高中数学一轮复习之分段函数

第3节 分段函数

【基础知识】

1.在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．

2．分段函数是一个函数，而不是几个函数；

3．分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集.

【规律技巧】

1.因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．

2.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则．

3.研究分段函数的性质，需把求函数的定义域放在首位，即遵循“定义域优先”的原则．

4. 含绝对值的函数是分段函数另一类表现形式.

【典例讲解】

例1、设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧

2－x ，x ∈ －∞，1 ，x 2，x ∈[1，＋∞ ，若f (x )>4，则x 的取值范围是______． 【方法技巧】求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．

【变式探究】已知f (x )的图象如图，则f (x )的解析式为________．

例2已知实数0≠a ，函数()⎩

⎨⎧≥--<+=1,21,2x a x x a x x f ，若()()a f a f +=-11，则a 的值为（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】A

例3在2014年APEC 会议期间，北京某旅行社为某旅行团包机去旅游，其中旅行社的包机费为12000元，旅行团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数在30人或30人以下，每张机票收费800元；若旅行团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，旅行团每张机票减少20元，但旅行团的人数最多不超过45人，当旅行社获得的机票利润最大时，旅行团的人数是

A. 32人

B. 35人

C. 40人

D. 45 人

【答案】B

【针对训练】

1、作出函数||()x f x x x

=+

的图象. 【答案】见解析

2、已知函数1,1(),1

x e x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，那么(2)f 的值是（ ）

A ．0

B ．

C ．21e -

D ．2

【答案】D

3、设函数()⎪⎩⎪⎨⎧≥-<+=0

,0,22x x x x x x f 若()()2≤a f f ，则实数a 的取值范围是______

【答案】a ≤

4、设函数246,0()6,0

x x x f x x x ⎧-+≥=⎨+<⎩，则不等式()(1)f x f >的解集是（ ） A.

B.

C.

D.

【答案】A 5、已知函数2log ,0,()3,0,x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪⎩

≤，则14f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ． 【答案】19

【练习巩固】

1.设⎩

⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则()5f 的值为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13

【答案】B

【解析】这是分段函数，求值时一定注意自变量所在的范围，不同范围选用不同的表达式． ()()()()(5)119151311f f f f f f f =====⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，故选B ．

2.设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，

0111()201

x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

，则3a b +的值为 ． 【答案】10 【解析】∵()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，∴()()11f f -=，即21=

2b a +-+①. 又∵311=1222f f a ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，

∴1

41=23

b a +-+②. 联立①②，解得，=2. =4a b -。∴3=10a b +-.

3、已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，当0≥x 时，x x x f 4)(2

-=

（1）求)2(-f

（2）求函数)(x f 的解析式;

（3）求[]5,0∈x 时，)(x f 的值域

【答案】（1）4-（2）224,0()4,0

x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨+<⎪⎩（3）[]-4,5 【解析】（3）[]22

0,5()4(2)4x f x x x x ∈=-=--当时， [][]()022,5f x 所以，在，上时增函数，在上是减函数

(2)4,(0)0,(5)5f f f =-==又

[]()-4,5f x 所以，的值域为

4、已知()⎪⎩⎪⎨⎧>+--≤+-=0

,32,0,3422x x x x x x x f 不等式()()x a f a x f ->+2在[]1,+a a 上恒成立，则实数a 的取值范围是

A. ()0,2-

B. ()0,∞-

C. ()2,0

D. ()2,-∞-

【答案】D

【解析】

试题分析：()x f 为R 上的减函数，故()()x a a x x a f a x f -<+⇔->+22，从而a x <2，所以()a a <+12，得2-