曲线在点处的法平面方程为
空间曲线的切线与法平面
1. 曲线的参数方程可视为: xx y(x) z(x) 切向量为T (1 (x) (x)) 2. 两方程可确定两个隐函数: y(x) z(x) 切向量为T (1 (x) (x)) 而(x) (x)要通过解方程 组得到.
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高等数学
主讲人： 苏本堂
第六节 多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面和法线
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主讲人： 苏本堂
一、空间曲线的切线与法平面
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限
位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法
平面.
M
T
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Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) ( y y0 )
法线方程 x x0
Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
y y0 z z0 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 )
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2 2 2 例2. 求曲线 x y z 6 , x y z 0 在点
M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程.
解. 方程组两边对 x 求导, 得
x z 1 1 z x dz dy , 解得 y z y z dx dx 1 1 曲线在点 M(1,–2, 1) 处有: dy dz 切向量 T , 1, dx M dx M
n (2,1,4) (2 x, 2 y, 1) (2,1,4) (4, 2, 1),
数学分析题库填空题
一填空题〔每题4分〕第十章多元函数微分学1、函数arcsin()x y 22+的定义域为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
2、函数z xy =arcsin 在点〔1，13〕沿x 轴正向的方向导数是———。
3、设f x y x y (,)sin cos =2，则f x (,)ππ2= ———。
4、设函数z z x y =(,)由方程232614640222x y z xy x y z -++--++=确定，则函数z 的驻点是______。
5、函数z x y xy=+-arctan1在点〔－1，2〕沿{}a =-13,方向的方向导数是——。
6、设u xy yx=+，则∂∂u y = ———。
7、函数y y x =()由12+=x y e y所确定，则d d yx= ———。
8、设u xy x y =--ln()tanh()，则d u = ———。
9、设函数z z x y =(,)由方程x y z e x y z ++=-++()222所确定，则∂∂zx= ———。
10、设函数F u v w (,,)具有一阶连续偏导数，且F F F u v w (,,),(,,),(,,)336333623361--=--=---=，曲面F x xy xyz (,,)=0过点P (,,)312-，则曲面过点P 的法线与yz 平面的交角为_______。
11、函数z x y =+ln()的定义域为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
12、设u x y z=⎛⎝ ⎫⎭⎪1/，则∂∂u z(,,)111= ———。
13、曲线x y z x 22202-+==⎧⎨⎩在点〔2，3，5〕处的切线与z 轴正向所成的倾角为———。
14、设z xyex y=+，则d z = ———。
15、设f x y x y (,)=+22，则d f = ———。
16、函数u zx y =+arcsin22的定义域为⎽⎽⎽⎽⎽⎽⎽。
17、设曲线x t y t z t =+=-=+2131223,,在t =-1对应点处的法平面为S ，则点(,,)-241到S 的距离d =______。
平面曲线的切线和法线
平面曲线的切线和法线在平面直角坐标系内，平面曲线是由$(x,y)$组成的点集。
每一个点都有一个切线和法线。
本文将详细介绍平面曲线的切线和法线，以及相关的知识点。
一、切线的定义及性质切线是通过曲线某个点的直线，且与曲线在该点处相切。
在平面直角坐标系内，曲线可以被表示为$y=f(x)$的形式。
假设曲线上有一个点$(x_0,y_0)$，那么它的切线斜率可以被表示为$$m=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$假设曲线的导数存在，那么切线的斜率可以表示为$f'(x_0)$。
切线的方程可以被表示为$y-y_0=f'(x_0)(x-x_0)$。
切线的几何意义是曲线在某个点处的局部趋势。
如果切线斜率是正的，那么曲线在该点处向上凸；如果切线斜率是负的，那么曲线在该点处向下凸。
在解决许多数理问题中，切线是非常有用的工具。
例如，在求解函数的最大值和最小值时，我们使用了导数以找到函数的临界点。
临界点是函数的导数为零或不存在的点，这些点被称为“潜在的”最值点。
二、法线的定义及性质我们可以通过曲线某个点的切线来定义法线。
曲线在该点处的法线是与切线垂直的直线。
法线的斜率可以被表示为$$m=-\frac{1}{f'(x_0)}$$其中$f'(x_0)$是曲线在该点处的导数。
因为曲线的导数是切线的斜率，所以法线的斜率是切线斜率的相反数的倒数。
法线的方程可以被表示为$y-y_0=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0)$。
法线的几何意义是切线的垂线。
这个垂线将切线分成两部分，在曲线上方和下方形成两个角度（我们可以称之为$\theta_1$和$\theta_2$）。
曲线在该点处的法线形成的角度为$\theta_1+\theta_2=90^{\circ}$。
三、曲率的定义及性质曲率是描述曲线的弯曲程度或平滑程度的测量标准。
数学分析习题及答案 (50)
习 题 12.5 偏导数在几何中的应用1． 求下列曲线在指定点处的切线与法平面方程：（1）⎪⎩⎪⎨⎧+==.1,2x x z x y 在⎪⎭⎫⎝⎛21,1,1点； （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=.2sin 4,cos 1,sin tz t y t t x 在2π=t 的点；（3）⎩⎨⎧=++=++.6,0222z y x z y x 在)1,2,1(-点；（4）⎩⎨⎧=+=+.,222222R z x R y x 在⎪⎭⎫⎝⎛2,2,2R R R 点。
解 （1）曲线的切向量函数为21(1,2,)(1)x x +，在⎪⎭⎫⎝⎛21,1,1点的切向量为1(1,2,)4。
于是曲线在⎪⎭⎫⎝⎛21,1,1点的切线方程为)12(41)1(2-=-=-z y x ，法平面方程为252168=++z y x 。
（2）曲线的切向量函数为(1cos ,sin ,2cos )2tt t -，在2π=t 对应点的切向量为。
于是曲线在2π=t 对应点的切线方程为222112-=-=+-z y x π， 法平面方程为(1)(1)2x y z π-++-+-=402x y π++--=。
（3）曲线的切向量函数为2(,,)y z z x x y ---，在)1,2,1(-点的切向量为(6,0,6)-。
于是曲线在)1,2,1(-点的切线方程为⎩⎨⎧-==+22y z x ， 法平面方程为z x =。
（4）曲线的切向量函数为4(,,)yz xz xy --，在⎪⎭⎫⎝⎛2,2,2R R R 点的切向量为22(1,1,1)R --。
于是曲线在⎪⎭⎫⎝⎛2,2,2R R R点的切线方程为222R z R y R x +-=+-=-，法平面方程为022=+--R z y x 。
2.在曲线32,,t z t y t x ===上求一点，使曲线在这一点的切线与平面102=++z y x 平行。
解 曲线的切向量为2(1,2,3)t t ，平面的法向量为(1,2,1)，由题设，22(1,2,3)(1,2,1)1430t t t t ⋅=++=，由此解出1t =-或13-，于是)1,1,1(-- 和 )271,91,31(--为满足题目要求的点。
微分几何期末复习题
微分几何复习题一、填空题1. 向量()(,3,)r t t t a =具有固定方向，则a = 。
2. 非零向量()r t 满足(),,0r r r '''=的充要条件是 。
3. 若向量函数()r t 满足()()0r t r t '⨯=，则()r t 具有固定 。
4. 曲线()r r t =的正常点是指满足 的点.5. 曲线3()(2,,)t r t t t e =在任意点的切向量为 。
6. 曲线()(cosh ,sinh ,)r t a t a t at =在0t =点的切向量为 。
7. 曲线()(cos ,sin ,)r t a t a t bt =在0t =点的切向量为 。
8. 设曲线在P 点的切向量为α，主法向量为β，则过P 由,αβ确定的平面 是曲线在P 点的 。
9. 若0()r t 是曲线()r r t =的正则点，则曲线()r r t =在0()r t 的密切平面方程是 。
10. 曲线()r r t =在点0()r t 的单位切向量是α，则曲线在0()r t 点的法平面方程是 。
11. 一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率τ= 。
12. 曲线()r r t =在t = 1点处有2γβ=，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率 (1)τ= 。
13. 曲线x =cos t ，y =sin t , z =t 在t =0处的切线方程是 。
14. 曲线的主法向量的正向总是指向 。
15. 空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量 。
16. 曲线()r t ={t 3-t 2-t , t 2-2t +2, 2}上的点不是正常点的是t = 。
17. 曲线()r r t =的曲率是 。
18. 曲线()r r t =的挠率是 。
19. 一般螺线的曲率和挠率的关系是 。
20. 曲率为0的曲线是 , 挠率为0的曲线是 。
21. 设有曲线2:,,t t C x e y e z t -===，当1t =时的切线方程为 。
空间曲线的参数方程与切线法平面的计算
空间曲线的参数方程与切线法平面的计算空间曲线是三维空间中的一条曲线，它可以通过参数方程的方式来表示。
利用参数方程，我们能够确定曲线上的每一个点的坐标，并且通过曲线在某一点的切线来了解曲线在该点的局部性质。
本文将介绍空间曲线的参数方程的基本原理，并详细讲解如何计算切线法平面。
1. 空间曲线的参数方程空间曲线可以通过参数方程的形式来表示，其一般形式为：x = f(t)y = g(t)z = h(t)其中，x、y、z分别表示曲线上一点的三维坐标，t为参数，f(t)、g(t)和h(t)为定义在参数域上的函数。
通过给定不同的参数值t，我们可以得到曲线上不同点的坐标。
举例来说，我们来考虑一个螺旋线，其参数方程为：x = cos(t)y = sin(t)z = t在该参数方程中，通过改变参数t的值，我们可以确定螺旋线上不同点的坐标。
2. 切线法平面的计算切线是曲线在某一点处的线性近似，切线法平面则是通过该切线来定义的平面。
计算切线法平面的一般步骤如下：1) 首先，我们需要确定曲线上某一点的参数值t0。
2) 然后，我们计算该点的切向量，即曲线在该点处的切线方向。
切向量的计算可以通过求导来进行：切向量 = (dx/dt, dy/dt, dz/dt)其中，dx/dt、dy/dt和dz/dt分别表示x、y和z对参数t的导数。
3) 接下来，我们将切向量归一化，得到单位切向量。
单位切向量的计算公式为：单位切向量 = 切向量 / |切向量|其中，|切向量|表示切向量的模长。
4) 最后，我们可以根据单位切向量和曲线上某一点的坐标来确定切线法平面的方程。
设曲线上某点的坐标为(x0, y0, z0)，切线法平面的方程可以表示为：A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0其中，A、B、C分别为单位切向量的坐标。
通过以上步骤，我们可以计算出曲线上任意一点的切线法平面。
综上所述，空间曲线的参数方程能够准确地表示曲线上各点的坐标，而切线法平面通过计算切向量来定义切线的近似平面。
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程
求空间曲线在一点处的切线方程和法平面方程空间曲线的切线方程和法平面方程是解析几何中的重要概念，用于描述曲线在特定点的几何性质。
在三维空间中，曲线的切线方程是曲线在某一点处的瞬时方向，而法平面方程则描述了曲线在该点处的法向量所确定的平面。
首先，我们来讨论空间曲线的切线方程。
对于参数方程形式的曲线，我们可以通过求导来获得曲线在某一点处的切向量（或切线方向）。
对于曲线的参数方程：\[x = f(t)\]\[y = g(t)\]\[z = h(t)\]其中，x、y、z分别是曲线上一点P的坐标，而t是曲线的参数。
在给定参数值t0的情况下，P在曲线上的坐标为：\[x_0 = f(t_0)\]\[y_0 = g(t_0)\]\[z_0 = h(t_0)\]我们可以通过求导来计算参数方程关于t的导数。
导数表示了曲线的切线在每个点上的瞬时方向。
对于曲线的参数方程，它的切向量可以表示为：\[\vec{T} = \frac{{d\vec{r}}}{{dt}}\]其中，\(\vec{r}\)是曲线上任意一点P的位置矢量（\(\vec{r} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}\)）。
即使我们不知道\(\vec{r}\)的具体表达式，我们仍然可以使用参数方程计算切向量。
根据链式法则，我们有：\[\vec{T} = \frac{{d\vec{r}}}{{dt}} = \frac{{dx}}{{dt}}\vec{i}+ \frac{{dy}}{{dt}}\vec{j} + \frac{{dz}}{{dt}}\vec{k}\]根据上述求导结果，我们可以得到切向量在参数值t0时的具体值。
切向量\(\vec{T}\)是曲线在参数为t0的点P处的切线方向。
通过归一化切向量，我们可以得到单位切向量\(\vec{N}\)：\[\vec{N} = \frac{{\vec{T}}}{{\|\vec{T}\|}}\]得到切向量后，我们可以通过曲线上点P的坐标和切向量来建立切线方程。
平面曲线的切线与法线
x(t0 )( x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0 . (3)
(B) 用直角坐标方程表示的空间曲线：
F(x, y, z) 0,
L:
G(
x,
y,
z)
0
.
(4)
设 P0( x0, y0, z0 ) L; F ,G 在点 P0 近旁具有连续的
一阶偏导数, 且
( 2 3 3 2 )( x 3 ) (1 3 )( y 3 2 ) 0, (1 3 )( x 3 )(23 3 2 )( y 3 2 ) 0.
若在上面的 MATLAB 指令窗里继续输入如下指 令, 便可画出上述切线与法线的图象 (如图).
hold on; a=(pi)^(1/3); b=a^2; ezplot((2*a-b)*(x-a)+(1+a)*(y+b)); ezplot((1+a)*(x-a)-(2*a-b)*(y+b))
y0 ) 0;
(1)
法线方程 : Fy (P0 )( x x0 ) Fx (P0 )( y y0 ) 0 .
例1 求笛卡儿叶形线
2(x3 y3) 9xy 0
在点 P0(2,1) 处的切线与法线. 解 设 F ( x, y) 2( x3 y3 ) 9x y. 由§1 例 2 的讨
例2 用数学软件画出曲线 L : x2 y sin x y 0
的图象；并求该曲线在点 P0 ( 3 , 3 2 ) 处的
切线与法线.
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解 在 MATLAB 指令窗内执行如下绘图指令:
syms x,y; ezplot(x^2+y-sin(x*y),[-4,4],[-8,1]);
考研数学一(多元函数微分学)模拟试卷2(题后含答案及解析)
考研数学一（多元函数微分学）模拟试卷2(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设函数u=u(x，y)满足u有二阶连续偏导数，则u11’’(x，2x)= ( ) A．B．C．D．正确答案：B解析：等式u(x，2x)=x两边对x求导得u1’+2u2’=1，两边再对x求导得u11’’+2u12’’+2u21’’+4u22’’=0，①等式u1’(x，2x)=x2两边对x求导得u11’’+2u12’’=2x，②将②式及u12’’=u21’’，u11’’=u22’’代入①式中得知识模块：多元函数微分学2．利用变量替换u=x，，可将方程化成新方程( )A．B．C．D．正确答案：A解析：由复合函数微分法于是知识模块：多元函数微分学3．若函数其中f是可微函数，且则函数G(x，y)= ( )A．x+yB．x—yC．x2一y2D．(x+y)2正确答案：B解析：设，则u=xyf(t)，于是即G(x，y)=x一y．知识模块：多元函数微分学4．已知du(x，y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[-3x2y2+bcos(x+2y)]dy，则( ) A．a=2，b=一2B．a=3，b=2C．a=2，b=2D．a=一2，b=2正确答案：C解析：由du(x，y)=[axy3+cos(x+2y)]dx+[3x2y2+bcos(37+2y)]dy可知，以上两式分别对y，x求偏导得3axy2－2sin(x+2y)=6xy2－bsin(s+2y),故得a=2,b=2. 知识模块：多元函数微分学5．设u(x，y)在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且则u(x，y)的( )A．最大值点和最小值点必定都在D的内部B．最大值点和最小值点必定都在D的边界上C．最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上D．最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上正确答案：B解析：令由于B2一AC＞0，函数u(x，y)不存在无条件极值，所以，D的内部没有极值，故最大值与最小值都不会在D的内部出现．但是u(x，y)连续，所以，在平面有界闭区域D上必有最大值与最小值，故最大值点和最小值点必定都在D的边界上．知识模块：多元函数微分学6．函数f(x，y)=exy在点(0，1)处带皮亚诺余项的二阶泰勒公式是( ) A．B．C．D．正确答案：B解析：直接套用二元函数的泰勒公式即知B正确．知识模块：多元函数微分学7．函数f(x，y)=x4一3x3y2+x一2在点(1，1)处的二阶泰勒多项式是( )A．一3+(4x3一6xy2+1)x一6x2.y.y+[(12x2一6y2)x2一24xy.xy一6x2.y2] B．一3+(4x2—6xy2+1)(x一1)一6x2y(y一1)+[(12x2一6y2)(x—1)2一24xy(x 一1).(y一1)一6x2(y一1)2]C．一3一(x一1)一6(y一1)+[6(x一1)2一24(x一1)(y一1)一6(y一1)2 D．一3一x一6y+(6x2一24xy一6y2)正确答案：C解析：直接套用二元函数的泰勒公式即知C正确．知识模块：多元函数微分学8．若向量组α1，α2，α3，α4线性相关，且向量α4不可由向量组α1，α2，α3线性表示，则下列结论正确的是( )．A．α1，α2，α3线性无关B．α1，α2，α3线性相关C．α1，α2，α4线性无关D．α1，α2，α4线性相关正确答案：B解析：若α1，α2，α3线性无关，因为α4不可由α1，α2，α3线性表示，所以α1，α2，α3，α4线性无关，矛盾，故α1，α2，α3线性相关，选(B)．知识模块：线性代数部分填空题9．设则fz’(0，1)=___________．正确答案：1解析：知识模块：多元函数微分学10．设f可微，则由方程f(cx一az，cy一bz)=0确定的函数z=z(x，y)满足azx’+bzy’=_________．正确答案：c解析：本题考查多元微分法，是一道基础计算题．方程两边求全微分，得f1’.(cdx—adz)+f2’.(cdy—bdz)=0，即知识模块：多元函数微分学11．设f(z)，g(y)都是可微函数，则曲线在点(x0，y0，z0)处的法平面方程为_____．正确答案：f’(z0)g’(y0)(x-x0)+(y—y0)+g’(y0)(z—z0)=0解析：曲线的参数方程为：x=f[g(y)]，y=y，z=g(y)．知识模块：多元函数微分学12．函数的定义域为_______．正确答案：解析：由可得．知识模块：多元函数微分学13．设z=eminxy，则dz=___________．正确答案：esinxycos xy(ydx+xdy)解析：zx’=esinxycosxy.y，zy’=esinxycos xy.x；dz=esinxycos xy(ydx+xdy)．知识模块：多元函数微分学14．设函数f(x，y)=exln(1+y)的二阶麦克劳林多项式为，则其拉格朗日型余项R2=____________．正确答案：ξ在0，x之间，η在0，y之间解析：知识模块：多元函数微分学15．设z=eminxy，则dz=___________．正确答案：esinxycos xy(ydx+xdy)解析：zx’=esinxycosxy.y，zy’=esinxycos xy.x；dz=esinxycos xy(ydx+xdy)．知识模块：多元函数微分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
多元函数微分学填空题(2)
设 ，其中 均可微，则 ；
16．难度0.3答案0
设 ，其中 可微，则 ；
17．难度0.2答案
设 ，其中 可微，则 ；
18．难度0.2答案
设 ，其中 可微，则 ；
19．难度0.3答案
设 ，其中 可微，则 ；
20．．难度0.3答案
设 其中函数 具有二阶连续偏导数，求 ；
21．难度0.3答案
已知函数 ，则 ；
5．难度0.1，答案
已知函数 ，则 ；
6．难度0.2，答案
已知函数 ，则 ；
7．难度0.2，答案
已知函数 ，则 ；
8．难度0.2，答案
已知函数 ，则 ；
9．难度0.2，答案
已知函数 ，则 ；
10．难度0.2，答案
已知函数 ，则 ；
11．难度0.3，答案
已知函数 ，则 ；
12．难度0.1，答案
的定义域是；
22．难度0.1，答案
；
23．难度0.1，答案
；
24．难度0.2，答案
；
25．难度0.2，答案
；
26．难度0.2，答案
27．难度0.2，答案不存在
二重极限 值为；
28．难度0.2，答案不存在
二重极限 值为；
29．难度0.2，答案
二重极限 ；
30．难度0.3答案
；
31．难度0.3答案全平面
的定义域是；
13．难度0.1，答案
的定义域是；
14．难度0.1，答案
的定义域是；
15．难度0.1，答案
的定义域是；
16．难度0.2，答案
的定义域是；
17．难度0.2，答案
的定义域是；
高数第九章 多元函数微分学的应用
第九章 多元函数微分学的应用第一节 空间曲线的切线与法平面设空间曲线Γ的参数方程为()x x t =, ()y y t =, ()z z t =其中[],t αβ∈,()x t ,()y t ,()z t 在区间[],αβ上均可导.考虑曲线Γ上对应于0t t =的一点0000(,,)P x y z 及对应于0Δt t t =+的一点000,Δ,ΔP x x y y z z +∆++（），则曲线在0P 处的割线0P P 的直线方程为. 000x x y y z z xyz---==∆∆∆图9-1当P 沿着Γ趋于0P 时，割线0P P 的极限位置0P T 就是曲线Γ在0P 处的切线（图9-1）. 用Δt 除上式的各分母，得000,x x y y z z x y z tt t---==∆∆∆∆∆∆令0P P →（即Δ0t →），有d d x x tt∆→∆,d d y y tt∆→∆,d d z z tt∆→∆，则曲线在0P 处的切线方程为000000()()()x x y y z z x t y t z t ---=='''. （9-1-1）切线的方向向量()()()()000x t y t z t '''，，称为曲线的切向量，通过点0P而与切线垂直的平面称为曲线在0P 处的法平面，其方程为()()()()()()0000000x t x x y t y y z t z z '''=－＋－＋－. （9-1-2）如果曲线的方程为(,,)0,(,,)0.F x y z G x y z =⎧⎨=⎩（9-1-3）000,,P x y z （）为曲线上一点.设F G ，在0P 的某邻域内是1C 类函数，且雅可比行列式(,)0,(,)P F G y z ∂≠∂ (9-1-4)则方程组在此邻域内确定了一组函数()(),y y x z z x ==，即以x 为参数的形式，满足()()0000,y y x z z x ==，并且有 (,)d (,)(,)d (,)F G y z x F G xy z ∂∂=∂∂， (,)d (,)(,)d (,)F G z x y F G x y z ∂∂=∂∂, 则曲线在0P 处的切线方程为 00000,1()()x x y y z z y x z x ---=='' （9-1-5）即为000;(,)(,)(,)(,)(,)(,)p p p x x y y z z F G F G F G y z z x x y ---==∂∂∂∂∂∂曲线在0P 处的法平面方程为00000()()()()()0x x y x y y z x z z ''-+-+-= （9-1-6）例1 求螺旋线cos ,x a t = s i n ,y a t = z a m t= 在π4t =处的切线方程与法平面方程.解 s i n ,x a t '=- c o s ,y a t '= z a m '=，则曲线在π4t=处的切线方程为π2211amx y z---==-法平面方程为π()()()0224amx a y a z--+-+-=，即2π4x y z am-++=.例2 求曲线2229,.x y zz xy⎧++=⎨=⎩在点(1,2,2)M处的切线方程与法平面方程.解令222,,F x y z x y z++（）=-9，(,,)G x y z xy z-=，于是2244(,)80111(,)MMy zF Gxy z∂===-≠--∂.还可求得(,)10,(,)MF Gz x∂=∂(,)6.(,)MF Gx y∂=-∂则切线方程为1228106x y z---==--;法平面方程为1)+10(2)6(2)0x y z---8(--＝，即4530x y z-+=第二节 曲面的切平面与法线设曲面Σ的方程为(,,)0F x y z =，如图9-2所示，点0000(,,)M x y z 在曲面Σ上.过0M 在Σ上任作一条曲线Γ，设Γ的参数方程为(),(),()x x t y y t z t ===图9-2且0M 对应于参数0t ，假定在0t t =处，(),(),()x x t y y t z t ===均可导，且导数不全为0，则()()()(),,0F x t y t z t ≡.在0t 处对上式关于t 求导，得000000000000(,,)()(,,)()(,,)()0x y z F x y z x t F x y z y t F x y z z t '''++=引入向量()000000000(,,),(,,),(,,)x y z F x y z F x y z F x y z =n ，()000(),(),()x t y t z t '''=s .注意到s 是曲线Γ在0M 处的切向量，而·0=n s ，即说明不管Γ的选取方式如何，其中0M 的切向量总垂直于定向量n .所以曲面Σ上通过0M 的一切曲线在点0M 的切线均在同一个平面内，这个平面称为曲面Σ在0M 的切平面，方程为()()()()00000000,,,,x y F x y z x x F x y z y y '-+'-()()0000,,0z F x y z z z +'=－ （9-2-1）通过0M 而垂直于切平面的直线称为曲面Σ在该点的法线，方程为000000000000(,,)(,,)(,,)x y z x x y y z z F x y z F x y z F x y z ---'''==, （9-2-2）而把n 称为曲面的法向量.若曲面Σ以显函数(),z fx y =的形式给出，则可记()(),,,F x y z fx y z =-，则曲面在0M 处的法向量为()()()0000 ,,1xy f xy f x y =''n ，，－由此得出曲面在0M 处的切平面和法线方程分别为()()()()()0000000,,0x y f x y x x f x y y y z z '-'---=＋，0000000(,)(,)1x y x x y y z z f x y f x y ---''-==.例1 求球面222=14x y z ++在点()123，，处的切平面及法线方程. 解 ()222,,14Fx y z x y z =++-， ()()1,2,3(),,|2,4,6x y z F F F '=''n =，所以，在点()123，，处的切平面方程为()()()21+42+630x y z =－－－，即 23140x y z ++-=； 法线方程为123.123x y z ---==空间曲面方程的形式是多种多样的.下面我们讨论一种较为复杂的形式.若曲面Σ以参数方程形式(,),x x u v = (,),y y u v = (,)z z u v = （9-2-3） 给出，()0000,,M x y z 为曲面上一点，现在我们要求曲面∑过点0M 处的切平面方程和法线方程.显然，解决这一问题最直接的方法就是在3个形式方程（9-2-3）中选择两个相对简单的方程组成方程组，例如(,),(,).x x u v y y u v =⎧⎨=⎩ （9-2-4）解此方程组得(),,(,)u u x y vv x y ==，再将此方程组代入第3个方程，如()()()(),,,,z z u v z u x y v x y ==，再用前面的方法求得曲面∑上过0M 的切平面方程和法线方程.然而，当式(9-2-3)中方程都比较复杂时，上述做法是很难实现的，下面我们将介绍一种一般的方法.基于上面直接方法的思路，我们现在来推导这一问题的一般公式.设0000(,,)M x y z 为曲面上一点，且对应的参数为00(,)u v ，首先构造方程组(,),(,).x x u v y y u v =⎧⎨=⎩ 这里需特别指出的是，这个方程组中方程的选择要求其雅可比行列式不为零，即000000(,)0000(,)(,)(,)0(,)(,)(,)u u x y v v x u v y u v x y J x u v y u v u v ∂==≠∂否则，通过调换方程使得上述条件成立. 在（9-2-4）中，记(,,,)(,)0(,,,)(,)0F x y u v x x u vG x y u v y y u v =-==-=我们假设第八章第六节定理3的条件成立.由此定理有001(,)x v u y u v J=； 001(,)x u v y u v J =-；001(,)y v u x u v J=-； 001(,)y u v x u v J=其中J 为式（9-2-4）在点00(,)x y 处的雅可比行列式. 记()(),,,F x y z z u v z =-,则有1(,)(,)x u x v x y z F z u z v J u v ∂=+=-∂；1(,)(,)y u y v y z x F z u z v J u v ∂=+=-∂；1z F =-.将对应参数点00(,)u v 代入,x y F F 即得曲面Σ在0M 处的切平面方程000000(,)0(,)0(,)0(,)(,)(,)()()()0(,)(,)(,)u v u v u v y z z x x y x x y y z z u v u v u v ∂∂∂-+-+-=∂∂∂其行列式形式可表示为000000000000000000(,)(,)(,)(,)(,)(,)0(,)(,)(,)u u u v v v x x u v y y u v z z u v x u v y u v z u v x u v y u v z u v ---'''=''' （9-2-5）法线方程为000000000000(,)(,)(,)(,)(,)(,).(,)(,)(,)(,)(,)(,)u v u v u v x x u v y y u v z z u v y z z x x y u v u v u v ---==∂∂∂∂∂∂ （9-2-6）注意00(,)(,)(,)u v y z u v ∂∂,00(,)(,)(,)u v z x u v ∂∂,00(,)(,)(,)u v x y u v ∂∂不能全为零.例2 曲面的参数方程为e ,,e ,u v u v x u y u v z +-⎧=+⎪=+⎨⎪=⎩求曲面在1,1u v ==-处的切平面及法线方程.解 20002,0,e .x y z ===2(1,1)(1,1)11(,)2e ee(,)u vu vy z u v ----∂==--∂，2(1,1)(1,1)ee (,)3e (,)1eeu v u vu vu vz x u v ---++--∂==∂+，(1,1)(1,1)1e e(,)1(,)11u vu vx y u v ++--+∂==∂.则在点()202,0,e M 处曲面的切平面方程为()()()2222e23e 0e 0x y z ----=++，即 2222e 3e 3e 0x y z -+++=； 法线方程为2222e 2e3e1x y z --==-.注：其实在本例中我们只要选择好方程，构成方程组，用直接方法简单得多.因为将u v y +=代入第1个方程得e yu x =-，将这一结果回代入第2个方程得e yv y x =-+，将,u v 代入第3个方程得ln 22e ,y z x y =--再令(),,22e ln 0y F x y z x y z =---=，即可直接得到上述结果.但我们这种方法只能解决一些相对简单的问题.第三节 方向导数我们称R n 空间中任一单位向量为方向.当2n =时，任何方向可表示()cos ,sin θθ=e ，其中θ为该方向与x 轴正向的夹角；当3n =时，任何方向可表示为()cos ,cos ,cos αβγ=e ，其中αβγ，，分别为该方向的方向角.函数(),,u f x y z =在(),,M x y z 处的偏导数,,u u ux y z∂∂∂∂∂∂表示函数沿各坐标轴方向的变化率，在许多实际问题中，常常需要知道函数在此点沿任何方向或某个方向的变化率，即沿该方向的方向导数.设函数(),,u f x y z =在开集3D R ∈内有定义，给定点0000(,,)P x y z D ∈及方向e (c o s ,c o s,c o s l αβγ=，则过点0000(,,)P x y z ，方向为e l 的直线L 的参数方程为 cos ,0x x t α=+ 0cos ,y y t β=+ 0cos ,z z t γ=+其中t 为参数，在直线L 上任取一点P D ∈，其坐标为000 (Δcos ,Δcos ,Δcos )x l y l z l αβγ+++即当0t =与Δt l =时，分别对应于L 上的点0P 与P （如图 9 - 3）.图9 -3定义 如果极限 0000000(cos ,cos ,cos )(,,)liml f x l y l z l f x y z lαβγ∆→+∆+∆+∆-∆存在，则称这个极限为函数(),,u f x y z =在点0000(,,)P x y z 沿方向e l 的方向导数，并记作P f l ∂∂或P u l∂∂或0()l f P '，即00000000(cos ,cos ,cos )(,,)limP l f x l y l z l f x y z u llαβγ∆→+∆+∆+∆-∂=∂∆若用(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)x y z ===e e e 分别表示x 轴,y 轴,z 轴的正向，如果 ,f x∂∂,ffy z∂∂∂∂存在，则函数(),,u f x y z =沿x 轴,y 轴,z 轴的方向导数为,f x∂∂,ffy z∂∂∂∂一般地，我们可以推得以下方向导数的计算公式. 定理 若函数(),,u f x y z =在点()0000,,P x y z 处可微，则函数f 在0P 处沿任意方向的方向导数存在，且有以下的求导公式：cos cos cos f u u ul x y zαβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂， （9-3-1）其中(cos ,cos ,cos )αβγ为l e 方向.证 当(),,u f x y z =在0P 处可微时，u 的全增量可表示成ΔΔΔΔ(u x y z o ρ=+++=ΔΔΔΔ()u x y z o ρ=+++，其中ρ=()uu x u y u z o x y z ρρρρρρ∆∂∆∂∆∂∆=+++∂∂∂.如果限制点000+Δ,+Δ,+ΔP x x y y z z （）取在射线l 上，则cos ,xαρ∆=c o s ,yβρ∆=c o s ,zγρ∆= 于是 0l i m c o s c o s co s u u u u x yzραβγρ→∆∂∂∂=++∂∂∂. 例 22u x y z =+-,23l =++e i j k , 试求(1,1,1)u l∂∂解 先求出l 的方向余弦cos α==，cos β==，cos γ==.再求出偏导数2,u x x∂=∂2,u y y∂=∂1.u z∂=-∂于是(1,1,1)22u l∂=+=∂.第四节 无约束极值与有约束极值在第八章第二节中，我们说明了多元连续函数在有界闭区域上存在最大值和最小值.但在实际应用问题中却要求我们给出求多元函数最大值与最小值的方法.跟一元函数一样，多元函数的最大值与最小值是与多元函数的极值密切相关的.为此，我们先介绍二元函数的极值的定义以及判断极值的必要条件与充分条件，至于自变量多于两个的情形可以类似地加以解决.一、 无约束极值定义 设二元函数()=,u f x y 定义在开集2ΩR ∈上，如果存在000,P x y （）的某邻域0()ΩU P ⊂，使得对任意()0,()P x y U P ∈有()00,(,)f x y f x y ≥，则称点0P 为f 的极小值点,00(,)f x y 称为f 的极小值；若存在()000,P x y 的某个邻域0()ΩU P ⊂，使得对任意()0,()P x y U P ∈有()00,(,)f x y f x y ≤则称点0P 为f 的极大值点,00(,)f x y 称为f 的极大值.极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点.定理1 (极值点的必要条件) 如果二元函数(),u f x y =在区域D 内可微，那么函数(),z fx y =在D 内一点000(,)P x y 取得极值的必要条件是00(,)0x f x y =，00(,)0y f x y =证 因为(),f x y 在点000(,)P x y 取得极值，于是一元函数0(,)f x y 在0x x =处也取得极值，由一元函数取得极值的必要条件，有00(,)0,x x x f x y ==即00(,)0x f x y =.同理可得00(,)0y f x y =.与一元函数类似，我们把12n =(,,,)u f x x x 的一阶偏导数全为0的点称为f 的驻点(稳定点).定理1告诉我们，偏导数存在的函数其极值点必是驻点，但其逆不成立.有些函数偏导数不存在的点,也可能是极值点.一般地，可根据下面定理来判断驻点是否为函数的极值点.定理2（充分条件） 设二元函数(),z f x y =是开区域2R G ⊂内有二阶连续偏导数，()00,x y G ∈是f 的驻点，令()()()000000,,,,xx xy yy f x y A f x y B f x y C """==，=，则(),f x y 在00(,)x y 处是否取得极值的条件如下：（1）当20AC B >－时具有极值，且当0A <时有极大值，当0A >时有极小值.（2）当20AC B <－时没有极值（3）当20AC B -=时，可能有极值，也可能没有极值. 例1 求()3322,+3+39f x y x y x y x =--的极值点.解 先求f 的驻点，解方程组223690,360.f x x xf y y y∂⎧=+-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+=∂⎪⎩ 得四个驻点()()()()1234103,01232P P P P --，，，，，，.又66,0,66xx xy yy f x f f y ''''''=+==-+对()211,0,0,P AC B ->且0A >，则1P 是f 的极小值点； 对()223,0,0P AC B --<，则2P 不是极值点； 对()231,2,0P AC B -<，则3P 不是极值点；对()243,2,0P AC B -->，且0A <，则4P 是f 的极大值点.与一元函数类似，我们可以利用极值来求函数的最值.如果函数f 在有界闭集D 上连续，则最值必存在，其一般求法是：将f 在D 内的一切驻点处及偏导数不存在的点处的函数值与D 的边界上的函数值进行比较，最大的即为最大值，最小的即为最小值. 在实际问题中，往往根据问题的实际意义来简化判断过程.例2 试在x 轴，y 轴与直线2x y π+=围成的三角形闭区域上求函数()sin sin sin u x y x y =+-+的最大值.解 解方程组cos cos()0,cos cos()0.ux x y xu y x y y ∂⎧=-+=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+=∂⎪⎩得2π,2π.x x y k y x y k ±=++⎧⎨±=++⎩ ()N k ∈,在区域内部的解只有2π2π,33⎛⎫⎪⎝⎭,此点处2u =,而在边界0,0,2πx y x y ==+=上均有0u =，则u 在2π2π,33⎛⎫⎪⎝⎭处取得最大值2.许多工程问题，常常需要根据两个变量的一些实际数值，来找出这两个变量的函数关系的近似表达式，这样的近似表达式称为经验公式. 根据二元函数极值的一个实际应用，下面介绍数据处理技术中的一种常见方法——最小二乘法.设变量,x y 之间存在某种关系，通过实验找到n 组相关的数据()()11,,,n x y x y n ，，这些数据在xOy 面上呈现一种直线分布状态.于是，我们设想应能找到一条直线y ax b =+来刻画变量,x y 之间的函数关系.当然y a x b =+并不能满足所有的点(),i i x y .最理想的就是使得y a x b=+在()1,2,,i x i n = 处的函数值与实际数据的偏差都很小.记()i i i y ax b δ=-+.显然，用1ni i δ=∑来表示误差的总体效果不妥，因为i δ有正有负，于是想到用21nii δ=∑来表示总体误差.我们的任务即为寻求y ax b =+，使21ni i δ=∑最小.在这种意义下的直线y ax b =+称为最小二乘意义下的最佳拟合直线.其过程实际上就是求21nii u δ==∑的最小值.为此，先求驻点.112()()0,2()(1)0.ni i i i ni i i uy ax b x a u y ax b b==∂⎧=---=⎪∂⎪⎨∂⎪=---=⎪∂⎩∑∑ 即211111,.n n ni i i i i i i n ni i i i a x b x x y ax nb y =====⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∑∑∑∑∑ 此方程组的惟一一组解即为u 的最小值点.*例3 为了测定刀具的磨损速度，我们做这样的实验：经过一定时间（每隔1h ），测量1次刀具的厚度，得到实验数据如下：解 首先，要确定()y f t =的类型. 为此，在直角坐标系下描点，从图9-3可以看出，这些点大致接近一条直线.因此，设()f t at b =+.求[]72()ii i u yat b ==-+∑的最小值，即求方程组图9-377720007700,8.i i i i i i i i i i i a t b t y t at b y =====⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩∑∑∑∑∑ 把(),i i t y 代入方程组，得14028717,288208.5.a b a b +=⎧⎨+=⎩ 解得0.3036,27.125a b =-=即 0.303627.125.y t =-+ 二、条件极值以上讨论的多元函数极值问题，各自变量是相互独立变化的.然而，更为普遍的是，极值问题常常附加一些约束条件.附加某些条件的极值称为条件极值.相应地，前面讨论的极值问题叫做无条件极值或普通极值.有的条件极值可以化成无条件极值，但更多的条件极值无法化成无条件极值. 条件极值常记作()m i n m a x ,,u u x y z =（或）， （9-4-1）s.t () ,,0x y z ϕ=， （9-4-2）其中（9- 4 -1）式中函数(),,u x y z 称为目标函数，条件（9-4-2）式中的(),,0x y z ϕ=称为约束条件.通常求解条件极值问题，都采用下述的拉格朗日乘数法.定理 3 设n 元函数()()1212,,,,,,n n f x x x x x x ϕ ，在开区间ΩR n⊂内有一阶连续偏导数，且ix ϕ∂∂()1,2,i n = ，不全为零，则函数()12,,,n u f x x x = 在条件()12,,0n x x x ϕ⋯=，下的极值点必为拉格朗日函数1212,,,,,,n n L f x x x x x x λϕ= （）+（） （9-4-3）的驻点，其中λ叫做拉格朗日乘数.证 不妨设0nx ϕ∂≠∂，根据隐函数存在定理，方程()12,,0n x x x ϕ= ，确定了一个函数121,,n x g x x x =n －（，）.于是()12,,n u f x x x = ，在条件()12,,0n x x x ϕ= ，下的条件极值问题，就转化成为()()121121,,,,,n n u f x x x g x x x = －－，，的无条件极值问题。
微分几何试题库(填空题)
108．曲面 在（0，1）处有 ， ，则在（0，1）处L,M,N分别等于。
109．曲面 的第二类基本形式II=。
110．若曲面 在（0，1）处的第二基本形式是 ，则在（0，1）点的处， 。
111．曲面 的第二类基本量L= ，其中 =。
112．曲面 的第二类基本量M=，其中 =。
156．曲面上取曲率网为曲纹坐标网，则沿u-线的方向对应的主曲率为 =。
，(s＜c＝表示的曲线是(C)的。
60．曲线的切线与一固定方向成固定角的曲线称为。
61．曲线的与一固定方向作固定角，则该曲线是一般螺线。
62．一般螺线的主法线与一固定方向。
63．主法线与一固定方向垂直的曲线是。
64．曲线的副法线与一固定方向作成固定角，这样的曲线称为。
65．如果一曲线是一般螺线，则它的副法线与一固定方向。
66．如果一曲线的切向与一固定方向成固定角，则曲线的主法线与这一固定方向
。
67．如果一曲线的切向与一固定方向成固定角，则曲线的副法线与这一固定方向。
68．如果一曲线的主法线与一固定方向垂直，则这曲线的切向与这固定方向。
69．如果一曲线的主法线与一固定方向垂直，则这曲线的副法线与这固定方向。
70．如果一曲线的副法线与一固定方向成固定角，则这曲线的切向与
147．曲面S在P点的单位法向量为 ，则在P点的一个切向 是主方向的充分必要条件是。
148设曲面S在P点的单位法向量为 ，若曲面在P点的一个方向 满足 ，则 一定是曲面在P点的。
149．若曲面在P点的一个方向 是主方向，则 ，其中 是曲面在P点的单位法向量， =。
150．曲面上一曲线，如果它的每一点处的切方向是主方向，则称其为。
大学课程《高等数学B》期末试卷及参考答案
共 8 页 第 1 页《高等数学B 》课程期末试卷一.填空题(本题共9小题，每小题4分，满分3 6分)1. 幂级数1(3)3nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域为 ； 2. 设222()z y f x y =+-，其中()f u 可微， 则yzx x z y∂∂+∂∂= ； 3. 曲线224x y z z x y++=⎧⎨=+⎩在点(1,1,2)处的法平面方程是 ；4. 设C 为曲线22241x y z z z ⎧++=⎨=⎩，则曲线积分ds z y x c222++⎰= ；5. 交换二次积分的次序⎰⎰--xx x dy y x f 2222),(dx = ；6.三次积分12220d )d x y x y z z ++⎰⎰⎰的值是 ；7. 散度()3(2,0,)div cos(2)x y y z π+-+=i j k ；8. 已知第二型曲线积分4124(4)d (65)d Bn n Ax xy x x y y y -++-⎰与路径无关，则n = ；9.平面5431x y z ++=被椭圆柱面22491x y +=所截的有限部分的面积为 . 二. 计算下列各题(本题共4小题，每小题7分，满分28分)10．设(,)z z x y =是由方程1xy yz xz ++=所确定的隐函数，0x y +≠，试求2zx y∂∂∂.共 8 页 第 2 页11．计算二重积分2()d d Dx y x y +⎰⎰，其中区域{}22(,)24D x y y x y y =≤+≤.12．设立体Ω由曲面2221x y z +-=及平面0,z z ==围成，密度1ρ=，求它对z 轴的转动惯量.13. 计算曲面积分d S z ∑⎰⎰，∑为球面2222x y z R ++=上满足0h z R <≤≤的部分.共 8 页 第 3 页三（14）．（本题满分8分）求函数22(,)f x y x x y =-- 在区域{}22(,)21D x y x y =+≤上的最大值和最小值.四（15）。
已知曲线求法平面方程例子
已知曲线求法平面方程例子完整版内容在《轻松上岸》考研复习全书中，23年考研数学基础班已经开始。
1. 概念梳理1.1定义由空间解析几何知道,空间曲线 \Gamma 的参数方程为\left\{\begin{array}{l} x=\varphi(t) \\ y=\psi(t), t \in[\alpha, \beta] \text { (1) } \\ z=\omega(t) \end{array}\right. \\方程(1)可化为向量形式:\boldsymbol{r}=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}, \boldsymbol{f}(t)=\varphi(t)\boldsymbol{i}+\psi(t) \boldsymbol{j}+\omega(t) \boldsymbol{k} \\向量T=f^{\prime}\left(t_{0}\right)=\left(\varphi^{\prime}\left(t_{0}\ri ght), \psi^{\prime}\left(t_{0}\right),\omega^{\prime}\left(t_{0}\right)\right) 就是曲线 \Gamma 在点M 处的一个切向量,从而曲线 \Gamma 在点M处的切线方程为\frac{x-x_{0}}{\varphi^{\prime}\left(t_{0}\right)}=\frac{y-y_{0}}{\psi^{\prime}\left(t_{0}\right)}=\frac{z-z_{0}}{\omega^{\prime}\left(t_{0}\right)} \\通过点M且与切线垂直的平面称为曲线\Gamma在点M 处的法平面,它是通过点 M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) 且以T=f^{\prime}\left(t_{0}\right) 为法向量的平面,因此法平面方程为\varphi^{\prime}\left(t_{0}\right)\left(x-x_{0}\right)+\psi^{\prime}\left(t_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)+\omega^{\prime}\left(t_{0}\right)\left(z-z_{0}\right)=0 \\1.2 例题求曲线 x=t, y=t^{2}, z=t^{3} 在点 (1,1,1) 处的切线及法平面方程.解: 因为 x_{t}^{\prime}=1, y_{t}^{\prime}=2 t,z_{t}^{\prime}=3 t^{2}, 而点 (1,1,1) 所对应的参数 t_{0}=1, 所以T=(1,2,3) \\于是,切线方程为\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3} \\法平面方程为(x-1)+2(y-1)+3(z-1)=0 \Rightarrow x+2 y+3 z=6 \\2. 延伸-相对简单如果空间曲线的方程以\left\{\begin{array}{l} y=\varphi(x) \\ z=\psi(x)\end{array}\right. \\的形式给出,取为参数,它就可以表示为参数方程的形式\left\{\begin{array}{l} x=x \\ y=\varphi(x) \\ z=\psi(x)\end{array}\right. \\若 \varphi(x), \psi(x) 都在 x=x_{0} 处可导,则根据上面的讨论可知, \boldsymbol{T}=\left(1,\varphi^{\prime}\left(x_{0}\right),\psi^{\prime}\left(x_{0}\right)\right) 因此曲线 \Gamma 在点M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) 处的切线方程为\frac{x-x_{0}}{1}=\frac{y-y_{0}}{\varphi^{\prime}\left(x_{0}\right)}=\frac{z-z_{0}}{\psi^{\prime}\left(x_{0}\right)} \\在点 M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) 处的法平面方程为\left(x-x_{0}\right)+\varphi^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(y-y_{0}\right)+\psi^{\prime}\left(x_{0}\right)\left(z-z_{0}\right)=0 \\3. 延伸-相对复杂设空间曲线\Gamma的方程以\left\{\begin{array}{l} F(x, y, z)=0 \\ G(x, y, z)=0\end{array}\right.(1) \\的形式给出, M\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right) 是曲线\Gamma 上的一个点.又设 F, G 有对各个变量的连续偏导数,且\left.\frac{\partial(F, G)}{\partial(y, z)}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}, z_{0}\right)}eq 0 \\根据 (1) 可得 y=\varphi(x), z=\psi(x) 要求曲线 \Gamma 在点M 处的切线方程和法平面方程,只要求出\varphi^{\prime}\left(x_{0}\right), \psi^{\prime}\left(x_{0}\right) 即可\begin{array}{l} F[x, \varphi(x), \psi(x)] \equiv 0 \\ G[x,\varphi(x), \psi(x)] \equiv 0 \end{array} \\两边分别对 x 求全导数,得所以切向量 \boldsymbol{T}\left(\left|\begin{array}{l} F_{y} F_{z} \\ G_{y} G_{z}\end{array}\right|_{M},\left|\begin{array}{l} F_{z} F_{x} \\ G_{z} G_{x} \end{array}\right|_{M},\left|\begin{array}{l} F_{x} F_{y} \\ G_{x} G_{y} \end{array}\right|_{M}\right) \\3.2. 例题求曲线 x^{2}+y^{2}+z^{2}=6, x+y+z=0 在点(1,-2,1)处的切线及法平面方程解：依题意可得:\left\{\begin{array}{l} x^{2}+y^{2}+z^{2}=6 \\ x+y+z=0\end{array} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l} y \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+z \frac{\mathrm{d} z}{\mathrm{~d} x}=-x \\ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{~d} x}=-1 \end{array}\right.\right. \\由此得\frac{d y}{d x}=\frac{\left|\begin{array}{l} -x z \\ -11\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{l} y z \\ 11\end{array}\right|}=\frac{z-x}{y-z}, \frac{d z}{dx}=\frac{\left|\begin{array}{l} y-x \\ 1-1\end{array}\right|}{\left|\begin{array}{l} y z \\ 11\end{array}\right|}=\frac{x-y}{y-z} \\\left.\Rightarrow \frac{dy}{d x}\right|_{(1,-2,1)}=0,\left.\frac{d z}{d x}\right|_{(1,-2,1)}=-1 \\从而 T=(1,0,-1) 故所求切线方程为\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{0}=\frac{z-1}{-1} \\ 法平面为:(x-1)+0 \cdot(y+2)-(z-1)=0 \Rightarrow x-z=0 \\ 往期知识点-数学概念篇列11.映射4.函数极限性质7.极限存在准则10.微分中值定理13.曲率16.分布积分法19.无界函数审敛法22.平面方程25.空间曲线投影2.向量函数求导31.梯度34.含参积分37.收敛级数性质40.矩阵与方程组43.相似与二次型46.样本均值|方差列22.函数特性5.连续性与间断点.高阶导|莱布尼茨11.洛必达法则14.不定积分理解17.不定积分技巧20.微分方程基础23.空间曲线26.多元复合函数29.曲线法平面32.拉格朗日35.格林公式I 3.级数审敛法41.线性相关44.概率运算|概型列33.数列收敛6.最值|介值|零点9.参数与隐函数12.泰勒公式15.换元积分法1.反常积分审敛法21.微分方程进阶24.旋转曲面27.隐函数定理30.方向导数33.二重积分技巧36.格林公式推论39.幂级数审敛法42.正交与特征值45.贝叶斯公式往期知识点-数学技巧篇列11.定义域求解4.数列极限技巧7.中值不等式10.洛必达法则13.分部积分法16.三角不定积分19.变限积分证法22.变限积分根值25.定积分不等式2 2.平面曲线积分31.旋转曲面34.复合函数求导37.正项级数敛散40.比较审敛法43.函数变幂级数46微分求函数49.行列式性质52.逆矩阵求法55.伴随矩阵5.分块矩阵运算61.矩阵秩的求法64.线性表示定理67.反求齐次方程列22.函数求解技巧5.高阶导数求解.区间不等式11.方程根的个数14.三角函数积分17.变限积分求解20.变限积分性质23.定积分简化26.反常积分敛散1 29.向量运算法则32.二元函数极限35.简化二重积分3.交错级数收敛41.幂级数审敛法44.常数项级数47.行列式运算50.范德蒙行列式53.矩阵方程求解56.矩阵行列式59.高次幂矩阵62.线性相关|无关65.方程组解|判定6.方程组解关系列33.夹逼定理6.中值等式命题9.数值不等式12凑微分求积分15.换元积分法1.变限积分极限21.定积分方程根24.定积分不等式1 27.反常积分敛散2 30.点线面距离33.可微偏导连续36.二次积分转换39.常数项级数42.幂级数和函数45.常系数微分4.对角线行列式51.可逆阵求解54.对称与反对称57.零相关行列式60.矩阵初等变换63.向量组线性66.基础解系求法。
法线方程-
法线方程法线方程是解析几何中的一个重要概念，指直线的法向量所构成的方程。
通过法线方程，我们可以得到直线与平面的关系，从而解决一些几何问题。
一、法线方程的定义给定一个平面曲线$y=f(x)$，其中$f(x)$是一个可微函数，如果对于曲线上的每一个点$(x_0,f(x_0))$，都有一条垂直于曲线的直线过该点，那么由这些垂直线所构成的直线称为曲线的法线。
法线方程就是描述法线的数学关系式。
二、向量法求法线方程通过向量法，我们可以比较方便地求得一个平面曲线的法线方程。
假设有一点$P_0(x_0,y_0)$在曲线上，其切线的斜率为$k$，那么切线的方程可以表示为$y-y_0=k(x-x_0)$。
直线的方向向量为$\\vec{v}=[1,k]$，那么曲线的法线的方向向量为$\\vec{n}=[-k,1]$，因为$\\vec{v}\\cdot \\vec{n}=0$。
令$P(x,y)$为法线上的任意一点，则$\\vec{P_0P}=[x-x_0,y-y_0]$是法线的方向向量。
因此，法线的方向向量可以表示为$\\vec{n} \\cdot\\vec{P_0P}=0$，即：$(-k,1)\\cdot(x-x_0,y-y_0)=0.$将$\\vec{n}$和$\\vec{P_0P}$代入上面的式子，可以得到法线方程：$-k(x-x_0)+(y-y_0)=0.$化简后即为：$k(x-x_0)=y-y_0.$这就是平面曲线$y=f(x)$在点$(x_0,y_0)$处的法线方程。
三、参数法求法线方程另一种求解法线方程的方法是通过参数方程求解。
假设对于平面曲线$y=f(x)$，我们有一个参数方程$\\begin{cases} x=\\varphi(t) \\\\ y=\\psi(t) \\end{cases}$，其中$t$是参数，那么曲线上任意一点的坐标可以表示为$P(\\varphi(t),\\psi(t))$。
如果我们能够求出曲线上任意一点处的切向量，则法向量就是其垂直向量。
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B020005
一、1、曲线x y R y z R
222222+=+=⎧⎨⎩在点R R R 222,,⎛⎝ ⎫⎭⎪处的法平面方程为 （A ）-+-=x y z R 2 （B ）x y z R -+=32
（C ）x y z R -+=2 （D ）x y z R ++=32
答：（ ） 三、1、 若u =f (t )是(－∞,+∞)上严格单调的奇函数，Ω是球体(x －x 0)2+(y －y 0)2+(z －z 0)2≤R 2 (R >0),若，试问a ,b ,c ,d 应满足什么条件。
2、设f x ()是以3为周期的周期函数，又设f x ()在任意有限闭区间[,]a b 内可积。
试写出f x ()的傅立叶系数的计算公式。
四、1、z xy =ln()2，求z z x y ,。
2、设z ax bxy cy dx ey f =+++++22222，求
∂∂∂∂z x z y
,。
3、设f x y (,)有连续偏导数，u f e e x y =(,)，求d u 。
4、设曲线C 的方程为x 6+y 6=1.求曲线积分
5、求微分方程''-=y a y x 2sin 的一个特解，其中a 为非零实常数。
6、求微分方程tx x ''-'=0的通解。
7、求极限lim x y x
xye xy →→-+00
416 。
8、 设Ω是由及z =1所围的有界闭区域，试计算.
五、1、设L 为在右半平面内的任意一条闭的光滑曲线，试证明曲线积分
2、如果幂级数∑∞=0n n n x a
在2-=x 处条件收敛，那么该级数的收敛半径是多少? 试证之.
3、验证：y x y x 12==cos ,sin ωω都是微分方程''+=y y ω20的解，并写出该方程的通解。
4、求证函数系{}sin ,sin ,,sin ,x x nx 2⋅⋅⋅⋅⋅⋅是[]0,π上的正交函数系。
5、 试证对于空间任意一条简单闭曲线C ，恒有∮c (2x +y )d x +(4y +x +2z )d y +(2y －6z )d z =0.
六、1、 利用二重积分计算由直线y =x ,y =5x 及x =1所围成区域的面积。
2、在空间找一点P x y z (,,)，使它到三个平面x y z x y z y z ++=-+=-=111,,的距离平方和为最小。
3、求微分方程''+'-=y y y 230的一条积分曲线，使其在原点处与直线y x =4相切。
4、求曲线族y Cx =3的正交轨线族（即与曲线y Cx =3
互相正交的曲线族）所满足的微分方程。
5、设有空间流速场
求v 通过曲面z =x 2+y 2位于平面z =1以下部分的∑下侧的通量(流量)。
七、1、判别级数n n n sin 11=∞∑的敛散性。
2、判别级数31n n n n n
!=∞∑的敛散性。