应力状态的基本概念1

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弹性力学_第二章__应力状态分析

弹性⼒学_第⼆章__应⼒状态分析第⼆章应⼒状态分析⼀、内容介绍弹性⼒学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体⼊⼿，本章的任务就是从静⼒学观点出发，讨论⼀点的应⼒状态，建⽴平衡微分⽅程和⾯⼒边界条件。

应⼒状态是本章讨论的⾸要问题。

由于应⼒⽮量与内⼒和作⽤截⾯⽅位均有关。

因此，⼀点各个截⾯的应⼒是不同的。

确定⼀点不同截⾯的应⼒变化规律称为应⼒状态分析。

⾸先是确定应⼒状态的描述⽅法，这包括应⼒⽮量定义，及其分解为主应⼒、切应⼒和应⼒分量；其次是任意截⾯的应⼒分量的确定—转轴公式；最后是⼀点的特殊应⼒确定，主应⼒和主平⾯、最⼤切应⼒和应⼒圆等。

应⼒状态分析表明应⼒分量为⼆阶对称张量。

本课程分析中使⽤张量符号描述物理量和基本⽅程，如果你没有学习过张量概念，请进⼊附录⼀，或者查阅参考资料。

本章的另⼀个任务是讨论弹性体内⼀点－微分单元体的平衡。

弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分⽅程和切应⼒互等定理；边界单元体的平衡条件为⾯⼒边界条件。

⼆、重点1、应⼒状态的定义：应⼒⽮量；正应⼒与切应⼒；应⼒分量；2、平衡微分⽅程与切应⼒互等定理；3、⾯⼒边界条件；4、应⼒分量的转轴公式；5、应⼒状态特征⽅程和应⼒不变量；知识点：体⼒；⾯⼒；应⼒⽮量；正应⼒与切应⼒；应⼒分量；应⼒⽮量与应⼒分量；平衡微分⽅程；⾯⼒边界条件；主平⾯与主应⼒；主应⼒性质；截⾯正应⼒与切应⼒；三向应⼒圆；⼋⾯体单元；偏应⼒张量不变量；切应⼒互等定理；应⼒分量转轴公式；平⾯问题的转轴公式；应⼒状态特征⽅程；应⼒不变量；最⼤切应⼒；球应⼒张量和偏应⼒张量§2.1 体⼒和⾯⼒学习思路:本节介绍弹性⼒学的基本概念——体⼒和⾯⼒，体⼒F b和⾯⼒F s的概念均不难理解。

应该注意的问题是，在弹性⼒学中，虽然体⼒和⾯⼒都是⽮量，但是它们均为作⽤于⼀点的⼒，⽽且体⼒是指单位体积的⼒；⾯⼒为单位⾯积的作⽤⼒。

体⼒⽮量⽤F b表⽰，其沿三个坐标轴的分量⽤F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表⽰，称为体⼒分量。

第8章点的应力状态

第八章点的应力状态
三. 平面应力状态中的正应力极值和剪应力极值
第八章点的应力状态
本节将对平面应力公式
2 σ xx＋σ yy σ xx－σ yy ＋ σ α＝ cos2α－τ xy sin2α xy α 2 2 进行讨论,主要内容有:
(1)平面应力状态中的正应力极值和极值面方位以及正应力极值面上的剪应力; (2)平面应力状态中的剪应力极值和极值面方位以及剪应力极值面上的正应力.
第八章点的应力状态
(4) σmax× σmin可大于或小于零,也可等于零. 对于前两种情况, 称原单元体为平面应力或二单元体为向应力状态;对后一种情况,称原单元体为单向应力状态. 若构件上某点是平面应力状态,则描述该点应力状态的单元体有无数多个,但该点的主单元体表述却是唯一的,这是一种既简单且又能反映一点应力状态本质内涵的表述. 只要知道某点应力的一个单元体表述，就能找到它的主单元体表述.
第八章点的应力状态
由四个主平面围成的单元体称为原单元体的主单元体，在主单元体上剪应力为零。若围绕研究点取出的是它的主单元体，则称该点的应力表述为主单元体表述或主应力表述。 2τ xy kπ 1 − arctan ; k = 0,±1,±2 主方向角 α p = σ x −σ y 2 2
⎛ 2 τ xy ⎞ ⎛ 2 τ xy ⎞ tan 2 2α p 1 2 (3) 主应力: 将 tan 22α pp＝⎜⎜ cos 2α p = ± ; sin 2α p = ± ⎟ tan 2α ＝⎜ ⎟ 2 ⎜ σ x − σ y ⎟代入 ⎟ 1 + tan 2α p 1 + tan 2 2α p ⎝ σ x −σ y ⎠ ⎝ ⎠
第八章点的应力状态

应力状态广义胡克定律

铸铁拉伸
低碳钢拉伸
TSINGHUA UNIVERSITY
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
两种材料的扭转试验
低碳钢扭转
铸铁扭转
TSINGHUA UNIVERSITY
为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？
TSINGHUA UNIVERSITY
为什么要研究应力状态试件的破坏不只在横截面，
有时也沿斜截面发生破坏；
90
2
sin 2(
90 )
cos2
பைடு நூலகம்
2
sin 2
TSINGHUA UNIVERSITY
3 提取扭转变形杆件危险点的应力状态
T
Wt
纯剪切应力状态
TSINGHUA UNIVERSITY
4 提取横力弯曲变形杆件下边缘一点的应力状态
M
Wz
单向应力状态
5 提取横力弯曲变形杆件任意一点的应力状态
应力的点的概念与面的概念
应力
哪一个面上？哪一点？
指明
哪一点？哪个方向面？
应力状态:
——过同一点不同方向面上应力的集合，称为这一点的应力状态；
TSINGHUA UNIVERSITY
二、为什么要研究应力状态？
请看下列实验现象：
低碳钢和铸铁的拉伸实验低碳钢和铸铁的扭转实验
两种材料的拉伸试验
三
平
向
面
应
应
力
力
状特例状
态
态
单向应力状态
特例
纯剪应力状态
常用术语主单元体主平面
x1
x1
TSINGHUA UNIVERSITY
主应力单元体的某个面上切应力等于零时的正应力;

应力与应变状态分析

ma x
min
x y 2
(x 2y)2x2 y ——主应力的大小
1 ; 2 ; 3 ; m ;am x;i0 n
最大正应力（σmax）与X轴的夹角规定用“α0 ” 表示。简易判断规律：由τ的方向判断。
α0 α0
2、 τ的极值及所在平面
x 2ysi2n xy co 2s
d 0 d
tg21
3、三向应力状态：三向主应力都不等于零的应力状态。
平面应力状态：单向应力状态和二向应力状态的总称。空间应力状态：三向应力状态简单应力状态：单向应力状态。复杂应力状态：二向应力状态和三向应力状态的总称。纯剪切应力状态：单元体上只存在剪应力无正应力。
§8－2 平面应力状态分析——解析法
一、任意斜面上的应力计算
主应力排列规定：按代数值由大到小。 1 2 3
10 σ1=50 MPa ；
50
30 σ2=10 MPa ； σ3=-30 MPa 。
单位：MPa
10 σ1=10 MPa ；
30 σ2=0 MPa ； σ3=-30 MPa 。
8、画原始单元体：例：画出下列图中的 a、b、c 点的已知单元体。
二、σ、τ的极值及所在平面（主应力，主平面）
1、 σ的极值及所在平面（主应力，主平面）
x 2 y x 2 yc2 o s xs y 2 i n d d 0 x 2 ys2 i n 0 xc y 2 o 0 s0 0 0
tg20
2xy x y
——主平面的位置
( 0;
0 0900 )
F
F a
x
a
x
x
F A
y b C
z
y b
C z
Ｍ F L

一一点的应力状态与应力张量

一一点的应力状态与应力张量二主应力与应力不变量对于一般空间问题，一点的应力状态可以由九个应力分量表示，如P 点处应力状态在直角坐标系可表示为ij S σ==x xy xz yx y yz zx zy z στττστττσ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦如图1-1所示。

在固定受力情况下，应力分量大小与坐标轴方向有关，但由弹性力学可知，新旧坐标的应力分量具有一定变换关系。

通常，我们称这种具有特定变换关系的一些量为张量。

式（1-1）就是应力张量，它是二阶张量。

因为它具有xz τ=zx τ，xy τ=yx τ，yz τ=zy τ。

已知物体内某点P 的九个应力分量，则可求过该点的任意倾斜面上的应力。

在P 点处取出一无限小四面体oabc (图1-2)它的三个面分别与x,y,z 三个轴相垂直。

另一方面即任意斜面，它的法线N ，其方向余弦为l,m,n 。

分别以dF 、x dF 、y dF 、z dF 代表abc 、obc 、oac 、 oab 三角形面积。

x y z dF ldF dF mdF dF ndF ⎫=⎪=⎬⎪=⎭（1.2）在三个垂直于坐标的平面上有应力分量，在倾斜面abc 上有合应力N P ,它可分解为正应力N σ及切向剪应力N τ，即222N N N P στ=+N P 沿坐标轴方向分量为N x ,N y ，N z ，由平衡条件可得N x xy xz N yx y yz N zx zy z x l m n y l m n z l m n στττστττσ⎫=++⎪=++⎬⎪=++⎭求出N x ，N y ，N z 在法线上的投影之和，即得正应力N σ222222N N N N x y z xy yz zx x l y m z n l m n lm mn nl σσσστττ=++=+++++ 1-5而剪应力则由式1-5得 2N τ=2N P -2N σ在空间应力状态下一点的应力张量有三个主方向，三个主应力。

材料力学应力状态分析

材料力学应力状态分析材料力学是研究物质内部力学性质和行为的学科，其中应力状态分析是材料力学中的重要内容之一。

应力状态分析是指对材料内部受力情况进行分析和研究，以揭示材料在外力作用下的应力分布规律和应力状态特征，为工程设计和材料选用提供依据。

本文将从应力状态的基本概念、分类和分析方法等方面展开讨论。

首先，我们来介绍一下应力状态的基本概念。

应力是指单位面积上的力，是描述物体内部受力情况的物理量。

在材料力学中，通常将应力分为正应力和剪应力两种基本类型。

正应力是指垂直于截面的应力，而剪应力是指平行于截面的应力。

在实际工程中，材料往往同时受到多种应力的作用，因此需要对应力状态进行综合分析。

其次，我们将对应力状态进行分类。

根据应力的作用方向和大小，可以将应力状态分为拉应力状态、压应力状态和剪应力状态三种基本类型。

拉应力状态是指材料内部受到拉力作用的状态，压应力状态是指材料内部受到压力作用的状态，而剪应力状态是指材料内部受到剪切力作用的状态。

这三种应力状态在工程实践中都具有重要的意义，需要我们进行深入的分析和研究。

接下来，我们将介绍应力状态分析的方法。

应力状态分析的方法有很多种，常用的有应力分析法、应变分析法和能量方法等。

应力分析法是通过应力分布的计算和分析来揭示应力状态的特征，应变分析法则是通过应变分布的计算和分析来揭示应力状态的特征，而能量方法则是通过能量原理和平衡条件来揭示应力状态的特征。

这些方法各有特点，可以根据具体情况选择合适的方法进行分析。

最后，我们需要注意的是，在进行应力状态分析时，需要考虑材料的本构关系、边界条件和载荷情况等因素，以确保分析结果的准确性和可靠性。

同时，还需要注意应力状态分析的结果对工程实践的指导意义，以便更好地指导工程设计和材料选用。

总之，材料力学应力状态分析是一个复杂而重要的课题，需要我们进行深入的研究和分析。

只有深入理解应力状态的特征和规律，才能更好地指导工程实践，为实际工程问题的解决提供科学依据。

工程力学-应力状态

σ 30 100 50 2 100 50 2
sy
n
例1 已知 sx= –100MPa、sy =50MPa 、tx = – 60MPa，a = –30º
cos[2 ( 30)] ( 60)sin[2 ( 30)]
114.5MPa
τ 30
上海应用技术学院
τ T WP
此时不适用基本变形下的强度条件，应同时考虑s 、t 的影响。又如：受内压容器筒壁
上海应用技术学院
sy
A 筒壁某点A处应力： sx 、sy，为双向受拉状态。又如：火车车轮与铁轨接触处表层
4
sx
s s
A
s
A点应力：为三向受压状态。此外：在通过A点不同斜截面上的应力是不同的，将影响到构件的破坏形式。
s
OC CFcos2 α DFsin2 α σx σy σx σy cos2 α τ x sin2 α σ α 2 2
上海应用技术学院
证明： H点横坐标： OM 纵坐标： MH CD与s 轴夹角为2a0
OM σx σy 2 σx σy 2 cos2 α τ x sin2 α σ α
ty
e
cos2 α τ x sin2 α
b
sy
切线方向上： Σ F 0 τ
τ α d A (σ x d A cos α )sin α ( τ x d A cos α )cos α (σ y d A sin α )cos α ( τ y d A sin α )sin α 0
∴ τ α σ x sin α cos α σ y sin α cos α τ x cos2 α τ y sin 2 α
上海应用技术学院

应力状态分析实验报告

一、实验目的1. 了解并掌握应力状态的基本概念。

2. 学习如何通过实验方法测定应力状态。

3. 掌握应力状态分析的基本原理和方法。

4. 培养实验操作技能和数据分析能力。

二、实验原理应力状态是指物体内部在受力作用下，各个点上的应力分布情况。

应力状态分析是研究物体内部应力分布规律的重要方法。

本实验主要研究平面应力状态和空间应力状态。

三、实验设备1. 载荷试验机2. 应变片3. 数据采集系统4. 比较材料5. 标准试验件四、实验步骤1. 实验准备（1）将试验件放置在试验机上，确保试验机水平。

（2）将应变片粘贴在试验件表面，确保应变片粘贴牢固。

（3）连接数据采集系统，检查系统是否正常工作。

2. 加载过程（1）按照实验要求对试验件进行加载。

（2）在加载过程中，实时采集应变数据。

（3）记录加载过程中的应力、应变数据。

3. 数据处理（1）将采集到的应变数据输入计算机，进行数据处理。

（2）根据应力-应变关系，计算应力状态。

（3）分析应力状态的变化规律。

4. 结果分析（1）根据实验数据，绘制应力-应变曲线。

（2）分析应力状态的变化规律，得出结论。

五、实验结果与分析1. 平面应力状态（1）在平面应力状态下，试验件表面出现正应力和剪应力。

（2）通过实验数据，可以计算出应力状态的变化规律。

（3）结果表明，随着加载力的增大，正应力和剪应力逐渐增大。

2. 空间应力状态（1）在空间应力状态下，试验件表面出现正应力和剪应力。

（2）通过实验数据，可以计算出应力状态的变化规律。

（3）结果表明，在空间应力状态下，应力状态的变化规律与平面应力状态相似。

六、实验结论1. 本实验成功地测定了应力状态，并分析了应力状态的变化规律。

2. 通过实验，掌握了应力状态分析的基本原理和方法。

3. 本实验为后续的应力分析、结构设计等提供了实验依据。

七、实验注意事项1. 实验过程中，确保试验机水平，避免试验误差。

2. 在粘贴应变片时，注意粘贴牢固，避免脱落。

应力状态分析和强度理论

03
弹性极限
材料在弹性范围内所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生弹性变形。
01
屈服点
当物体受到一定的外力作用时，其内部应力状态会发生变化，当达到某一特定应力状态时，材料会发生屈服现象。
02
强度极限
材料所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生断裂。
应力状态对材料强度的影响
形状改变比能准则
04
弹塑性材料的强度分析
屈服条件
屈服条件是描述材料在受力过程中开始进入屈服（即非弹性变形）的应力状态，是材料强度分析的重要依据。
根据不同的材料特性，存在多种屈服条件，如Mohr-Coulomb、Drucker-Prager等。
屈服条件通常以等式或不等式的形式表示，用于确定材料在复杂应力状态下的响应。
最大剪切应力准则
总结词
该准则以形状改变比能作为失效判据，当形状改变比能超过某一极限值时发生失效。
详细描述
形状改变比能准则基于材料在受力过程中吸收能量的能力。当材料在受力过程中吸收的能量超过某一极限值时，材料会发生屈服和塑性变形，导致失效。该准则适用于韧性材料的失效分析，尤其适用于复杂应力状态的失效判断。
高分子材料的强度分析
01
高分子材料的强度分析是工程应用中不可或缺的一环，主要涉及到对高分子材料在不同应力状态下的力学性能进行评估。
02
高分子材料的强度分析通常采用实验方法来获取材料的应力-应变曲线，并根据曲线确定材料的屈服极限、抗拉强度等力学性能指标。
03
高分子材料的强度分析还需要考虑温度、湿度等环境因素的影响，因为高分子材料对环境因素比较敏感。
02
强度理论
总结词
该理论认为最大拉应力是导致材料破坏的主要因素。

材料力学-应力状态与应变状态分析

s2 引起 1 s 2 E 2 s 2 E 3 s 2 E
s3 引起 1 s 3 E 2 s 3 E 3 s 3 E
小变形 i i i i i 1,2,3
1
1 E
s1
(s 2
s 3 )
广
2
1 E
s 2
(s 3
s1 )
义虎克定
3
1 E
s 3
(s 1
s 2)
t T ＝ 1 πD3 (1－a4) 16
1
＝
1 E
[s1－
(s2＋s3)]
＝
1＋
E
t
T＝8.38 kN·m
二、体积应变
单元体边长：dx、dy、dz
体积：V0 = dx·dy·dz
dy
dx → dx +△dx = dx + 1dx = (1 + 1) dx
dy → dy +△dy = dy + 2dy = (1 + 2) dy
体积的绝对增量：△V = V－V0 = V0 (1+ 2+ 3)
单位体积增量：
V V0
1 2
3
体积应变体积的相对增量
1 2
E
(s1
s2
s
3)
讨论：
V V0
1 2
E
(s1 s 2
s 3)
⒈ 若 s1 + s2 + s3＞0，
则＞0 →△V ＞0，即体积增大；
若 s1 + s2 + s3＜0，
s2
s3 dsz 1
dx
dz → dz +△dz = dz + 3dz = (1 + 3) dz

过一点所方向面上应力的集合,称为这一点的应力状态

应力是指物体内部受到的力的作用，它可以通过单位面积上的力来描述。

在工程力学中，应力是非常重要的物理量，它与物体的形状、材料特性和外部力的作用密切相关。

本文将围绕应力的概念展开讨论，针对其在材料力学中的应用进行深入分析。

一、应力的定义和分类1.1 应力的概念应力是单位面积上的力，常用符号表示为σ，其计算公式为力F除以面积A，即σ=F/A。

在物体内部，由于外部力的作用，各处都会受到应力的作用，这种应力称为内应力。

而外部施加在物体表面上的力也会导致应力的产生，这种应力称为外部应力。

1.2 应力的分类根据应力的作用方向和大小，可以将应力分为正应力、剪切应力和法向应力三种类型。

正应力是垂直于物体截面的应力，常用符号表示为σn。

而沿着截面方向的应力称为剪切应力，常用符号表示为τ。

另外，法向应力是指作用在物体某一点上的应力。

二、应力状态的描述2.1 应力张量在三维空间中，一个点的应力状态可以由一个3x3的对称矩阵来描述，这个对称矩阵称为应力张量。

应力张量的分量代表了在不同方向上的应力情况，可以通过数学方法进行求解和分析。

2.2 应力状态的表示一个点处的应力状态可以通过应力张量的特征值和特征向量来表示。

特征值代表了应力状态的大小，特征向量则代表了应力作用的方向。

通过对特征值和特征向量的分析，可以判断物体处于何种应力状态，从而进行相应的力学分析和设计。

三、应力的应用3.1 工程材料的性能应力是描述物体受力情况的重要参数，它直接影响着材料的强度、刚度和韧性等性能。

在工程中，通过对材料的应力状态进行分析，可以评估材料的可靠性和安全性，为工程设计提供参考依据。

3.2 结构的稳定性对结构件的受力状态进行分析，可以判断结构在外部载荷作用下的稳定性。

通过对结构的应力分布和应力集中区域的分析，可以预测结构是否会发生破坏或失稳现象，为结构设计和改进提供重要参考。

3.3 力学设计在工程实践中，需要根据实际的力学要求来设计各种零部件和结构件。

应力的基本概念

应力的基本概念应力是物理学中一个非常重要的概念，它描述的是物体内部各部分之间相互作用的力，以保持物体的完整性和稳定性。

应力的定义、描述、分类、计算和应用等方面都是应力研究中不可或缺的内容。

1.应力的定义应力是指物体在受到外力作用时，其内部各部分之间相互作用而产生的力。

应力的定义可以理解为物体内部各部分之间的相互作用，这种相互作用是为了保持物体的完整性和稳定性。

应力的单位是牛顿（N），常用的单位还有帕斯卡（Pa）和千帕斯卡（kPa）。

2.应力的描述应力可以用数学公式进行描述，也可以用图形进行表示。

在数学公式中，应力通常被表示为一个向量，其大小和方向取决于外力的性质和物体的形状。

在图形中，应力可以用箭头表示，箭头的大小和方向表示应力的数值和方向。

3.应力的分类应力可以根据不同的分类标准进行分类，比如可以根据作用在物体上的外力类型分为拉应力、压应力、剪切应力和弯曲应力等；也可以根据应力的性质分为弹性应力和塑性应力等。

不同类型的应力具有不同的特征和表现形式，对物体的影响也不尽相同。

4.应力的计算应力的计算是应力研究中非常重要的一部分。

应力的计算公式通常是根据实验和实践经验得出的，也可以根据物体的材料性质和外力作用情况进行估算。

常用的应力计算公式包括胡克定律、弹性力学公式、梁的弯曲公式等。

5.应力的应用应力在日常生活和工业生产中有着广泛的应用。

比如在建筑、机械、材料等领域中，应力的计算和分析是设计和制造过程中必不可少的环节；在生物医学工程中，应力的研究可以帮助人们更好地理解和改善人体结构和功能；在地质学中，应力的研究可以帮助人们了解地壳构造和地震机理。

总之，应力的基本概念是物理学中一个非常重要的概念，它涉及到物体内部各部分之间的相互作用和物体的完整性和稳定性。

应力的描述、分类、计算和应用等方面都是应力研究中不可或缺的内容，对应力的研究和发展有着重要的意义。

应力分析知识点总结

应力分析知识点总结一、引言应力分析是指在实际工程中，对物体内外受到的力在空间和时间上的分布规律进行研究，从而了解物体受力情况的一种理论和方法。

应力分析在工程领域中有着重要的应用，可以帮助工程师们更好地设计和制造各种工程结构，确保结构的安全性和稳定性。

本文将从应力分析的基本概念、应力分析的理论基础、常用的应力分析方法以及应力分析在工程中的应用等方面进行总结和介绍。

二、应力分析的基本概念1. 应力的定义应力是指物体内部分子间的相互作用所产生的一种内在力，通常表示为单位面积上的力。

在工程中，应力常常用来描述物体受力时的内部力状态，可以分为正应力和剪应力两种类型。

正应力是指垂直于物体截面的应力，可以表示为施加在物体上的正向压力或拉力。

而剪应力是指与物体截面平行的应力，通常形成剪切力。

2. 应变的定义应变是指物体在受力作用下发生的形变现象，通常用来描述物体受力后的形状和大小变化。

应变可以分为线性应变和剪切应变两种类型，线性应变指物体在受到正应力作用下发生的长度变化，而剪切应变则是描述物体在受到剪应力作用下产生的形变。

3. 应力和应变的关系应力和应变之间存在着一定的关系，这一关系通常通过材料的力学性能参数来描述。

在弹性范围内，应力与应变之间存在着线性关系，可以通过杨氏模量、泊松比等参数来描述。

而在非弹性范围内，应力和应变之间的关系则需要通过材料的本构方程来描述。

三、应力分析的理论基础1. 弹性力学理论弹性力学理论是应力分析的重要理论基础，其研究范围包括材料的应力分布规律、应力和应变的关系、材料的本构关系等内容。

弹性力学理论可以帮助工程师们更好地理解和预测物体在受力条件下的力学性能，进而设计和优化工程结构。

2. 材料力学性能参数材料力学性能参数是描述材料抗力性能的重要指标，包括杨氏模量、泊松比、屈服强度、极限强度、断裂韧性等内容。

这些参数可以帮助工程师们更好地了解材料的力学特性，从而在设计和制造过程中选择合适的材料和工艺。

弹塑性力学总复习

《弹塑性力学》课程第一篇基础理论部分第一章应力状态理论1.1 基本概念1．应力的概念应力：微分面上内力的分布集度。

从数学上看，应力sPF s ∆∆=→∆0lim ν由于微分面上的应力是一个矢量，因此，它可以分解成微分面法线方向的正应力νσ和微分面上的剪应力ντ。

注意弹塑性力学中正应力和剪应力的正负号规定。

2．一点的应力状态（1）一点的应力状态概念凡提到应力，必须同时指明它是对物体内哪一点并过该点的哪一个微分面。

物体内同一点各微分面上的应力情况，称为该点的应力状态。

（2）应力张量物体内任一点不同微分面上的应力情况一般是不同的，这就产生了一个如何描绘一点的应力状态的问题。

应力张量概念的提出，就是为了解决这个问题。

在直角坐标系里，一点的应力张量可表示为⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=z zy zx yz yyx xz xy x ij στττστττσσ若已知一点的应力张量，则过该点任意微分面ν上的应力矢量p就可以由以下公式求出：n m l p xz xy x x ττσν++= （1-1’a ） n m l p yz y yx y τστν++=（1-1’b ）n m l p z zy zx z σττν++=（1-1’c ）由式（1-1），还可进一步求出该微分面上的总应力p 、正应力νσ和剪应力v τ： 222z y x p p p p ++=（1-2a ）nl mn lm n m l zx yz xy z y x τττσσσσν222222+++++=（1-2b ）22ννστ-=p（1-2c ）（3）主平面、主方向与主应力由一点的应力状态概念可知，通过物体内任一点都可能存在这样的微分面：在该微分面上，只有正应力，而剪应力为零。

这样的微分面即称为主平面，该面的法线方向即称为主方向，相应的正应力称为主应力。

主应力、主方向的求解在数学上归结为求解以下的特征问题：}{}]{[i n i ij n n σσ=（1-3）式中，][ij σ为该点应力张量分量构成的矩阵，n σ为主应力，}{i n 为主方向矢量。

工程力学应力状态

x y sin 2 x cos2 2
d 令 0 d
x y tg 2 2 x
可解出两个相差的极值平面，一 2 个面上为极大值，另一个面上为极小值。
23
1 1 x y 将 tg 2 2 x
代入(7-2)式，可得：
60.8MPa
26
x y 60 sin 120 x cos120 2
70 sin 120 50 cos 120 2
55.3MPa
② 求主应力
2 x 2 50 tg 2 0 1.429 x y 70

A
B

横截面
横截面外轮廓线
7
① 材料单元体上相对坐标面上的应力大小相等、方向相反。 ② 材料单元体上任意方向面上的应力视作均匀分布。
8
§7-2 平面应力状态分析
一、解析法求斜截面的应力
应力状态分析：已知材料单元体坐标平面的应
力，求任意方向面上的应力。
9
最常见的情况：有一对方向面上的应力为零，单元体上所有的应力在同一平面内，称为二向
(1) (2)
(1)2 (2)2 得：
x y 2 x y 2 ( ) ( cos 2 x sin 2 ) 2 2 2 x y ( sin 2 x cos2 ) 2 2
30
整理可得： x y 2 x y 2 2 2 ( ) ( ) x
(7-1)记忆
同理，利用
F
t
0 ，可得：
x y sin 2 x cos 2 2
(7-2)记忆
13

应力状态及强度理论

应力张量是一个二阶对称张量，包含六个独立的分量，可以用来描述物体的应力状态。
主应力和应力张量可以通过计算得到，它们是描述物体应力状态的重要参数。
02
强度理论
第一强度理论
总结词
最大拉应力准则
详细描述
该理论认为材料达到破坏是由于最大拉应力达到极限值，不考虑剪切应力和压力的影响。
第二强度理论
05
实际应用
航空航天领域
飞机结构强度分析
利用应力状态及强度理论，对飞机各部件的受力状态进行详细分析，确保飞机在各种工况下的结构安全。
航天器材料选择
根据材料的应力-应变关系，选择适合航天器发射和运行阶段的材料，确保航天器的可靠性和寿命。
航空材料疲劳寿命
评估
通过应力状态及强度理论，评估航空材料的疲劳寿命，预防因疲劳引起的结构失效。
03
材料失效分析
弹性失效
总结词
材料在弹性阶段发生的失效。
详细描述
当材料受到的应力超过其弹性极限时，会发生弹性失效。这种失效通常表现为突然断裂或大幅度变形，且材料不具有恢复原状的能力。
塑性失效
总结词
材料在塑性阶段发生的失效。
详细描述
当材料受到的应力超过其屈服点后，会发生塑性失效。这种失效表现为材料发生较大的塑性变形，无法保持其原始形状和尺寸。
土木工程领域
桥梁承载能力分析
通过对桥梁的应力分布和承载能力的分析，确保桥梁在设计寿命内的安全性和稳定性。
建筑结构抗震设计
利用强度理论，对建筑结构进行抗震设计，提高建筑物的抗震能力，减少地震灾害的影响。
岩土工程稳定性分析
通过对岩土工程的应力状态和强度理论的分析，评估岩土工程的稳定性和安全性。

应力状态与应变状态分析

概念
应变状态分析对应力状态分析起到补充作用，特别是在复杂受力情况下，能够更准确地描述物体的变形行为。
应变状态的分类
单轴应变
物体在单向受力过程中发生的应变，只有一个方向的长度变化。
双轴应变
物体在双向受力过程中发生的应变，长度变化发生在两个相互垂直的方向上。
三轴应变
物体在三向受力过程中发生的应变，长度变化发生在三个相互垂直的方向上。
塑性变形
在某些高应力状态下，材料可能会发生塑性变形，影响其机械性能和稳定性。
断裂韧性
材料的断裂韧性可能会受到其内部应力的影响，高应力状态可能降低材料的断裂韧性，导致材料更容易断裂。
02
应变状态分析
定义与概念
定义
应变状态分析是研究物体在受力过程中内部应变的分布和变化情况，以及应变与应力之间的关系。
详细描述
在塑性行为下，材料发生屈服，即应力达到某一特定值后，应变开始急剧增加。这种行为通常发生在材料承受的应力高于其屈曲点时。
脆性行为
总结词
当材料受到外力作用时，它可能会突然断裂，而不会发生显著的形变。
详细描述
在脆性行为下，材料在较低的应力状态下就会断裂，且断裂前几乎没有明显的塑性变形。这种行为常见于某些脆性材料，如玻璃或陶瓷。
弹性行为
总结词
当材料受到外力作用时，会发生形变，但当外力去除后，材料能够完全恢复其原始形状和尺寸。
详细描述
在弹性行为下，材料的应力和应变之间呈线性关系，即应力与应变成正比。这种行为通常发生在材料承受的应力低于其屈服点时。
塑性行为
总结词
当材料受到外力作用时，会发生形变，并且当外力去除后，材料不能完全恢复其原始形状和尺寸。

弹性力学一点应力状态01

水坝
—— 近似认为无限长
(2) 外力特征
外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度 z 方向不变化。
约束 —— 沿长度 z 方向不变化。
(3) 变形特征
滚柱
厚壁圆筒
如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。
设 z方向为无限长，则 x, x, u, 沿 z 方向都不变化，
仅为 x，y 的函数。任一横截面均可视为对称面
由 1 2 x y 得
2 y (1 x )
tan 2
xy 1
x
显然有 tan1 tan2 1
表明： σ1 与 σ2 互相垂直。
结论
任一点P，一定存在两互相
垂直的主应力σ1 、 σ2 。
（3）σN 的主应力表示
O
x
2
1
P
dy
dx ds
A
y
N
N
B
sN
由 N l 2 x m2 y 2lm xy
P dx x dy ds
A XN
N lYN mX N
将式（2-3）（2-4）代入，并整理得： y
N l 2 x m2 y 2lm xy （2-5）
xy N
B YN
N sN
N lm( y x ) (l 2 m2 ) xy （2-6）—— 任意斜截面上应力计算公式
说明：（1）运用了剪应力互等定理： xy yx
剪应力互等定理
应力符号的意义：
z
zx
zy
z
y
yx xz
yz x zy
xy
zx
yz yx y
O
y z
x
xy
第1个下标 x 表示τ所在面的垂线线方向；第2个下标 y 表示τ的方向.