2021年高中数学第二单元圆锥曲线与方程.1.椭圆的几何性质一教学案新人教B版选修1

2021年高中数学第二单元圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的几何性质一教学案

新人教B版选修1

学习目标 1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质、图形．

知识点一椭圆的简单几何性质

已知两椭圆C1、C2的标准方程：C1：x2

25＋

y2

16

＝1，C2：

y2

25

＋

x2

16

＝1.

思考1 怎样求C1、C2与两坐标轴的交点？交点坐标是什么？思考2 椭圆具有对称性吗？

思考3 椭圆方程中x，y的取值范围分别是什么？

梳理

标准方程x2

a2

＋

y2

b2

＝1(a>b>0)

y2

a2

＋

x2

b2

＝1(a>b>0)

图形

性质

焦点

焦距

|F1F2|＝2c

(c＝a2－b2)

|F1F2|＝2c

(c＝a2－b2)

范围

对称性关于________________对称

顶点

轴长轴长________，短轴长________

思考观察不同的椭圆可见它们的扁平程度不一样，哪些量影响其扁平程度？怎样刻画？梳理(1)定义：椭圆的焦距与长轴长的比e＝

c

a

，叫做椭圆的____________．

(2)性质：离心率e的取值范围是________，当e越接近于1，椭圆越________，当e越接近于________，椭圆就越接近于圆．

类型一椭圆的几何性质

例1 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．

引申探究

已知椭圆方程为4x2＋9y2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．

反思与感悟 解决此类问题的方法是将所给方程先化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a ，b ，c 之间的关系和定义，求椭圆的基本量．

跟踪训练1 设椭圆方程mx 2＋4y 2

＝4m (m >0)的离心率为12，试求椭圆的长轴长和短轴长、焦

点坐标及顶点坐标．

类型二 求椭圆的离心率 命题角度1 焦点三角形的性质

例2 椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的两焦点为F 1，F 2，以F 1F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正

三角形的另两条边，则椭圆的离心率为________．

反思与感悟 涉及到焦点三角形注意利用椭圆的定义找到a 与c 的关系或利用e ＝ 1－b 2a

2

求解．

跟踪训练2 已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1的直线与椭圆相交于A ，

B 两点，若∠BAF 2＝60°，|AB |＝|AF 2|，则椭圆的离心率为________．

命题角度2 利用a ，c 的齐次式，求椭圆的离心率(或其取值范围)

例3 (1)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C

相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．

(2)若椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)上存在一点M ，使得∠F 1MF 2＝90°(F 1，F 2为椭圆的两个焦点)，则

椭圆的离心率e 的取值范围是________．

反思与感悟 若a ，c 的值不可求，则可根据条件建立a ，b ，c 的关系式，借助于a 2

＝b 2

＋c 2

，转化为关于a ，c 的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a 的最高次幂，得到关于e 的方程或不等式，即可求得e 的值或取值范围．

跟踪训练3 已知椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，且∠BAO ＋

∠BFO ＝90°(O 为坐标原点)，则椭圆的离心率e ＝________.

类型三利用几何性质求椭圆的标准方程

例4 (1)椭圆过点(3,0)，离心率e＝

6

3

，求椭圆的标准方程．

(2)已知椭圆的中心在原点，它在x轴上的一个焦点F与短轴两个端点B1，B2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为10－5，求这个椭圆的方程．

反思与感悟此类问题应由所给的几何性质充分找出a，b，c所应满足的关系式，进而求出a，b.在求解时，需注意当焦点所在位置不确定时，应分类讨论．

跟踪训练4 根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程：

(1)长轴长是短轴长的2倍，且过点(2，－6)；

(2)焦点在x轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6.

1．已知椭圆的方程为2x2＋3y2＝m(m>0)，则此椭圆的离心率为( )

A.1

3

B.

3

3

C.

2

2

D.

1

2

2．椭圆6x2＋y2＝6的长轴端点坐标为( )