函数的极限PPT教学课件

lim
n
an
a, 这个式子读作"当n趋向于无穷
大时, an的极限等于a".符号""表示
"趋向于","n "表示"n趋向于无穷大"
就是n无限增大的意思.
lim
n
an
a也可读作
"lim itan当n趋向于无穷
大时等于a".
lim
n
an
a有时也可记作
当n 时, an a.
一般地，任何一个常数数 列的极限都是这个常数本 身，即： lim C C(C是常数）
a, 却都是无限趋近的, 这是它们的共同
之处.
例1.分别就自变量x趋向于 和
的情况,讨论下列函数的变化趋势 :
(1) y (1 )x 2
(2) y 2x
1(x 0时)
(3)
f
(x)
0( x
0时)
1(x 0时)
10
8
6
1x
4
fx = 2
2
-5 -2
5
10
10
8
6
gx = 2x
4
2
2.3 函数的极限（1）
请大家考虑： 什么叫数列的极限？
一般地, 如果当项数n无限增大时, 无穷
数列an 的项an无限地趋近于某个常数
a(即an a 无限地接近于0), 那么就说数
列an 以a为极限, 或者说a是数列an 的
极限.
数列极限的表示方法:
一般地,设an是一个无穷数列, a是一个
常数,如果an以a为极限,则记作 :
x x
x -1 -10 -100 -1000 -10000 -100000 … …
y -1 -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001 … …
6 4
1 fx = x
2
-5 -2 -4 -6
5
10
同样地，当自变量x取负值，并且它 的绝对值无限增大（即x趋向于负无
穷大）时，函数y 1 的值也趋近于0， x
秋天，橘子树结出 了肥实的青色果子， 一串串压弯了树枝， 谁见了谁爱，但这时 吃起来还又酸又涩。
十一月左右，果 实成熟了，绿叶丛 中露出了一盏盏红 色的小灯笼。
它们有的两个一排，有 的三个一束，有的四五 个抱成团……沉甸甸的， 把枝条儿越压越弯。
走近细看，红橘的 皮上还有一个个的 小窝窝呢。
-10
-5
5
-2
1.5 1
0.5
-2
-1
-0.5
-1
-1.5
1
2
请问: 这三道题,当x 时的 极限是否存在.
例2.写出下列函数的极限 :
(1) lim (lg 3)x x
(2) lim [(ln 3)x 1] x
(3) lim 1 x x 2
(4) lim ex x
例3.已知f
(x)
当自变量x取负值并且绝对值无限 增大时，如果函数f (x)无限趋近于一 个常数a, 就说当x趋向于负无穷大时， 函数f (x)的极限是a,记作：lim f (x) a,
x-
也可记作：当x -时，f (x) a.
如果 lim f (x) a,且 lim f (x) a
x
x-
那么就说当x趋向于无穷大时，函
lim
n
an中n只能
取正整数, 其变化方式是离散的, 而
且n 的变化趋势只是n
的情况,因此数列极限
lim
n
an仅是函
数极限 lim f (x)的一种特殊情形. n
(3)注意到在 lim f (x) a, lim f (x) a,
n
n
lim f (x) a中,自变量x趋向于无穷大的
n
方向是不同的,可是函数f (x)相对常数
这就要求我们, 在求这三类函数极限
时, 一定要注意了函数的定义域.
如: f (x) 1 的定义域为x 0,有 3x
lim 1 0,而 lim 1 不存在.
x 3x
x 3x
当然lim 1 也就不存在了. x 3x
数列极限与函数极限是什么关系呢?
(2)上面三类极限中的自变量x是连
续取值的,
而数列极限
剥掉皮，就是鲜嫩的、 金黄色的瓤，掰一瓣放 入嘴里轻轻一咬，满嘴 都是甜甜的汁，使人感 到舒畅极了。
十一月左右，果实成熟了，绿叶 丛中露出了一盏盏红色的小灯笼。 它们有的两个一排，有的三个一束， 有的四五个抱成团……沉甸甸的，把 枝条儿越压越弯。走近细看，红橘的 皮上还有一个个的小窝窝呢。剥掉皮， 就是鲜嫩的、金黄色的瓤，掰一瓣放 入嘴里轻轻一咬，满嘴都是甜甜的汁， 使人感到舒畅极了。
n
一般地,如果 a 1,
那么
lim
n
an
0,
这是一个很重要的结论.
如果数列有通项公式，那么这个
通项表达式就是一个以正整数n为自
变量的函数式。如f (n) 1 就是数列 n
1 n
的函数式，f
(n)
1 2n
就是数列
1 2n
的函数式，求数列的极限，也就是求
这些函数的极限。即：lim f (n) lim 1 0,
于是我们说，当x趋向于负无穷大时，
函数y 1 极限是0。 x
记作：lim 1 0. x x
一般地，当自变量x取正值并且无限 增大时，如果函数f (x)无限趋近于一 个常数a, 就说当x趋向于正无穷大时， 函数f (x)的极限是a,记作：lim f (x) a,
x
也可记作：当x 时，f (x) a.
x
1 2
1
(
x
1 x2
1( x
0) 0)
试讨论f (x)在x 时的极限.
9·家乡的 红橘
风霜考验 明媚 花骨朵竞 相开放 绽放 茉莉 一 瓣一瓣 一簇簇 朴素 又酸 又涩 成熟 沉甸甸 鲜嫩 舒畅
春天来了，经受了风 霜考验的橘子树更加茂 盛。
那四季常青的叶片在明 媚的阳光下闪着绿油油 的光。
6 4
1 fx = x
2
-5 -2 -4 -6
5
10
从表和图象可以看出，当自变量x 取正值并无限增大时（即x趋向于
正无穷大时）函数y 1 的值无限 x
趋近于0，即 y 0 可以变得任意小。
根据 上述变化趋势，我们说当x趋向 于正无穷大时，函数y 1 的极限是0。
x 记作：lim 1 0.
但当你走近，那阵 阵香气扑面而来， 会使你醉倒。
到了四五月，各种花竞相开放， 争奇斗艳，而橘子树却不声不响 地长出米粒大小的花骨朵。花骨 朵绽放开来，形状像茉莉，一瓣 一瓣的，有指甲那么大，小巧、 洁白、清新、朴素，一簇簇藏在 枝叶间，星星点点的，不大起眼。 但当你走近wenku.baidu.com那阵阵香气扑面而 来，会使你醉倒。
n
n n
lim
n
f
(n)
lim
n
1 2n
0等等。
但数列极限中的n只能取 正整数，其变化方式是离散 的，而且变化趋势只是 n 的情况。
1、当x 时，函数f (x)的极限。
我们考察函数y 1 当x无限增大时 x
的变化趋势。为此，我们列出下表， 并画出函数y 1 的图象。
x
x 1 10 100 1000 10000 100000 …… y 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 ……
数f (x)的极限是a,记作：lim f (x) a。 x
也可记作：当x 时，f (x) a.
对常数函数f (x) c（x R)也有
lim f (x) c.
x
须注意的几点:
(1)上面三类函数的极限, 它们的
定义须满足一定条件,也就是 :
X的变化趋势
函数的定义域
x x x
(m,) (, m) (,)
春天来了，经受了风 霜考验的橘子树更加茂 盛，那四季常青的叶片 在明媚的阳光下闪着绿 油油的光。
到了四五月，各种花 竞相开放，争奇斗艳， 而橘子树却不声不响地 长出米粒大小的花骨朵。
花骨朵绽放开来，形状像 茉莉，一瓣一瓣的，有指 甲那么大，小巧、洁白、 清新、朴素，一簇簇藏在 枝叶间，星星点点的，不 大起眼。
我的家乡在 长江边上，那里 有成片的橘园。
家乡的红橘， 真让人喜爱呀！