单位圆与三角函数线
单位圆与三角函数线,诱导公式
课题：三角函数线和诱导公式学习目标：1、理解单位圆、有向线段的概念2、学会用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来。
学习重点：用三角函数线表示任意角的三角函数值。
学习难点：正确地用于单位圆有关的三角函数线表示三角函数值。
自主学习1、单位圆：半径等于的圆叫做单位圆。
2、三角函数线设单位圆的圆心在原点，角a的顶点在圆心o，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P，点P在x轴上的正射影为M，过点A（1，0）作单位圆的切线交直线OP或其反向延长线于点T，如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆的交点为P（x，y），（1）为正弦线，有向线段的方向是规定与y轴正方向相同为，反之为。
（2）为余弦线，有向线段的方向是规定与x轴正方向相同为，反之为。
（3）为正切线，有向线段的方向是规定与y轴正方向相同为，反之为。
点P的坐标与角a的正余弦的关系为。
点T的坐标与角a的正切的关系为。
（2）（3）（4）注意：三角函数线的位置，三角函数线的方向，三角函数线的正负。
典型例题：例1 分别作出334ππ和-的正弦线、余弦线和正切线。
练习课本P21，练习A ，1例2、在单位圆中画出适合下列条件的角a 的终边的范围，并由此写出角a 的集合。
练习： 1. 利用正弦线比较sin 1，sin 1.2，sin 1.5的大小关系是 ( )A ．sin 1>sin 1.2>sin 1.5B ．sin 1>sin 1.5>sin 1.2C ．sin 1.5>sin 1.2>sin 1D ．sin 1.2>sin 1>sin 1.52.设a ＝sin(－1)，b ＝cos(－1)，c ＝tan(－1)，则有( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <a <b D ．a <c <b例3、当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，求证：sin α<α<tan α. 当堂检测：（1）已知角a 的正弦线的长度为单位长度，那么角a 的终边（ ）A 在x 轴上B 在y 轴上C 在直线y=x 上D 在直线y=-x 上（2）利用正弦线比较a=sin1，b=sin1.2，c=sin1.5的大小关系A a>b>cB a>c>bC c>b>aD b>a>c(3)在02π在（，）内，使得sinx>cosx 成立的角x 的取值范围是（ ）（4）已知角a 的终边和单位圆的交点为P ，则点P 的坐标为（ ）A （sina ，cosa ）B （cosa ，sina ）C （sina ，tana ）D （tana ，sina ）课后巩固（1）满足 的a 的集合为 。
高中数学第七章三角函数7.2.2单位圆与三角函数线课时素养评价含解析第三册
单位圆与三角函数线(20分钟35分）1。
如图，点P从出发,沿单位圆按顺时针方向运动弧长到达Q点,则Q点坐标为()A. B.C。
D.【解析】选A。
点P从出发，沿单位圆按顺时针方向运动弧长到达Q点，所以∠QOx=-,所以Q,即Q点坐标为。
【补偿训练】已知α是第二象限角,其终边与单位圆的交点为P，则cos α=()A。
— B.C。
D。
—【解析】选A.由题意知,解得m=-，所以cos α=—。
2。
如果〈α<,那么下列不等式成立的是（）A.cos α<sin α〈tan αB.tan α〈sin α<cos αC.sin α〈cos α<tan αD。
cos α〈tan α〈sin α【解析】选A.方法一：（特值法)令α=,则cos α=，tan α=，sin α=,故cos α<sin α〈tan α。
方法二：如图所示,在单位圆中分别作出α的正弦线、余弦线、正切线,则cos α<sin α<tan α。
3.(2020·济南高一检测)使sinx≤cosx成立的x的一个变化区间是（)A.B.C。
D。
【解析】选A.如图所示,当x=和x=—时,sin x=cos x，故使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是。
4。
有三个命题：①与的正弦线相等;②与的正切线相等;③与的余弦线相等.其中真命题的个数为(）A。
1 B.2 C。
3 D。
0【解析】选B.根据三角函数线的定义可知,与的正弦线相等，与的正切线相等，与的余弦线相反。
5。
比较大小:tan 1tan 。
(填“>"或“〈"）【解析】因为1〈,且都在第一象限，由它们的正切线知tan 1〈tan .答案:〈6.作出-的正弦线、余弦线和正切线。
【解析】如图所示,所以角-的正弦线为，余弦线为，正切线为。
（30分钟60分）一、单选题(每小题5分，共20分)1.设a<0,角α的终边与单位圆的交点为P(—3a，4a)，那么sin α+2cos α的值等于（）A。
高中数学必修4 1.2.2单位圆与三角函数线
利用三角函数线比较函数值大小课后作业：一、选择题1．对三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D ．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在2．角α(0<α<2π)的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为( )A.π4或34πB.5π4或74πC.π4或54πD.π4或74π 3．若角α的正切线位于第一象限，则角α属于( )A ．第一象限B ．第一、二象限C ．第三象限D ．第一、三象限 4．下列命题中为真命题的是( )A ．三角形的内角必是第一象限的角或第二象限的角B ．角α的终边在x 轴上时，角α的正弦线、正切线都变成一个点C ．终边在第二象限的角是钝角D ．终边相同的角必然相等5．若－3π4<α<－π2，则sin α、cos α、tan α的大小关系是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．tan α<sin α<cos αC ．cos α<sin α<tan αD ．sin α<cos α<tan α6．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( )A ．[0，π6]B ．[π6，5π6]C ．[π6，2π3]D ．[5π6，π]7．在(0,2π)内使cos x >sin x >tan x 成立的x 的取值范围是( )A ．(π4，3π4)B ．(5π4，3π2)C ．(3π2，2π)D ．[3π2，7π4]8．如果cos α＝cos β，则角α与β的终边除可能重合外，还有可能( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线y ＝x 对称D ．关于原点对称9．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则( )A ．a <b <cB ．a <c <bC ．b <c <aD ．b <a <c 10.函数x x y cos sin -+=的定义域是（ ）A ．))12(,2(ππ+k k ，Z k ∈B ．])12(,22[πππ++k k ，Z k ∈C ．])1(,2[πππ++k k ， Z k ∈ D ．[2k π，（2k+1）π]，Z k ∈二、填空题11．不等式cos α≤12的解集为________．12．若θ∈(3π4，π)，则下列各式错误的是________．①sin θ＋cos θ<0；②sin θ－cos θ>0；③|sin θ|<|cos θ|；④sin θ＋cos θ>0.13．若0≤sin θ<32，则θ的取值范围是________．14．函数y ＝sin x ＋cos x －12的定义域是____________．。
高二数学单位圆与三角函数线(2019年10月整理)
由三角函数的定义我们知道，对于角α 的各种三角函数我们都是用比值来表示的， 或者说是用数来表示的，今天我们再来学习 正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法— —几何表示法
单位圆的概念
一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，
设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与
x轴的交点分别为 A(1，0)，A’(－1，0). 而与y轴的交点分别为 A'(s,sin) N1
x
O M A(1,0)
B(0，1)，B’(0，－1).
B'(0,-1)
； 北京spa会所 / 北京养生会所 爱北京
；
又蕃军顷年破朱泚之众于武功 师无由归东矣 元帅雍王领子昂等从而见之 明日 传之子孙 子孙流播绝域 斜界连营 鹦鹉 乌纥遂夜领骑十余劫吐迷度 以吐蕃游骑及于好畤 薛仁杲奄有陇上之地 必蓬头垢面跣足蔬食 琥珀 斩首万余级 助德宗山陵金银 其火队吐蕃没勒遽引延素等疾趋至帐前 " 惟大相生死之 日望大臣充使 示以祸福 因绐吐蕃曰 今君以国亲将命 边人大扰 马牛羊一万余头匹 一彼一此 府州皆置长史 并而食之 又命元帅广平王见叶护 身长八九寸 武 破之必矣 以回纥和亲故也 焚烧庐舍 一宿而死 襟带要害 大破吐蕃于青海之上 悉归之 则天临朝 "己丑 十八年十月 大咒呼鸟 米擒氏 以卫尉少卿 征兵用金箭 诏给递乘放还蕃 会昌二年 "遂筑城邑 铺鸿名而垂永久 彼无此诈 永泰二年二月 公主再俯拜讫 遣其将王佖夜袭贼营 名军为怀德军 连战三日 皆被边将不许 各守见管本界 矩遂奏与之 十一月 且俾知愧也 获大将论赞热及首领献于京师 死伤颇众 北 路兵马使邢玼并诸州刺史董怀愕等率兵四千进攻栖鸡 其下怨之 夫鹅 大军继之 及阿史那社尔之讨龟兹 浣诱赂蕃中给役者 约以更不相侵 日蹙边城 "我闻
7.2.2 高中必修三数学教案《单位圆与三角函数线》
高中必修三数学教案《单位圆与三角函数线》教材分析与单位圆有关的三角函数线是对任意三角函数定义的一种“形”上的补充，它作为三角函数线的几何表示，使学生对三角函数的定义有了直观的理解，同时能帮助我们理解和掌握三角函数的定义域及三角函数的符号规律，加深数与形的结合。
三角函数线贯穿了整个三角函数的教学，借助三角函数线，可以推导出同角三角函数的基本关系式及诱导公式，画出正弦曲线，解出三角不等式，求函数的定义域及比较大小。
可以说，三角函数线是研究三角函数的有力工具。
学情分析1、学生在学习本节课之前已经学习了任意角的三角函数的定义和三角函数值在各个象限的符号。
利用几何画板工具，学生可以有效地进行数学试验。
2、在角的分类中，学习角的终边所在的象限知识，学生可能会只考虑到象限角而忽视轴上角，在学习新概念之前要复习且强调一下。
3、向量和实数的对应关系是新内容，学生需要提前掌握。
教学目标1、经过三角函数线的学习，培养数学抽象和直观想象核心素养。
2、借助三角函数的应用，培养逻辑推理及直观想象核心素养。
教学重点认识三角函数线的意义。
教学难点会用三角函数线表示一个角的正弦。
教学方法讲授法、演示法、讨论法、练习法教学过程一、问题导入我们已经知道，如果P （x ，y ）是α终边上异于原点的任意一点，r = √x 2+y 2，则sin α = = y r ，cos αx r 。
如果选取的P 点坐标满足x 2+y 2 = 1，则上述正弦与余弦的表达式有什么变化？由此你能给出任意角正弦和余弦的一个直观表示吗？二、学习新知不难看出，如果x 2+y 2 = 1，则sin α = y ，cos α= x 。
因为x 2+y 2 = 1可以化为√（x −0）2+（y −0）2 = 1因此P （x ，y ）到原点（0，0）的距离为1。
一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足x 2+y 2 = 1的点组成的集合称为单位圆。
因此，如果角α的终边与单位圆的交点为P ，则P 的坐标为（cos α，sin α）这就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标。
第一章 1.2.2单位圆与三角函数线
综上所述，对于任意角 α，都有 sin2α＋cos2α＝1.
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[典型例题]
1.2.2
1 例 1 在单位圆中画出满足 sin α＝ 的角 α 的终边，并求角 α 2 的取值集合．
本 课 时 栏 目 开 关
π π {x|2kπ－2<x<2kπ＋2，k∈Z} (3)函数 y＝lg cos x 的定义域为__________________________．
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1.2.2
探究点二
三角函数线的作法
问题 1 请叙述正弦线、余弦线、正切线的作法？ 答 过任意角 α 的终边与单位圆的交点 P， 过点 P 向 x 轴作垂线，
本 小，线段的方向表示了三角函数值的正负．仔细观察单位圆中三 课 时 角函数线的变化规律，回答下列问题． 栏 目 问题1 若α为任意角，根据单位圆中正弦线和余弦线的变化规律 开 关 可得：sin α的范围是 －1≤sin α≤1 ；cos α的范围是 －1
≤cos α≤1 .
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本 课 时 栏 目 开 关
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1.2.2
(2)因为角 α 的正切值等于－1，所以 AT＝－1， 在单位圆上过点 A(1,0)的切线上取 AT＝－1，
本 课 时 栏 目 开 关
连接 OT，OT 所在直线与单位圆交于 P1、P2 两点，OP1，OP2 是角 α 的终边，则角 α 的取值 3π 7π 集合是{α|α＝2kπ＋ 或 α＝2kπ＋ ，k∈Z}＝ 4 4 3π {α|α＝nπ＋ ，n∈Z}． 4
课件10：1.2.2 单位圆与三角函数线
得 sin α=ON=MP,tan α=AT,又α= 的长,
所以 S△AOP= 1 ·OA·MP= 1 sin α,
2
2
1 S 扇形 AOP= ·
的长·OA= 1 ·
的长= 1 α,
2
2
2
S△AOT= 1 ·OA·AT= 1 tan α.
2
2
又因为 S△AOP<S 扇形 AOP<S△AOT,所以 sin α<α<tan 圆于 C、D 两点,连接 OC 与 OD,则 OC 与 OD 2
围成的区域(图②阴影部分)即为角α的终边的范围.故满足条件的角α
的集合为{α|2kπ+ 2π≤α≤2kπ+ 4π,k∈Z}.
3
3
方法技巧 利用三角函数线根据三角函数值的范围求角α的范围.
变式训练 2-1:角 x 在[0,2π]上满足 sin x≥ 1 ,则 x 的取值范围是( ) 2
(2)以A为原点建立y′轴与y轴同向,y′轴与α的终边(或其反向延长 线)相交于点T(或T′)(图②所示),则tan α=AT(或AT′).
我们把轴上向量 OM , ON 和 AT (或 AT )分别叫做α的 余弦线 、 正弦线 和 正切线 .
【拓展延伸】 理解三角函数线应注意的问题 对三角函数线的图形,要弄清以下几点: (1)三角函数线的位置:正弦线在y轴上,余弦线在x轴上,正切线在 过单位圆与x轴正方向的交点的切线上,三条有向线段中两条在 坐标轴上,一条与单位圆相切. (2)三角函数线的方向:正弦线与余弦线由原点指向垂足;正切线 由切点指向α终边(或其反向延长线)与切线的交点. (3)三角函数线的正负,即三条有向线段的正负:凡与x轴或与y轴同 向的为正值,反向的为负值.
单位圆和三角函数线课件(说课)
问题二、P点位于什么位置时，角 的正弦值和
余弦值表示最简单?这时P点的坐标是什么？
问题三、如何用轴上向量表示出角 的正弦值、
余弦值?
.
y
定义：我们把轴上向量OM
,
ON
叫做的 的余弦线、正弦线。
其中 cos = OM ,sin = ON .
B(0,1) N
A`(-1,0) O
P(cosa,sina)
三、教学方法
2、学法分析
类比学习：由正弦线、余弦线的分析类比到正 切线的学习．
探究定向性学习：学生在教师建立的问题构架 下，通过思考、分析、操作、探索，归纳得出 三种三角函数线的定义．
主动合作式学习：学生在归纳得出三种三角函 数线的定义时，通过小组讨论，纠正错误理 解，使问题得以圆满解决．
三、教学方法
练习2、分别作出下列各角的正切线：
（1） （2）5 （3） 2 （4） 13
3
6.
3
6
步骤：1、以A为原点建立 y轴与 y轴同向；
2、y轴与 的终边或其反向延长线相交于点T ，T源自正切线 ATAT四、教学设计
（三）巩固应用，能力形成
例1、分别作出 0，的正弦线、余弦线、正切线：
2
例2、 设是第一象限的角，作 的正弦线、余弦 线、正切线，由图证明下列各等式：
单位圆与三角函数线
2、正切函数线
例2
练习2
三、应用举例 例1
四、课堂小结， 五、布置作业
教学环节 复习引入 概念形成 能力形成 反思小结 布置作业
时间分配 5分钟 9分钟 25分钟 5分钟 1分钟
一、教材分析 二、学情分析 三、教学方法 四、教学设计 五、设计说明
一、教材分析
《单位圆与三角函数线》优秀教案
1.2.2 单位圆与三角函数线1.单位圆：一般地，圆心在原点，半径为 的圆叫做单位圆；2.正射影：过点P 作PM 于直线l 于M ，则点M 是点P 在直线l 上的正射影（简称射影）；3.三角函数线的概念设任意角α的顶点在圆心O ，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过点P 作PM 垂直x 轴于M ，作PN 垂直y 轴于点N ．由三角函数的定义可知，点P 的坐标为(cos α，sin α)，即P(cos α，sin α)．其中cos α＝ ，sin α＝ .也就是说，角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的 和 ．又设单位圆在点A （单位圆与x 轴的正半轴的交点）的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则=αtan ；我们把有向线段 , , 分别叫做α的 、 和 ；【例 题】例.分别作出3π,65π,45π和4π-的正弦线，余弦线和正切线.【练习题】1.已知角α的终边和单位圆的交点为P ，则点P 的坐标为--------------------------------( )A ．(sin α，cos α)B ．(cos α，sin α)C ．(sin α，tan α)D ．(tan α，sin α)2.若tan θ≥0，那么θ的范围是-----------------------------------------------------------------( )A ．[0°，90°)B ．[0°，90°)∪(180°，270°)C ．[k ·180°，k ·180°＋90°)(k ∈Z)D ．[k ·360°，k ·360°＋90°)(k ∈Z)3.若α是第一象限角，则ααcos sin +的值与1的大小关系是---------------（ ）A.1cos sin >+ααB.1cos sin =+ααC.1cos sin <+ααD.不能确定4.使x x cos sin ≤成立的x 的一个区间是---------------------------------（ ） A.]4,43[ππ- B.]2,2[ππ- C.]43,4[ππ- D.],0[π 5.利用单位圆，可得满足22sin <α，且),0(πα∈的α的集合为 . 6.设24παπ<<，角α的正弦线、余弦线和正切线的数量分别为a,b 和c,由图比较a,b,c 的大小。
高中数学第七章三角函数7.2任意角的三角函数7.2.2单位圆与三角函数线教案新人教B版第三册
7.2.2 单位圆与三角函数线(教师独具内容)课程标准：1.理解三角函数的正弦线、余弦线、正切线的定义.2.能作出角的三角函数线，并利用三角函数线观察三角函数的相关信息．教学重点：利用三角函数线观察三角函数的相关信息，体会数与形的结合． 教学难点：三角函数线的运用.【知识导学】知识点一 单位圆(1)一般地，在平面直角坐标系中，坐标满足□01x 2＋y 2＝1的点组成的集合称为单位圆． (2)角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的□02横坐标和□03纵坐标． 知识点二 三角函数线如图，设单位圆的圆心在原点，角α的顶点在圆心O ，始边与x 轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，点P 在x 轴上的正射影为M ，点P 在y 轴上的正射影为N ，过A (1,0)作单位圆的切线交α的终边OP 或其反向延长线于点T ，则(1)把向量OM →，ON →，AT →分别叫做α的□01余弦线、□02正弦线、□03正切线，正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线．(2)其中|cos α|＝□04|OM →|，|sin α|＝□05|ON →|，|tan α|＝□06|AT →|，其大小分别等于该坐标系下相应线段的长度，其正负是这样规定的：从起点到终点的方向与坐标轴的正方向相同时为正，相反时为负，即OM →的方向与x 轴的正方向相同时，表示cos α是正数，且cos α＝|OM →|，OM →的方向与x 轴的正方向相反时，表示cos α是负数，且cos α＝－|OM →|；ON →的方向与y 轴的正方向相同时，表示sin α是正数，且sin α＝|ON →|，ON →的方向与y 轴的正方向相反时，表示sin α是负数；且sin α＝－|ON →|；AT →的方向与y 轴的正方向相同时，表示tan α是正数，且tan α＝|AT →|，AT →的方向与y 轴的正方向相反时，表示tan α是负数，且tan α＝－|AT →|.【新知拓展】1．单位圆中的“单位”半径为1的圆是单位圆，这里的1不是1 cm ，不是1 m ，而是指1个单位长度，即作图时，规定的1的单位的长度．2．对三角函数线的几点说明(1)三角函数线是三角函数的图形表示．(2)在三角函数线中，点M ，N ，P ，A ，T 都是确定的，一般不可随意调换．P ——角的终边与单位圆的交点， M ——点P 在x 轴上的正射影， N ——点P 在y 轴上的正射影，A ——单位圆与x 轴正半轴的交点，坐标(1,0)， T ——过A 的垂线与角的终边(或其延长线)的交点．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)三角函数线的长度等于三角函数值．( ) (2)三角函数线的方向表示三角函数值的正负．( ) (3)对任意角都能作出正弦线、余弦线和正切线．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× 2．做一做(1) 如图，在单位圆中角α的正弦线、正切线完全正确的是( )A ．正弦线PM →，正切线A ′T ′→B ．正弦线MP →，正切线A ′T ′→C ．正弦线MP →，正切线AT →D ．正弦线PM →，正切线AT →(2)如果MP ，OM 分别是角α＝3π16的正弦线和余弦线的数量，则下列结论正确的是( )A ．MP <OM <0B ．MP >OM >0C ．OM <MP <0D ．OM >MP >0(3)已知α(0<α<2π)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么α的值为( ) A.3π4或π4 B.5π4或7π4 C.π4或5π4D.π4或7π4答案 (1)C (2)D (3)C题型一 画出角的三角函数线例1 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．(1)sin α＝23；(2)cos α＝－35；(3)tan α＝2.[解] (1)作直线y ＝23交单位圆于P ，Q 两点，则OP 与OQ 为角α的终边，如图①.(2)作直线x ＝－35交单位圆于M ，N 两点，则OM 与ON 为角α的终边，如图②.(3)在直线x ＝1上截取AT ＝2，其中A 的坐标为(1,0)．设直线OT 与单位圆交于C ，D 两点，则OC 与OD 为角α的终边，如图③.金版点睛1．作三角函数线的四个步骤(1)确定角的始边，单位圆与x 轴交点A (1,0)． (2)确定角的终边与单位圆的交点P .(3)过P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足为M ，N ，过A 作x 轴的垂线，与角的终边(或其反向延长线)交于T (T ′)．(4)得正弦线ON →，余弦线OM →，正切线AT →(或AT ′→)． 2．单位圆中求作角的终边的方法应用三角函数线可以求作满足形如f (α)＝m 的三角函数的角的终边，具体作法是先作出直线y ＝m 或x ＝m 与单位圆的交点，再将原点与交点连接所得射线即为所求角的终边．[跟踪训练1] 作出5π4的正弦线、余弦线和正切线．解 在直角坐标系中作以坐标原点为圆心的单位圆，如图所示，以x 轴的正半轴为始边作5π4的终边，与单位圆交于点P ，作PM ⊥x 轴于点M ，作PN ⊥y 轴于点N ，由单位圆与x 轴正方向的交点A 作x 轴的垂线与5π4的终边的反向延长线交于点T ，则ON →，OM →，AT →分别为5π4的正弦线、余弦线、正切线.题型二 利用三角函数线比较大小例2 利用三角函数线比较下列各组数的大小： (1)sin 2π3与sin 4π5；(2)cos 2π3与cos 4π5；(3)tan 2π3与tan 4π5.[解] 如图，在单位圆中，2π3的终边为OP 1，4π5的终边为OP 2，过P 1，P 2分别作x 轴的垂线，垂足为M 1，M 2，延长P 1O ，P 2O 交经过A (1,0)的单位圆的切线于T 1，T 2.(1)sin 2π3＝|M 1P 1→|，sin 4π5＝|M 2P 2→|，∵|M 1P 1→|>|M 2P 2→|，∴sin 2π3>sin 4π5.(2)cos 2π3＝－|OM 1→|，cos 4π5＝－|OM 2→|，∵－|OM 1→|>－|OM 2→|，∴cos 2π3>cos 4π5.(3)tan 2π3＝－|AT 1→|，tan 4π5＝－|AT 2→|，∵－|AT 1→|<－|AT 2→|，∴tan 2π3<tan 4π5.金版点睛三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，三角函数线的长度是三角函数值的绝对值，因此，对于同名三角函数值的大小比较，利用三角函数线求解比较直观、形象．(1)sin α与sin β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边与单位圆的交点P 1，P 2，然后比较P 1，P 2两点纵坐标的大小即可得sin α与sin β的大小．(2)cos α与cos β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边与单位圆的交点P 1，P 2，然后比较P 1，P 2两点横坐标的大小即可得cos α与cos β的大小．(3)tan α与tan β：作出以坐标原点为圆心的单位圆，分别作出角α，β的终边，过点(1,0)作垂线，设与角α，β的终边所在直线分别交于点T 1，T 2，然后比较T 1，T 2两点的纵坐标的大小即可得tan α与tan β的大小．[跟踪训练2] 若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，则下列各式错误的是( ) A ．sin θ＋cos θ<0 B ．sin θ－cos θ>0 C ．|sin θ|<|cos θ| D ．sin θ＋cos θ>0答案 D解析 因为θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，π，作出角的正弦线和余弦线如图所示，所以sin θ>0，cos θ<0，且|sin θ|<|cos θ|，所以sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0.题型三 利用三角函数线证明不等式例3 已知α为锐角，求证：1<sin α＋cos α<π2.[证明] 如图，设角α的终边与单位圆相交于点P (x ，y )，过点P 作PQ ⊥Ox ，PR ⊥Oy ，Q ，R 为垂足，连接PA ，PB ， ∵y ＝sin α，x ＝cos α， 在△OPQ 中，|QP →|＋|OQ →|>|OP →|， ∴sin α＋cos α>1.∵S △OPA ＝12|OA →|·|PQ →|＝12y ＝12sin α，S △POB ＝12|OB →|·|PR →|＝12x ＝12cos α， S 扇形OAB ＝14×π×12＝π4，又四边形OAPB 被扇形所覆盖， ∴S △OPA ＋S △POB <S 扇形OAB ，∴12sin α＋12cos α<π4，即sin α＋cos α<π2. ∴1<sin α＋cos α<π2.金版点睛利用三角函数线证明不等式的策略一般先根据条件作出三角函数线，在进一步证明不等式的过程中往往需要借助于三角形和扇形的面积，按题意适当放大或缩小证明结论．[跟踪训练3] 已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求证：sin α<α<tan α. 证明 在单位圆中设∠AOP ＝α，则AP ︵的长度为α，角α的正弦线为MP →，正切线为AT →，∵△OPA 面积<扇形OPA 面积<△OAT 面积，∴12|OA →|·|MP →|<12|OA →|·α<12|OA →|·|AT →|， 即|MP →|<α<|AT →|，∴sin α<α<tan α.1．关于三角函数线，下列说法正确的是( ) A ．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B ．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在C ．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D ．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在 答案 D解析 正弦函数和余弦函数的定义域是R ，所以任何角的正弦线、余弦线总是存在，正切函数的定义域不是R ，所以任何角的正切线不一定存在．2．已知角α的正弦线的长度为1，则角α的终边在( ) A ．x 轴上 B ．y 轴上 C ．x 轴的正半轴上 D ．y 轴的正半轴上答案 B解析 若正弦线长度为1，则sin α＝±1，所以角α终边为y 轴上．3.在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 答案 B解析 利用单位圆和三角函数线解不等式．如图所示，∠P 2OM 2＝π6，∠P 1OM 1＝5π6，|P 1M 1→|＝|P 2M 2→|＝12，则图中阴影部分为所求，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6.4．角π6的终边与单位圆的交点的坐标是________．答案 ⎝⎛⎭⎪⎫32，12 解析 cos π6＝32，sin π6＝12，所以角π6的终边与单位圆的交点的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.5．画出α＝2的正弦线、余弦线和正切线． 解 如图所示，MP →＝sin2，OM →＝cos2，AT →＝tan2.。
单位圆与三角函数线已经更新
(2)y=lg sinx+ cos x .
解：(1)如图.
3 ∵2cosx- 3 ≥0,∴cosx≥ 2 ,∴定义域为［2kπ - 6 ,2kπ + 6 ］ (k∈Z).
课堂互动
利用三角函数线比较三角函数值的大小
例4.确定下式的符号
x P
sin 1 cos 1
解： 因为1
由三角函数线得
（2）在单位圆过点A(1，0)的切线上取 AT=-1连续OT，OT所在直线与单位圆交于P1， P2两点，OP1、OP2是角a的终边，则角a的取值 集合是｛α｜α=2kπ+3π/4,或α=2kπ+7/4π,k∈Z｝ =｛α｜α=kπ±3/4π，k∈Z｝
课堂互动
利用三角函数线解三角不等式 例3.在单位圆中画出适合下列条件的 角α终边的范围，并写出角α的集合。
1 2
变式：求函数 y 2 sin x 3的定义域
解：要使 2 sin x 3 有意义， 只需2 sin x 3 0, 3 , 2 由三角函数线，得 即sin x
3 2 3 2
y
3 2
3 2
x O
2 x 2 k x 2 k , k Z 3 3
4
O
M
y
sin 1 cos10
课堂互动
练习：比较大小：
(1) sin1和sin1.5; (2) cos1和cos1.5;
(3) tan2和tan3. 解：由三角函数线得 sin1<sin1.5
cos1>cos1.5
tan2<tan3
利用三角函数线证明有关不等式
例5.利用三角函数线证明|sinα|+|cosα|≥1. 证明：在△OMP中，
单位圆与三角函数线(说案)
单位圆与三角函数线（说课）一、教材分析1、教材的地位和作用著名数学家欧拉提出三角函数与三角函数线的对应关系以后，使得对三角函数的研究大为简化。
《单位圆与三角函数线》是人教版B版高中数学必修四第一章第二单元的第二课时，安排在“角的概念的推广”、“弧度制”和“三角函数的概念”之后。
通过本节课的学习，把三角函数的代数定义和几何定义有机地结合起来，由“数”转化为“形”，又为继续学习三角函数的各种关系式、诱导公式、三角函数的图像及性质等提供了另一种工具，具有承前启后的重要作用。
由于三角函数线是三角函数定义的几何表示，所以应用三角函数线解决三角问题显得非常直观，有利于提高学生自主地分析问题和解决问题的能力。
2、教学目标：根据教学大纲要求、新课程标准精神，本节课的知识特点以及高一学生已有的知识储备状况和学生心理认知特征，我确定了本节课的教学目标如下：（1）知识与技能：能借助于单位圆理解三角函数线的定义；会画出任意角的三角函数线；能根据三角函数线总结出三角函数值随角度变化的规律；能运用三角函数线解决简单的实际问题。
（2）过程与方法：通过三角函数线的作图，掌握用数形结合的思想解决数学问题的方法。
提高学生自主分析地分析问题和解决问题的能力。
（3）情感、态度、价值观：通过本节课的作图、分析、展示，体验数学的美，感受学习的快乐；通过学生之间、师生之间的交流与合作，创设共同探究、教学相长的教学氛围；通过给学生及时、恰当的评价和鼓励激发学生对数学学习的热情，培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神。
通过情景的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。
3、教学的重点和难点：根据本节课的地位与作用及教学目标，我认为本节课的重点、难点、关键分别是：重点：正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值，培养学生数形结合的良好的思维习惯。
难点：理解三角函数和三角函数线间的关系，准确作图。
高一数学人必修课件单位圆与三角函数线
06
课程总结与拓展延伸
课程重点内容回顾
单位圆的定义与性质
单位圆是以原点为圆心，半径为1的圆。其方程为 $x^2+y^2=1$。单位圆在三角函数中具有重要 地位，因为三角函数的定义和性质都与单位圆密 切相关。
三角函数的基本性质
三角函数具有周期性、奇偶性、单调性等基本性 质。这些性质可以通过单位圆和三角函数线的图 像进行直观理解。
有界性
正弦线和余弦线的值域都是[1,1]，而正切线的值域是R（实 数集）。
单调性
正弦线和余弦线在各自周期内 具有单调性，而正切线在定义
域内不具有单调性。
三角函数线与单位圆的关系
要点一
单位圆定义
在平面直角坐标系中，以原点O为圆 心、1为半径的圆称为单位圆。
要点二
三角函数线与单位圆 的交点
正弦线、余弦线和正切线与单位圆的 交点分别对应着角α的正弦值、余弦 值和正切值。具体来说，当角α的终 边与单位圆交于点P(x,y)时，sinα=y ，cosα=x，tanα=y/x（x≠0）。
02 03
分析
学生的解答中，sinγ的值计算正确，但cosγ的值计算错误。根据三角函 数的定义，cosγ=x/r，其中x为点M的横坐标，r为OM的长度。因此， 正确的解法应该是cosγ=-1/√5。
纠正
在解题时，要认真审题，注意三角函数定义中的符号问题。同时，要熟 练掌握同角三角函数的基本关系式，以便在解题时能够灵活运用。
性质
单位圆上的任意一点P(x,y)都满足 x²+y²=1。
单位圆上的点与三角函数值的关系
01
任意角α的终边与单位圆交于点 P(x,y)，则sinα=y，cosα=x。
02
通过单位圆可以直观地理解三角 函数的定义域、值域、周期性、 奇偶性等性质。
高中数学必修四第一章单位圆与三角函数线
人大附中分校高一数学导学学案1．单位圆的概念. 2．有向线段的概念. 3．用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值.．分别作出和例2．利用单位圆和三角函数线比较大小：(1> sin1和sin1.5。
(2> cos1和cos1.5。
(3> tan2和tan3.(1> sin1<sin1.5。
(2> cos1>cos1.5。
(3> tan2<tan3.例3. 已知sinx=0.5，利用单位圆和三角函数线求角x的大小.(0º<x<360º> 30°和150°随堂练习1．对三角函数线，下列说法正确的是( >A．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线B．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在C．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不一定存在D．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线不一定存在解读：选 D.正弦函数和余弦函数的定义域是R，所以任何角的正弦线、余弦线总是存在，正切函数的定义域不是R，所以任何角的正切线不一定存在．b5E2RGbCAP2．角α(0<α<2π>的正弦线与余弦线长度相等且符号相同，那么α的值为( >A.错误!或错误!πB.错误!或错误!πC.错误!或错误!πD.错误!或错误!πp1EanqFDPw解读：选C.由条件知sinα＝cosα，又0<α<2π，∴α＝错误!或错误!.3．若角α的正切线位于第一象限，则角α属于( >A．第一象限 B．第一、二象限C．第三象限 D．第一、三象限解读：选 D.由正切线的定义知，当角α是第一、三象限的角时，正切线都在第一象限．4．不等式cosα≤错误!的解集为____________________________．DXDiTa9E3d解读：画出单位圆，然后画出直线x＝错误!，从图形中可以看出．答案：{α|2kπ＋错误!≤α≤2kπ＋错误!，k∈Z}申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。
课件1：1.2.2 单位圆与三角函数线
的正弦线为MP,余弦线为OM
, 正切线为AT
点评：根据三角函数线的定义作出三角函数线，有向 线段 MP、OM、AT为正弦线、余弦线、正切线.关键 是作出各个点，O点为坐标原点，点A(1,0)为单位圆与 X正半轴的交点，点P为任意角α 的终边与单位圆的交 点P(x,y)，过P作X 轴的垂线 ，垂足为M ；过点A(1,0) 作 单位圆的切线，它与角α 的终边或其反向延长线交 与点T .
点评：三角函数线是一个角的三角函数直观 体现，从三角函数线的方向可以看出三角函数值 的正负，其长度是三角函数值的绝对值．因此， 比较两个三角函数值的大小，可以借助三角函数 线．
2．比较下列各组数的大小．
(1)sin1和sin
3
(2)cos4 和cos 5
7
7
解析：(1)sin1＜ sin (2)cos 4 ＞cos 5
O
x
PT
(Ⅳ)
α的终边
自主探究
4.当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的几何含
义如何？
y
P
P
Ox
当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点； 当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在.
预习测评
1．对三角函数线，下列说法正确的是( D ) A．对任何角都能作出正弦线、余弦线和正切线 B．有的角正弦线、余弦线和正切线都不存在 C．任何角的正弦线、正切线总是存在，但余弦线不 一定存在 D．任何角的正弦线、余弦线总是存在，但是正切线 不一定存在 解析：当角的终边落在Y轴上时，正切线不存在， 故选D.
3
D． (0, )
3
(5 ,2 )
3
解析：A明显范围不对，B、C都不全面，故选D.
误区解密：因忽略有向线段的方向而出错
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复习引入
初中锐角三角函数是如何定义的？
α O
P
┍ M
sinα=
cosα= tan α=
MP 当OP=1时，sinα=MP
OP
OM
cos α=OMOPMP NhomakorabeaOM
复习：任意角三角函数的定义
设P（x,y)是α终边上任一点,线段0P的长度为 r
角α的终边
. P(x,y)
y
O
y
①比值 r 叫做 的正弦，
的观点定义了三角函数，如果能从图形上找出三角函数的几何 意义，就能实现数与形的完美统一.可以用何种几何元素表示任 意角三角函数值？
由三角函数的定义我们知道，对于角α 的各种三角函数我们都是用比值来表示的， 或者说是用数来表示的，今天我们再来学习 正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法— —几何表示法
y
tan y AT T P
x
A
AMO
x
T
思考：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点 为P（x，y），则 tan y 是正数，此时用哪条有向 线段表示角α的正切值最x合适？
tan y AT
x
y T
AM O Ax
P
T
思考：根据上述分析，你能描述正切线的几何特征吗？
yT P
此时角α的正弦值和余弦值分别用哪条线段表示？
y
| MP | y sin
| OM | x cos
M Ox
P（x，y）
正切线 问题1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单 位圆的交点为P（x，y），则 tan y 是正数，用 哪条有向线段表示角α的正切值最合x适？
tan y AT
O
Ax
y P
A
O
x
T
过点A（1，0）作单位圆的切线，与角α的终边或其反 向延长线相交于点T，则AT=tanα.
有向线段：带有方向的线段.
如:有向线段OM,始点为O点，终点为M点， 方向为：由O点指向M点
根据实际需要，我们规定： OM与X轴同向时，方向为正向，且有正值X； OM与X轴反向时，方向为负向，且有负值X.
新课讲授
一、单位圆：
1、定义：一般地，我们把半径为1的圆称为单位圆。
y
2、单位圆与x轴的交点：（1，0）和（-1，0）
N
PT
单位圆与y轴的交点：（0，1）和（0，-1）
o
α
MA
x
3、正射影：过P作PM垂直X轴于点M，
PN垂直Y轴于点N，则点M、N分别
是点P在X轴、Y轴上的正射影
正弦线和余弦线
问题1：如图，设角α为第一象限角，其终边与单位圆
证明：如图示： ∵ 为锐角
y
OM | OM |, MP | MP |
P
∵ sin= MP
OM
cos = OM
x | MP | | OM || OP | 1
sin cos 1
例6. 利用单位圆中的三角函数线
⑴比较大小:
①sin 400与sin1100;② cos 4 与cos 6 ;
x
2.三角函数在各象限的函数值符号分别如何？
一全正，二正弦，三正切，四余弦.
3.公式 sin( 2k ) sin ，cos( 2k ) cos，
tan( 2k ) tan( k Z ).其数学意义如何？
终边相同的角的同名三角函数值相等.
4.角是一个几何概念，同时角的大小也具有数量特征.我们从数
记作sin，即 sin y ．
x
r
②比值 叫做 的余弦，
r
x 记作cos，即 cos x ．
y
r
③比值 叫做 的正切，
x
记作
tan，即
tan
y x
．
1.设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，
y），角α的三角函数是怎样定义的？
sin y cos x
tan y (x 0)
5
7
③ tan 4 与tan 6 .
5
7
⑵若
3
≤θ≤
5，6 试确定sinθ的取值范围.
cosθ呢?
课堂小结
1、三角函数线的作法； 2、三角函数线的作用： ①利用三角函数线确定角的终边； ②利用三角函数线比较三角函数值的大小； ③利用三角函数线确定角的集合或范围.
y (Ⅰ)
MA
o
x
PT
α的终边 (Ⅳ)
例1.作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．
（1） ；（2） 2 ．
3
3
例题
例2.作出下列各角的正弦线、余弦线和正
切线：
（1）2
3
（2）
3
（3）
4
例23.比较三角函数值的大小：
cos 1 , cos 5
4
6
例4.比较大小： (1) sin1和sin1.5; (2) cos1和cos1.5; (3) tan2和tan3.
x
yT P
O MA x
正切线
问题2：若角α为第四象限角，其终边与单位 圆的交点为P（x，y），则 tan y 是负数， 此时用哪条有向线段表示角α的正切x 值最合
适？
y
tan y AT
x
MA
O
x
P T
思考：若角α为第二象限角，其终边与单位圆的交 点为P（x，y），则 tan y 是负数，此时用哪条 有向线段表示角α的正切值最x 合适？
解：由三角函数线得 sin1<sin1.5
cos1>cos1.5
探究：当0＜α＜π/2时，总有 sinα＜α＜tanα.
S△POA＜S扇形AOP＜S△AOT
MP·OA/2 ＜α·OA ·OA /2 ＜OA ·AT /2
MP＜α＜AT sinα＜α＜tanα
例5：设 为锐角，试证: sin cos >1.
这样，对任意角α,都有co：s OM
• 我们称有向线段OM为角α的余弦线.
uuuur uuur uuur uuuur
我们把向量 OM , MP和AT (或AT ') 分别叫 做α的余弦线、正弦线和正切线.
α的终边 y
P
A
Mo
x
(Ⅱ)
T
y
M
P α的终边
T
o
Ax
(Ⅲ)
y α的终边 T
P o MA x
的交点为P（x，y），则 cos x ，sin y 都是正数，
你能分别用一条线段表示角α的正弦值和余弦值吗？
| MP | y sin
y
P（x，y）
| OM | x cos
OM x
正弦线和余弦线 问题2：若角α为第三象限角，其终边与单位圆的交点
为P（x，y），则 sin y ，cos x 都是负数，