(完整版)布朗运动以及维纳过程学习难点总结

1、引言

布朗运动的数学模型就是维纳过程。布朗运动就是指悬浮粒子受到碰撞一直在做着不规则的运动。我们现在用)(t W 来表示运动中一个微小粒子从时刻0=t 到时刻0>t 的位移的横坐标，并令0)0(=W 。根据Einstein 的理论，我们可以知道微粒之所以做这种运动，是因为在每一瞬间，粒子都会受到其他粒子对它的冲撞，而每次冲撞时粒子所受到的瞬时冲力的大小和方向都不同，又粒子的冲撞是永不停息的，所以粒子一直在做着无规则的运动。故粒子在时间段],(t s 上的位移，我们可把它看成是多个小位移的总和。我们根据中心极限定理，假设位移)()(s W t W -服从正态分布，那么在不相重叠的时间段内，粒子碰撞时受到的冲力的方向和大小都可认为是互不影响的，这就说明位移)(t W 具有独立的增量。此时微粒在某一个时段上位移的概率分布，我们便能认为其仅仅与这一时间段的区间长度有关，而与初始时刻没有关系，也就是说)(t W 具有平稳增量。

2.维纳过程

2.1独立增量过程

维纳过程是典型的随机过程，属于所谓的独立增量过程，在随机过程的理论和应用中起着很重要的作用。现在我们就来介绍独立增量过程。

定义：}0),({≥t t X 是二阶矩过程， 那么我们就称t s s X t X <≤-0),()(为随机过程在区间],(t s 上的增量。 若对任意的n )(+∈N n 和任意的n t t t <<<≤Λ100，n 个增量

)()(,),()(),()(11201----n n t X t X t X t X t X t X Λ

是相互独立的，那么我们就称}0),({≥t t X 为独立增量过程。

我们可以证明出在0)0(=X 的条件下，独立增量过程的有限维分布函数族可由增量)0(),()(t s s X t X <≤-的分布所确定。

如果对R h ∈和)()(,0h s X h t X h t h s +-++<+≤与)()(s X t X -的分布是相同的，我们就称增量具有平稳性。那么这个时候，增量)()(s X t X -的分布函数只与时间差)0(t s s t <≤-有关，而与t 和s 无关(令s h -=便可得出)。值得注意的是，我们称独立增量过程是齐次的，此时的增量具有平稳性。

给定二阶矩过程{0),(≥t t W }，若满足

(i) 具有独立增量；

(ii) 对∀t>0≥s ,有增量

0)),(,0(~)()(2>--σσ且s t N s W t W ；

(iii) 0)0(=W ，

则称此过程是维纳过程。

由（ii ）我们可得出维纳过程增量的分布只依赖于时间差，故维纳过程是齐次的独立增量过程，并且也服从正态过程。事实上对任意)1(≥n n 个时刻n t t t <<<<...021（记00=t ），把)(k t W 写成

)],()([)(11-=-=∑i k

i i k t W t W t W ,,,2,1n k ⋅⋅⋅=

我们由（i ）—（iii ）知，它们都是独立的正态随机变量的和，由n 维正态变量的性质可得出))(,),(),((21n t W t W t W ⋅⋅⋅是n 维正态变量，即}0),({≥t t W 是正态过程。所以其分布依赖于它的期望函数和自协方差函数。

由（ii ），（iii ）可知，),0(~)(2t N t W σ,故维纳过程的期望与方差函数为

0)]([=t W E ，t t D w 2)(σ=，

上式中2σ叫做维纳过程的参数，我们通过做实验得出数据值可估计出其大小。得自协方差函数为

},min{),(),(2t s t s R t s C W W σ== 0,≥t s

2.3维纳过程的特点

（i ）它是一个Markov (马尔科夫)过程。故未来推测所需的数据信息就是该过程的当前数据值；

（ii ）维纳过程具有独立增量。即该过程在任意一个时间区间上变化的概率分布，与其在其他的时间区间上变化的概率无关；

（iii ）在任何有限时间上，维纳过程的变化服从正态分布，其方差随时间区间长度的增长而呈线性增加。

（1）基本性质

对+∈∀R t , 一维维纳过程在t 时刻是一个随机变量，其概率密度函数是： t x w e t x f t 2/221)(-=π

这是因为根据维纳过程的定义得出当0=s 时，能推出)(t W 的分布：

),0(~0t N W W W t t -=

它的数学期望是零：0)(=t W E 它的方差是t ：

t W E W E W E W E W Var t t t t t ==-=-=)(0)()()()(2

222

在维纳过程的独立增量的定义中，令t t =2，t s t s <==12，01=s ，那么),0(~11s N W W W s t s -=和),0(~22s t N W W W W s t s t --=-都是相互独立的随机变量，并

且

s W E W W E W E W W t t s s t s =-⋅-=))](())([(),cov(

故在两不同时刻的协方差和相关系数是与s t W W t s ,,0≤：∆∆∆

),,min(),cov(t s W W t s = ),max(),min(),min()

,cov(),(t s t s st

t s W W W W corr t s w w t s t s ===σσ 3.维纳过程的应用

3.1股票价格的行为模式

➢ 我们经常应用的假设是股价服从扩散过程，且大部分情况下都是几何布朗运动。 ➢ 在此条件下，任一时期的复合收益率是服从正态分布的。

➢ 由于正态分布满足加法的封闭性，所以不管股票的套利组合是什么样的，它都依然

服从正态分布。

➢ 如果我们假设风险行为减到零，那么股票收益率的分布同样也是服从正态分布

的。

(i)经典的假设理论

我们先来介绍随机游走模型，其表达式为：

t t t S S ε+=-1 （1）