数学概论1

（一）抽象代数
抽象代数以代数结构为中心， • 抽象代数以代数结构为中心，包括象群论 以代数结构为中心 这类带有一种或几种运算的代数系统， 这类带有一种或几种运算的代数系统，如 群论、环论、域论、模论等。 群论、环论、域论、模论等。
（二）拓扑学
拓扑学是研究几何图形连续性的数学。 • 拓扑学是研究几何图形连续性的数学。 是研究几何图形连续性的数学 其基本思想可源于法国数学家H.庞加莱 其基本思想可源于法国数学家 庞加莱 (Poincare,1854—1912)于1896年所写 于 年所写 的《位置分析》。 位置分析》
源自文库
五、现代数学中的新理论
• 目前，在国际上比较引人注目而且正在讨 目前， 论和研究的，有模糊数学、非标准分析、 论和研究的，有模糊数学、非标准分析、 突变理论等。 突变理论等。
（一）模糊数学
• 模糊数学（fuzzy mathematics）是研究 ）
和处理模糊性现象的数学分支。 和处理模糊性现象的数学分支。 •模糊数学的研究可分三个方面：一是研究模 模糊数学的研究可分三个方面： 模糊数学的研究可分三个方面 糊数学的理论，以及它和精确数学、 糊数学的理论，以及它和精确数学、统计数 学的关系；二是研究模糊语言和模糊逻辑； 学的关系；二是研究模糊语言和模糊逻辑； 三是研究模糊数学的应用。 三是研究模糊数学的应用。
思考题
• • • • • • • • 1、数学的发展 经历了哪几个时期？ 数学的发展 经历了哪几个时期？ 2、数学史上曾有过几次“危机”？ 、数学史上曾有过几次“危机” 3、数学有哪些特点？ 、数学有哪些特点？ 4、纯粹数学分为哪三大类？ 、纯粹数学分为哪三大类？ 5、应用数学主要有哪些学科？ 、应用数学主要有哪些学科？ 6、现代数学的“新三高”是什么？ 、现代数学的“新三高”是什么？ 7、现代数学中的新理论主要有哪些？ 、现代数学中的新理论主要有哪些？ 8、数学中的最高奖是什么？ 、数学中的最高奖是什么？
（一）纯粹数学
• 纯粹数学研究从客观世界中抽象出来的数 学自身的规律、 学自身的规律、内在联系及数学理论的公 理化、系统化和形式化等问题。 理化、系统化和形式化等问题。 • 它大体上分为三大类，即 它大体上分为三大类，
– 研究空间形式的几何类 研究空间形式的几何类; – 研究离散系统的代数类 研究离散系统的代数类; – 研究连续现象的分析类。 研究连续现象的分析类。
（三）泛函分析
现代数学中还有一个常用的方法， • 现代数学中还有一个常用的方法，即把一 个个函数看作一个个“ 个个函数看作一个个“点”，而把某类函 数的全体看作一个“空间” 数的全体看作一个“空间”，函数间的相 异程度看作“点”之间的“距离”，由此 异程度看作“ 之间的“距离” 得到了各种无穷维的函数空间。 得到了各种无穷维的函数空间。 这就是分析类数学中的泛函分析。 这就是分析类数学中的泛函分析。
（二）应用数学
应用数学是研究如何从现实问题中抽象出数 • 应用数学是研究如何从现实问题中抽象出数 学规律以及如何把已知的数学规律应用于现 实问题的。 实问题的。 • 包括数理方程 、运筹学 、概率论与统计学 、 计算数学 。
四、现代数学的基础课程
• 现代数学的基础课程正在更新。 现代数学的基础课程正在更新。 • “老三高”：以“高等微积分”、“高等 老三高” 高等微积分” 代数” 高等几何”为主体。 代数”、“高等几何”为主体。 • “新三高”，即抽象代数、拓扑学和泛涵 新三高” 即抽象代数、 分析。 分析。 • 现代数学理论是由“新三高”这三根支柱 现代数学理论是由“新三高” 撑着的。 撑着的。
（三）突变理论
• 突变理论主要以拓扑学、奇点理论为工具，并通过 突变理论主要以拓扑学、奇点理论为工具， 主要以拓扑学 对稳定性结构的研究，说明了有的事物不变， 对稳定性结构的研究，说明了有的事物不变，有的 渐变，有的则是突变，从而提出了一系列的数学模 渐变，有的则是突变， 型，用以解释自然界和社会现象中所发生的不连续 的变化过程。 的变化过程。
数学的发展
• 第三时期 从十九世纪到现在，可称为现代 从十九世纪到现在， 数学时期。 数学时期。这个时期最重要的成就有非欧 几何、群论、泛函分析等。 几何、群论、泛函分析等。
（三）数学的危机
• 数学史上曾有过三次“危机”： 数学史上曾有过三次“危机” – 第一次“危机”发生在公元前的古希腊，这次 第一次“危机”发生在公元前的古希腊， 危机”导致了“无理数”的发现。 “危机”导致了“无理数”的发现。 – 第二次“危机”与微积分的发明相关，即无穷 第二次“危机”与微积分的发明相关， 小的运算。 小的运算。 – 第三次危机 第三次危机——罗素悖论。 罗素悖论。 罗素悖论
（二）数学的发展
数学的发展大体可分三个时期： • 数学的发展大体可分三个时期： • 第一时期 从公元前六世纪到十七世纪是 初等数学时期。 初等数学时期。
数学的发展
• 第二时期 从十七世纪初到十九世纪初，是 从十七世纪初到十九世纪初， 变量数学时期。 变量数学时期。这一时期最重要的成就是 出现了解析几何和微积分 。
（二）非标准分析
• 非标准分析是利用数理逻辑方法来探讨和刻画微 积分的理论基础——无穷小。 无穷小。 积分的理论基础 无穷小 • 在非标准分析里，使无穷小成为新的超实数集合。 非标准分析里 使无穷小成为新的超实数集合。 • 从“宏观”上看，超实数集合的数轴与实数集合 宏观”上看， 的数轴一样。但是从“微观”上看并不相同， 的数轴一样。但是从“微观”上看并不相同，在 超实数轴上的每一点内，有许多非标准实数。 超实数轴上的每一点内，有许多非标准实数。
数学概论
主要内容
• • • • • 数学的产生和发展 数学的特点 数学的分类 现代数学的基础课程 现代数学中的新理论
一、数学的产生和发展
• 数学的产生 • 数学的发展
（一）数学的产生
• 数学是研究客观世界中的数量关系和空 间形式的科学。 间形式的科学。 • 数学上的数和形这两个基本概念，是人 数学上的数和形这两个基本概念， 类通过长期实践活动， 类通过长期实践活动，从现实世界中抽 概括出来的。 象、概括出来的。
二、数学的特点
关于数学的特点，一般都用苏联 关于数学的特点，一般都用苏联A.D. 亚力三大洛夫的“三性”进行概括， 亚力三大洛夫的“三性”进行概括，即： – 高度的精确性 – 高度的抽象性 – 应用的广泛性
三、数学的分类
• 就数学和现实生活的联系来说，可分为 就数学和现实生活的联系来说， 两大类，即纯粹数学和应用数学。 两大类，即纯粹数学和应用数学。