高阶微分方程_习题课

C1 dp dy ln p ln y ln C1 p y p y
y x 0 1, y x 0 1 2
1 C1 2
1 y 2y
y 2 x C2
y x0 1
p0
C2 1
y2 x 1
yC
y 0
y 1
例4 y 2 y y xe x e x , 求满足y(1) y(1) 1的特解 解
(1) ( 2) 设 y x k e x [ Rm ( x ) cos x Rm ( x ) sin x ],
(1) (2) m maxl , n 其中 Rm ( x ), Rm ( x )是m 次多项式，
; 0 j不是特征方程的根时 k 1 j是特征方程的单根时.
高阶微分方程
习题课
一、主要内容
高阶方程
可降阶方程
线性方程解的结构
待 定 系 数 法
二阶常系数线性 方程解的结构
特 征 根 法
特征方程的根 及其对应项
f(x)的形式及其 特解形式
微分方程解题思路
分离变量法
一阶方程
作 降 变 阶 换
作变换
非非 变全 全微分方程 量微 积分因子 可 分 分方 常数变易法 离程

pe
e

1 dx 1 x
ln(1 x ) ( e 1 x
dx C1 )
ln(1 x )
C1 ln(1 x ) ln(1 x ) ( e dx C1 ) ln(1 x ) 1 1 x 1 x
C1 1 x
y ( x C1 )ln( x 1) 2 x C2
y Y y C1e C 2e
x 2x
5 C1 C 2 1 将初始条件 y(0) 1, y (0) 2 代入，有 2 C1 2C 2 2
5 2
7 C1 5, C2 2
7 2x 5 y 5e e 2 2
x
二、典型例题
二、典型例题
1 y 2 例1 求通解 y . 2y 解 方程不显含 x . dP 令 y P , y P , 代入方程，得 dy dP 1 P 2 P , 解得， 1 P 2 C1 y , dy 2y dy 即 C 1 y 1, P C 1 y 1, dx 2 C1 y 1 x C 2 . 故方程的通解为 C1
解：特征方程为 r 2 2r 5 0 ，其根为 r1,2 1 2 i
Y e x (C1 cos 2 x C 2 sin 2 x )
由于 f ( x ) e x sin 2 x 是 e x ( Pl ( x )cos x Pn ( x )sin x ) 型 （其中 Pl ( x ) 0, Pn ( x ) 1, 1, 2 ）,因为 i 1 2 i
高阶方程
特征方程法 幂级数解法 待定系数法
1、可降阶的高阶微分方程的解法
(1) y
(n)
f ( x) 型
解法 接连积分n次，得通解．
( 2)
特点 解法
y f ( x , y) 型
不显含未知函数 y .
令 y P ( x ),
y P ,
代入原方程, 得 P f ( x , P ( x )).
1 1 a , b , 6 2
3 2 x x y* e x e x , 6 2
3 2 x x y (C1 C 2 x )e x e x e x . 6 2
3 2 x x y (C1 C 2 x )e x e x e x . 6 2 1 y(1) 1, (C1 C 2 )e 1, 3 x3 x y [ (C1 C 2 ) (C 2 1) x ]e , 6 y(1) 1, (C 2C 5 )e 1, 1 2 6 1 1 2 1 C1 C 2 , C , 1 e 3 e 6 由 1 1 1 5 C2 , C1 2C 2 , 2 e e 6 3 2 2 1 1 1 x x y [ ( ) x ]e x e x e x . e 6 2 e 6 2
y ln(1 x ) 1
例3 求方程
y y ( y)2 0 满足初始条件 y x 0 1,
1 的特解。 2 解：由于不显含 x ,令 y y x 0
p( y) y pp
C1 y y
ypp p 2 0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
p0 或
yp p 0
x 是特征方程根，所以应设特解 y* xe ( A cos 2 x B sin 2 x )
( y*) e x ( A cos 2 x B sin 2 x ) xe x ( A cos 2 x B sin 2 x )
xe x (2 A sin 2 x 2b cos 2 x )
x y 3 y 2 y 3 xe 【例6】求微分方程 的通解
解
r 2 3r 2 0
r1 1, r2 2
Y C1e x C2e 2 x
x y * x ( b x b ) e 0 1 1 是特征单根，设特解
2b0 x 2b0 b1 3 x
y py qy 0
特征方程为
r pr q 0
通解的表达式
2
特征根的情况
r2 实根r1 r2
实根r1 复根r1, 2
i
y C 1e r x C 2 e r x y ( C 1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C 2 sin x )
x x f ( x ) e P ( x ) e 由于 1 是 m 型（其中 Pm ( x ) 1, 1 ）
( y*) 2e x ( A cos 2 x B sin 2 x ) 2e x (2 A cos 2 x B sin 2 x )
2 xe x (2a sin 2 x 2B cos 2 x ) xe x (3 A cos 2 x 3B sin 2 x )
1 代入原方程，解之得 A , B 0 4
r 2r 1 0,
2
r1 r2 1,
Y (C1 C 2 x )e .
x
* 2 x y x ( ax b ) e , 设
3 2 x 则 ( y ) [ax ( 3a b) x 2bx ]e , * 3 2 x ( y ) [ax (6a b) x (6a 4b) x 2b]e , *
例5 y 3 y 2 y 5 满足初始条件 y(0) 1 , y (0) 2 的特解。
解
r 2 3r 2 0 r1 1, r2 2
Y C1 e x C 2 e 2 x
Pm ( x ) 5, 0 不是特征方程根 5 0 设特解 y* ae a a 2
形如 y ( n ) P1 y ( n1) Pn1 y Pn y f ( x )
n阶常系数线性微分方程
y py qy 0
二阶常系数齐次线性方程
y py qy f ( x ) 二阶常系数非齐次线性方程
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
[(C 0 C1 x C k 1 x k 1 ) cos x ( D0 D1 x Dk 1 x k 1 ) sin x ]e x
若是k重共轭 复根 j
4、二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y py qy f ( x )
二阶常系数非齐次线性方程
例3 求方程
(1 x ) y y ln( x 1) 的通解。
解：由于不显含 y，令 y p( x ) ，则 y p
代入原方程整理得
(1 x ) p p ln( x 1)
为一阶线性微分方程
1 dx 1 x
p
p ln( x 1) 1 x 1 x
解法
待定系数法.
(1)
f ( x ) e x Pm ( x ) 型
0 不是根 k 1 是单根 2 是重根 ,
设 y x k e x Qm ( x ) ,
( 2)
f ( x ) e x [ Pl ( x ) cos x Pn ( x ) sin x ] 型
解：特征方程为 r 2 1 0 ，其根为 故齐次方程的通解为
r1,2 i
Y C1 cos x C2 sin x
x f ( x ) e cos x 根据特解结构原理，此方程的自由项 由于
f ( x ) 属于混合型，令 f1 ( x ) e x , f 2 ( x ) cos x
1 2 2
推广：n 阶常系数齐次线性方程解法
y ( n ) P1 y ( n1) Pn1 y Pn y 0
特征方程为 r n P1r n 1 Pn 1r Pn 0
特征方程的根
若是k重根r
通解中的对应项
(C 0 C1 x C k 1 x k 1 )e rx
故特解为
x x y* e cos 2 x 4
x
x x 于是所求通解为 y e (C1 cos 2 x C2 sin 2 x ) e cos 2 x 4
注：不能因为自由项只出现正弦项，而将 y * 设为
xe x B sin 2 x。此例可理解为 cos2 x 的系数为0 。
x y y e cos x 的通解 【例8】求微分方程
若y1 , y2是解, 则y c1 y1 c2 y2也是解 若y1 , y2是两无关解, 则y c1 y1 c2 y2是通解
（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:
形如 y P ( x ) y Q( x ) y f ( x ) ( 2)
非齐方程的任两解之差是相应齐方程的解
例2
2 求方程 xy y x 的通解。
解：由于不显含 y ，令 y p( x ) ，则 y p
xp p 代入原方程整理得 1 2 x
因此
p 即 ( ) 1 x
y p Cx x 2
1 3 y x C1 x 2 C 2 3
1 1 3 2 y Cx x C 2 2 3
( 3)
特点 解法
y f ( y , y) 型
不显含自变量 x .
令 y P ( x ),
dp y P , dy
dp 代入原方程, 得 P f ( y , P ). dy
2、线性微分方程解的结构
（1 ） 二阶齐次方程解的结构:
y P ( x ) y Q( x ) y 0 (1) 形如
非齐通解 = 齐通解 + 非齐特解
若f ( x ) f1 ( x ) f 2 ( x )则y y1 y2
若y y1 jy2是f ( x ) f1 ( x ) jf 2 ( x )的特解 则y1 , y2分别是f1 ( x ), f 2 ( x )的特解
3、二阶常系数齐次线性方程解法
2b0 3, 2b0 b1 0
3 b0 , b1 3 2
3 2 y ( x 3 x )e x 2
*
y Y +y C1e C2e

x
2 x
3 2 ( x 3 x )e x 2
x y 2 y 5 y e sin 2 x 的通解 【例7】求微分方程