幂函数经典例题(答案)

幂函数经典例题（答案）

幕函数的概念

例1、下列结论中，正确的是()

A ・幕函数的图象都通过点(0,0), (1,1) B.幕函数的图象可以出现在第四象限

C ・当幕指数么取1,3,；时，幕函数y=*是增函数

D.当幕指数么=一1时，幕函数)，=亡在定义域上是减函数

解析 当無指数α=-l 时，幕函数y=χ~l 的图象不通过原点，故选项A 不 正确；因为所有的農函数在区间(0, +8)上都有定义，且y=χa (α∈R), j>0, 所以專函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B 不正确；而当α=-l 时，y =Ll 在区间(一8, 0)和(0, +8)上是减函数，但它在定义域上不是减函数.

答案C 例2、已知幕函数金)=(Z+i χτ[(7+3L2r 2

)(f ∈Z)是偶函数且在(0, +8)上 为增函数，求实数/的值•

'

分析 关于舉函数y=x a

(

当彳为偶数时，"必为奇数，y=x"是非奇非偶函数；当$是奇数时，P=X?的 q q 奇偶性与P 的值相对应. 解 Ty(X)是幕函数，.∙./3

-r+l = 1, Λr=-l,l 或 0.

7

当f=0时，M=X 1

是奇函数； 当Z=-I 时，/(x)=x ⅛偶函数； 当f=l 时.是偶函数,且2和;都大于0.

¢(0, +8)上为增函数.

点评 如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条 件∕∈Z 给予足够的重视•

例J 如图是幕函数尸=0与在第一象限内的图象，贝∣J()

故

t=∖

F=-1 且/(x)=A ∣∙

A ．-11 D．n<－1

m>1 解析在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0

答案B

点评在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；在区间(1，＋∞ )上，幂函数的指数越大，图象越远离x 轴．

1

例4、已知x12>x3，求x 的取值范围．

1

作出函数y=x2和y= x3的图象（如右图所示），易得x<0或x>1. 例5、函

11

错解由于x2≥0，x3∈R，则由x2>x3，可得x∈R.

错因分析上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y＝xα在α>1 和0<α<1 两种情况下图象的分布．

正解

数f（x）＝（m2－m－1）xm2＋m－3 是幂函数，且当x∈（0，＋∞ ）时，f （x）是增函数，求f（x）的解析式．

分析解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m，再由单调性确定m.

解根据幂函数定义得

m2－m－1＝1，解得m＝2 或m＝－1，

当m＝2 时，f（x）＝x3在（0，＋∞）上是增函数；

当m＝－1 时，f（x）＝x－3在（0，＋∞）上是减函数，不符合要求．故f （x）＝x3. 点评幂函数y＝xα（α∈R），其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数（也可以为0）．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．

1

变式已知y＝（m2＋2m－2）x m2－1＋2n－3 是幂函数，求m，n 的值．

m2＋2m－2＝1

解由题意得m2－1≠ 0 ，

2n－3＝0

m＝－3

解得 3 ，

n＝

2

3

所以m＝－3，n＝2.

例6、比较下列各组中两个数的大小：

3 3

－2

－

2

1.5 1.5

－－

（1）1.55，1.75；（2）0.71.5，0.61.5；（3）（－1.2）3，（－1.25）3．

解析：（1）考查幂函数 y ＝ x 5 的单调性，在第一象限内函数单调递增，

33

3

（2）考查幂函数 y ＝x 3 的单调性，同理 0.71.5>0.61.5． （3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，

－

2

－2 －2 － 2 －2 －

2

∵（－1.2） 4＝1.2 3 ，（－1.25） 3＝1.25 3，又1.2 3 >1.25 3

－

2

>1.25 3

． 点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：

（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； （2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；

（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作 为桥梁来比较大小．

例 7、比较下列各组数的大小

5 5 7 1 7

（1） 3－52与 3.1－25； （2）－8－87与－ 9 78.

分析 比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可 用 0 与 1 去比较，这种方法叫 “搭桥 ”法．

5

解 （1）函数 y ＝x －2在（0，＋ ∞）上为减函数，

55

又 3<3.1，所以 3－ 2>3.1－ 2.

7 1 7 7 1 1 1 7 1

（2）－ 8－87＝－ 8 78，函数 y ＝x 78在（0，＋∞）上为增函数，又 18>91

，则 8 7

8> 9 7 8，

7 1 7

从而－ 8－87<－ 9 78.

点评 比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更 善于运用 “搭桥”法进行分组，常数 0和 1是常用的参数．

变式 比较下列各组数的大小：

2 2 π 2 （1） －

3 － 3与 － 6 － 3

；

∵函数 y ＝x －23在（0，＋ ∞）上为减函数，又 ∵2

3>6π，

3 3 2

（2）4.15，（－ 1.9）5与 3.8－3.

∴ (－1.2) 3

222 解 (1) － 32

－ 23＝ 23

2

，

3，

π 2 π 2

6

－

3＝ 6 － 3，