东师学科,数学真题

2015年东北师范大学攻读硕士学位研究生入学考试业务课试卷 专业名称：学科教学（数学）

考试科目：数学分析（学科教学） 学科代码：853

一 选择题（每题5分，共20分）

（1）设P>0，则 ： f x =sin ⁡(x )x p

在 1,+∞ 上的广义积分（） A. 一定不存在 B.一定存在 C. 无法判断 D. 若存在，则在其上绝对可积

（2）二元函数f (x,y )在开集D 上关于 x,y 的偏导数为0，则（）

A. f(x,y)在D 上恒为常数 B .f(x,y)在D 闭包上恒为常数

C.若D 是联通的，f(x,y)在D 上恒为常数

D.以上都不对

（3）级数 (−1)n n x n +∞n =1的收敛域（）

A. 实数域 B .[-1,1] C. (-1,1) D. (-1,1]

（4）f(x)是定义在在(a,b )上的函数，若对任意x 0∈(a ,b ),函数

f x −f (x 0)x−x 0关于x 单调增加，则（）

A. f(x)在(a,b )上存在导数

B. f(x)在(a,b )上是增函数

C.f(x)是在(a,b )上是减函数

D. f(x)在(a,b)上左右导数存在

二，判断对错（每小题5分，共20分）

1.函数f (x,y )在区域D 上的上确界为M ，则存在 x 0，y 0 ∈D 使得f x 0，y 0 =M

2.若函数|f(x)|在[a,b ]上黎曼可积，则函数f(x)在[a ，b ]上黎曼可积

3.函数f(x)在[a,b ]上可导f ‘ a =−1,f ′ b =2,则存在至少一点c ∈(a ,b )使得f ’ a =1

4.序列{x 1，x 2……}∈s 且该序列是柯西列.则存在a 0∈s 使得 lim n→+∞x n =a 0. 三，计算题（每小题8分，共40分）

1. lim n →∞

1+ 2+ 3+⋯+ n n 32 2. e −x sin⁡(ax )dx +∞0

3. n 2+1n ! 2n x n +∞n =1

4. e −x 2

+∞0dx

5.计算A ={(x ,y ,z )|5x 2+3y 2+8z 2+2xy −8xz −8yz ≤2}的体积.

四,（本题15分）令[x ]表示小雨等于x 的最大整数，f(x)是定义在(a,b )上的函数， 试证明：

f n =

[nf (x )]n 一致收敛于函数f(x).

五,(本题17分)

设 f (x )+∞0dx 收敛，xf(x)在[a,+∞)上单调下降，求证：

(1) xf x ≥0 x ≥a ;

(2) lim x→+∞xf x lnx =0

六,(本题18分)

f(x)是[a,b ]上连续的凸函数（即对任意的0≤α≤1，x 1，x 2∈[a ,b ]），有:

f ax 1+ 1−α x 2 ≤αf x 1 + 1−α f x 2

试证明: 1b−a f (x )dx b a

≥f (a +b 2

)

七,(本题20分)

设 f(x,y)是定义在R2上的二元函数且在零点连续，满足如下条件；

(a) 对∀x,y∈R2,f x,y≥0 且f(x,y)=0当且仅当x=0，y=0；

(b) 对任意实数λ，f(λx,λy)=|λ|f(x,y)

(c) 对任意的(x,y)∈R2,x1,y1∈R2,有f x1+x2,y1+y2≤f x1,y1+f(x2,y2)试证明：

(1)f(x,y)在R2上连续；

(2)存在0

m≤f(x,y)≤M;

(3)在R2上一致连续