曲线在点处的法平面方程为

B020005

一、1、曲线x y R y z R

222222+=+=⎧⎨⎩在点R R R 222,,⎛⎝ ⎫⎭⎪处的法平面方程为 （A ）-+-=x y z R 2 （B ）x y z R -+=32

（C ）x y z R -+=2 （D ）x y z R ++=32

答：（ ） 三、1、 若u =f (t )是(－∞,+∞)上严格单调的奇函数，Ω是球体(x －x 0)2+(y －y 0)2+(z －z 0)2≤R 2 (R >0),若，试问a ,b ,c ,d 应满足什么条件。

2、设f x ()是以3为周期的周期函数，又设f x ()在任意有限闭区间[,]a b 内可积。试写出f x ()的傅立叶系数的计算公式。

四、1、z xy =ln()2，求z z x y ,。 2、设z ax bxy cy dx ey f =+++++22222，求

∂∂∂∂z x z y

,。 3、设f x y (,)有连续偏导数，u f e e x y =(,)，求d u 。

4、设曲线C 的方程为x 6+y 6=1.求曲线积分

5、求微分方程''-=y a y x 2sin 的一个特解，其中a 为非零实常数。

6、求微分方程tx x ''-'=0的通解。

7、求极限lim x y x

xye xy →→-+00

416 。 8、 设Ω是由及z =1所围的有界闭区域，试计算.

五、1、设L 为在右半平面内的任意一条闭的光滑曲线，试证明曲线积分

2、如果幂级数∑∞=0n n n x a

在2-=x 处条件收敛，那么该级数的收敛半径是多少? 试证之.

3、验证：y x y x 12==cos ,sin ωω都是微分方程''+=y y ω20的解，并写出该方程的通解。

4、求证函数系{}sin ,sin ,,sin ,x x nx 2⋅⋅⋅⋅⋅⋅是[]0,π上的正交函数系。

5、 试证对于空间任意一条简单闭曲线C ，恒有∮c (2x +y )d x +(4y +x +2z )d y +(2y －6z )d z =0.

六、1、 利用二重积分计算由直线y =x ,y =5x 及x =1所围成区域的面积。

2、在空间找一点P x y z (,,)，使它到三个平面x y z x y z y z ++=-+=-=111,,的距离平方和为最小。

3、求微分方程''+'-=y y y 230的一条积分曲线，使其在原点处与直线y x =4相切。

4、求曲线族y Cx =3的正交轨线族（即与曲线y Cx =3

互相正交的曲线族）所满足的微分方程。

5、设有空间流速场

求v 通过曲面z =x 2+y 2位于平面z =1以下部分的∑下侧的通量(流量)。 七、1、判别级数n n n sin 11=∞∑的敛散性。 2、判别级数31n n n n n

!=∞∑的敛散性。