量子力学答案 苏汝铿 第二章2.4-2.6 0#05

第五组 冯正 200431020019 肖小彬 200431020030

2.4粒子处在势能

()0

U x U ∞⎧⎪

=≤≤≤≤⎨⎪⎩（当x<0和x>2a+b ）0（当0x a 和a+b x 2a+b ）（当a

的场中运动，求在能量小于0U 的情况下，决定能量的关系式。 解：

势能如上图所示。 薛定谔方程是：

21112

22223

3

30;

;

2.k x a k a x a b k a b x a b ψψψψψψ''+≤≤''-≤≤+''++≤≤+=0, 当=0, 当=0, 当

其中

222

01

3

222

2()2, m U E mE k k k -===

其边界条件是：

11212

232

33(0)0;

()(), ()();()(), ()();(2)0.

a a a a a

b a b a b a b a b ψψψψψψψψψψ=''==''+=++=++= 由薛定谔方程及边界条件1(0)0ψ=和3(2)0a b ψ+=，我们有

2

2

111222331()sin ,0;();

()sin[(2)],2.

k x k x x A k x x a x A e B e a x a b x A k x a b a b x a b ψψψ-=≤≤=+<<+=--+≤≤+ 当, 当 当

由其它边界条件，又有

2222222211221112222()()3122()()3112222sin ,cos ;sin ,cos .

k a k a k a k a k a b k a b k a b k a b A k a A e B e A k k a A k e B k e A k a A e B e A k k a A k e B k e --+-++-+=+=--=+=-

改写上式可得关于不全为0系数1223(,,,)A A B A 的线性方程组：

22222211221112222()()2231sin 0,cos 0, sin 0, k a k a k a k a k a b k a b A k a A e B e A k k a A k e B k e A e B e A k a --+-+--=-+=+++=22()()2222331 cos 0.

k a b k a b A k e B k e A k k a +-+-++=

上式有解的条件是其行列式为0：

2222222211

12

2()()1()()

2

211sin 0

cos 0

det 0

0sin 0cos k a k a

k a k a k a b k a b k a b k a b k a e e k k a k e k e e e k a k e k e k k a --+-++-+⎛⎫-- ⎪- ⎪= ⎪ ⎪

⎪-⎝⎭

即

()()()()222222222

121121112111sin sin cos cos sin cos 0k b k b k b k b k b k b k b k b

k a k k a e e k k k a e e k k a k k a e e k k a e e ----⎡⎤--++--⎣⎦⎡⎤----+-+=⎣⎦

亦即

()

()222

222211211112

2

22

2

112111

1sin 2cos sin cos sin 2cos sin cos 0

k b k b

e k k a k k k a k a k k a e

k

k a k k k a k a k k a --++---=

即

222211211121(cos sin )(cos sin )k b k b e k k a k k a e k k a k k a --=+

上式即为决定能量的关系式。

2.5证明对于任意势垒，粒子的反射系数R 和透射系数D 之和等于1。

解：对于任意势垒（如图所示），有一能量0E U >（0U

为势垒高度）从左边入射到势垒上。

应化为

当x →-∞时，波函数是入射波与反射波的叠加

1

1

1ik x ik x e Ae ψ-=+ 其中

1k =

当x →+∞时，只有出射波

2

2ik x Be ψ=

其中2

k

=

我们有概率流守恒定律

2

0J t

ψ

∂+∇∙=∂ 其中()2i J m ψψψψ**-=∇-∇

由于是定态问题，所以

2

0t

ψ

∂=∂，故x J J ≡=常数。 而2

J +=B m

∞ 2k （）

，2

1()(1)k J A m

-∞=- ，由此两式相等，有 22

21

1k B A k += 而透射系数22

21

,k D B R A k =

=， 故1D R +=

2.6设粒子的能量E>0，求粒子在势阱

()0(0)

0(0)U x U x x -<⎧=⎨>⎩

壁x=0处的反射系数。

解：薛定谔方程是：

2

11122

2200

0k x x k ψψψψ''⎧+=<⎪⎨

>''+=⎪⎩ 其中

220122

22()2,m E U mE

k k +=

=

其通解为：

()()11212(0)

(0)

ik x ik x

ik x

x Ae A e x x Ce x ψψ-'⎧=+<⎪⎨=>⎪⎩ 由边界条件()()1200ψψ=和 ()()1200ψψ''=，我们有