初中数学竞赛 知识点和真题 第32讲 构造法

第32讲构造法

及至进了大学，学习了狄德金分割及其它构造法

后，我才理解到整个数学的建构，是如此的美轮美奂。

——丘成桐知识方法扫描

解答数学问题时，常规的思考方法是由已知到结论的顺向思考，或由结论到已知的逆向思考.但无论是“顺向思考”还是“逆向思考”，在思考路线上不能保证一帆风顺，有时会遇到一些“天然障碍”，这时，可以构造适当的辅助量(如图形、方程、等式、函数等)来帮助解决困难，促使问题的转化——使问题中原来隐晦不清的关系和性质在新构造中清晰地展现出来，从而简捷地解决问题．这种解题方法称为构造法．

构造法解题，大致包括两个方面的内容．其一，它是一种辅助手段，如上所述；其二，利用构造法证明某些存在性命题，即具体构造出满足题目要求的“事物”．

运用构造法解题首先要认真分析题目，仔细观察，展开联想，从中发现可用构造法的因素；其次，借助于与之相关的知识构造所求问题的具体形式；最后，解出所构造的问题，但必须回到原来的问题上.

构造法是数学奥林匹克中最生动、最富有魅力的手段之一，怎样构造辅助量?无固定模式可套，它需要敏锐的观察、丰富的联想、灵活的转换和高度的洞察力．

经典例题解析

1．构造图形

在几何证题时，为了揭示已知条件和结论之间的联系，常常添加辅助线，构造辅助图形(如三角形、圆等)，从而找到证题途径．

对于代数问题，本身并没有几何图形，而用代数方法求解又比较困难，这时我们可以从数形结合、数形转化的角度出发，考虑其几何意义，构造几何图形，使题设条件及数量关系通过几何图形直观地反映出来，从而将代数问题转化为几何问题求解．

例1已知平面上一点P，证明：存在一个凸四边形，使得P在四边形外，并且P到四边形四个顶点的距离相等．

证明如图，任作一个以P为中点的线段MN、以MN为

直径作半圆．在圆周上任取四个点A、B、C、D(异于M，N)，

得到凸四边形ABCD，显然，P点在四边形外部，并且P到A，

B，C，D的距离相等，故我们构作的四边形符合要求．

评注所谓存在性命题，就是求证命题的结论可用“有一个”、“存在某些”这些存在量词来表达，它们的基本结构(或许经过改写后)均具有如下形式：已知A，证明：存在具有“某种性质”的事物B，使得“某件事情发生”．

例1是典型的存在性命题，我们采用构造法给出了简捷明快的证明，事实上，构造法是证明存在性命题的一种行之有效的方法．其基本想法是：实际地作出所要求的B，使它具有命题中所说的“某种性质”，并且使命题中说的“某种事情发生”.

例2正数a、b、c、A、B、C满足a+A=b+B=c+C=k，求证：aB+bC+cA＜

k 2.

分析与解1 两个正数乘积的最简单的几何意义可看作

是一个几何图形面积，又a +A =b +B =c +C =k 使我们联想到以

k 为边长的正三角形.如图，构造以k 为边长的正△PQR ，分

别在其各边上取点L 、M 、N 使QL =A ，LR =a ,RM =B ,MP =b ，

PN =C ,NQ =c .

由S LRM ∆+S MPN ∆+S NQL ∆＜S PQR ∆， 即cA bC aB 434343++＜4

3k 2. ∴aB +bC +cA ＜k 2.

分析与解2 仍从几何图形的面积出发，k 2可以看作是边长

为k 的正方形的面积， aB+bC+cA 可看作边长分别为a 、B ，b 、

C ，c 、A 的三个小矩形面积之和，因此欲证结论成立.只须将这三

个小矩形不重叠地嵌入边长为k 的正方形即可.据此构造图（如右

图）即得证.

评注 1 当题目的条件中出现两数的积的问题时，可考虑构造矩形。

2 此题是第21届全苏数学奥林匹克试题（1987年）.时隔两年，到1989年第15届全俄数学奥林匹克中，又出现了一道与此题同出一辙的赛题：

设变量x ，y ，z 介于0与1之间，求证：

x （1-y ）+ y （1-z ）+2（1-x ）＜1.

我们相信同学们不难悟出这两道题目之间的联系.

例3 设正数x ，y ，z 满足方程组

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++.16,93,

25322222

2x zx z z y y xy x 试求xy +2yz +3zx 的值.

分 析 本题若按常规解三元二次方程组，求出x ，y ，z 的值，再求代数式的值，势必陷入繁琐的计算之中，我们将原方程组变形为

⎪⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎪⎨⎧=︒-+=+⎪⎭⎫ ⎝

⎛=︒-+.4120cos 2,33,5150cos 32)3(222222222zx x z z y y x y x

上述三式与余弦定理及勾股定理结构相似，故可构造出右图，分别算出△ABO ，△BCD ，△CAO 和△ABC 的面积，即可求得

xy +2yz +3zx =243.

评 注 当题目的条件中出现平方和或者平方差的形式的形

式时可以考虑构造直角三角形；当题目的条件中出现a 2+b 2±ab,

可考虑构造两边为a,b 夹角为60º或120º的三角形。

2. 构造方程

根据题设的特征，利用方程根的概念、根的判别式、根与系数的关系等构造方程，从而利用方程的知识求解.

例4 方程组⎩⎨⎧=-=+1

,22z xy y x 有多少组实数解？ 解 由已知得⎩⎨⎧+==+1

,22z xy y x ，从而联想到韦达定理的逆定理，试用构造方程解之.由韦达定理的逆定理知x 、y 是方程t 2-2t +(z 2+1)=0的两个实根，∴△=（-2）2-4（z 2+1）≥0，即z 2≤0，又z 2≥0，∴z =0.故t 2-2t +1=0，∴x =y =1.因此原方程组仅有一组实数解.

评 注 利用韦达定理的逆定理构造方程的关键是根据题中所提供的信息，从中变换出x 1+ x 2=A , x 1·x 2=B ，从而构造以x 1，x 2为根的一元二次方程：x 2-Ax +B =0，再利用方程的有关知识求解. 一般地，当题目的条件中出现和与积的式子时，常利用根与系数的关系来构造方程。

例5 设abc 是十进制中的素数，证明；b 2-4ac 不是完全平方数.

证明 采用反证法.假设存在一个十进制的素数abc ，使得b 2-4ac 为平方数，注意到求证结果的形式，我们考虑（辅助的）二次方程

f (x )=ax 2+bx +c =0.

①

已知条件意味着

p = f (10)=a ×102+b ×10+c =abc

是一个素数.下面进一步研究方程①以导出矛盾，由于b 2-4ac 是完全平方数，故①的两个根

x 2,1=a ac b b 242-±- ②