复变函数总结完整版

第一章复数

1 i 2=-1 i = ∙, -1 欧拉公式z=x+iy

实部Re Z 虚部Im Z

2运算① z1≡z2^ Rez1=Rez2Imz1=Imz2

②(z1±z2)=Re(z1±z2)+lm(z1±z2)= (Rez1±Rez2)+(lm z1+ Im Z2)

乙Z2

③=χ1 iy1 χ2 iy2

X1X2iχ1y2iχ2y1- y1y2

=X1X2 -y』2 i χ1y2 χ2y1

④z1 _ z1z2 一χ1 i y1 χ2 -iy2 _ χ1χ2 y1y2 i y1χ2 -χ1y2

2 2 2 2

Z2 Z2Z2 χ2 iy2 χ2 -iy2 χ2 y2 χ2 y2

⑤z = X - iy 共轭复数

z z =(x+iy I x — iy )=χ2+ y2共轭技巧

运算律P1页

3代数，几何表示

^X iy Z与平面点χ,y-------- 对应，与向量--- 对应

辐角当z≠0时，向量Z和X轴正向之间的夹角θ ,记作θ =Arg z= V0■ 2k二k= ± 1 ± 2± 3…

把位于-∏v二0≤∏的厲叫做Arg Z辐角主值记作^0= argz0

4如何寻找arg Z

π

例：z=1-i

4

π

z=i

2

π

z=1+i

4

z=-1 π

5 极坐标: X = r CoSr , y = r sin 二Z=Xiy = r COSr isin

利用欧拉公式e i 71 =COS71 i Sin71

例2 f Z = C 时有(C )=0

可得到z=

re°

Z z2=r1e i J r2e i72=r1r2e iτe i72= r1r2e i 71'y^ 6高次幂及n次方

n n in 「n

Z Z Z Z ............ z=re r COS 1 Sin nv

凡是满足方程国=Z的ω值称为Z的n次方根，记作CO =^Z

☆当丄二f Z o时，连续

例1 证明f Z =Z在每一点都连续

证：f（Z f（Z o ）= Z - Z o = Z - Z o τ 0ZT Z o 所以f z = Z在每一点都连续

3导数

f Z o Jm fZ

一

f z

o

z-⅛z°Z-Z o

,2

n

第二章解析函数

1极限

2函数极限

①复变函数

对于任一Z- D都有W FP与其对应川=f Z

注：与实际情况相比，定义域，值域变化

例f z = z

Z—Z o 称f Z当Z-:Z o时以A为极限

df(z l

Z=Zo

1

例2 f Z = C 时有

(C )=0

根据C-R 条件可得2x =0,2y = 所以该函数在Z =O 处可导

4解析

若f z 在Z 0

0= X = 0,^0

的一个邻域内都可导，此时称

用C-R 条件必须明确u,v 四则运算 f 一 g =「- g r

kf =kf f g = f g f g

f Z 在Z 0处解析。

f g Z = f g g z

F

n n -1

Z nz

☆ e z = e z

— f z 亠 \、z f Z

C — C '

证：对-Z 有Iim^

Ijm

所以

例3证明f z = Z 不可导 解：令 一 Z-Z 0 fz -fz 0z 0 =W

Z-Z 。 z-Z o z-zO eo x + ιy

当；.一：0时，不存在，所以不可导。 定理： f Z = u X, y iv X, y 在 ^X iy 处可导 U u ，V 在x, y 处可微，且满足 C-R

条件

iu

:：v

$ ® Cy

例4证明f Z = Z 不可导

解：f z = z = X -iy 其中 u X, y = X v x,y - -y u,v 关于 x,y 可微

1

1 不满足C-R 条件

所以在每一点都不可导

:

X

√y

例 5

f Z i=ReZ

解：f z = ReZ=X u X, y =X vx, y=0

.：

u √v 二1

不满足C-R 条件 所以在每一点都不可导

-X

Jy

2

例 6： f (z )= z

解：f (z )= z $ = X 2 + y 2 其中 u(x, y)=x 2+y 2 v(x,y)=0

例：证明 f z =e z e z =e z

解： f z =e z = e x cosy ie x Sin y

-：

u X : V X

ecog ecoy

√x

；y

:U X "V X

' e Sin y 「 e Sin y 任一点 ^X iy 处满足 C-R 条件 -V

所以 e z 处处解析

「z = -u ∙i 二v =e x cos y ie x si n y = e z

CX GX

练习：求下列函数的导数

f

(Z )= Z 2 Z

u x, y = x 3 xy 2

v x, y = x 2y y 3 所以 = 3x 2 y 2

CX

AJ

=2χy ■y

「2Xy

:X

根据 C-R 方程可得

-U

2

.：

V 2

I 2

=3x y = X

3y

-X

-y

:U

V

-2Xy - =-2xy

=■ X = 0, y = 0

■y CX

所以当Z =：0时f Z 存在导数且导数为0,其它点不存在导数。

初等函数

I 常数

H 指数函数e z =e x cosy i Sin y

F

① 定义域 ② e z 1

∙e z 2

=e z ι

七2

③ e zd2jt = e z （cos2兀 + isin2兀）=e z ④（e z ）=e z

皿对数函数 称满足

的S 叫做Z 的对数函数，记作 =ln z

贝H u X, y i ；=e x

cosy vx,y =e x

siry 解：f(z)=∣z

2 z = X 2

y 2 X iy = x 3

ix 2y xy 2 iy 3

=X 3

xy 2

i x 2y y 3

-V 2 X

3y 2