函数的极限PPT教学课件
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函数极限教学课件
利用函数极限解决实际问题
总结词
利用函数极限解决实际问题是一种实用的方法，通过将实际问题转化为数学模型，利用 函数极限进行分析和求解。
详细描述
在解决实际问题时，我们可以将问题转化为数学模型，然后利用函数极限进行分析和求 解。这种方法可以帮助我们更好地理解问题的本质，并且可以提供更加精确和可靠的解 决方案。例如，在经济学、物理学和社会科学等领域中，可以利用函数极限解决一些实
极限存在准则
04
无穷小与无穷大
学生常见问题解答
问题
如何判断一个函数在某点的极限是否存在？
问题
如何求函数的极限？
解答
可以通过定义法、四则运算法或存在准则来判断 。如果函数在某点的左右极限相等，则该点处的 极限存在；如果函数在某点的左右极限不相等， 则该点处的极限不存在。
解答
可以通过直接代入法、四则运算法、无穷小代换 法、洛必达法则等方法来求函数的极限。具体方 法应根据不同情况进行选择。
lim (x→x₀) f(x) = L 表示当 x 趋近于 x₀ 时，f(x) 趋近于 L。
函数极限的性质
唯一性
一个函数的极限值是唯 一的。
有界性
有界函数的极限值必定 在函数的定义域内。
局部有界性
在某点的邻域内有界， 则该点的极限存在。
局部保号性
在某点的邻域内函数值 的符号保持不变，则该
点的极限存在。
下一步学习建议
01
02
03
04
学习下一章：连续函数 与间断点
掌握连续函数的定义、 性质和判断方法
学习间断点的分类和判 断方法
理解函数在间断点处的 极限和连续性的关系
THANKS
感谢观看
利用函数极限求函数的值
极限的定义PPT课件
1.无穷小量——在其变化过程中能以0为
极限的变量 2.关系定理
性质1．有限个无穷小的和或积为无穷小
性质2．有界变量与无穷小的积仍为无穷小
例: lim xsin 1
x0
x
第19页/共27页
3.无穷小的比较
定义 设 ( x), ( x)都是
同一变化过程中的无穷小 , 且 0
如果
则 : 是的
x x 1
x
π 2
x
第25页/共27页
高数作业 —— 第一章 习题一 P16
2、 4 — （3） 5 — （2）、 （4） 9 — （6）、 （10）、 （13）、 （14） 12 — （4） 15 、 18 — （3）
第26页/共27页
感谢您的观看。
第27页/共27页
1
推论 lim(1 x) x e
x0
第15页/共27页
1．求证 lim sin x 1 x0 x
证明:
SPOA
1 PA OA 2
1 tg x 2
S扇
1 2
OA AB
1 2
x
tg x x , 即 sin x x sin x cos x
cos x
x
故有
1 sin x 1 cos x x
第16页/共27页
(续) 1 sin x 1 cos x x
当x 0 , lim cos x 1 x0
即 1 cos x为无穷小 1 sin x 也是无穷小
x 即 lim sin x 1
x0 x
第 x
x 1
2
lim sin π x lim (1 x) lim sin π x lim (1 x)
其中 (x) 5x , (x) x2
极限的变量 2.关系定理
性质1．有限个无穷小的和或积为无穷小
性质2．有界变量与无穷小的积仍为无穷小
例: lim xsin 1
x0
x
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3.无穷小的比较
定义 设 ( x), ( x)都是
同一变化过程中的无穷小 , 且 0
如果
则 : 是的
x x 1
x
π 2
x
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高数作业 —— 第一章 习题一 P16
2、 4 — （3） 5 — （2）、 （4） 9 — （6）、 （10）、 （13）、 （14） 12 — （4） 15 、 18 — （3）
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1
推论 lim(1 x) x e
x0
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1．求证 lim sin x 1 x0 x
证明:
SPOA
1 PA OA 2
1 tg x 2
S扇
1 2
OA AB
1 2
x
tg x x , 即 sin x x sin x cos x
cos x
x
故有
1 sin x 1 cos x x
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(续) 1 sin x 1 cos x x
当x 0 , lim cos x 1 x0
即 1 cos x为无穷小 1 sin x 也是无穷小
x 即 lim sin x 1
x0 x
第 x
x 1
2
lim sin π x lim (1 x) lim sin π x lim (1 x)
其中 (x) 5x , (x) x2
《极限的运算》课件
重要的作用。
无穷小量的运算包括无穷小量的加法、 减法、乘法和除法。在运算过程中，无 穷小量可以与其他量进行加减乘除运算
，但需要注意运算结果的极限状态。
无穷小量在极限运算中常常用于等价变 换和泰勒展开等技巧，可以帮助我们简
化复杂的极限问题。
极限运算的注意事项
01
02
03
04
在进行极限运算时，需要注意 一些关键的点，以确保结果的
极限存在定理的证明方法
极限存在定理可以通过多种方法证明，如数学归纳法、反证法、直接证明法等 。这些方法都基于实数完备性定理，通过排除不可能的情况来证明极限的存在 。
极限存在定理的应用
函数极限的求解
极限存在定理是求解函数极限的基础 ，通过判断函数在某点的极限是否存 在，可以进一步研究函数的性质和变 化趋势。
极限的性质
极限具有一些重要的性质，如 唯一性、局部有界性、局部保 号性等。
这些性质在研究函数的极限行 为时非常重要，可以帮助我们 推导一些重要的结论和定理。
了解和掌握这些性质对于深入 理解极限的概念和应用极限的 方法具有重要意义。
02
极限的四则运算
极限的四则运算法则
加法法则
如果lim(x→a) f(x) = M1 和 lim(x→a) g(x) = M2，那么 lim(x→a) [f(x) + g(x)] = M1 + M2。
这种定义方式具有高度的严谨性 和精确性，是数学分析中研究函
数的重要基础。
极限的直观理解
极限的直观理解可以描述为函数在某一点附近的变化趋势。
当x逐渐接近这一特定点时，函数值会逐渐接近其极限值，或者保持一定的距离，或 者趋近于无穷。
这种变化趋势可以通过图形或表格进行可视化，帮助我们更好地理解极限的概念。
无穷小量的运算包括无穷小量的加法、 减法、乘法和除法。在运算过程中，无 穷小量可以与其他量进行加减乘除运算
，但需要注意运算结果的极限状态。
无穷小量在极限运算中常常用于等价变 换和泰勒展开等技巧，可以帮助我们简
化复杂的极限问题。
极限运算的注意事项
01
02
03
04
在进行极限运算时，需要注意 一些关键的点，以确保结果的
极限存在定理的证明方法
极限存在定理可以通过多种方法证明，如数学归纳法、反证法、直接证明法等 。这些方法都基于实数完备性定理，通过排除不可能的情况来证明极限的存在 。
极限存在定理的应用
函数极限的求解
极限存在定理是求解函数极限的基础 ，通过判断函数在某点的极限是否存 在，可以进一步研究函数的性质和变 化趋势。
极限的性质
极限具有一些重要的性质，如 唯一性、局部有界性、局部保 号性等。
这些性质在研究函数的极限行 为时非常重要，可以帮助我们 推导一些重要的结论和定理。
了解和掌握这些性质对于深入 理解极限的概念和应用极限的 方法具有重要意义。
02
极限的四则运算
极限的四则运算法则
加法法则
如果lim(x→a) f(x) = M1 和 lim(x→a) g(x) = M2，那么 lim(x→a) [f(x) + g(x)] = M1 + M2。
这种定义方式具有高度的严谨性 和精确性，是数学分析中研究函
数的重要基础。
极限的直观理解
极限的直观理解可以描述为函数在某一点附近的变化趋势。
当x逐渐接近这一特定点时，函数值会逐渐接近其极限值，或者保持一定的距离，或 者趋近于无穷。
这种变化趋势可以通过图形或表格进行可视化，帮助我们更好地理解极限的概念。
函数的极限【高等数学PPT课件】
A(或f
( x0
0)
A)
右极限: 定理1
lim
xx0
f (x)
A(或f (x0
0)
A)
lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A
xx0
xx0
xx0
x sin x, x 0
例1
试问函数f ( x)
10, x 0
(c) Sketch the graph of F.
例2 lim sin x不存在 x
lim sin 1 不存在.
x0
x
y sin 1 x
思考与练习
1. 若极限 lim f ( x) 存在, 是否一定有
x x0
lim f ( x) f ( x0 ) ？
x x0
2. 设函数 f ( x) a x2, x 1 且 2x 1, x 1
lim f ( x)
x1
存在, 则 a 3 .
3.Let F (x) x 2 1 .
x 1
(a) Find (i) lim F (x) x 2 1 .
x1
x 1
(ii) lim x1
F(x)
x2 1 .
x 1
(b) Does lim F(x). exist?
x1
lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) 不存在.
x0
x0
x0
二、函数极限的性质
1.惟一性
定理1 (极限的惟一性) 如果函数极限
存在，则极限值惟一.
2.有界性
定理2 (局部有界性)
如果极限 lim f (x) xx0
大学数学函数的极限-PPT
注
1）0 x x0 表示 x x0 , x x0 时 f ( x) 有无极限 与
f ( x0 ) 有无定义没有关系.
2） 任意给定后，才能找到 ， 依赖于 ，且 ( ) 越小， 越小.
3） 不唯一，也不必找最大的，只要存在即可.
函数极限的几何解释
y
O x
如果函数f(x)当x→x0时极限为A,以任意给定一正数ε,作两条 平 行 于 x 轴 的 直 线 y=A+ε 和 y=A-ε, 存 在 点 x0 的 δ 邻 域 (x0-δ, x0+δ),当x在邻域(x0-δ, x0+δ)内,但x≠x0时,曲线y=f(x)上的点 (x,f(x))都落在两条平行线之间。
观察函数 y=1/x 的图像
y y=1/x
o
x
再考察函数 y = ln x
y y=lnx
o
x
无穷小和无穷大的关系
在同一极限过程中，无穷小与无穷大之间是通过取倒数互相转化。 即在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则
1 f ( x) 为无穷小；反之，如果f (x)为无穷小，且 f ( x) 0 则 1 为无穷大
x
x
x
若lim f ( x)或lim f ( x)不存在,则 lim f ( x)不存在.
x
x
x
若 lim f ( x) lim f ( x) , 则lim f ( x) 不存在.
x
x
x
几何意义
如果函数f(x)当x→∞时极限为A，以 任意给定一正数ε,作两条平行于x轴 的 直 线 y=A-ε 和 y=A+ε, 则 总 存 在 一 个正数X，使得当x<－X或x>X时， 函 数 y=f(x) 的 图 形 位 于 这 两 条 直 线 之间.
函数的极限.ppt
例2.1.8．lim n
1 n2
0
例2.1.9．lim 2 n
1 n2
2
§2. 2
2.2 无穷小量与无穷大量
函数(包括数列)的变化趋势，有两种重要情况，一是趋于0，趋 于0 的量叫无穷小量；一是趋于，趋于 的量叫无穷大量。对无 穷小量和无穷大量的分析，将给极限的计算带来方便。
2.2.1 无穷小量
解： lim f (x) lim 2x2 2 10
x2
x2
例2.1.2． f (x) sin x , 求 lim f (x)。 x0
解：lim f (x) lim sin x 0
x0
x0
§2. 1
例2.1.2．f (x) c , 求 lim f (x) 。 x2
解： lim f (x) lim c c ,见图2.1-2。
=0
证毕
§2. 3
在使用极限的四则运算法则时，应注意其使用的条件，那就是
lim f (x) , lim g(x) 都存在，以及商的极限中，lim g(x) 0 。忽视
无穷小量的倒数，是无穷大量。
定理 2.2.3：
lim f (x) A lim f (x) A 0
xx0
xx0
符号“”读作“当且仅当”。
于是，若 lim f (x) A, 则
x x0
f (x) = A +
其中， = f (x) –A(当x x0时)为无穷小量。
利用这一性质分析极限，有些情况下是很方便的。
定义 2.1.3 若随着 | x | 无限变大，f (x)无限趋 于常数A，见图2.1-6。 则称当时，f (x)的极限是A，记为
当，f (x)A 或 lim f (x) A
函数的极限函数的连续性PPT教学课件
一暴（ pu） 十寒：
比喻做事不坚持，无 恒心
拒人千里:
形容对人态度傲慢
鲁国打算让乐正子治理国政。 孟子说：“听到这消息，我喜欢得睡不着觉。” 孟子的学生公孙丑问：“乐正子很有能力吗？有智慧 有远见吗？见闻广博吗？” 孟子说：“不是。” 公孙丑问：“那您为什么喜欢得睡不着呢？” 孟子回答说：“因为他能听取别人的意见。能听取别 人的意见就足以治理天下，四面八方的人会不远千里 赶来提意见；听不進别人的意见，说：‘喔喔，你说 的我早就知道了！’‘喔喔’的声音和脸色就会把别 人拒绝在千里之外。有志之士在千里之外停滞不前， 而那些阿谀奉承的人就会到来，想治理好国家，能办 得到吗？”
xx0
lim C C
x x0
lim
x x0
x
x0
lim f (x) a lim f (x) lim f (x) a
xx0
xx0
xx0
其趋中近于xlxim0x时0 f的(x左) 极 a限表，示当x从左侧
于xxl0im时x0 的f (右x)极 a限表示当x从右侧趋近
对于函数极限有如下的运算法则：
C.自己不喜欢做的事更 不应强加于人 D.准备充分才能做事完美 E.对人要守诚信 F.为人要光明磊落
G.要管好别人首先要 管好自己
H.兴趣是学习最好 的推动力
孟子名言
1.恻隐之心， 人皆有之 2.生于忧患，死于安乐 3.尽 信 书 不 如 无 书 4.不以规矩，不成方圆 5.仁者无敌 6.君子不怨天，不尤人 7.爱人者，人恒爱之； 敬人者，人恒敬之
室.他为何要在我家弹瑟啊? "
登堂入室:
表示学业已达一定程度 或是已得到老师专授指点
有人指责孟子不尽力帮助齐王。孟子便解 释说：“比如说，天下有些易活的植物， 假如把它放在太阳下晒一天，然后再把它 放在阴冷的地方冻十天，即使是生命力再 强的植物也会死。我见到齐王的机会少之 又少，即使给了他些良好的影响与帮助， 我一离开，一些和我主张不同的人，又带 给他许多不好影响。我怎么能使齐王的思 想、品质好起来呢？”
比喻做事不坚持，无 恒心
拒人千里:
形容对人态度傲慢
鲁国打算让乐正子治理国政。 孟子说：“听到这消息，我喜欢得睡不着觉。” 孟子的学生公孙丑问：“乐正子很有能力吗？有智慧 有远见吗？见闻广博吗？” 孟子说：“不是。” 公孙丑问：“那您为什么喜欢得睡不着呢？” 孟子回答说：“因为他能听取别人的意见。能听取别 人的意见就足以治理天下，四面八方的人会不远千里 赶来提意见；听不進别人的意见，说：‘喔喔，你说 的我早就知道了！’‘喔喔’的声音和脸色就会把别 人拒绝在千里之外。有志之士在千里之外停滞不前， 而那些阿谀奉承的人就会到来，想治理好国家，能办 得到吗？”
xx0
lim C C
x x0
lim
x x0
x
x0
lim f (x) a lim f (x) lim f (x) a
xx0
xx0
xx0
其趋中近于xlxim0x时0 f的(x左) 极 a限表，示当x从左侧
于xxl0im时x0 的f (右x)极 a限表示当x从右侧趋近
对于函数极限有如下的运算法则：
C.自己不喜欢做的事更 不应强加于人 D.准备充分才能做事完美 E.对人要守诚信 F.为人要光明磊落
G.要管好别人首先要 管好自己
H.兴趣是学习最好 的推动力
孟子名言
1.恻隐之心， 人皆有之 2.生于忧患，死于安乐 3.尽 信 书 不 如 无 书 4.不以规矩，不成方圆 5.仁者无敌 6.君子不怨天，不尤人 7.爱人者，人恒爱之； 敬人者，人恒敬之
室.他为何要在我家弹瑟啊? "
登堂入室:
表示学业已达一定程度 或是已得到老师专授指点
有人指责孟子不尽力帮助齐王。孟子便解 释说：“比如说，天下有些易活的植物， 假如把它放在太阳下晒一天，然后再把它 放在阴冷的地方冻十天，即使是生命力再 强的植物也会死。我见到齐王的机会少之 又少，即使给了他些良好的影响与帮助， 我一离开，一些和我主张不同的人，又带 给他许多不好影响。我怎么能使齐王的思 想、品质好起来呢？”
高等数学函数的极限课程课件
则称当x x0时,函数f ( x)以a为极限,记作
lim f ( x) a 或
x x0
f (x) a(x x0 )
此时, 亦称当 x x0 时 f ( x) 存在极限
(或收 敛且收 敛 于 a ).
注 1 : 定义中的“0 | x x0 | ”表明: 当 x x0 时, f ( x) 有无极限以及极限值为多少均与 f ( x) 在 x0 有无定义无关.
xk
1
但 lim f ( x)不 存 在
2
xk
函数极限与数列极限的联系（某个桥梁）：
定理3.1(Heine定理)
设f
: N ( x0 )
R为一函数,则 lim x x0
f (x)
a的
充要条件为对于N ( x0 )中的任何数列xn,
只要xn x0 (n ),
相应的函数值数列f ( xn )都收敛于a.
例3.2 问limarctanx是否存在？ x
解 因为 lim arctan x ,
x
2
lim arctan x ,
x
2
lim arctan x lim arctan x,
x ＋
x
所以 limarctanx不存在.
x
y arctanx图象如图：
y
2
y arctan x
o
x
2
2. x x0时f ( x)的极限
都有 | f ( x) | L.
证明 设 lim f ( x) a, x x0 对 1, 0, 当0 x x0 时,
有 | f ( x) a | 1
所以当x ( x0 , x0 ) ( x0, x0 ) 时,
有a 1 f ( x) a 1
函数的极限(左右极限)ppt课件
记作： lim f (x) a x
◆定义(2):
一般地,当自变量x取负值并且绝对值无限增大时, 函数f(x)的值无限趋近于一个常数a,就说当x趋 向于负无穷大时,函数f(x)的极限是a,
记作： lim f (x) a
x
3
◆定义(3)
如果 lim f (x) a且 lim f (x) a
限是4．记作：limx 2 4 x 2 强调：x→2，包括分别从左、右两侧趋近于2．
即: “x→2”是指以任何方式无限趋近于2，(分别从
左、右两侧或左、右两侧交替地无限趋近于2)．7
2. 考察函数 y x 2 1 （x≠1），当x无限趋近于1（但 x 1
不等于1）时，函数的变化趋势
（1）图象 y=x+1 (x∈R,x≠1)
y 4 1.75 0.39 0.04 0.004 0.0004 0.00004 ……
x
2.5 2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001 ……
y=x2 6.25 4.41 4.04 4.004 4.0004 4.00004 ……
y 4 2.25 0.41 0.04 0.004 0.0004 0.00004 ……
函数在一点处的极限与左、右极限的定义 10
函数在一点处的极限与左、右极限
1．当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时，如
果函数f(x)无限趋近于一个常数a，就说当x趋近于x0时，
函 数 f(x) 的 极 限 是 a ， 记 作 f(x)→a。
lim f( x) a 或 当 x→x0 时
x x 0
（2）lim f(x) 是x从x0的两侧无限趋近于x0,是双侧极限，
xx0
高数课件-函数的极限
对任意给定的正数 ε（不论 ε 多么小），作两条水平直 线 y=A-ε，y=A+ε,则总存在一个正数 X，使得在区间 （-∞，-X）与(X，+∞)内，函数 f(x)的图形介于这两 条水平直线之间（见图）。
25-15
注 2：X 的相应性 一般说，X 是随着ε的变小而变大的， 可写成 X= X(ε)，但是这种写法并不意味着 X 是由ε唯一确
例 2.2.4 证明 lim ax 0 ，其中常数a 1 . x
证 对于任意给定的正数 (0 1) ，要使得 ax 0 ax ,
只须 x lg a lg ，即 x lg ，故取 X lg 0 ，当 x X 时，
lg a
lg a
恒有
ax 0
成立，所以 lim ax 0 . x
lim
x x0
sin
x
sin
x0
.
25-27
注
在利用定义来验证函数极限时，也可考虑对 |f(x) －A|进行放大，放大的原则与数列时的情形完全相同。此外还须注意
x=x 此时是在
0的附近考察问题的，对于“附近”应如何理解，请揣摩一
下。
单侧极限：
自变量 x 是指 x 无限增大.
如果只考察 x 0 ， x 无限增大，就称 x 趋向正无穷大，
f
(x) .
25-30
极限自变量x的li某m变化过程 f (x) A 的整体刻画：
如果对于任意给定的正数 ε，当自变量 x 变化到一定的程 度时，恒有
| f (x) A |
成立，则有
lim
自变量x的某变化过程
f
(x)
A。
25-31
lim f (x) A
x
0,X 0,使当x X时，恒有 f (x) A lim f (x) A
25-15
注 2：X 的相应性 一般说，X 是随着ε的变小而变大的， 可写成 X= X(ε)，但是这种写法并不意味着 X 是由ε唯一确
例 2.2.4 证明 lim ax 0 ，其中常数a 1 . x
证 对于任意给定的正数 (0 1) ，要使得 ax 0 ax ,
只须 x lg a lg ，即 x lg ，故取 X lg 0 ，当 x X 时，
lg a
lg a
恒有
ax 0
成立，所以 lim ax 0 . x
lim
x x0
sin
x
sin
x0
.
25-27
注
在利用定义来验证函数极限时，也可考虑对 |f(x) －A|进行放大，放大的原则与数列时的情形完全相同。此外还须注意
x=x 此时是在
0的附近考察问题的，对于“附近”应如何理解，请揣摩一
下。
单侧极限：
自变量 x 是指 x 无限增大.
如果只考察 x 0 ， x 无限增大，就称 x 趋向正无穷大，
f
(x) .
25-30
极限自变量x的li某m变化过程 f (x) A 的整体刻画：
如果对于任意给定的正数 ε，当自变量 x 变化到一定的程 度时，恒有
| f (x) A |
成立，则有
lim
自变量x的某变化过程
f
(x)
A。
25-31
lim f (x) A
x
0,X 0,使当x X时，恒有 f (x) A lim f (x) A
函数的极限PPT幻灯片PPT
lnim xn a, 或xn a (n ).
如果数列没有极限,就称数列是发散的.
注意：1 .不等 x na 式 刻x 划 n 与 a 的 了无 ; 限 2.N与任意给定的 有正 关 . 数
几何解释:
a 2 a x 2 x 1 xN1 a xN2 x 3 x
当 nN 时 ,所有 xn都 的落 (a 点 ,在 a)内 ,
只有(至 有多 限 N 个 只 )个 落有 在 . 其外
N定义 : ln i x m na
0 , N 0 ,使 n N 时 ,恒 x n有 a.
其中 :每一个或任给; 的:至少有一个或.存在
一般我们用定义来证明数列的极限 P14 例1-----2
注意：数列极限的定义未给出求极限的方法. 一般而言，求极限是相当困难的。
f(x )A 表f(示 x )A 任;意小
0xx 0 表 x 示 x 0 的.过程
x0 体x接 现x0 近 程.度
定义 2 如果对于任意给定的正数 (不论它多
么小),总存在正数 ,使得对于适合不等式
0 x x0 的一切 x ,对应的函数值f (x) 都 满足不等式 f (x) A ,那末常数A 就叫函数
函数的极限PPT幻灯片PPT
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一、 数列的极限
（一）、 数列极限的定义 （二）、 收敛数列的性质
（一）、数列极限的定义
1、由割圆术引入： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于 不可割，则与圆周合体而无所失矣”
——刘徽(公元3世纪)
正六边形的面积 A 1
对于我们而言,目前用观察法找出极限 P40 EX16
说明:常数列的极限等于同一常数.
（二）、收敛数列的性质
如果数列没有极限,就称数列是发散的.
注意：1 .不等 x na 式 刻x 划 n 与 a 的 了无 ; 限 2.N与任意给定的 有正 关 . 数
几何解释:
a 2 a x 2 x 1 xN1 a xN2 x 3 x
当 nN 时 ,所有 xn都 的落 (a 点 ,在 a)内 ,
只有(至 有多 限 N 个 只 )个 落有 在 . 其外
N定义 : ln i x m na
0 , N 0 ,使 n N 时 ,恒 x n有 a.
其中 :每一个或任给; 的:至少有一个或.存在
一般我们用定义来证明数列的极限 P14 例1-----2
注意：数列极限的定义未给出求极限的方法. 一般而言，求极限是相当困难的。
f(x )A 表f(示 x )A 任;意小
0xx 0 表 x 示 x 0 的.过程
x0 体x接 现x0 近 程.度
定义 2 如果对于任意给定的正数 (不论它多
么小),总存在正数 ,使得对于适合不等式
0 x x0 的一切 x ,对应的函数值f (x) 都 满足不等式 f (x) A ,那末常数A 就叫函数
函数的极限PPT幻灯片PPT
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一、 数列的极限
（一）、 数列极限的定义 （二）、 收敛数列的性质
（一）、数列极限的定义
1、由割圆术引入： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于 不可割，则与圆周合体而无所失矣”
——刘徽(公元3世纪)
正六边形的面积 A 1
对于我们而言,目前用观察法找出极限 P40 EX16
说明:常数列的极限等于同一常数.
（二）、收敛数列的性质
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
lim
n
an中n只能
取正整数, 其变化方式是离散的, 而
且n 的变化趋势只是n
的情况,因此数列极限
lim
n
an仅是函
数极限 lim f (x)的一种特殊情形. n
(3)注意到在 lim f (x) a, lim f (x) a,
n
n
lim f (x) a中,自变量x趋向于无穷大的
n
方向是不同的,可是函数f (x)相对常数
lim
n
an
a, 这个式子读作"当n趋向于无穷
大时, an的极限等于a".符号""表示
"趋向于","n "表示"n趋向于无穷大"
就是n无限增大的意思.
lim
n
an
a也可读作
"lim itan当n趋向于无穷
大时等于a".
lim
n
an
a有时也可记作
当n 时, an a.
一般地，任何一个常数数 列的极限都是这个常数本 身，即： lim C C(C是常数）
但当你走近，那阵 阵香气扑面而来， 会使你醉倒。
到了四五月，各种花竞相开放， 争奇斗艳，而橘子树却不声不响 地长出米粒大小的花骨朵。花骨 朵绽放开来，形状像茉莉，一瓣 一瓣的，有指甲那么大，小巧、 洁白、清新、朴素，一簇簇藏在 枝叶间，星星点点的，不大起眼。 但当你走近，那阵阵香气扑面而 来，会使你醉倒。
x
1 2
1
(
x
1 x2
1( x
0) 0)
试讨论f (x)在x 时的极限.
9·家乡的 红橘
风霜考验 明媚 花骨朵竞 相开放 绽放 茉莉 一 瓣一瓣 一簇簇 朴素 又酸 又涩 成熟 沉甸甸 鲜嫩 舒畅
春天来了，经受了风 霜考验的橘子树更加茂 盛。
那四季常青的叶片在明 媚的阳光下闪着绿油油 的光。
于是我们说，当x趋向于负无穷大时，
函数y 1 极限是0。 x
记作：lim 1 0. x x
一般地，当自变量x取正值并且无限 增大时，如果函数f (x)无限趋近于一 个常数a, 就说当x趋向于正无穷大时， 函数f (x)的极限是a,记作：lim f (x) a,
x
也可记作：当x 时，f (x) a.
数f (x)的极限是a,记作：lim f (x) a。 x
也可记作：当x 时，f (x) a.
对常数函数f (x) c（x R)也有
lim f (x) c.
x
须注意的几点:
(1)上面三类函数的极限, 它们的
定义须满足一定条件,也就是 :
X的变化趋势
函数的定义域
x x x
(m,) (, m) (,)
n
一般地,如果 a 1,
那么
lim
n
an
0,
这是一个很重要的结论.
如果数列有通项公式，那么这个
通项表达式就是一个以正整数n为自
变量的函数式。如f (n) 1 就是数列 n
1 n
的函数式，f
(n)
1 2n
就是数列
1 2n
的函数式，求数列的极限，也就是求
这些函数的极限。即：lim f (n) lim 1 0,
x x
x -1 -10 -100 -1000 -10000 -100000 … …
y -1 -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001 … …
6 4
1 fx = x
2
-5 -2 -4 -6
5
10
同样地，当自变量x取负值，并且它 的绝对值无限增大（即x趋向于负无
穷大）时，函数y 1 的值也趋近于0， x
6 4
1 fx = x
2
-5 -2 -4 -6
5
10
从表和图象可以看出，当自变量x 取正值并无限增大时（即x趋向于
正无穷大时）函数y 1 的值无限 x
趋近于0，即 y 0 可以变得任意小。
根据 上述变化趋势，我们说当x趋向 于正无穷大时，函数y 1 的极限是0。
x 记作：lim 1 0.
当自变量x取负值并且绝对值无限 增大时，如果函数f (x)无限趋近于一 个常数a, 就说当x趋向于负无穷大时， 函数f (x)的极限是a,记作：lim f (x) a,
x-
也可记作：当x -时，f (x) a.
如果 lim f (x) a,且 lim f (x) a
x
x-
那么就说当x趋向于无穷大时，函
我的家乡在 长江边上，那里 有成片的橘园。
家乡的红橘， 真让人喜爱呀！
2.3 函数的极限（1）
请大家考虑： 什么叫数列的极限？
一般地, 如果当项数n无限增大时, 无穷
数列an 的项an无限地趋近于某个常数
a(即an a 无限地接近于0), 那么就说数
列an 以a为极限, 或者说a是数列an 的
极限.
数列极限的表示方法:
一般地,设an是一个无穷数列, a是一个
常数,如果an以a为极限,则记作 :
春天来了，经受了风 霜考验的橘子树更加茂 盛，那四季常青的叶片 在明媚的阳光下闪着绿 油油的光。
到了四五月，各种花 竞相开放，争奇斗艳， 而橘子树却不声不响地 长出米粒大小的花骨朵。
花骨朵绽放开来，形状像 茉莉，一瓣一瓣的，有指 甲那么大，小巧、洁白、 清新、朴素，一簇簇藏在 枝叶间，星星点点的，不 大起眼。
这就要求我们, 在求这三类函数极限
时, 一定要注意了函数的定义域.
如: f (x) 1 的定义域为x 0,有 3x
lim 1 0,而 lim 1 不存在.
x 3x
x 3x
当然lim 1 也就不存在了. x 3x
数列极限与函数极限是什么关系呢?
(2)上面三类极限中的自变量x是连
续取值的,
而数列极限
a, 却都是无限趋近的, 这是它们的共同
之处.
例1.分别就自变量x趋向于 和
的情况,讨论下列函数的变化趋势 :
(1) y (1 )x 2
(2) y 2x
1(x 0时)
(3)
f
(x)
0( x
0时)
1(x 0时)
10
8
6
1x
4
fx = 2
2
-5 -2
5
10
10
8
6
gx = 2x
4
2
秋天，橘子树结出 了肥实的青色果子， 一串串压弯了树枝， 谁见了谁爱，但这时 吃起来还又酸又涩。
十一月左右，果 实成熟了，绿叶丛 中露出了一盏盏红 色的小灯笼。
它们有的两个一排，有 的三个一束，有的四五 个抱成团……沉甸甸的， 把枝条儿越压越弯。
走近细看，红橘的 皮上还有一个个的 小窝窝呢。
n
n n
lim
n
f
(n)
lim
n
1 2n
0等等。
但数列极限中的n只能取 正整数，其变化方式是离散 的，而且变化趋势只是 n 的情况。
1、当x 时，函数f (x)的极限。
我们考察函数y 1 当x无限增大时 x
的变化趋势。为此，我们列出下表， 并画出函数y 1 的图象。
x
x 1 10 100 1000 10000 100000 …… y 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 ……
-10
-5
5
-2
1.5 1
0.5
-2
-1
-0.5
-1
-1.5
1
2
请问: 这三道题,当x 时的 极限是否存在.
例2.写出下列函数的极限 :
(1) lim (lg 3)x x
(2) lim [(ln 3)x 1] x
(3) lim 1 x x 2
(4) lim ex x
例3.已知f
(x)
剥掉皮，就是鲜嫩的、 金黄色的瓤，掰一瓣放 入嘴里轻轻一咬，满嘴 都是甜甜的汁，使人感 到舒畅极了。
十一月左右，果实成熟了，绿叶 丛中露出了一盏盏红色的小灯笼。 它们有的两个一排，有的三个一束， 有的四五个抱成团……沉甸甸的，把 枝条儿越压越弯。走近细看，红橘的 皮上还有一个个的小窝窝呢。剥掉皮， 就是鲜嫩的、金黄色的瓤，掰一瓣放 入嘴里轻轻一咬，满嘴都是甜甜的汁， 使人感到舒畅极了。
lim
n
an中n只能
取正整数, 其变化方式是离散的, 而
且n 的变化趋势只是n
的情况,因此数列极限
lim
n
an仅是函
数极限 lim f (x)的一种特殊情形. n
(3)注意到在 lim f (x) a, lim f (x) a,
n
n
lim f (x) a中,自变量x趋向于无穷大的
n
方向是不同的,可是函数f (x)相对常数
lim
n
an
a, 这个式子读作"当n趋向于无穷
大时, an的极限等于a".符号""表示
"趋向于","n "表示"n趋向于无穷大"
就是n无限增大的意思.
lim
n
an
a也可读作
"lim itan当n趋向于无穷
大时等于a".
lim
n
an
a有时也可记作
当n 时, an a.
一般地，任何一个常数数 列的极限都是这个常数本 身，即： lim C C(C是常数）
但当你走近，那阵 阵香气扑面而来， 会使你醉倒。
到了四五月，各种花竞相开放， 争奇斗艳，而橘子树却不声不响 地长出米粒大小的花骨朵。花骨 朵绽放开来，形状像茉莉，一瓣 一瓣的，有指甲那么大，小巧、 洁白、清新、朴素，一簇簇藏在 枝叶间，星星点点的，不大起眼。 但当你走近，那阵阵香气扑面而 来，会使你醉倒。
x
1 2
1
(
x
1 x2
1( x
0) 0)
试讨论f (x)在x 时的极限.
9·家乡的 红橘
风霜考验 明媚 花骨朵竞 相开放 绽放 茉莉 一 瓣一瓣 一簇簇 朴素 又酸 又涩 成熟 沉甸甸 鲜嫩 舒畅
春天来了，经受了风 霜考验的橘子树更加茂 盛。
那四季常青的叶片在明 媚的阳光下闪着绿油油 的光。
于是我们说，当x趋向于负无穷大时，
函数y 1 极限是0。 x
记作：lim 1 0. x x
一般地，当自变量x取正值并且无限 增大时，如果函数f (x)无限趋近于一 个常数a, 就说当x趋向于正无穷大时， 函数f (x)的极限是a,记作：lim f (x) a,
x
也可记作：当x 时，f (x) a.
数f (x)的极限是a,记作：lim f (x) a。 x
也可记作：当x 时，f (x) a.
对常数函数f (x) c（x R)也有
lim f (x) c.
x
须注意的几点:
(1)上面三类函数的极限, 它们的
定义须满足一定条件,也就是 :
X的变化趋势
函数的定义域
x x x
(m,) (, m) (,)
n
一般地,如果 a 1,
那么
lim
n
an
0,
这是一个很重要的结论.
如果数列有通项公式，那么这个
通项表达式就是一个以正整数n为自
变量的函数式。如f (n) 1 就是数列 n
1 n
的函数式，f
(n)
1 2n
就是数列
1 2n
的函数式，求数列的极限，也就是求
这些函数的极限。即：lim f (n) lim 1 0,
x x
x -1 -10 -100 -1000 -10000 -100000 … …
y -1 -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001 … …
6 4
1 fx = x
2
-5 -2 -4 -6
5
10
同样地，当自变量x取负值，并且它 的绝对值无限增大（即x趋向于负无
穷大）时，函数y 1 的值也趋近于0， x
6 4
1 fx = x
2
-5 -2 -4 -6
5
10
从表和图象可以看出，当自变量x 取正值并无限增大时（即x趋向于
正无穷大时）函数y 1 的值无限 x
趋近于0，即 y 0 可以变得任意小。
根据 上述变化趋势，我们说当x趋向 于正无穷大时，函数y 1 的极限是0。
x 记作：lim 1 0.
当自变量x取负值并且绝对值无限 增大时，如果函数f (x)无限趋近于一 个常数a, 就说当x趋向于负无穷大时， 函数f (x)的极限是a,记作：lim f (x) a,
x-
也可记作：当x -时，f (x) a.
如果 lim f (x) a,且 lim f (x) a
x
x-
那么就说当x趋向于无穷大时，函
我的家乡在 长江边上，那里 有成片的橘园。
家乡的红橘， 真让人喜爱呀！
2.3 函数的极限（1）
请大家考虑： 什么叫数列的极限？
一般地, 如果当项数n无限增大时, 无穷
数列an 的项an无限地趋近于某个常数
a(即an a 无限地接近于0), 那么就说数
列an 以a为极限, 或者说a是数列an 的
极限.
数列极限的表示方法:
一般地,设an是一个无穷数列, a是一个
常数,如果an以a为极限,则记作 :
春天来了，经受了风 霜考验的橘子树更加茂 盛，那四季常青的叶片 在明媚的阳光下闪着绿 油油的光。
到了四五月，各种花 竞相开放，争奇斗艳， 而橘子树却不声不响地 长出米粒大小的花骨朵。
花骨朵绽放开来，形状像 茉莉，一瓣一瓣的，有指 甲那么大，小巧、洁白、 清新、朴素，一簇簇藏在 枝叶间，星星点点的，不 大起眼。
这就要求我们, 在求这三类函数极限
时, 一定要注意了函数的定义域.
如: f (x) 1 的定义域为x 0,有 3x
lim 1 0,而 lim 1 不存在.
x 3x
x 3x
当然lim 1 也就不存在了. x 3x
数列极限与函数极限是什么关系呢?
(2)上面三类极限中的自变量x是连
续取值的,
而数列极限
a, 却都是无限趋近的, 这是它们的共同
之处.
例1.分别就自变量x趋向于 和
的情况,讨论下列函数的变化趋势 :
(1) y (1 )x 2
(2) y 2x
1(x 0时)
(3)
f
(x)
0( x
0时)
1(x 0时)
10
8
6
1x
4
fx = 2
2
-5 -2
5
10
10
8
6
gx = 2x
4
2
秋天，橘子树结出 了肥实的青色果子， 一串串压弯了树枝， 谁见了谁爱，但这时 吃起来还又酸又涩。
十一月左右，果 实成熟了，绿叶丛 中露出了一盏盏红 色的小灯笼。
它们有的两个一排，有 的三个一束，有的四五 个抱成团……沉甸甸的， 把枝条儿越压越弯。
走近细看，红橘的 皮上还有一个个的 小窝窝呢。
n
n n
lim
n
f
(n)
lim
n
1 2n
0等等。
但数列极限中的n只能取 正整数，其变化方式是离散 的，而且变化趋势只是 n 的情况。
1、当x 时，函数f (x)的极限。
我们考察函数y 1 当x无限增大时 x
的变化趋势。为此，我们列出下表， 并画出函数y 1 的图象。
x
x 1 10 100 1000 10000 100000 …… y 1 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 ……
-10
-5
5
-2
1.5 1
0.5
-2
-1
-0.5
-1
-1.5
1
2
请问: 这三道题,当x 时的 极限是否存在.
例2.写出下列函数的极限 :
(1) lim (lg 3)x x
(2) lim [(ln 3)x 1] x
(3) lim 1 x x 2
(4) lim ex x
例3.已知f
(x)
剥掉皮，就是鲜嫩的、 金黄色的瓤，掰一瓣放 入嘴里轻轻一咬，满嘴 都是甜甜的汁，使人感 到舒畅极了。
十一月左右，果实成熟了，绿叶 丛中露出了一盏盏红色的小灯笼。 它们有的两个一排，有的三个一束， 有的四五个抱成团……沉甸甸的，把 枝条儿越压越弯。走近细看，红橘的 皮上还有一个个的小窝窝呢。剥掉皮， 就是鲜嫩的、金黄色的瓤，掰一瓣放 入嘴里轻轻一咬，满嘴都是甜甜的汁， 使人感到舒畅极了。