半导体物理氢原子中电子的分布几率

无论θ、φ如何，电子在r→r+dr中的几率密度为： ρn，l 几率dωnl=ρnl·dr ρnl－径向几率密度
nl r dr
nlml d 0
2 R 2 2 2 r 2 sindrdd
0
nl (r)dr
2
d
0
0
|
Rnl (r)Ylm
( ,)
|2
r2
s in drd
Rnl 2 (r)r 2dr
4.6 氢原子中电子的分布几率
r,, R
n,l,m r, , 2 R 2 2 2
d n,l,ml
Rn,l
2
l ,ml
2
ml
2 r 2 sindrdd
21
ml
2
ωnlm与Φ无关，即关于z轴具有旋转对称性，分两部分几率，径 向几率和角向几率分布。
4.6.1 电子的径向几率分布
1 在不同球壳内找到电子的几率
d1,0 dr
0
Leabharlann Baidu
r
2r
e a0 1
r a 0
0
r=0 ρ10=0 ，r=∞ ρ10=0 ，r=a0 ρ10=4/(a0e4)
说明：氢原子的1s态电子出现在r=a0处单位 球壳内几率最大
2.ρnl的图像
①曲线的 峰值代表 几率最大 值
②峰值数 N=n-l 节点数 N`=n-l-1
3 与波尔理论比较 波尔模型中电子有确定的轨道，轨道半径rn=a0n2
③l=1
m=0
Y2 10
3
4
cos2
θ=0 │Y10│2=3/4π 最大（z轴） θ=π/2 │Y10│2=0 最小
4.7 正常塞曼效应
1效应产生前提：在外磁场作用下产生的效应 2说明：电子本身有一个势能，由于磁场的作用
给了电子一个附加能量，显然这个附加能量 与势能都会影响电子的分布 由于有附加能量，使原来的能级发生分裂 例：实验中观察到的谱线分裂 ① 以s态 p态 分裂为例
2
d
0
0
|
Ylm
(
,
)
|2
s in d
Rnl2 (r)r2dr
n,l
r
dn,l
dr
Rn,l 2 * r 2
例，求氢原子中1s态电子的径向几率密度及极值
R1,0 r
3
a2 0
r
2 e a0
1,0 r
R nl r
r 2
2
r
a e3 2
r a0
0
2
4
a03
2r
r 2e a0
2
r 2drd
l ,ml
2
ml ,l
2
d
0
Rn,l
2 r 2dr
1
2
2 ml ,l d
l,ml
1
2
l,ml
2
2
Yl,ml
只与θ有关与 φ无关
ρlm的图像
①l=0
m=0
Y2 00
1
4
几率密度为球面常数
②l=1 ml=±1
Y2 11
3
8
sin2
θ=0 │Y1±1│2=0 最小
θ=π/2 │Y1±1│2=3/（8π） 最大
量子力学中电子并无严格的轨道概念，只能给 出位置几率分布有若干极大值
4.6.2 电子的角向几率分布 在θ→θ+dθ，φ→φ+dφ立体角内找到电子的几
率
R无论何值，在（θφ）附近立体角dΩ中找到 电子的几率密度为 l,ml ,
l,ml
d
0 l,ml ,nd
R Y r0 n,l l,ml