高中数学一轮复习之分段函数
【新高考】高三数学一轮复习知识点讲解3-1 函数的概念及其表示
专题3.1 函数的概念及其表示【考纲解读与核心素养】1．了解函数的概念，会求简单的函数的定义域和值域.2．理解函数的三种表示法：解析法、图象法和列表法.3．了解简单的分段函数，会用分段函数解决简单的问题.4.本节涉及所有的数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等. 5．高考预测：（1）分段函数的应用,要求不但要理解分段函数的概念，更要掌握基本初等函数的图象和性质．（2）函数的概念，经常与函数的图象和性质结合考查.6.备考重点：（1）理解函数的概念、函数的定义域、值域、函数的表示方法；（2）以分段函数为背景考查函数的相关性质问题.【知识清单】1．函数的概念2．函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数.3．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.【典例剖析】高频考点一 函数的概念【典例1】（2020·洪洞县第一中学高三期中（文））下面各组函数中是同一函数的是（ ） A ．32y x =-与2y x x =- B ．()2y x =与y x =C ．11y x x =+⋅-与()()11y x x =+-D ．()221f x x x =--与()221g t t t =-- 【答案】D 【解析】因为选项A 中，对应关系不同，选项B 中定义域不同，对应关系不同，选项C 中，定义域不同，选项D 中定义域和对应法则相同，故选D.【典例2】在下列图形中，表示y 是x 的函数关系的是________．【答案】①②【解析】由函数定义可知，自变量x 对应唯一的y 值，所以③④错误，①②正确． 【规律方法】函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同． 【变式探究】1.x R ∈，则()f x 与()g x 表示同一函数的是（ ） A. ()2f x x =， ()2g x x =B. ()1f x =， ()()01g x x =-C.()()2x f x x=， ()()2xg x x= D. ()293x f x x -=+， ()3g x x =-【答案】C【解析】A 中: ()2g x x =2x x =≠;B 中: ()()()0110g x x x =-=≠;C 中：， ()()2x f x x=1,0{1,0x x >=-< ， ()()2xg x x =1,0{ 1,0x x >=-<；D 中： ()()29333x f x x x x -==-≠-+,因此选C.2.（2018届江西省检测考试（二））设，，函数的定义域为，值域为，则的图象可以是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为定义域为，所以舍去A;因为值域为，所以舍去D;因为对于定义域内每一个x 有且只有一个y 值，所以去掉C ；选B. 【易混辨析】1.判断两个函数是否为相同函数，注意把握两点，一看定义域是否相等，二看对应法则是否相同．2.从图象看，直线x=a 与图象最多有一个交点. 高频考点二：求函数的定义域【典例3】（2019·江苏高考真题）函数276y x x =+-_____. 【答案】[1,7]-. 【解析】由已知得2760x x +-≥, 即2670x x --≤解得17x -≤≤， 故函数的定义域为[1,7]-.【典例4】（2020·河南省郑州一中高二期中（文））已知函数(1)y f x =+定义域是[2,3]- ，则(21)y f x =-的定义域是（ ） A ．[0,52] B ．[1,4]- C ．[5,5]- D ．[3,7]-【答案】A 【解析】因为函数(1)y f x =+定义域是[2,3]- 所以114x -≤+≤所以1214x -≤-≤，解得：502x ≤≤ 故函数(21)y f x =-的定义域是[0,52] 故选：A【典例5】（2019·邵阳市第十一中学高一期中）已知函数(31)f x -的定义域是[]0,2,则函数()f x 的定义域是( ) A.[]0,2 B.1[1]3，C.[-15]，D.无法确定【答案】C 【解析】由已知02x ≤≤，1315x ∴-≤-≤，即函数()f x 的定义域是[-15]，， 故选：C ． 【规律方法】1.已知函数的具体解析式求定义域的方法(1)若f (x )是由一些基本初等函数通过四则运算构成的，则它的定义域为各基本初等函数的定义域的交集． (2)复合函数的定义域：先由外层函数的定义域确定内层函数的值域，从而确定对应的内层函数自变量的取值范围，还需要确定内层函数的定义域，两者取交集即可． 2．抽象函数的定义域的求法(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． 【变式探究】1.（2019·山东省章丘四中高三月考）函数1()lg(1)f x x =++ ）A ．[2,2]-B ．[2,0)(0,2]-C ．(1,0)(0,2]-⋃D ．(-1,2]【答案】C 【解析】1011()lg(1)00(1,0)(0,2]lg(1)202x x f x x x x x x x +>⇒>-⎧⎪=++≠⇒≠⇒∈-⋃⎨+⎪-≥⇒≤⎩故答案选C2．（2020·福建省福州第一中学高三）已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为（ ）A ．[)(]0,11,2B ．[)(]0,11,4C ．[)0,1D ．(]1,4 【答案】C 【解析】函数()f x 的定义域是[0，2]，要使函数()()21f xg x x =-有意义,需使()2f x 有意义且10x -≠ .所以10022x x -≠⎧⎨≤≤⎩ 解得01x ≤< 故答案为C 【特别提醒】求函数的定义域，往往要解不等式或不等式组，因此，要熟练掌握一元一次不等式、一元二次不等式的解法、牢记不等式的性质，学会利用数形结合思想，借助数轴解题.另外，函数的定义域、值域都是集合，要用适当的表示方法加以表达或依据题目的要求予以表达． 高频考点三：求函数的解析式【典例6】（2019·天津南开中学高一期中）设函数()f x 满足1()11xf x x-=++，则()f x 的表达式为（ ）A ．2211x x-+ B ．221x + C ．21x + D ．11x x -+ 【答案】C 【解析】 设11x t x -=+，则11t x t -=+，所以12()111t f t t t -=+=++，所以2()1f x x=+，故选C ．【典例7】（2019·安徽省毛坦厂中学高三月考（理））已知二次函数()2f x ax bx c =++，满足()02f =，()()121f x f x x +-=-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求()f x 在区间[]1,2-上的最大值；（3）若函数()f x 在区间[],1a a +上单调，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）()222f x x x =-+；（2）5；（3）(][),01,-∞⋃+∞.【解析】（1）由()02f =，得2c =，由()()121f x f x x +-=-，得221ax a b x ++=-，故221a a b =⎧⎨+=-⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩， 所以()222f x x x =-+.（2）由（1）得：()()222211f x x x x =-+=-+， 则()f x 的图象的对称轴方程为1x =， 又()15f -=，()22f =，所以当1x =-时()f x 在区间[]1,2-上取最大值为5. （3）由于函数()f x 在区间[],1a a +上单调， 因为()f x 的图象的对称轴方程为1x =， 所以1a ≥或11a +≤，解得：0a ≤或1a ≥，因此a 的取值范围为：(][),01,-∞⋃+∞. 【规律方法】1.已知函数类型，用待定系数法求解析式．2.已知函数图象，用待定系数法求解析式，如果图象是分段的，要用分段函数表示．3.已知()f x 求[()]f g x ，或已知[()]f g x 求()f x ，用代入法、换元法或配凑法．4.若()f x 与1()f x或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解． 5.应用题求解析式可用待定系数法求解． 【变式探究】1.（2018届安徽省安庆市第一中学）已知单调函数，对任意的都有，则( )A. 2B. 4C. 6D. 8 【答案】C 【解析】 设，则，且，令，则，解得，∴，∴．故选C ．2．（2020·江苏省高三专题练习）已知2()(1)()2f x f x f x +=+，(1)1f =，（x N +∈），()f x =__________．【答案】21x + 【解析】()()()212f x f x f x +=+11111111(1)1(1)(1)()2()(1)222x x x f x f x f x f +⇒=+⇒=+-⨯=+-⨯=⇒+ ()21f x x =+高频考点四：求函数的值域【典例8】（2019·浙江省镇海中学高一期中）函数()()10f x x x x=+<的值域为（ ）A ．[)2,+∞B ．(][),22,-∞+∞ C ．(],2-∞-D ．R【答案】C 【解析】当0x <时，0x ->，()12f x x x ⎛⎫∴=---≤-=- ⎪⎝⎭（当且仅当1x x -=-，即1x =-时取等号），()f x ∴的值域为(],2-∞-.故选：C .【典例9】（2020·甘肃省武威十八中高三期末（理））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.54-=-，[]2.12=，已知函数()112x xe f x e =-+，则函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域是__________ 【答案】{}1,0- 【解析】依题意()111111221x x xe f x e e +-=-=-++，由于11xe +>，故11112212x e -<-<+，即()f x 的值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以函数()y f x ⎡⎤=⎣⎦的值域是{}1,0-. 故填：{}1,0-.【典例10】（2020·辽河油田第二高级中学高二月考）函数()f x x =的值域是________________． 【答案】1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【解析】函数()f x x ，令0t t =≥则21122x t =-， 则()2211112222f t t t t t =+-=+-()21112t =+-，0t ≥. 由二次函数性质可知，在[)0,t ∈+∞内单调递增，所以当0t =即12x =-时取得最小值，最小值为12-，因而()1,2x f ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭， 故答案为：1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 【规律方法】函数值域的常见求法： (1)配方法配方法是求“二次函数型函数”值域的基本方法，形如F (x )＝a [f (x )]2＋bf (x )＋c (a ≠0)的函数的值域问题，均可使用配方法． (2)数形结合法若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等，可用数与形结合的方法． (3)基本不等式法：要注意条件“一正，二定，三相等”．（可见上一专题） (4)利用函数的单调性①单调函数的图象是一直上升或一直下降的，因此若单调函数在端点处有定义，则该函数在端点处取最值，即若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递增，则y 最小＝f (a )，y 最大＝f (b )； 若y ＝f (x )在[a ，b ]上单调递减，则y 最小＝f (b )，y 最大＝f (a )．②形如y ＝ax ＋b ＋dx ＋c 的函数，若ad ＞0，则用单调性求值域；若ad ＜0，则用换元法．③形如y ＝x ＋k x (k ＞0)的函数，若不能用基本不等式，则可考虑用函数的单调性，当x ＞0时，函数y ＝x ＋kx (k ＞0)的单调减区间为(0，k ]，单调增区间为[k ，＋∞)．一般地，把函数y ＝x ＋kx (k ＞0，x ＞0)叫做对勾函数，其图象的转折点为(k ，2k )，至于x ＜0的情况，可根据函数的奇偶性解决． *(5)导数法利用导函数求出最值，从而确定值域．高频考点五：分段函数及其应用【典例11】（2019·永济中学高一月考）已知5,6()(2),6x xf xf x x-≥⎧=⎨+<⎩，则(3)f为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解析】(3)(32)(52)752f f f=+=+=-=故选：A【典例12】（2018届湖北省5月）设函数，若，则实数的值为（）A. B. C. 或 D.【答案】B【解析】因为，所以所以选B.【典例13】（2018年新课标I卷文）设函数，则满足的x的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】将函数的图象画出来，观察图象可知会有，解得，所以满足的x的取值范围是，故选D.【典例14】（2020·上海高三）若函数()6,23log ,2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩（0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞，则实数a 的取值范围是__________．【答案】(]1,2【解析】 由于函数()()6,2{0,13log ,2a x x f x a a x x -+≤=>≠+>的值域是[)4,+∞，故当2x ≤时，满足()64f x x =-≥，当2x >时，由()3log 4a f x x =+≥，所以log 1a x ≥，所以log 2112a a ≥⇒<<，所以实数a 的取值范围12a <≤.【总结提升】1.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则；2.数形结合往往是解答选择、填空题的“捷径”.【变式探究】1.（2020·辽宁省高三二模（理））设函数21log (2),1(),1x x x f x e x +-<⎧=⎨≥⎩，则(2)(ln 6)f f -+=（ ） A ．3B ．6C ．9D ．12 【答案】C【解析】 由题意，函数21log (2),1(),1x x x f x e x +-<⎧=⎨≥⎩， 则ln 62(2)(ln 6)1log [2(2)]1269f f e -+=+--+=++=.2.（2020·浙江省高三二模）已知函数()231,0,2,0,x x f x x x x ⎧-≥=⎨--<⎩若存在唯一的整数x ，使得()()0x f x a ⋅-<成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．12a ≤≤B ．01a ≤<或28a <≤C ．28a <≤D ．11a -<<或28a <≤ 【答案】B【解析】如图所示，画出函数()f x 图像，当0x >时，()()0x f x a ⋅-<，即()f x a <，故()()12f a f <≤，即23131a -<≤-，即28a <≤；当0x =时，易知不满足；当0x <时，()()0x f x a ⋅-<，即()f x a >，故()01a f ≤<-，即()011a f ≤<-=.综上所述：01a ≤<或28a <≤.故选：B.3.（2018届河北省唐山市三模）设函数则使得成立的得取值范围是__________． 【答案】.由，得或， 得或，即得取值范围是， 故答案为. 4．（2020·江苏省高三月考）已知函数()2,0228,2x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，若()()2f a f a =+，则1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值是_____.【答案】2【解析】由2x ≥时，()28f x x =-+是减函数可知，当2a ≥，则()()2f a f a ≠+，所以02a <<，由()(+2)f a f a =得 22(2)8a a a +=-++，解得1a =， 则21(1)112f f a ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭. 故答案为：2.【易错提醒】因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．。
高中数学必修一(人教版)《3.1.2 第二课时 分段函数》课件
题型一 分段函数求值问题
【学透用活】
[典例 1]
已知函数 f(x)＝xx＋ 2＋12，x，x≤－－2<2x，<2， 2x－1，x≥2.
(1)求 f(－5)，f(－ 3)，ff－52的值； (2)若 f(a)＝3，求实数 a 的值； (3)若 f(x)>2x，求 x 的取值范围．
[解] (1)由－5∈(－∞，－2]，－ 3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]， 知 f(－5)＝－5＋1＝－4，
【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．下面是解“已知实数 a≠0，函数 f(x)＝2－x＋x－a，2ax，＜x1≥，1. 若 f(1－a)＝f(1＋
a)，求 a 的值”的过程：
解：由 f(1－a)＝f(1＋a)，得 2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，即 2－a＝－1－ 3a，∴a＝－32. 上述解题过程是否正确？请说明理由．
[解] 如图，过点 A，D 分别作 AG⊥BC，DH⊥BC， 垂足分别是 G，H.
因为四边形 ABCD 是等腰梯形，底角为 45°，AB＝ 2 2 cm，所以 BG＝AG＝DH＝HC＝2 cm.又 BC＝7 cm，所以 AD＝GH＝3 cm.
①当点 F 在 BG 上，即 x∈[0,2]时，y＝12x2； ②当点 F 在 GH 上，即 x∈(2,5]时，y＝x＋x2－2×2＝2x－2；
(2)问：该企业选择哪家俱乐部比较合算？为什么？
解：(1)由题意得 f(x)＝6x，x∈[12,30]， g(x)＝920x， ＋1520≤ ，x2≤ 0＜20x， ≤30. (2)①当 12≤x≤20 时，令 6x＝90，解得 x＝15. 即当 12≤x＜15 时，f(x)＜g(x)；当 x＝15 时，f(x)＝g(x)；当 15＜x≤20 时，f(x) ＞g(x)． ②当 20＜x≤30 时，f(x)＞g(x)． 综上，当 12≤x＜15 时，选 A 俱乐部合算；当 x＝15 时，两家俱乐部一样合算； 当 15＜x≤30 时，选 B 俱乐部合算．
第8讲 分段函数
第8讲分段函数【目标要求】1.通过具体实例了解分段函数的概念和意义,会求分段函数的值,绘制分段函数的图象和求分段函数的值域.2.加深运用数形结合解题的意识3.培养数学应用意识.地首先经过一段路程为5 km的下坡路,再经过一段路程为4 km的上坡路,最后经过一段路程为10 km的平路.某同学骑自行车从A地到B地,下坡路的骑车速度为30 km/h,上坡路的骑车速度12 km/h,平路的骑车速度为20 km/h,则该同学骑车从A地到B地的行驶时间t(h)关于行驶的路程S(km)的函数关系式为S=S(t).写出S=S(t)的函数关系式,并画出图象.基础练1.已知f(x)的图象如图所示,写出它的解析式.例1. 设函数f (x )=⎩⎨⎧>≤+2,2,2,22x x x x (1)求f (-4),f (2),f [f (1)],f (f (f (0))),(2)若f (a )=8,求a ;(3)求函数f (x )的值域；（4）解不等式f (x )≥1；（5）求f (2x +1)的解析式.变式练1. 已知函数f (x )=(1)求f (1-),f (f (f (-2)))的值;(2)求f (3x -1)的解析式;(3)若f (a )=,求a 的值; (4)求函数的值域;(5)解不等式f (x )<23例2.作出以下函数的图象(1)y=|x|; (2)y=|x-1|+2|x-2|; (3)y=|x2－4x+3|变式练2.作出下列函数的图象(1)y=|2x-1|－|x+1|; (2)y=x2－4|x|+3例3.为了节约用水,某市打算出台一项水费政策,规定:若每季度每人用水量不超过5吨,则每吨水的水费为1.2元;若超过5吨而不超过6吨,则超过部分的水费按原价的200%收费;若超过6吨而不超过7吨,则超过部分的水费按原价的400%收费.若某人本季度实际用水量为x(x≤7)吨,试计算本季度他应交的水费y(单位:元).变式练3.如图,等腰梯形OABC的上、下底边长分别为1、3,底角为∠COA=60°.记该梯形内部位于直线x=t(t>0)左侧部分的面积为f(t).试求f(t)的解析式并作出其图象.【小结】。
分段函数(高中数学必修一课件)
学习目标： 1.通过具体实例，了解分段函数。 2.理解分段函数的定义。 3.掌握画分段函数图象的方法，并 能通过图象解决一些简单问题。
重点：分段函数定义。
难点：分段函数图象。
例：某地出租车按公里数收费标准： （1）起步价2元，1公里以内（包含1公里） 按起步价算。 （2）1公里以上，每增加1公里收费增加1 元（不足1公里的按1公里计算）。
若某条路线3公里。请根据题意写出收费y （元）与里程x（公里）之间的函数解析式， 并画出函数图象。
分段函数
定义：
在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围,有着不同的对 应关系的函数。
问题探究：
1.分段函数是一个函数还是几个函数？
一个函数
2.分段函数的定义域是什么？
各段定义域的并集
3.分段函数的值域什么？
练习：
画出下列分段函数图象。
（1）f（x）=|x-1| （2） f（x） =|x2+2x-3| （3）f（x） =| |
例2.判断下面这个函数是否是分段函数？
-2x x ∈ [-2，-1） f（x）= 2 x ∈ [-1，1）
2x x ∈ [1，2 ]
完成：1.作出此函数的图象； 2.求此函数定义域、值域。 3.求f（-3／2）、 f（0）、 f（ 3／2 ）、 f（3）的值；
4.求f[f（-1）]的值。
5.若f（x）=3，求x的值。 6.若f（x）=6，求x的值。
各段值域的并集
例1：判断以下函数是否是分段函数？
f（x）=
x x ≥0 -x x＜0
完成：1.作出此函数的图象。
2.判断其定义域、值域。
3.求f（2）、 f（-2）的值。
4.求f[f（-2）]的值。
分段函数-(新教材)人教A版高中数学必修第一册全文课件
分段函数-【新教材】人教A版高中数 学必修 第一册 优秀课 件-ppt 分段函数-【新教材】人教A版高中数 学必修 第一册 优秀课 件-ppt
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第 分三 段章 函数-3【.1新.2教材第】2课人时教分A版段高函中数数-【学新必教修材第】一人册教优A秀版课（2件01-9p） pt 高中数 学必修 第一册 课件(共 74张PP T) 第 分三 段章 函数-3【.1新.2教材第】2课人时教分A版段高函中数数-【学新必教修材第】一人册教优A秀版课（2件01-9p） pt 高中数 学必修 第一册 课件(共 74张PP T)
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高考数学一轮总复习课件：专题研究-函数模型及应用
思考题1 某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利 润与投资成正比，其关系如图①；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系 如图②(注：利润和投资单位：万元)．
(1)分别求A，B两种产品的利润与投资之间的函数关系式； (2)已知该企业已筹集到18万元投资资金，并将全部投入A，B两种产品的生产． ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？ ②怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万 元？
【解析】 (1)1年后该城市人口总数为y＝100＋100×1.2% ＝100×(1＋1.2%)，
2年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)＋100×(1＋ 1.2%)×1.2%＝100×(1＋1.2%)2，
3年后该城市人口总数为y＝100×(1＋1.2%)2＋100×(1＋ 1.2%)2×1.2%＝100×(1＋1.2%)3.
≈
13.1，
又x∈N*，所以至少通过14块这样的玻璃，光线强度能减弱
到原来的14以下．故选C.
(2)(2021·沧州七校联考)某工厂产生的废气经过过滤后排
放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中
的污染物数量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：时)之间的函
数关系为P＝P0e－kt(k，P0均为正的常数)．如果在前5个小时的过 滤过程中污染物被排除了90%，那么至少还需过滤的时间是
专题研究二 函数模型及应用
题型一 分段函数模型
例2 共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众 出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低 廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产 新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产 一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总
高中数学(一轮复习)最基础考点系列考点3 分段函数 Word版含解析
专题分段函数分段函数的定义域、值域、单调性★★★○○○○．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．．分段函数的相关结论()分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．()分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．分段函数求值的解题思路求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现(())的形式时，应从内到外依次求值．()设()＝(\\(－()，≥，，<，))则((－))＝( )．－()(·张掖高三模拟)已知函数()＝(\\(\(\)(\\(()))，≥，＋，<，))则(＋)的值为( ).(·西安模拟)已知函数()＝(\\(，>，，≤，))若()＝()，则实数的值为( )．－或．．－．－[解析] ()＝＝，因而()＝，即()＝，当>时，()＝＝，因而＝，当≤时，()＝＝，因而＝－，故选.[答案].设函数()＝(\\(－，<，()，≥，))则使得()≤成立的的取值范围是．[解析]当<时，由－≤得≤＋，∴<；当≥时，由≤得≤，∴≤≤.综上，符合题意的的取值范围是≤.[答案] (－∞，]．(·新课标全国卷Ⅰ)已知函数()＝(\\(－＋，≤，＋，>.))若()≥，则的取值范围是( ) ．(－∞，] ．(－∞，) ．[－] ．[－]解析：选＝()的图象如图所示，＝为过原点的一条直线，当()≥时，必有≤≤，其中是＝－(≤)在原点处的切线的斜率，显然，＝－.所以的取值范围是[－]．．已知函数()＝(\\(－，≤，，>，))则((－))＝( )．．解析：选由题意得(－)＝－－＝，则((－))＝＝＝.．已知()＝(\\(() π，≤，－＋，>，))则的值为( )．－。
高考理数一轮复习微难点1 绝对值函数与分段函数
(2) 若 a>2，解关于 x 的不等式 F (x)≥0. 【解答】 由题意，得 F (x)＝xx－ －11xx＋ ＋11－ ＋aa， ，xx≥ <11. ， 当 x≥1 时，由 F (x)≥0，a>2，得 x≤1 或 x≥a－1⇒x≥a－1 或 x＝1；当 x<1 时， 由 F (x)≥0，得 x≤－a－1 或 x≥1⇒x≤－a－1. 综上所述，所求解集为{x|x≥a－1 或 x＝1 或 x≤－a－1}．
②若 a＝1，则 g(x)＝22x，2－x<41x，＋4，x≥1， g(x)的值域为[2，＋∞)，所以 g(x)≥0
恒成立． ③若 a<1，易知， 当 x∈(－∞，a)时，g(x)单调递减，其值域为(a2－2a＋3，＋∞)，
由于 a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>2，所以 g(x)≥0 恒成立． 当 x∈[a，＋∞)时，由 a<1，知 a<a＋4 3，g(x)在 x＝a＋4 3处取最小值， 令 ga＋4 3＝a＋3－a＋832≥0，解得－3≤a≤5，
微难点1 绝对值函数与分段函数
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目 导
析典例 ·举题破难 解类题 ·融会贯通
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析典例 ·举题破难
(2018·扬州中学)已知函数 f (x)是定义在 R 上的偶函数，且 f (0)＝0，当 x>0
时，f (x)＝log1x. 2
(1) 求函数 f (x)的解析式； 【思维引导】(1) 设 x<0，根据奇偶性的定义，结合 f (x)＝f (－x)求得 f (x)的解析
高中数学一轮复习之分段函数
第3节分段函数【基础知识】1.在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．2．分段函数是一个函数，而不是几个函数；3．分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集.【规律技巧】1.因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．2.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则．3.研究分段函数的性质，需把求函数的定义域放在首位，即遵循“定义域优先”的原则．4. 含绝对值的函数是分段函数另一类表现形式.【典例讲解】例1、设函数f(x)＝2－x，x ∈－∞，1，x 2，x ∈[1，＋，若f(x)>4，则x 的取值范围是______．【方法技巧】求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．【变式探究】已知f(x)的图象如图，则f(x)的解析式为________．例2已知实数0a ，函数1,21,2x a x x a x xf ，若a f a f 11，则a 的值为（）A ．B ．C ．D．【答案】A例3在2014年APEC 会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是A. 32人B. 35人C. 40人D. 45 人【答案】B 【针对训练】1、作出函数||()x f x xx的图象.【答案】见解析2、已知函数1,1(),1xex f x x x，那么(2)f 的值是（）A ．0 B． C．21eD ．2【答案】D3、设函数,0,22xxx x xxf 若2af f ，则实数a 的取值范围是______【答案】2a 4、设函数246,0()6,0xx xf x x x，则不等式()(1)f x f 的解集是（）A.B. C. D.【答案】A5、已知函数2log ,0,()3,0,xx x f x x ≤，则14ff．【答案】19【练习巩固】1.设)10()],6([)10(,2)(xxf f x x x f 则5f 的值为（）A ．10B ．11C ．12 D．13【答案】B【解析】这是分段函数，求值时一定注意自变量所在的范围，不同范围选用不同的表达式．(5)119151311f f f f f f f ，故选B ．2.设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]，上，0111()201xx ax f x bxx ≤≤≤，，，，其中a bR ，．若1322ff，则3a b 的值为．【答案】10 【解析】∵()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，∴11f f ，即21=2b a ①.又∵311=1222ff a ，1322f f，∴141=23b a ②. 联立①②，解得，=2. =4a b 。
2015年高考数学第一轮复习：分段函数的计算
2015年高考数学第一轮复习：分段函数的计算主编：宁永辉 主编单位：永辉中学生学习中心题型一：求函数值。
例一：【2009年文科数学山东卷，T7】定义在R 上的函数)(x f 满足=)(x f ⎩⎨⎧>---≤-0),2()1(0),4(log 2x x f x f x x ，则)3(f 的值为（ ）A 、1-B 、2-C 、1D 、2【解析】：因为：03>；所以：)1()2()3(f f f -= ①；因为：02>；所以：)0()1()2(f f f -= ②； 因为：01>；所以：)1()0()1(--=f f f ③；因为：00≤；所以：2)04(log )0(2=-=f ；因为：01≤-，所以：5log )]1(4[log )1(22=--=-f ； 把5log )1(,2)0(2=-=f f 代入③式中：5log 2)1()0()1(2-=--=f f f ；把2)0(,5log 2)1(2=-=f f 代入②式中：5log 25log 2)0()1()2(22-=--=-=f f f ； 把5log 2)1(,5log )2(22-=-=f f 式中：2)5log 2(5log )1()2()3(22-=---=-=f f f ；例二：【2009文科数学辽宁卷，T6】已知函数)(x f 满足：4≥x ，则xx f )21()(=；当4<x 时)1()(+=x f x f ，则=+)3log 2(2f （ ） A 、241 B 、121 C 、81 D 、83 【解析】：因为：43log 22<+；所以：)3log 3()3log 2(22+=+f f ；因为：43log 32>+；所以：2413181)21(81)21()21()21()3log 3(31log 3log 33log 322122=⨯=⨯=⋅==++f ； 所以：241)3log 3()3log 2(22=+=+f f ； 例三：【2010年文科数学湖北卷】已知函数3log ,0()2,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩则1(())9f f =A 、4B 、41 C 、4- D 、41- 【解析】因为：091>；所以：291log )91(3-==f ；)2())91((-=f f f ； 因为：02≤-；所以：412)2(2==--f ； 所以：41)2())91((=-=f f f ；0,lg >x x 例四：【2011年文科数学陕西卷】设=)(x f ，则=-))2((f f 。
高中数学-分段函数及题型
x高中数学-分段函数及题型【解析】4x 3 (x0)例1 •求函数f(x)x 3 (0 x 1)的最大值.x 5 (x1)【解析】当x时，fmax(x)f(0)3,当 0 x 1 时，f max (X ) f (1) 4,当 x 1 时,x 51 5 4,综上有f max (x)4 .【经典例题赏析】例2.在同一平面直角坐标系中 x 0,f( x)(x)2( 1) x 2(x0, x 0, f( x)x)2( x1)任意 x R 都有 f( x)f (x),所以f(x)为偶函数.例4 •判断函数 f(x)x 3 x (x 0)2 x的单调性.(x 0)1) f (x),当 x2x (x 1) f (x)因此，对于函数y f(x)和y g(x)的图象关于直线 y x 对称，现将y g(x)的图象沿x 轴向左平移2个单位 ,再沿y 轴向上平移1个单位,所得的图象是由两条线段组成的折线 (如图所示)，则函数f (x)的表达式为(B. C. 2x 2 (1x 0) x 22 (0x 2) y i f k2x 2 (1 x 0) 3'/x 2 2 (0x 2)2 “7 2x 2 (1 x 2)/x 21 (2 x 4) -2 -1o12x 6 (1 x 2)x2 3 (2 x 4)例3 •判断函数f(x)x 2(x 1)x 2(x(x 0) 的奇偶性.1)(x0)答案A.)f(x)f(x)f(x)► x D. f(x)【解析】显然f(x)连续.当x 0时，f (x) 3x 21 1恒成立，所以f(x)是单调递增函数，当x 0时,在R 上是单调递增函数 例5•写岀函数 f(x) |12x| |2 x|的单调减区间.3x 1 (x2)【解析】f (x)3 x (； x 2),画图易知单调减区间为(,；]3x 1(x 2)2 x 1 (x0)例6 •设函数f(X )1,若f (x 0) 1,则x 0得取值范围是()答案Dx 2(x 0)故选A 项.A.( 1,1)B.( 1,)C.( J2)(x1)2(x 1)例7 •设函数 f(x)4 - ,x 1(x 1)范围为()A •(,2] [0,10]B(0, ) D- ( , 1) (1,)则使得f (x) 1的自变量x 的取值 (,2] [0,1]f '(x)2x 0恒成立，f (x)也是单调递增函数所以f (x)在R 上是单调递增函数或画图易知f(x)C. ( , 2] [1,10]【解析】D. [ 2,0] [1,10]2当 x 1 时，f (X )1 (x 1)x 2或x 0 , 所以x2或 0 x 1 ,当 x 1 时,f(x) 14 、、x 1 1 1 3 x 10，所以1 x 10,综上所述x 2或 0 x 10,t 20,4.某商品在近30天内每件的销售价格（元）与时间（天）的函数关系是p t 100,该商品的日销售量 Q （件）与时间t （天）的函数关系是 Q t 40 （0 t 金额的最大值，并指岀日销售金额最大的一天是30天中的第几天？2、 针对性课堂训练x 的图象是1 .函数y 函数 A . B. C. y ig x ( 是偶函数，在区间是偶函数，在区间是奇函数，在区间是奇函数，在区间画岀函数y |x 3x 2( 4 3x 2(1 x(0, (0,,0）上单调递增 ,0）上单调递减）上单调递增 ）上单调递减1| 1) 3)|2x3 1在区间［4,3）的图象0 t 25,t N, 25 t 30,t N.30, t N ），求这种商品的日销售。
分段函数常见题型解法-含答案
【知识要点】分段函数问题是高中数学中常见的题型之一，也是高考经常考查的问题.主要考查分段函数的解析式、求值、解不等式、奇偶性、值域（最值）、单调性和零点等问题.1、 求分段函数的解析式，一般一段一段地求，最后综合.即先分后总.注意分段函数的书写格式为：1122()()()()n n n f x x D f x x D f x x D f x x D ∈⎧⎪∈⎪=⎨∈⎪⎪∈⎩，不要写成1122()()()()n n ny f x x D y f x x D f x x D y f x x D =∈⎧⎪=∈⎪=⎨∈⎪⎪=∈⎩.注意分段函数的每一段的自变量的取值范围的交集为空集，并集为函数的定义域D .一般左边的区域写在上面,右边的区域写在下面.2、分段函数求值，先要看自变量在哪一段，再代入那一段的解析式计算.如果不能确定在哪一段，就要分类讨论.注意小分类要求交，大综合要求并.3、分段函数解不等式和分段函数求值的方法类似，注意小分类要求交，大综合要求并.4、分段函数的奇偶性的判断，方法一：定义法.方法二：数形结合.5、分段函数的值域（最值）,方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合.6、分段函数的单调性的判断，方法一：数形结合，方法二：先求每一段的单调性，再写出整个函数的单调性.7、分段函数的零点问题，方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的.虽然分段函数是一种特殊的函数，在处理这些问题时，方法其实和一般的函数大体是一致的. 【方法讲评】【例1】已知函数)(x f 对实数R x ∈满足)1()1(,0)()(+=-=-+x f x f x f x f ，若当[)1,0∈x 时，21)23(),1,0()(-=≠>+=f a a b a x f x .（1）求[]1,1-∈x 时，)(x f 的解析式；（2）求方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数.（2） )()2()1()1(,0)()(x f x f x f x f x f x f =+∴+=-=-+ )(x f ∴是奇函数，且以2为周期.方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数也就是函数x y x f y 4log )(==和的交点的个数.在同一直角坐标系中作出这俩个函数的图像，由图像得交点个数为2，所以方程0log )(4=-x x f 的实数解的个数为2.【点评】（1）本题的第一问，根据题意要把[1,1]-分成三个部分，即(1,0),1,(0,1)x x x ∈-=±∈,再一段一段地求. 在求函数的解析式时，要充分利用函数的奇偶性、对称性等. (2)本题第2问解的个数，一般利用数形结合解答.【检测1】已知定义在R 上的函数()()22f x x =-.（Ⅰ）若不等式()()223f x t f x +-<+对一切[]0,2x ∈恒成立，求实数t 的取值范围；（Ⅱ）设()g x =，求函数()g x 在[]0,(0)m m >上的最大值()m ϕ的表达式．【例2】已知函数()()22log 3,2{21,2x x x f x x ---<=-≥ ，若()21f a -= ，则()f a = （ ）A. 2-B. 0C. 2D. 9【解析】当22a -< 即0a >时， ()()211log 3211,22a a a ---=⇒+==- （舍）； 当22a -≥ 即0a ≤时， ()2222111log 42a a f a ---=⇒=-⇒=-=- ，故选A.【点评】（1）要计算(2)f a -的值，就要看自变量2a -在分段函数的哪一段，但是由于无法确定，所以要就2222a a -<-≥和分类讨论. （2）分类讨论时，注意数学逻辑，小分类要求交，大综合要求并.当0a >时 ，解得12a =-，要舍去.【例3】【2017山东，文9】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8【点评】（1）要化简()()1f a f a =+，必须要讨论a 的范围，要分1a ≥和01a <<讨论.当1a≥时，可以解方程2(1)2(11)a a -=+-，得方程没有解.也可以直接由2(1)y x =-单调性得到()()1f a f a ≠+.【检测2】已知函数210()0xx f x x -⎧-≤⎪=>,若0[()]1f f x =，则0x = ．【例3】已知函数则的解集为（ ）A.B.C.D.【点评】（1）本题中()f x 的自变量x 不确定它在函数的哪一段，所以要分类讨论. (2)当20x -<<时，计算()f x -要注意确定x -的范围，02x <-<，所以求()f x -要代入第一段的解析式.数学思维一定要注意逻辑和严谨. (3)分类讨论时，一定要注意数学逻辑，小分类要求交，大综合要求并.【检测3】已知函数()()()22log 2,02,{2,20,x x f x f x x --+≤<=---<<则()2f x ≤的解集为__________．【检测4】【2017课标3，理15】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________.【例4】判断函数⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f 的奇偶性 【解析】由题得函数的定义域关于原点对称.设0,x <2()f x x x =+,则0x ->，222()()()()f x x x x x x x f x -=---=--=-+=- 设0,x >2()f x x x =-+则0x -<，222()()()()f x x x x x x x f x -=--=-=--+=- 所以函数()f x 是奇函数.【点评】（1）对于分段函数奇偶性的判断，也是要先看函数的定义域，再考虑定义，由于它是分段函数，所以要分类讨论. （2）注意，当0x <时，求()f x -要代入下面的解析式，因为0x ->,不是还代入上面一段的解析式.【检测5】已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时22)(+=x xx f . （1）求()f x 的解析式；（2）判断()f x 的单调性（不必证明）；（3） 若对任意的t R ∈，不等式0)2()3(22≤++-t t f t k f 恒成立，求k 的取值范围.【例5】若函数62()3log 2a x x f x x x -+≤⎧=⎨+>⎩(01)a a >≠且的值域是[4,)+∞，则实数a 的取值范围是 .【点评】（1）分段函数求最值（值域），方法一：先求每一段的最大（小）值，再把每一段的最大（小）值比较，即得到函数的最大（小）值. 方法二：数形结合.（2）本题既可以用方法一，也可以利用数形结合分析解答. （3）对于对数函数log a y x =，如果没有说明a 与1的大小关系，一般要分类讨论.【检测6】设()()2,014,0x a x f x x a x x ⎧-≤⎪=⎨+++⎪⎩，＞若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为( ) A. []2,3- B. []2,0- C. []1,3 D. []0,3【检测7】已知函数()()222log 23,1{1,1x ax a x f x x x -+≥=-<的值域为R ，则常数a 的取值范围是（ )A. ][()1123-，，B. ][()12-∞+∞，，C. ()[)1123-，，D. (,0]-∞{}[)123，【例6】若()()3,1{log ,1a a x a x f x x x --<=> 是(),-∞+∞上的增函数，那么a 的取值范围是（ ）.A. ()1,+∞B. 3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. (),3-∞D. ()1,3【点评】（1）函数是一个分段函数是增函数必须满足两个条件，条件一：分段函数的每一段必须是增函数；条件二：左边一段的最大值必须小于等于右边一段的最小值. 函数是一个分段函数是减函数必须满足两个条件，条件一：分段函数的每一段必须是减函数；条件二：左边一段的最小值必须大于等于右边一段的最大值. （3）一个分段函数是增函数，不能理解为只需每一段是增函数. 这是一个必要不充分条件.【检测8】已知函数()[)()232,0,32,,0x x f x x a a x ⎧∈+∞⎪=⎨+-+∈-∞⎪⎩在区间(),-∞+∞上是增函数,则常数a 的取值范围是 （ ）A ．()1,2B ．(][),12,-∞+∞C ．[]1,2D ．()(),12,-∞+∞【例7】已知函数()21,0,{log ,0,x x f x x x +≤=>则函数()()1y ff x =+的所有零点构成的集合为__________．【点评】（1）分段函数的零点问题，一般有三种方法，方法一：解方程，方法二：图像法，方法三：方程+图像法. 和一般函数的零点问题的处理方法是一样的. （2）本题由于函数()()1y f f x =+的图像不方便作出，所以选择解方程的方法解答. （3）在函数()()1y f f x =+中，由于没有确定x 的取值范围，所以要分类讨论.【例8()()g x f x k =-仅有一个零点，则k 的取值范围是________.【解析】函数()()22,1{91,1x xf x x x x >=-≤ ，若函数()()g x f x k =- 仅有一个零点，即()f x k = ，只有一个解，在平面直角坐标系中画出， ()y f x =的图象，结合函数图象可知，方程只有一个解时，)4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ )4,23⎛⎫⎪⎝⎭.【点评】（1）直接画()()g x f x k =-的图像比较困难，所以可以利用方程+图像的方法. 分离参数得到()f x k =，再画图数形结合分析. 学.科.网【例9】已知函数关于的方程，有不同的实数解，则的取值范围是（ ）A. B.C. D.【解析】【点评】本题考查了类二次方程实数根的相关问题，以及数形结合思想方法的体现，这种嵌入式的方程形式也是高考考查的热点，这种嵌入式的方程首先从二次方程的实数根入手，一般因式分解后都能求实根，得到和，然后再根据导数判断函数的单调性和极值等性质，画出函数的图象，若直线和函数的交点个数得到参数的取值范围.【检测9】已知函数()()1114{(1)x x f x lnx x +≤=>，则方程()f x ax =恰有两个不同的实根时，实数a 的取值范围是（ ）（注： e 为自然对数的底数）A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,4e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 1,e 4⎡⎫⎪⎢⎣⎭高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第15讲：分段函数中常见题型解法参考答案【反馈检测1答案】（Ⅰ）11t -<<（Ⅱ）()222,011,112,1m m m m m m m m ϕ⎧-+<≤⎪⎪=<≤+⎨⎪->⎪⎩方法二：不等式恒成立等价于恒成立 .即等价于对一切恒成立，即恒成立，得恒成立， 当时，，，因此，实数t 的取值范围是11t -<<．【反馈检测2答案】或1【反馈检测2详细解析】当时，，则，即 ；当时，，则，即。
高中数学讲义：分段函数的性质与应用
分段函数的性质与应⽤分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。
即“分段函数——分段看”一、基础知识：1、分段函数的定义域与值域——各段的并集2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。
3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。
如果不便作出，则只能通过代数方法比较()(),f x f x -的关系，要注意,x x -的范围以代入到正确的解析式。
4、分段函数分析要注意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。
否则是断开的。
例如：()221,34,3x x f x x x -£ì=í->î，将3x =代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。
再比如()221,31,3x x f x x x -£ì=í->î中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。
（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。
例如：()13f x x =-+，可转化为：()13,113,1x x f x x x -+³ì=í-+<î5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。
数学一轮复习第二章函数2.9函数模型及其应用学案理
2.9函数模型及其应用必备知识预案自诊知识梳理1.常见的函数模型（1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数，k≠0)；(2)二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c（a，b,c为常数,a≠0）；(3）反比例函数模型:f（x）=kk（k为常数，k≠0)；（4）指数型函数模型：f(x)=ab x+c（a，b,c为常数,a≠0，b〉0，b≠1）；（5)对数型函数模型：f(x）=m log a x+n（m,n，a为常数,m≠0,a〉0,a≠1);（6)幂型函数模型：f(x）=ax n+b(a,b，n为常数,a≠0）；(7）分段函数模型：y={k1(k),k∈k1,k2(k),k∈k2,k3(k),k∈k3;（8）对勾函数模型:y=x+kk（a为常数，a>0）。
2。
指数、对数、幂函数模型的性质比较性质函数y=a x(a>1）y=log a x（a〉1)y=xα（α〉0）在(0，+∞)内的增减性增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x的增大逐渐表现为与平行随x的增大逐渐表现为与平行随α值变化而各有不同值的比较存在一个x0,当x〉x0时，有log a x<xα〈a x考点自诊1。
判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×"。
(1）幂函数增长比一次函数增长更快。
（) (2）在（0，+∞）内,随着x的增大，y=a x（a〉1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α〉0)的增长速度.（）(3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题。
()（4)f（x)=x2,g(x)=2x,h（x）=log2x,当x∈（4,+∞）时，恒有h(x）〈f(x)〈g(x）。
（）(5)“指数爆炸”是指数型函数y=a·b x+c(a>0，b>1)增长速度越来越快的形象比喻。
(）2。
(2020山东潍坊临朐模拟二,3）某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况。
高考数学一轮复习考点知识专题讲解4---函数的概念及其表示
高考数学一轮复习考点知识专题讲解函数的概念及其表示考点要求1.了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．知识梳理1．函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的三要素(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．常用结论1．直线x ＝a 与函数y ＝f (x )的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空数集A ，B ，A 即为函数的定义域，值域为B 的子集． 3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(×) (2)函数y ＝f (x )的图象可以是一条封闭曲线．(×) (3)y ＝x 0与y ＝1是同一个函数．(×) (4)函数f (x )＝⎩⎨⎧x －1，x ≥0，x 2，x <0的定义域为R .(√)教材改编题1．下列各曲线表示的y 与x 之间的关系中，y 不是x 的函数的是()答案C2．下列各组函数相等的是()A ．f (x )＝x 2－2x －1(x ∈R )，g (s )＝s 2－2s －1(s ∈Z )B ．f (x )＝x －1，g (x )＝x 2－1x ＋1C ．f (x )＝x 2，g (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0D ．f (x )＝－x 3，g (x )＝x －x 答案C3．(2022·长沙质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x，x ≤0，log 3x ，x >0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f⎝ ⎛⎭⎪⎫12等于() A ．－1B ．2C.3D.12答案D解析∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝log 312<0，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫f⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝31log 23＝12.题型一 函数的定义域 例1(1)函数f (x )＝lg(x －1)＋1x －2的定义域为() A ．(1，＋∞) B ．(1,2)∪(2，＋∞) C ．[1,2)∪(2，＋∞) D ．[1，＋∞) 答案B解析要使函数有意义，则⎩⎨⎧x －1>0，x －2≠0，解得x >1且x ≠2，所以f (x )的定义域为(1,2)∪(2，＋∞)．(2)若函数f (x )的定义域为[0,2]，则函数f (x －1)的定义域为________． 答案[1,3]解析∵f (x )的定义域为[0,2]， ∴0≤x －1≤2，即1≤x ≤3， ∴函数f (x －1)的定义域为[1,3]． 教师备选1．(2022·西北师大附中月考)函数y ＝lg(x 2－4)＋x 2＋6x 的定义域是() A ．(－∞，－2)∪[0，＋∞) B ．(－∞，－6]∪(2，＋∞) C ．(－∞，－2]∪[0，＋∞) D ．(－∞，－6)∪[2，＋∞) 答案B解析由题意，得⎩⎨⎧x 2－4>0，x 2＋6x ≥0，解得x >2或x ≤－6.因此函数的定义域为(－∞，－6]∪(2，＋∞)． 2．已知函数f (x )＝x 1－2x，则函数f (x －1)x ＋1的定义域为() A ．(－∞，1) B ．(－∞，－1)C ．(－∞，－1)∪(－1,0)D ．(－∞，－1)∪(－1,1) 答案D解析令1－2x >0， 即2x <1，即x <0.∴f (x )的定义域为(－∞，0)． ∴函数f (x －1)x ＋1中，有⎩⎨⎧x －1<0，x ＋1≠0，解得x <1且x ≠－1. 故函数f (x －1)x ＋1的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)． 思维升华 (1)求给定函数的定义域：由函数解析式列出不等式(组)使解析式有意义． (2)求复合函数的定义域①若f (x )的定义域为[m ，n ]，则在f (g (x ))中，由m ≤g (x )≤n 解得x 的范围即为f (g (x ))的定义域．②若f (g (x ))的定义域为[m ，n ]，则由m ≤x ≤n 得到g (x )的范围，即为f (x )的定义域． 跟踪训练1(1)函数f (x )＝11－4x2＋ln(3x －1)的定义域为() A.⎝ ⎛⎦⎥⎤13，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，14D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 答案B解析要使函数f (x )＝11－4x2＋ln(3x －1)有意义，则⎩⎨⎧1－4x 2>0，3x －1>0⇒13<x <12. ∴函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12.(2)已知函数f (x )的定义域为[－2,2]，则函数g (x )＝f (2x )＋1－2x 的定义域为__________． 答案[－1,0]解析由条件可知，函数的定义域需满足⎩⎨⎧－2≤2x ≤2，1－2x≥0，解得－1≤x ≤0，所以函数g (x )的定义域是[－1,0]． 题型二 函数的解析式例2(1)(2022·哈尔滨三中月考)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )的解析式为______．答案f (x )＝lg 2x －1(x >1)解析令2x＋1＝t (t >1)，则x ＝2t －1， 所以f (t )＝lg2t －1(t >1)， 所以f (x )＝lg2x －1(x >1)． (2)已知y ＝f (x )是二次函数，若方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，则f (x )＝________.答案x 2＋2x ＋1解析设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b ， ∴2ax ＋b ＝2x ＋2， 则a ＝1，b ＝2. ∴f (x )＝x 2＋2x ＋c ， 又f (x )＝0，即x 2＋2x ＋c ＝0有两个相等实根． ∴Δ＝4－4c ＝0，则c ＝1. 故f (x )＝x 2＋2x ＋1. 教师备选已知f (x )满足f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ，则f (x )＝________.答案－2x 3－43x解析∵f (x )－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2x ，①以1x代替①中的x ，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －2f (x )＝2x ，②①＋②×2得－3f (x )＝2x ＋4x，∴f (x )＝－2x 3－43x. 思维升华 函数解析式的求法(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法． 跟踪训练2(1)已知f (1－sin x )＝cos 2x ，则f (x )＝________. 答案－x 2＋2x ，x ∈[0,2] 解析令t ＝1－sin x ， ∴t ∈[0,2]，sin x ＝1－t ， ∴f (t )＝1－sin 2x ＝1－(1－t )2 ＝－t 2＋2t ，t ∈[0,2]， ∴f (x )＝－x 2＋2x ，x ∈[0,2]．(2)(2022·黄冈质检)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝x 4＋1x 4，则f (x )＝__________.答案x 2－2，x ∈[2，＋∞) 解析∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 22－2，∴f (x )＝x 2－2，x ∈[2，＋∞)． 题型三 分段函数例3(1)已知f (x )＝⎩⎨⎧cosπx ，x ≤1，f (x －1)＋1，x >1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值为()A.12B ．－12C ．－1D ．1 答案D解析f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－1＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋1＝cosπ3＋1＝32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3 ＝cos2π3＝－12， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝32－12＝1.(2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ≥1，－x ＋1，x <1.若f (a )＝2，则a 的值为________； 若f (a )<2，则a 的取值范围是________． 答案4或－1(－1,4) 解析若f (a )＝2，则⎩⎨⎧a ≥1，log 2a ＝2或⎩⎨⎧a <1，－a ＋1＝2，解得a ＝4或a ＝－1， 若f (a )<2，则⎩⎨⎧a ≥1，log 2a <2或⎩⎨⎧a <1，－a ＋1<2，解得1≤a <4或－1<a <1，即－1<a <4. 教师备选1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，x >1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x <1，则f (f (2022))等于()A ．－32B.22C.32D. 2 答案B解析f (2022)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2022π＋π6＝sin π6＝12，∴f (f (2022))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1212⎛⎫ ⎪⎝⎭＝22.2．(2022·百校联盟联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≥0，－x 2，x <0，若对于任意的x ∈R ，|f (x )|≥ax ，则a ＝________. 答案0解析当x ≥0时，|f (x )|＝x 3≥ax ，即x (x 2－a )≥0恒成立，则有a ≤0； 当x <0时，|f (x )|＝x 2≥ax ，即a ≥x 恒成立， 则有a ≥0，所以a ＝0.思维升华 分段函数求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．跟踪训练3(1)(2022·河北冀州一中模拟)设f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2x －3，x ≥1，x 2＋1，x <1.则f (f (－1))＝_______，f (x )的最小值是_______． 答案022－3 解析∵f (－1)＝2，∴f (f (－1))＝f (2)＝2＋22－3＝0，当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x－3≥22－3，当且仅当x ＝2时取等号，f (x )min ＝22－3， 当x <1时，f (x )＝x 2＋1≥1，x ＝0时取等号， ∴f (x )min ＝1，综上有f (x )的最小值为22－3. (2)(2022·重庆质检)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >1，x 2－1，x ≤1，则f (x )<f (x ＋1)的解集为________． 答案⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ 解析当x ≤0时，x ＋1≤1，f (x )<f (x ＋1)， 等价于x 2－1<(x ＋1)2－1， 解得－12<x ≤0；当0<x ≤1时，x ＋1>1， 此时f (x )＝x 2－1≤0，f (x ＋1)＝log 2(x ＋1)>0，∴当0<x ≤1时，恒有f (x )<f (x ＋1)；当x >1时，f (x )<f (x ＋1)⇔log 2x <log 2(x ＋1)恒成立． 综上知，不等式f (x )<f (x ＋1)的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.课时精练1．(2022·重庆模拟)函数f (x )＝3－xlg x的定义域是() A ．(0,3) B ．(0,1)∪(1,3) C ．(0,3] D ．(0,1)∪(1,3] 答案D解析∵f (x )＝3－xlg x，∴⎩⎨⎧3－x ≥0，lg x ≠0，x >0，解得0<x <1或1<x ≤3，故函数的定义域为(0,1)∪(1,3]．2．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是()答案B解析A 中函数定义域不是[－2,2]；C 中图象不表示函数；D 中函数值域不是[0,2]．3．(2022·安徽江淮十校联考)设函数f (x )＝⎩⎨⎧4x －12，x <1，a x，x ≥1，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝8，则a 等于() A.12B.34C ．1D ．2 答案D解析f ⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝4×78－12＝3，则f ⎝⎛⎭⎪⎫f⎝ ⎛⎭⎪⎫78＝f (3)＝a 3， 得a 3＝8，解得a ＝2.4．下列函数中，与y ＝x 是相等函数的是() A ．y ＝(x )2B ．y ＝x 2 C ．y ＝lg10x D ．y ＝10lg x 答案C解析y ＝x 的定义域为x ∈R ，值域为y ∈R ，对于A 选项，函数y ＝(x )2＝x 的定义域为[0，＋∞)，故不是相等函数；对于B 选项，函数y ＝x 2＝||x ≥0，与y ＝x 的解析式、值域均不同，故不是相等函数； 对于C 选项，函数y ＝lg10x ＝x ，且定义域为R ，故是相等函数；对于D 选项，y ＝10lg x ＝x 的定义域为(0，＋∞)，与函数y ＝x 的定义域不相同，故不是相等函数．5．设函数f (x －2)＝x 2＋2x －2，则f (x )的表达式为() A ．x 2－2x －2B ．x 2－6x ＋6 C ．x 2＋6x －2D ．x 2＋6x ＋6 答案D解析令t ＝x －2，∴x ＝t ＋2，∴f (t )＝(t ＋2)2＋2(t ＋2)－2＝t 2＋6t ＋6， ∴f (x )＝x 2＋6x ＋6.6．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x－5，x ≤2，3sin x ，x >2，则f (x )的值域为()A ．[－3，－1]B ．(－∞，3]C ．(－5,3]D ．(－5,1] 答案C解析当x ≤2时，f (x )＝2x －5， ∴0<2x ≤4，∴f (x )∈(－5，－1]， 当x >2时，f (x )＝3sin x ， ∴f (x )∈[－3,3]， ∴f (x )的值域为(－5,3]．7．如图，点P 在边长为1的正方形的边上运动，M 是CD 的中点，当P 沿A －B －C －M 运动时，设点P 经过的路程为x ，△APM 的面积为y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是()答案A解析由题意可得y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，0≤x <1，34－x4，1≤x <2，54－12x ，2≤x ≤52.画出函数f (x )的大致图象，故选A.8．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数满足“倒负”变换的函数的是() ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝ln 1－x1＋x；③f (x )＝1ex x-；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x，x >1.A ．②③B．①②④ C ．②③④D．①④ 答案D解析对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意； 对于②，f (x )＝ln1－x1＋x， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝ln x －1x ＋1≠－f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝111exx-＝e x －1，－f (x )＝1ex x--≠f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，不满足；对于④，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x>1，即f⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足“倒负”变换．9．已知f (x 5)＝lg x ，则f (100)＝________. 答案25解析令x 5＝100， 则x ＝15100＝2510， ∴f (100)＝25lg 10＝25.10．函数f (x )＝ln(x －1)＋4＋3x －x 2的定义域为________． 答案(1,4]解析依题意⎩⎨⎧x －1>0，4＋3x －x 2≥0，解得1<x ≤4，∴f (x )的定义域为(1,4]．11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是________． 答案⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12解析∵当x ≥1时，f (x )＝ln x ≥ln1＝0， 又f (x )的值域为R ，故当x <1时，f (x )的值域包含(－∞，0)． 故⎩⎨⎧1－2a >0，1－2a ＋3a ≥0，解得－1≤a <12.12．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x <0，1，x >0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是________．答案[－2,0)∪(0,1] 解析当x <0时，f (x )＝x ， 代入xf (x )＋x ≤2得x 2＋x －2≤0， 解得－2≤x <0； 当x >0时，f (x )＝1，代入xf (x )＋x ≤2，解得0<x ≤1. 综上有－2≤x <0或0<x ≤1.13．(2018·全国Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是()A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0) 答案D解析当x ≤0时，函数f (x )＝2－x 是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )，当且仅当⎩⎨⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎨⎧x ＋1≥0，2x <0，解得x <－1或－1≤x <0，即x <0. 14．设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋λ，x <1(λ∈R )，2x，x ≥1，若对任意的a ∈R 都有f (f (a ))＝2f (a )成立，则λ的取值范围是______． 答案[2，＋∞) 解析当a ≥1时，2a ≥2.∴f (f (a ))＝f (2a )＝22a＝2f (a )恒成立．当a <1时，f (f (a ))＝f (－a ＋λ)＝2f (a )＝2λ－a ， ∴λ－a ≥1，即λ≥a ＋1恒成立，由题意λ≥(a ＋1)max ，∴λ≥2， 综上，λ的取值范围是[2，＋∞)．15．已知函数f (x ＋1)的定义域为(－2，0)，则f (2x －1)的定义域为() A ．(－1,0) B ．(－2,0) C ．(0,1) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0答案C解析由题意，知－1<x ＋1<1，则f (x )的定义域为(－1，1)．令－1<2x －1<1，得0<x <1.∴f (2x －1)的定义域为(0,1)．16．若函数f (x )满足：对定义域内任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有f (x 1)＋f (x 2)>2f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，则称函数f (x )具有H 性质．则下列函数中不具有H 性质的是() A ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xB ．f (x )＝ln xC ．f (x )＝x 2(x ≥0)D ．f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x <π2答案B解析若对定义域内任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，有f (x 1)＋f (x 2)>2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，则点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的中点在点⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22的上方，如图⎝ ⎛⎭⎪⎫其中a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，b ＝f (x 1)＋f (x 2)2.根据函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x )＝ln x ，f (x )＝x 2(x ≥0)，f (x )＝tan x ⎝⎛⎭⎪⎫0≤x <π2的图象可知，函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x )＝x 2(x ≥0)，f (x )＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x <π2具有H 性质，函数f (x )＝ln x 不具有H 性质．。
分段函数课件高一上学期数学人教A版
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Hale Waihona Puke 高中数学必修第一册典例精析
－x2＋2，x≤－2，
φ(x)＝x，－2<x<1， －x2＋2，x≥1.
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1.一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速 行驶，过了一段时间，火车到达下站停车，装完货以后，火车又 匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻 画出这列火车的速度变化情况的是（B ）
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典例精析
例3 如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车 者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题： (4)11：00到12：00他骑了多少千米？
(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30 的平均速度分别是多少？
(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午
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问题探究
B
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AB
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问题探究
f(x)＝x－＋x1，，0－ ≤1x≤≤1x<0，
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分段函数
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知识小结
注：分段函数的定义域是各段范围的并集，值域为各段上值域 的并集.
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典例精析
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问题探究
2，0<x≤5， y＝34，，51<0<x≤x≤101，5，
5，15<x≤20.
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典例精析
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高中数学分段函数的几个问题-新人教版
分段函数的几个问题分段函数在教材中是以例题的形式出现的，并未作深入说明。
学生对此认识比较肤浅，本文就分段函数的有关问题整理、归纳如下：1、 分段函数的含义 所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。
对它应有以下两点基本认识：（1） 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2） 分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。
[来源:学_科_网Z_X_X_K]2、 求分段函数的函数值例1已知函数132(0)()1)log (1)xx f x x x x ⎧<=≤≤>⎪⎩,求{[()]}f f f a (a <0)的值。
[来源:]分析 求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应法则求值。
()f x 是分段函数，要求{[()]}f f f a ，需要确定[()]f f a 的取值范围，为此又需确定()f a 的取值范围，然后根据所在定义域代入相应的解析式，逐步求解。
解 ∵a <0, ∴()2a f a =, ∵0<2a<1,∴[()]f f a =(2)a f =3, ∵3>1,∴{[()]}f f f a=f=13log =－21,3、 求分段函数的解析式[来源:学科网]例2 已知奇函数()f x (x R ∈)，当x >0时，()f x =x (5－x )+1.求()f x 在R 上的表达式。
解 ∵()f x 是定义域在R 上的奇函数， ∴(0)f =0.[来源:学科网ZXXK] 又当x ＜0时，－x >0,故有()f x -=－x [5－(－x )]+1=－x (5+x )+1。
[来源:学科网ZXXK]再由()f x 是奇函数,()f x =－()f x =x (5+x )－1.∴(5)1(0)()0(0)(5)1(0)x x x f x x x x x -+>⎧⎪==⎨⎪+-<⎩[来源:Z§xx§] 例3求函数()f x =2x +(2－6a )x +32a (0≤x ≤1)的最小值。
高三第一轮复习 分段函数与双勾函数
第十讲 分段函数与双勾函数 第20课时 分段函数与双勾函数【提纲挈领】主干知识归纳1.分段函数的定义：若函数在其定义域的不同子集上，因区间不同而分别用几个不同的式子来表达，这种函数称为分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽然由几个部分组成，但它表示的是一个函数2.双勾函数(2)双勾函数的性质对勾函数奇偶性：双勾函数是奇函数对勾函数渐近线：对勾函数的图像是分别以y 轴和y =ax 为渐近线的两支曲线， 方法规律总结1.解决分段函数问题时要时刻注意定义域的限制2.用双勾函数求解最值时注意能否取到等号，借助图像解决是最直观准确的【指点迷津】【类型一】求解函数值或最值问题【例1】：设函数12,(0)()3,(0)x x x f x x ++<⎧=⎨≥⎩,则()2f f -=⎡⎤⎣⎦ A ．3 B.1 C.0 D.13【解析】(2)220f -=-+=，01((2))(0)33f f f +-===【答案】A【例2】：已知0>t ，则函数tt t y 142+-=的最小值为【解析】：24241142-=-≥-+=+-=tt t t t y 答案：-2【类型二】解决有关字母参数问题【例1】：函数22,0()1,0x x f x x x -≤⎧=⎨+>⎩，若[()]0f f a =，则a = ． 【解析】根据分段函数解析式可知，若0a >，不合题意；所以0a ≤，则()2f a a =-，若()20f a -=，只能当且仅当0a =时等号成立．【答案】0 【例2】：若函数)2(21)(>-+=x x x x f 在a x =处取最小值，则a = 【解析】：422221221)(=+≥+-+-=-+=x x x x x f当且仅当212--=x x 时取等号，即3=x 处取最小答案：3【例3】：已知函数⎩⎨⎧≥<+-=1,log 1,4)13()(x x x a x a x f a 在R 是单调函数，则实数a 的取值范围是 ． 【解析】要使函数⎩⎨⎧≥<+-=1,log 1,4)13()(x x x a x a x f a 在R 是单调递增函数，需满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+⨯->>-1log 41)13(1013a a a a a 无解，要使函数⎩⎨⎧≥<+-=1,log 1,4)13()(x x x a x a x f a 在R 是单调递减函数，需满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+⨯-<<<-1log 41)13(10013a a a a a 解得3171<≤a【答案】1173⎡⎫⎪⎢⎣⎭， 【类型三】解决有关恒成立问题【例1】：已知函数⎩⎨⎧-=22)(xx x f )0()0(<≥x x ， 若对任意的]2,[+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，则实数t 的取值范围是 ．【解析】由函数⎩⎨⎧-=22)(xx x f )0()0(<≥x x ，可知函数在R 上单调递增，又因为对任意的]2,[+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，若t <则,()()x t x f x t f x +<∴+<．要使)(2)(x f t x f ≥+恒成立，所以()0f x <．即得到22()2()x t x -+≥⋅-，即等价于2220x tx t --≥，]2,[+∈t t x 上恒成立．由于函数222y x tx t =--的对称轴为x t =，且220x t y t ==-≤．所以0t <不成立．当0t >时，题意等价于22()2x t x +≥，在]2,[+∈t t x 上恒成立，即2220x tx t --≤恒成立．由于对应的函数的对称轴是x t=，所以在]2,[+∈t t x 单调递增，所以要使2220x tx t --≤恒成立，等价于22(2)2(2)0t t t t +-+-≤，即t ≥t ≤． 【答案】),2[+∞【例2】：若不等式012≥++ax x对一切)21,0(∈x 恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】因)21,0(∈x ，故原不等式可化为)1(x x a +-≥，令)1()(x x x h +-=，结合对勾函数的图象可知：函数)1()(x x x h +-=在区间)21,0(上是增函数，所以当)21,0(∈x 时，有25)21()(-=<h x h ，故25-≥a ，即所求实数a 的取值范围为),25[+∞-．【答案】),25[+∞-【类型四】函数实际运用【例1】：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20200x ≤≤时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（1）当0200x ≤≤时，求函数()v x 的表达式；（2）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()f x x v x =⋅可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时） 【解析】（Ⅰ）由题意：当020x ≤<时，()60v x =；当20200x ≤≤时，设()v x ax b =+，显然()v x ax b =+在[]20,200是减函数，由已知得2000200a b a b +=⎧⎨+=⎩，解得132003a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故函数()v x 的表达式为()()60,0201200,202003x v x x x ≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()()60,0201200,202003x x f x x x x ≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩ 当020x ≤<时，()f x 为增函数，故当20x =时，其最大值为60201200⨯=；当20200x ≤≤时，()()()220011100002003323x x f x x x +-⎡⎤=-≤=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当200x x =-，即100x =时，等号成立． 所以，当100x =时，()f x 在区间[]20,200上取得最大值100003． 综上，当100x=时，()f x 在区间[]0,200上取得最大值1000033333≈， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时【答案】（1） ()()60,0201200,202003x v x x x ≤<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩;（2） 当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时【例2】：某工厂去年某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计产量年递增10万只，第n 次投入后，每只产品的固定成本为()gn =k ＞0，k 为常数，n ∈Z 且n ≥0），若产品销售价保持不变，第n 次投入后的年利润为()f n 万元．（1）求k 的值，并求出()f n 的表达式；（2）问从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元? 【解析】（1）由()1+=n kn g，当0=n 时，由题意，可得8=k ，所以()()n n n n f 100181010100-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=.（2）由()()⎪⎭⎫⎝⎛++-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=110800100100181010100n n n n n n f ，52092801000191801000=⨯-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-=n n当且仅当191+=+n n ，即8=n 时取等号，所以第8年工厂的利润最高，最高为520万元. 【答案】（1）8k =，()()n n n n f 100181010100-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=；（2）第8年工厂的利润最高，最高为520万元.【同步训练】【一级目标】基础巩固组 一、选择题1．若函数()()3,5,2,5x x f x f x x -≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩则()2f 的值为( )A.2B.3C.4D.5 【解析】由题意,得336)6()4()2(=-===f f f .【答案】B 2．设⎩⎨⎧<+≥-=),9)(6(),9)(8(log )(3x x f x x x f 则)5(f 的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 【解析】13log )11()5(3===f f ．故选C ．【答案】C3．设函数⎩⎨⎧>≤+=,0,,0,4)(2x x x x x f ,若]1)([)]([+>a f f a f f ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．]0,1(- B ．]0,1[- C ．]4,5(-- D ．]4,5[--【解析】当()()0,10f a f a ≤+≤，即5a ≤-时；[()](4)8,[()1]9f f a f a a f f a a =+=++=+，故[()][()1]f f a f f a <+，故]1)([)]([+>a f f a f f 不成立；当()()0,14f a f a ≤+≤，即54a -<≤-时；2[()](4)8,[()1](5)(5)f f a f a a f f a f a a =+=++=+=+，又28(5)aa +>+在(5,4]--上显然成立即故[()][()1]f f a f f a >+【答案】C 4．已知函数3,0()ln(1),0x x f x x x ⎧≤=⎨+>⎩，若2(2)()f x f x ->,则实数x 的取值范围是( ) A ．(-∞,-1)∪(2,+∞) B ．(-∞,-2)∪(1,+∞) C ．(-1,2) D ．(-2,1) 【解析】根据函数的解析式可知，函数是定义域R 上的增函数，所以2(2)()f x f x ->的等价条件是22x x ->，解得(2,1)x ∈-，故选D ．【答案】D5．已知函数2|log |,02()sin(),2104x x f x x x π<<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，满足1234x x x x <<<，且1234()()()()f x f x f x f x ===，则3412(2)(2)x x x x -⋅-⋅的取值范围是（ ）A ．(4,16)B ．(0,12)C ．(9,21)D ．(15,25) 【解析】由题意得，12212212()()log log 01f x f x x x x x =⇒+=⇒=，又∵34()()(0,1)f x f x =∈，即3434sinsin34444x x x x πππππ=⇒+=，3412x x +=，332424x x πππ<<⇒<<，∴3434343312(2)(2)2()4(12)20(0,12)x x x x x x x x x x -⋅-=-++=--∈⋅．【答案】B ． 二、填空题6．已知函数()22,1,22,1,x x f x x x -⎧≤-=⎨+>-⎩则[]=-)2(f f ,不等式()2f x ≥的解集为 ． 【解析】2(2)4(2)2216f -⋅--===,()(2)216234f f -=⨯+=;由2122xx -≤-⎧⎨≥⎩得，1x ≤-，由1222x x >-⎧⎨+≥⎩得0x ≥，所以不等式()2f x ≥的解集为(1][0,)-∞-+∞．【答案】34;(1][0,)-∞-+∞．7．已知(){234,01,(1)1, 1.x x x f x f x x -+≤<-+≥= 则()3f = ；当12x ≤≤时，()f x = .【解析】()3(2)1(1)2(0)33f f f f =+=+=+=；当12x ≤<时，011x ≤-<，此时()()()()2211314113106f x f x x x x x =-+=--+-+=-+-.【答案】3； 23106x x -+-；8．若1>x，则函数11612+++=x xx x y 的最小值为 【解析】： 答案：8 三、解答题9．设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f （1）画出函数的图像写出其单调增区间 （2）求()2f 和()2-f 的值（3）当()3=a f 时，求a 的值【解析】（1)图像略，其单调增区间为：]()[∞+∞-,2,0,（2）()()4622,2624222=+-=-=+⨯-=f f（3）当()36402=+-=≥a a a f a 时，，此时31==a a 或当()3,360-==+=<a a a f a此时时，所以： 331-===a a a或或【答案】（1）图像略,其单调增区间为：]()[∞+∞-,2,0,;（2）2,4;（3）331-===a a a或或.10. 为了优化城市环境，方便民众出行，我市在某路段开设了一条仅供车身长为10m 的BRT 行驶的专用车道.据数据分析发现，该车道上行驶中前、后两辆BRT 公交车间的安全距离()d m 与车速()/v km h 之间满足二次函数关系()df v =.现已知车速为15/km h 时，安全距离为8m ；车速为45/km h 时，安全距离为38m ；出行堵车状况时，两车安全距离为2m . （1）试确定d 关于v 的函数关系()d f v =；（2）车速()/vkm h 为多少时，单位时段内通过这条车道的公共汽车数量最多，最多是多少辆？【解析】（1）设()()20df v av bv c a ==++≠，将点()()()0,2,15,8,45,38分别代入得22112251528,,27554545238c a b a b c b ⎧=⎪++=⇒===⎨⎪++=⎩.所以()2112755d f v v v ==++. （2）设单位时间内通过的汽车数量为Q，则100012111000/1000/1000107555v v Q d v ⎛⎫⎛⎫==++≤= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭（辆），当且仅当275v v =，即30/vkm h =时等号成立.【答案】（1）()2112755d f v v v ==++；（2） 30/v km h =时通过的汽车数量最多，最多为1000辆.11.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y （万元）与年产量x （吨）之间的函数关系式可以近视地表示为24880005x y x =-+,已知此生产线的年产量最大为210吨. （1） 求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润?最大利润是多少? 【解析】（1）设每吨的平均成本为W （万元/T ），则80004848325y x Wx x ==+-≥=（0<x ≤210）， 当且仅当80005x x=，x=200（T ）时每吨平均成本最低，且最低成本为32万元．（2）设年利润为u （万元），则()2221404880008880002201680555x x u x x x x ⎛⎫=--+=-+-=--+ ⎪⎝⎭．因为 0<x ≤210,所以当年产量为210吨时，最大年利润1660万元．【答案】（1） 年产量为200时每吨平均成本最低，且最低成本为32万元；（2） 当年产量为210吨时，最大年利润1660万元【二级目标】能力提升题组一、选择题1．对于函数[]sin ,0,2()1(2),(2,)2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列4个结论： ①任取[)120,x x ∈+∞、，都有12()()2f x f x -≤恒成立；②()2(2)f x kf x k =+*()k ∈N ，对于一切[)0,x ∈+∞恒成立；③函数()ln(1)y f x x =--有3个零点；④对任意0x >，不等式2()f x x≤恒成立．则正确的有（ ） A.①②③④ B.①②③ C.②③④ D.①③④ 【解析】当[]0,2x ∈时，()[]sin 1,1f x x π=∈-，根据题意当[]2,4x ∈时，()()()11112sin 2,2222f x f x x π⎡⎤=-=-∈-⎢⎥⎣⎦，当[]4,6x ∈时，()11,44f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦……所以()[][)1,1,0,f x x ∈-∈+∞，所以()()()()12max min 2f x f x f x f x -≤-=，即12()()2f x f x -≤，所以①正确；当[]0,2x ∈时，()()()()211122224222k f x k f x k f x k f x +=+-=+-==，所以()()()22k f x f x k k N *=+∈，对[)0,x ∈+∞恒成立，所以②错误；对于()()ln 1f x x =-的零点的个数问题，分别画出()y f x =和()ln 1y x =-的图像如图：显然有三个零点，所以③正确；根据题意画出()y f x =和2y x=的图像可知④正确; 综上正确的序号是：①③④． 【答案】D 二、填空题2设R b a ∈,，已知函数)(x f y =是定义域为R 的偶函数， 当0≥x 时，⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=2log 20,21)(16x x x x f x．若关于x的方程)()]([2=++b x af x f 有且只有7个不同实数根，则ab 的取值范围是 ． 【解析】 由题意知，函数)(x f y =在(,2]-∞-和[0,2]上是减函数，在[2,0]-和[2,]+∞上是增函数.所以当0x=时，函数)(x f y =取得极大值1，在2x=±时，函数)(x f y =取得极小值14，当16x ≥时，()1f x ≥，所以关于x 的方程0)()]([2=++b x af x f 有且只有7个不同实数根，设()t f x =，则20t at b ++=必有两个根12,t t ，其中1211,(,1)4t t =∈，125(,2)4t t a +=-∈，121(,1)4t t b =∈所以5(2,)4a ∈--，1(,1)4b ∈，所以41(,)58b a ∈--，故应填)81,54(--.【答案】)81,54(--. 3．已知实数0a≠，函数2,1,()2, 1.x a x f x x a x +<⎧=⎨--⎩≥ ，若(1)(1)f a f a -=+，则a = ．【解析】：当0a >时，3(1)22(1),4a a a a a ---=++=-；当0a <时，3(1)22(1),)2a a a a a -+-=-+=-（舍；综合：a =34-【答案】34-三、解答题4.求函数12)(2-=x x x f 的值域．【解析】：)1214121(21)214121(21)214141(21)21(2112)(222+-+-=-++=-+-=-=-=x x x x x x x x x x x f注意到当21≠x 时21-x 与2141-x 同号，则1212|21|41|21||21121|=⨯≥-+-=-+-x x x x ，即121121≥-+-x x 或121121-≤-+-x x ，所以1)(≥x f 或1)(-≤x f ，故所求函数的值域为),1[]1,(+∞--∞ ． 法二：令12-=x t ，则)1(21+=t x ，则原函数变为)21(41])1([41)(2++=+=tt t t t f ，注意到t 与t 1同号，所以2||1|||1|≥+=+t t t t （当且仅当1||=t 时取等号），即21≥+t t 或21-≤+tt ，所以1)(-≤t f 或1)(≥t f ，故所求函数的值域为),1[]1,(+∞--∞ ． 【答案】：),1[]1,(+∞--∞5.设R a ∈，若函数322)(2--+=a x ax x f 在区间]1,1[-上有零点，求实数a 的取值范围．【解析】：由题设“函数322)(2--+=a x ax x f 在区间]1,1[-上有零点”等价于“方程03222=--+a x ax 在区间]1,1[-上有解”．当0=a 时，]1,1[23-∉=x ，故0≠a ；又因]1,1[-∈x ，故]5,1[23∈-x ，所以由03222=--+a x ax 变形可得：xx a 23121--=，令x t 23-=，则)67(211)23(212-+=--=tt t t a ，注意到]1,1[-∈x ，所以]5,1[∈t ，这样问题就转化为求函数)67(211)23(21)(2-+=--==tt t t a t h 在区间]5,1[上的值域，事实上，因]5,1[∈t ，故727≥+tt ，即当7=t 时，函数)(t h 取最小值37)7()(min -==h t h ；此时函数)(t h 在区间]7,1[上单调递减，在区间]5,7[上单调递增，而52)5(,1)1(==h h ，所以当]5,1[∈t 时，函数)(t h 在区间]5,1[上取最大值1)1()(max ==h t h ，即1137≤≤-a且0≠a ，也即)37(21+-≤a 且1≥a ，故所求实数a 的取值范围为),1[)]37(21,(+∞+--∞ ． 【答案】：),1[)]37(21,(+∞+--∞【高考链接】1．[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)【解析]】由函数f (x )的解析式知，f (1)＝2，f (－1)＝cos(－1)＝cos 1，f (1)≠f (－1)，则f (x )不是偶函数；当x >0时，令f (x )＝x 2＋1，则f (x )在区间(0，＋∞)上是增函数，且函数值f (x )>1；当x ≤0时，f (x )＝cos x ，则f (x )在区间(－∞，0]上不是单调函数，且函数值f (x )∈[－1，1]；∴函数f (x )不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．【答案】D2．[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x≤0，ln （x ＋1），x ＞0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．(－∞，1]C ．[－2，1]D ．[－2，0]【解析】方法一：若x ≤0，|f(x)|＝|－x 2＋2x|＝x 2－2x ，x ＝0时，不等式恒成立，x<0时，不等式可变为a≥x －2，而x －2<－2，可得a≥－2；若x>0，|f(x)|＝|ln(x ＋1)|＝ln(x ＋1)，由ln(x ＋1)≥ax ，可得a≤ln （x ＋1）x恒成立， 令h(x)＝ln （x ＋1）x ，则h′(x)＝x x ＋1－ln （x ＋1）x 2，再令g(x)＝x x ＋1－ln(x ＋1)，则 g′(x)＝－x （x ＋1）2<0，故g(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以g(x)<g(0)＝0，可得h′(x)＝x x ＋1－ln （x ＋1）x 2<0，故h(x)在(0，＋∞)上单调递减，x→＋∞时，h(x)→0，所以h(x)>0，a≤0.综上可知，－2≤a≤0，故选D.方法二：数形结合：画出函数|f(x)|＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x≤0，ln （x ＋1），x>0与直线y ＝ax 的图像，如下图，要使|f(x)|≥ax 恒成立，只要使直线y ＝ax 的斜率最小时与函数y ＝x 2－2x ，x≤0在原点处的切线斜率相等即可，最大时与x 轴的斜率相等即可，因为y′＝2x －2，所以y′|x ＝0＝－2，所以－2≤a≤0.【答案】D。
【高中数学考点精讲】考点三-分段函数
考点三分段函数（一）分段函数求值（1）已知自变量的值求函数值36．（2022·全国·高一单元测试）已知函数则（）A．B．3 C．1 D．19【解析】故选：B37．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则___________. 【解析】根据题意，故答案为：938．（2022·四川·仁寿一中高一开学考试）设函数，则（）A．B．C．D．【解析】因为，则.故选：C.39．（2022·全国·高一课时练习）已知函数(1)求，，的值；(2)若，求实数a的值；(3)若，求实数m的取值范围．【解析】（1）由题可得，，因为，所以；（2）①当时，，解得，不合题意，舍去；②当时，，即，解得或，因为，，所以符合题意；③当时，，解得，符合题意；综合①②③知，当时，或；（3）由，得或或，解得或，故所求m的取值范围是.（2）已知函数值求自变量或参数的值40．（2022·江西抚州·高一期末）设函数，若，则______. 【解析】因为函数，由，所以或解得：或2.故答案为：或241．（2022·浙江台州·高一期末）设函数，若，则实数a的值为___________.【解析】，，解得：.故答案为：542．（2022·辽宁·渤海大学附属高级中学高一期末）函数，若，则实数a的值为（）A．±1 B．-2或±1 C．-1 D．-2或-1【解析】当时，令，与矛盾，不合题意；当时，令，取，符合题意，故选：C43．（2022·山东·新泰市第一中学高一期末）已知实数，函数，若，则a的值为________【解析】当时，，所以，解得，不满足，舍去；当时，，所以解得，满足.故答案为：.44．（2022·山东·薛城区教育局教学研究室高一期末）已知函数，若，，则的取值范围是________．【解析】先作函数图象如下：由图可知，若，，设，则，，由知，；由知，；故，，故时，最小值为，时，最大值为，故的取值范围是.故答案为：.（二）分段函数与不等式的综合45．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则不等式的解集是（）A．B．C．D．【解析】函数，则不等式等价于或者，解得：，解得：或，于是得或，所以不等式的解集是.故选：A46．（2022·全国·高一课时练习）已知，则使成立的x的取值范围是_____．【解析】∵，∴或，∴或，即，∴使成立的x的取值范围是．故答案为：47．（2022·浙江省乐清中学高一开学考试）设函数则关于的不等式的解集为______.【解析】因为当时，，则，；同理当时，，，又，综上所述为奇函数，则，即，当时，，解得；当时，，解得，因为，所以.故的解集为故答案为：48．（2022·全国·高一）设函数试解不等式．【解析】由题意可知，，所以所以或,解得或，所以不等式的解集为∪.49．（2022·全国·高一课时练习）已知函数，则的解集为（）A．B．C．D．【解析】当时，，则可化为，解得，又，所以.当时，，则可化为，解得，又，所以.综上，.故选：B.（三）分段函数的图象问题50．（2022·全国·高一课时练习）已知函数.(1)画出函数的图像并写出它的值域；(2)若，求x的取值范围；【解析】（1）由图可知，函数的值域为（2）或，解得或故x的取值范围为51．（2022·全国·高一）已知函数(1)求的值；(2)若，求的值；(3)请在给定的坐标系中画出此函数的图象，并根据图象说出函数的值域. 【解析】(1)因为，所以(2)当时，，不合题意，应舍去当时，解得或（舍）当时，，则综上，或(3)值域为52．（2022·全国·高一单元测试）已知．(1)用分段函数的形式表示；(2)画出的图象，并写出函数的单调区间和值域．【解析】（1）当时，当时，，当时，，所以．（2）的图象如图：由图易得，的单调递增区间为，单调递减区间为，的值域为．53．（2022·江苏·高一）设函数, ，，其中，记函数的最大值减去最小值的差为．(1)求函数的解析式；(2)画出函数的图象并指出的最小值．【解析】(1),当时，在上为单调递减函数，，当时，，，当时，在上单调递减，在上单调递增，，，，若，即时，，，若，即时，，，当时，，，当时，在上为单调递增函数，，综上所述：.(2)图象如图：由图可知，当时，取得最小值为.（四）求分段函数的值域或最值54．（2022·全国·高一）函数的值域是______________（用区间表示）【解析】当时，，为开口向上，对称轴为的抛物线，所以，当时，，为单调递减函数，所以，综上：，即的值域为.故答案为：55．（2022·全国·高一专题练习）求函数在－的最值. 【解析】在上递增，对称轴是，在上递减，在上递增，，，，，所以当时，函数最大值是；当时，函数最小值是.56．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）设函数，用表示中最大的一个，则的最小值为_______【解析】因为的交点坐标为，的交点坐标为，的交点坐标为，的图象如下图：由图象可看出的最小值为：1.故答案为：1.57．（2022·安徽·歙县教研室高一期末）已知函数，，则函数的最大值为______.【解析】当时，即或，解得或，此时，当时，即时，，综上，当时，，故答案为：58．（2022·内蒙古赤峰·高一期末）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x万件，其总成本为万元，其中固定成本为3万元，并且每生产1万件的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入满足，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：(1)写出利润函数的解析式（利润=销售收入−总成本）；(2)工厂生产多少万件产品时，可使盈利最多？【解析】(1)由题意，总成本，因为销售收入满足，所以利润函数；(2)当时，因为函数单调递减，所以万元；当时，函数，所以当时，有最大值为13 (万元) .所以当工厂生产4万件产品时，可使盈利最多为13万元.（五）根据分段函数的值域（最值）求参数59．（2022·福建·福州四中高一期末）设函数若存在最小值，a 的取值范围___________.【解析】若时，，∴；若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；若时，当时，单调递减，，当时，∴或，解得，综上可得；故答案为：60．（2022·上海闵行·高一期末）已知，函数有最大值，则实数的取值范围是___________.【解析】由在上递减，当时值域为，当时值域为，由在上递增，当时值域为，当时值域为，∴要使函数存在最大值，则且，即，∴.故答案为：.61．【多选】（2022·全国·高一课时练习）已知函数，若的最小值为，则实数的值可以是（）A．B．1 C．0 D．2【解析】当时，，则在上单调递减，所以，当时，，在上单调递增，所以，得，故选：AC62．（2022·江苏省响水中学高一开学考试）已知函数，若存在实数，使得对于任意的实数都有成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【解析】函数，若存在实数，使得对于任意的实数都有成立，即函数有最大值，又因为当时，，单调递减，且，故当时，，且，故，故选：．（六）分段函数的综合应用63．（2022·江西·高一期末）已知函数，若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【解析】方程恰有两个不等的实根，等价于与的图象有两个交点，的图象如图所示，平移水平直线可得，故选：B.64．【多选】（2022·贵州黔东南·高一期末）已知函数，关于函数，f(x)的结论正确的是()A．f(x)的最大值为3 B．f(0)＝2C．若f(x)＝－1，则x＝2 D．f(x)在定义域上是减函数【解析】当时，是增函数，则此时(1)，当，为减函数，则此时，综上的最大值为3，故A正确；，故B正确；当时，由时，得，此时≤1，成立，故C错误；当时，是增函数，故D错误，故选：AB．65．【多选】（2022·全国·高一单元测试）已知函数关于函数的结论正确的是（）A．的定义域为R B．的值域为C．若，则x的值是D．的解集为【解析】函数的定义域是，故A错误；当时，，值域为，当时，，值域为，故的值域为，故B正确；当时，令，无解，当时，令，得到，故C正确；当时，令，解得，当时，令，解得，故的解集为，故D错误．故选：BC．。
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第3节 分段函数
【基础知识】
1.在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．
2．分段函数是一个函数，而不是几个函数；
3．分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集.
【规律技巧】
1.因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．
2.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则．
3.研究分段函数的性质，需把求函数的定义域放在首位，即遵循“定义域优先”的原则．
4. 含绝对值的函数是分段函数另一类表现形式.
【典例讲解】
例1、设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2－x ，x ∈ －∞，1 ，x 2，x ∈[1，＋∞ ，若f (x )>4，则x 的取值范围是______． 【方法技巧】求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．
【变式探究】已知f (x )的图象如图，则f (x )的解析式为________．
例2已知实数0≠a ，函数()⎩
⎨⎧≥--<+=1,21,2x a x x a x x f ，若()()a f a f +=-11，则a 的值为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
例3在2014年APEC 会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是
A. 32人
B. 35人
C. 40人
D. 45 人
【答案】B
【针对训练】
1、作出函数||()x f x x x
=+
的图象. 【答案】见解析
2、已知函数1,1(),1
x e x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，那么(2)f 的值是（ ）
A ．0
B ．
C ．21e -
D ．2
【答案】D
3、设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0
,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______
【答案】a ≤
4、设函数246,0()6,0
x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()(1)f x f >的解集是（ ） A.
B.
C.
D.
【答案】A 5、已知函数2log ,0,()3,0,x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪⎩
≤，则14f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ． 【答案】19
【练习巩固】
1.设⎩
⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则()5f 的值为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13
【答案】B
【解析】这是分段函数，求值时一定注意自变量所在的范围，不同范围选用不同的表达式． ()()()()(5)119151311f f f f f f f =====⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，故选B ．
2.设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，
0111()201
x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则3a b +的值为 ． 【答案】10 【解析】∵()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，∴()()11f f -=，即21=
2b a +-+①. 又∵311=1222f f a ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
∴1
41=23
b a +-+②. 联立①②，解得，=2. =4a b -。
∴3=10a b +-.
3、已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，x x x f 4)(2
-=
（1）求)2(-f
（2）求函数)(x f 的解析式;
（3）求[]5,0∈x 时，)(x f 的值域
【答案】（1）4-（2）224,0()4,0
x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩（3）[]-4,5 【解析】（3）[]22
0,5()4(2)4x f x x x x ∈=-=--当时， [][]()022,5f x 所以，在，上时增函数，在上是减函数
(2)4,(0)0,(5)5f f f =-==又
[]()-4,5f x 所以，的值域为
4、已知()⎪⎩⎪⎨⎧>+--≤+-=0
,32,0,3422x x x x x x x f 不等式()()x a f a x f ->+2在[]1,+a a 上恒成立，则实数a 的取值范围是
A. ()0,2-
B. ()0,∞-
C. ()2,0
D. ()2,-∞-
【答案】D
【解析】
试题分析：()x f 为R 上的减函数，故()()x a a x x a f a x f -<+⇔->+22，从而a x <2，所以()a a <+12，得2-<a。