过探究归纳出幂函数的性质，让学生再次体会利用信息技术来探索函数的图象和性质，从教材整体安排上来看，学习幂函数是为了让学生进一步了解研究函数的方法，学会利用这种方法去研究其他函数。
因而本节课更是对学生研究函数方法和能力的一个综合提升。
1.2教学目标1.2.1基础知识目标（1）理解幂函数的概念，会画幂函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象，结合这几个幂函数的图象，掌握幂函数的图象变化和性质；（2）能应用幂函数性质解决简单问题。
1.2.2能力训练目标（1）通过观察总结幂函数性质，培养学生抽象概括、逻辑推理和识图能力；（2）使学生进一步体会数形结合思想。
1.3教学重、难点重点：本节的教学重点是从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质。
难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难。
突破难点：引导学生观察图象，从图象特点入手，观察单调性奇偶性。
1.4学情分析学生学过了一次函数，二次函数，正、反比例函数，指数函数和对数函数，知道了他们的图象和性质，用性质解决一些简单问题也有了一定的基础，为学习幂函数做好了准备，但由于幂函数性质较复杂，学生需要一定的综合分析能力，所以在教学中重视学生自己动手操作、观察分析发现的过程。
我所教的班级是遵义四中高一（23）班，总体学习程度在中等，根据学生的学情，本节课我重在基础，难度上适当适中。
1.5教学用具本节课使用三角板，PPT ，学生准备白纸，格尺。
幂函数学案3节
第4章幂函数、指数函数和对数函数4.1幂函数的性质与图象（1）【教学目标】1、 在理解幂函数概念的基础上，通过对幂函数性质的研究，学生学会研究简单函数的基本思路与基本方法。
2、 在研究幂函数性质的基础上，学生体验根据函数的性质用描点法作出函数的大致图象，并理解作幂函数图象的一般过程，培养学生数形结合的思想。
3、在探究幂函数性质与图象过程中，学生逐步锻炼从特殊到一般、从观察到归纳的数学能力。
【教学重点】幂函数的性质与图象 【教学难点】幂函数性质的总结 【新知学习】引入：函数反映了客观世界中变量间的相互关系。
通过上一章对函数定义域、值域的确定，函数的奇偶性、单调性和最值的讨论，使我们初步了解了研究一个函数的基本内容和思想方法。
问题：1）在初中阶段我们学过哪些函数？正比例函数(1x y =)，反比例函数(1-=x y )， 二次函数(2x y =)， 2）这三个函数是否可以写成统一的形式呢？}2,1,1{,-∈=k x y k 3）若我们将k 推广到有理数，我们又可以得到哪些新的函数呢？函数21x y =，32x y =等等。
——引出幂函数幂函数：一般地，函数k x y =（k 是常数，Q k ∈）叫做幂函数。
问题：1）为什么k 属于Q ，而不是R 呢？在初中阶段我们学过的指数运算都是在有理数范围内运算的。
2）下面哪些是幂函数？ ①xy 2= ②x y 2= ③23-=x y ④32x y =⑤21x y =⑥22-=x y(7) y=x 3+2；(8) y= -x 2总结判断一个函数是幂函数要求：①底数都是自变量x ②指数是常量 ③ 幂的系数是1 ④函数为单项式221()(2)mm f x m m x +-=+∙练习1：已知函数，m 为何值时，()f x 是正比例函数？反比例函数？幂函数？练习2：求过点(2的幂函数解析式下面我们就选择几个有代表性的k 值，来讨论这些函数的性质。
● 探究实践 1．研究函数23-=xy 的定义域、奇偶性、单调性，并作出它的大致图象。
高中数学必修1(人教B版)第二章_2-3知识点总结配同步练习及答案
描述：例题：高中数学必修1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章 函数 2.3 函数的应用（I）
一、学习任务
了解一次函数、二次函数模型的意义，并能进行简单应用．
二、知识清单
函数模型的应用
三、知识讲解
1.函数模型的应用
函数模型的概念
函数模型就是用函数知识对日常生活中普遍存在的成本最低、利润最高、产量最大、收益最好、用料最省等实际问题进行归纳加工，建立相应的目标函数，确定变量的取值范围，运用函数的方法进行求解，最后用其解决实际问题．
几种函数模型的增长速度比较
在区间 上，尽管函数 ， 和 都是增函数，但它们的增长速度不同，随着 的增大，指数函数 的增长速度会越来越快，会超过并远远大于幂函数 的增长速度，而 的增长则会越来越慢，因此总会存在一个 ，当 时，就有 ．
(0,+∞)y =(a >1)a x y =x (a >1)log a y =(a >0)x a x y =(a >1)a x y =(a >0)x a y =x (a >1)log a x 0x >x 0x <<log a x a a
x
向高 为的水瓶内注水，注满为止，如果注水量 与水深 的函数关系的图像如图所示，那
么水瓶的形状是（ ）
解：B
取 的中点 作 轴的垂线，由图可知，当水深 达到容量高度的一半时，体积大于一
H V
h OH E h h
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答案：A ． 分钟B ． 分钟C ． 分钟D ． 分钟B
3.50 3.75
4.00
4.25。
2020_2021学年新教材高中数学第三章函数概念与性质3.3幂函数同步刷题课件新人教A版必修第一
3.3 幂函数
刷能力
1．[四川蓉城名校联盟2019高一期末]若幂函数的图像过点(2，8)，则它的单调递增区间是( D )
A．(0，＋∞)
B．[0，＋∞)
C．(－∞，0)
D．(－∞，＋∞)
解析
∵幂函数y＝xa的图像过点(2，8)，∴2a＝8，解得a＝3，∴y＝x3，它的单调递增区 间是(－∞，＋∞)．故选D.
3.3 幂函数
刷基础
1 3．[山东曲阜一中2019高一月考]函数y＝(m2＋2m－2)x m－1 是幂函数，则m＝( B)
A．1
B．－3
C．－3或1
D．2
解析
由题意，得
m2＋2m－2＝1， m－1≠0，
解得m＝－3.
3.3 幂函数
刷基础
4．[湖北重点中学协作体2019高一期中]已知幂函数f(x)＝kxα的图像过点 则k＋α等于( A )
所以满足不等式f(a－3)＞f(1－a)的实数a的取值范围是(2，＋∞)．
3.3 幂函数
刷基础
17．已知幂函数f(x)＝xm－3(m∈N*)的图像关于 y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递
减．求满足
a
1
m 3
3
2a
m 3
的实数a的取值范围．
解
因为函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以m－3<0，解得m<3.
是增函数．如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是( B )
A．①
B. ②
C. ③
D. ④
解析
①f(x)＝x－1只满足值域是{y|y∈R，且y≠0}；③f(x)＝x3只满足在(－∞，0)上
1
是增函数；④f(x)＝x 3 只满足在(－∞，0)上是增函数；②f(x)＝x－2是偶函数， 在(－∞，0)上是增函数，但其值域是{y|y>0}．故选B.
《基本初等函数》习题课
《2.3幂函数(2)》达标检测1. 若幂函数()f x x α=在(0,)+∞上是增函数，则（ ）. A ．α>0 B ．α<0 C ．α=0 D ．不能确定2. 函数43y x =的图象是（ ）.A. B. C. D.3. 若1122,0.9a b -==，那么下列不等式成立的是（ ）. A ．a <l<b B ．1<a <b C ．b <l<a D ．1<b <a 4. 比大小：（1）11221.3_____1.5； （2）225.1______5.09--. 5.判断()f x =的单调性并证明.《基本初等函数》习题课一、选择题．1．下列正确的是( ) ．A ．a 0＝1B ．221aa=- C ．10－1＝0.1 D ．a a =2 2．416的值为( ) ．A ．±2 B ．2 C ．－2 D ．43．32)27125(-的值为( ) ．A ．925 B ．259 C ．925- D ．259-4．化简382313232---xx x x x x 的结果是( ) ．A ．34x B ．x 2 C ．x 3 D ．x 45．下列函数中为指数函数的是( ) ．A ．y ＝2·3xB ．y ＝－3xC ．y ＝3－x D ．y ＝1x 6．若0.2m ＝3，则( ) ． A ．m ＞0 B ．m ＜0 C ．m ＝0 D ．以上答案都不对 7．函数f (x )＝a x ＋1(其中a ＞0且a ≠1)的图象一定经过点( ) ． A ．(0，1) B ．(0，2) C ．(0，3) D ．(1，3) 8．若27)31(>x，则x 的取值范围是( ) ． A ．(－∞，－3] B ．(－∞，－3) C ．[－3，＋∞)D ．R9．下列代数式不正确的是( ) ． A ．aa lg 11lg= B ．log a b ·log b a=1 C ．22ln =eD ．bb aa1log log 1= 10．若2x＝5，则x 的值为( ) ．A ．log 52B ．log 25C ．x 5D ．511．与函数f (x )＝2x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象对应函数的解析式为( )A ．21-=x y B ．y ＝2x －1 C ．y ＝x －2 D ．21+=x y 12．下列为幂函数的是( ) ．A ．y ＝x 2＋1B ．y ＝a xC ．y ＝2x －2D ．xy 1=二、填空题1．=328_____；=-21100_____；=-3)41(_____；=2325______；=+5log 21122______． 2．若71=+-a a ，则=+-2121a a ______；=+-22a a ． 3．若函数f (x )是指数函数且f (3)＝8，则f (x )＝______． 4．函数x y 21-=的定义域为 ；函数3)4lg(--=x x y 的定义域是 ．5．若2m ＞4，则m 的取值范围是______；若(0.1)t ＞1，则t 的取值范围是______．6．函数()y f x =的图象与函数3log (0)y x x =>的图象关于直线y x =对称，则()f x = ． 7．当x ∈[－1, 1]]1,1[-∈x 时，函数23)(-=x x f 的值域为 . 8． 函数x y =的反函数为____________；方程0)2lg(lg 2=+-x x 的根是___________．9．函数f (x )＝(m 2－3)342+-m m x ，当m 取______时是反比例函数.10．若3a ＝7b ＝21，则=+ba 11____________． 三﹑计算．（1）63125.132⨯⨯； （2）4325)12525(÷-；（3）)41(232413141----÷b a b a ； （4）2121212121212121b a b a b a b a -+++-；（5）8log 6log 32log 422++； （6） (log 25＋log 4125)(log 54＋log 2564) ．四、求下列函数的定义域．（1）112-=x y ； （2）)1(log 21-=x y ； （3） x y 21-=；（4）)1(log 121-=x y ； （5） 32x y =； （6）23x y -=．五、比较下列各组数中两个值的大小．（1）0.60.52,2； （2）2 1.50.9,0.9--； （3）0.5 2.12.1,0.5 ； （4）log 23.4，log 23.8；（5）log 0.51.8，log 0.52.1；（6）log 35，log 64； (7)3)38.0(-，()339.0-； (8)125.1-，122.1-．六、求下列各式中的x 的范围.（1） 1)1x (ln <-； （2） )10()1(212≠>>+-a a aa x x 且．七、函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，求a 的值．八、已知)(1222)(R x a a x f x x ∈+-+⋅=，若对R x ∈，都有)()(x f x f -=-成立． （1）求实数a 的值，并求)1(f 的值； （2）判断函数的单调性，并证明你的结论；（3）解不等式 31)12(<-x f .对数的运算习题课一、单选题1.计算 100lg 5300lg 350lg-+的结果是（ ）. A ．1 B ． 2 C ．3 D ．52.已知8924.3lg ,8924.4lg ==b a ，则ab等于（ ）.A ．1001B ．101 C ．10 D ．1003.下列等式成立的是（ ）.A ．4log 8log )48(log 222-=-B ．2log 38log 22=C ．48log 24log 8log 22= D ．4log 8log )48(log 222+=+ 4. 4log 18+等于 （ ）.A ．12log 8B ．2log 8C ．21log 8 D ．32log 85. d c b a ,,,均为正数，给定下列4个等式，其中正确的有（ ）.b a b a lg lg 2)lg()1(2+=+c b a cb alg lg lg lg)2(--=+ d c b a cdab lg lg lg lg lg )3(--+= a a lg 3lg )4(3=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 二、填空.(1) =-2log 233 .(2) 若3a＝2，则log 38－2log 36用a 表示为 .(3) 若,94,032=>a a 则=a 32log . (4) x x f =)(log 2，则=)21(f .三、用z y x a a a log ,log ,log 表示下列各式.（1）)(log 53y x a ； （2）xzya log .四. 化简（1）lg 243lg9； （2）04.0log 10log 222+； （3）2.1lg 12lg 23lg -+； （4）19lg )3(lg 2+-； （5）222lg5lg8lg5lg20(lg2)3+++；（6）()()24525log 5+log 0.2log 2+log 0.5；（7）3lg 2lg )3log 3(log 84+.五、已知35a b m ==，且112a b+=，求m 的值.。
幂函数习题课
1 2
求m的取值范围
【例4】已知3 (a 1) (a 1), 求a的取值范围；
2 3
2 3
2 3 2 5 3 5
3 5
提示：底数为负时，先处理负号；
(4) 4 _____3
1 3
1 4
提示：
底和指数都不同时，可以采用同时变换 的方法； （大小关系不变的变换）
幂函数的定义域：
【例2】求下列函数的定义域 （ ）f ( x ) x 3 1 (3) f ( x ) x 2 (5) f ( x ) x (7 ) f ( x ) x
幂函数性质的应用
复习：
1.幂函数的定义： 形如y=f(x)=xa(a为任意常数)的函数；
2.幂函数在第一象限内的图像及性质：
幂函数第一象限图像总结：
a 图 像 a<0 0<a<1 a>1
定 点 单 调 性 递
(1,1)
(0,0)
递
减
增
利用单调性比较幂的大小
【例 】比较下列各组数的大 1 小； （ ）.2 _____2.5 , 13
1 2 1 2 2
0.31 ______0.18
-2
提示：当底不同，指数相同时，利用幂函数的单调性比 较大小；
思考:还有其他的方法比较大小吗？
(2)3.2 _____3.2 ,
1 2
1 3
0.31 ______0.31
2.3
2.4
提示：底相同，指数不同时，
可利用指数函数的单调性比较大小；
2 (3)(5) _____( 7) , (- ) ______( ) x , ( 4) f ( x ) x , (6) f ( x ) x
2022-2023学年人教A版必修第一册 3-3 幂函数 课件(29张)
答案：B
解析：在(0，1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与 各图象有交点，如图所示．根据点低指数大，有0 ＜m＜1，n＜－1.
题型3 幂函数的性质及其应用
例3 (1)下列两个数的大小正确的是( )
7
3．已知幂函数f(x)＝xα(α是常数)，下列说法正确的是( ) A.f(x)的定义域为R B.f(x)在(0，＋∞)上单调递增 C.f(x)的图象一定经过点(1，1) D.f(x)的图象有可能经过点(1，－1)
答案：C
解析：当α＝－1时，f(x)＝x－1＝1x的定义域为(－∞，0)∪ 0， + ∞ ，且在(0， ＋∞)上单调递减，因此A，B错误；当x＝1时，f(1)＝1，因此C正确，D错误．
所以设f(x)＝xn，又过点(4，2)， 所以2＝4n，解得n＝1，
2
1
所以f(x)＝x2.
方法归纳
求幂函数解析式的依据和方法
巩固训练1
(1)
已知幂
函数
f(x)
＝kxα(k∈R
，α∈R)
的
图
象
过
点
(
1 2
，
2)，则k＋α等于( )
A．12
B．1
C．32
D．2
答案：A 解所析以：(12)因α＝为f2(x⇒)是2－幂α＝函2数12⇒，α＝所－以12k，＝因1，此又k＋因α为＝函12.数f(x)的图象过点(12 ， 2)，
函数
y＝1x __{_x_|x_≠_0_}_ __{_y_|y_≠_0_}_
《2.3 幂函数》一课一练1
2.3 幂函数1．在函数22031,3,,y y x y x x y x x===-=中，幂函数的个数为 ( ) A ．0B ．1C ．2D ．32．若幂函数()a f x x =在()0,+∞上是增函数，则 ( ) A ．a >0 B ．a <0C ．a =0D ．不能确定3．若11221.1,0.9a b -==，那么下列不等式成立的是 ( )A ．a <l<bB ．1<a <bC ．b <l<aD ．1<b <a4．()f x 是幂函数又是反比例函数，则这个函数是y =_______________． 5．()f x 是幂函数又是二次函数，则这个函数是y =_______________．6．已知幂函数()y f x =的图象经过点(，那么这个幂函数的解析式为_______________．7．在下列函数31322532,,,,y x y x y x y x y x --=====中，定义域为R 的函数有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个8．若幂函数()1m f x x-=在(0，+∞)上是减函数，则 ( )A ．m >1B ．m <1C ．m =lD ．不能确定9．若点(),A a b 在幂函数()ny x n Q =∈的图象上，那么下列结论中不能成立的是( )A ．00a b >⎧⎨>⎩B ．00a b >⎧⎨<⎩ Ｃ．00a b <⎧⎨<⎩ D ．00a b <⎧⎨>⎩10．用不等号填空：①11221.3________1.5；②225.1________5.09--；③()()110.21________0.27--；④11441.79________ 1.81--；⑤544________511．用不等号填空：①若54a a -<-，则________0a ；②若3.9 3.8b<，则________0b ．12．确定a 的取值范围：①当________a 时，32a a >；②当________a 时，15aae ⎛⎫> ⎪⎝⎭．13．某公司经过市场调查，某种商品在最初上市的几个月内销路很好，几乎能将所生产的产品全部销售出去。
幂函数说课稿
《幂函数》说课稿尊敬的各位评委老师，大家好！今天我说课的课题是《幂函数》对于本节课，我将以“教什么，怎么教，为什么这样教”为思路，从教材分析、学情分析、教法学法分析、教学程序设计和教学效果预设等五个方面进行说课一、教材分析1、教材的地位和作用：《幂函数》选自高一数学新教材必修1第2章第3节。
幂函数是继指数函数和对数函数后研究的又一基本函数。
《考试大纲》对幂函数的要求:①了解幂函数的概念。
②结合五个常见幂函数的图象,了解幂函数的变化情况。
通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型，并能用系统的眼光看待以前已经接触的函数,进一步确立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识，因而本节课更是学生研对究函数的方法和能力的综合提升。
2、教学目标根据幂函数在教材内容中的地位与作用，结合学情分析,考虑到学生已有的认知结构心理特征，制定了如下教学目标：（1）知识与能力目标：①理解幂函数的概念，会画幂函数的图象.②结合这几个幂函数的图象，理解幂函图象的变化情况和性质。
(2）过程与方法目标：①通过观察、总结幂函数的性质，培养学生抽象概括和识图能力。
②使学生进一步体会数形结合的思想。
（3)情感态度与价值观①通过生活实例引出幂函数的概念,使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣。
②利用计算机,了解幂函数图象的变化规律，使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。
3、教学重点与难点重点：理解幂函数概念、作幂函数的图象.难点：由具体幂函数图象归纳幂函数性质二、学情分析（1)学生已经接触过函数，已经确立了利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识 ,已初步形成对数学问题的合作探究能力。
（2)虽然前面学生已经学会用描点列表连线画图的方法来绘制指数函数，对数函数图像,但是对于幂函数的图像画法仍然缺乏感性认识。
(3）学生层次参次不齐,个体差异比较明显。
下面，为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标,我再从教法和学法上谈谈:三、教法与学法分析(一）教法教学过程是教师和学生共同参与的过程，教师要善于启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性，要有效地渗透数学思想方法，努力去提高学生素质。
2-3-1幂函数
2.3.1一、选择题1．幂函数y ＝(m 2＋m －5)xm2－32m －13的图象分布在第一、二象限，则实数m 的值为( )A ．2或－3B ．2C ．－3D ．0[答案] B[解析] 由m 2＋m －5＝1得m ＝2或－3，∵函数图象分布在一、二象限，∴函数为偶函数，∴m ＝2.2．函数y ＝x n 在第一象限内的图象如下图所示，已知：n 取±2，±12四个值，则相应于曲线C 1、C 2、C 3、C 4的n 依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12[答案] B[解析] 图中c 1的指数n >1，c 2的指数0<n <1，因而排除A 、C 选项，取x ＝2，\ 由2－12>2－2知B 正确．评述：幂函数在第一象限内当x >1时的图象及指对函数在第一象限内的图象，其分布规律与a (或α)值的大小关系是：幂指逆增、对数逆减．3．下列函数中，是偶函数且在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( ) A ．y ＝－3|x |B ．y ＝x 12 C ．y ＝log 3x 2D ．y ＝x －x 2[答案] A4．在同一坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax ＋1a的图象应是( )[答案] B[解析] 首先若a >0，y ＝ax ＋1a ，应为增函数，只能是A 或C ，应有纵截距1a >0因而排除A 、C ；故a <0，幂函数的图象应不过原点，排除D ，故选B.5．设a 、b 满足0<a <b <1，则下列不等式中正确的是( ) A ．a a <a b B ．b a <b b C ．a a <b aD ．b b <a b[答案] C[解析] ∵y ＝a x 单调减，a <b ，∴a a >a b ，排除A. ∵y ＝b x 单调减，a <b ，∴b a >b b ，排除B.∵y ＝x a 与y ＝x b 在(0,1)上都是增函数，a <b ，a a <b a ，a b <b b ，∴C 对D 错． 6．若a <0，则0.5a 、5a 、5－a的大小关系是( ) A ．5－a <5a <0.5aB ．5a <0.5a <5－aC ．0.5a <5－a <5aD ．5a <5－a <0.5a[答案] B[解析] 5－a ＝(15)a ＝0.2a ，∵a <0，∴y ＝x a 在(0，＋∞)上是减函数， ∵0.2<0.5<5，∴0.2a >0.5a >5a 即5－a >0.5a >5a .7．(2019·安徽文，7)设a ＝(35)25，b ＝(25)35，c ＝(25)25，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．a >b >cC ．c >a >bD ．b >c >a[答案] A[解析] 对b 和c ，∵指数函数y ＝(25)x 单调递减．故(25)35 <(25)25，即b <c .对a 和c ，∵幂函数．y ＝x 25在(0，＋∞)上单调递增， ∴(35)25>(25)25，即a >c ，∴a >c >b ，故选A. 8．当0<a <b <1时，下列不等式正确的是( ) A ．(1－a )1b >(1－a )bB ．(1＋a )a >(1＋b )bC ．(1－a )b >(1－a )b2D ．(1－a )a >(1－b )b[答案] D[解析] ∵0<a <b <1，∴0<1－a <1， ∴(1－a )a >(1－a )b① 又∵1－a >1－b >0，∴(1－a )b >(1－b )b ②由①②得(1－a )a >(1－b )b .∴选D.9．幂函数y ＝x α (α≠0)，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一簇美丽的曲线(如图)．设点A (1,0)，B (0,1)，连结AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数y ＝x α，y ＝x β的图象三等分，即有BM ＝MN ＝NA .那么，αβ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．无法确定[答案] A[解析] 由条件知，M ⎝⎛⎭⎫13，23、N ⎝⎛⎭⎫23，13， ∴13＝⎝⎛⎭⎫23α，23＝⎝⎛⎭⎫13β， ∴⎝⎛⎭⎫13αβ＝⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13βα＝⎝⎛⎭⎫23α＝13， ∴αβ＝1.故选A.10．在同一坐标系内，函数y ＝x a (a ≠0)和y ＝ax －1a的图象可能是( )[答案] C[解析] 由A ，B 图可知幂函数y ＝x a 在第一象限递减，∴a <0，所以直线y ＝ax －1a 的图象经过第二、四象限，且在y 轴上的截距为正，故A 、B 都不对；由C 、D 图可知幂指数a >0，直线的图象过第一、三象限，且在y 轴上的截距为负，故选C.二、填空题11．函数f (x )＝(x ＋3)－2的定义域为__________，单调增区间是__________，单调减区间为__________．[答案] {x |x ∈R 且x ≠－3}；(－∞，－3)；(－3，＋∞) [解析] ∵y ＝(x ＋3)－2＝1(x ＋3)2，∴x ＋3≠0，即x ≠－3，定义域为{x |x ∈R 且x ≠－3}，y ＝x －2＝1x2的单调增区间为(－∞，0)，单调减区间为(0，＋∞)，y ＝(x ＋3)－2是由y ＝x－2向左平移3个单位得到的．∴y ＝(x ＋3)－2的单调增区间为(－∞，－3)，单调减区间为(－3，＋∞)．12．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，那么这个幂函数的解析式为________．[答案] y ＝x 1213．若(a ＋1)13<(2a －2)13，则实数a 的取值范围是________． [答案] (3，＋∞)[解析] ∵y ＝x 13在R 上为增函数，(a ＋1)13<(2a －2)13. ∴a ＋1<2a －2，∴a >3. 三、解答题14．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x m 2＋m －1，m 为何值时，f (x )是(1)正比例函数； (2)反比例函数； (3)二次函数；(4)幂函数．[解析] (1)若f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝1. (2)若f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1. (3)若f (x )为二次函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝2，m 2＋2m ≠0⇒m ＝－1＋132.(4)若f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1±2.15．已知函数y ＝xn2－2n －3(n ∈Z )的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y 轴对称，求n 的值，并画出函数的图象．[解析] 因为图象与y 轴无公共点，所以n 2－2n －3≤0，又图象关于y 轴对称，则n 2－2n －3为偶数，由n 2－2n －3≤0得，－1≤n ≤3，又n ∈Z .∴n ＝0，±1,2,3当n ＝0或n ＝2时，y ＝x －3为奇函数，其图象不关于y 轴对称，不适合题意． 当n ＝－1或n ＝3时，有y ＝x 0，其图象如图A.当n ＝1时，y ＝x －4，其图象如图B. ∴n 的取值集合为{－1,1,3}．16．点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点(－2，14)在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，有①f (x )>g (x ); ②f (x )＝g (x )； ③f (x )<g (x )．[解析] 设f (x )＝x α，则由题意得2＝(2)α，∴α＝2，即f (x )＝x 2，再设g (x )＝x β，则由题意得14＝(－2)β，∴β＝－2，即g (x )＝x －2，在同一坐标系中作出f (x )与g (x )的图象．如下图所示．由图象可知：①当x >1或x <－1时，f (x )>g (x )； ②当x ＝±1时，f (x )＝g (x )； ③当－1<x <1且x ≠0时，f (x )<g (x )．17．运用学过的幂函数或指数函数知识，求使不等式(2x －1)－12>(2x －1)2成立的x 的取值范围．[解析] 解法一：在同一坐标系中作出函数y ＝x －12与y ＝x 2的图象，观察图象可见，当0<x <1时，x －12>x 2，∴0<2x －1<1，∴12<x <1.解法二：由于底数相同，可看作指数函数运用单调性．∵2x －1>0且2x －1≠1，又y ＝a x 当a >1时为增函数，当0<a <1时为减函数，(2x －1)－12>(2x －1)2.∴0<2x －1<1.∴12<x <1.。
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第二章
基本初等函数（Ⅰ）
人 教 A 版 数 学
第二章
基本初等函数（Ⅰ）
一、选择题 1 ．已知 0<a<1 ， m< － 1 ，则函数 y ＝ loga(x －m) 的图象
大致为
(
)
人 教 A 版 数 学
第二章
基本初等函数（Ⅰ）
[答案] C
[ 解析 ] B，选C. ∵ 0<a<1 ， ∴ 该函数为减函数，排除 A 、 D ， 又m<－1，∴x＝0时，函数有意义，且y＝loga(－m)<0.排除
人 教 A 版 数 学
第二章
基本初等函数（Ⅰ）
人 教 A 版 数 学
第二章
基本初等函数（Ⅰ）
2．幂函数的单调性最好结合图象理解记忆应用．特别
是当α<0时，常常要分段考察，从而导致分类讨论．
人 教 A 版 数 学
第二章
基本初等函数（Ⅰ）
[例 2]
若(a＋1) 3<(3－2a) 3，求实数 a 的取值范围．
1 ．幂函数 y ＝ xα 的图象分布规律是一个难点，应重点 抓住．
(1)α＝0时，不过(0,1)点；
(2)α 为整数时， α 为奇数则函数为奇函数， α 为偶数则 为偶函数，α<0不过原点； p (3)α为分数时，设α＝ (p、q是互质的整数)，p、q都是 q
奇数，则为奇函数，p为偶数，则为偶函数，q为偶数，则 图象仅分布在第一象限内．
－
1
－
1
[解析]
由函数 y＝x 3在(－∞，0)上和(0，＋∞)上都
－
1
是减函数知：
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第二章
基本初等函数（Ⅰ）
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基本初等函数（Ⅰ）
已知(2a－1)－2>(a＋3)－2，求实数a的取值范围．
[解析] 1 令2a－1＝0得a＝ ，令a＋3＝0得a＝－3. 2
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基本初等函数（Ⅰ）
4．指对函数性质的题目具有一定综合性，解题时要紧 扣题目条件探寻性质的应用．
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基本初等函数（Ⅰ）
[例 4]
设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x>0
2
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时，f(x)＝log1x，求使 f(x)<0 成立的 x 的取值范围．
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基本初等函数（Ⅰ）
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基本初等函数（Ⅰ）
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基本初等函数（Ⅰ）
本节重点：幂、指、对函数的性质． 本节难点：幂、指、对函数的单调性和分类讨论的思
想．
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基本初等函数（Ⅰ）
2．已知函数f(x)为偶函数，且当x≥0时，f(x)＝2x－1，
则使f(x)>1成立的x的取值范围是 A．(1，＋∞) C．(－1,1) [答案] D B．(－∞，－1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
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(
)
[解析]
先画出y＝2x－1(x≥0)的图象，再作关于y轴对
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[解析]
因为函数为偶函数，所以p为偶数q为奇数，
p 且由图象形状知 <0，∴选D. q
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基本初等函数（Ⅰ）
画出函数 y＝x 3的草图．
－
2
[解析]
2 ∵α＝－3<0， ∴函数的定义域为{x∈R|x≠ 0}，
且此函数为偶函数，图象分布在第一、二象限，向左(或右) 与 x 轴无限接近，向上与 y 轴无限接近．在(－ ∞，0)上单 调增，在(0，＋∞)上单调减，列表如下.
称的图象，令2x－1＝1得x＝1，
∴使f(x)>1成立的x的取值范围是x>1或x<－1.
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x<0 或 log2(－x)<0
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基本初等函数（Ⅰ）
[ 点评]
解答题应严格写出解题过程，本题若为填空
2
或选择题，可画出示意图解决．如图先画出 y＝log1x 的图 象， 再作其关于原点的对称图象． 观察图象可知， 使 f(x)<0 的 x 的取值范围是－1<x<0 或 x>1.
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基本初等函数（Ⅰ）
3．幂、指、对函数值大小的比较一般次序为：先区分 正负，正值再与1比较；对于幂式，同底的用指数函数单调
性，同指数的用幂函数单调性或指数函数图象的分布规律；
对数式同底数的用对数函数单调性，同真数的用对数函数 图象的分布规律．其它的根据数的特点等价转化．
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基本初等函数（Ⅰ）
[例3] 将下列各数按从小到大顺序排列起来．
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[解析]
x
4 3 (－3) ＝35， 3 ＝34，5>4，
0.8
4
4
3
3
4 3 ∵y＝3 为增函数，∴35>34，即(－3) > 3 ，
0.8
4
3
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基本初等函数（Ⅰ）
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基本初等函数（Ⅰ）
p
[例 1] 示，则
已知幂函数 y＝xq(p，q∈N*)的图象如下图所 ( )
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基本初等函数（Ⅰ）
p A．p，q均为奇数，且q>0 p B．q为偶数，p为奇数，且 <0 q p C．q为奇数，p为偶数，且q>0 p D．q为奇数，p为偶数，且q<0
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(1)a<－3时，2a－1<0，a＋3<0， ∵y＝x 2在(－∞，0)上单调增．
－
∴2a－1>a＋3，∴a>4，与a<－3矛盾无解．
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基本初等函数（Ⅰ）
1 (2)a>2时，2a－1>0，a＋3>0. ∴y＝x－2在(0，＋∞)上单调减． 1 ∴2a－1<a＋3，∴a<4.∴2<a<4. 1 (3)－3<a<2时，2a－1<0，a＋3>0，∴－a－3<0 y＝x－2在(－∞，0)上单调增， 且(2a－1)－2>(－a－3)－2. 2 2 1 ∴2a－1>－a－3，∴a>－3，∴－3<a<2. 2 1 1 综上知－3<a<2或2<a<4.
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基本初等函数（Ⅰ）
[解析]
当 x<0 时，－x>0，∴f(－x)＝log1(－x)，
2
∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， ∴f(x)＝log2(－x)． 又当 x＝0 时，有 f(0)＝0，
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∴f(x)＝
.
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基本初等函数（Ⅰ）
由 f(x)<0 得， ∴x>1 或－1<x<0.