数学概论1
总结版：中学数学教学概论
中学数学教学概论第一章中学数学教学的目的与任务1.1 确定中学数学教学目的的依据* 一、确定中学数学教学目的的依据①教育方针②普通中学的性质和任务③数学学科的特点④学生的年龄特征* 二、普通中学的性质和任务性质：普通中学进行的是基础教育而不是职业（专业）教育任务：要交给学生为继续升学或参加生产劳动所必需的、较系统的科学文化知识；必须联系生产、生活实际，注意培养学生的实践能力和生产劳动的技能技巧，培养学生进入社会后的必要的生存和发展能力。
二、数学学科的特点①数学的抽象性与严谨性②数学的广泛应用性③数学的思辨性和结论的确定性1.2 中学数学教学目的一、“标准”中规定的教学目的1.2011年《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》总目标：①获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能②初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识③体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心④具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展新课程标准的四个方面：①知识技能②数学思考③解决问题④情感态度* 2. 2003年《普通高中课程标准（实验）》总目标：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要具体目标：①获得必要的数学基础知识和基本技能②提高空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力③提高数学地提出、分析和解决问题（包括简单的实际问题）的能力，数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力④发展数学应用意识和创新意识⑤提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心，形成契而不舍的钻研精神和科研态度⑥具有一定的数学视野三维目标：①知识与技能②过程与方法③情感、态度与价值观二、关于基础知识和基本技能基础知识：指“大纲”或“标准”中规定的代数、几何、统计与概率、微积分初步等的概念、法则、性质、公式、定理、公理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法基本技能：指按照一定的程序与步骤进行运算、处理数据（包括使用计算器、计算机等信息技术工具）、简单的推理、画图以及绘制图表等基础知识教学中要注意的问题：①要有整体观念②要过程与结论并重③要注意循序渐进、螺旋上升④要注意训练的适度性第二章中学数学教学改革2.1 20世纪中学数学教育改革综述一、克莱因——贝利运动1.克莱因（F.Klein）——主张“以函数为中心”2. 贝利——主张“数学教育应该面向大众”二、新数运动20世纪50年代后期，“数学教育现代化运动”开始（“新数”——新的数学课程）1.新数运动产生的重要原因①社会发展对人的数学素养提出高要求②数学教育中存在着一些亟待解决的问题③20世纪数学的飞速发展④心理学理论的发展⑤高等学校数学教育的发展2.对“新数”的反对意见的体现①升学和就业②具体和抽象③归纳与演绎④理论与实际⑤传统与现代3.新数运动受到挫折的根本原因脱离实际，急于求成。
第一讲 模糊数学概论
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随后，刘应明思维的触角又伸了向多元函数的简 单逼近问题。这一问题在此前一个很长的时期内 没有人能够给予解决。刘应明与李中夫经过艰苦 的探索，于90年代初攻克了这一难题。此项成果 在国家自然科学基金重大项目——“模糊信息处 理与机器智能化”——的结题评审会上被评为最 佳结果，国际上也给予了高度评价。
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1974年印度裔的英国学者E.H.Mamdani(Queen Mary College US)，将模糊逻辑应用于锅炉和蒸 汽机的控制，并在实验室内作了成功的实验，取 得了比传统PID控制更好的效果，这不仅验证了模 糊理论的有效性,也开创了模糊控制这一新的领 域。 1980年,丹麦的史密斯(F.L.Smith)公司成功地将 模糊控制应用到水泥窑的自动控制中,为模糊理论 的实际应用开辟了崭新的前景。从此后,模糊数学 如异军突起，相关的书刊、论文如雨后春笋。
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扎德教授多年来致力于“计算机”与“大系统”的矛盾研 究，集中思考了计算机为什么不能象人脑那样进行灵 活的思维与判断问题。尽管计算机记忆超人，计算神 速，然而当其面对外延不分明的模糊状态时，却“一 筹莫展”。可是，人脑的思维，在其感知、辨识、推 理、决策以及抽象的过程中，对于接受、贮存、处理 模糊信息却完全可能。计算机为什么不能象人脑思维 那样处理模糊信息呢？
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1984年，国际模糊系统联合会 (IFSA,International fuzzy system association) 成立，并于1985年召开了首届年会。
高等数学概论易修教材目录
高等数学概论易修教材目录第一章：导言1.1 数学的定义与发展1.2 高等数学的重要性第二章：函数与极限2.1 函数的概念与性质2.2 极限的定义与性质2.3 极限的运算法则与常用极限第三章：微分学3.1 导数的定义与性质3.2 高阶导数与导数的应用3.3 微分中值定理与泰勒展开第四章：积分学4.1 不定积分的定义与性质4.2 定积分的定义与性质4.3 牛顿-莱布尼茨公式与变限积分第五章：微分方程5.1 一阶常微分方程5.2 高阶常系数线性齐次微分方程 5.3 常系数线性非齐次微分方程解法第六章：多元函数微分学6.1 多元函数的极限与连续性6.2 偏导数与全微分6.3 隐函数与参数方程第七章：多元函数积分学7.1 二重积分的定义与性质7.2 二重积分的计算方法7.3 三重积分与曲线、曲面积分第八章：向量代数与空间解析几何 8.1 向量的定义与运算8.2 空间直线与平面的方程8.3 空间曲线与曲面的方程第九章：无穷级数9.1 数列的极限与性质9.2 级数的收敛与发散9.3 幂级数与泰勒级数第十章：常微分方程初步10.1 常微分方程的基本概念10.2 一阶线性常微分方程10.3 二阶线性常微分方程及应用第十一章：几何与解析几何基础11.1 矢量与线性变换11.2 直线与平面的位置关系11.3 空间曲线的参数方程与切线第十二章：多元函数微分学进阶12.1 多元函数的极值与条件极值12.2 隐函数与参数方程的微分学应用 12.3 多元函数的泰勒公式第十三章：多元函数积分学进阶13.1 重积分的计算方法与坐标变换 13.2 曲线、曲面积分的计算方法13.3 广义积分的收敛性与判定第十四章：曲线与曲面积分14.1 曲线的曲率与曲率半径14.2 曲线积分的计算方法与应用14.3 曲面积分的计算方法与应用第十五章：多元函数微分学综合应用 15.1 极值问题的应用15.2 曲线与曲面的参数化15.3 向量场与流量的应用第十六章：傅里叶级数与傅里叶变换 16.1 傅里叶级数的定义与性质16.2 傅里叶级数的计算与应用16.3 傅里叶变换与信号处理第十七章：线性代数初步17.1 行列式与矩阵的基本概念与性质 17.2 线性方程组与向量空间17.3 特征值与特征向量第十八章：数值计算方法初步18.1 数值计算的误差与有效数字 18.2 数值求解方程的方法18.3 矩阵运算与数值积分第十九章：概率论基础19.1 随机事件与概率的基本概念 19.2 条件概率与独立性19.3 随机变量与概率密度函数第二十章：数理统计基础20.1 统计量与样本分布20.2 参数估计与假设检验20.3 简单线性回归分析第二十一章：多元统计分析初步 21.1 样本相关与回归分析21.2 单因素方差分析21.3 多因素方差分析以上为《高等数学概论易修教材》的目录，希望本教材能够帮助学生快速掌握高等数学的基本概念与方法，提高数学素养和分析问题的能力。
数学学科概论学习心得1
数学学科概论学习心得我们从小学一直都学习着数学，但有的同学对数学学科的整体理解还有待进一步提高，只有了解了数学的特点与作用，数学的发展历史，数学的学科结构，才能更好地掌握数学的规律，从而更好地学习和研究数学。
数学是基础的工具学科，对当今经济和社会的发展起着重要作用，有许多数学问题和实际问题期待我们去探索解决。
美国近代数学家哈尔莫斯说：“数学是创造性艺术，因为数学家创造了美好的新概念；数学是创造性艺术，因为数学家像艺术家一样地生活，一样地思索；数学是创造性艺术，因为数学家这样对待它。
”通过数学学科概论的学习，我知道了和其他学科比较，数学的特点是：1.抽象性：数学的研究对象本身就是抽象的，并且在数学的抽象中只保留量的关系和空间形式而舍弃了其他一切。
数学的抽象是逐步提高的，它们所达到的抽象程度大大超过了其他学科。
2.精确性：数学的精确性表现在数学推理的逻辑严格性和数学结论的确定无疑性。
3.应用的广泛性：21世纪，随着应用数学分支的大量涌现，数学已经渗透到几乎所有的科学领域。
不仅物理学化学等学科仍在广泛的享用数学的成果，连过去很少使用数学的生物学，语言学，历史学等也与数学结合，形成了内容丰富的生物数学，数理经济学，数学心理学，数理语言学，数学历史学等边缘学科。
马克思说：“一门科学只有当它达到能够成功的运用数学时，才算真正发展了。
”那么我们要真正学好数学，就要学好数学学科的结构。
数学学科的结构，指的是构成数学知识体系的各种知识单元之间的一种相对稳定的结合方式和联系方式。
数学学科结构有广义和狭义之分。
研究数学整个学科结构的是广义学科结构，研究学校数学教育过程中数学课程设置结构的是狭义的学科结构。
当今数学出现四足鼎立的局面：1.纯数学：研究数，形，函数，各种方程式；采用演绎推理的方法。
2.数学的应用：科学研究的基本程序，感性材料，定性的规则，数学模型，应用。
3.计算科学：通过设计算法，用计算机求解各种问题。
4.统计学：收集，描述，分析数据；像自然科学，也像工程技术分析学分析学是数学的核心领域之一，它的内容广泛，思想深刻，同时在应用方面也具有非常重要的意义。
第1讲数学教育概论
第1讲数学教育概论
数学教育概论是一门重要的理论课程，是数学教育学科的基础课程，
它包括数学教育发展的历史、内容概念与教学方法、教育心理学等内容，
为数学教育学科建设和数学教育实践提供基础理论依据。
数学教育发展的历史主要从狄拉克对数学运用抽象思维的概念到现代
数学教育理论的发展，反映了数学教育及其发展的实际情况。
狄拉克认为，数学是抽象思维的研究，其历史也追溯到古希腊，他提出了“建立系统的
数学”，代表着数学教育理论的最初阶段，也是现代数学教育理论发展的
基础。
到20世纪的晚期，数学教育理论及其发展又有了新的变化，数学
教育从一般意义上的“讲授”转变为“活动式”的学习数学。
在这种思想
指导下，数学教育走向更广阔的空间，也更加重视学生自主学习的能力。
数学教育内容概念和教学方法涉及到数学内容的认知，这就引出了数
学教育中的意义概念和内容理论、抽象原理的把握和系统建构、解决问题
的策略和方法以及具体数学技能等内容。
中学数学教育学概论课后习题及答案
中学数学教育学概论课后习题及答案第一章课后习题答案1.你认为目前我国中小学数学课程存在的突出问题主要表现在那些方面？答：（1）不注重数学的应用性和实用性；（2）不注重学生主体的活动性；（3）过于强调接受学习，死记硬背，机械训练；（4）过分强调甄别与选拔的功能（5）过于注重知识传授；（6）教师水平不高，不够专业化2.《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》的基本理念和课程总体目标是什么？答：《标准1》的基本理念：（1）数学课程应突出体现基础性普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，实现------人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展；（2）数学是人类生活的工具，用于交流的语言，是一种人类文化，能赋予人创造性；数学学习的内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，有利于学生主动的进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动；（3）数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上；（4）评价的目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和教师的教学；（5）现代信息技术的发展对数学教育的价值目标内容以及学与教的方式产生了重大的影响。
《标准1》中确定的的义务教育数学课程的总体目标是，通过义务教育阶段的数学学习，学生能够：（1）获得适应未来社会生活和进一步发展所必须要的重要数学知识（包括数学事实，数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能（2）初步学会运用数学的思维方式去观察，分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识；（3）体会数学与自然以及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心；（4）具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展。
（具体可看41页下面的表格）3.《普通高中数学课程标准（实验）》的基本理念和课程总体目标是什么？答：《标准2》的基本理念：（1）构建共同基础,提供发展平台；（2）提供多样课程,适应个性选择；（3）倡导积极主动,勇于探索的学习方式；（4）注重提高学生的数学思维能力；（5）发展学生的数学应用意识；（6）与时俱进地认识双基；（7）强调本质，注意适度形式化；（8）体现数学的文化价值；（9）注重信息技术与数学课程的整合；（10）建立合理、科学的评价体系.《标准2》中确定的普通高中数学课程的总目标是：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。
数学学概论试论述代数与几何的区别
数学学概论试论述代数与几何的区别引言数学作为一门广泛研究数量、结构、变化以及空间等抽象概念与关系的学科，可以分为多个分支，其中代数和几何是两个重要的学科。
代数和几何在数学的研究方法、内容和应用等方面存在着显著的区别。
本文试图探讨代数和几何的区别并进行比较。
代数的特点代数是一门研究数与符号关系的学科，它主要研究数的运算规则、代数结构以及方程等。
代数强调符号的使用和抽象的概念，它通过符号代表数与数的关系，通过运算规则分析与计算数的性质和特点。
代数的表达方式通常是使用符号和方程式。
几何的特点几何是一门研究空间形状、结构和性质的学科，它主要研究点、线、面、体以及它们之间的关系。
几何强调空间概念和图形的使用，通过图形的表示和几何定理的推导来研究空间的性质和变化。
几何的表达方式通常是使用图形和几何定理。
方法的区别代数和几何在研究方法上存在着显著的区别。
代数主要通过符号和方程进行推导和计算，它注重数的运算规则和代数结构的分析。
几何主要通过图形和几何定理的推导进行研究，它注重空间形状和图形的性质。
代数和几何在研究方式上各具特色，但也有较多交叉和相互影响的地方。
内容的区别代数和几何的内容也存在着明显的区别。
代数的研究范围包括数的运算规则、方程的解法、代数结构和数论等方面。
几何的研究范围包括点、线、面、体的性质、图形变换和空间关系等方面。
代数和几何的内容有不同的特点和重点，但也有一些共同的应用领域，例如在物理学、工程学和计算机科学等方面都有广泛的应用。
结论代数和几何是数学学科中两个重要的分支，它们在研究方法、内容和应用等方面存在着显著的区别。
代数主要研究数与符号关系，注重符号的使用和抽象的概念；几何主要研究空间形状和性质，注重图形的表示和几何定理的推导。
代数和几何在研究方式和内容上有差异，但也有交叉和相互影响的地方。
了解代数和几何的区别有助于深入理解数学的多样性和广泛应用的领域。
数学史概论1
❖ 又经历了数万年的发展,这些办法用得 多了，就逐渐形成数的概念和记数的符 号,直到距今五千多年前,终于出现了书写 记数系统. 书写记数的出现使数与数之间 的书写运算成为可能.
❖ 数的概念最初不论在哪个地区都是从 1、2、3、4……这样的自然数开始的， 但是记数的符号却大不相同。
❖ 从古埃及紙草书象形文字记载中知道:
数学史概论
李文林 著
目录
❖ 第 0 章. 绪论
❖ 第 1 章. 河谷晨曦—数学的起源与早期发展
❖ 第 2 章. 喷薄出海—古希腊数学
❖ 第 3,4 章. 日照东方—古代与中世纪的东方数学
❖ 第 5 章. 冲破黑暗—文艺复兴与近代数学的兴起
❖ 第 6 章. 走向无穷—微积分的创立
❖ 第 7 章. 分析时代—18世纪数学略影
❖ 阿拉伯数字容易通过改变小数点位置而 产生变化。所以在特殊场合（如银行） 不能完全替代大写的汉字。
几何知识
古埃及陶罐
半坡遗址陶器残片
半坡遗址房屋基础
西汉彩帛女娲伏羲图案(新疆出土)
❖ 古埃及几何学产生于尼罗河泛滥后土地的重 新丈量；
❖ 古代印度几何学的起源与宗教实践密切相关；
❖ 古代中国，几何学起源更多地与天文观测相 联系。
二、河谷文明与早期数学
河谷文明：历史学家常把兴起于埃及、美索不 达米亚、中国和印度等地域的古代文明称为河谷文 明。早期数学就是在尼罗河、底格里斯河与幼发拉 底河、黄河与长江、印度河与恒河等河谷地带首先 发展起来的。
1、埃及数学
罗赛塔石碑 (1799 发现)
• 莱茵德纸草书：84个问题 • 莫斯科纸草书：25个问题
❖ 基本思路是10倍的80加4倍的80，恰好 是1120，即1120中含有14个80．
(完整版)总结版：中学数学教学概论,推荐文档
例如先要经过小范围试验，取得经验后逐步推广；搞好教师培训， 做好课改的舆论宣传；在改革的指导思想上，一定要处理好改革、 继承和创新的关系，要强调渐变而不是突变，否定一切另搞一套的 做法必定要引起混乱，教育领域的革命是注定要失败的。
3.2 运算能力
1、对运算能力的理解 运算——是在运算律指导下对具体式子进行变形的演绎过程
1. 运算能力的特点 1 综合性 2 层次性
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2. 运算能力的衡量指标 1 正确 2 迅速 3 简捷
* 二、运算能力的培养 1 深刻理解数学概念，适当记忆数字事实 2 注重数学思想方法在运算过程中的主导作用 3 重点培养“选择”能力 4 注重运算中的“全局观念” 5 强调良好计算习惯的培养
2、关于基础知识和基本技能 基础知识：指“大纲”或“标准”中规定的代数、几何、统计
与概率、微积分初步等的概念、法则、性质、公式、定理、公理以
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及由其内容所反映出来的数学思想和方法 基本技能：指按照一定的程序与步骤进行运算、处理数据（包
括使用计算器、计算机等信息技术工具）、简单的推理、画图以及绘 制图表等
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1. 原则 1 公平原则 2 课程原则 3 教学原则 4 学习原则 5 评估原则 6 科技原则
2. 标准 1 内容标准 2 过程标准
第 3 章 数学能力
1.1 数学能力概述
1、数学能力：学习数学的能力、创造性数学能力 1. 学习数学的能力：是指在学校里学习（学会、掌握）数学的过程 中表现出的能力，这种能力具有个体意义
基础知识教学中要注意的问题： 1 要有整体观念 2 要过程与结论并重 3 要注意循序渐进、螺旋上升 4 要注意训练的适度性
数学核心经验概论
数学核心经验概论数学是一门广泛应用于各个领域的科学，是一门追求准确和逻辑性的学科。
数学核心经验是指在学习和研究数学过程中积累的重要经验和智慧。
本文将简要介绍数学核心经验，并探讨其在数学学习中的意义。
一、定义和公理化思想：确立数学基础数学核心经验之一是定义和公理化思想。
数学的基础是定义，通过定义可以准确地描述数学对象的属性和关系。
而公理化思想则是基于已知真理来推导新的真理。
这种思想在几何学和数理逻辑中得到了广泛应用。
二、抽象和具象思维：数学问题的转化与解决数学核心经验还包括抽象和具象思维。
抽象是指将具体问题进行概括和提炼，转化为一般性的数学问题。
这种思维方式常见于代数学和数论的研究中。
而具象思维则是将抽象的数学问题还原为实际情境，通过实例和图形等具体手段进行解决。
三、归纳和演绎：数学思维的两个重要方法归纳和演绎是数学核心经验中的两个重要方法。
归纳是从特殊到一般的推理方法，通过观察和总结已知例子的规律性，推测出普遍结论。
演绎则是从一般到特殊的推理方法，通过利用已知的定理和规则，推导出特殊情况的结论。
这两种推理方法在数学证明和问题解决中都起到了至关重要的作用。
四、模型和实验：数学与现实世界的关联数学核心经验中的模型和实验思维是数学与现实世界相联系的重要环节。
数学模型是对实际问题进行数学描述和分析的手段，通过模型可以更好地理解和解决实际问题。
实验则是利用实际数据和现象来验证数学模型的准确性和适用性。
五、问题解决和创新思维：数学思考的最终目标数学核心经验的最终目标是培养问题解决和创新思维。
数学是解决问题的科学，通过培养解决问题的能力，可以使学生在数学学习中更加独立和自主。
创新思维则是对数学知识和方法进行有效整合和应用的能力，可以推动数学的发展和应用。
结论数学核心经验是数学学习和研究中的重要组成部分，它涵盖了定义和公理化思想、抽象和具象思维、归纳和演绎、模型和实验，以及问题解决和创新思维等方面。
这些经验不仅帮助我们理解数学的本质和规律，还培养了我们的逻辑思维和创新能力。
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（四）朱世杰
朱世杰字汉卿,号松庭,元朝人,籍贯燕山(今北京附近).他长期从事数学研究 和教育事业,以数学名家周游湖海二十多年,四方登门来学习的人很多.著作《算 学启蒙》三卷、《四元玉鉴》三卷等著名,把我国古代数学推向更高的境界,形 成宋、元时期中国数学的最高峰.
《算学启蒙》是朱世杰在元成宗大德三年(公元 1922年)刊印的,全书分三卷,二十门,总计二百五十 九个问题和相应的解答.自乘除运算起,一直讲到当 时数学发展的最高成就“天元术”，全面介绍了 当时数学所包含的各方面内容.它的体系完整,
中的参数 t 的三个系数.
(iii)《缉古算经》与三次方程
x3 px2 qx c
2 中国数学发展的高峰——宋元数学
宋元时期
宋元四大家
杨 辉 《详解九章算法》（1261）、 《日用算法》（1262）、 《杨辉算法》（1274—1275）；
秦九韶 《数书九章》（1247）；
李 冶 《测圆海镜》（1248）和《益古演段》（1259） 朱世杰 《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）
从“贾宪三角”到秦九韶“正负开方术”
高次方程数值解 xn+a1 xn-1 + a2 xn-2 + …… + an-1 x +an = 0 商
实 an
方 an-1
一廉 an-2
二廉 an-3
n-2廉 a1 隅1
贾 宪 三 角
刘益方程解法的成就: 刘益的数学著作《议古根源》载有二百道数学问题及 其解法, 其中大部分都是求方程的根 . 在刘益以前的方程大都有一定的限制, 首项系数是正的而且是“1”, 贾宪所研究的也不例外. 刘益第一个在这方面进 行了推广. 例如在他研究的问题中有相当于7x2 =9072 , -5x2 + 228x＝2592等方 程, 特别是他研究了一个四次方程: -5x4 + 52x3 + 128x2＝4096, 这在我国数学史 上是少见的.
现代数学概论
二、世纪之交的法国数学领袖——庞加莱
19世纪前期的法国，柯西是无可争辩的数学领袖。1857年柯西去世后，世界数 学中心渐渐向德国转移。数学天平逐渐向德国倾斜是和19世纪末的德国社会经济发 展相关的。 然而，在世纪之交，世界数学界仍然是法德争雄的格局。法国数学仍然有许多 骄人的成绩，埃尔米特（1822-1901）、若二档（1838-1922）以及达布（18421917）等是主要的代表人物。待到庞加莱（1854-1912）出现在法国数坛，就很快 成为世界性的领袖人物。巴黎高等师范学校和巴黎综合工科学校仍然是世界数学家 的摇篮。 埃尔米特毕业于巴黎综合工科学校，1862年进入该校任讲师，1867年升任教授。 他的早年工作涉及椭圆弧数论，以后的著名工作是一证明了e的超越性，这使他享有 分析学家的声誉，但就他对后世的影响而言，还是关于复二次型的工作最为重要。 在物理学、几何学、算子理论中，埃尔米特成为复共轭、复对称的代名词。 若尔当也是巴黎综合工科学校的学生，一直以工程师的身份做数学研究，同时在巴 黎综合工科学校和法兰西学院任教。1881年成为法兰西科学院院士。他作为代数学 家，首先关注伽罗瓦的群伦，成为第一个在伽罗瓦基础上做系统研究的数学家，也 是使伽罗瓦理论通俗化的先驱。他在群和群表示理论上的开创性工作，是日后代数 发展的起点。1870年，克莱因和索福斯· 李一起来到巴黎，和若尔当一起研究三位空 间中所有运动群的确定，显然这是连续群研究的先声。今天，若尔当的名字更多地 和分析学中的若尔当曲线、矩阵轮中的若尔当标准型、积分论中的若尔当容量联系 在一起。
3.小学数学学习概论(一)
第二节认知学习理论对数学学习的 启示
（二）皮亚杰的发生认识论对小学数学学习的启示
(3)在数学教学中应注意不断设计“不平衡”的 问题情景
“不平衡”的问题情景可以激发学生产生解决问题的动机， 启发学生积极思考。教师的主要任务在于善于利用时机向 学生提出各种问题，使学生产生认知失衡状态，以促使其 主动地解决问题。
2．认知发展阶段论 数学思维实质上是一种动作。运算是他的思维逻辑分析中的核心 概念，是划分儿童认知发展的主要标志。据此，把儿童认知发展 分为四个主要阶段。 (1)感知运动阶段（O岁～2岁）。这一阶段主要是动作活动并伴 有协调感觉、知觉和动作的活动，属于智慧萌芽时期。 (2)前运算阶段（2岁～7岁）。这一阶段出现了语言、符号具有 表象思维能力，但缺乏可逆性。 (3)具体运算阶段（七岁～十一二岁）。这一阶段出现了逻辑思 维和零散的可逆性，但一般还只能对具体事物或形象进行运算。 (4)形式运算阶段（十一二岁～十四五岁）。能在头脑中把形式 和内容分开，使思维超出所感知的具体事物或形象，进行抽象的 逻辑思维和命题运算。 16
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第二节认知学习理论对数学学习的 启示
（二）皮亚杰的发生认识论对小学数学学习的启示
(2)揭示同化、顺应、平衡的建构过程，重视认知结 构的作用。
皮亚杰的同化顺应的建构过程与小学生数学学习的思维过程十 分吻合。数学是逻辑严密、系统连贯的学科，小学生在学习过 程中出现同化或顺应比比皆是。可以说，小学生的数学学习， 是不断地同化和顺应，不断地完善自己的认知结构的过程。因 此，在数学学习中要引导学生学会从已有的认知结构中去检索 新旧知识的区别和联系，不断改善自己的认知策略，不仅学会 数学，而且会学数学。
《数学思想概论》数量与数量关系的抽象史宁中著
《数学思想概论》数量与数量关系的抽象史宁中著绪论数学的抽象⼀、抽象的含义与数学抽象的特点。
⼆、抽象的层次性。
第⼀讲：数的表⽰⼀、数量的本质⼆、⼗进制计数系统的抽象过程分析。
第⼆讲：数的性质⼀、各种进位计数法及其分析。
⼆、数的性质及其研究历程。
第三讲：数的运算与扩张。
⼀、加法法则的抽象过程分析。
⼆、乘法、减法和除法法则的抽象过程分析。
三、算术与代数。
第四讲：⽆理数的认识。
⼀、⽆理数的发现历程回顾，⼆、对⽆理数发现历程的反思。
第五讲：数轴与直⾓坐标⼀、直观与数形结合的意义⼆、平⾯直⾓坐标系下的直线。
三、距离与圆、椭圆、双曲线。
四、证明的⼏何直观。
五、利⽤直⾓坐标系的⼏何直观进⾏现实数据的分析。
第六讲：微积分的产⽣⼀、微积分产⽣的背景。
⼆、微积分的思想分析。
第七讲：极限理论的建⽴⼀、从⽆穷问题到极限的表⽰。
⼆、极限的严谨理论形成历程中的两个困惑。
三、严谨的极限理论的抽象过程，第⼋讲：实数理论的建⽴⼀、有理数的新定义。
⼆、基本序列⽅法。
三、戴德⾦分割⽅法。
第九讲：对应与集合⼤⼩的度量。
⼀、集合之间对应关系的历史考察。
⼆、⾃然数与有理数⼀样多。
三、连续统假设与反证法。
第⼗讲：复数的意义。
⼀、复数产⽣的历史概述。
⼆、复数的运算。
三、代数基本定理。
四、数学归纳法。
五、复数的⼏何表⽰。
六、四元数。
第⼗⼀讲：随机变量与数据分析⼀、随机变量及古代的处理⽅式。
⼆、随机变量与概率三、数据分析四、统计学与数学的区别。
第⼗⼆讲：统计学的发展⼀、统计学的历史回顾⼆、整理数据的常见⽅法三、统计学的思想和⽅法。
绪论数学的抽象数学的本质上研究的是抽象的东西。
⽽这些抽象的东西来源于现实世界，是被⼈抽象出来的。
因此，真正的知识是来源于感性的经验，是通过直观和抽象⽽得到的，这种抽象是不能独⽴于⼈的思维⽽存在。
抽象分别为简约阶段符号阶段普适阶段⼀。
抽象的含义与数学抽象的特点；“数学的本质”是研究抽象的东西。
所谓抽象的东西是指脱离了具体内容的形式和关系，也正因为如此，数学才具有⼴泛的应⽤性。
数学思想概论
数学思想概论.第5辑,自然界中的数学模型数学是自然界中最重要的一种观念，它是基于抽象数学模型和概念，分析和解释自然界及其现象的一种刀法。
本辑文章从自然界的角度，探讨了数学模型的概念和性质，旨在更好地理解数学在自然界中的重要性，帮助读者更深入地把握数学理论和实践。
数学思想概论：自然界中的数学模型数学思想概论：自然界中的数学模型是一个丰富多彩的主题，它涉及了许多方面的研究，其中的研究方法也在不断地发展和改进。
在自然界中，许多复杂的现象可以采用数学模型来刻画和描述，因此，研究和利用自然界中的数学模型就显得尤为重要。
一、解释自然界中的数学模型自然界中的数学模型有多种形式，其中常见的模型包括线性模型、非线性模型、概率分布、多元方程和时间序列等。
这些模型用于描述、解释和预测自然界中的物理、化学和生物现象，从而得出求解结果。
例如，线性模型可用于对系统的影响因素进行扩充，多元方程可用于研究自然界中的动态特性，而概率分布可以帮助人们研究不同的现象的发生概率。
二、应用数学模型在自然界中，许多复杂的现象可以采用数学模型来描述，这些模型在解决实际问题和发现新知识等方面，有着重要的应用和指导作用，从而促进科学进步。
举例来说，数学模型可以应用于生态学研究，以有效地评估植物、鸟类和其他植物及动物物种的存活率和繁殖能力，从而实现野生动物保护的科学管理。
另外，这种应用可以更好地把资源分配给合适的目的，以改善社会地位。
三、发展数学模型与自然界中的数学模型相关的研究也在不断地发展和改进，许多方法都被应用于自然界中，以更好地理解和预测各种复杂的现象。
例如，统计数据和机器学习可以帮助人们利用数据和模型的预测能力；计算机仿真和自适应非线性算法可用于长期复杂系统的优化；可视化技术可以帮助人们更容易理解复杂现象的内在规律。
四、总结自然界中的数学模型是一个涉及许多方面的主题，它有着重要的应用和指导作用，在解决实际问题和发现新知识等方面发挥重要作用。
【高中数学】数学概论
【高中数学】数学概论数学是什么数学是一门研究事物的数量关系和空间形式的科学。
数学的产生和发展始终围绕着数和形这两个基本概念不断地深化和演变。
大体上说，凡是研究数和它的关系的部分，划为代数学的范畴；凡是研究形和它的关系的部分，划为几何学的范畴。
但同时数和形也是相互联系的有机整体。
数学是一门具有自身特点的高度综合性的科学。
抽象是它的第一个特征；数学思维的正确性体现在逻辑的严密性上，因此准确性是数学思维的第二个特征；第三个特点是应用广泛。
一切科学、技术的发展都需要数学，这是因为数学的抽象，使外表完全不同的问题之间有了深刻的联系。
因此数学是自然科学中最基础的学科，因此常被誉为科学的皇后。
数学在提出和解决问题方面形成了一门特殊的科学。
在数学发展史上，有很多例子说明数学问题是数学发展的主要源泉。
为了解决这些问题，数学家需要花费更多的精力和时间。
尽管仍有一些问题没有得到解答，但在这个过程中，他们创造了许多新概念、新理论、新方法，这些都是数学中最有价值的东西。
数学概论数学是一门研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。
简而言之，它是研究数字和形式的科学。
由于生活和劳动上的需求，即使是最原始的民族，也知道简单的计数，并由用手指或实物计数发展到用数字计数。
在中国，最迟在商代，即已出现用十进制数字表示大数的方法；至秦汉之际，即已出现完满的十进位制。
在不晚于公元一世纪的《九章算术》中，已载了只有位值制才有可能进行的开平方、开立方的计算法则，并载有分数的各种运算以及解线性联立方程组的方法，还引入了负数概念。
刘晖在他注释的九章算术中也提出用十进制小数来表示无理数平方根的奇数零部分，但直到唐宋时期（16世纪史蒂文之后的欧洲）才使用十进制小数。
在这本书中，刘晖用连接在圆中的正多边形的周长来近似圆的周长，这成为后世计算圆周率的通用方法。
虽然中国从来没有过无理数或实数的一般概念，但在实质上，那时中国已完成了实数系统的一切运算法则与方法，这不仅在应用上不可缺，也为数学初期教育所不可少。
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思考题
• • • • • • • • 1、数学的发展 经历了哪几个时期？ 数学的发展 经历了哪几个时期？ 2、数学史上曾有过几次“危机”？ 、数学史上曾有过几次“危机” 3、数学有哪些特点？ 、数学有哪些特点？ 4、纯粹数学分为哪三大类？ 、纯粹数学分为哪三大类？ 5、应用数学主要有哪些学科？ 、应用数学主要有哪些学科？ 6、现代数学的“新三高”是什么？ 、现代数学的“新三高”是什么？ 7、现代数学中的新理论主要有哪些？ 、现代数学中的新理论主要有哪些？ 8、数学中的最高奖是什么？ 、数学中的最高奖是什么？
（二）非标准分析
• 非标准分析是利用数理逻辑方法来探讨和刻画微 积分的理论基础——无穷小。 无穷小。 积分的理论基础 无穷小 • 在非标准分析里，使无穷小成为新的超实数集合。 非标准分析里 使无穷小成为新的超实数集合。 • 从“宏观”上看，超实数集合的数轴与实数集合 宏观”上看， 的数轴一样。但是从“微观”上看并不相同， 的数轴一样。但是从“微观”上看并不相同，在 超实数轴上的每一点内，有许多非标准实数。 超实数轴上的研究如何从现实问题中抽象出数 • 应用数学是研究如何从现实问题中抽象出数 学规律以及如何把已知的数学规律应用于现 实问题的。 实问题的。 • 包括数理方程 、运筹学 、概率论与统计学 、 计算数学 。
四、现代数学的基础课程
• 现代数学的基础课程正在更新。 现代数学的基础课程正在更新。 • “老三高”：以“高等微积分”、“高等 老三高” 高等微积分” 代数” 高等几何”为主体。 代数”、“高等几何”为主体。 • “新三高”，即抽象代数、拓扑学和泛涵 新三高” 即抽象代数、 分析。 分析。 • 现代数学理论是由“新三高”这三根支柱 现代数学理论是由“新三高” 撑着的。 撑着的。
（三）突变理论
• 突变理论主要以拓扑学、奇点理论为工具，并通过 突变理论主要以拓扑学、奇点理论为工具， 主要以拓扑学 对稳定性结构的研究，说明了有的事物不变， 对稳定性结构的研究，说明了有的事物不变，有的 渐变，有的则是突变，从而提出了一系列的数学模 渐变，有的则是突变， 型，用以解释自然界和社会现象中所发生的不连续 的变化过程。 的变化过程。
数学概论
主要内容
• • • • • 数学的产生和发展 数学的特点 数学的分类 现代数学的基础课程 现代数学中的新理论
一、数学的产生和发展
• 数学的产生 • 数学的发展
（一）数学的产生
• 数学是研究客观世界中的数量关系和空 间形式的科学。 间形式的科学。 • 数学上的数和形这两个基本概念，是人 数学上的数和形这两个基本概念， 类通过长期实践活动， 类通过长期实践活动，从现实世界中抽 概括出来的。 象、概括出来的。
（一）纯粹数学
• 纯粹数学研究从客观世界中抽象出来的数 学自身的规律、 学自身的规律、内在联系及数学理论的公 理化、系统化和形式化等问题。 理化、系统化和形式化等问题。 • 它大体上分为三大类，即 它大体上分为三大类，
– 研究空间形式的几何类 研究空间形式的几何类; – 研究离散系统的代数类 研究离散系统的代数类; – 研究连续现象的分析类。 研究连续现象的分析类。
五、现代数学中的新理论
• 目前，在国际上比较引人注目而且正在讨 目前， 论和研究的，有模糊数学、非标准分析、 论和研究的，有模糊数学、非标准分析、 突变理论等。 突变理论等。
（一）模糊数学
• 模糊数学（fuzzy mathematics）是研究 ）
和处理模糊性现象的数学分支。 和处理模糊性现象的数学分支。 •模糊数学的研究可分三个方面：一是研究模 模糊数学的研究可分三个方面： 模糊数学的研究可分三个方面 糊数学的理论，以及它和精确数学、 糊数学的理论，以及它和精确数学、统计数 学的关系；二是研究模糊语言和模糊逻辑； 学的关系；二是研究模糊语言和模糊逻辑； 三是研究模糊数学的应用。 三是研究模糊数学的应用。
（一）抽象代数
抽象代数以代数结构为中心， • 抽象代数以代数结构为中心，包括象群论 以代数结构为中心 这类带有一种或几种运算的代数系统， 这类带有一种或几种运算的代数系统，如 群论、环论、域论、模论等。 群论、环论、域论、模论等。
（二）拓扑学
拓扑学是研究几何图形连续性的数学。 • 拓扑学是研究几何图形连续性的数学。 是研究几何图形连续性的数学 其基本思想可源于法国数学家H.庞加莱 其基本思想可源于法国数学家 庞加莱 (Poincare,1854—1912)于1896年所写 于 年所写 的《位置分析》。 位置分析》
数学的发展
• 第三时期 从十九世纪到现在，可称为现代 从十九世纪到现在， 数学时期。 数学时期。这个时期最重要的成就有非欧 几何、群论、泛函分析等。 几何、群论、泛函分析等。
（三）数学的危机
• 数学史上曾有过三次“危机”： 数学史上曾有过三次“危机” – 第一次“危机”发生在公元前的古希腊，这次 第一次“危机”发生在公元前的古希腊， 危机”导致了“无理数”的发现。 “危机”导致了“无理数”的发现。 – 第二次“危机”与微积分的发明相关，即无穷 第二次“危机”与微积分的发明相关， 小的运算。 小的运算。 – 第三次危机 第三次危机——罗素悖论。 罗素悖论。 罗素悖论
（二）数学的发展
数学的发展大体可分三个时期： • 数学的发展大体可分三个时期： • 第一时期 从公元前六世纪到十七世纪是 初等数学时期。 初等数学时期。
数学的发展
• 第二时期 从十七世纪初到十九世纪初，是 从十七世纪初到十九世纪初， 变量数学时期。 变量数学时期。这一时期最重要的成就是 出现了解析几何和微积分 。
（三）泛函分析
现代数学中还有一个常用的方法， • 现代数学中还有一个常用的方法，即把一 个个函数看作一个个“ 个个函数看作一个个“点”，而把某类函 数的全体看作一个“空间” 数的全体看作一个“空间”，函数间的相 异程度看作“点”之间的“距离”，由此 异程度看作“ 之间的“距离” 得到了各种无穷维的函数空间。 得到了各种无穷维的函数空间。 这就是分析类数学中的泛函分析。 这就是分析类数学中的泛函分析。
二、数学的特点
关于数学的特点，一般都用苏联 关于数学的特点，一般都用苏联A.D. 亚力三大洛夫的“三性”进行概括， 亚力三大洛夫的“三性”进行概括，即： – 高度的精确性 – 高度的抽象性 – 应用的广泛性
三、数学的分类
• 就数学和现实生活的联系来说，可分为 就数学和现实生活的联系来说， 两大类，即纯粹数学和应用数学。 两大类，即纯粹数学和应用数学。