奥数之循环小数
小学六年级奥数专项常考题汇编计算问题—循环小数及其分类(含答案)
六年级奥数专项精品讲义常考题汇编-计算问题一循环小数及其分类一.选择题在3.141592…，2.1515,0.32655555…，2.58258258…中，循环小数有（）个。
二.填空题把3.241、3.241、3.24、3.241按从大到小的顺序排列:3.7÷3的商，用循环小数的简便记法表示是—，保留两位小数是.三.计算题1. 8.47475475...的循环节是（） A. 47 B. 47475 C. 75 D. 4752. 下面各数中，是循环小数的是（A. 3.1415926...B. 2.323232...C. 1.14444443. 下面各数中不是循环小数的是（A. 5.3232B. 5.3232...C. 9.834. A. B. C.三 D.四5. 2+7的商的循环节,有（）数字。
6. 7. A.两个B. 三个C.六个D.七个 ）不是循环小数.A. 3.33...B. 3.1415926...C.下列各数中不是循环小数的是（） A. 0.1818...B. 0.3333C. 1.25151...D. 12.3 8.下面算式中，（）的商是循环小数. A. 7÷3B. 9÷4C. 3÷89. 11÷6的商是. 小数，循环节是—，简便记作. ；保留一位小数约是—,保留两位小数约 10. 14.1 ・ 11的商用循环小数表示是—，保留两位小数是.11.循环小数7.1515…写作. 6.2435435…写作. 12. 循环小数5.9868686…简便方法记作—,它的循环节是—，保留一位小数约是.13. 在 0.35、0.355 > 0.35、0.3505、0.0355355…中,（1）无限小数有（2）将上面五个小数按从小到大排列是:14.3÷L1的商用循环小数表示是,保留一位小数是. 15. 16.17.写出下面各循环小数的近似值.（保留三位小数）0.5555…≈13.26565...«8.534534...≈8.269269...≈ 18.写出下列数的近似值.（保留两位小数）四.解答题除不尽的用循环小数表示商，再保留两位小数写出它们的近似值. 204÷6.638.2÷2.7≈22.一支队伍长又长，有头无尾排成行，“・”的后面分小节，节节外表都一样.（打一数学名词） 谜底是:24 .按要求排队.3.14,3.1444…，3.1414...,3.1O41M...,3.4125 .找出循环小数，并用简便形式表示.26 .把下面各数按要求填在横线上.4.729.6464...3.1415926...0.3555...«0.353535... ≈ 03535353 ≈ 4.16 ≈ 4.16≈ 4.161 ≈19 .计算下面各题, 除不尽的用循环小数表示商.1÷6 =15÷9 =32,8÷11 =20 .计算下面各题,并说一说哪几题的商是循环小数. 1÷95÷8 21 .6 ÷ 1.8 5.4÷1121.计算下面各题,23. 3÷11的商是一个循环小数，可以简便写作,商保留两位小数是.3.333334.1565656... 100.352352... 9.3444 23.123456 0.0012012012...0.7878784.6738.222...3.2795.6660.0333...1.28964有限小数：;无限小数：;循环小数：.27 .把下列各数按要求填在圈内.0.333… 4.1666... 1.414...72.072072... 5.71907190... 2.54543.141592... 18.732626 0.980808有限小数无限小数28 .循环小数2.406406406…也可以写作，保留两位小数是六年级奥数专项精品讲义常考题汇编-计算问题一循环小数及其分类参考答案一.选择题1 .解：8.47475475…的循环节是475；答案：D.2 .解：A选项：3.1415926…是无限小数；8选项：2.323232…是循环小数，循环节是32；。
小学奥数之循环小数的计算(完整版)
【例 19】将循环小数 与 相乘，小数点后第 位是。
【考点】循环小数计算【难度】3星【题型】计算
【关键词】走美杯，6年级，决赛
【解析】 ， ，所以乘积为 ，
，所以第 位是 。
【答案】
【考点】循环小数计算【难度】4星【题型】计算
【解析】由于 ， ，
所以 ，
而 ，
所以，
【答案】
【例 14】某学生将 乘以一个数 时，把 误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是多少?
【考点】循环小数计算【难度】3星【题型】计算
【解析】由题意得： ，即： ，所以有： ．解得 ，
所以
【答案】
【考点】循环小数的认识【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯，1试
【解析】因为要得到最小的循环小数，首先找出小数部分最小的数为0，再看0后面一位上的数字，有05、02、00、07，00最小，所以得到的最小循环小数为
【答案】
【巩固】给下列不等式中的循环小数添加循环点：0.1998 0.1998 0.1998 0.1998
【答案】
【巩固】真分数 化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是 ，则 是多少？
【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算
【解析】我们知道形如 的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组
成，只是各个数字的位置不同而已，那么 就应该由若干个完整的 和一个不完整 组成。 ，而 ，所以最后一个循环节中所缺的数字之和为6，经检验只有最后两位为4，2时才符合要求，显然，这种情况下完整的循环节为“ ”，因此这个分数应该为 ，所以 。
【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算
【解析】 …… 个数一循环， ……5，是4
小学六年级奥数第二章循环小数与分数
第二章 循环小数与分数知识要点任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。
那么，什么样的分数能化成有限小数，什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面的分数。
(1)＝0.5，(＝)＝0.12，(＝)＝0.425；12325235174031725⨯(2)＝，＝，＝；130.3 570.714285 13330.39(3)(＝)＝，(＝)＝，56523⨯0.83 6717526757⨯0.38285714 (＝)＝。
1013603101259⨯⨯0.2805 结论：(1)中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只含有质因数2和5，化成的有限小数的位数与分母中含有的2与5中个数较多的个数相同。
如，因为40＝23×5，含1740有3个2，1个5，所以化成的有限小数有三位。
(2)中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2和5。
(3)中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分的位数与分母中含有2与5中个数较多的个数相同。
如，因为175＝52×7，含有2个5，所以化成混循环小数中的不循环67175部分有两位。
于是我们得到一个最简分数化为小数的三个结论：1.如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；2.如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数；3.如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。
典例巧解例1 判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？5324213125023781001173850点拨上述分数都是最简分数，并且32＝25，21＝3×7，250＝2×53，78＝2×3×13，117＝32×13，850＝2×52×17，根据知识要点的结论可求解。
(小学奥数)循环小数计算
循環小數與分數的互化，循環小數之間簡單的加、減運算，涉及循環小數與分數的主要利用運算定律進行簡算的問題．1.17的“秘密”10.1428577••=，20.2857147••=，30.4285717••=,…, 60.8571427••= 2.推導以下算式⑴10.19=；1240.129933==；123410.123999333==；12340.12349999=；⑵121110.129090-==；12312370.123900300-==；123412311110.123490009000-==；⑶ 1234126110.123499004950-==；123411370.123499901110-==以0.1234為例，推導1234126110.123499004950-==．設0.1234A =，將等式兩邊都乘以100，得：10012.34A =； 再將原等式兩邊都乘以10000，得：100001234.34A =， 兩式相減得：10000100123412A A -=-，所以12341261199004950A -==． 3.循環小數化分數結論純循環小數混循環小數分迴圈節中的數字所組循環小數去掉小數點後的數字所知識點撥教學目標循環小數的計算子 成的數 組成的數與不迴圈部分數字所組成的數的差分母n 個9，其中n 等於迴圈節所含的數字個數按迴圈位數添9，不迴圈位數添0，組成分母，其中9在0的左側·0.9a a =； ··0.99ab ab =； ··10.09910990ab abab =⨯=； ··0.990abc a abc -=，……模組一、循環小數的認識【例 1】 在小數l.80524102007上加兩個迴圈點，能得到的最小的循環小數是_______(注：西元2007年10月24日北京時間18時05分，我國第一顆月球探測衛星“嫦娥一號”由“長征三號甲”運載火箭在西昌衛星發射中心升空，編寫此題是為了紀念這個值得中國人民驕傲的時刻。
奥数之循环小数
任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。
那么，什么样的分数能化成有限小数？什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面的分数。
⑵＞0367 67 ■际033285714(1)中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只有质因数2和5,成的有限小数的位数与分母中含有的2与于中个数较多的个数相同，如音,因为40=2X 5,含有3个2，1个5,所以化成的小数有三位。
(2)中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2和(3)中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分的位数与分母中含有2与沖个数较多的个数相同,如磊，因为175 = 52X7,含有2个5,所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。
于是我们得到结论：一个最简分数化为小数有三种情况：(1)如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；(2)如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数；(3)如果分母中既含有质因数2或5,又含有2与5以外的质因数, 那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。
例1判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？5 4 31 23 100 332r li1 2501 7S T 1171 850分析与解：上述分数都是最简分数，并且32=25，21=3X 7，250=2X 53，78=2X 3X 13，117=3X 13，850=2X 52X 17，根据上面的结论，得到：帶能北成五位有限小数,焉能化成三位有限小数。
£罟能化成纯循环小数。
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第二章 循环小数与分数知识要点任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。
那么，什么样的分数能化成有限小数，什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面的分数。
(1)＝0.5，(＝)＝0.12，(＝)＝0.425；12325235174031725⨯ (2)＝，＝，＝；130.3 570.714285 13330.39(3)(＝)＝，(＝)＝，56523⨯0.83 6717526757⨯0.38285714 (＝)＝。
1013603101259⨯⨯0.2805 结论：(1)中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只含有质因数2和5，化成的有限小数的位数与分母中含有的2与5中个数较多的个数相同。
如，因为40＝23×5，含1740有3个2，1个5，所以化成的有限小数有三位。
(2)中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2和5。
(3)中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分的位数与分母中含有2与5中个数较多的个数相同。
如，因为175＝52×7，含有2个5，所以化成混循环小数中的不循环67175部分有两位。
于是我们得到一个最简分数化为小数的三个结论：1.如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；2.如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数；3.如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。
典例巧解例1 判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？5324213125023781001173850点拨上述分数都是最简分数，并且32＝25，21＝3×7，250＝2×53，78＝2×3×13，117＝32×13，850＝2×52×17，根据知识要点的结论可求解。
小学奥数之循环小数的计算
小学奥数之循环小数的计算循环小数是指小数部分有一段数字重复出现的小数。
在小学奥数中，学生需要学会如何将循环小数转化为分数、如何将分数转化为循环小数。
下面是关于循环小数的计算的完整版。
1.循环小数的定义和示例循环小数是指小数部分有一段数字重复出现的小数。
例如，0.333...是一个循环小数，小数部分的数字3始终重复出现。
2.循环小数转化为分数的方法将循环小数转化为分数可以通过以下的步骤进行：第一步：设循环小数的小数部分有n位数字重复，记为a。
将循环小数表示成分数的形式可以写作：0.a=x。
第二步：将等式两边都乘以10的n次幂，消去小数点及循环节，得到：10^n*0.a=10^n*x。
第三步：将上式两边减去原式，得到：10^n*0.a-0.a=10^n*x-x。
化简简化后得到：(10^n-1)*0.a=x。
第四步：将等式两边除以10^n-1，得到：0.a=x/(10^n-1)。
第五步：化简分数，得到最终的结果。
例如，将循环小数0.333...转化为分数的步骤如下：0.333...=x10*0.333...=10*x9*0.333...=10*x-x(9*0.333...)/9=(10*x-x)/90.333...=x/3所以，循环小数0.333...可以转化为分数1/33.分数转化为循环小数的方法将分数转化为循环小数可以通过以下的步骤进行：第一步：将分数a/b表示为小数形式x/y。
第二步：进行除法运算，将b除以a，得到商和余数，商为循环小数的整数部分，余数乘以10为下一次除法运算的被除数。
第三步：重复第二步操作，直到出现循环。
例如，将分数1/3转化为循环小数的步骤如下：1/3=x3/1=33/3=1出现了余数3，且之前已经出现过余数3，所以循环小数为0.333...。
4.循环小数的加减乘除运算循环小数的加减乘除运算可以通过以下的步骤进行：加法和减法：将循环小数扩展到相同的小数位数，然后进行加法或减法运算。
小学奥数：循环小数化分数概念
小学奥数：循环小数化分数概念无限循环小数是有理数，既然是有理数就可以化成分数。
循环小数分为混循环小数、纯循环小数两大类。
混循环小数可以*10^n(n为小数点后非循环位数)，所以循环小数化为分数都可以最终通过纯循环小数来转化。
方法1.无限循环小数，先找其循环节(即循环的那几位数字)，然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。
例如：0.333333……循环节为3则0.3=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3^10(-n)+……前n项和为：30.1(1-(0.1)^(n))/(1-0.1)当n趋向无穷时(0.1)^(n)=0因此0.3333……=0.3/0.9=1/3注意：m^n的意义为m的n次方。
方法2：设0.3333......，三的循环为x，10x=3.3333.......10x-x=3.3333.......-0.3333......(注意：循环节被抵消了)9x=33x=1x=1/3第二种：如，将3.305030503050.................(3050为循环节)化为分数。
解：设：这个数的小数部分为a，这个小数表示成3+a10000a-a=30509999a=3050a=3050/9999算到这里后，能约分就约分，这样就能表示循环部分了。
再把整数部分乘分母加进去就是(3×9999+3050)/9999=33047/9999还有混循环小数转分数如0.1555.....循环节有一位，分母写个9，非循环节有一位，在9后添个0分子为非循环节+循环节(连接)-非循环节+15-1=1414/90约分后为7/45。
奥数之循环小数
循环小数与有限小数相加：结果的小数部分是循环部分和有限部分的组合
循环小数与分数的关系
循环小数可以表示为分数形式
循环小数与分数的关系在数学中有着广泛的应用
循环小数与分数的关系可以通过数学公式进行转换
循环小数的循环节可以看作是分子，而分母则是固定值
04
循环小数的分类
简单循环小数
定义：小数部分位数有限，且某一位后面的数字开始不断重复出现的小数
无限不循环小数
定义：小数部分的小数位数无限，且不呈现规律性循环
特性：无法表示为分数形式，且无法通过循环小数来近似表示
应用：在数学、科学和工程领域中，无限不循环小数常用于表示某些特定的常数和无理数
例子：π（圆周率）和自然对数的底数e
05
循环小数的应用
在数学中的应用
循环小数在数学中的定义和性质
循环小数在数学中的重要性和意义
乘法性质：循环小数相乘时，结果仍为循环小数，保留其循环节
除法性质：循环小数相除时，结果仍为循环小数，保留其循环节
循环小数与其他小数的运算关系
循环小数与整数相乘：结果的小数部分是循环部分不断重复
循环小数与有限小数相乘：结果的小数部分是循环部分和有限部分的组合
循环小数与无限循环小数相加：结果的小数部分是两个循环部分的组合
循环小数的循环节可以是1位数、2位数或多位数。
循环小数的小数位数是无限的，但循环节的长度是有限的。
循环小数可以用分数形式表示，分子是循环节的数字，分母是循环节的位数。
循环小数的表示方法
循环节：循环小数部分不断重复的数字
简便记法：在循环节的第一个数字和末尾数字上面加上省略号
循环小数四舍五入：根据需要保留小数位数，对非循环节数字进行四舍五入
小学奥数分类：循环小数化分数、分数大小比较
计算问题3一、循环小数任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。
1、 纯循环小数化成分数的方法：分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是9,9的个数与循环节的位数相同。
如：0.••97=9979；0.••441=11116999144= 2、 混循环小数化成分数的方法：分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数所组成的数减去不循环数字所组成的数所得的差；分母头几位数字是9，末几位数字都是0，其中9的个数与循环节的位数相同，0的个数与不循环的部分的位数相同。
如：0.1••73=495689901369901137==-；0.172754899001728990017174554==-=••. 【例题】1、将下列纯循环小数化成最简分数。
（1）0.•8 （2）0.••5142、将下列混循环小数化成最简分数。
（1）0.3•8 （2）0.4••753、给下面各数点上循环点，使不等式成立。
0.1415＞0.1415＞0.1415＞0.14154、计算：191.2 1.2427•••⨯+＝________。
5、纯循环小数0.••c b a 写成最简分数时，分子与分母之和是58。
请写出这个循环小数。
6、在循环小数0.••7234561中，移动表示循环节的小圆点，使得新的循环小数的第100位数字是5，新的循环小数是多少？【练习】1、计算：128(7.142 2.5)0.139•-⨯-÷+＝ 。
2、计算：=-+••114154.0625.3________。
3、计算：0.12 。
＋0.23 。
＋0.34 。
＋…＋0.89 。
4、在以下各数上加上循环点，使排列顺序符合要求。
0.61620.6162>> 0.61620.6162>二、比较大小增加的比较分数大小的方法：1、通分子，（包括分子分母同除以分子使分子变成1），分母大的反而小。
小学奥数之各种循环小数化成分数的方法归纳
小学奥数之各种循环小数化成分数的方法归纳小学奥数中，常常会遇到各种循环小数，化成分数的问题。
循环小数是指小数部分有一组数字无限重复出现。
对于循环小数，我们可以采用一些方法将其化成分数。
下面我们将介绍几种常见的方法。
方法一：直接法对于循环小数0.abcabcabc...，我们可以设这个循环小数为x，则有：10x = abc.abcabcabc...x = 0.abcabcabc...将上述两式相减，得到：9x = abc所以，x = abc / 9这就是将循环小数直接化成分数的方法。
解：设这个循环小数为x，则有：将上述两式相减，得到：99x=36所以，x=36/99=4/11方法二：倍数法对于循环小数0.abcabcabc...，我们可以设这个循环小数为x，则有：1000x = abc.abcabcabc...100x = 0.abcabcabc...将两式相减，得到：900x = abc所以，x = abc / 900这就是利用倍数法将循环小数化成分数的方法。
解：设这个循环小数为x，则有：将两式相减，得到：900x=571所以，x=571/900=19/30方法三：代数法对于循环小数0.abcabcabc...，我们可以利用代数方法将其化成分数。
设这个循环小数为x，则有：x = 0.abcabcabc...10x = abc.abcabcabc...将两式相减，得到：9x = abc所以，x = abc / 9这种方法和直接法类似，但更侧重于利用代数思想。
例题3：将0.8888...化成分数。
解：设这个循环小数为x，则有：10x=8.8888...x=0.8888...将两式相减，得到：9x=8所以，x=8/9除了以上的三种常见方法，还有一些特殊的循环小数化成分数的方法，根据具体情况灵活运用。
总结起来，小学奥数中循环小数化成分数常用的方法有直接法、倍数法和代数法。
学生们在解决这类问题时，可以根据题目的具体形式选择合适的方法。
小学奥数二期6循环小数
二期6----循环小数
1、在循环小数3.62890123。
的某一位上再添上一个表示循环的点后，使得：
（1）新的循环小数尽可能大；
（2）新的循环小数尽可能小。
2、甲、乙两个数的和是303.49，如果乙数的小数点向左移动一位就等于甲数，那么甲、乙两数各是多少？
3、有一个四位数，在它的某位数字前面加上一个小数点，再和这个四位数相加得1258.46，问这个四位数是多少？
4、一个小数，若把小数点向右移动一位，所得的数比原数增大了42.84，问原数是多少？
5、已知：c=7，x÷c=0.E。
FABCD。
，那么E+F+A+B+C+D等于多少？
6、已知a=0.00⋯⋯0
⏟22
1990个0，b=0.00⋯⋯0
⏟5，
1992个0
a+b等于多少？a×b等于多少？
7、一个小数，如果把它的小数部分乘4，就得到5.4,；如果把它的小数部分乘9，就得到
8.4，问这个小数是多少？
8、循环小数0.2。
8375463。
与0.497。
2163。
在小数点后第几位，在该位上的数字首次都是3？
9、有23个自然数，让小敏计算它们的平均数，结果要保留三位小数，小敏计算的答案是16.654，李老师说最后一位数字错了，其他数字都对。
问正确的答案应该是多少？
10、在小数0.7082169453中，添上表示循环的两个点，使它变成循环小数。
（1）如果把两个点加在8和3的上面，那么第100位的数应该是几？
（2）如果要使第100位上的数字是5，那么表示循环节的两个点应分别加在哪两个数字的上面？。
小学奥数循环小数计算精选练习例题含答案解析(附知识点拨及考点)
教学目标循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题．知识点拨1. 71的“秘密”1 0.142857 ，2 0.285714 ，3 0.428571 ,7772. 推导以下算式1234 12 611 1234 1 137⑶0.1234 ；0.12349900 4950 9990 1110以0.1234 为例，推导0.12341234 12 611．9900 4950设0.1234 A ，将等式两边都乘以100，得：100A 12.34 ；再将原等式两边都乘以10000，得：10000A 1234.34 ，两式相减得：10000A 100A 1234 12，所以A1234 12 6119900 49503. 循环小数化分数结论纯循环小数混循环小数分子循环节中的数字所组成的数循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字所组成的数的差分母n 个9，其中n 等于循环节所含的数字个数按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中9 在0 的左侧循环小数的计算6 0.8571427⑴ 0.1 1；0.12 129 99⑵ 0.1212 1 11；90 90 4；；330.1231230.123999123 1290041 1234；0.1234 ；333 999937 1234 123；0.1234300 90001111；；9000例题精讲模块一、循环小数的认识例 1 】 在小数 l.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是 ________ （注：公元 2007 年10 月 24 日北京时间 18 时 05 分，我国第一颗月球探测卫星 “嫦娥一号 ”由“长征三号甲 ”运载火 箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。
） 考点】循环小数的认识 【难度】 2 星 【题型】填空 关键词】希望杯， 1 试 解析】因为要得到最小的循环小数， 首先找出小数部分最小的数为 0，再看 0后面一位上的数字， 有 05、02、00、07，00 最小，所以得到的最小循环小数为 l.80524102007答案】 l.80524102007巩 固 】给下列不等式中的循环小数添加循环点： 0.1998 0.1998 0.1998 0.1998 考点】循环小数的认识【难度】 3 星【题型】计算解析】根据循环小数的性质考虑，最小的循环小数应该是在小数点后第五位出现最小数字 1 的小数，因此一定是 0.1998 ，次小的小数在小数点后第五位出现次小数字 8，因此一定是 0.1998 ．其后添加 的循环点必定使得小数点后第五位出现 9，因此需要考虑第六位上的数字，所以最大的小数其循 环节中在 9 后一定还是 9，所以最大的循环小数是 0.1998 ，而次大数为 0.1998 ，于是得到不等式： 0.1998 0.1998 0.1998 0.1998答案】 0.1998 0.1998 0.1998 0.1998例 2】 真分数 a 化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么 a 是7多少 ?2=0.285714 ， 3 =0.428571 ， 4 =0.571428 ， 5 =0.714285 ， 6 =0.857142 ．因 7 7 7 7 7此，真分数 a 化为小数后，从小数点第一位开始每连续六个数字之和都是1+4+2+8+5+7=27 ，又7因为 1992 ÷ 27=73 ⋯⋯ -2211,2=76，而 6=2+4，所以 a =0.857142 ，即 a 6 ．7答案】 a 6巩固】真分数 a 化成循环小数之后，从小数点后第 1位起若干位数字之和是 9039 ，则 a 是多少？7考点】循环小数的认识 【难度】 3 星 【题型】计算解析】我们知道形如 a 的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8这 6个数字组7成， 只是各个数字的位置不同而已， 那么 9039就应该由若干个完整的 1 4 2 8 5 7 和一个不 完整 1 4 2 8 5 7组成。
小学六年级奥数-第二章-循环小数与分数
第二章循环小数与分数知识要点任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。
那么，什么样的分数能化成有限小数，什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面的分数。
(1)12＝0.5，325(＝235)＝0.12，1740(＝31725⨯)＝0.425；(2)13＝0.3，57＝0.714285，1333＝0.39；(3)56(＝523⨯)＝0.83，67175(＝26757⨯)＝0.38285714，101360(＝3101259⨯⨯)＝0.2805。
结论：(1)中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只含有质因数2和5，化成的有限小数的位数与分母中含有的2与5中个数较多的个数相同。
如1740，因为40＝23×5，含有3个2，1个5，所以化成的有限小数有三位。
(2)中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2和5。
(3)中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分的位数与分母中含有2与5中个数较多的个数相同。
如67175，因为175＝52×7，含有2个5，所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。
于是我们得到一个最简分数化为小数的三个结论：1.如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；2.如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数；3.如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。
典例巧解例1 判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？5 324213125023781001173850点拨上述分数都是最简分数，并且32＝25，21＝3×7，250＝2×53，78＝2×3×13，117＝32×13，850＝2×52×17，根据知识要点的结论可求解。
六年奥数知识讲解之循环小数
【导语】数学与我们的⽣活有着密切的联系，让学⽣认识到现实⽣活中蕴涵着⼤量的数学信息，数学在现实⽣活中有着⼴泛的应⽤，并从中体会到数学的价值，增进对数学的理解和应⽤数学的信⼼等。
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【篇⼀】 循环⼩数 ⼀、把循环⼩数的⼩数部分化成分数的规则 ①纯循环⼩数⼩数部分化成分数：将⼀个循环节的数字组成的数作为分⼦，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。
②混循环⼩数⼩数部分化成分数：分⼦是第⼆个循环节以前的⼩数部分的数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差，分母的头⼏位数字是9，9的个数与⼀个循环节的位数相同，末⼏位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。
⼆、分数转化成循环⼩数的判断⽅法： ①⼀个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5，⼜含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的⼩数必定是混循环⼩数。
②⼀个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的⼩数必定是纯循环⼩数。
【篇⼆】 例如：0.333333……奥数计算问题循环⼩数 循环节为3 则0.3=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3^10(-n)+…… 前n项和为：30.1(1-(0.1)^(n))/(1-0.1) 当n趋向⽆穷时(0.1)^(n)=0 因此0.3333……=0.3/0.9=1/3 注意：m^n的意义为m的n次⽅。
⽅法⼆：设零点三，三循环为x，可知10x-x=三点三，三循环-零点三，三循环 9x=3 x=1/3 第⼆种：如，将3.305030503050.................(3050为循环节)化为分数。
解： 设：这个数的⼩数部分为a，这个⼩数表⽰成3+a 10000a-a=3053 9999a=3053 a=3053/9999 算到这⾥后，能约分就约分，这样就能表⽰循环部分了。
再把整数部分乘分母加进去就是了!【篇三】 练习 (1)⼀个数的⼩数部分，从某⼀位数起，⼀个数字或者⼏个数字()出现，这样的⼩数叫做循环⼩数。
小学奥数训练题 循环小数与分数
循环小数与分数
1、将下列分数化为循环小数,并求出小数点后第100位的数字：
2、在下列混合循环小数中,移动循环节的第一个圆点,使新产生的循环小数尽可能大：
3、在下列混合循环小数中,移动循环节的第一个圆点,使新产生的循环小数尽可能小：
4、小马虎写了一个错误的不等式,其实不等式是正确的,但是小马虎把四个循环小数中表示循环节的循环点都写丢了。
请你帮他补上,使得不等式成立：
0.1998＞0.1998＞0.1998＞0.1998。
5、
位的数字都是6？
6、
在该位的数字都是3？
7、环小数的第
100位数字是5,新的循环小数是几？
8、给小数0.7082169453添上表示循环节的两个点,使其变成循环小数。
已知小数点后第100位上的数字是5,求这个循环小数。
9、
位为止的数字之和等于2000？
10、划去小数0.57383622981后面的若干位,再添上表示循环节的两
大的和最小的
11、右图中圆周上的10个数,按顺时针次序可以组成许多整数部分是
12、将下列循环小数化为分数：
13、计算下列各题（结果表示为分数和小数两种形式）：
14、计算：
15、计算下列各题：
16、把整数部分是0,循环节是3的纯循环小数化成最简真分数后,分母是一个两位数。
这样的最简真分数有多少个？
17、相差 2.46,正确答案应是多少？
18、写出这个循环小数。
19、
求n。
20、
求n。
2021年小学奥数之各种循环小数化成分数的方法归纳
各种循环小数化成分数的方法归纳欧阳光明(2021.03.07)一、纯循环小数化分数从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。
怎样把它化为分数呢？看下而例 题。
例1把纯循环小数化分数：⑴ 0.6 ⑵ 3.102解：〔1) 0.6X10 = 6.666……①0.6 = 0.666……②由CD —②得0.Z X 9 = 6所以0.6 =4諾 y D(2) 3.：0彳先看小数部分(do?• •0.102 x 1000 = 102.102102 ............ ®0.102 = 0.102102……②由①一②得x 999 = 102从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循 环节表示的数，分母各位上的数都是9。
9的个数与循环节的位数相同。
能约分的要约分。
所以0.102 = 102 _ 34 999 = 3333.102 = 3 102 999 =3 34 333如：0.216 = 216 9998 374.123 = 4 123 999二、混循环小数化分数 不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。
怎样把混循环小数化为分数呢？看 下而的例题。
例2把混循环小数化分数。
⑴ 0.215； ⑵ 6.353解； ⑴ 0.215X 1000 = 215.1515……①0.215X10 = 2.1515……②由CD —②得02洛 X 990 = 215-2215 — 2 21371°-215 = ^9^=990 = 330 （2）先看小数部分0.3530.353X 1000 = 353.333……①0.353 X100 = 35.333……②由①一®^0.353 X 900 = 353-35353-35 318 53 0.353= ----------- =——=—— 900 900 150由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第 二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。
小学奥数之各种循环小数化成分数的方法归纳
各种循环小数化成份数的方法归纳之答禄夫天创作
创作时间：二零二一年六月三十日
一、纯循环小数化分数
从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数.怎样把它化为分数呢？看下面例题.
例1把纯循环小数化分数：
从以上例题可以看出, 纯循环小数的小数部份可以化成份数, 这个分数的分子是一个循环节暗示的数, 分母各位上的数都是9.9的个数与循环节的位数相同.能约分的要约分.
二、混循环小数化分数
不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数.怎样把混循环小数化为分数呢？看下面的例题.
例2 把混循环小数化分数.
由以上例题可以看出, 一个混循环小数的小数部份可以化成份数, 这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部份组成的数与小数部份中不循环部份组成的数的差.分母的头几位数是9, 末几位是0.9的个数与循环节中的位数相同, 0的个数与不循环部份的位数相同.
三、循环小数的四则运算
循环小数化成份数后, 循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行.从这种意义上来讲, 循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样, 也是分数的四则运算.
例3 计算下面各题：
解：先把循环小数化成份数后再计算.
例4 计算下面各题.
分析与解：（1）把循环小数化成份数, 再按分数计算.
（2）可根据乘法分配律把1.25提出, 再计算.
（3）把循环小数化成份数, 根据乘法分配律和等差数列求和公式计算. 创作时间：二零二一年六月三十日。
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任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。
那么，什么样的分数能化成有限小数？什么样的分数能化成纯循环小数、混循环小数呢？我们先看下面的分数。
（1）中的分数都化成了有限小数，其分数的分母只有质因数2和5，化
因为40=23×5，含有3个2，1个5，所以化成的小数有三位。
（2）中的分数都化成了纯循环小数，其分数的分母没有质因数2和5。
（3）中的分数都化成了混循环小数，其分数的分母中既含有质因数2或5，又含有2和5以外的质因数，化成的混循环小数中的不循环部分的位数与
5，所以化成混循环小数中的不循环部分有两位。
于是我们得到结论：
一个最简分数化为小数有三种情况：
（1）如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；
（2）如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数；
（3）如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。
例1判断下列分数中，哪些能化成有限小数、纯循环小数、混循环小数？能化成有限小数的，小数部分有几位？能化成混循环小数的，不循环部分有几位？
分析与解：上述分数都是最简分数，并且
32=25，21=3×7，250=2×53，78=2×3×13，
117=33×13，850=2×52×17，
根据上面的结论，得到：
不循环部分有两位。
将分数化为小数是非常简单的。
反过来，将小数化为分数，同学们可能比较熟悉将有限小数化成分数的方法，而对将循环小数化成分数的方法就不一定清楚了。
我们分纯循环小数和混循环小数两种情况，讲解将循环小数化成分数的方法。
1.将纯循环小数化成分数。
将上两式相减，得将上两式相减，得
从例2、例3可以总结出将纯循环小数化成分数的方法。
纯循环小数化成分数的方法：
分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是9，9的个数与循环节的位数相同。
2.将混循环小数化成分数。
将上两式相减，得
将上两式相减，得
从例4、例5可以总结出将混循环小数化成分数的方法。
混循环小数化成分数的方法：
分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，末几位数字都是0，其中9的个数与循环节的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
掌握了将循环小数化成分数的方法后，就可以正确地进行循环小数的运算了。
例6计算下列各式：。