复变函数总结完整版
复变函数总结完整版
复变函数总结完整版第一章 复数12i =-11-=i 欧拉公式z=x+iy实部Re z 虚部Im z2运算①2121Re Re z z z z =⇔≡21Im Im z z =②()()()()()2121212121Im Im Re Re Im Re z z z z z z z z z z++±=±+±=±③()()()()1221212121122121221121y x y x i y y x x y y y ix yix x x iy x iy x z z ++-=-++=++=⋅④()()()()222221212222212122222211222121y x y x x y iy x y y x x iy x iy x iy x iy x z z z z zz+-+++=-+-+==⑤iy x z -= 共轭复数()()22y x iy x iy x z z +=-+=⋅ 共轭技巧运算律 P1页3代数，几何表示iyx z += z 与平面点()y x ,一一对应，与向量一一对应辐角 当z ≠0时，向量z 和x 轴正向之间的夹角θ，记作θ=Arg z=πθk 20+ k=±1±2±3…把位于-π＜0θ≤π的0θ叫做Arg z 辐角主值 记作0θ=0arg z4如何寻找arg z例：z=1-i4π-z=i 2π z=1+i 4π z=-1 π5极坐标： θcos r x =， θsin r y =()θθsin cos i r iy x z +=+=利用欧拉公式 θθθsin cos i e i += 可得到θi re z =()21212121212121θθθθθθ+=⋅=⋅=⋅i i i i i e r r e e r r e r e r z z6 高次幂及n 次方()θθθn i n r e r z z z z z n in n n sin cos +==⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=凡是满足方程zn=ω的ω值称为z 的n 次方根，记作 nz=ω ()nk i re z ωπθ==+2即nr ω=nr1=ωϕπθn k =+2nk πθϕ2+=第二章解析函数1极限 2函数极限① 复变函数对于任一D Z ∈都有E ∈W 与其对应()z f =ω 注：与实际情况相比，定义域，值域变化 例 ()z z f = ②()A =→z f z z 0limz z → 称()z f 当0z z →时以A 为极限 ☆当()0z f =A 时，连续例1 证明()z z f =在每一点都连续 证：()()00→-=-=-z z z z z f z f 0z z →所以()z z f =在每一点都连续3导数()()()()000limz z z z z z df z z z f z f z f =→=--='例2()Cz f = 时有 ()0'=C证：对z ∀有()()0lim lim 0=∆-=∆-∆+→∆→∆zCC z z f z z f z z 所以()0'=C例3证明()z z f =不可导 解：令0z z -=ω()()iyx iyx z z z z z z z z z z z f z f +-==--=--=--ωω000000当0→ω时，不存在，所以不可导。
复变函数重要知识点总结
复变函数重要知识点总结复变函数是数学中一个非常重要的分支，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
下面将对复变函数的一些重要知识点进行总结。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数组成的数，通常表示为＄z ＝ x ＋ yi$，其中＄x$ 称为实部，＄y$ 称为虚部，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$。
复数的模长定义为＄｜z| ＝＼sqrt{x^2 ＋ y^2}＄，表示复数在复平面上的距离。
复数的辐角定义为＄＼theta ＝＼arctan\frac{y}｛x}＄，表示复数与实轴正方向的夹角。
二、复变函数的定义复变函数是定义在复数域上的函数，通常表示为＄w ＝ f(z)＄，其中＄z$ 是自变量，＄w$ 是因变量。
复变函数的导数定义与实函数类似，但需要满足柯西黎曼方程：＄＼frac{＼partial u}｛＼partial x} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial y}＄，＄＼frac{＼partial u}｛＼partial y} ＝＼frac{＼partial v}｛＼partial x}＄，其中＄f(z) ＝ u(x,y) ＋ iv(x,y)＄。
三、解析函数如果一个复变函数在某点及其邻域内可导，就称该点为函数的解析点。
如果函数在一个区域内处处解析，就称该函数为解析函数。
解析函数具有很多良好的性质，如柯西定理、柯西积分公式等。
四、复变函数的积分复变函数的积分定义为沿着一条曲线对函数进行积分。
柯西定理指出，如果函数在一个单连通区域内解析，那么沿着该区域内任何一条闭合曲线的积分都为零。
柯西积分公式则给出了函数在某点的值与沿着该点周围闭合曲线的积分之间的关系。
五、级数复级数包括幂级数和 Laurent 级数。
幂级数是形如＄＼sum_{n=0}＾｛＼infty} a_n （z z_0)＾n$ 的级数。
收敛半径可以通过比值法或根值法求得。
Laurent 级数是在圆环域内展开的级数，包括正则部分和主要部分。
(完整版)复变函数知识点总结
(完整版)复变函数知识点总结复变函数知识点总结1. 复数与复变函数- 复数是实数和虚数的组合，可表示为a + bi的形式，其中a和b分别是实部和虚部。
- 复变函数是以复数为自变量和因变量的函数，例如f(z)。
2. 复变函数的运算规则- 复变函数的加法和减法：对应实部和虚部进行分别运算。
- 复变函数的乘法：使用分配律进行计算。
- 复变函数的除法：使用共轭形式并应用分配律和除法规则。
3. 复变函数的解析表示- 复变函数可以用级数形式表示，即幂级数或洛朗级数。
- 幂级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n)，其中c_n是幂级数的系数，z_0是展开点。
- 洛朗级数表示为f(z) = ∑(c_n * (z - z_0)^n) + ∑(d_n * (z -z_0)^(-n))。
4. 复变函数的性质- 全纯性：如果一个函数在某个区域内都是解析的，则称其为全纯函数。
- 解析性：如果一个函数在某一点附近有解析表示，则称其为解析函数。
- 保角性：保持角度的变化，即函数对角度的保持。
- 映射性：函数之间的对应关系，实现从一个集合到另一个集合的映射。
5. 复变函数的应用- 物理学：用于描述电磁场、电路等问题。
- 工程学：用于信号处理、图像处理等领域。
- 统计学：用于数据分析、模型拟合等方面。
6. 复变函数的计算方法- 积分计算：使用路径积分或者柯西公式进行计算。
- 极限计算：使用洛朗级数展开或级数加和求解极限。
- 零点计算：使用代数方法或数值解法求解函数的零点。
以上是复变函数的知识点总结，希望对您有所帮助！。
复变函数总结
n
复数数列收敛等价于 u 和 v 分别收敛 级数绝对收敛比值法 a=|zn+1/zn|,a<1 收 a>1 发 幂级数 收敛圆 Abel 第一定理
lim k ck 1 0 ck
(4)高阶导数公式
f (n) ( z) n! 2 i
(3)有界 Cauchy 积分公式
m 1
f ( k ) ( z0 ) 1 f ( )d s 是？ ck k! 2i s ( z0 )k 1
bk
1 f ( )d 2i ( z 0 ) k 1 s
(8)留数 res f(z0)
b1 1 2 i
(9)留数定理
s
f ( z )dz
(7) Laurent 级数 R1<|z-z0|<R2
f ( z)
k
唯一性
b (z z
k
0
)k
唯一性 s 是？
收敛半径 R 1/ (12)极点 res f(z0)
1 d ( z z0 )m f ( z ) z z0 (m 1)! dz m 1 lim
m
f ( x)eipx dx 2 i res[ f ( z )eipz ]z z k
k 1
0
m
(1) 由 CR 条件和 Green 公式推得。对于任意解析区域都适用。 另一种方法,由于围道内没有奇点, 所以(9)式的右边为 0。 z z 积分与路径无关：定积分 F ( z )z0 f ( )d cz0 f ( )d F ( z )F ( z0 ). (2)复连通区域可划成单连通区域, 即得 (3) l 可化为绕 z 的无穷小围道,这时 f(ζ )趋于常数 f(z),提到积分外, 剩下部分的积分部分正好为 2πi 另一种方法，将 f(ζ )在 z 附近 Taylor 展开，f(z)正好是－1 次 项系数，而积分后其他幂次项为 0. (4) 将(3)式两边对 z 求导即得 (5) (3)式在无穷远点留数为 0 即得 (6) 对(3)式的 1/(ζ -z)用幂级数展开,结合(4)即得 它是(7)的 f(z)在 R1 内不含奇点的情形 S 是圆域内绕逆时针 z0 一周的闭合围道. (7) 对(3)式的 1/(ζ -z)在 R2 用幂级数展开，得正幂次项部分,在 R1 展开对 k 做替换得负幂次项部分,最后对它们的系数用(2)归 纳便可得到该结论 S 是圆环域内绕逆时针 z0 一周的闭合围道. (8) 令(7)的 k= -1 得 (9) (8)和(2)结合即得 (10) 这是定义 (11) 将(9)代入(10)即得 (12) 把 f(z)的 Laurent 展开式写出经式中的运算,结果正好是 b-1 (13) 用 1/z 替换(10)中的 z, 然后求 z=0 的留数即可,
复变函数-总结
所 以 vx,y1y22xy-1x2c. 于是
2
2
27
fzx2-y2xy i 1 2y22 xy-1 2x2 c
由f00( x y 0 0) c0 从而
fz x 2- y 2 x y i 1 2 y 2 2 x y - 1 2 x 2 1 - 2 i z 2
即为所求解析函数。
等价定义：
设 f (z) = u(x,y) + iv(x,y) , A = u0+iv0 , z0 = x0+iy0 ,
那么
lim f (z)
zz0
运算性质：
limu(x, Axyxyl im xxyy0000 v(x,
y) y)
u0 v0
.
( 1 ) li (f m ( z ) g ( z ) ) lifm ( z ) lig ( m z )
例题1 一调和函数 ux,yx2-y2xy,
求一解析函数 fzuiv使 f00.
解：〔法一〕 ux2xy,uy-2yx
由 C-R 方程 v y u x 2 x y v 2 x y d y
由 v x - u y 2x2 yy 12c y2x c 2 xy - x v x c2xyc-12xx2,c,
9
对复平面内任一
x3
点z, 用直线将z
除了复数的平面表 示方法外, 还可以
与N相连, 与球面
N(0,0,2r) 用球面上的点来表
相交于P点, 那么
示复数.
球面上除N点外
x3
的所有点和复平
面上的所有点有
P(x1,x2,x3)
一一对应的关系,
而N点本身可代
表无穷远点, 记 作 .这样的球面
复变函数总结
若函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在点 z x yi 处 可导,则其导数公式:
定理2 函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在其定义 域 D内解析的充要条件是: u( x, y)与 v( x, y) 在 D内可微, 并且满足柯西－黎曼方程.
又
w1 z
1 x iy
x iy x2 y2
1 ( x iy), 9
于是 w u iv 1 x 1 iy u 1 x, v 1 y
99
9
9
u2 v2 1 ( x2 y2) 1 表示 w 平面上的圆.
81
9
26
(2) x 2. 解 因为 z x iy 2 iy
1 (1 2
3i ),
z2
sin
3
i
cos
, 3
求
z1
z2
和
z1 z2
.
解
因为
z1
cos
3
i sin
3
,
z2
cos
6
i
sin
6
,
所以
z1
z2
cos
3
6
i sin
3
6
i,
z1 z2
cos
3
6
i
sin
3
6
3 1i. 22
19
例 计算 3 1 i 的值.
解 因为 n 1 所以 1 2 n1 1 n 0. 1
8
例
设
z1
5 5i,
z2
3 4i,
求 z1 z2
与
z1 z2
(完整版)复变函数积分方法总结
复变函数积分方法总结[键入文档副标题]acer[选取日期]复变函数积分方法总结数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。
就复变函数： z=x+iy i²=-1 ，x,y 分别称为z 的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。
arg z =θ₁ θ₁称为主值 -π＜θ₁≤π ，Arg=argz+2k π 。
利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcos θ ，y=rsin θ,故z= rcos θ+i rsin θ；利用欧拉公式e i θ=cos θ+isin θ。
z=re i θ。
1.定义法求积分：定义：设函数w=f(z)定义在区域D 内，C 为区域D 内起点为A 终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C 任意分成n 个弧段，设分点为A=z 0 ，z 1，…，z k-1，z k ，…，z n =B ，在每个弧段z k-1 z k (k=1,2…n)上任取一点ξk 并作和式S n =∑f(ξk )n k−1(z k -z k-1)= ∑f(ξk )n k−1∆z k 记∆z k = z k - z k-1，弧段z k-1 z k 的长度 δ=max 1≤k≤n {∆S k }(k=1,2…,n),当 δ→0时，不论对c 的分发即ξk 的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C 的积分为：∫f(z)dz c=lim δ 0∑f(ξk )nk−1∆z k设C 负方向(即B 到A 的积分记作) ∫f(z)dz c−.当C 为闭曲线时，f(z)的积分记作∮f(z)dz c(C 圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分1)∫dz c 2) ∫2zdz c ,其中C 表示a 到b 的任一曲线。
（1） 解：当C 为闭合曲线时，∫dz c=0.∵f(z)=1 S n =∑f(ξk)n k−1(z k -z k-1)=b-a ∴lim n 0Sn =b-a,即1)∫dz c=b-a. (2)当C 为闭曲线时，∫dz c =0. f(z)=2z;沿C 连续，则积分∫zdz c 存在，设ξk =z k-1,则∑1= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1) 有可设ξk =z k ，则∑2= ∑Z n k−1（k −1）(z k -z k-1)因为S n 的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。
复变函数总结
复变函数总结复变函数，又称为复数函数，是数学中重要的一个分支。
它在物理、工程、经济等领域具有广泛的应用。
复变函数的研究主要涉及复数、复平面、复数域的性质，以及复数函数的导数、积分等基本理论。
在本文中，我将对复变函数的基本概念、性质和常见应用进行总结。
一、复数的基本概念复数是由实数和虚数构成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，而i为虚数单位，满足i²=-1。
复数可以表示平面上的一个点，实部对应横坐标，虚部对应纵坐标。
复数的加法、减法、乘法和除法规则与实数的运算规则相似。
二、复平面与复函数复平面是由复数构成的平面，以复数的实部和虚部作为坐标轴。
复函数是定义在复数域上的函数，可以将复数作为自变量和因变量。
复函数在复平面上的图像通常是曲线、点或者区域。
三、复变函数的性质1. 解析性：复变函数在一个区域内解析，意味着它在该区域内具有连续性和光滑性，并且在该区域内无奇点。
2. 洛朗级数展开：复变函数可以用洛朗级数展开，即可以由一个主要部分和无穷个幂级数按次幂递减的项组成。
3. 共轭函数：对于复变函数f(z)，其共轭函数为f*(z)，实部相同，虚部取相反数。
4. 解析函数的判别：柯西-黎曼方程是判断一个函数在某一点是否解析的重要工具，同时也是复变函数的基本性质之一。
5. 调和函数：调和函数是一类特殊的复变函数，满足拉普拉斯方程。
四、复变函数的应用1. 电路分析：复变函数可以用来分析交流电路中的电流和电压，特别是在包含电感和电容的电路中，通过构造复变函数的拉普拉斯变换可以简化问题。
2. 流体力学：复变函数在描述流体的速度场、压力场和流线的分析中具有重要作用，特别是在无旋场和无散场的情况下。
3. 光学：复变函数可用于描述光波的传播和干涉现象，以及计算透镜的成像和衍射效应。
4. 统计学：复数也可应用于统计学中，如复数正态分布在处理随机变量时具有一定的优势。
5. 量子力学：复变函数是量子力学中运动状态和波函数的基础，通过复变函数可以描述粒子的行为以及能量的量子化。
复变函数小结
《复变函数》 小结第一章一、复数基本概念及其运算1. 复数：z x yi =+，i =（2）共轭复数：z x i y =-，记作：z 。
性质：z z =； 1212z z z z =；“”可以是：“,,,+-⨯÷”()()2222Re Im z z z z x y ⋅=+=+；Re 2z z x z +==，Im 2z zy z -== （3）复数的模、主辐角arg (,]z ππ∈-、辐角z =()()()arctan 0,arctan 0,0arg arctan 0,020,020,0y x x y y x x y z y x x y x y x y ππππ⎧>∀⎪+<≥⎪⎪=-<<⎨⎪=>⎪⎪-=<⎩一四象限二象限三象限正虚轴负虚轴rg arg 2A z z k π=+2. 复数的表示代数表示：复数z x i y =+11-←−→向量(,)x y 11-←−→点z ；三角表示： cos sin z r i r θθ=+(cos sin )r i θθ=+ 指数表示：(cos sin )z r i θθ=+i r e θ=.注：r 是z 的模，θ是z 的任意一个辐角。
3. 复数的运算四则运算：设有111z x i y =+，222z x i y =+两个复数：121212()z z x x i y y ±=±+±； 1212121221()()z z x x y y i x y x y ⋅=-++； 12z z z =； 乘幂与方根（利用指数表示、三角表示）设有复数i z r e θ=，则()ni nn in z re r eθθ==;21k i n n n k w r eθπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭== （0,1,21k n =-）Note ：① 1212||||z z z z ⋅=⋅；1212Arg ()Arg Arg z z z z ⋅=+；②1122||||z z z z =；1122Arg Arg Arg z z z z ⎛⎫=- ⎪⎝⎭； 三、复变函数及其运算 1. 复变函数：()w f z =。
大一复变函数一知识点总结
大一复变函数一知识点总结
1.复数的引入和初步运算：
复数可以表示为实部和虚部的和，记作z=a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，i²=-1、复数有加法、减法、乘法和除法等运算规则。
复数的共轭是实部不变、虚部变号的复数。
2.复变函数的极限和连续性：
设f(z)在z₀附近有定义，如果对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当z≠z₀且，z-z₀，<δ时，有，f(z)-f(z₀)，<ε，则称f(z)在z₀处有极限，记作lim┬(z→z₀)f(z)=A。
复变函数的极限和连续性的性质与实函数类似，可以通过极限的性质推导出复变函数的运算和连续性。
3.复变函数的导数与导函数：
复变函数f(z)在z₀处可导的充要条件是它在z₀处连续，且存在有限的复数A，使得lim┬(Δz→0)(f(z₀+Δz)-f(z₀))/Δz=A。
复变函数的导数有和实函数类似的性质，例如导数是唯一的、导数存在的条件等。
4.全纯函数和调和函数：
在学习复变函数的过程中，还需要掌握一些基本的技巧和方法，例如利用导数和积分求解特定的问题、使用柯西-黎曼方程证明全纯函数的性质、使用拉普拉斯方程解决实际问题等等。
在实际应用中，复变函数在物理、工程、经济等领域发挥着重要作用，因此对复变函数的理解和掌握是十分必要的。
综上所述，大一复变函数一主要学习了复数的引入和初步运算、复变函数的极限和连续性、导数与导函数、全纯函数和调和函数等知识点，掌握了这些知识点可以帮助我们理解和运用复变函数在实际中的应用。
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即 2z 2 8z 1 dz 2z 2 8z 1 dz
C
L
把函数沿曲线 C 的积分化为沿着直线段 L 上的积分。由于
2z 2 8z 1 dz 2a 2x2 8x 1 dx 2a 8 2a 2 8a 1
L
0
3
故
2z 2 8z 1 dz 2a 8 2a 2 8a 1
C
3
★关键：①恰当参数 ②合适准确带入 z
3 不定积分
定义 3.2 设函数 f z在区域 D 内连续，若 D 内的一个函数 z满足条件
z f z
zD
定理 3.7
若可用上式，则
z z0
f zdz z z0
z, z0 D
例： 计算 i e z dz 0
解： i e z dz e z i ei 1
解：
sin z z
z 2 2zz 1dz
sin z z
sin z z
z 2
2 z 1
dz z 2
2 z0
dz
2i sin
z 2
z
sin z z
z 1
2
z0
isin1
1
5 解析函数的高阶导数
公式： f nz n!
2i
C
f z n1
d
应用要点：① z D
②
1
z n1
u ln r, v 2k
k 0,1,2
所以 u iv ln r i 2k ln r iArgz ln z iarg z 2k
k 0,1,2
例：求 Ln1 Ln1 i
Lni 的值
arg1
Ln1 ln 1 iarg1 2k i 2k 1 k 0,1,2
《复变函数》总结
复变小结1.幅角（不赞成死记，学会分析）.2argtg 20,0,0,0,arctg 0,0,20,arctg arg πππππ<<-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=<≠<±≠=±>=x y y x y x x y y x x x y z 其中 -∏<arg z ≤∏Arg(z1z2)=Argz1+Argz2 Arg(z1/z2)=Argz1-Argz2 2. 求根：由z=θi e =r(cos θ+isin θ)得z n =e in θ=r n (cosn θ+isinn θ) 当r=1时，)sin (cos θθi n +=)sin (cos θθn i n + （*1） 当z w n =w= （*2） z arg =θ 例： 可直接利用（*1）式求解可令z=1+i,利用（*2）式求解 3.复函数：a. 一般情况下：w=f(z),直接将z=x+iy 代换求解但遇到特殊情况时：如课本P12例1.13（3）可考虑： z=θi e =r(cos θ+isin θ)代换。
()222cos sin 0,1,2,,1k k n n k i n n n n z rer i k n θπθπθπ+++==+=-L 求方根公式(牢记!):其中。
10(sin cos )55i ππ+41i+b.对于P12例题 1.11可理解为高中所学的平面上三点（A,B,C ）共线所满足的公式:(向量) OC=tOA+（1-t ）OB=OB+tBAc.对于P15例题1.14中可直接转换成X 和Y 的表达式后判断正负号来确定其图像。
d.判断函数f(z)在区域D 内是否连续可借助课本P17定义1.84.解析函数，指数，对数，幂、三角双曲函数的定义及表达式，能熟练计算，能熟练解初等函数方程a.在某个区域内可导与解析是等价的。
但在某一点解析一定可导，可导不一定解析。
b.柯西——黎曼条件，自己牢记:（注意那个加负那个不加）c.指数函数:复数转换成三角的定义。
复变知识点 总结
复变知识点总结1. 复变函数的定义复变函数是指自变量为复数，因变量也为复数的函数。
一般地，复变函数可表示为f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中z = x+iy，u(x,y)和v(x,y)分别为实部和虚部。
2. 复数的表示复数可以用直角坐标形式z=x+iy表示，也可以用极坐标形式z=re^(iθ)表示，其中r为模，θ为幅角。
3. 复平面和复函数的几何表示复数z=x+iy可以在复平面上表示为点(x,y)，复变函数f(z)可以在复平面上表示为一条曲线或曲面。
二、解析函数与全纯函数1. 解析函数的定义如果一个复变函数在某个区域内能够展开成洛朗级数，并且在该区域内收敛，那么称该函数在该区域内是解析的。
2. 全纯函数的定义如果一个解析函数的导数处处存在且连续，那么该函数就是全纯函数。
3. 解析函数的充要条件一个函数在某个区域内解析的充要条件是它在该区域内连续，并且满足柯西-黎曼方程。
三、柯西-黎曼方程1. 柯西-黎曼方程的定义对于复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，如果它满足下面的条件：∂u/∂x = ∂v/∂y∂u/∂y = -∂v/∂x那么称它满足柯西-黎曼方程。
2. 柯西-黎曼方程的意义柯西-黎曼方程是解析函数的充要条件，它描述了解析函数的实部和虚部之间的关系，是研究解析函数性质的基本工具。
四、共形映射1. 共形映射的概念如果一个复变函数在一个区域内保持角度和方向不变，那么就称它为共形映射。
2. 共形映射的性质共形映射保持圆周和直线的相交角度不变，它在复平面上的几何性质与保持形状不变，是复变函数理论中的重要概念。
五、留数定理1. 留数的概念对于解析函数f(z)，如果z=a是f(z)的孤立奇点，那么f(z)在z=a处的留数定义为Res(f;a)=1/(2πi)∫f(z)dz，积分路径沿着一个围绕z=a的简单闭合曲线C。
2. 留数定理如果f(z)在复平面上有限个孤立奇点，那么它在整个有限区域内的积分等于所有孤立奇点的留数和，即∮f(z)dz=2πiΣRes(f;a)。
复变函数知识点总结
复变函数知识点总结1. 复数及复平面- 复数由实部和虚部组成，形式为 `z = a + bi`，其中 `a` 为实部，`b` 为虚部，`i` 为虚数单位。
- 复平面将所有复数表示为二维平面上的点，实轴表示实部，虚轴表示虚部。
- 复数可用极坐标和指数形式表示。
2. 复变函数的定义与性质- 复变函数是将复数域映射到复数域的函数。
- 复变函数的导数称为复导数，由极限定义及柯西—黎曼方程求得。
- 复变函数的连续性与分析性与实变函数类似。
3. 元素函数- 复指数函数：`exp(z) = e^z`，其中 `e` 为自然对数的底数。
- 复对数函数：`Log(z) = ln|z| + i(arg(z) + 2πn)`，其中 `arg(z)` 是复数 `z` 的辐角。
- 复正弦函数：`sin(z) = (e^(iz) - e^(-iz))/(2i)`。
- 复余弦函数：`cos(z) = (e^(iz) + e^(-iz))/2`。
4. 复变函数的级数展开- 柯西—黎曼方程可推导出复变函数的泰勒级数展开。
- 复变函数的泰勒级数展开在某一区域内收敛于该函数。
5. 复积分- 路径积分：沿曲线的积分，路径可用参数方程表示。
- 狭义路径积分与宽义路径积分分别对应于可积与不可积的情况。
- 围道积分：路径围成的图形内积分。
6. 复变函数的解析性- 柯西—黎曼方程刻画了函数在一个区域内的解析性。
- 解析函数满足柯西—黎曼方程，其导函数也是解析函数。
7. 复变函数的应用- 复变函数在电路分析、流体力学、量子力学等领域具有广泛应用。
以上是对复变函数的一些知识点的总结，希望能为您提供参考。
复变函数 知识点
复变函数知识点一、复数的基本概念。
1. 复数的定义。
- 设x,y∈ R，称z = x+iy为复数，其中i为虚数单位，满足i^2=- 1。
x称为复数z的实部，记作x = Re(z)；y称为复数z的虚部，记作y = Im(z)。
2. 复数的相等。
- 两个复数z_1=x_1+iy_1和z_2=x_2+iy_2相等，当且仅当x_1=x_2且y_1=y_2。
3. 复数的共轭。
- 对于复数z = x + iy，其共轭复数¯z=x-iy。
共轭复数具有性质：z¯z=x^2+y^2，Re(z)=frac{z + ¯z}{2}，Im(z)=frac{z-¯z}{2i}等。
二、复数的四则运算。
1. 加法与减法。
- 设z_1=x_1+iy_1，z_2=x_2+iy_2，则z_1± z_2=(x_1± x_2)+i(y_1± y_2)。
2. 乘法。
- z_1z_2=(x_1+iy_1)(x_2+iy_2)=x_1x_2-y_1y_2+i(x_1y_2+x_2y_1)。
3. 除法。
- frac{z_1}{z_2}=frac{x_1+iy_1}{x_2+iy_2}=frac{(x_1+iy_1)(x_2-iy_2)}{(x_2+iy_2)(x_2-iy_2)}=frac{x_1x_2+y_1y_2}{x_2^2+y_2^2}+ifrac{x_2y_1-x_1y_2}{x_2^2+y_2^2}（z_2≠0）。
三、复数的几何表示。
1. 复平面。
- 复数z = x+iy可以用复平面上的点(x,y)来表示，其中x轴称为实轴，y轴称为虚轴。
2. 复数的模与辐角。
- 复数z = x + iy的模| z|=√(x^2)+y^{2}，它表示复数z在复平面上对应的点到原点的距离。
- 复数z≠0的辐角θ满足z=| z|(cosθ + isinθ)，辐角不唯一，Arg(z)=θ + 2kπ，k∈ Z，其中θ∈(-π,π]称为z的主辐角，记作θ = arg(z)。
复变函数总结汇总
第一章复数与复变函数、复数几种表示(1)代数表示z =x • yi(2)几何表示：用复平面上点表示(复数z、点z、向量z视为同一概念)(3)三角式：z = r(cosv isi nr)(4)指数式：z = re iT1辐角Argz =arg z 2k 二|zh ,x2y2yarctan丄，x》0,xyarcta n丄+兀,x<0,y〉0xargz={ yarcta n± - x,x<0,yc0x兀/2, x = 0, y:>0-■: /2, x =0,y ： 0z - z2i、乘幕与方根(1)乘幕:(2)方根:re i-____ 2k n/t argz.R'z=n：|z|e n , k= 0,1,2，…n—1第二章解析函数一、连续、导数与微分概念类似于一元实变函数求导法则与一元实变函数类似注：（1）点解析=点可导，点可导推不出点解析（2）区域内解析与可导等价二、定理1 W = f （z）=u • iv在Z o可导二u,v在Z o可微，满足C-R方程定理2 w二f⑵二u • iv在区域D内解析（可导）二u,v在区域D内可微，满足C-R方程讨论1 u,v在区域D内4个偏导数存在且连续，满足C-R方程=w = f （z）二u iv在区域D内解析（可导）三、解析函数和调和函数的关系1、定义1调和函数：满足拉普拉斯方程，且有二阶连续偏导数的函数。
定义2设（x,y）^ （x, y）是区域D内调和函数，且满足C-R方程, xx，则称是「的共轭调和函数。
2、定理1解析函数的虚部与实部都是调和函数。
定理2函数在D内解析二虚部是实部的共轭调和函数。
3、问题：已知解析函数的实部（或虚部），求虚部（或实部）理论依据：（1）虚部、实部是调和函数。
（2）实部与虚部满足C-R方程。
求解方法：（例如已知v）（1）偏积分法：先求u x,u y，再求u = udx （y），得出（y）（2）利用曲线积分：求u x，u y,du，再u = u x dx u y dy c（x o,y o）（3）直接凑全微分：求u x,u y,du，再du四、初等函数1、 指数函数 w=e z =e x e iy =e x （cosy i sin y ）性质：（1） e z 是单值函数，（2） e z 除无穷远点外处处有定义（3） e z = 0（4） e z 处处解析，（e z ）'eZ（5） e z1 Z2 =e Zl e Z2（6） e z 是周期函数，周期是2k 「：i2、 对数函数w =Lnz =ln |z| i argz i2k 二 （多值函数）主值（枝）ln z=l n | z| iargz （单值函数）性质：（1）定义域是z = 0，（2） 多值函数（3） 除去原点和负实轴的平面内连续(5) Ln(wz 2) = Lnz j Lnz 2 Ln 三二 Ln^ - Lnz 2J3、幕函数w = z ，e-Lnz （z = 0「是复常数）（1） 为正整数，函数单值、处处解析，（2） 〉为负整数，函数单值、除去z = 0及其负实轴处处解析,4、三角函数欧拉公式 e i = c 0'S i s i n（4）除去原点和负实轴的平面内解析,1 1(Lnz) (In z): z ，z或 eJe 乂cos , s i n 二 2 2iiz _iz iz _iz定义: e +e . e -e cosz , sin z 二 2 2itan z=sin z/cosz, cot z = cosz/sin zsecz =1/cosz, cscz =1/sin z性质: 周期性、可导性、奇偶性、零点、等于实函数一样各种三角公式、求导公式照搬注： sin z, cosz 的有界性 保护成立。
复变函数(重点整理)
第一章复数的概念 实部：)Re(z x = 虚部：)Im(z y =复数集是对实数集的扩充。
复数的模：)(||22y x z +=两个复数相等，是指它们的实部和虚部分别相等。
iy x z +=的共轭复数是iy x z -= 辅角，记作θ=Argz ，显然xy Argz =)tan( 主值，记作θ=z arg ，x y z arctanarg =，注意)2,2(arctan ππ-∈x y 主值的计算公式P9(大小)（大加小减） 三角表示式：)sin (cos θθi r z += θ是主值，r 是复数的模指数表示式：θi re z = P9-例1.3θθπsin )2cos(=-附：三角函数特殊值表复数的方根：n 次乘幂有n 个根.......)2,1,0(2===+k er z w nk in n πθ)2sin2(cosnk i nk r w n πθπθ+++=复数的乘幂：θθθin n n n e r n i n r z =+=)sin (cosθθarctan arctan -=-P13-例1.6 P31-8.(3)(5) P31-14.(1)(2)(4)第二章求导公式P37若函数)(z f w =在邻域D 内处处可导，则称)(z f 解析。
若)(z f 在z 处不解析，则称z 为)(z f 的奇点。
解析必可导，可导不一定解析。
判断函数是否解析：设),(y x u 和),(y x v 在区域D 内具有一阶连续偏导数，且函数),(),()(y x iv y x u z f +=满足C-R 方程y v x u ∂∂=∂∂ xv y u ∂∂-=∂∂ 复数的求导公式：yvy u i x v i x u z f ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂='1)( 复合函数的导数：)()(])([z g w f z g f ''='，其中)(z g w = 例：已知,11)5()(22--+=z z z z f 求)(z f ' 22)1(1)52)(5(2)(-+++='z z z z z fP64-8对数函数：),.........2,1,0(,2arg ||ln ++=++=k i k z i z Lnz π P65-17主值就是：z i z z arg ||ln ln += 乘幂：ab bea ln = ，实质就是 2ln 32ln 332e e==第三章积分的基本性质P72，例3.3柯西-古萨基本定理（单连通）：如果函数)(z f 在简单闭曲线C 上以及由它围成的内部区域D 内连续，且处处解析，那么)(z f 沿C 的积分为0，即⎰=Cdz z f 0)(复合闭路定理（多连通）闭路变形定理柯西积分公式：dz z z z f i z f C ⎰-=0)(21)(π（0z 是奇点） 高阶导数公式：z n C n n f n in d z f n i z f=-∙-==--=⎰ξξπξξξπ|)()!1(2.......)3,2,1()()()!1(2)()1()(解析函数和调和函数的关系：P96-例3.11 例3.12若二元函数),(y x ϕ在区域D 内具有二阶连续偏导且满足拉普拉斯方程：02222=∂∂+∂∂yx ϕϕ，即△0=ϕ，则称),(y x ϕ为在D 内的调和函数。
复变函数总结可修改文字
tan z sin z , cot z cos z ,
cos z
sin z
sec z 1 , csc z 1 ,
cos z
sin z
4. 双曲函数
ez ez
ez ez
sinhz
, cosh z
,
2
2
tanh z sinh z , coth z cosh z ,
k 0
称为以 b 为展开中心的幂级数。其中 ak 为复常数。
幂级数的收敛圆及其收敛半径
k
对于幂级数 ak (z b)k ，必定存在一以 b 为圆心，R 为
k 0
半径的圆，在圆内该级数绝对收敛（而且在较小的圆内 一致收敛），而在圆外发散。这个圆称为该幂级数的收敛 圆，R 称为它的收敛半径。
确定幂级数的收敛半径
z rei
(1.2.14)
复数的乘幂与方根
zn z z z
zn rn (cos n i sin n )
wk
n
i 2kπ
re n
n
r [cos(
2kπ ) i sin(
n
2kπ )], n
(k 0,1, 2,, n 1)
区域
z0的去心邻域 : 点集 z 0 z z0
复变函数总结
复数的表示
1.2.1 复数的几何表示
y
P y
r
x
o
图 1.1
x
y
0
x
2kπ 0
图 1.2
复数的指数表示
定义 1.2.6 复数的指数表示 利用欧拉(Euler)公式
ei cos i sin
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第一章复数1 i 2=-1 i = ∙, -1 欧拉公式z=x+iy实部Re Z 虚部Im Z2运算① z1≡z2^ Rez1=Rez2Imz1=Imz2②(z1±z2)=Re(z1±z2)+lm(z1±z2)= (Rez1±Rez2)+(lm z1+ Im Z2)乙Z2③=χ1 iy1 χ2 iy2X1X2iχ1y2iχ2y1- y1y2=X1X2 -y』2 i χ1y2 χ2y1④z1 _ z1z2 一χ1 i y1 χ2 -iy2 _ χ1χ2 y1y2 i y1χ2 -χ1y22 2 2 2Z2 Z2Z2 χ2 iy2 χ2 -iy2 χ2 y2 χ2 y2⑤z = X - iy 共轭复数z z =(x+iy I x — iy )=χ2+ y2共轭技巧运算律P1页3代数，几何表示^X iy Z与平面点χ,y-------- 对应，与向量--- 对应辐角当z≠0时，向量Z和X轴正向之间的夹角θ ,记作θ =Arg z= V0■ 2k二k= ± 1 ± 2± 3…把位于-∏v二0≤∏的厲叫做Arg Z辐角主值记作^0= argz04如何寻找arg Zπ例：z=1-i4πz=i2πz=1+i4z=-1 π5 极坐标: X = r CoSr , y = r sin 二Z=Xiy = r COSr isin利用欧拉公式e i 71 =COS71 i Sin71例2 f Z = C 时有(C )=0可得到z=re°Z z2=r1e i J r2e i72=r1r2e iτe i72= r1r2e i 71'y^ 6高次幂及n次方n n in 「nZ Z Z Z ............ z=re r COS 1 Sin nv凡是满足方程国=Z的ω值称为Z的n次方根，记作CO =^Z☆当丄二f Z o时，连续例1 证明f Z =Z在每一点都连续证：f（Z f（Z o ）= Z - Z o = Z - Z o τ 0ZT Z o 所以f z = Z在每一点都连续3导数f Z o Jm fZ一f zoz-⅛z°Z-Z o,2n第二章解析函数1极限2函数极限①复变函数对于任一Z- D都有W FP与其对应川=f Z注：与实际情况相比，定义域，值域变化例f z = zZ—Z o 称f Z当Z-:Z o时以A为极限df(z lZ=Zo1例2 f Z = C 时有(C )=0根据C-R 条件可得2x =0,2y = 所以该函数在Z =O 处可导4解析若f z 在Z 00= X = 0,^0的一个邻域内都可导，此时称用C-R 条件必须明确u,v 四则运算 f 一 g =「- g rkf =kf f g = f g f gf Z 在Z 0处解析。
f g Z = f g g zFn n -1Z nz☆ e z = e z— f z 亠 \、z f ZC — C '证：对-Z 有Iim^Ijm所以例3证明f z = Z 不可导 解：令 一 Z-Z 0 fz -fz 0z 0 =WZ-Z 。
z-Z o z-zO eo x + ιy当；.一：0时，不存在，所以不可导。
定理： f Z = u X, y iv X, y 在 ^X iy 处可导 U u ，V 在x, y 处可微，且满足 C-R条件iu:：v$ ® Cy例4证明f Z = Z 不可导解：f z = z = X -iy 其中 u X, y = X v x,y - -y u,v 关于 x,y 可微11 不满足C-R 条件所以在每一点都不可导:X√y例 5f Z i=ReZ解：f z = ReZ=X u X, y =X vx, y=0.：u √v 二1不满足C-R 条件 所以在每一点都不可导-XJy2例 6： f (z )= z解：f (z )= z $ = X 2 + y 2 其中 u(x, y)=x 2+y 2 v(x,y)=0例：证明 f z =e z e z =e z解： f z =e z = e x cosy ie x Sin y-：u X : V Xecog ecoy√x；y:U X "V X' e Sin y 「 e Sin y 任一点 ^X iy 处满足 C-R 条件 -V所以 e z 处处解析「z = -u ∙i 二v =e x cos y ie x si n y = e zCX GX练习：求下列函数的导数f(Z )= Z 2 Zu x, y = x 3 xy 2v x, y = x 2y y 3 所以 = 3x 2 y 2CXAJ=2χy ■y「2Xy:X根据 C-R 方程可得-U2.：V 2I 2=3x y = X3y-X-y:UV-2Xy - =-2xy=■ X = 0, y = 0■y CX所以当Z =：0时f Z 存在导数且导数为0,其它点不存在导数。
初等函数I 常数H 指数函数e z =e x cosy i Sin yF① 定义域 ② e z 1∙e z 2=e z ι七2③ e zd2jt = e z （cos2兀 + isin2兀）=e z ④（e z ）=e z皿对数函数 称满足的S 叫做Z 的对数函数，记作 =ln z贝H u X, y i ；=e xcosy vx,y =e xsiry 解：f(z)=∣z2 z = X 2y 2 X iy = x 3ix 2y xy 2 iy 3=X 3xy 2i x 2y y 3-V 2 X3y 2分类：类比n z 的求法(经验) 目标：寻找阀W =arg 怕幅角主值 可用：z = e ' z = re "， -U iv、」工口 i B 閃 u 钿UiVi 日Ui Aiv过程： z=re^ = e3 = e=e 、e =re* =⅛r=e,e□ = e=U =In r,v - V 2k 二 k = 0,二 1,二2所以=UiV=In r i V 2k ; =Inr izrgz = In z i argz 2k 二k = 0, _1,_2 ……例：求Ln -1 Ln 1 iLni 的值 arg -1 二■:Ln(—1 )=In _1 +i(arg(_1 )+2k 兀)=i 兀(2k +1) k = 0+1^2 ...........π arg i =C2(π、Ln (i )=In i + i(argi +2k 兀)=1+i+2k 兀 I k=0,±1,=2\2丿IV 幕函数 对于任意复数［,当z=0时例1:求i 1 'i 的值k =0, -1,_2V 三角函数Ln 1 i = I n1 i1*兀+ i(arg(1+i )+2k 兀)=In 2 + i2<42k 二 k = 0,_1,_2 :LnZ例 2：求(1—i 产=e InL )+= e G + MT=iy , -iye +e cosy =2Jy 厶』e -e Sin y =例：求 sin 1 iCOSj i解: Sin (1+i )=丄 e D —e "^*)】2icos(5 +i )=丄 et 十)+e "k F 十)】2第三章复变函数的积分1复积分定理3.1设C 是复平面上的逐段光滑曲线f Z = u X, y ］亠iv X, y 在C 上连续,fz=ux, y∙ivx,y 在 C 上 可 积 ， 且Cf ZdZ = C UX, y dx - v X, y dy i C u x, y dy v x,y dx注：①C 是线 ②方式跟一元一样 方法一：思路：复数→实化 把函数f z = U iv 与微分dz = dx ■ idy 相乘，可得Cf ZdZ = C UX, y dx - v X, y dy i C U X, y dy v X, y dxC : Zt=■ ≤t ≤ LCf ZdZ= . zt Zt dt例： 求 JZdZ ①C ： 0→ 1+i 的直线段② 0―1τ 1 ； 1― 2τ1+i C解：①C ： Zt = t it0沁乞11 H 1ZdZ= t - it t it d^ t 1 —i 1 i dt =1Cr iy 丄・・ e =CoSy +ιsιn y Jy・ ・e =CoSy —i sIny2I定义：对于任意复数 ^X iy ,由关系式可得Z 的余弦函数和正弦函数Iz JZe +ecosz =2iz . ize - eSin Z =2i方法二：参数方程法☆核心：把C 参数② C 1 : Zt = t 0 岂1C 2: Zt =1 itO _t _12柯西积分定理例:1Nin = 1 L --------- n dz =C(Z-a)J On ≠ 1C: 以a 为圆心, P 为半径的圆，方向：逆时针解:C :Z = a + Pe i^z = X +iyL 1n dz = = Γ(⅞^ndz :2兀 1fPie i ed 日 LC (z -af'0 (P e i 日)n☆积分与路径无关：①单联通 ②处处解析X = 3｛日 _sin& \ 例：求［(2z 2 +8z +1dz ,其中C 是连接O 到点(0,2Jr a )的摆线：丿— C 、y = a (1_cos T)解：已知，直线段 L 与C 构成一条闭曲线。
因 f z = 2z 2 8z 1在全平面上解析, 则2z 2 8z 1 dz = 0C —t即 i 〔2z 2 8z 1 dz = L 2z 2 8z 1 dz把函数沿曲线 C 的积分化为沿着直线段 L 上的积分。
由于2 頂■ QI2z 2 8z 1 dz2X 2 8X 1 dx = 2a 一二 2a 2 8二a 1L'0 3★关键：①恰当参数 ②合适准确带入Z3不定积分定义3.2设函数f Z 在区域D 内连续，若D 内的一个函数G Z 满足条件Z- D11tdt O 1 - it dt =T e L 忖W 1 01-ni2加O'e 1"d 1-nir =O=2 二a -■:2a 28a 1★结果不一样1 +∩2<2故8z 1 dz1Z定理3.7若可用上式，则 f z dz - G ZbgiZo乙z 0 ∙ D例：厶Oi计算I L e z dzj O解：1 Z.ZiiA[edz=e O=e -1练习： 2卡 3z 2审 计算]ze 3z +dz解： 2+ 3z 21 ι2+ 3z 22、1 / 卡 3z 24^b2 丄八如 _ 1Ze dz=— [ e d(z )=—[ ed(3z +1)= ----------22 ⅛ 6 '2 24柯西积分公式处处解析fz 在简单闭曲线 C 所围成的区域内则fa =丄f ∙zdz-.'C z _ adz Z■ I2dzi z U(9 —z 2(Z +7 )Z2-^Z dz = 2^i J Z -L i9-z注：①C : z ∙ D一次分式-Z③找到f Z f Z 在D 内处处解析解: —dz =e z -1I Zi Z _Odz = e z -1 =OZ =O例2: 解: Sin Z L 2 dz I Z GZ -1 Sin z 1 2dz IZ =2 z 2-12 |Z =2zsn⅛12 v=2 -1SnZdZ= 2 ：i Sin1Z 1cjZ- D定理例3: 解:半 9 一N-7dZi例4:, Sin z +z I 护 2zz -1dZ解IdzZ∣=22Z Z -1S Z Z2dz -I Z^ z —15解析函数的高阶导数应用要点：①z ∙ D1②一1 —；" n"广n卑-Z③精准分离I--Z调和函数■2-J g= 0则称g x, y 叫做D 内的调和函数 y f Z = u x, y iv x, y 在 D 内解析-2 2 ： 2 - 2U ：■ U : V : V 所以一22x :y Xy :x ：y把U ) V 称为共轭调和函数例:IZ IZ iSin Z2 2y dZ W z -02兀 f sinz ) =2! I 2 丿 =0Z=OS Z Z乍占dz=2∙i 中ZzO公式：f *2⅛c 七"Z- D n=1，2g χ,y 满足 Ag= —gCX第四章级数理论1复数到^Z n 恰 距离 d(z,灼)=Z -Ol谈极限 对 I z J-若有 ZoED 使得 d(z n ,z 0 )= z n -z 0, T o (n τ 临) 此时Z o 为IZj 的极限点 记作Z o = Iim Z n 或Z n —； zo n —；n _^c片F推广：对一个度量空间 x,d 都可谈极限2极限的性质X n >Xon >：： y n > y o4 i Zn'级数问题S n=Z IZ 2 Z 3 ............... Z n部分和数列性质：1若7 Z n X ■ 'n 都收敛，则7 Z nt 匚心」•- IZ^ '收敛2若一个收敛，一个发散，可推出发散 「S rl T S o 3」(∏→ o0 )斗T S on_ ：：若Σ Ia n 〈咼=⅛ Σ a n 绝对收敛若E a * = *处 但为a n 收敛，为条件收敛ZnTZ OJ（n τ 悶）=⅛ {^n T轨Z n 二’n 、Z o 二.’o3Z n =X n ∙ iy n >X oZ n r Z nZ o 「° n — ∙ ■' ：，oZ oiyo n_ ：：若 Iim S nn ——j .QO = SO=I Zn n Λ.则Z \ 收敛，反之则发散。