量子力学辅导讲义
量子力学讲义1
量⼦⼒学讲义1第⼀章绪论前⾔⼀、量⼦⼒学的研究对象量⼦⼒学是现代物理学的理论基础之⼀，是研究微观粒⼦运动规律的科学。
量⼦⼒学的建⽴使⼈们对物质世界的认识从宏观层次跨进了微观层次。
综观量⼦⼒学发展史可谓是群星璀璨、光彩纷呈。
它不仅极⼤地推动了原⼦物理、原⼦核物理、光学、固体材料、化学等科学理论的发展，还引发了⼈们在哲学意义上的思考。
⼆、量⼦⼒学在物理学中的地位按照研究对象的尺⼨，物理学可分为宏观物理、微观物理和介观物理三⼤领域。
量⼦理论不仅可以正确解释微观、介观领域的物理现象，⽽且也可以正确解释宏观领域的物理现象，因为经典物理是量⼦理论在宏观下的近似。
因此，量⼦理论揭⽰了各种尺度下物理世界的运动规律。
三、量⼦⼒学产⽣的基础旧量⼦论诞⽣于1900年，量⼦⼒学诞⽣于1925年。
1．经典理论⼗九世纪末、⼆⼗世纪初，经典物理学已经发展到了相当完善的阶段，但在⼀些问题上经典物理学遇到了许多克服不了的困难，如⿊体辐射等。
2．旧量⼦论旧量⼦论= 经典理论+ 特殊假设（与经典理论⽭盾）旧量⼦论没有摆脱经典的束缚，⽆法从本质上揭露微观世界的规律，有很⼤局限性。
但旧量⼦论为量⼦⼒学理论的建⽴提供了线索，促进了量⼦⼒学的快速诞⽣。
四、量⼦⼒学的研究内容1．三个重要概念：波函数，算符，薛定格⽅程。
2．五个基本假设：波函数假设，算符假设，展开假定，薛定格⽅程，全同性原理。
五、量⼦⼒学的特征1．抛弃了经典的决定论思想，引⼊了概率波。
⼒学量可以不连续地取值，且不确定。
2．只有改变观念，才能真正认识到量⼦⼒学的本质。
它是⼈们的认识从决定论到概率论的⼀次巨⼤的飞跃。
六、量⼦⼒学的应⽤前景1．深⼊到诸多领域：本世纪的三⼤热门科学（⽣命科学、信息科学和材料科学）的深⼊发展都离不开它。
2．派⽣出了许多新的学科：量⼦场论、量⼦电动⼒学、量⼦电⼦学、量⼦光学、量⼦通信、量⼦化学等。
3．前沿应⽤：研制量⼦计算机已成为科学⼯作者的⽬标之⼀，⼈们期望它可以实现⼤规模的并⾏计算，并具有经典计算机⽆法⽐拟的处理信息的功能。
量子力学辅导讲义
第三章 原子核物理
2.4， 衰变
衰变－原子核X（母核）自发地放 出一个 粒子而转变为另一种原子
核Y（子核）的过程。
子核质量数比母核少4，电荷数比母 核少2，其过程：
A
Z
X
Y A4
Z 2
4 2
He
5.14
第三章 原子核物理
母核与子核静质能差－－衰变能，Ed
Ed M X M Y M c2
电子数目
Auger 电 子谱线
电子动能
第三章 原子核物理
对 衰变第二个问题的理解
－－与光子的产生类比。
衰变的本质是核内一个中子变为
质子或一个质子变为中子；
中子和质子可视为核子的两个不同 状态，中子与质子之间的转变相当 于一个量子态到另一个量子态的跃 迁；
第三章 原子核物理
这种跃迁过程放出电子和中微子， 它们事先并不存在于核内，就好像 光子是原子不同状态之间跃迁的产 物，事先并不存在于原子内；
为整数；
第三章 原子核物理
所有偶偶核的自旋 量子数I =0 所有奇偶核的自旋 量子数I 值为半
奇数；
原子核的自旋指原子核基态的自旋。
（2）核子磁矩
核子自旋磁矩：
Ns
g Ns
N
s
5.5
第三章 原子核物理
N e 2mN
－核磁子，mN：核子质量。 核子自旋磁矩朗德因子（实验测量）：
第三章 原子核物理
ER 发射谱
ER 吸收谱
E0-ER
E0
E0+ER
共振吸收
第三章 原子核物理
2.7，放射系 放射性重元素发生的一系列连续衰变， －形成放射系 天然存在的放射系：三个 铀系、钍系、锕系 半衰期长～109 年，至今在地壳中存在。
量子力学讲义
量子力学的通俗讲座一、粒子和波动我们对粒子和波动的概念来自直接的经验。
和粒子有关的经验对象：小到石子大到天上的星星等；和波动有关的经验对象：最常见的例子是水波，还有拨动的琴弦等。
但这些还不是物理中所说的模型，物理中所谓粒子和波动是理想化的模型，是我们头脑中抽象的对象。
1.1 粒子的图像在经典物理中，粒子的概念可进一步抽象为：大小可忽略不计的具有质量的对象，即所谓质点。
质量在这里是新概念，我们可将其定义为包含物质量的多少，一个西瓜，比西瓜仔的质量大，因为西瓜里包含的物质的量更大。
为叙述的简介，我们现在可把粒子等同于质点。
要描述一个质点的运动状态，我们需要知道其位置和质量（x,m ），这是一个抽象的数学表达。
但我们漏掉了时间，时间也是一个直观的概念，这里我们可把时间描述为一个时钟，我们会发现当指针指到不同位置时，质点的位置可能不同，于是指针的位置就定 义了时刻t 。
有了时刻 t ，我们对质点的描述就变成了（x,t,m ），由此可定义速度v ，现在我们对质点运动状态的描述是（x,v,t,m ）。
在日常经验中我们还有相互作用或所谓力的概念，我们在地球上拎起不同质量物体时肌肉的紧张程度是不同的，或者说弹簧秤拎起不同质量物体时弹簧的拉伸程度是不同的。
以上我们对质量、时间、力等的定义都是直观的，是可以操作的。
按照以上思路进行研究，最终诞生了牛顿的经典力学。
这里我们可简单地用两个公式：F=ma （牛顿第二定律） 和 2GMm F x（万有引力公式） 来代表牛顿力学。
前者是质点的运动方程，用数学的语言说是一个关于位置x 的二阶微分方程，所以只需要知道初始时刻t=0时的位置x 和速度v 即可求出以后任意时刻t 质点所处的位置，即x(t)，我们称之为轨迹。
需要强调的是一旦我们知道t=0时x 和v 的精确值（没任何误差），x(t)的取值也是精确的，即我们得到是对质点未来演化的精确预测，并且这个求 解对t<0也精确成立，这意味着我们还可精确地反演质点的历史。
量子力学讲义最新版
(ω
)
(11)
可把式(10)中
E
2 0
换为 8π
∫ dωρ
(ω)，就得出非偏振自
然光引起的跃迁速率
w k ′k = D k ′k 2 ρ ( ω k ′k )
( ) =
4π 2e 2
32
rk ′k 2 ρ
ω k ′k
(12)
可以看出，跃迁快慢与入射光中角频率为ω k ′k的光
强度ρ (ωk′k )成比例。如入射光中没有这种频率成分，
§11.6.1 光的吸收与受激辐射
为简单起见，先假设入射光为平面单色光，其电磁
场强度为
⎧⎪ E = E 0 c o s (ω t − k ⋅ r )
⎨
(1)
⎪⎩ B = k × E / k
其中 k 为波矢，其方向即光传播方向，ω 为角频率。
在原子中，电子的速度 v c (光速)，磁场对电子
的作用力远小于电场对电子的作用力：
−ω)/ 2)
(8)
而跃迁速率为
wk ′k
=
d dt
Pk ′k
=
π
22
W k ′k
2 δ (ω k ′k
−ω)
=π
22
Dk′k ⋅ E0 2 δ (ωk′k − ω )
=π
22
Dk′k 2 E02 cos2 θδ (ωk′k − ω )
(9)
其中 θ 是 Dk′k 与 E0 的夹角.
如果入射光为非偏振光,光偏振(E0 )的方向是完全 无规的,因此把 cos2θ换为它对空间各方向的平均值,
限制，自发辐射光子相应的辐射波列的长度 ∆x ≈ cτ ，因而光子动量不确定度 ∆p ≈ ∆x ≈ cτ ,
量子力学讲义第3章
第三章 量子体系的力学量本章讨论在量子力学中如何描述力学量的问题。
它是量子力学的重点之一，对初学者而言，开始显得比较抽象，因此，应注意习题训练。
3．1 力学量的平均值公式 力学量用算符表示~算符进入量子力学一、坐标的平均值⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==>=<r d r r d r r d t r w r r 3*323),(ψψψ分量： ⎰∞∞->=<r d t r x t r x n n3*),(),(ψψ问题：能否用),(t rψ导出其他力学量的平均值？二、动量的平均值⎰⎰⎰∞∞-∞∞-∞∞-==>=<p d t p C p t p C p d t p C p p d t p w p p3*323),(),(),(),(我们希望直接用),(t r ψ写出><p（注意r d t r p p 32),(⎰>≠<ψ~2),(t r ψ不是p的几率）。
以x 分量为例：⎰∞∞->=<p d t p C p t p C p x x3*),(),(将 r d e t r t p C r p i⎰∞∞-⋅-=323),()2(1),(ψπ 代入，有⎰⎰⎰∞∞-⋅-∞∞-⋅>=<pd r de t r p r d e t r p r p i x r p i x3/3/233*23]}),()2(1[]),()2(1[{/ψπψπ ⎰⎰⎰-⋅=])2(1)[,(),(3)(3//3*3/p d ep t r r d t r r d r r p i xπψψ计算[…]有)()()2(1[...]/33)(3/r r x i p d e x i r r p i-∂∂-=∂∂-=⎰∞∞--⋅δπ 于是 ⎰⎰∞∞-∞∞--∂∂->=<)(),())(,(/3//3*3r r t r r d x i t r r d p x δψψ),())(,(*3t r xi t r r d ψψ⎰∞∞-∂∂-=。
量子力学讲义
量 子 力 学 讲 义
3．2 算符运算规则
3．3 氢原子
3．4 厄米算符本征值和本征函数
3．5 连续谱本征函数
3．6 量子力学中力学量的测量
3．7不确定关系
3．8 守恒与对称
第四章 表象与变换
4．1 矢量空间
4．2 态和算符的矢量表示
4．3 量子力学公式的矩阵表示
4．4 幺正变换
第八章 散射理论
8．1 散射截面
8．2 分波法
8．3分波法应用
8．4 波恩近似
8．5 质心坐标系和实验坐标系 8．6全同粒子散射 4．5 狄拉克符号
4．6 线性谐振子与粒子数表象
4．7绘景的分类
第五章 微扰理论
5．1 非简并定态微扰
5．2 简并定态微扰
5．3 氢原子一级 stark效应
5．4 变分法
5．5氦原子基态
5．6 含时微扰
5．7 跃迁几率和黄金费米规则
5．8 光的发射与吸收
西北大学物理学系
5．9 选择定则
第六章 自旋和角动量
6．1 电子自旋
6．2 电子的自旋算符和自旋函数
6．3 角动量的耦合
6．4 电子的总动量矩
6．5 光谱线的精细结构
6．6 塞曼效应
6．7 电子的自旋单态和多重态
第七章 全同粒子
7．1全同粒子特性
7．2全同粒子体系的波函数
目 录
第一章 绪论
1．1 经典物理学的困难
1．2 玻尔的量子理论
1．3 微观粒子的波粒二象性
量子力学讲义第十章(讲义)
第10章 微扰论到现在为止，我们利用薛定谔方程求出了六大体系的本征值和本征函数 1、一维自由粒子体系：2ˆˆ2x p H m=， x p ip x x ex ⋅=πψ21)(， 22xp E m= )(∞<<-∞x p ， 1=f2、一维无限深势阱222,0ˆ200a x x d H m dx x a ⎧∞<>⎪=-+⎨≤≤⎪⎩ ， x an a n πψsin 2=，22222n n E ma π= ,3,2,1=n ，1=f3、一维线性谐振子体系：2222021ˆ,22d H m x dx ωμ=-+ ，)()(2221x H e N x n x n n αψα-=，α=ω )21(+=n E n ， ,3,2,1,0=n ，1=f4、平面刚性转子2ˆˆ2z l H I=， ϕπϕim m e21)(=Φ， Im E m 222 =，,2,1,0±±=m ，5、空间刚性转子2ˆˆ2l H I=， ϕθϕθim n l lm lm e P N Y )(cos ),(=， I l l E l 2)1(2 +=，,2,1,0=l ， l m ±±±=,,2,1,0 ，12+=l f6、氢原子与类氢原子222ˆ2ze H r μ=-∇-， ),()(),,(ϕθϕθψlm nl nlm Y r R r =， 242222222n z e z e E n a μμ=-=- ， ,3,2,1=n ，1,,2,1,0-=n l ，l m ±±±=,,2,1,0 ，2n f =微扰论是从简单问题的精确解出发来求较复杂问题的近似解。
一般分为两大类：一类是体系的哈密顿算符是时间的显函数的情况),ˆ,ˆ(ˆˆt p r H H=，这叫含时微扰，可以用来解释有关跃迁的问题；另一类是体系的哈密顿算符不是时间的显函数，)ˆ,ˆ(ˆˆp r H H=，这叫定态微扰，用来决定体系的定态能级和相应的波函数至所需要的精确度。
量子力学讲义第4章
第四章 量子力学的表述形式（本章对初学者来讲是难点）表象：量子力学中态和力学量的具体表示形式。
为了便于理解本章内容，我们先进行一下类比：矢量（欧几里德空间） 量子力学的态（希尔伯特空间） 基矢),,(321e e e~三维 本征函数,...),...,,(21n ψψψ~无限维任意矢展开∑=ii i e A A任意态展开 ∑=nn n a ψψ),,(z y x e e e),...)(),...,(),((21x x x n ψψψ 取不同坐标系 ),,(ϕθe e e r取不同表象 ),...)(),...,(),((21p C p C p C n ………. ………. 不同坐标之间可以进行变换 不同表象之间可以进行变换由此可见，可以类似于矢量A，将量子力学“几何化”→在矢量空间中建立它的一般形式。
为此，我们将① 引进量子力学的矢量空间~希尔伯特空间； ② 给出态和力学量算符在该空间的表示； ③ 建立各种不同表示之间的变换关系。
最后介绍一个典型应用（谐振子的粒子数表象）和量子力学的三种绘景。
4.1希尔伯特空间 狄拉克符号狄拉克符号“”~类比：),,(z y x A A A欧氏空间的矢量 A→坐标系中的分量 ),,(ϕθA A A r……….)(rψ →表象下的表示)(p C……….引入狄拉克符号的优点：①运算简洁；②勿需采用具体表象讨论。
一、 希尔伯特空间的矢量定义：希尔伯特空间是定义在复数域上的、完备的、线性内积空间，并且一般是无限维的。
1、线性：①c b a =+；②a b λ=。
2、完备性：∑=nn n a a 。
3、内积空间：引入与右矢空间相互共轭的左矢空间∑==↔+nn n a a a a *;)(:。
定义内积：==*ab b a 复数，0≥a a 。
1=a a ~归一化；b a b a ,~0=正交；m n n m δ=~正交归一；)(x x x x '-='δ~连续谱的正交归一。
量子力学讲义第七章讲义
(8)
是|>在F表象中的基矢|j>方向的投影。式(8)即的本征方程在F表象中的表
述形式。
(6) A2=0，但A=0不一定成立
5、对角矩阵 6、单位矩阵
除对角元外其余为零 即
单位矩阵与任何矩阵A的乘积仍为A：IA=A，并且与任何矩阵都是可
对易的：IA=AI
7、转置矩阵：把矩阵A的行和列互相调换，所得出的新矩阵称为A的转
置矩阵。
m列n行n列m行 共轭矩阵： m列n行n列m行转成共轭复数
8、厄密矩阵：
矢量。选取一个特定力学量F表象，相当于选取特定的坐标系。该坐标
系是以力学量F的本征函数系为基矢，态矢量在各基矢上的分量则为展
开系数，在F表象中态矢量可用这组分量来表示。
F表象的基矢有无限多个，所以态矢量所在的空间是一个无限维的 抽象的函数空间，称为Hilbert空间。
§7.2 力学量(算符)的矩阵表示
它就是与本征值相应的本征态在F表象中的表示。 给定算符如何求本征值与本征函数 ——（1）先求用矩阵表示的本征 方程；（2）代入久期方程求得本征值的解；（3）本征值代入本征方程 求本征函数。
4、 举例： 例1、已知体系的哈密顿算符Ĥ与某一力学量算符在能量表象中的矩阵 形式为：
， 其中和b为实常数，问
(1)、H和B是否是厄密矩阵； (2)、H和B是否对易； (3)、求算符的本征值及相应的本征函数； (4)、算符的本征函数是否也是Ĥ的本征函数。
态矢与的标积记为，
而记为
若，则称与正交；若，则称为归一化态矢。 设力学量完全集F的本征态（离散）记为|k>，它们的正交归一性表
示为
连续谱的本征态的正交“归一性”，则表成函数形式。 例如动量本征态，，坐标本征态，等。
第13章量子力学基础讲义
第13章 量子力学基础13.1 绝对黑体和平常所说的黑色物体有什么区别？答：绝对黑体是对照射其上的任意辐射全部吸收而不发生反射和透射的物体，而平常所说的黑色物体是只反射黑颜色的物体。
13.2 普朗克量子假设的内容是什么？答：普朗克量子假设的内容是物体发射和吸收电磁辐射能量总是以νεh =为单位进行。
13.3 光电效应有哪些实验规律？用光的波动理论解释光电效应遇到了哪些困难？ 答：光电效应的实验规律为：1）阴极K 在单位时间内所发射的光子数与照射光的强度成正比；2）存在截止频0ν；3）光电子的初动能与照射光的强度无关，而与频率成线性关系；4）光电效应是瞬时的。
用光的波动理论解释光电效应遇到的困难在于：1）按照波动理论，光波的能量由光强决定，因而逸出光电子的初动能应由光强决定，但光电效应中光电子的初动能却与光强无关；2）若光波供给金属中“自由电子”逸出表面所需的足够能量，光电效应对各种频率的光都能发生，不应存在红限；3）光电子从光波中吸收能量应有一个积累过程，光强越弱，发射光子所需时间就越长。
这都与光电效应的实验事实相矛盾。
13.4 波长λ为0.1nm 的X 射线,其光子的能量ε= J 151099.1-⨯；质量m = kg 321021.2-⨯；动量p = 1241063.6--⋅⋅⨯s m kg .13.5 怎样理解光的波粒二象性？答：光即具有波动性，又具有粒子性，光是粒子和波的统一，波动和粒子是光的不同侧面的反映。
13.6 氢原子光谱有哪些实验规律？答：氢原子光谱的实验规律在于氢原子光谱都由分立的谱线组成，并且谱线分布符合组合规律 )11()()(~22n k R n T k T kn -=-=ν k 取 ,3,2,1，分别对应于赖曼线系，巴耳米线系，帕形线系，.13.7 原子的核型结构模型与经典理论存在哪些矛盾？答：原子的核型结构与经典理论存在如下矛盾：1）按经典电磁辐射理论，原子光谱应是连续的带状光谱；2）不存在稳定的原子。
量子力学讲义 温伯格
量子力学讲义引言量子力学是描述微观世界的一种物理理论，它在20世纪初由一系列科学家发展而来，其中最著名的是德国物理学家温伯格（Max Born）。
量子力学革命性地改变了我们对自然界的认识，揭示了微观粒子行为的奇异性质。
本讲义将介绍量子力学的基本原理、数学描述和一些重要的应用。
1. 量子力学的基本原理量子力学的基本原理可以归结为以下几点：1.1 波粒二象性量子力学揭示了微观粒子既具有粒子性又具有波动性的特性。
根据德布罗意（Louis de Broglie）提出的波粒二象性理论，任何物质粒子都具有波动性，其波长与动量相关。
这意味着微观粒子不仅可以被看作是粒子，还可以被看作是波动。
1.2 玻尔原子模型玻尔（Niels Bohr）提出了一种描述原子结构的模型，即玻尔原子模型。
根据这个模型，原子由一个中心的原子核和围绕核旋转的电子组成。
电子只能在特定的能级轨道上运动，而且只能在能级之间跃迁，放出或吸收特定能量的光子。
1.3 不确定性原理海森堡（Werner Heisenberg）提出了著名的不确定性原理，它指出在测量微观粒子的位置和动量时，无法同时精确确定它们的值。
这是由于测量过程中的干扰和微观粒子的波粒二象性导致的。
不确定性原理限制了我们对微观世界的观测和测量。
2. 量子力学的数学描述量子力学使用数学语言来描述微观粒子的行为。
其中最基本的数学工具是波函数（wave function）和算符（operator）。
2.1 波函数波函数是量子力学中描述微观粒子状态的数学函数。
它是时间和空间的函数，可以用来计算粒子的概率分布。
波函数的平方模的积分表示了在特定位置找到粒子的概率。
2.2 算符算符是量子力学中表示物理量的数学对象。
它们作用于波函数上，可以得到物理量的期望值。
例如，位置算符可以得到粒子的位置期望值，动量算符可以得到粒子的动量期望值。
2.3 薛定谔方程薛定谔方程是描述量子系统演化的基本方程。
它是一个偏微分方程，描述了波函数随时间变化的规律。
量子力学讲义最新修正版
（实）
Θ lm (θ ) = ( − ) m
2l + 2
1i
(l (l
− +
m m
) )
! !
Pl
m
(cos
θ
)
m = l , l − 1, ..., − l + 1, − l
(29)
满足
∫π 0
Θlm
(θ
)Θl′m
(θ
)
sin
θ
dθ
= δll′
(30)
于是，(L2, Lz ) 的共同的正交归一的本征态 可以表示为
∂Y
∂θ
)
−
2
sin2
θ
∂2Y
∂ϕ2
=λ
2Y
(17)
代入
Y(θ,ϕ)
= Θ(θ)ψ(ϕ)
,
方程左右乘
(− sin2 θ ), Θψ
可得
sinθ d (sinθ dΘ) +λsin2θ = − 1 d2ψ ≡ μ2
Θ dθ dθ
ψ dϕ2
(18)
其中左边仅与θ有关,右方仅与 ϕ有关, 故
恒等于一常数 μ2,从而可分离成两个方程:
征函数：
Bˆφn = Bnφn
n ↔ λ ; ∑ ∫ ↔ d λ ; δ mn ↔ δ (λ − λ ' ); (33) n
而归一化条件可表示为
∑ ∑ <ψ ,ψ >= 1 = Cm*ϕm* Cnϕn
m
n
∑∑ ∑ =
Cm*Cnδmn = Cn 2
mn
n
(34)
∫ <ψ,ψ >=1= Cλ 2dλ
(35)
若 Aˆ 的本征函数既有分立谱又有连续谱时，
量子力学讲义34
第3章 量子力学中的力学量§1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。
ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v ， Â就是这种变换的算符。
为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。
但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。
二、算符的一般特性 1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。
例如：动量算符ˆpi =-∇ ， 单位算符I 是线性算符。
2、算符相等若两个算符Â、ˆB 对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB相等记为ˆˆA B =。
3、算符之和若两个算符Â、ˆB 对体系的任何波函数ψ有：ˆˆˆˆˆ()AB A BC ψψψψ+=+=，则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。
ˆˆˆˆAB B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= ψ是任意波函数。
一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。
5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。
若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。
若算符满足ˆˆˆˆABBA =-， 则称ˆA 和ˆB 反对易。
例如：算符x , ˆx pi x ∂=-∂ 不对易 证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂ i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂ i i x x ψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -= ，ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。
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透射系数：
4.11
T 2
4 pp2 p2 p2 2 sin2 pa 4 pp2
4.12
第四章 从一维系统到凝聚态物质
讨论三种特殊情况 （1）E>V0，直角势垒上的散射
V(x)
E
1 V0 A
T
R
B
x
0
a
第四章 从一维系统到凝聚态物质
动量为实数，反射和透射系数形式不变
n aˆ n 0 n!
4.41
x表象中，激发态波函数
nx
aˆ
n
n!
0
x
4.42
第四章 从一维系统到凝聚态物质
nx
1 2n n!
m0
1
2
1
2
e 2
2Hn
4.43
Hn(): 厄米多项式
m0 x
（3）势阱的深度是相对于由a决定的基
态能量而言，势阱深度V0愈大，阱 内允许的能级愈多，愈接近无限深
势阱模型。
第四章 从一维系统到凝聚态物质
有限深势阱： （1）粒子在阱边界存在遂穿效应。 （2）波函数在阱内仍是三角函数，遂 穿部分按指数衰减。
第四章 从一维系统到凝聚态物质
(x)
(x)2
n=1
讨论：
（1）量子化条件/2=a/n 经典物理驻
波条件。能量的量子化由微观粒子 的波动性造成的。
（2）量子力学中，不存在n=0 的量子态。 囚禁在盒子里的粒子不可能是静止 的，它有一个基本的能量，盒子愈 小，基本能量愈大。
第四章 从一维系统到凝聚态物质
E1 2 2 2ma 2
4.25
粒子的动量和位置满足海森伯不确定性 关系。
透射系数
（a>>1）
T 2 16 EV0 E e2a
V02
4.13
第四章 从一维系统到凝聚态物质
势垒厚度a，粒子的透射率（遂穿概率） 指数下降。
T2
E V0
第四章 从一维系统到凝聚态物质
1.2，量子遂穿效应实例 扫描隧道显微镜（STM） 可以在真空、大气和液体中工作； 具有原子尺度分辨本领； 可以观察原子在物体表面排列情 况等。
1
T2
0
E V0
第四章 从一维系统到凝聚态物质
（3）E < V0 ，直角势垒遂穿
V(x) V0
0
a
E x
第四章 从一维系统到凝聚态物质
p 2mE V0 －虚数
作变换 p 2mE
p 2mV0 E
sinpa i sinha
2m
2 x2
V x
4.2
定态问题： x, t xeiEt /
定态薛定谔方程：
2 2m
d
2 x
dx2
V
x
E
x
4.3
第四章 从一维系统到凝聚态物质
（1）直角势垒
V(x)
I 1
V0
II A
III T
R
B
x
0
a
第四章 从一维系统到凝聚态物质
0
a
E x
V0
第四章 从一维系统到凝聚态物质
动量为实数，反射和透射系数形式不变
波数 k ，透射系数有一些振荡；
在条件
pa 2mE V0 a n n 1,2,... 透射系数＝1，实现完全透射
第四章 从一维系统到凝聚态物质
直角势阱透射率～能量关系曲线
第四章 从一维系统到凝聚态物质
STM工作原理
当电极间距小到nm量级时，电子由于 遂穿效应可以从一个电极穿过空间势 垒达到另一个电极，形成电流。
恒高度
lnI I
nA
Vb
0
x
第四章 从一维系统到凝聚态物质
恒电流
接压电陶瓷
Vz
Vz I nA
Vb
0
x
第四章 从一维系统到凝聚态物质
二，束缚态 2.1，束缚态能级的量子化 解势阱中的束缚态问题－定态薛定 谔方程 连续势函数V(x) 离散的量子能级
波函数(x)的常数A由归一化条件决定
a
x2 dx 1
0
4.23
nx
0
2
a
sinnx
a
0 xa 0 x, x a
4.24
第四章 从一维系统到凝聚态物质
(x)
(x)2
n=1
n=1
n=2
n=2
n=3
n=3
第四章 从一维系统到凝聚态物质
4.40
第四章 从一维系统到凝聚态物质
x表象中，基态波函数的微分方程
d dx
m0
x
0
x
0
方程解－基态波函数
0
x
m0
14
em0x2
2
4.41 4.42
第四章 从一维系统到凝聚态物质
（2）激发态 Nˆ 的本征矢 n 与基态态矢 0 的关系
4.5
第四章 从一维系统到凝聚态物质
p 2mE, p 2mE V0 4.6
势垒反射系数 R 2，透射系数 T 2 。 势垒的边界条件?
在势函数有限阶跃处，波函数及其 一阶倒数连续。
第四章 从一维系统到凝聚态物质
边界条件 x=0
1 R A B
ip1 R ipA B
n=1
n=2
n=2
n=3
n=3
第四章 从一维系统到凝聚态物质
2.3，量子围栏－实现波函数的测量
波函数测量－定态薛定谔方程实验解
在清洁的单晶Cu（111）表面上蒸镀 一层Fe原子；
用STM针尖让铁原子围成一个圆圈； 表面电子在铁原子上强烈反射，被禁
锢在量子围栏中，其波函数形成同心 圆驻波，波峰对应电子态密度峰值。
4.44
H0 1, H2 4x2 2 H1 2x, H3 8x3 12x
4.31
aˆ , aˆ 厄米共轭算符
aˆ i
1
2m0
pˆ im0xˆ
aˆ i
1
2m0
pˆ im0xˆ
4.32
第四章 从一维系统到凝聚态物质
aˆ , aˆ 对易关系
aˆ, aˆ i xˆ, pˆ 1
4.33
满足以上对易关系的算符有如下性质：
4.9
2ippei pa
T p2 p2 sinpa 2ippcospa
4.10
第四章 从一维系统到凝聚态物质
反射系数：
R 2
p2 p2 2 sin 2 pa p2 p2 2 sin2 pa 4 pp2
波数 k ，透射系数有一些振荡；
在条件
pa
2m E V0
a
n
n 1,2,...
透射系数＝1，实现完全透射
第四章 从一维系统到凝聚态物质
直角势垒透射率～能量关系曲线
T2 E V0
第四章 从一维系统到凝聚态物质
（2）V0<0，E >0，直角势阱上的散射
V(x)
k 2mE p
由边界条件 k n a , n 1,2,3,...
4.18
4.19 4.20 4.21
第四章 从一维系统到凝聚态物质
结果：
E
En
2 2n2
2ma 2
,
n 1,2,3,...
能量的本征值是离散
9
的，即能量是量子化
的。
4
1 0
4.22
第四章 从一维系统到凝聚态物质
当空间存在真实粒子时，真空背景场 对它的作用表现为辐射修正和真空极化 效应。
第四章 从一维系统到凝聚态物质
波函数在x表象中的具体形式： aˆ , aˆ 的另一个性质：
aˆ n n n 1 aˆ n n 1 n 1
4.39
aˆ , aˆ 分别是 Nˆ 的本征态 n 的升降算符
（1）基态： aˆ 0 0
孤立、离散
第四章 从一维系统到凝聚态物质
推论 能量的本征值是离散的，它们对应 于束缚态能级； 势阱 愈深，束缚态能级愈多； 如果势阱中存在多个束缚态，能级 愈高，振荡愈激烈，节点愈多。
能级自下而上，节点的数目从0逐 次增加一个。
第四章 从一维系统到凝聚态物质
2.2，直角势阱 －－无限深直角势阱中的束缚态
4.27 4.28
第四章 从一维系统到凝聚态物质
谐振子经典固有角频率：
0 m
4.29
Hˆ
1 2m
pˆ 2
m
2
2 0
x
2
1 2m
pˆ
im0xˆ pˆ
im0 xˆ
1 2
0
4.30
第四章 从一维系统到凝聚态物质
Hˆ
aˆ aˆ
1 2
0
0
4.36
第四章 从一维系统到凝聚态物质
Nˆ 的本征态也是Hˆ 的本征态，本征值为
En
n
1 2
0
4.37
谐振子的基态能量：
E0
1 2
0
4.38
－最低能量或零点能零点振动
第四章 从一维系统到凝聚态物质