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吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题(解析版)

吉林省长春市东北师范大学附属中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题(解析版)

2023-2024学年东北师大附中初中部初一年级数学学科试卷第二学期期中考试考试时长:120分钟试卷分值:120分一、选择题(共8小题,每题3分,共24分)1. 如图,下列四种通信标志中,其图案是轴对称图形的是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别,根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可:如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就叫做对称轴.【详解】解:A 、不是轴对称图形,故此选项不符合题意;B 、不是轴对称图形,故此选项不符合题意;C 、是轴对称图形,故此选项符合题意;D 、不是轴对称图形,故此选项不符合题意;故选:C .2. 已知,下列不等式成立的是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查了不等式的基本性质,易错在不等式的基本性质3,不等式两边同时乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变.不等式性质:基本性质1.不等式两边同时加上或减去同一个整式,不等号的方向不变.基本性质2.不等式两边同时乘以或除以同一个正数,不等号的方向不变.基本性质3.不等式两边同时乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变.根据性质逐一分析即可.【详解】解:A .∵,∴,故不符合题意;B . ∵,∴,a b >a b->-22a b -<-22a b <0a b -<a b >a b -<-a b >a b -<-∴,故符合题意;C .∵,∴,故不符合题意;D . ∵,∴,故不符合题意.故选:B .3. 一副三角板,按如图所示叠放在一起,则图中的度数为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了与三角板有关的运算以及三角形内角和性质,先得出,再运用三角形内角和进行列式,计算即可作答.【详解】解:如图所示:由题意得出,∴,∵,∴,故选:C .4. 下列多边形材料中,不能单独用来铺满地面的是( )A. 三角形B. 四边形C. 正五边形D. 正六边形【答案】C【解析】【分析】一个多边形的镶嵌应该符合其内角度数可以整除360°【详解】A 、三角形内角和为180°,能整除360°,能密铺,故此选项不合题意;22a b -<-a b >22a b >a b >0a b ->α∠60︒65︒75︒85︒115ABD ABC ∠=∠-∠=︒6045ABD ABC ∠=︒∠=︒,1604515ABD ABC ∠=∠-∠=︒-︒=︒90D Ð=°180901575α∠=︒-︒-︒=︒B 、四边形内角和为360°,能整除360°,能密铺,故此选项不合题意;C 、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°,不能整除360°,不能密铺,故此选项合题意;D 、正六边形每个内角为180°﹣360°÷6=120°,能整除360°,能密铺,故此选项不合题意;故选C .【点睛】本题主要考查图形的镶嵌问题,重点是掌握多边形镶嵌的原理.5. 已知是关于x ,y 的方程,x +ky =3的一个解,则k 的值为( )A. -1B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】把x 与y 的值代入方程计算即可求出k 的值.【详解】解:∵是关于x 、y 的方程x +ky =3的一个解,∴把代入到原方程,得1+2k =3,解得k =1,故选:B .【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解的定义,解一元一次方程,熟知方程的解是使方程两边相等的未知数的值是解题的关键.6. 一个三角形两边的长分别是3和5,则这个三角形第三边的长可能是( )A. 1B. C. 2 D. 4【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了三角形的三边关系,即任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.先根据三角形的三边关系求出x 的取值范围,再求出符合条件的x 的值即可.【详解】解:设三角形第三边的长为x ,则,即,只有选项D 符合题意.故选D .7. 不等式的解集在数轴上表示正确的是( )12x y =⎧⎨=⎩12x y =⎧⎨=⎩12x y =⎧⎨=⎩1.55353x -<<+28x <<53x -≥A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式,利用数轴表示不等式的解集.先求出不等式的解集,再在数轴上表示出来不等式的解集即可,注意大于小于用空心,大于等于小于等于用实心,大于大于等于开口向右,小于小于等于开口向左.【详解】解:,,数轴上表示:,故选:A .8. 某学校为学生配备物理电学实验器材,一个电表包内装有1个电压表和2个电流表.某生产线共60名工人,每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表.若分配名工人生产电压表,名工人生产电流表,恰好使每天生产的电压、电流表配成套,则可列出方程组( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,解决本题的关键是得到电压表数量和电流表数量的等量关系.【详解】解:若分配名工人生产电压表,名工人生产电流表,由题意,得.故选:D .二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)9. 已知二元一次方程,用含x 的代数式表示y ,则______.为53x -≥∴2x ≤x y 6022014x y y x+=⎧⎨⨯=⎩6014202x y x y +=⎧⎪⎨=⎪⎩601420x y x y +=⎧⎨=⎩6021420x y x y+=⎧⎨⨯=⎩x y 6021420x y y y +=⎧⎨⨯=⎩327x y +=y =【答案】【解析】【分析】本题考查了解二元一次方程,根据,将x 看成已知数,进行移项,再系数化1,即可作答.【详解】解:∵∴故答案为:10. 在通过桥洞时,往往会看到如图所示标志:这是限制车高的标志,表示车辆高度不能超过,通过桥洞的车高应满足的不等式为_____________.【答案】##【解析】【分析】根据不等式的定义列不等式即可.【详解】解:∵车辆高度不能超过,∴.故答案为.【点睛】本题主要考查列不等式,掌握不等式的定义是解答本题的关键.11. 不等式组的最小整数解为_________.【答案】【解析】【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解,正确求出每一个不等式解集,根据“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.【详解】解:解不等式组得:,∴最小整数解为,故答案为:.的7322x -327x y +=327x y +=273y x=-7322y x =-7322x -5m m x 5x ≤5x≥5m 5x ≤5x ≤10{212x x -<-≥210{212x x -<-≥32x ≥2212. 如图,正五边形ABCDE 和正六边形EFGHMN 的边CD 、FG 在直线l 上,正五边形在正六边形左侧,两个正多边形均在l 的同侧,则的大小是___度.【答案】48【解析】【分析】利用正多边形的内角和,求出其中一个角的度数,进一步求出三角形DEF 的两个内角,最后由三角形内角和定理来求解.【详解】解:正五边形内角和为且在直线上,,正六边形内角和为且在直线上,,在中,,,,,故答案是:.【点睛】本题考查了正多边形的内角、三角形的内角和定理,解题的关键是:掌握正多边形内角和的求法.13. 我国传统数学名著九章算术记载:“今有牛五、羊二,直金十九两;牛二、羊五,直金十六两问牛、羊各一直金几何?”译文问题:“假设有头牛、只羊,值两银子;头牛、只羊,值两银子,问一头牛、一只羊一共值多少两银子?”则头牛、只羊一共值 ______ 两银子.【答案】【解析】【分析】设每头牛值两银子,每只羊值两银子,根据“头牛、只羊,值两银子;头牛、只羊,值两银子”,可得出关于,的二元一次方程组,利用,即可求出结论.DEF ∠ 540︒CD l 5401085EDC ︒∴∠==︒ 720︒FG l 7201206EFG ︒∴∠==︒EDF 180DEF EDF EFD ∠=︒-∠-∠18010872EDF ∠=︒-︒=︒ 18012060EFD ∠=︒-︒=︒48DEF ∴∠=︒48《》.52192516115x y 52192516x y ()7+÷①②【详解】解:设每头牛值两银子,每只羊值两银子,根据题意得:,得:,∴头牛、只羊一共值两银子,故答案为:.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学文化,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.14. 为了更好的开展大课间活动,某班级计划购买跳绳和呼啦圈两种体育用品,已知一个跳绳8元,一个呼啦圈12元.准备用120元钱全部用于购买这两种体育用品(两种都要买且钱全部用完),则该班级的购买方案有______种.【答案】4【解析】【分析】设购买个跳绳,个呼啦圈,利用总价单价数量,即可得出关于,的二元一次方程,结合,均为正整数,即可得出购买方案的数量.本题考查了二元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程是解题的关键.【详解】解:设购买个跳绳,个呼啦圈,依题意得:,.,均为正整数,为3的倍数,或或或,该班级共有4种购买方案.故答案为:4.三、解答题(共10小题,共78分)15. 解方程组:(1)x y 52192516x y x y +=⎧⎨+=⎩①②()7+÷①②5x y +=1155x y =⨯x y x y x y 812120x y +=2103y x ∴=-x y x ∴∴38x y =⎧⎨=⎩66x y =⎧⎨=⎩94x y =⎧⎨=⎩122x y =⎧⎨=⎩∴23328y x x y =-⎧⎨+=⎩(2)【答案】(1) (2)【解析】【分析】本题主要考查了解二元一次方程组:(1)利用代入消元法解方程组即可;(2)利用加减消元法解方程组即可.【小问1详解】解:把①代入②得:,解得,把代入①得,∴方程组的解为;小问2详解】解:得:,解得,把代入①得:,解得,∴方程组解为.16. 解下列不等式(组):(1);(2)【的28452x y x y +=⎧⎨-=⎩21x y =⎧⎨=⎩32x y =⎧⎨=⎩23328y x x y =-⎧⎨+=⎩①②()32238x x +-=2x =2x =2231y =⨯-=21x y =⎧⎨=⎩28452x y x y +=⎧⎨-=⎩①②2⨯-①②714y =2y =2y =228x +=3x =32x y =⎧⎨=⎩()32723x +≥()313122x x x x ⎧->⎪⎨--≥⎪⎩【答案】(1) (2)无解【解析】【分析】本题考查了解一元一次不等式以及解一元一次不等式组,正确掌握相关性质内容是解题的关键.(1)先去括号,再移项合并同类项,系数化1,即可作答.(2)分别算出每个不等式组的解集,再取公共部分的解集,即可作答.【小问1详解】解:,,,;【小问2详解】解:,由,得,解得,由,得,解得,此时不等式组无解.17. 如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了以格点(网格线的交点)为顶点的,线段在网格线上.(1)画出边上的高线;(2)画出边上的中线;(3)在线段上任取一点P ,则的面积是______.【答案】(1)见详解 (2)见详解(3)513x ≥()32723x +≥62123x +≥62x ≥13x ≥()313122x x x x ⎧->⎪⎨--≥⎪⎩()31x x ->33x x ->32x >3122x x --≥243x x -≥-1x ≤ABC MN AB CD BC AE MN ABP【解析】【分析】本题考查了三角形的高,中线的定义,运用网格求面积,正确掌握相关性质内容是解题的关键.(1)过点C 作垂直于的延长线,交点为点,即可作答.(2)根据网格特征以及中线定义,进行作图即可;(3)根据平行线之间的距离处处相等的性质,得出与的距离为5,再结合三角形面积公式进行计算,即可作答.【小问1详解】解:边上的高线如图所示:【小问2详解】解: 边上的中线如图所示:【小问3详解】解:如图所示:∴的面积.CD BA D MN AB AB CD BC AE ABP 12552=⨯⨯=18. 如图,在中,是的角平分线,,,求的度数.【答案】【解析】【分析】根据三角形外角的性质,角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得到结论.此题主要考查了三角形外角的性质,角平分线的定义,关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.【详解】解:∵.∴,∵是角平分线,∴,在中,.19.若一个多边形的内角和的比它的外角和多,那么这个多边形的边数是多少?【答案】12【解析】【分析】设这个多边形的边数是n ,根据题意,列方程求解即可.【详解】解:设这个多边形的边数是n ,由题意得:,解得:,答:这个多边形的边数是12.【点睛】本题考查了多边形的内角和和外角和定理,熟练掌握两个定理是解题的关键.20. 在长方形中,放入5个形状大小相同的小长方形(空白部分),其中,,求图中阴影部分图形的面积.ABC AN ABC 50B ∠=︒80ANC ∠=︒C ∠70︒5080ANC B BAN B ANC ∠=∠+∠∠=︒∠=︒,,805030BAN ANC B ∠∠∠=-=︒-︒=︒AN BAC ∠223060BAC BAN ∠=∠=⨯︒=︒ABC 180180506070C B BAC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒1490︒1(2)180360904n -⨯︒=︒+︒1(2)180360904n -⨯︒=︒+︒12n =ABCD 8cm AB =12cm BC =【答案】【解析】【分析】设小长方形的长为,宽为,根据图形中大长方形的长和宽列二元一次方程组,求出和的值,即可解决问题.本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.【详解】解:设小长方形的长为,宽为,根据题意,得:,解得:,每个小长方形的面积为,阴影部分的面积.21. 阅读下列材料:小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题:解方程组.小明发现,如果用代入消元法或加减消元法求解,运算量比较大,容易出错.如果把方程组中的看成一个整体,把看成一个整体,通过换元,可以解决问题.以下是他的解题过程:令,.原方程组化为,解得,把代入,,得,解得,236cm xcm ycm x y xcm ycm 3128x y x y +=⎧⎨+=⎩62x y =⎧⎨=⎩∴()22612cm ⨯=∴()281251236cm =⨯-⨯=23237432323832x y x yx y x y +-⎧+=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩()23x y +()23x y -23m x y =+23n x y =-743832m nm n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩6024m n =⎧⎨=-⎩6024m n =⎧⎨=-⎩23m x y =+23n x y =-23602324x y x y +=⎧⎨-=-⎩914x y =⎧⎨=⎩原方程组的解为.(1)学以致用:运用上述方法解方程组:(2)拓展提升:已知关于x ,y 的方程组的解为,请直接写出关于m 、n 的方程组的解是______.【答案】(1) (2)【解析】【分析】本题主要考查了换元法解二元一次方程组:(1)结合题意,利用整体代入法求解,令,得,解得即即可求解;(2)结合题意,利用整体代入法求解,令,,则可化为,且解为则有,求解即可.【小问1详解】解:令,,原方程组化为,解得,∴914x y =⎧⎨=⎩()()()()213211224x y x y ⎧++-=⎪⎨+--=⎪⎩111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩34x y =⎧⎨=⎩()()1112222323a m b n c a m b n c ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩11x y =⎧⎨=⎩143m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩1m x =+2n y =-23124m n m n +=⎧⎨-=⎩21m n =⎧⎨=-⎩1221x y +=⎧⎨-=-⎩2x m =+3y n =-()()1212222323a m b n c a m b n c ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩121222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩34x y =⎧⎨=⎩2334m n +=⎧⎨-=⎩1m x =+2n y =-23124m n m n +=⎧⎨-=⎩21m n =⎧⎨=-⎩,解得:,∴原方程组的解为 ;【小问2详解】解:在中,令,,则可化为,∵方程组解为,∴,,故答案为:.22. “粮食生产根本在耕地、出路在科技”.为提高农田耕种效率,今年开春某农村合作社计划投入资金购进甲、乙两种农耕设备,已知购进2台甲种农耕设备和1台乙种农耕设备共需4.2万元;购进1台甲种农耕设备和3台乙种农耕设备共需5.1万元.(1)求甲种农耕设备和乙种农耕设备单价各是多少万元;(2)若该合作社决定购买甲、乙两种农耕设备共7台,且购进甲、乙两种农耕设备总资金不超过10万元,求最多可以购进甲种农耕设备多少台.【答案】(1)1台甲种农耕设备需1.5万元,1台乙种农耕设备需1.2万元; (2)5台【解析】【分析】(1)设购进1台甲种农耕设备需万元,1台乙种农耕设备需万元,根据“购进2台甲种农耕设1221x y +=⎧∴⎨-=-⎩11x y =⎧⎨=⎩11x y =⎧⎨=⎩()()1212222323a m b n c a m b n c ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩2x m =+3y n =-()()1212222323a m b n c a m b n c ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩121222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩121222a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩34x y =⎧⎨=⎩2334m n +=⎧⎨-=⎩143m n =⎧⎪∴⎨=-⎪⎩143m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩x y备和1台乙种农耕设备共需4.2万元;购进1台甲种农耕设备和3台乙种农耕设备共需5.1万元”,可得出关于,的二元一次方程组,解之即可得出结论;(2)设购进甲种农耕设备台,则购进乙种农耕设备台,利用总价单价数量,结合总价不超过10万元,可得出关于的一元一次不等式,解之可得出的取值范围,再取其中的最大整数值,即可得出结论.本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.【小问1详解】解:设购进1台甲种农耕设备需万元,1台乙种农耕设备需万元,根据题意得:,解得:.答:购进1台甲种农耕设备需1.5万元,1台乙种农耕设备需1.2万元;【小问2详解】解:设购进甲种农耕设备台,则购进乙种农耕设备台,根据题意得:,解得:,又为正整数,的最大值为5.答:最多可以购进甲种农耕设备5台.23. 【探究】如图①,在中,点D 是延长线上一点,的平分线与的平分线相交于点P .则有,请补全下面证明过程:证明:平分,平分,,______(______).______(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和),.x y m ()7m -=⨯m m x y 2 4.23 5.1x y x y +=⎧⎨+=⎩1.51.2x y =⎧⎨=⎩m ()7m -()1.5 1.2710m m +-≤153m ≤m m ∴ABC BC ABC ∠BP ACD ∠CP 12P A ∠=∠BP ABC ∠CP ACD ∠2ABC PBC ∴∠=∠2ACD ∠=∠ACD A ∠=∠+∠ 22PCD A PBC ∴∠=∠+∠(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和),.【应用】如图②,在四边形中,设,,若,四边形的内角与外角的角平分线相交于点P .为了探究的度数与和的关系,小明同学想到将这个问题转化图①的模型,因此,延长了边与交于点A .如图③,若,,则,因此.【拓展】如图④,在四边形中,设,,若,四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点P ,请直接写出______.(用含有和的代数式表示)【答案】探究:;角平分线的定义;;;应用:;;拓展:【解析】【分析】本题主要考查了三角形内角和定理,三角形外角的性质,角平分线的定义:探究:根据三角形外角的性质和角平分线的定义结合已给推理过程求解即可;应用:先利用平角的定义和三角形内角和定理求出的度数,再有探究的结论即可得到答案;拓展:延长交的延长线于A ,则由三角形内角和定理可得;再由题意可得分别平分,则.【详解】解:探究:证明:平分,平分,,(角平分线的定义).(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和),._____PCD PBC ∠=∠+∠ 12P A ∴∠=∠MNCB M α∠=N β∠=180αβ+>︒MBC ∠NCD ∠BP CP ,P ∠αβBM CN 106BMN∠=︒124MNC ∠=︒______A ∠=︒______P ∠=︒MNCB M α∠=N β∠=180αβ+<︒MBC ∠NCD ∠P ∠=αβPCD PBC P 50︒25︒121902αβ︒--A ∠MB NC 180A αβ=︒--∠PB PC ,ABH ACB ∠,∠11190222P A αβ==︒--∠BP ABC ∠CP ACD ∠2ABC PBC ∴∠=∠2ACD PCD ∠=∠ACD A ABC ∠=∠+∠Q 22PCD A PBC ∴∠=∠+∠(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和),,故答案为:;角平分线的定义;;;应用:延长了边与交于点A .如图③,∵,,∴,∴,∴,故答案:;.拓展:如图,延长交的延长线于A ,∵,,∴;∵四边形的内角与外角的角平分线所在的直线相交于点P ,∴分别平分,∴,故答案为:.24. 如图①,点O 为数轴原点,,正方形的边长为6,点P 从点O 出发,沿射线方向运动,速度为每秒2个单位长度,设运动时间为t 秒,请回答下列问题.为PCD P PBC ∠=∠+∠ 12P A ∴∠=∠PCD PBC P BM CN 106BMN∠=︒124MNC ∠=︒1807418056AMN BMN ANM MNC =︒-=︒=︒-=︒∠∠,∠∠18050A AMN ANM =︒--=︒∠∠∠1252P A ∠=∠=︒50︒25︒MB NC M α∠=N β∠=180180A M N αβ=︒--=︒--∠∠∠MBC ∠NCD ∠PB PC ,ABH ACB ∠,∠11190222P A αβ==︒--∠121902αβ︒--3OA =ABCD OA(1)点A 表示的数为______,点D 表示的数为______.(2)的面积为6时,求t 的值.(3)如图②,当点P 运动至D 点时,立即以原速返回,到O 点后停止.在点P 运动过程中,作线段,点E 在数轴上点P 右侧,以为边向上作正方形,当与面积和为16时,直接写出t 的值.【答案】(1)3,9(2)t的值为秒或秒 (3)或或或.【解析】【分析】(1)根据线段的长和正方形的边长可以求解.(2)根据点的运动速度与运动时间得出运动路程,对应数数轴得出结论.(3)根据点运动确定正方形的位置再去讨论与面积和为16时的值.本题考查了数轴与动点的结合,表示出点的运动距离是本题的解题关键.【小问1详解】解: ,且为数轴原点,在的右侧,表示的数为3,正方形的边长为6,,表示的数为9.故答案是3,9;【小问2详解】解:∵的面积为6,∴,解得,点从点开始运动且速度为每秒2个单位长度,,APC △3PE =PE PEFG DPF ABG 12521318t =23631614918OA P P DPF ABG t P 3OA = O O A ∴ 639OD ∴=+=D ∴APC △116622APC S AP CD AP =⨯=⨯⨯=△2AP =P O 2OP t ∴=∵,∴当点在之间时,则,解得,∴当点在的延长线上时,则,解得,∴的面积为6时,t 的值为秒或秒;【小问3详解】解:①当P 点在A 点左侧时,,由题意得:连接,如图所示:∵,∴,∵速度为每秒2个单位长度,设运动时间为t 秒,∴,∴,∴,,∵与面积和为16,∴,解得,当P 点在A 点右侧时,连接,如图所示:3OA =P AO 3322AP OP t =-=-=12t =P OA 3232AP OP t =-=-=52t =APC △12522OP t =BG AG PF FD ,,,36OA AD ==,9OD =902t ≤≤32PA OA OP t =-=-()11279233222DPF S PD EF t t =⨯⨯=-⨯=- ()116329622ABGS AB AP t t =⨯⨯=⨯⨯-=- DPF ABG 27396162DPF ABG S S t t +=-+-= 1318t =BG AG PF FD ,,,同理得,,∵与面积和为16,∴,解得,②点从向运动时,则,连接,如图所示:∴此时,,∵与面积和为16,∴,()11279233222DPF S PD EF t t =⨯⨯=-⨯=- ()116236922ABGS AB AP t t =⨯⨯=⨯⨯-=- DPF ABG 27369162DPF ABG S S t t +=-+-= 236t =P D O 9999222t <≤+=BG AG PF FD ,,,9926222PD t AP AD PD t ⎛⎫⎛⎫=⨯-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,119272332222DPF S PD EF t t ⎛⎫=⨯⨯=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭ 119662456222ABG S AB AP t t ⎡⎤⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯--=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ DPF ABG 273456162DPF ABG S S t t +=-+-=解得,当P 点在A 点左侧时,由题意得:连接,如图所示:∴,此时,,∵与面积和为16,∴,解得,综上:或或或.316t =BG AG PF FD ,,,92292962152PD t t AP PD AD t t ⎛⎫=⨯-=-=-=--=- ⎪⎝⎭,119272332222DPF S PD EF t t ⎛⎫=⨯⨯=⨯-⨯=- ⎪⎝⎭ ()11621564522ABG S AB AP t t =⨯⨯=⨯⨯-=- DPF ABG 273645162DPF ABG S S t t +=-+-= 14918t =1318t =23631614918。

吉林长春东北师大附中2022-2023学年高二下学期期末数学试题(解析版)

吉林长春东北师大附中2022-2023学年高二下学期期末数学试题(解析版)

2022-2023学年东北师大附中(高二)年级(数学)科试卷下学期期末考试第I 卷(选择题)一、单项选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知某质点运动的位移y (单位;cm )与时间t (单位;s )之间的关系为()()ln 21y t t =+,则该质点在2s =t 时的瞬时速度为( ) A.15B.25C. 2D. 4【答案】B 【解析】【分析】对()()ln 21y t t =+求导得()221y t t ′=+,从而可求质点在2s =t 时的瞬时速度()2y ′. 【详解】因为()()ln 21y t t =+,所以()221y t t ′=+, 所以该质点在2s =t 时的瞬时速度为()2222125y ′==×+. 故选:B.2. 某中学课外活动小组为了研究经济走势,根据该市1999-2021年的GDP (国内生产总值)数据绘制出下面的散点图:该小组选择了如下2个模型来拟合GDP 值y 随年份x 的变化情况,模型一:(0,0)y kx b k x =+>>;模型二:e (0,0)x y k b k x =+>>,下列说法正确的是( ) A. 变量y 与x 负相关B. 根据散点图的特征,模型一能更好地拟合GDP 值随年份的变化情况C. 若选择模型二,e x y k b =+的图象一定经过点(),x yD. 当13x =时,通过模型计算得GDP 值为70,实际GDP 的值为71,则残差为1 【答案】D 【解析】【分析】对于AB ,由散点图的变化趋势分析判断,对于C ,由线性回归方程的性判断,对于D ,结合残差的定义判断.【详解】对于A ,由散点图可知y 随年份x 的增大而增大,所以变量y 与x 正相关,所以A 错误, 对于B ,由散点图可知变量y 与x 的变化趋向于一条曲线,所以模型二能更好地拟合GDP 值随年份的变化情况,所以B 错误,对于C ,若选择模型二:e (0,0)x y k b k x =+>>,令e x t =,则ykt b =+的图象经过点(),t y ,所以C 错误,对于D ,当13x =时,通过模型计算得GDP 值为70,实际GDP 的值为71,则残差为71701−=,所以D 正确, 故选:D 3. 函数21()ln 2f x x x =−的减区间为( ) A. (1,1)− B. (,1)−∞C. (0,1)D. (0,)+∞【答案】C 【解析】【分析】对函数求导,然后通分,进而令导函数小于0,最后求得单调递减区间. 【详解】函数()21ln 2f x x x =−的定义域为()0,∞+, 求导得()211x f x x x x =′−=−, 令()210x f x x−′=<,0x ,01x ∴<<,因此函数()21ln 2f x x x =−的减区间为()0,1. 故选:C.4. 已知随机变量X 的分布列为设23Y X =+,则()D Y 等于( )A.83B.53C.43D.173【答案】A 【解析】【分析】根据分布列求出()E X ,()D X ,再根据条件得()()4D Y D x =,计算答案即可. 【详解】由X 的分布列得()1110121333E X =×+×+×=, ()()()()22211120111213333D X =−×+−×+−×=,因为23Y X =+,则()()843D Y D X ==. 故选:A.5. 某教育局为振兴乡村教育,将5名教师安排到3所乡村学校支教,若每名教师仅去一所学校,每所学校至少安排1名教师,则不同的安排情况有( ) A. 300种 B. 210种 C. 180种 D. 150种【答案】D 【解析】【分析】根据部分均匀分组分配求解即可.【详解】由于每所学校至少安排1名教师,则不同的安排情况有2233535322C C C A 150A +=种. 故选:D .6. 已知数列{}n a ,{}n b ,其中11a =,且n a ,1n a +是方程220nn x b x −+=的实数根,则10b 等于( ) A. 24 B. 32C. 48D. 64【答案】D 【解析】【分析】根据题意,得到1n n n a a b ++=,12nn n a a +=,求得22a =,推出112n n a a +−=,进而可求出10a ,11a ,从而可求出结果.【详解】因为n a ,1n a +是方程220nn x b x −+=的实数根, 所以1n n n a a b ++=,12n n n a a +=, 又11a =,所以22a =; 当2n ≥时,112n n n a a −−=,所以11112n n n n n na a a a a a ++−−==, 因此4102232a a =⋅=,5111232a a =⋅= 所以101011323264b a a =+=+=. 故选:D.【点睛】本题主要考查由数列的递推关系求数列中的项,属于常考题型.7. 已知函数e ()xf x ax x=−,,()0x ∈+∞,当210x x >>时,不等式()()1221f x f x x x <恒成立,则实数a 的取值范围为( ) A. (,e]−∞ B. (,e)−∞C. e ,2−∞D. e ,2−∞【答案】D 【解析】【分析】根据不等式,构造函数并明确其单调性,进而可得导数的不等式,利用参数分离整理不等式,构造函数,利用导数求其最值,可得答案. 【详解】 当210x x >>时,不等式()()1221f x f x x x <恒成立,则()()1122f x x f x x <, 即函数()()2e xg x xf x ax ==−在()0,∞+上单调递增,则()e 20xg x ax ′=−≥, 整理可得2x e a x ≤,令()e x m x x =,则()()21e x x m x x−′=. 当()0,1x ∈时,()0m x ′<,()m x 单调递减,当()1,x ∈+∞时,()0m x ′>,()m x 单调递增,()()min 21e a m x m ∴≤==,e2a ∴≤. 故选:D.8. 设甲袋中有3个红球和4个白球,乙袋中有1个红球和2个白球,现从甲袋中任取1球放入乙袋,再从乙袋中任取2球,记事件A =“从甲袋中任取1球是红球”,事件B =“从乙袋中任取2球全是白球”,则下列说法正确的是( )A. 9()14=P BB. 6()7P AB =C. ()15P A B =D. 事件A 与事件B 相互独立【答案】C 【解析】分析】由古典概型概率计算公式,以及条件概率公式分项求解判断即可.【详解】现从甲袋中任取1球放入乙袋,再从乙袋中任取2球可知,从甲袋中任取1球对乙袋中任取2球有影响,事件A 与事件B 不是相互独立关系, 故D 错误; 从甲袋中任取1球是红球的概率为:()37P A =, 从甲袋中任取1球是白球的概率为:47, 所以乙袋中任取2球全是白球的概率为:()1212324312127474C C C C 125+C C C C 14714==+=P B ,故A 错误;()12321274C C 1C C 14==P AB ,故B 错误; ()()()11411455P AB P A B P B ==×=,故C 正确; 故选:C二、多项选择题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。

吉林省长春市东北师范大学附属中学2021-2022学年七上期末数学试卷(解析版)

吉林省长春市东北师范大学附属中学2021-2022学年七上期末数学试卷(解析版)
证明:连接EF.
∵FG⊥AC,HE⊥AC,
∴∠FGC=∠HEC=90°.
∴FG∥().
∴∠3=∠().
又∵∠1=∠2,
∴=∠2+∠4,
即∠=∠EFC.
∴DE∥BC().
【答案】见解析
【解析】
【分析】要证明DE∥FC,可证明∠DEF=∠EFC,由于∠1=∠2,可证明∠3=∠4,需证明EH∥FG,可通过垂直的性质得到.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据这几种图形的左视图即可作出判断.
【详解】A、长方体的左视图是长方形,故不符合题意;
B、圆柱体的左视图是长方形,故不符合题意;
C、圆锥体的左视图是三角形,故不符合题意;
D、球体的左视图是圆,故符合题意.
故选:D
【点睛】本题考查了几何体的三视图,掌握常见几何体的三视图是关键.
【详解】解:71400000 ;
故选A.
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 的形式,其中 , 为整数.表示时关键要确定 的值以及 的值.
4.如图是一个正方体的展开图,把展开图折叠成小正方体后,和“建”字所在面相对的面上的字】B
【解析】
【分析】正方体的平面展开图中,相对面的特点是之间一定相隔一个正方形,据此作答.
二、解答题
15.计算:
(1) ;
(2) .
【答案】(1) .
(2) .
【解析】
【分析】(1)先计算乘方,再计算除法,最后加减即可;
(2)先利用乘法分配律简算,再计算乘法,最后加减法即可.
【小问1详解】
解: .
【小问2详解】
解: .
【点睛】本题考查含乘方的有理数混合计算,掌握含乘方的有理数混合计算,先乘方,再乘除,最后加减,有括号先计算小括号,中括号,再大括号是解题关键.

东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末数学试题(解析版)

东北师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期期末数学试题(解析版)

东北师大附中2023-2024学年下学期高(一)年级期末考试(数学)科试卷注意事项:1.答题前,考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上,并粘贴条形码.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.3.回答非选择题时,请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内,超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效.4.保持卡面清洁,不要折叠、不要弄皱、弄破,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位,复数i 12i z ⋅=+,则z =( )A.2i −− B.2i−+ C.2i+ D.2i−【答案】D 【解析】【分析】利用复数的四则运算求解即可. 【详解】因为i 12i z ⋅=+, 所以()()()12i i 12i2i ii i z +−+===−×−.故选:D.2.已知两条不同的直线m ,n 和两个不同的平面α,β,下列四个命题中正确的为( )A.若//m α,//n α,则//m n B.若//m n ,m α⊂,则//n α C.若//m α,//m β,则αβ∥ D.若//m α,m β⊥,则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】利用点、线、面的位置关系即可得出答案.【详解】对于A ,若//m α,//n α,则,m n 可能相交,故A 错误;对于B ,若//m n ,m α⊂,则可能n ⊂α,故B 错误;对于C ,若//m α,//m β,则可能αβ⊥,故C 错误; 对于D ,若//m α,在平面α内能找到直线a ,使得//a m , 由m β⊥,可得a β⊥,又因为a α⊂,则αβ⊥,故D 正确. 故选:D .3. 高一年级某位同学在五次考试中的数学成绩分别为105,90,104,106,95,这位同学五次数学成绩的方差为( ) A. 20.2 B. 40.4C. 50D. 50.2【答案】B 【解析】【分析】根据题中数据结合平均数、方差公式运算求解.【详解】由题意可得:数学成绩平均数为()110590104106951005x=++++=, 所以数学成绩的方差为()()()()()2222221105100901001041001061009510040.45s =−+−+−+−+−=. 故选:B.4. 在直三棱柱111ABC A B C 中,122AA AB AC ==,且AB AC ⊥,则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值是( )A.45B.35C.D.12【答案】A 【解析】【分析】先找到异面直线1A B 与1AC 所成角为HGI ∠(或其补角),再通过解三角形求出它的余弦值. 【详解】如图分别取111,,,A C AA AB AC 的中点,,,H G I M , 连接,,,GI HI IM GH ,因为11//,//A B GI HG AC ,所以异面直线1A B 与1AC 所成角即为直线GI 与HG 所成角,即HGI ∠(或其补角), 设1222AA AB AC ===,由AB AC ⊥,所以BC ==MI =HIHG GB==,所以由余弦定理可得:22224cos5252HG GI HIHGIHG GI+−−∠===−⋅.则异面直线1A B与1AC所成角余弦值是45.故选:A.5. 数据1,2,5,4,8,10,6的第60百分位数是()A. 4.5B. 5.5C. 6D. 8【答案】C【解析】【分析】对这7个数按从小到大的顺序排列,然后根据百分位数的定义求解.【详解】这7个数从小到大排列为:1,2,4,5,6,8,10,因为760% 4.2×=,所以第60百分位数是第5个数6.故选:C6. 已知圆台的上、下底面圆的半径分别为1和3,高为1,则圆台的表面积为()A.20π3B. 20πC. (10π+D. (11π+【答案】C【解析】【分析】根据题意求出圆台的母线长,再利用圆台的表面积公式求解即可.【详解】设圆台的母线长为l,则l=的所以圆台的表面积为221π1π3(2π12π3)2×+×+×+×10π+.故选:C7. 某学校高一年级学生有900人,其中男生500人,女生400人,为了获得该校高一全体学生的身高信息,现采用样本量按比例分配的分层随机抽样方法抽取了容量为180的样本,经计算得男生样本的均值为170,女生样本的均值为161,则抽取的样本的均值为是( ) A. 165.5 B. 166C. 166.5D. 168【答案】B 【解析】【分析】由样本均值计算公式,代入数据即可求得; 【详解】抽取的样本的均值近似于总体的均值, 由题意可得:170,161xy =,500,400m n ==, 抽取的样本的均值为500400170161166500400500400m nx ym n m n ω=+=×+×=++++. 故选:B .8. 棱长为2的正方体内有一个棱长为a 的正四面体,且该正四面体可以在正方体内任意转动,则a 的最大值为( ) A 1B.C.D. 2【答案】B 【解析】【分析】棱长为a 的正四面体的外接球的半径为1,设正四面体为−P ABC ,过P 作PO ⊥平面ABC ,垂足为O ,连接AO ,表示出,AO PO ,然后结合图形利用勾股定理列方程求解【详解】棱长为2的正方体内切球的半径为1,因为正四面体可以在正方体内任意转动,所以只需该正四面体为球的内接正四面体,换言之,棱长为a 的.正四面体的外接球的半径为1,设正四面体为−P ABC ,过P 作PO ⊥平面ABC ,垂足为O ,连接AO ,O 为底面正ABC 的中心,则23AO =,体高为PO ,由于外接球半径为1,利用勾股定理得:2211 −+=,解得a =或0a =(舍), 故选:B二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得3分或4分,有选错的得0分.9. 某单位为了解员工参与一项志愿服务活动的情况,从800位员工中抽取了100名员工进行调查,根据这100人的服务时长(单位:小时),得到如图所示的频率分布直方图.则( )A. a 的值为0.018B. 估计员工平均服务时长为45小时C. 估计员工服务时长的中位数为48.6小时D. 估计本单位员工中服务时长超过50小时的有45人【答案】AC 【解析】【分析】对于A ,根据各组的频率和为1可求出a ,对于B ,利用平均数的定义求解判断,对于C ,先判断中位数的位置,然后列方程求解即可,对于D ,根据频率分布直方图求出服务时长超过50小时的频率,再乘以800进行判断.【详解】对于A ,由频率分布直方图得10(0.0020.0350.0250.020)1a ++++=, 解得0.018a =,所以A 正确,对于B ,员工平均服务时长为250.02350.18450.35550.25650.249.3×+×+×+×+×=小时,所以B 错误,对于C ,因为前2组的频率和为0.200.5<,前3组的频率和为0.550.5>,所以中位数在第3组,设中位数为m ,则0.200.035(40)0.5m +−=, 解得48.6m ≈,所以C 正确,对于D ,因为服务时长超过50小时的频率为10(0.0250.020)0.45×+=, 所以本单位员工中服务时长超过50小时的约有8000.45360×=人,所以D 错误. 故选:AC10. 正六边形ABCDEF 的边长为2,G 为正六边形边上的动点,则AD BG ⋅的值可能为( ) A. 3− B. 1−C. 12D. 16【答案】ABC 【解析】【分析】利用投影向量求解向量数量积,得到AD BG ⋅的最小值和最大值,得到答案.【详解】连接BF 与AD 相交于点O ,由正六边形的几何性质,BF ⊥AD ,60FAO ∠=°, 正六边形ABCDEF 的边长为2,故sin 301AO AF =°=,24AD EF ==, 故413OD =−=,故点B 在AD 上的投影为O ,当点G 与点D 重合时,此时BG 的投影向量为OD ,OD 与AD方向相同 此时AD BG ⋅取得最大值,最大值为4312AD OD ⋅=×=,故当G 与A 重合时,BG的投影向量为OA ,OA 与AD 方向相反,此时AD BG ⋅取得最小值,最小值为4OA AD −⋅=−,故[]4,12AD BG ⋅∈−,ABC 正确,D 错误.故选:ABC11. 如图,正三棱锥A BCD −和正三棱锥E BCD −,2BD =.若将正三棱锥A BCD −绕BD 旋转,使得点A ,C 分别旋转至点M ,N 处,且M ,B ,D ,E 四点共面,点M ,E 分别位于BD 两侧,则( )A. MN BD ⊥B. MN CE ⊥C. MCD. 点C 与点A 【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ,先作出图形,取BD 中点P ,证明BD ⊥平面ACP ,即可得到BD MN ⊥;对于B ,分别证明CE ⊥平面BDE ,MN ⊥平面MBD ,可推得//MN CE ,排除B ;对于C,先求得cos MPO ∠,再由余弦定理即可求得MC ,对于D ,只需求出两点的旋转半径即可求得.【详解】如图,取BD 中点P ,连接,AP CP ,依题意,,AB AD CB CD ==,则有,,BD AP BD CP ⊥⊥ 因,,AP CP P AP CP ∩=⊂平面ACP ,则BD ⊥平面ACP . 对于A ,因为将正三棱锥A BCD −绕BD 旋转,使得点A ,C 分别旋转至点M ,N 处,故MN ⊂平面ACP ,因BD ⊥平面ACP ,故BD MN ⊥即A 正确; 对于B,因2,BC CD BD EB ED EC ======,则由222ED EC CD +=可知,CE DE ⊥,同理CE BE ⊥,因,,DE BE E DE BE ∩=⊂平面BDE ,故得,CE ⊥平面BDE ,同理可证AC ⊥平面ABD , 依题意,因M ,B ,D ,E 四点共面,故MN ⊥平面MBD ,故//MN CE ,故B 错误; 对于C ,设连接AE ,交CP 于点O ,则EO PO ⊥,11233OP CP ===112EP BD =,则cos EPO ∠,,M P E三点共线,可得cos MPO ∠, 在MPC中,由余弦定理,MC ==故C 正确;对于D ,因点C 与点A 是同时旋转,故转动的轨迹长度之比即旋转的半径之比, 而点C转动的半径为2PC ==,点A 转动的半径为1PA =,故点C 与点A 旋转运动D 正确. 故选:ACD.【点睛】关键点点睛:本题主要考查余几何体旋转有关的线面关系问题,属于难题.问题的关键在于,正确作出图形,理解旋转前后的变与不变的量,通过线面关系的推理与证明,即可得到线面关系,借助于正、余弦定理进行相关计算,即可解决.三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知复数112z =−+,复数2z 满足123z z −=,则2z 的最小值为________. 【答案】2 【解析】【分析】设2i(,R)z a b a b =+∈,代入123z z −=中化简可得22192a b ++−=,则点(,)a b在以12 − 为圆心,3为半径的圆上,从而可求得结果. ,的【详解】设2i(,R)z a b a b =+∈,因为112z =−,123z z −=,所以1i 32a b −+−−=,所以22192a b++−=,所以点(,)a b 在以12 −为圆心,3为半径的圆上,所以2z =的最小值为3312−=−=. 故答案为:213. 设正方体1111ABCD A B C D −的棱长为1,E ,F 分别为AB ,1BD 的中点,点M 在正方体的表面上运动,且满足FM DE ⊥,则点M 轨迹的长度为________.【答案】2+ 【解析】【分析】建立空间直角坐标系,利用空间向量求解出点M 轨迹的长度.【详解】在正方体1111ABCD A B C D −中,棱长为1,以D 为坐标原点,分别以1,,DA DC DD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,∴1111(0,0,0),(1,,0),(,,),2222D E F 设(,,)M x y z ,则1111(1,,0),(,,)2222DE FM x y z ==−−− , ∵DE FM ⊥,∴11113()0022224x y x y −+−=⇒+−=,当0y =时,34x =,当1y =时,14x =,取3113(,0,0),(,1,0),(,1,1),(,0.1)4444G H R T ,连结,,,GH HR RT TG ,则1(,1,0),(0,0,1)2GH TR TG RH ==−== ,∴四边形GHRT 为矩形, 则111()20022DE GH ⋅=×−+×+= ,1100102DE TG ⋅×+×+× ,即,,,DE GH DE TG GH TG ⊥⊥为平面GHRT 中的两条相交直线,∴DE ⊥平面GHRT ,又111111(,,),(,,)422422GF FR =−=− ,又F 为1BD 的中点,则F ∈平面GHRT , 为使DE FM ⊥,必有点M ∈平面GHRT ,又点M 在正方体表面上运动,所以点M 的轨迹为四边形GHRT ,因为1GH RT TG RH ,则点M 的轨迹不是正方形,则矩形GHRT 的周长为1222×+=+故答案为:2.14. 有两个相同的直三棱柱,高为2,底面三角形的三边长分别为3,4,5.用它们拼成一个三棱柱或四棱柱,在所有可能的情形中,拼成的几何体的表面积最小值是________. 【答案】52 【解析】【分析】先分情况分别求解组成三棱柱和四棱柱时的表面积,再比较大小得出最小值即可. ABC DEF −和直三棱柱111111A B C D E F −,如图所示:当拼成一个三棱柱时,表面积有三种情况: ①上下底面对接,其表面积为()112343454602S =×××+++×=;②边长为3的边合在一起时,表面积为()2122342542602S =××××++×=; ③边长为4的边合在一起时,表面积为()3122342532562S =××××++×=.当拼成一个四棱柱时,有四种情况,如图④、⑤、⑥、⑦:图④的表面积()4143454542602S =×××++++×=, 图⑤的表面积()5143453352562S =×××++++×=,图⑥的表面积()6143443432522S =×××++++×=, 图⑦的表面积()7143443342522S =×××++++×=. 综上所述,拼成的几何体的表面积最小值是52.故答案为:52.四、解答题:本大题共5小题,共55分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15. 已知a ,b ,c 分别为ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,120B =°.(1)若1a =,b =,求A ;(2)若b =,求ABC 周长的最大值.【答案】(1)30A =°(2)4+【解析】【分析】(1)利用正弦定理直接求解;(2)根据余弦定理结合基本不等式得4a c +≤,从而可求出ABC 周长的最大值.【小问1详解】由正弦定理知sin sin b a B A =1sin A=,解得1sin 2A =, 因为B 为钝角,所以30A =°.【小问2详解】解:由余弦定理得()2222222cos b a c ac B a c ac a c ac =+−=++=+−, 又由0a >,0c >,则22a c ac + ≤, 所以()()()222231224a c a c ac a c a c + =+−≥+−=+ , 所以4a c +≤,当且仅当a c =时,等号成立,即a c +的最大值为4,所以ABC 周长的最大值为4+.16. 在四棱锥P ABCD −中,PA ⊥平面ABCD ,AB AD ⊥,AD ∥BC ,2PA AB AD ===,1BC =,E 为PD 中点.(1)求证:CE ∥平面P AB ;(2)求直线CE 与平面P AD 所成的角的正弦值.(要求用几何法解答)【答案】(1)证明见解析(2【解析】【分析】(1)取AD 中点G ,根据平行关系可证平面ECG ∥平面P AB ,结合面面平行的性质分析证明; (2)根据题意可证CG ⊥平面P AD ,可知CEG ∠为CE 与平面P AD 所成的角,即可得结果.【小问1详解】取AD 中点G ,连接EG ,CG ,因为E 、G 分别为PD 、AD 中点,则EG ∥PA ,112EG PA ==, 且PA ⊂平面P AB ,EG ⊄平面P AB ,可得EG ∥平面P AB ,由题意可知:BC ∥AG ,且BC AG =,可知ABCG 为平行四边形,则AB ∥CG ,2AB CG ==,且AB ⊂平面P AB ,CG ⊄平面P AB ,可得CG ∥平面P AB ,且CG EG G ∩=,,CG EG ⊂平面ECG ,所以平面ECG ∥平面P AB ,又因为EC ⊂平面ECG ,所以CE ∥平面P AB .【小问2详解】因为PA ⊥平面ABCD ,AB ⊂平面ABCD ,则PA AB ⊥又因为AD AB ⊥,PA AD A ∩=,,PA AD ⊂平面P AD ,可得AB ⊥平面P AD ,由(1)可知:AB ∥CG ,则CG ⊥平面P AD ,可知CEG ∠为CE 与平面P AD 所成角,在直角三角形CEG 中,由(1)可知:2,1,CG EG CE ====,则sin CG CEG CE ∠=的所以直线CE 与平面P AD . 17. 近年来,“直播带货”受到越来越多人的喜爱,目前已经成为推动消费的一种流行营销形式,某直播平台有1000个直播商家,对其进行调查统计,发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等,各类直播商家所占比例如图①所示,为了更好地服务买卖双方,该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流.(1)应抽取小吃类商家多少家?(2)在问询了解直播商家的利润状况时,工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计(单位:元),所得频率直方图如图②所示.①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数;②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”,估计该直播平台“优质商家”的个数.【答案】(1)28家 (2)① 487.5元;②280【解析】【分析】(1)根据分层抽样的定义结合图①求解即可;(2)①先根据频率和为1求出a ,然后列方程求解第75百分位数,②根据频率分布直方图求出平均均日利润超过480元的频率,然后乘以1000可得答案.【小问1详解】根据分层抽样知:应抽取小吃类()80130%15%10%5%5%28×−−−−−=家; 【小问2详解】①根据题意可得()0.002320.006501a ×++×=,解得0.004a =, 设75百分位数为x ,因为()0.0020.0040.006500.60.75++×=<,(0.002+0.004+0.006+0.004)×50=0.8>0.75,所以()4500.0040.60.75x −×+=,解得487.5x =, 所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元.②5004800.0040.0020.00250100028050− ×++××=, 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280.18. 如图,已知正方体1111ABCD A B C D −的棱长为2,M 分别为棱1BB 的中点.(1)证明:1AC D M ⊥;(2)求平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的余弦值.(要求用几何法解答)【答案】(1)证明见解析(2)23【解析】【分析】(1)连接BD ,则AC BD ⊥,由线面垂直的判定定理可证得AC ⊥平面1BDD ,从而可证得结论; (2)延长1D M 、DB 交于点E ,则直线AE 为平面1AMD 与平面ABCD 的交线,过点M ,作MN AE ⊥,垂足为N ,连接BN ,则可得∠MNB 为平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的平面角,然后在MNB 中求解即可.【小问1详解】证明:连接BD ,因为四边形ABCD 为正方形,所以AC BD ⊥,因为1DD ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,所以1DD AC ⊥,因为1DD BD D = ,1,DD BD ⊂平面1BDD ,所以AC ⊥平面1BDD ,因为1D M ⊂平面1BDD ,所以1AC D M ⊥.【小问2详解】延长1D M 、DB 交于点E ,则直线AE 为平面1AMD 与平面ABCD 的交线,过点M ,作MN AE ⊥,垂足为N ,连接BN ,因为BM ⊥平面ABCD ,AE ⊂平面ABCD ,所以BM AE ⊥,因为BM MN M = ,,BM MN ⊂BMN ,所以⊥AE 平面BMN ,因为BN ⊂平面BMN ,所以AE BN ⊥,所以∠MNB 为平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的平面角,因为BM ∥1DD ,所以MBE △∽1D DE △, 所以112MB BE D D DE ==,所以BE BD == 在ABE 中,2AB =,BE =,135ABE ∠=°所以2222cos13520AE AB BE AB BE =+−⋅°=,所以AE = 因为11sin 22ABE S AB BE ABE AE BN ∆=⋅∠=⋅,所以11222BN ××°=×,所以BN =MN === 所以2cos 3BN MNB MN ∠== 所以平面1AMD 与平面ABCD 所成二面角的余弦值为23.19.定义:球的直径的两个端点称为球的一对对径点;过球心的平面与球面的交线称为该球的大圆;对于球面上不在同一个大圆上的点A ,B ,C ,过任意两点的大圆上的劣弧AB ,劣弧BC ,劣弧CA 所组成的图形称为球面ABC ,记其面积为ABC S 球面△.易知:球的任意两个大圆均可交于一对对径点,如图1的A ,A ′;若球面上A ,B ,C 的对径点分别为A ′,B ′,C ′,则球面A B C ′′′ 与球面ABC 全等,如图2.已知球O 的半径为R ,圆弧AB 和圆弧AC 所在平面组成的锐二面角B AO C −−的大小为α,圆弧BA 和圆弧BC 所在平面组成的锐二面角的大小为β,圆弧CA 和圆弧CB 所在平面组成的锐二面角的大小为γ.记()AB C ABC A BC A B C S S S S S α′′′′′′=+++ 球面球面球面.(1)请写出()πS ,π2S ,π4S的值,并猜测函数()S α的表达式; (2)求ABC S 球面△(用α,β,γ,R 表示).【答案】(1)()2π4πS R =,2π2π2S R = ,2ππ4S R =;猜测2()4S R αα= (2)()πABCS R αβγ++−球面△【解析】 【分析】(1)结合图形理解题意,根据()S α的计算公式,分别求出()πS ,π2S,π4S ,并按照规律猜出()S α的表达式即得;(2)分别计算,,S S S αβγ并相加,利用八块球面拼接成一个球面,以及ΔA B C ABC S S ′′′=球面球面,将其化简,代入(1)猜测的公式,即可求得ABC S 球面△的解析式.【小问1详解】()222221111π4π4π4π4π4π4444S R R R R R =×+×+×+×=, 22222π11114π4π4π4π2π28888S R R R R R =×+×+×+×= ,22222π11114π+4π4π4ππ416161616S R R R R R =××+×+×= . 猜测2()4S R αα=.【小问2详解】S S S αβγ++=()ABC A BC AB C A B C S S S S ′′′′′′++++ 球面球面球面球面()ABC AB C A BC A B C SS S S ′′′′′′++++ 球面球面球面球面 ()ABCABC A B C A B C S S S S ′′′′′′+++ 球面球面球面球面 22ABC A B C S S S ′′′=++ 球球面球面因为ΔA B C ABC S S ′′′=球面球面,所以22224444π4ABC R R R R S αβγ++=+ 球面,即()2πABC S R αβγ++− 球面.【点睛】思路点睛:本题主要考查球面三角形表面积的新定义问题,属于难题.解题思路,即是结合图形,充分理解题意,正确列出关系式,并根据图形进行表面积合并整理,即可求得.。

东北师范大学附属中学2024年高一上学期9月阶段性考试数学试题(解析版)

东北师范大学附属中学2024年高一上学期9月阶段性考试数学试题(解析版)

2024-2025学年东北师大附中 高一年级数学科试卷上学期阶段性考试考试时长:90分钟 试卷总分:120分一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.)1. 下列元素的全体可以组成集合的是( ) A. 人口密度大的国家 B. 所有美丽的城市 C. 地球上四大洋 D. 优秀的高中生【答案】C 【解析】【分析】根据集合的确定性,互异性和无序性即可得出结论.详解】由题意,选项ABD ,都不满足集合元素的确定性,选项C 的元素是确定的,可以组成集合. 故选:C.2. 若全集R U =,集合{}0,1,2,3,4,5,6A =,{|3}B x x =<,则图中阴影部分表示的集合为( )A. {3,4,5,6}B. {0,1,2}C. {0,1,2,3}D. {4,5,6}【答案】A 【解析】【分析】根据图中阴影部分表示()U A B 求解即可. 【详解】由题知:图中阴影部分表示()U A B ,{}|3U Bx x =≥ ,则(){}3,4,5,6U B A = .故选:A3. 命题“[1,3]x ∀∈−,2320x x −+<”的否定为( )的【A. []1,3x ∃∈−,2320x x −+≥B. []1,3x ∃∈−,2320x x −+>C. []1,3x ∀∈−,2320x x −+≥D. []1,3x ∃∉−,2320x x −+≥【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件,利用全称量词命题的否定直接写出结论即可.【详解】命题“[1,3]x ∀∈−,2320x x −+<”是全称量词命题,其否定是存在量词命题, 因此命题“[1,3]x ∀∈−,2320x x −+<”的否定是[]1,3x ∃∈−,2320x x −+≥. 故选:A4. 已知集合{}240A x x=−>,{}2430B x xx =−+<,则A B = ( )A. {}21x x −<< B. {}12x x <<C. {}23x x −<<D. {}23x x <<【答案】D 【解析】【分析】解出集合,A B ,再利用交集含义即可.【详解】{}{2402A x xx x =−>=或}2x <−,{}{}2430|13B x xx x x =−+<=<<,则{}23A Bx x ∩=<<.故选:D.5. 若,,a b c ∈R ,0a b >>,则下列不等式正确的是( ) A.11a b> B. a c b c >C. 2ab b >D. ()()2211a c b c −>−【答案】C 【解析】【分析】对BD 举反例即可,对AC 根据不等式性质即可判断. 【详解】对A ,因为0a b >>,则11a b<,故A 错误; 对B ,当0c =时,则a c b c =,故B 错误;对C ,因为0a b >>,则2ab b >,故C 正确; 对D ,当1c =时,则()()2211a c b c −=−,故D 错误. 故选:C.6. “2a <−”是“24a >”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】解出不等式24a >,根据充分不必要条件的判定即可得到答案. 【详解】24a >,解得2a >或2a <−,则“2a <−”可以推出“24a >”,但“24a >”无法推出“2a <−”, 则“2a <−”是“24a >”的充分不必要条件. 故选:A .7. 关于x 的一元二次方程(1)(4)x x a −−=有实数根12,x x ,且12x x <,则下列结论中错误的说法是( ) A. 当0a =时,11x =,24x = B. 当0a >时,1214x x << C. 当0a >时,1214x x <<< D. 当904a −<<时,122544x x <<【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件,借助二次函数的图象,逐项分析判断即可.【详解】对于A ,当0a =时,方程(1)(4)0x x −−=的二实根为121,4x x ==,A 正确; 对于B ,方程(1)(4)x x a −−=,即2540x x a −+−=,254(4)0a ∆=−−>,解得94a >−, 当0a >时,1244x x a =−<,B 错误;对于C ,令()(1)(4)f x x x =−−,依题意,12,x x 是函数()y f x =的图象与直线y a =交点的横坐标, 在同一坐标系内作出函数()y f x =的图象与直线y a =,如图,观察图象知,当0a >时,1214x x <<<,C 正确; 对于D ,当904a −<<时,12254(4,)4x x a =−∈,D 正确.故选:B8. 已知[]x 表示不超过x 的最大整数,集合[]{}03A x x =∈<<Z ,()(){}2220Bx xax x x b =+++=,且 R A B ∩=∅ ,则集合B 的子集个数为( ).A. 4B. 8C. 16D. 32【答案】C 【解析】【分析】由新定义及集合的概念可化简集合{}1,2A =,再由()A B ∩=∅R 可知A B ⊆,分类讨论1,2的归属,从而得到集合B 的元素个数,由此利用子集个数公式即可求得集合B 的子集的个数. 【详解】由题设可知,[]{}{}Z |31,2A x x =∈<<=,又因为()A B ∩=∅R ,所以A B ⊆, 而()(){}22|20B x xax x x b =+++=,因为20x ax 的解为=0x 或x a =−,220x x b ++=的两根12,x x 满足122x x +=−, 所以1,2分属方程20x ax 与220x x b ++=的根,若1是20x ax 的根,2是220x x b ++=的根,则有221+1=02+22+=0a b × × ,解得=1=8a b −− , 代入20x ax 与220x x b ++=,解得=0x 或=1x 与=2x 或4x =−,故{}0,1,2,4B=−;若2是20x ax 的根,1是220x x b ++=的根,则有222+2=01+21+=0a b × × ,解得=2=3a b −− ,代入20x ax 与220x x b ++=,解得=0x 或=2x 与=1x 或3x =−,故{}0,1,2,3B=−;所以不管1,2如何归属方程20x ax 与220x x b ++=,集合B 总是有4个元素, 故由子集个数公式可得集合B 的子集的个数为42=16. 故选:C二、多选题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.)9. 已知关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为(1,6)−,则( ) A. 0a < B. 不等式0ax c +>的解集是{|6}x x > C. 0a b c ++< D. 不等式20cx bx a −−<的解集为11(,)32【答案】BC 【解析】【分析】利用一元二次不等式的解集用a 表示,b c ,再逐项分析判断即得.【详解】对于A ,由不等式20ax bx c ++<的解集为(1,6)−,得1,6−是方程20ax bx c ++=的两个根,且0a >,A 错误;对于B ,16,16b ca a−+=−−×=,则5,6b a c a =−=−, 不等式0ax c +>,即60ax a −>,解得6x >,B 正确; 对于C ,56100a b c a a a a ++=−−=−<,C 正确;对于D ,不等式20cx bx a −−<,即2650ax ax a −+−<,整理得()()31210x x −−>,解得13x <或12x >,D 错误. 故选:BC10. 已知x y 、都是正数,且满足2x y +=,则下列说法正确的是( )A. xy 的最大值为1B.+的最小值为2C. 11x y+的最小值为2D. 2211x y x y +++的最小值为1【答案】ACD【解析】【分析】根据给定条件,借助基本不等式及“1”的妙用逐项计算判断即得.【详解】对于A ,由0,0x y >>,2x y +=,得2()12x y xy +≤=,当且仅当1xy ==时取等号,A 正确;对于B2+≤,当且仅当1xy ==时取等号,B 错误; 对于C,1111111()()(2)(22222y x x y x y x y x y +=++=++≥+=, 当且仅当1xy ==时取等号,C 正确; 对于D ,222211111111111111x y x y x y x y x y x y −+−++=+=−++−+++++++ 11111111[(1)(1)]()(2)11411411y x x y x y x y x y ++=+=++++=++++++++1(214≥+=,当且仅当1111y x x y ++=++,即1x y ==时取等号,D 正确. 故选:ACD11. 用()C A 表示非空集合A 中元素的个数,定义()()()()()()()(),,C A C B C A C B A B C B C A C A C B −≥ ∗=−< ,已知集合222{0},{R |()(1)0}A x x x B x x ax x ax =+==∈+++=|,则下面正确结论正确的是( )A. a ∃∈R ,()3C B =B. a ∀∈R ,()2C B ≥C. “0a =”是“1A B ∗=”的充分不必要条件D 若{}R1S a A B =∈∗=∣,则()4C S = 【答案】AC 【解析】【分析】根据集合新定义,结合一元二次方程,逐项分析判断即可. 【详解】对于A ,当2a =时,{}0,2,1B =−−,此时()3C B =,A 正确;对于B ,当0a =时,{}0B =,此时()1C B =,B 错误;.对于C ,当0a =时,{}0B =,则()1C B =,而{}0,1A =−,()2C A =,因此1A B ∗=;当1A B ∗=时,而()2C A =,则()1C B =或3,若()1C B =,满足2Δ40a a ==−< ,解得0a =; 若()3C B =,则方程20x ax 的两个根120,x x a ==−都不是方程210x ax ++=的根,且20Δ40a a ≠ =−=,解得2a =±,因此“0a =”是“1A B ∗=”的充分不必要条件,C 正确; 对于D ,由1A B ∗=,而()2C A =,得()1C B =或3,由C 知:0a =或2a =±,因此{}0,2,2S =−, 3C S ,D 错误.故选:AC三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分.)12. 已知集合{}A x x a =<,{}13B x x =<<,若A B B = ,则实数a 的取值范围是______.【答案】3a ≥ 【解析】【分析】根据给定条件,利用交集的定义,结合集合的包含关系求解即得.【详解】由A B B = ,得B A ⊆,而{}A x x a =<,{}13B x x =<<,则3a ≥,所以实数a 的取值范围是3a ≥. 故答案:3a ≥13.若一个直角三角形的斜边长等于,当这个直角三角形周长取最大值时,其面积为______. 【答案】18 【解析】【分析】由题意画出图形,结合勾股定理并通过分析得知当()2722AB AC AB AC +=+⋅最大值,这个直角三角形周长取最大值,根据基本不等式的取等条件即可求解. 【详解】如图所示:为在Rt ABC △中,90,A BC ==而直角三角形周长l AB BC CA AB CA =++=++,由勾股定理可知(222272AB CA BC +===,若要使l 最大,只需+AB AC 即()2222722AB AC AB AC AB AC AB AC +=++⋅=+⋅最大即可, 又22272AB AC AB AC ⋅≤+=,等号成立当且仅当6AB AC ==, 所以()2722144AB AC AB AC +=+⋅≤,12AB AC +≤,12l ≤+, 等号成立当且仅当6AB AC ==, 此时,其面积为11661822S AB AC =⋅=××=. 故答案为:18.14. 若不等式22x x a ax +−>+对(]0,1a ∀∈恒成立,则实数x 取值范围是______. 【答案】(]),2∞∞−−∪+【解析】【分析】根据主元法得()2120x a x x +−−+<对(]0,1a ∀∈恒成立,再利用一次函数性质即可得到答案.【详解】由不等式22x x a ax +−>+对(]0,1a ∀∈恒成立, 得()2120x a x x +−−+<对(]0,1a ∀∈恒成立,令()()212g a x a x x =+−−+,得22(0)20(1)120g x x g x x x =−−+≤ =+−−+< , 解得(]),2x ∈−∞−+∞,∴实数x的取值范围是(.故答案为:(]),2∞∞−−∪+.四、解答题(本题共3小题,共47分)15. 设集合U =R ,{}05Ax x =≤≤,{}13B x m x m =−≤≤. (1)3m =,求()U A B ∪ ;(2)若“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件,求m 的取值范围.的【答案】(1){|5x x ≤或}9x > (2)12m <−或513m ≤≤. 【解析】【分析】(1)根据 集合的补集定义以及集合的交集运算,即可求得答案;(2)依题意可得B A ,讨论集合B 是否为空集,列出相应的不等式,即可求得结果. 【小问1详解】当3m =时,可得{}|29B x x =≤≤,故可得{|2U B x x =< 或}9x >,而{}|05A x x =≤≤, 所以(){|5U A B x x ∪=≤ 或}9x >. 【小问2详解】由“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件可得B A ; 当B =∅时,13m m −>,解得12m <−,符合题意; 当B ≠∅时,需满足131035m m m m −≤−≥ ≤,且10m −≥和35m ≤中的等号不能同时取得,解得513m ≤≤; 综上可得,m 的取值范围为12m <−或513m ≤≤. 16. (1)已知03x <<,求y =的最大值; (2)已知0x >,0y >,且5x y xy ++=,求x y +的最小值; (3)解关于x 的不等式()2330ax a x −++<(其中0a ≥). 【答案】(1)92;(2)2+;(3)答案见解析 【解析】【分析】(1)化简得y,再利用基本不等式即可;(2)利用基本不等式构造出252x y x y + ++≤,解出即可;(3)因式分解为(3)(1)0ax x −−<,再对a 进行分类讨论即可.【详解】(1)()229922x x y +−=≤=,当且仅当229x x =−,即229x x =−,即x =时等号成立.则y =的最大值为92. (2)因为 0,0x y >>, 且 5x y xy ++=, 则252x y x y xy + ++≤,解得2x y +≥ 或 2x y +≤−(舍去),当且仅当1x y ==时等号成立,则x y +的最小值为2+.(3)不等式()2330ax a x −++<化为(3)(1)0ax x −−<,(其中0a ≥), 当0a =时,解得1x >;当0a >时,不等式化为3()(1)0x x a−−<,若0<<3a ,即31a>,解得31x a <<;若3a =,x 无实数解; 若3a >,即31a <,解得31x a<<, 所以当0a =时,原不等式的解集为{|1}x x >; 当0<<3a 时,原不等式的解集为3{|1}x x a<<; 当3a =时,原不等式的解集为∅; 当3a >时,原不等式的解集为3{|1}x x a<<. 17. 已知方程()220,x mx n m n −+−=∈R(1)若1m =,0n =,求方程220x mx n −+−=的解;(2)若对任意实数m ,方程22x mx n x −+−=恒有两个不相等的实数解,求实数n 的取值范围;(3)若方程()2203x mx n m −+−=≥有两个不相等的实数解12,x x ,且()2121248x x x x +−=,求221221128x x x x x x +−+的最小值. 【答案】(1)2x =或1−;(2)2n <(3)【解析】【分析】(1)由题意得到220x x −−=,求出方程的根;(2)由根的判别式大于0得到()21124n m <++,求出()211224m ++≥,从而得到2n <; (3)由韦达定理得到1212,2x x m x x n +==−,代入()2121248x x x x +−=中得到24m n =,结合立方和公式化简得到2212211288328x x m x x x x m m m+−=−++−,令8t m m =−,由单调性得到81333t −=≥,结合基本不等式求出22122112832x x t x x x x t +−=+≥+,得到答案. 【小问1详解】1m =,0n =时,220x x −−=,解得2x =或1−;【小问2详解】()222120x mx n x x m x n −+−=⇒−++−=,故()()2Δ1420m n =+−−>,所以()21124n m <++, 其中()211224m ++≥,当且仅当1m =−时,等号成立, 故2n <;【小问3详解】()2203x mx n m −+−=≥有两个不相等的实数解12,x x ,()2Δ420m n =−−>,由韦达定理得1212,2x x m x x n +==−,故()2212124488x x x x m n +−=−+=,所以24m n =,此时80∆=>, 所以()()2222331211221212211212121212888x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +−+++−=−=−+++ ()()()221212121212336882x x x x x x m m n x x x x n m ++−−+ −=−+−,因为24m n =, 所以2222122221126284488883282244m m m m x x m m m x x x x m m m m m +−+ +−=−=−=−++−−−, 令8t m m =−,其在3m ≥上单调递增,故81333t −=≥,故22122112832x x t x x x x t +−=+≥+ 当且仅当32t t=,即=t 时,等号成立, 故221221128x x x x x x +−+的最小值为【点睛】关键点点睛:变形得到2212211288328x x m x x x x m m m+−=−++−,换元后,由函数单调性和基本不等式求最值.。

东北师范大学2020年硕士研究生招生考试试题(学科数学)参考答案

东北师范大学2020年硕士研究生招生考试试题(学科数学)参考答案

东北师范大学2020年硕士研究生招生考试试题(学科数学)参考答案一、计算题(本题56分,每题8分)(1)求极限30tan sin limx x xx→- 解 201sin 1cos lim cos x x xx x x →-=⋅0sin 1lim 22x x x →==(2)求极限32cos 0lim(1)x x x →+解:2330lim cos 2cos 00lim(1)1x x xxx x ee →→+===(3)设2sin y x x =,求高阶导数(100)y解 令2u x =,sin v x =,则2u x '=,2u ''=,()0n u =,3n ≥,()sin()2n n v x π=+,所以 100(100)()(100)1000n n n n yC u v -==∑21210010099sin(50)2sin()2sin(49)2x x C x x C x πππ=+++++ 2sin 200cos 9900sin x x x x x =-- (4)求极限0lim x +→解:12102112lim lim 2x x x x e ++-→→-== (5)求不定积分1x >解:1()1arccos d C x =-=+⎰(6)求极限111lim()122n n n n→∞++++ 解 101111111lim()lim ln 212211n n n k dx k n n n n xn→∞→∞=++===++++∑⎰(7)求22ln()u xy x y =+的偏导数解:22222222222ln()ln()u x x y y x y xy y x y x x y x y ∂=++=++∂++ 22222222222ln()ln()u y xy x x y xy y x y y x y x y ∂=++=++∂++ 三、论述题(本题20分)讨论33(,)3f x y x y xy =+-的极值点33(,)3f x y x y xy =+-的偏导数为'2(,)33x f x y x y =-,'2(,)33y f x y y x =-,''(,)6xx f x y x =,''(,)6yy f x y y =,''(,)3xy f x y =- 解方程22330330x y y x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩,得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩,得到函数(,)f x y 的稳定点(0,0)和(1,1)在稳定点(0,0)处,2= -9<0xx yy xy f f f ∆=-,''(,)0xx f x y =,所以点(0,0)不是极值点。

东北师范大学附属中学初中数学八年级下期末经典测试题(含解析)

东北师范大学附属中学初中数学八年级下期末经典测试题(含解析)

一、选择题1.(0分)[ID:10224]直角三角形两直角边长为a,b,斜边上高为h,则下列各式总能成立的是()A.ab=h2B.a2+b2=2h2C.111a b h+=D.222111a b h+=2.(0分)[ID:10223]下列各命题的逆命题成立的是()A.全等三角形的对应角相等B.如果两个数相等,那么它们的绝对值相等C.两直线平行,同位角相等D.如果两个角都是45°,那么这两个角相等3.(0分)[ID:10210]若代数式11xx+-有意义,则x的取值范围是( )A.x>﹣1且x≠1B.x≥﹣1C.x≠1D.x≥﹣1且x≠1 4.(0分)[ID:10197]随机抽取某商场4月份5天的营业额(单位:万元)分别为3.4,2.9,3.0,3.1,2.6,则这个商场4月份的营业额大约是()A.90万元B.450万元C.3万元D.15万元5.(0分)[ID:10139]已知y=(k-3)x|k|-2+2是一次函数,那么k的值为()A.3±B.3C.3-D.无法确定6.(0分)[ID:10133]若函数y=(m-1)x∣m∣-5是一次函数,则m的值为( )A.±1B.-1C.1D.27.(0分)[ID:10195]如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=2cm,E,F分别是BC,CD的中点,连接AE,EF,AF,则△AEF的周长为()A.2√3cm B.3cm C.4√3cm D.3√3cm8.(0分)[ID:10192]如图2,四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直,则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是()A.BA=BC B.AC、BD互相平分C.AC=BD D.AB∥CD9.(0分)[ID:10170]如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,以下说法不一定成立的是()A .∠ABC=90°B .AC=BDC .OA=OBD .OA=AD 10.(0分)[ID :10169]直角三角形中,有两条边长分别为3和4,则第三条边长是( )A .1B .5C .7D .5或7 11.(0分)[ID :10168]无论m 为任何实数,关于x 的一次函数y =x +2m 与y =-x +4的图象的交点一定不在( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限12.(0分)[ID :10162]一列火车由甲市驶往相距600km 的乙市,火车的速度是200km/时,火车离乙市的距离s(单位:km)随行驶时间t(单位:小时)变化的关系用图象表示正确的是( )A .B .C .D .13.(0分)[ID :10160]如图,将矩形ABCD 沿EF 折叠,使顶点C 恰好落在AB 的中点C '上.若6AB =,9BC =,则BF 的长为( )A .4B .32C .4.5D .514.(0分)[ID :10159]将根24cm 的筷子,置于底面直径为15cm ,高8cm 的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度hcm ,则h 的取值范围是( )A .h 17cm ≤B .h 8cm ≥C .7cm h 16cm ≤≤D .15cm h 16cm ≤≤15.(0分)[ID :10156]如图,在正方形ABCD 中,点E 、F 分别在BC 、CD 上,△AEF 是等边三角形,连接AC 交EF 于点G ,下列结论:①15BAE DAF ∠=∠=;②3;③BE +DF =EF ;④2CEF ABE S S ∆∆=.其中正确的是( )A.①②③B.①③④C.①②④D.①②③④二、填空题16.(0分)[ID:10319]在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=kx和y=﹣x+3的图象如图所示,则关于x的一元一次不等式kx<﹣x+3的解集是_____.17.(0分)[ID:10313]函数1y=x的定义域____.18.(0分)[ID:10307]如图,一次函数y=kx+b的图象与x轴相交于点(﹣2,0),与y 轴相交于点(0,3),则关于x的方程kx=b的解是_____.19.(0分)[ID:10294]如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,∠AOB=120°,CE//BD,DE//AC,若AD=5,则四边形CODE的周长______.20.(0分)[ID:10282]已知,x y为实数,且22994y x x=--,则x y-=______. 21.(0分)[ID:10274]如果一组数据1,3,5,a,8的方差是0.7,则另一组数据11,13,15,10a+,18的方差是________.22.(0分)[ID:10258]2019x-x的取值范围是_____.23.(0分)[ID :10247]已知数据:﹣1,4,2,﹣2,x 的众数是2,那么这组数据的平均数为_____.24.(0分)[ID :10241]一组数据1,2,3,x ,5的平均数是3,则该组数据的方差是_____.25.(0分)[ID :10235]将正比例函数y =﹣3x 的图象向上平移5个单位,得到函数_____的图象.三、解答题26.(0分)[ID :10406]如图,ABCD 的对角线相交于点O ,直线EF 过点O 分别交BC ,AD 于点E 、F ,G 、H 分别为OB 、OD 的中点,求证:四边形GEHF 是平行四边形.27.(0分)[ID :10388]计算:32231(2)(4)()272--⨯-+--. 28.(0分)[ID :10380]如图,在平面直角坐标系xOy 中,一次函数y 1=−23x+2与x 轴、y 轴分别相交于点A 和点B ,直线y 2=kx+b(k≠0)经过点C(1,0)且与线段AB 交于点P ,并把△ABO 分成两部分.(1)求A 、 B 的坐标;(2)求△ABO 的面积;(3)若△ABO 被直线CP 分成的两部分的面积相等,求点P 的坐标及直线CP 的函数表达式.29.(0分)[ID :10374]先化简代数式1﹣1x x -÷2212x x x-+,并从﹣1,0,1,3中选取一个合适的代入求值.30.(0分)[ID :10360]求证:三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.要求:(1)根据给出的ABC ∆和它的一条中位线DE ,在给出的图形上,请用尺规作出BC 边上的中线AF ,交DE 于点O .不写作法,保留痕迹;(2)据此写出已知,求证和证明过程.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷参考答案**科目模拟测试一、选择题1.D2.C3.D4.A5.C6.B7.D8.B9.D10.D11.C12.A13.A14.C15.C二、填空题16.x<1【解析】观察图象即可得不等式kx<-x+3的解集是x<1点睛:本题主要考查了一次函数的交点问题及一次函数与一元一次不等式之间的关系会利用数形结合思想是解决本题的关键17.【解析】【分析】由根式的被开方数大于等于0分式的分母不等于0联立不等式组求解x的取值即可【详解】根据题意得解得故答案为:【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变18.x=2【解析】【分析】依据待定系数法即可得到k和b的值进而得出关于x的方程kx=b的解【详解】解:∵一次函数y=kx+b的图象与x轴相交于点(﹣20)与y轴相交于点(03)∴解得∴关于x的方程kx=19.20【解析】【分析】通过矩形的性质可得再根据∠AOB=120°可证△AOD是等边三角形即可求出OD的长度再通过证明四边形CODE是菱形即可求解四边形CODE的周长【详解】∵四边形ABCD是矩形∴∵∠20.或【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可求出xy的值代入即可得出结论【详解】∵且∴∴∴或故答案为:或【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件解答本题的关键由二次根式有意义的条件求出xy的值21.7【解析】【分析】根据题目中的数据和方差的定义可以求得所求数据的方差【详解】设一组数据135a8的平均数是另一组数据111315+1018的平均数是+10∵=07∴==07故答案为07【点睛】本题考22.x>2019【解析】【分析】根据二次根式的定义进行解答【详解】在实数范围内有意义即x-20190所以x的取值范围是x2019【点睛】本题考查了二次根式的定义熟练掌握二次根式的定义是本题解题关键23.【解析】试题分析:数据:﹣142﹣2x的众数是2即的2次数最多;即x=2则其平均数为:(﹣1+4+2﹣2+2)÷5=1故答案为1考点:1众数;2算术平均数24.2【解析】【分析】先用平均数是3可得x的值再结合方差公式计算即可【详解】平均数是3(1+2+3+x+5)解得:x=4∴方差是S2(1﹣3)2+(2﹣3)2+(3﹣3)2+(4﹣3)2+(5﹣3)2125.y=-3x+5【解析】【分析】平移时k的值不变只有b发生变化【详解】解:原直线的k=-3b=0;向上平移5个单位得到了新直线那么新直线的k=-3b=0+5=5∴新直线的解析式为y=-3x+5故答案为三、解答题26.27.28.29.30.2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题1.D解析:D【解析】【分析】【详解】解:根据直角三角形的面积可以导出:斜边c=ab h. 再结合勾股定理:a 2+b 2=c 2. 进行等量代换,得a 2+b 2=222a b h , 两边同除以a 2b 2, 得222111a b h +=. 故选D . 2.C解析:C【解析】试题分析:首先写出各个命题的逆命题,再进一步判断真假.解:A 、逆命题是三个角对应相等的两个三角形全等,错误;B、绝对值相等的两个数相等,错误;C、同位角相等,两条直线平行,正确;D、相等的两个角都是45°,错误.故选C.3.D解析:D【解析】【分析】此题需要注意分式的分母不等于零,二次根式的被开方数是非负数.【详解】依题意,得x+1≥0且x-1≠0,解得x≥-1且x≠1.故选A.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件.函数自变量的范围一般从三个方面考虑:(1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数;(2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0;(3)当函数表达式是二次根式时,被开方数非负.4.A解析:A【解析】1x=++++=.所以4月份营业额约为3×30=90(万元).(3.4 2.9 3.0 3.1 2.6)355.C解析:C【解析】【分析】根据一次函数的定义可得k-3≠0,|k|-2=1,解答即可.【详解】一次函数y=kx+b的定义条件是:k、b为常数,k≠0,自变量次数为1.所以|k|-2=1,解得:k=±3,因为k-3≠0,所以k≠3,即k=-3.故选:C.【点睛】本题主要考查一次函数的定义,一次函数y=kx+b的定义条件是:k、b为常数,k≠0,自变量次数为1.6.B解析:B【解析】根据一次函数的概念,形如y=kx+b (k≠0,k 、b 为常数)的函数为一次函数,故可知m-1≠0,|m|=1,解得m≠1,m=±1,故m=-1.故选B点睛:此题主要考查了一次函数的概念,利用一次函数的一般式y=kx+b (k≠0,k 、b 为常数),可得相应的关系式,然后求解即可,这是一个中考常考题题,比较简单.7.D解析:D【解析】【分析】首先根据菱形的性质证明△ABE ≌△ADF ,然后连接AC 可推出△ABC 以及△ACD 为等边三角形.根据等边三角形三线合一的性质又可推出△AEF 是等边三角形.根据勾股定理可求出AE 的长,继而求出周长.【详解】解:∵四边形ABCD 是菱形,∴AB =AD =BC =CD =2cm ,∠B =∠D ,∵E 、F 分别是BC 、CD 的中点,∴BE =DF ,在△ABE 和△ADF 中,{AB =AD∠B =∠D BE =DF,∴△ABE ≌△ADF (SAS ),∴AE =AF ,∠BAE =∠DAF .连接AC ,∵∠B =∠D =60°,∴△ABC 与△ACD 是等边三角形,∴AE ⊥BC ,AF ⊥CD ,∴∠BAE =∠DAF =30°,∴∠EAF =60°,BE=12AB=1cm , ∴△AEF 是等边三角形,AE =√AB 2−BE 2=√22−12=√3,∴周长是3√3cm .故选:D .【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质以及勾股定理,涉及知识点较多,也考察了学生推理计算的能力.8.B解析:B【解析】【分析】【详解】解:对角线互相垂直平分的四边形为菱形.已知对角线AC、BD互相垂直,则需添加条件:AC、BD互相平分故选:B9.D解析:D【解析】【分析】根据矩形性质可判定选项A、B、C正确,选项D错误.【详解】∵四边形ABCD为矩形,∴∠ABC=90°,AC=BD,OA=OB ,故选D【点睛】本题考查了矩形的性质,熟练运用矩形的性质是解决问题的关键.10.D解析:D【解析】【分析】分第三边为直角边或斜边两种情况,根据勾股定理分别求第三边.【详解】当第三边为直角边时,4为斜边,第三边;当第三边为斜边时,3和4为直角边,第三边=5,故选:D.【点睛】本题考查了勾股定理.关键是根据第三边为直角边或斜边,分类讨论,利用勾股定理求解.11.C解析:C【解析】由于直线y=-x+4的图象不经过第三象限.因此无论m取何值,直线y=x+2m与y=-x+4的交点不可能在第三象限.故选C.12.A解析:A【解析】【分析】首先写出函数的解析式,根据函数的特点即可确定.【详解】由题意得:s与t的函数关系式为s=600-200t,其中0≤t≤3,所以函数图象是A.故选A.【点睛】本题主要考查函数的图象的知识点,解答时应看清函数图象的横轴和纵轴表示的量,再根据实际情况来判断函数图象.13.A解析:A【解析】【分析】【详解】∵点C′是AB边的中点,AB=6,∴BC′=3,由图形折叠特性知,C′F=CF=BC-BF=9-BF,在Rt△C′BF中,BF2+BC′2=C′F2,∴BF2+9=(9-BF)2,解得,BF=4,故选A.14.C解析:C【解析】【分析】观察图形,找出图中的直角三角形,利用勾股定理解答即可.【详解】首先根据圆柱的高,知筷子在杯内的最小长度是8cm,则在杯外的最大长度是24-8=16cm;再根据勾股定理求得筷子在杯内的最大长度是(如图)=,则在杯外的最小长度是24-17=7cm,所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm,故选C.【点睛】本题考查了勾股定理的应用,注意此题要求的是筷子露在杯外的取值范围.主要是根据勾股定理求出筷子在杯内的最大长度.15.C解析:C【解析】【分析】易证Rt ABE Rt ADF ≌,从而得到BE DF =,求得15BAE DAF ∠=∠=︒;进而得到CE CF =,判断出AC 是线段EF 的垂直平分线,在Rt AGF 中,利用正切函数证得②正确;观察得到BE GE ≠,判断出③错误;设BE x =,CE y =,在Rt ABE 中,运用勾股定理就可得到2222x xy y +=,从而可以求出CEF 与ABE 的面积比.【详解】∵四边形ABCD 是正方形,AEF 是等边三角形,∴90B BCD D AB BC DC AD AE AF EF ∠=∠=∠=︒=====,,.在Rt ABE 和Rt ADF 中, AB AD AE AF ⎧⎨⎩==∴()Rt ABE Rt ADF HL ≌. ∴BE DF =,∠BAE =∠DAF ∴()()1190601522BAE DAF BAD EAF ∠=∠=∠-∠=︒-︒=︒ 故①正确;∵BE DF BC DC ==,,∴CE BC BE DC DF CF =-=-=,∵AE AF =,CE CF =,∴AC 是线段EF 的垂直平分线,∵90ECF ∠=︒,∴GC GE GF ==,在Rt AGF 中, ∵tan tan 603AG AG AFG GF GC ∠=︒=== ∴3AG GC =,故②正确;∵BE DF GE GF ==,,15BAE ∠=︒,30GAE ∠=︒,90B AGE ∠=∠=︒∴BE GE ≠∴BE DF EF +≠,故③错误;设BE x =,CE y =,则CF CE y ==,AB BC x y AE EF ==+====,. 在Rt ABE 中,∵90B ∠=︒,AB x y BE x AE =+==,,,∴222())x y x ++=.整理得:2222x xy y +=.∴CEF S :ABE S11CE ?CF :AB?BE 22⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()•:?CE CF AB BE ==2y :()x y x ⎡⎤+⎣⎦()()2222:2:1x xy x xy =++=.∴CEF ABE 2S S =,故④正确;综上:①②④正确故选:C.【点睛】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识,而采用整体思想(把2x xy +看成一个整体)是解决本题的关键.二、填空题16.x <1【解析】观察图象即可得不等式kx<-x+3的解集是x <1点睛:本题主要考查了一次函数的交点问题及一次函数与一元一次不等式之间的关系会利用数形结合思想是解决本题的关键解析:x <1【解析】观察图象即可得不等式kx<-x+3的解集是x <1.点睛:本题主要考查了一次函数的交点问题及一次函数与一元一次不等式之间的关系,会利用数形结合思想是解决本题的关键. 17.【解析】【分析】由根式的被开方数大于等于0分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值即可【详解】根据题意得解得故答案为:【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变 解析:0x >.【解析】【分析】由根式的被开方数大于等于0,分式的分母不等于0联立不等式组求解x 的取值即可.【详解】根据题意得,0 xx≥⎧⎨≠⎩解得,0x>故答案为:0x>.【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法,函数的定义域,就是使函数解析式有意义的自变量的取值范围,是基础题.18.x=2【解析】【分析】依据待定系数法即可得到k和b的值进而得出关于x 的方程kx=b的解【详解】解:∵一次函数y=kx+b的图象与x轴相交于点(﹣20)与y轴相交于点(03)∴解得∴关于x的方程kx=解析:x=2【解析】【分析】依据待定系数法即可得到k和b的值,进而得出关于x的方程kx=b的解.【详解】解:∵一次函数y=kx+b的图象与x轴相交于点(﹣2,0),与y轴相交于点(0,3),∴0=-2k+b3=b⎧⎨⎩,解得323kb⎧=⎪⎨⎪=⎩,∴关于x的方程kx=b即为:32x=3,解得x=2,故答案为:x=2.【点睛】本题主要考查了待定系数法的应用,任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 (a,b为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次方程可以转化为:当某个一次函数的值为0时,求相应的自变量的值.从图象上看,相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值.19.20【解析】【分析】通过矩形的性质可得再根据∠AOB=120°可证△AOD是等边三角形即可求出OD的长度再通过证明四边形CODE是菱形即可求解四边形CODE的周长【详解】∵四边形ABCD是矩形∴∵∠解析:20【解析】【分析】通过矩形的性质可得OD OA OB OC===,再根据∠AOB=120°,可证△AOD是等边三角形,即可求出OD 的长度,再通过证明四边形CODE 是菱形,即可求解四边形CODE 的周长.【详解】∵四边形ABCD 是矩形∴OD OA OB OC ===∵∠AOB=120°∴18060AOD AOB =︒-=︒∠∠∴△AOD 是等边三角形∵5AD =∴5OD OA ==∴5OD OC ==∵CE//BD ,DE//AC∴四边形CODE 是平行四边形∵5OD OC ==∴四边形CODE 是菱形∴5OD OC DE CE ====∴四边形CODE 的周长20OD OC DE CE =+++=故答案为:20.【点睛】本题考查了四边形的周长问题,掌握矩形的性质、等边三角形的性质、菱形的性质以及判定定理是解题的关键.20.或【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可求出xy 的值代入即可得出结论【详解】∵且∴∴∴或故答案为:或【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件解答本题的关键由二次根式有意义的条件求出xy 的值解析:1-或7-.【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件可求出x 、y 的值,代入即可得出结论.【详解】∵290x -且290x -≥,∴3x =±,∴4y =,∴1x y -=-或7-.故答案为:1-或7-.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件.解答本题的关键由二次根式有意义的条件求出x 、y 的值.21.7【解析】【分析】根据题目中的数据和方差的定义可以求得所求数据的方差【详解】设一组数据135a8的平均数是另一组数据111315+1018的平均数是+10∵=07∴==07故答案为07【点睛】本题考解析:7【分析】根据题目中的数据和方差的定义,可以求得所求数据的方差.【详解】设一组数据1,3,5,a,8的平均数是x,另一组数据11,13,15,x+10,18的平均数是x+10,∵22222 (1)(3)(5)()(8)5x x x a x x-+-+-+-+-=0.7,∴222 (1110)(1310)(1810)5x x x--+--+⋯--=22222 (1)(3)(5)()(8)5x x x a x x -+-+-+-+-=0.7,故答案为0.7.【点睛】本题考查方差,解答本题的关键是明确题意,利用方差的知识解答.22.x>2019【解析】【分析】根据二次根式的定义进行解答【详解】在实数范围内有意义即x-20190所以x的取值范围是x2019【点睛】本题考查了二次根式的定义熟练掌握二次根式的定义是本题解题关键解析:x>2019【解析】【分析】根据二次根式的定义进行解答.【详解】x-2019≥ 0,所以x的取值范围是x≥ 2019.【点睛】本题考查了二次根式的定义,熟练掌握二次根式的定义是本题解题关键.23.【解析】试题分析:数据:﹣142﹣2x的众数是2即的2次数最多;即x=2则其平均数为:(﹣1+4+2﹣2+2)÷5=1故答案为1考点:1众数;2算术平均数解析:【解析】试题分析:数据:﹣1,4,2,﹣2,x的众数是2,即的2次数最多;即x=2.则其平均数为:(﹣1+4+2﹣2+2)÷5=1.故答案为1.考点:1.众数;2.算术平均数.24.2【解析】【分析】先用平均数是3可得x的值再结合方差公式计算即可【详解】平均数是3(1+2+3+x+5)解得:x=4∴方差是S2(1﹣3)2+(2﹣3)2+(3﹣3)2+(4﹣3)2+(5﹣3)21解析:2【分析】先用平均数是3可得x的值,再结合方差公式计算即可.【详解】平均数是315=(1+2+3+x+5),解得:x=4,∴方差是S215=[(1﹣3)2+(2﹣3)2+(3﹣3)2+(4﹣3)2+(5﹣3)2]15=⨯10=2.故答案为2.【点睛】本题考查了平均数和方差的概念,解题的关键是牢记方差的计算公式,难度不大.25.y=-3x+5【解析】【分析】平移时k的值不变只有b发生变化【详解】解:原直线的k=-3b=0;向上平移5个单位得到了新直线那么新直线的k=-3b=0+5=5∴新直线的解析式为y=-3x+5故答案为解析:y=-3x+5【解析】【分析】平移时k的值不变,只有b发生变化.【详解】解:原直线的k=-3,b=0;向上平移5个单位得到了新直线,那么新直线的k=-3,b=0+5=5.∴新直线的解析式为y=-3x+5.故答案为y=-3x+5.【点睛】求直线平移后的解析式时要注意平移时k和b的值的变化,掌握这点很重要.三、解答题26.见解析.【解析】【分析】通过证明△EOB≌△FOD得出EO=FO,结合G、H分别为OB、OD的中点,可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形进行证明.【详解】证明:∵四边形ABCD为平行四边形,∴BO=DO,AD=BC且AD∥BC.∴∠ADO=∠CBO.又∵∠EOB=∠FOD,∴△EOB≌△FOD(ASA).∴EO=FO.又∵G、H分别为OB、OD的中点,∴GO=HO.∴四边形GEHF为平行四边形.【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质,熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键.平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应,每种方法都对应着一种性质,在应用时应注意它们的区别与联系.27.-31【解析】【分析】根据整数指数幂,二次根式立方根的定义,化简计算即可.【详解】原式8443=-⨯+-3243=+-31=-故答案是-31.【点睛】本题考查了实数的运算,将二次根式及整数指数幂化简是解决本题的关键.28.(1)A(3,0),B(0,2);(2)3;(3)P (34,32),y=-6x+6【解析】【分析】(1)已知直线y1的解析式,分别令x=0和y=0即可求出A和B的坐标;(2)根据(1)中求出的A和B的坐标,可知OA和OB的长,利用三角形的面积公式即可求出S△ABO;(3)由(2)中的S△ABO,可推出S△APC的面积,求出y p,继而求出点P的坐标,将点C 和点P的坐标联立方程组求出k和b的值后即可求出函数解析式.【详解】解:(1)∵一次函数的解析式为y1=-23x+2,令x=0,得y1=2,∴B(0,2),令y1=0,得x=3,∴A(3,0);(2)由(1)知:OA=3,OB=2,∴S △ABO =12OA•OB=12×3×2=3; (3)∵12S △ABO =12×3=32,点P 在第一象限, ∴S △APC =12AC•y p =12×(3-1)×y p =32, 解得:y p =32, 又点P 在直线y 1上, ∴32=-23x+2, 解得:x=34, ∴P 点坐标为(34,32), 将点C(1,0)、P(34,32)代入y=kx+b 中,得 03324k b k b =+⎧⎪⎨=+⎪⎩, 解得:66k b =-⎧⎨=⎩. 故可得直线CP 的函数表达式为y=-6x+6.【点睛】本题是一道一次函数综合题,考查了一次函数的性质、三角形的面积公式、待定系数法求解一次函数的解析式等知识点,解题关键是根据S △APC =12AC•y p 求出点P 的纵坐标,难度中等. 29. -11x +,-14. 【解析】试题分析:根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子,然后在﹣1,0,1,3中选取一个使得原分式有意义的x 的值代入即可解答本题.试题解析:原式=1﹣()()()21·11x x x x x x +-+- =1﹣21x x ++ =121x x x +--+=-11x +, 当x=3时,原式=﹣131+ =-14.30.(1)作线段BC 的中段线,BC 的中点为F ,连结AF 即可,见解析;(2) 见解析.【解析】【分析】(1)作BC 的垂直平分线得到BC 的中点F ,从而得到BC 边上的中线AF ;(2)写出已知、求证,连接DF 、EF ,如图,先证明EF 为AB 边的中位线,利用三角形中位线性质得到EF ∥AD ,EF=AD ,则可判断四边形ADFE 为平行四边形,从而得到DE 与AF 互相平分.【详解】解:(1)作线段BC 的中段线,BC 的中点为F ,连结AF 即可。

东北师范大学附属中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题(解析版)

东北师范大学附属中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题(解析版)

2023-2024学年东北师大附中初中部初一年级数学学科试卷第二学期期中考试考试时长:120分钟试卷分值:120分一、选择题(共8小题,每题3分,共24分)1. 如图,下列四种通信标志中,其图案是轴对称图形的是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别,根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可:如果一个平面图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形,这条直线就叫做对称轴.【详解】解:A 、不是轴对称图形,故此选项不符合题意;B 、不是轴对称图形,故此选项不符合题意;C 、是轴对称图形,故此选项符合题意;D 、不是轴对称图形,故此选项不符合题意;故选:C .2. 已知a b >,下列不等式成立的是( )A. a b −>−B. 22a b −<−C. 22a b <D. 0a b −<【答案】B【解析】【分析】本题考查了不等式的基本性质,易错在不等式的基本性质3,不等式两边同时乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变.不等式性质:基本性质1.不等式两边同时加上或减去同一个整式,不等号的方向不变.基本性质2.不等式两边同时乘以或除以同一个正数,不等号的方向不变.基本性质3.不等式两边同时乘以或除以同一个负数,不等号的方向改变.根据性质逐一分析即可.【详解】解:A .∵a b >,∴a b −<−,故不符合题意;B . ∵a b >,∴a b −<−,∴22a b −<−,故符合题意;C .∵a b >,∴22a b >,故不符合题意;D . ∵a b >,∴0a b −>,故不符合题意.故选:B .3. 一副三角板,按如图所示叠放在一起,则图中α∠的度数为( )A. 60°B. 65°C. 75°D. 85°【答案】C【解析】 【分析】本题考查了与三角板有关的运算以及三角形内角和性质,先得出115ABD ABC ∠=∠−∠=°,再运用三角形内角和进行列式,计算即可作答.【详解】解:如图所示:由题意得出6045ABD ABC ∠=°∠=°,,∴1604515ABD ABC ∠=∠−∠=°−°=°,∵90D ∠=︒,∴180901575α∠=°−°−°=°,故选:C .4. 下列多边形材料中,不能单独用来铺满地面的是( )A. 三角形B. 四边形C. 正五边形D. 正六边形【答案】C【解析】【分析】一个多边形的镶嵌应该符合其内角度数可以整除360°【详解】A 、三角形内角和为180°,能整除360°,能密铺,故此选项不合题意;B 、四边形内角和为360°,能整除360°,能密铺,故此选项不合题意;C 、正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°,不能整除360°,不能密铺,故此选项合题意;D 、正六边形每个内角为180°﹣360°÷6=120°,能整除360°,能密铺,故此选项不合题意; 故选C .【点睛】本题主要考查图形的镶嵌问题,重点是掌握多边形镶嵌的原理.5. 已知12x y = =是关于x ,y 的方程,x +ky =3的一个解,则k 的值为( ) A. -1B. 1C. 2D. 3 【答案】B【解析】【分析】把x 与y 的值代入方程计算即可求出k 的值.【详解】解:∵12x y = =是关于x 、y 的方程x +ky =3的一个解, ∴把12x y = =代入到原方程,得1+2k =3, 解得k =1,故选:B .【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解的定义,解一元一次方程,熟知方程的解是使方程两边相等的未知数的值是解题的关键.6. 一个三角形两边的长分别是3和5,则这个三角形第三边的长可能是( )A. 1B. 1.5C. 2D. 4【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了三角形的三边关系,即任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.先根据三角形的三边关系求出x 的取值范围,再求出符合条件的x 的值即可.【详解】解:设三角形第三边的长为x ,则 5353x −<<+,即28x <<,只有选项D 符合题意.故选D .7. 不等式53x −≥的解集在数轴上表示正确的是( )A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式,利用数轴表示不等式的解集.先求出不等式的解集,再在数轴上表示出来不等式的解集即可,注意大于小于用空心,大于等于小于等于用实心,大于大于等于开口向右,小于小于等于开口向左.【详解】解:53x −≥,∴2x ≤,数轴上表示:,故选:A .8. 某学校为学生配备物理电学实验器材,一个电表包内装有1个电压表和2个电流表.某生产线共60名工人,每名工人每天可生产14个电压表或20个电流表.若分配x 名工人生产电压表,y 名工人生产电流 ) A. 6022014x y y x += ×=B. 6014202x y x y += =C. 601420x y x y += =D. 6021420x y x y += ×=【答案】D【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,解决本题的关键是得到电压表数量和电流表数量的等量关系.【详解】解:若分配x 名工人生产电压表,y 名工人生产电流表,由题意,得6021420x y y y += ×=. 故选:D .二、填空题(共6小题,每小题3分,共18分)9. 已知二元一次方程327x y +=,用含x 的代数式表示y ,则y =______.为【答案】7322x − 【解析】【分析】本题考查了解二元一次方程,根据327x y +=,将x 看成已知数,进行移项,再系数化1,即可作答.【详解】解:∵327x y +=∴273y x =−7322y x =− 故答案为:7322x − 10. 在通过桥洞时,往往会看到如图所示标志:这是限制车高的标志,表示车辆高度不能超过5m ,通过桥洞的车高m x 应满足的不等式为_____________.【答案】5x ≤##5x ≥【解析】【分析】根据不等式的定义列不等式即可.5m ,∴5x ≤.故答案为5x ≤.【点睛】本题主要考查列不等式,掌握不等式的定义是解答本题的关键.11. 不等式组10{212x x −<−≥的最小整数解为_________. 【答案】2【解析】【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解,正确求出每一个不等式解集,根据“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的原则是解答此题的关键.【详解】解:解不等式组10{212x x −<−≥得:32x ≥, ∴最小整数解为2,故答案为:2.的12. 如图,正五边形ABCDE 和正六边形EFGHMN 的边CD 、FG 在直线l 上,正五边形在正六边形左侧,两个正多边形均在l 的同侧,则DEF ∠的大小是___度.【答案】48【解析】【分析】利用正多边形的内角和,求出其中一个角的度数,进一步求出三角形DEF 的两个内角,最后由三角形内角和定理来求解.【详解】解: 正五边形内角和为540°且CD 在直线l 上,5401085EDC °∴∠==°, 正六边形内角和为720°且FG 在直线l 上, 7201206EFG °∴∠==°, 在EDF 中,180DEF EDF EFD ∠=°−∠−∠,18010872EDF ∠=°−°=° ,18012060EFD ∠=°−°=°,48DEF ∴∠=°,故答案是:48.【点睛】本题考查了正多边形的内角、三角形的内角和定理,解题的关键是:掌握正多边形内角和的求法.13. 我国传统数学名著《九章算术》记载:“今有牛五、羊二,直金十九两;牛二、羊五,直金十六两.问牛、羊各一直金几何?”译文问题:“假设有5头牛、2只羊,值19两银子;2头牛、5只羊,值16两银子,问一头牛、一只羊一共值多少两银子?”则1头牛、1只羊一共值 ______ 两银子.【答案】5【解析】【分析】设每头牛值x 两银子,每只羊值y 两银子,根据“5头牛、2只羊,值19两银子;2头牛、5只羊,值16两银子”,可得出关于x ,y 的二元一次方程组,利用()7+÷①②,即可求出结论.【详解】解:设每头牛值x 两银子,每只羊值y 两银子,根据题意得:52192516x y x y += +=①②, ()7+÷①②得:5x y +=, ∴1头牛、1只羊一共值5两银子,故答案为:5.【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学文化,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.14. 为了更好的开展大课间活动,某班级计划购买跳绳和呼啦圈两种体育用品,已知一个跳绳8元,一个呼啦圈12元.准备用120元钱全部用于购买这两种体育用品(两种都要买且钱全部用完),则该班级的购买方案有______种.【答案】4【解析】【分析】设购买x 个跳绳,y 个呼啦圈,利用总价=单价×数量,即可得出关于x ,y 的二元一次方程,结合x ,y 均为正整数,即可得出购买方案的数量.本题考查了二元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程是解题的关键.【详解】解:设购买x 个跳绳,y 个呼啦圈,依题意得:812120x y +=, 2103y x ∴=−. x ,y 均为正整数,x ∴为3的倍数,∴38x y = = 或66x y = =或94x y = = 或122x y = = , ∴该班级共有4种购买方案.故答案为:4.三、解答题(共10小题,共78分)15. 解方程组:(1)23328y x x y =− +=(2)28452x y x y += −=【答案】(1)21x y = =(2)32x y = =【解析】【分析】本题主要考查了解二元一次方程组:(1)利用代入消元法解方程组即可;(2)利用加减消元法解方程组即可.【小问1详解】解:23328y x x y =− +=①② 把①代入②得:()32238x x +−=,解得2x =, 把2x =代入①得2231y =×−=,∴方程组的解为21x y = =; 小问2详解】解:28452x y x y += −=①② 2×−①②得:714y =,解得2y =,把2y =代入①得:228x +=,解得3x =, ∴方程组解为32x y = = . 16. 解下列不等式(组):(1)()32723x +≥;(2)()313122x x x x −> −−≥【的【答案】(1)13x ≥(2)无解【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式以及解一元一次不等式组,正确掌握相关性质内容是解题的关键. (1)先去括号,再移项合并同类项,系数化1,即可作答.(2)分别算出每个不等式组的解集,再取公共部分的解集,即可作答.【小问1详解】解:()32723x +≥,62123x +≥,62x ≥,13x ≥; 【小问2详解】解:()313122x x x x −> −−≥, 由()31x x −>,得33x x −>,解得32x >, 由3122x x −−≥,得243x x −≥−1x ≤, 此时不等式组无解.17. 如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,给出了以格点(网格线的交点)为顶点的ABC ,线段MN 在网格线上.(1)画出AB 边上的高线CD ;(2)画出BC 边上的中线AE ;(3)在线段MN 上任取一点P ,则ABP 的面积是______.【答案】(1)见详解 (2)见详解(3)5【解析】【分析】本题考查了三角形的高,中线的定义,运用网格求面积,正确掌握相关性质内容是解题的关键.(1)过点C作CD垂直于BA的延长线,交点为点D,即可作答.(2)根据网格特征以及中线定义,进行作图即可;(3)根据平行线之间的距离处处相等的性质,得出MN与AB的距离为5,再结合三角形面积公式进行计算,即可作答.【小问1详解】解:AB边上的高线CD如图所示:【小问2详解】解:BC边上的中线AE如图所示:【小问3详解】解:如图所示:∴ABP 的面积12552=××=. 18. 如图,在ABC 中,AN 是ABC 的角平分线,50B ∠=°,80ANC ∠=°,求C ∠的度数.【答案】70° 【解析】【分析】根据三角形外角的性质,角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得到结论.此题主要考查了三角形外角的性质,角平分线的定义,关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 【详解】解:∵5080ANC B BAN B ANC ∠=∠+∠∠=°∠=°,,. ∴805030BAN ANC B ∠∠∠=−=°−°=°,∵AN 是BAC ∠角平分线,∴223060BAC BAN ∠∠×°°,在ABC 中,180180506070C B BAC ∠=°−∠−∠=°−°−°=°. 19. 若一个多边形的内角和的14比它的外角和多90°,那么这个多边形的边数是多少? 【答案】12 【解析】【分析】设这个多边形的边数是n ,根据题意,列方程1(2)180360904n −×°=°+°求解即可. 【详解】解:设这个多边形的边数是n , 由题意得:1(2)180360904n −×°=°+°, 解得:12n =,答:这个多边形的边数是12.【点睛】本题考查了多边形的内角和和外角和定理,熟练掌握两个定理是解题的关键. 20. 在长方形ABCD 中,放入5个形状大小相同的小长方形(空白部分),其中8cm AB =,12cm BC =,求图中阴影部分图形的面积.【答案】236cm 【解析】【分析】设小长方形的长为xcm ,宽为ycm ,根据图形中大长方形的长和宽列二元一次方程组,求出x 和y 的值,即可解决问题.本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键.【详解】解:设小长方形的长为xcm ,宽为ycm ,根据题意,得:3128x y x y +=+=,解得:62x y ==, ∴每个小长方形的面积为()22612cm ×=, ∴阴影部分的面积()281251236cm =×−×=.21. 阅读下列材料:解方程组23237432323832x y x yx y x y +− +=+− += .小明发现,如果用代入消元法或加减消元法求解,运算量比较大,容易出错.如果把方程组中的()23x y +看成一个整体,把()23x y −看成一个整体,通过换元,可以解决问题.以下是他的解题过程:令23mx y =+,23n x y =−.原方程组化为743832m nm n += += ,解得6024m n = =− , 把6024m n = =− 代入23m x y =+,23n x y =−,得23602324x y x y +=−=− ,解得914x y = = ,∴原方程组的解为914x y ==. (1)学以致用:运用上述方法解方程组:()()()()213211224x y x y ++−=+−−=(2)拓展提升: 已知关于x ,y 的方程组111222a x b y c a x b y c +=+=的解为34x y = = ,请直接写出关于m 、n 的方程组()()1112222323a m b n c a m b n c +−=+−= 的解是______. 【答案】(1)11x y == (2)143m n = =−【解析】【分析】本题主要考查了换元法解二元一次方程组:(1)结合题意,利用整体代入法求解,令1m x =+,2n y =−得23124m n m n +=−=,解得21m n = =− 即1221x y +=−=− 即可求解;(2)结合题意,利用整体代入法求解,令2x m =+,3y n =−,则()()1212222323a m b n c a m b n c +−=+−= 可化为121222a x b y c a x b y c +=+= ,且解为34x y = = 则有2334m n +=−= ,求解即可. 【小问1详解】解:令1m x =+,2ny =−, 原方程组化为23124m n m n += −=,解得21m n ==− ,1221x y +=∴ −=−,解得:11x y ==, ∴原方程组的解为 11x y = =; 【小问2详解】解:在()()1212222323a m b n c a m b n c +−=+−= 中,令2x m =+,3y n =−,则()()1212222323a m b n c a m b n c +−=+−= 可化为121222a x b y c a x b y c += += , ∵方程组121222a x b y c a x b y c +=+= 解为34x y = = ,∴2334m n +=−=, 143m n = ∴ =−,故答案为:143m n ==−.22. “粮食生产根本在耕地、出路在科技”.为提高农田耕种效率,今年开春某农村合作社计划投入资金购进甲、乙两种农耕设备,已知购进2台甲种农耕设备和1台乙种农耕设备共需4.2万元;购进1台甲种农耕设备和3台乙种农耕设备共需5.1万元.(1)求甲种农耕设备和乙种农耕设备单价各是多少万元;(2)若该合作社决定购买甲、乙两种农耕设备共7台,且购进甲、乙两种农耕设备总资金不超过10万元,求最多可以购进甲种农耕设备多少台.【答案】(1)1台甲种农耕设备需1.5万元,1台乙种农耕设备需1.2万元; (2)5台 【解析】【分析】(1)设购进1台甲种农耕设备需x 万元,1台乙种农耕设备需y 万元,根据“购进2台甲种农耕设备和1台乙种农耕设备共需4.2万元;购进1台甲种农耕设备和3台乙种农耕设备共需5.1万元”,可得出关于x ,y 的二元一次方程组,解之即可得出结论;(2)设购进甲种农耕设备m 台,则购进乙种农耕设备()7m −台,利用总价=单价×数量,结合总价不超过10万元,可得出关于m 的一元一次不等式,解之可得出m 的取值范围,再取其中的最大整数值,即可得出结论.本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式. 【小问1详解】解:设购进1台甲种农耕设备需x 万元,1台乙种农耕设备需y 万元,根据题意得:2 4.23 5.1x y x y += +=,解得: 1.51.2x y ==.答:购进1台甲种农耕设备需1.5万元,1台乙种农耕设备需1.2万元; 【小问2详解】解:设购进甲种农耕设备m 台,则购进乙种农耕设备()7m −台, 根据题意得:()1.5 1.2710m m +−, 解得:153m ≤, 又m 为正整数,m ∴的最大值为5.答:最多可以购进甲种农耕设备5台.23. 【探究】如图①,在ABC 中,点D 是BC 延长线上一点,ABC ∠的平分线BP 与ACD ∠的平分线CP 相交于点P .则有12P A ∠=∠, 请补全下面证明过程:证明:BP 平分ABC ∠,CP 平分ACD ∠, 2ABC PBC ∴∠=∠,2ACD ∠=∠______(______). ACD A ∠=∠+∠ ______(三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和), 22PCD A PBC ∴∠=∠+∠._____PCD PBC ∠=∠+∠ (三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和),12P A ∴∠=∠. 【应用】如图②,在四边形MNCB 中,设M α∠=,N β∠=,若180αβ+>°,四边形的内角MBC ∠与外角NCD ∠的角平分线BP CP ,相交于点P .为了探究P ∠的度数与α和β的关系,小明同学想到将这个问题转化图①的模型,因此,延长了边BM 与CN 交于点A .如图③,若106BMN∠=°,124MNC ∠=°,则______A ∠=°,因此______P ∠=°. 【拓展】如图④,在四边形MNCB 中,设M α∠=,N β∠=,若180αβ+<°,四边形的内角MBC ∠与外角NCD ∠的角平分线所在的直线相交于点P ,请直接写出P ∠=______.(用含有α和β的代数式表示)【答案】探究:PCD ;角平分线的定义;PBC ;P ;应用:50°;25°;拓展:121902αβ°−− 【解析】【分析】本题主要考查了三角形内角和定理,三角形外角的性质,角平分线的定义: 探究:根据三角形外角的性质和角平分线的定义结合已给推理过程求解即可;应用:先利用平角的定义和三角形内角和定理求出A ∠的度数,再有探究的结论即可得到答案;拓展:延长MB 交NC 的延长线于A ,则由三角形内角和定理可得180A αβ=°−−∠;再由题意可得PB PC ,分别平分ABH ACB ∠,∠,则11190222PA αβ==°−−∠∠. 【详解】解:探究:证明:BP 平分ABC ∠,CP 平分ACD ∠, 2ABC PBC ∴∠=∠,2ACD PCD ∠=∠(角平分线的定义). ACD A ABC ∠=∠+∠ (三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和), 22PCD A PBC ∴∠=∠+∠.PCD P PBC ∠=∠+∠ (三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和), 12P A ∴∠=∠, 故答案为:PCD ;角平分线的定义;PBC ;P ; 应用:延长了边BM 与CN 交于点A .如图③, ∵106BMN∠=°,124MNC ∠=°,∴1807418056AMN BMN ANM MNC =°−=°=°−=°∠∠,∠∠, ∴18050A AMN ANM =°−−=°∠∠∠, ∴1252P A ∠=∠=°, 故答案:50°;25°.拓展:如图,延长MB 交NC 的延长线于A ,∵M α∠=,N β∠=, ∴180180A M N αβ=°−−=°−−∠∠∠; ∵四边形的内角MBC ∠与外角NCD ∠的角平分线所在的直线相交于点P , ∴PB PC ,分别平分ABH ACB ∠,∠,∴11190222PA αβ==°−−∠∠, 故答案为:121902αβ°−−.24. 如图①,点O 为数轴原点,3OA =,正方形ABCD 的边长为6,点P 从点O 出发,沿射线OA 方向运动,速度为每秒2个单位长度,设运动时间为t 秒,请回答下列问题.为(1)点A 表示的数为______,点D 表示的数为______. (2)APC △的面积为6时,求t 的值.(3)如图②,当点P 运动至D 点时,立即以原速返回,到O 点后停止.在点P 运动过程中,作线段3PE =,点E 在数轴上点P 右侧,以PE 为边向上作正方形PEFG ,当DPF 与ABG 面积和为16时,直接写出t 的值.【答案】(1)3,9 (2)t 的值为12秒或52秒 (3)1318t =或236或316或14918.【解析】【分析】(1)根据线段OA 的长和正方形的边长可以求解.(2)根据P 点的运动速度与运动时间得出运动路程,对应数数轴得出结论.(3)根据P 点运动确定正方形的位置再去讨论DPF 与ABG 面积和为16时的t 值. 本题考查了数轴与动点的结合,表示出P 点的运动距离是本题的解题关键. 【小问1详解】解: 3OA = ,且O 为数轴原点,在O 的右侧,A ∴表示的数为3,正方形的边长为6,639OD ∴=+=,D ∴表示的数为9.故答案是3,9; 【小问2详解】解:∵APC △的面积为6, ∴116622APC S AP CD AP =×=××=△, 解得2AP =,P 点从O 点开始运动且速度为每秒2个单位长度,2OP t ∴=,∵3OA =,∴当点P 在AO 之间时,则3322AP OP t =−=−=,解得12t =, ∴当点P 在OA 的延长线上时,则3232AP OP t =−=−=,解得52t =, ∴APC △的面积为6时,t 的值为12秒或52秒; 【小问3详解】解:①当P 点在A 点左侧时,2OP t =,由题意得:连接BG AG PF FD ,,,,如图所示:∵36OA AD ==,, ∴9OD =,∵速度为每秒2个单位长度,设运动时间为t 秒, ∴902t ≤≤, ∴32PA OA OP t =−=−, ∴()11279233222DPF S PD EF t t =××=−×=− , ()116329622ABGS AB AP t t =××=××−=− , ∵DPF 与ABG 面积和为16, ∴27396162DPF ABG S S t t +=−+−= , 解得1318t =, 当P 点在A 点右侧时,连接BG AG PF FD ,,,,如图所示:同理得()11279233222DPF S PD EF t t =××=−×=− , ()116236922ABGS AB AP t t =××=××−=− , ∵DPF 与ABG 面积和为16, ∴27369162DPF ABG S S t t +=−+−= , 解得236t =, ②点P 从D 向O 运动时,则9999222t <≤+=, 连接BG AG PF FD ,,,,如图所示:∴9926222PD t AP AD PD t=×−=−=−−,此时119272332222DPF S PD EF t t =××=×−×=− , 119662456222ABG S AB AP t t=××=××−−=−, ∵DPF 与ABG 面积和为16, ∴273456162DPF ABG S S t t +=−+−= ,第21页/共21页解得316t =, 当P 点在A 点左侧时, 由题意得:连接BG AG PF FD ,,,,如图所示:∴92292962152PD t t AP PD AD t t=×−=−=−=−−=−,, 此时119272332222DPF S PD EF t t =××=×−×=− , ()11621564522ABG S AB AP t t =××=××−=− , ∵DPF 与ABG 面积和为16, ∴273645162DPF ABG S S t t +=−+−= , 解得14918t =, 综上:1318t =或236或316或14918.。

离散数学-东北师范大学考试及答案

离散数学-东北师范大学考试及答案

离散数学【部分判断题答案在选择题中】一、单项选择题【设】字开头1、【答案】82.【答案】163、【答案】4、【答案】D135.【答案】D.I208.【答案】A. 错误209.【答案】D210.【答案】C215.-【答案】D.都正确216.【答案】A. 错误 218.【答案】A. 错误10.设I 是整数集合,下列集合中( )关于数的加法和乘法构成整环。

A .{}I n n ∈ 2B .{}I n n ∈+ 12C .{}I n n n ∈≥ , 0 D .I 【答案】D11.设集合{}3 , 2 , 1=A ,{}5 , 4 , 3 , 2=B ,{}16 , 8 , 4 , 2=C ,{}4 , 3 , 2 , 1=D ,又规定偏序关系“|”是集合上的“整除”关系,则下列偏序集中( )能构成格。

A . , A B ., B C ., C D ., D【答案】C1.设集合{}3 , 2 , 1 , 0=E ,则下面集合与E 相等的是 。

A .{}03 =-∈x R x B .{}9 2-=∈x R x C .{}065 2=++∈x x R x D .{}30 ≤≤∈x N x 【答案】D2.设{}6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1=A ,R 是集合A 上的整除关系,下列叙述中错误的是 。

A .4,5,6全是A 的极大元 B .A 没有最大元 C .6是A 的上界 D .1是A 的最大下界 【答案】C3. 设{} 4 , 3 , 2 , 1=X ,{}d c b a Y , , , =,则下列关系中为从X 到Y 的映射是 。

A .{}c b a , 3 , , 2 , , 1 B .{b c b a , 4 , , , , 2 , , 1 C .{b a a , 3 , , 2 , , 1 D .{c b b b a , , , 4 , , 2 , , 1 , , 1【答案】B4. 设G 是4阶群,则其子群的阶不能是下面的 。

东北师范大学2020年高三年级下学期开学测试文科数学试卷(含答)

东北师范大学2020年高三年级下学期开学测试文科数学试卷(含答)

16.已知抛物线 C : y2 2 px p 0 的焦点为 F , 直线 l 与 C 交于 A , B 两点, AF BF , 线段 AB 的中
点为 M
,
过点 M
作抛物线 C 的准线的垂线,
垂足为 N
,
记 t | AB | , | MN |
则 t 2 的最小值为_________.
三、解答题:共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考题,每个试题考 生都必须作答. 第 22~23 题为选考题,考生根据要求作答.
B. 4 2 1
C. 4 3 8 3
D. 2 3 2
12.已知数列an的前 n 项和为 Sn , 满足 an 2Sn an 1, 且 an 0 , 则下列结论:
①数列 Sn2 是等差数列;② an 2 n ;③ anan1 1,其中
A.仅有①②正确
B.仅有①③正确
C.仅有②③正确
(1)求曲线 C1 , C2 的极坐标方程;
(2)在极坐标系中,点 M
(3, ) 2
,射线
6
(
0) 与曲线 C1 ,C2
分别相交于异于极点 O 的
A,
B两
点,求 MAB 的面积.
23.(本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲
如图, AB 是半圆直径, O 为 AB 的中点, DO AB , C 在 AB 上,且 AC x , BC y . (1)用 x , y 表示线段 OD , CD 的长度; (2)若 a 0 , b 0 , a b 1,求 a4 b4 的最小值.
5
22.(本小题满分 10 分)选修 4-4 坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 xOy 中,已知 P 是曲线 C1 : x2 ( y 2)2 4 上的动点,将 OP 绕点 O 顺时针旋 转 90 得到 OQ ,设点 Q 的轨迹为曲线 C2 .以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

东师附中期末数学试卷

东师附中期末数学试卷

一、选择题(每题5分,共50分)1. 下列各数中,绝对值最小的是()A. -3B. 2C. 0D. -52. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,d=3,则S10的值为()A. 140B. 150C. 160D. 1703. 下列函数中,在定义域内单调递减的是()A. y=x^2B. y=2^xC. y=lnxD. y=x^34. 已知等比数列{bn}的公比为q,若b1=1,b2=2,则q的值为()A. 1B. 2C. 1/2D. 1/35. 下列方程中,无解的是()A. x+3=2x-1B. 2x+1=5C. 3x-2=1D. 2x^2-5x+3=06. 已知圆的方程为x^2+y^2=25,点P(3,4)在圆内,则圆心到点P的距离为()A. 4B. 5C. 6D. 77. 若sinα=1/2,则cos2α的值为()A. √3/2B. -√3/2C. 1/2D. -1/28. 已知等差数列{cn}的公差为d,若c1=5,c5=15,则d的值为()A. 5B. 10C. 15D. 209. 下列不等式中,恒成立的是()A. x^2+x+1>0B. x^2-x+1>0C. x^2+x-1>0D. x^2-x-1>010. 已知函数f(x)=ax^2+bx+c,若f(1)=0,f(-1)=0,则f(0)的值为()A. 0B. 1C. -1D. 不确定二、填空题(每题5分,共50分)11. 已知sinθ=3/5,且θ为锐角,则cosθ的值为______。

12. 在直角三角形ABC中,∠A=90°,AC=3,BC=4,则AB的长度为______。

13. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,q=1/2,则S5的值为______。

14. 已知函数f(x)=x^2-3x+2,则f(-1)的值为______。

15. 已知sinα=1/2,cosα=√3/2,则tanα的值为______。

东师附中期末数学试卷答案

东师附中期末数学试卷答案

一、选择题(每题5分,共50分)1. 下列各数中,有理数是:()A. √9B. √-9C. πD. 0.1010010001…(无限循环小数)答案:A解析:有理数是可以表示为两个整数之比的数。

A选项√9=3,可以表示为3/1,是有理数。

2. 下列函数中,y是x的二次函数是:()A. y=x^2+3x+2B. y=2x^2+5C. y=x^3-2x+1D. y=3x^2+2x+1答案:B解析:二次函数的一般形式是y=ax^2+bx+c,其中a、b、c为常数,且a≠0。

B选项符合这个形式。

3. 在△ABC中,∠A=30°,∠B=45°,则∠C=()A. 105°B. 120°C. 135°D. 150°答案:C解析:三角形内角和为180°,∠A+∠B+∠C=180°。

代入已知角度,得到∠C=180°-30°-45°=105°。

4. 若a、b、c是等差数列,且a+b+c=12,a+c=8,则b=()A. 2B. 4C. 6D. 8答案:B解析:等差数列的性质是相邻两项之差相等。

设公差为d,则a+c=2a+d=8,a+b+c=3a+3d=12。

解得a=2,d=2,所以b=a+d=2+2=4。

5. 下列各式中,正确的是:()A. sin(π/2)=1B. cos(π/2)=1C. tan(π/2)=1D. cot(π/2)=1答案:A解析:sin(π/2)表示正弦函数在π/2(即90°)的值,此时正弦值为1。

其他选项在π/2时的值均为0。

二、填空题(每题5分,共25分)6. 二项式(x+2)^5的展开式中,x^2的系数是______。

答案:40解析:根据二项式定理,(x+2)^5的展开式中x^2的系数为C(5,2)×2^3=10×8=80。

7. 若等比数列的首项为2,公比为1/2,则该数列的第10项是______。

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2015年东北师范大学攻读硕士学位研究生入学考试业务课试卷 专业名称:学科教学(数学)
考试科目:数学分析(学科教学) 学科代码:853
一 选择题(每题5分,共20分)
(1)设P>0,则 : f x =sin ⁡(x )x p
在 1,+∞ 上的广义积分() A. 一定不存在 B.一定存在 C. 无法判断 D. 若存在,则在其上绝对可积
(2)二元函数f (x,y )在开集D 上关于 x,y 的偏导数为0,则()
A. f(x,y)在D 上恒为常数 B .f(x,y)在D 闭包上恒为常数
C.若D 是联通的,f(x,y)在D 上恒为常数
D.以上都不对
(3)级数 (−1)n n x n +∞n =1的收敛域()
A. 实数域 B .[-1,1] C. (-1,1) D. (-1,1]
(4)f(x)是定义在在(a,b )上的函数,若对任意x 0∈(a ,b ),函数
f x −f (x 0)x−x 0关于x 单调增加,则()
A. f(x)在(a,b )上存在导数
B. f(x)在(a,b )上是增函数
C.f(x)是在(a,b )上是减函数
D. f(x)在(a,b)上左右导数存在
二,判断对错(每小题5分,共20分)
1.函数f (x,y )在区域D 上的上确界为M ,则存在 x 0,y 0 ∈D 使得f x 0,y 0 =M
2.若函数|f(x)|在[a,b ]上黎曼可积,则函数f(x)在[a ,b ]上黎曼可积
3.函数f(x)在[a,b ]上可导f ‘ a =−1,f ′ b =2,则存在至少一点c ∈(a ,b )使得f ’ a =1
4.序列{x 1,x 2……}∈s 且该序列是柯西列.则存在a 0∈s 使得 lim n→+∞x n =a 0. 三,计算题(每小题8分,共40分)
1. lim n →∞
1+ 2+ 3+⋯+ n n 32 2. e −x sin⁡(ax )dx +∞0
3. n 2+1n ! 2n x n +∞n =1
4. e −x 2
+∞0dx
5.计算A ={(x ,y ,z )|5x 2+3y 2+8z 2+2xy −8xz −8yz ≤2}的体积.
四,(本题15分)令[x ]表示小雨等于x 的最大整数,f(x)是定义在(a,b )上的函数, 试证明:
f n =
[nf (x )]n 一致收敛于函数f(x).
五,(本题17分)
设 f (x )+∞0dx 收敛,xf(x)在[a,+∞)上单调下降,求证:
(1) xf x ≥0 x ≥a ;
(2) lim x→+∞xf x lnx =0
六,(本题18分)
f(x)是[a,b ]上连续的凸函数(即对任意的0≤α≤1,x 1,x 2∈[a ,b ]),有:
f ax 1+ 1−α x 2 ≤αf x 1 + 1−α f x 2
试证明: 1b−a f (x )dx b a
≥f (a +b 2
)
七,(本题20分)
设 f(x,y)是定义在R2上的二元函数且在零点连续,满足如下条件;
(a) 对∀x,y∈R2,f x,y≥0 且f(x,y)=0当且仅当x=0,y=0;
(b) 对任意实数λ,f(λx,λy)=|λ|f(x,y)
(c) 对任意的(x,y)∈R2,x1,y1∈R2,有f x1+x2,y1+y2≤f x1,y1+f(x2,y2)试证明:
(1)f(x,y)在R2上连续;
(2)存在0<m<M使得,对任意的(x,y)∈R2满足x2+y2=1,有
m≤f(x,y)≤M;
(3)在R2上一致连续。

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