二次函数应用的九种类型
九年级下册阶段核心归类用二次函数解决实际应用题的六种常见类型习题新版苏科版
(1)求y关于x的函数表达式(不要求写出自 变量的取值范围)；
解：设函数表达式为 y＝kx＋b，由题意得
40k＋b＝180， 70k＋b＝90，
解得kb＝ ＝－3003.，
(2)设四边形APQC的面积为y cm2，求y关于t的函 数表达式，当t取何值时，四边形APQC的面积最 小？并求出最小面积．
解：过点 P 作 PM⊥BC 于点 M，则易知 BM＝ 12BP＝12(3－t)cm.∴PM＝ BP2－BM2＝ 23(3－ t)cm.∴S 四边形 APQC＝S△ABC－S△PBQ＝12×3×32 3－ 12t·23(3－t)＝ 43t2－343t＋943，即 y＝ 43t2－ 343t＋943，易知 0<t<3.
解：根据题意知此时抛物线的顶点 G 的坐标为(7，3.2)， ∴设抛物线对应的函数表达式为 y＝a(x－7)2＋3.2. 将点 C(0，1.8)的坐标代入，得 49a＋3.2＝1.8，
解得 a＝－315.∴排球飞行的高度 y 与水平距离 x 的函数
表达式为 y＝－315(x－7)2＋3.2.
(2)在(1)的条件下，对方距球网0.5 m的点F处有 一队员，他起跳后的最大高度为3.1 m，问这次 他是否可以拦网成功？请通过计算说明．
(2)第几天时，该企业当天的销售利润最大？最大利润 为多少？ 解：设当天的销售利润为w元，则当1≤x≤6时，w＝(1 200－ 800)(2x＋20)＝800x＋8 000. ∵800＞0，∴w随x的增大而增大． ∴当x＝6时，w最大值＝800×6＋8 000＝12 800. 当6＜x≤12时，设m＝kx＋b，将(6，800)和(10，1 000)代入，
1 用二次函数解实际应用的四种常见类型
当x1＞9时，W随x1的增大而增大， ∵11≤x1≤15，∴当x1＝15时， W最大值＝30×(15－9)2＋9 570＝10 650. 答：采购空调15台时总利润最大，最大利润为10 650元．
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7．某宾馆有50个房间供游客住宿．当每个房间每天的定 价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的 定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对 游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据 规定，每个房间每天的定价不得高于340元．设每个 房间每天的定价增加x元(x为10的整数倍)．
故这次她可以拦网成功．
(3)若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的 最大高度h的取值范围是多少(排球压线属于没出界)?
设抛物线对应的函数解析式为y＝a(x－7)2＋h， 将点C(0，1.8)的坐标代入，得49a＋h＝1.8， 即a＝ 1.8 h，
49
∴此时抛物线对应的函数解析式为：
y＝ 1.8 h (x－7)2＋h.
(1)抛物线对应的函数解析式是___y_＝__－__6_34__x_2_＋__1_1__．
(2)已知从某时刻开始的40 h内，水面与河底ED的距
离h(m)随时间t(h)的变化满足函数关系h＝－
1 128
(t
－19)2＋8(0≤t≤40)，且当顶点C到水面的距离不大
于5 m时，需禁止船只通行．请通过计算说明：在
(2)该商家分别以1 760元和1 700元的销售单价售出空 调和冰箱，且全部售完．在(1)的条件下，问采购 空调多少台时总利润最大？并求最大利润．
设总利润为W元， y2＝－10x2＋1 300＝－10(20－x1)＋1 300＝10x1＋1 100， 则W＝(1 760－y1)x1＋(1 700－y2)x＝1 760x1－(－20x1＋ 1 500)x1＋(1 700－10x1－1 100)(20－x1)＝1 760x1＋20x21 －1 500x1＋10x21－800x1＋12 000＝30x21－540x1＋ 12 000＝30(x1－9)2＋9 570.
九年级二次函数全部知识点
九年级二次函数全部知识点二次函数是数学中的一种重要的函数类型，它在实际生活中有着广泛的应用。
九年级是初中阶段的最后一年，二次函数是九年级数学的重要内容之一。
本文将介绍九年级二次函数的全部知识点，包括定义、图像、性质、解析式等，希望能够帮助同学们更好地掌握这一知识。
一、二次函数的定义二次函数是一种形式为f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是常数，并且a ≠ 0。
二次函数中的自变量x是实数，函数值f(x)也是实数。
二次函数的定义域是所有实数集合。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一个抛物线，对称轴是垂直于x轴的一条直线。
当a > 0时，抛物线开口朝上；当a < 0时，抛物线开口朝下。
三、二次函数的顶点及最值二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点，其坐标为（h，k），其中h是对称轴的横坐标，k是对称轴与抛物线的交点的纵坐标。
当a > 0时，k为函数的最小值；当a < 0时，k为函数的最大值。
四、二次函数的对称性二次函数的图像关于对称轴是对称的，即对称轴两侧的点关于对称轴上的点有对应关系。
这个对称性质使得我们可以通过观察对称轴两侧的点来了解抛物线的整体形态。
五、二次函数的零点二次函数的零点就是使得函数值等于零的横坐标。
要求二次函数的零点，可以使用因式分解、配方法和求根公式等方法。
六、二次函数和一次函数的关系一次函数是二次函数的特例，当a = 0时，二次函数就变成一次函数。
因此，可以说二次函数是一次函数的推广，二次函数的图像也可以视为一次函数图像的变形。
七、二次函数的解析式二次函数的一般形式是f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c是常数。
根据二次函数的性质，可以通过零点、顶点等信息来确定二次函数的解析式。
八、二次函数的平移和压缩二次函数的平移可以通过改变解析式中的常数来实现，例如改变c可以实现平移，改变a和b可以实现压缩或拉伸。
专题55 二次函数的应用【九大题型】(举一反三)(苏科版)(原卷版)
专题5.5 二次函数的应用【九大题型】【苏科版】【题型1 图形面积或周长问题】 (1)【题型2 图形运动问题】 (4)【题型3 拱桥问题】 (7)【题型4 销售问题】 (10)【题型5 投球问题】 (12)【题型6 喷水问题】 (16)【题型7 增长率问题】 (20)【题型8 车过隧道问题】 (22)【题型9 行程问题】 (25)【题型1 图形面积或周长问题】【例1】（2022秋•越城区期末）为优化迪荡湖公园的灯光布局，需要在一处岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的灯带在湖中围成了如图所示的①②③三块灯光喷泉的矩形区域，且要求这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？【变式1-1】（2022•永春县校级自主招生）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用32m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm．（1）若花园的面积为252m2，求x的值；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是17m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．【变式1-2】（2022秋•清江浦区校级月考）爱动脑筋的小明在学过用配方法解一元二次方程后，他发现二次三项式也可以配方，从而解决一些问题．例如：x2﹣6x+10＝（x2﹣6x+9﹣9）+10＝（x﹣3）2﹣9+10＝（x﹣3）2+1≥1；因此x2﹣6x+10有最小值是1，只有当x＝3时，才能得到这个式子的最小值1．同样﹣3x2﹣6x+5＝﹣3（x2+2x+1﹣1）+5＝﹣3（x+1）2+8，因此﹣3x2﹣6x+5有最大值是8，只有当x＝﹣1时，才能得到这个式子的最小值8．（1）当x＝时，代数式﹣2（x﹣3）2+5有最大值为．（2）当x＝时，代数式2x2+4x+3有最小值为．（3）矩形自行车场地ABCD一边靠墙（墙长10m），在AB和BC边各开一个1米宽的小门（不用木板），现有能围成14m长的木板，当AD长为多少时，自行车场地的面积最大？最大面积是多少？【变式1-3】（2022•市南区一模）小明准备给长16米，宽12米的长方形空地栽种花卉和草坪，图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域分别栽种甲、乙、丙三种花卉，其余区域栽种草坪．四边形ABCD和EFGH均为正方形，且各有两边与长方形边重合：矩形MFNC（区域Ⅱ）是这两个正方形的重叠部分，如图所示．（1）若花卉均价为300元/米2，种植花卉的面积为S（米2），草坪均价为200元/米2，且花卉和草坪栽种总价不超过43600元，求S的最大值．（2）若矩形MFNC满足MF：FN＝1：2．①求MF，FN的长．②若甲、乙、丙三种花卉单价分别为为180元/米2，90元/米2，180元/米2，且边BN的长不小于边ME长的5倍．求图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域栽种花卉总价W元的最大值．4【题型2 图形运动问题】【例2】（2022秋•利川市校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝9cm．P、Q两点同时从点B、D出发，分别沿BA、DA方向匀速运动（当P运动到A时，P、Q同时停止运动），已知P点的速度比Q点大1cm/s，设P点的运动时间为x秒，△P AQ的面积为ycm2，（1）经过3秒△P AQ的面积是矩形ABCD面积的1时，求P、Q两点的运动速度分别是多少？3（2）以（1）中求出的结论为条件，写出y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．【变式2-1】（2022•巨野县期末）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，动点P从点A开始沿边AB向终点B以每秒2个单位长度的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，如果点P、Q分别从点A、B同时出发，那么△PBQ的面积S随出发时间t（s）如何变化？写出函数关系式及t的取值范围．【变式2-2】（2022秋•丹阳市校级月考）如图，在△ABC中，BC＝7cm，AC＝24cm，AB＝25cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A 点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程：（1）经过多少时间后，P、Q两点的距离为5√2cm2？（2）经过多少时间后，S△PCQ的面积为15cm2？（3）请用配方法说明，何时△PCQ的面积最大，最大面积是多少？【变式2-3】（2022秋•杭州期末）如图（a），点F、G、H、E分别从正方形ABCD的顶点B、C、D、A 同时出发，以1cm/s的速度沿着正方形的边向C、D、A、B运动．若设运动时间为x（s），问：（1）四边形EFGH是什么图形？证明你的结论；（2）若正方形ABCD的边长为2cm，四边形EFGH的面积为y（cm2），求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；（3）若改变点的连接方式（如图（b）），其余不变．则当动点出发几秒时，图中空白部分的面积为3cm2．【题型3 拱桥问题】【例3】（2022•海曙区校级开学）图1是一座彩虹桥两条抛物线型钢梁在桥面上的跨度分别为AB＝50米和CD＝40米（如图2所示），x轴表示桥面，BC＝10米．若两抛物线交y轴于同一点，且它们的形状的值为．相同，则OBOC【变式3-1】（2022秋•西城区校级期中）廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图．已知水面AB宽40米，抛物线最高点C到水面AB的距离为10米，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离EF．（结果保留根号）【变式3-2】（2022秋•诏安县校级月考）如图所示，桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状，按照图中的直角坐标系，左边的一条抛物线可以用y =9400x 2+910x +10表示，而且左、右两条抛物线关于y 轴对称． （1）钢缆的最低点到桥面的距离是多少？（2）两条钢缆最低点之间的距离是多少？（3）写出如图抛物线的表达式？【变式3-3】（2022秋•袁州区校级期中）宜春袁山公园内有一座景观桥，桥洞形状如抛物线ABC，其横截x2+c且过顶点C（0，8）（长度单面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线的解析式为y=−150位：m）（1）直接写出c的值；（2）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5m的地毯，求需要多少平方米的地毯？（不计损耗）（3）为了使景观桥夜晚更加漂亮，需在桥洞下方洞壁相同高度处如图示的E、F位置安装两盏LED灯，且点E的横坐标与纵坐标之和为﹣4，求安装的LED灯距离水面AB的高度．【题型4 销售问题】【例4】（2022秋•平谷区期末）某地的药材批发公司指导农民养植和销售某种药材，经市场调研发现1﹣8月份这种药材售价（元）与月份之间存在如表所示的一次函数关系，同时，每千克的成本价（元）与月份之间近似满足如图所示的抛物线，观察两幅图表，试判断5月份出售这种药材获利最大．月份…36…每千克售价…86…【变式4-1】（2022秋•舞阳县期末）某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件50元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件40.5元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件，那么每天要想获得最大利润，每件售价应多少元？最大利润是多少？【变式4-2】（2022秋•椒江区期末）某一种蜜桔在农贸水果市场的需求量y1（万斤）、市场供应量y2（万斤）与市场价格x（元/斤）分别满足下列关系：y1＝﹣0.2x+2.8，y2＝0.4x﹣0.8，当y1＝y2时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．（1）求平衡价格和平衡需求量；（2）若该蜜桔的市场销售量y（万件）是市场需求量y1和市场供应量y2两者中的较小者，该蜜桔的市场销售额P（万元）等于市场销售量y与市场价格x的乘积．当市场价格x取何值时，市场销售额P取得最大值？（3）蜜桔的每斤进价为m元，若当3≤x≤10时，随着x的增大，蜜桔的销售利润（万元）会经历先减小后增大再减小的变化，请直接写出m的取值范围．【变式4-3】（2022•庐阳区校级一模）某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价x为整数，且该商品的月销售量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，其售价x（元/件）、月销售量y（件）、月销售利润w（元）的部分对应值如表：售价x（元/件）4045月销售量y（件）300250月销售利润w（元）30003750注：月销售利润＝月销售量×（售价﹣进价）（1）求y关于x的函数表达式；（2）当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；（3）现公司决定每销售1件商品就捐赠m元利润（m≤6）给“精准扶贫”对象，要求：在售价不超过52元时，每天扣除捐赠后的日销售利润随售价x的增大而增大，求m的取值范围．【题型5 投球问题】【例5】（2022•威县校级模拟）弹力球游戏规则：弹力球抛出后与地面接触一次，弹起降落，若落入筐中，则游戏成功．弹力球着地前后的运动轨迹可近似看成形状相同的两条抛物线．如图16，甲站在原点处，从离地面高度为1m的点A处抛出弹力球，弹力球在B处着地后弹起，落至点C处，弹力球第一次着地前抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+2．（1）a的值为；点B的横坐标为；（2）若弹力球在B处着地后弹起的最大高度为着地前手抛出的最大高度的一半．①求弹力球第一次着地后抛物线解析式；②求弹力球第二次着地点到点O的距离；③如果摆放一个底面半径为0.5m，高0.5m的圆柱形筐，且筐的最左端距离原点9m，若要甲能投球成功，需将筐沿x轴向左移动bm，直接写出b的取值范围．【变式5-1】（2022•六盘水模拟）如图，篮球场上OF的长为25米，篮球运动员小明站在左方的点O处向右抛球，球从离地面2米的A处抛出，球的运动轨迹可看作一条抛物线，在距O点4米的B处达到最高点，最高点C距离地面4米；篮球在点D处落地后弹起，弹起后在点E处落地，且弹起后的轨迹与抛出后的轨迹形状相同，但高度减少为原来最大高度的一半．以点O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系．（1）求抛物线ACD的函数表达式；（2）求篮球第二次落地点E与点O之间的距离；（3）若运动员小易在点E处拿球前进到点G处起跳投篮，起跳后篮球在距离地面3米的地方出手，球出手后的运动轨迹与抛出后的轨迹形状相同，高度相等，并且恰好投入离地面3米的篮筐中，求EG的长？【变式5-2】（2022•巧家县模拟）如图所示的是小青同学设计的一个动画示意图，某弹球P（看作一点）从数轴上表示﹣8的点A处弹出后，呈抛物线y＝﹣x2﹣8x状下落，落到数轴上后，该弹球继续呈现原抛物线状向右自由弹出，但是第二次弹出高度的最大值是第一次高度最大值的一半，第三次弹出的高度最大值是第二次高度最大值的一半，…，依次逐渐向右自由弹出．（1）根据题意建立平面直角坐标系，并计算弹球第一次弹出的最大高度．（2）当弹球P在数轴上两个相邻落点之间的距离为4时，求此时下落的抛物线的解析式．【变式5-3】（2022•潍坊模拟）女生排球考试要求：垫球后，球在运动中离地面的最大高度至少为2米．某次模拟测试中，某女生在O 处将球垫偏，之后又在A ，B 两处先后垫球，球沿抛物线C 1→C 2→C 3运动（假设抛物线C 1，C 2，C 3在同一平面内），最终正好在O 处垫住，O 处离地面的距离为1米．如图所示，以O 为坐标原点1米为单位长度建立直角坐标系，x 轴平行于地面水平直线m ，已知点A （32，38），点B 的横坐标为−32，抛物线C 1和C 3的表达式分别为y ＝ax 2﹣2ax 和y ＝2ax 2+bx （a ≠0）．（1）求抛物线C 1的函数表达式．（2）第一次垫球后，球在运动中离地面的最大高度是否达到要求？请说明理由．（3）为了使第三次垫球后，球在运动中离地面的最大高度达到要求，该女生第三次垫球处B 离地面的高度至少为多少米？【题型6 喷水问题】【例6】（2022•西城区校级模拟）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d 米，与湖面的垂直高度为h 米，下面的表中记录了d 与h 的五组数据： d （米） 0 1 2 3 4 h （米）0.51.251.51.250.5根据上述信息，解决以下问题：（1）在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象；（2）若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m＝；（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过，如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为1.5米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．【变式6-1】（2022•安徽模拟）音乐喷泉（图1）可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化．某种音乐喷泉形状如抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边18m，音乐变化时，抛物线的顶点在直线y＝kx 上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为y＝ax2+bx．（1）若已知k＝1，且喷出的抛物线水线最大高度达3m，求此时a、b的值；（2）若k＝1，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？（3）若k＝3，a=−2，则喷出的抛物线水线能否达到岸边？7【变式6-2】（2022•河北模拟）音乐喷泉的某一个喷水口，喷出的一束水流形状是抛物线，在这束水流所在平面建立平面直角坐标系，以水面与此面的相交线为x轴，以喷水管所在的铅垂线为y轴，喷出的水流抛物线的解析式为：y＝﹣x2+bx+2．但控制进水速度，可改变喷出的水流达到的最大高度，及落在水面的落点距喷水管的水平距离．（1）喷出的水流抛物线与抛物线y＝ax2的形状相同，则a＝；（2）落在水面的落点距喷水管的水平距离为2个单位长时，求水流抛物线的解析式；（3）求出（2）中的抛物线的顶点坐标和对称轴；（4）对于水流抛物线y＝﹣x2+bx+2．当b＝b1时，落在水面的落点坐标为M（m，0），当b＝b2时，落在水面的落点坐标为N（n，0），点M与点N都在x轴的正半轴，且点M在点N的右边，试比较b1与b2的大小．【变式6-3】（2022•新昌县模拟）某喷泉中间的喷水管OA＝0.5m，喷水点A向各个方向喷射出去的水柱为形状相同的抛物线，以水平方向为x轴，喷水管所在直线为y轴，喷水管与地面的接触点O为原点建立直角坐标系，如图所示．已知喷出的水柱在距原点的水平距离为3m处达到最高，高度为2m．（1）求水柱所在抛物线（第一象限）的函数表达式．（2）身高为1.7m的小明站在距离喷水管4m的地方，他会被水喷到吗？（3）现重新改建喷泉，升高喷水管，使落水点与喷水管距离7m，已知喷水管升高后，喷水管喷出的水柱抛物线形状不变，且水柱仍在距离原点3m处达到最高，则喷水管OA要升高多少？【题型7 增长率问题】【例7】（2022•武汉模拟）战疫扶贫两手抓，多措并举促增收．为贯彻落实党中央全面建设小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作．经过多年的精心帮扶，截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康.2019年7月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6的人均月纯收入，汇总如下：月份代码123456人均月纯收入（元）310350390430470510根据分析，发现该家庭人均月纯收入y与月份代码x之间具有较强的一次函数关系（记2019年1月、2月、…、2020年1月、……分别为x＝1，x＝2，…，x＝13，…，依此类推）．但2020年1月突如其来的新型冠状病毒感染的肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020年第一季度每月人均月纯收入只有2019年12月的预估值的三分之二．根据以上信息，完成以下问题．（1）求该家庭人均月纯收入y与月份代码x之间的函数关系式．（2）若疫情没有爆发，2020年该家庭是否能实现小康？（3）若2020年3月初开始，在当地党员干部的扶持下，该家庭的人均月纯收入y与月份代码x之间满足二次函数y＝x2+bx+c的关系．若该家庭2020年12月人均月纯收入可达到1400元以上，求b的最小值．（4）若以该家庭2020年3月人均月纯收入为基数，以后每月的增长率为a，为了使该家庭2020年能实现小康，a至少为多少？（结果保留两位小数）参考数据：√452+4×120×4≈62.81，1.1510≈4.05；（1+a）10≈1+10a+45a2+120a3（|a|＜0.15）．参考公式：1+x+x2+…+x9=x10−1x−1【变式7-1】（2022•弥勒市校级月考）国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分比为x，该药品的原价为36元，降价后的价格为y元，则y与x之间的函数关系为（）A．y＝72（1﹣x）B．y＝36（1﹣x）C．y＝36（1﹣x2）D．y＝36（1﹣x）2【变式7-2】（2021秋•西山区校级期中）某农机厂四月份生产零件60万个，设该厂第二季度平均每月的增长率为x，如果第二季度共生产零件y万个，那么y与x满足的函数关系式是（）A．y＝60（1+x）2B．y＝60+60（1+x）+60（1+x）2C．y＝60（1+x）+60（1+x）2D．y＝60+60（1+x）【变式7-3】（2022•滨州校级月考）2009年度东风公司神鹰汽车改装厂开发出A型农用车，其成本价为每辆2万元，出厂价为每辆2.4万元，年销售价为10000辆，2010年为了支援西部大开发的生态农业建设，该厂抓住机遇，发展企业，全面提高A型农用车的科技含量，每辆农用车的成本价增长率为x，出厂价增长率为0.75x，预测年销售增长率为0.6x．（年利润＝（出厂价﹣成本价）×年销售量）（1）求2010年度该厂销售A型农用车的年利润y（万元）与x之间的函数关系．（2）该厂要是2010年度销售A型农用车的年利润达到4028万元，该年度A型农用车的年销售量应该是多少辆？【题型8 车过隧道问题】【例8】（2022•太原二模）如图1，在某段公路上有一条双行线隧道（可双向行驶）．隧道的纵截面由矩形的三边和一段抛物线构成，如图2是它的示意图，隧道宽度AB＝8m，内壁两侧各留有1m宽的安全带，顶部最高处距路面6m，矩形的宽AD＝2m．（1）为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道的顶部在竖直方向上的高度差至少要0.5m，求一辆宽为3m的货运卡车通过该隧道时的限高应为多少？（2）若有一辆宽为5.5m的超宽箱式工程车欲通过该隧道，其顶部与隧道顶部在竖直方向上的高度差不小于10cm，在实行交通管制后，求这辆车单向通过该隧道的限高应为多少？（结果精确到1m）【变式8-1】（2022秋•始兴县校级期中）一拱形隧道的轮廓是抛物线如图，拱高6m，跨度20m，（1）建立适当的直角坐标系，求拱形隧道的抛物线关系式（2）拱形隧道下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m，高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由．【变式8-2】（2022•长春校级模拟）路在山腹行是沪蓉西高速公路的显著特点之一，全线共有隧道37座，共计长达742421.2米．正在修建的庙垭隧道的截面是由一抛物线和一矩形构成，其行车道CD总宽度为8米，隧道为单行线车道，即左右各5米宽的车道．（1）建立恰当的平面直角坐标系，并求出隧道拱抛物线的解析式；（2）在隧道拱两侧距地面3米高处各安装一盏灯，在（1）的平面直角坐标系中用坐标表示其中一盏灯的位置；（3）为保证行车安全，要求行驶车辆顶部（假设为平顶）与隧道拱在竖直方向上高度之差至少有0.5米，现有一辆汽车，装载货物后，其宽度为4米，车载货物的顶部与路面的距离为2.5米，该车能否安全通过这个隧道？请说明理由．【变式8-3】（2022•东城区校级月考）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A、D点在抛物线上．B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．【题型9 行程问题】【例9】（2022•宝应县三模）“城市发展，交通先行”，我市启动了缓堵保畅的快速路建设工程，建成后将大大提升道路的通行能力．研究表明，在确保安全行车情况下，快速路的车流速度v（千米/时）是车流密度x（辆/千米）的函数，其图象近似的如图所示．（1）求v关于x的函数表达式；（2）求车流量p和车流密度x之间的函数表达式并求出车流量p（辆/时）的最大值．（注：车流量是单位时间内通过观测点的车辆数，计算公式为：车流量＝车流速度×车流密度）（3）经过测算，每日上下班高峰时段快速路车流量将不低于4000辆/时，为保证快速路安全畅通，城市道路交通指挥中心将实时发布道路预警信息，提醒驾驶员按预警速度要求行驶，请你帮助城市交通指挥中心测算一下上下班高峰时段车速应控制在什么范围才能确保快速路安全畅通？【变式9-1】（2022•定海区模拟）在长、宽均为45米的十字路口，现遇到红灯，有10辆车依次呈一直线停在路口的交通白线后，每两辆车间隔为2.5米，每辆车长5米，每辆车的速度v（米/秒）关于时间t（秒）的函数（如图1）所示，当绿灯亮起，第一辆车的车头与交通白线的距离s（米）关于时间t（秒）的函数解析式为s＝a（t﹣1）2（1≤t≤4），如图2所示当前车启动后，后面一辆车在1秒后也启动．（1）求a的值；（2）当t＞4时，求第一辆车的车头与交通白线的距离s（米）关于时间（秒）的函数解析式；（3）当t＞4时，求第一辆车和第二辆车在这个十字路口中的最大间距；（第一辆车的车尾和第二辆车的车头哦）（4）绿灯持续时间至少要设置多长才能保证在绿灯期间这十辆车都能通过交通白线．【变式9-3】（2022•温岭市一模）当前，交通拥堵是城市管理的一大难题．我市城东高架桥的开通为分流过境车辆、缓解市内交通压力起到了关键作用，但为了保证安全，高架桥上最高限速80千米/小时．在一般条件下，高架桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到180辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当0≤x≤20时，桥上畅通无阻，车流速度都为80千米/小时，研究表明：当20≤x≤180时，车流速度v是车流密度x的一次函数．（1）当0≤x≤20和20≤x≤180时，分别写出函数v关于x的函数关系式；（2）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）w＝x•v可以达到最大，并求出最大值；（3）某天早高峰（7：30﹣9：30）经交警部门控制管理，桥上的车流速度始终保持40千米/小时，问这天早高峰期间高架桥分流了多少辆车？。
二次函数特点及应用
三、要充分利用抛物线“顶点”的作用.
1、要能准确灵活地求出“顶点” .形如y=a（x＋h）2＋K →顶点（－h,k），对于其它形式的二次函数，我们可化为顶点式而求出顶点.
列表：
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y
-3
-1.5
-1
-1.5
-3
-5.5
-9
描点，连线成如图13-11所示不能反映其全貌的图象。
正解：由解析式可知，图象开口向下，对称轴是x＝-1,顶点坐标是(-1，-1)
列表：
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ-4
-3
-2
-1
0
1
2
y
-5.5
-3
-1.5
-1
-1.5
-1.5
-5.5
描点连线：如图13-12
图13-11
例如，要研究抛物线L1∶y＝x2-2x+3与抛物线L2∶y＝x2的位置关系，可将y＝x2-2x+3通过配方变成顶点式y＝(x-1)2+2，求出其顶点M1(1，2)，因为L2的顶点为M2(0，0)，根据它们的顶点的位置，容易看出：由L2向右平移1个单位，再向上平移2个单位，即得L1；反之，由L1向左平移1个单位，再向下平移2个单位，即得L2.
活动步骤：①举例：x²=y；x²+1=y；x²+x=y；x²+x+1=y。②画直角坐标系；列表（找出（x，y））；描点；连线。③小组一起观察图像并讨论他们的共同点。记下讨论结果。④利用统式（ax²+bx+c=y）证明讨论结果的必然性。
九年级数学下册《二次函数的应用》期末专题复习
九年级数学下册《二次函数的应用》期末专题复习【基础知识回顾】一、二次函数与一元二次方程：二、二次函数解析式的确定：1、设顶点式，即：设2、设一般式，即：设3、设交点式，即：设【提醒：求二次函数解析式，根据具体同象特征灵活设不同的关系或除上述常用方法以外，还有：如抛物线顶点在原点可设以y轴为对称轴，可设顶点在x轴上，可设抛物线过原点等】三、二次函数的应用1、实际问题中解决最值问题：2、与一次函数或直线形图形结合的综合性问题【提醒：1、在有关二次函数最值的应用问题中一定要注意自变量的取值范围2、有关二次函数综合性问题中一般作为中考压轴题出现，解决此类问题时要将题目分解开来，讨论过程中要尽量将问题】【重点考点例析】考点一：二次函数的最值例1 （呼和浩特）已知：M，N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数y=-abx2+（a+b）x （）A．有最大值，最大值为 B．有最大值，最大值为C．有最小值，最小值为 D．有最小值，最小值为对应训练1．已知二次函数y=a（x+1）2-b（a≠0）有最小值1，则a，b的大小关系为（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定考点二：确定二次函数关系式例2 如图，二次函数y=（x-2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x-2）2+m的x的取值范围．对应训练2．如图，抛物线y=x2+bx+c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且S△OAB=3，求点B的坐标．考点三：二次函数与x轴的交点问题例3 若关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=m有实数根x1、x2，且x1≠x2，有下列结论：①x1=2，x2=3；②m＞；③二次函数y=（x-x1）（x-x2）+m的图象与x轴交点的坐标为（2，0）和（3，0）．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3对应训练3．（株洲）如图，已知抛物线与x轴的一个交点A（1，0），对称轴是x=-1，则该抛物线与x轴的另一交点坐标是（）A．（-3，0） B．（-2，0） C．x=-3 D．x=-2考点四：二次函数的实际应用例4 教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=- （x-4）2+3，由此可知铅球推出的距离是 m．例5 （重庆）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：月份x 1 2 3 4 5 6输送的污水量y1（吨）12000 6000 4000 3000 2400 20007至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a≠0)．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份x之间满足函数关系式：z1=x，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x之间满足函数关系式：z2=x-x2；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a-30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．（参考数据：≈15.2，≈20.5，≈28.4）对应训练4．某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x-1.5x2，该型号飞机着陆后滑行 m才能停下来．考点五：二次函数综合性题目例6 如图，抛物线交x轴于点A（-3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，-3）．将抛物线沿y轴翻折得抛物线．（1）求的解析式；（2）在的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；（3）平行于x轴的一条直线交抛物线于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径．对应训练6．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过原点O，交x轴于点A，其顶点B的坐标为（3，）．（1）求抛物线的函数解析式及点A的坐标；（2）在抛物线上求点P，使S△POA=2S△AOB；（3）在抛物线上是否存在点Q，使△AQO与△AOB相似？如果存在，请求出Q点的坐标；如果不存在，请说明理由．【聚焦中考】1．二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（）A．-3 B．3 C．-6 D．92．抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点个数是（）A．3 B．2 C．1 D．03．（济南）如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需秒．4．牡丹花会前夕，我市某工艺厂设计了一款成本为10元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查，得到如下数据：销售单价x（元/件）…20 30 40 50 60 …每天销售量（y件）…500 400 300 200 100 …（1）把上表中x、y的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）（3）洛阳市物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过35元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？5．在“母亲节”期间，某校部分团员参加社会公益活动，准备购进一批许愿瓶进行销售，并将所得利润捐给慈善机构．根据市场调查，这种许愿瓶一段时间内的销售量y（个）与销售单价x（元/个）之间的对应关系如图所示：（1）试判断y与x之间的函数关系，并求出函数关系式；（2）若许愿瓶的进价为6元/个，按照上述市场调查的销售规律，求销售利润w（元）与销售单价x（元/个）之间的函数关系式；（3）若许愿瓶的进货成本不超过900元，要想获得最大利润，试确定这种许愿瓶的销售单价，并求出此时的最大利润．6．某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100．（利润=售价-制造成本）（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？【备考真题过关】一、选择题1、如图，已知点A（4，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D．当OD=AD=3时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A． B． C．3 D．42、已知抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是（）A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限4．（资阳）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（）A．-1＜x＜5 B．x＞5 C．x＜-1且x＞5 D．x＜-1或x＞53、如图，已知抛物线y1=-2x2+2，直线y2=2x+2，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2．例如：当x=1时，y1=0，y2=4，y1＜y2，此时M=0．下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是或．其中正确的是（）A．①② B．①④ C．②③ D．③④4、如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C-D-E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（-1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．45、若二次函数y=（x+1）（x﹣m）的图象的对称轴在y轴的右侧，则实数m的取值范围是（）A．m＜﹣1 B．﹣1＜m＜0 C．0＜m＜1 D．m＞16、二次函数y=ax2+bx的图象如图，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的最大值为（）A．﹣3 B．3C．﹣6 D．9二、解答题7、如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h= （t-19）2+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？8、某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获得的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）9、某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这写薄板的形状均为正方向，边长在（单位：cm）在5～50之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的．浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．薄板的边长（cm）20 30出厂价（元/张）50 70（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润为26元（利润=出厂价-成本价），①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？10、抛物线y= x2+x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（-2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；（3）若射线NM交x轴于点P，且PA•PB=，求点M的坐标．11、如图，一次函数y=- x+2分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大第 11 页 共 11 页 值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标．14．已知抛物线y= x 2+1（如图所示）．（1）填空：抛物线的顶点坐标是（ ， ），对称轴是 ；（2）已知y 轴上一点A （0，2），点P 在抛物线上，过点P 作PB ⊥x 轴，垂足为B ．若△PAB 是等边三角形，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，点M 在直线AP 上．在平面内是否存在点N ，使四边形OAMN 为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N 的坐标；若不存在，请说明理由．。
九种类型二次函数
九种类型二次函数二次函数是一种经常出现在数学问题中的函数形式，具有以下一般形式：f(x) = ax^2 + bx + c。
其中，a、b和c是常数，a不能为0，x为自变量，f(x)为因变量。
在此基础上，根据a的正负和二次函数的开口方式，我们可以将二次函数分为以下九种类型，分别是：顶点在上方，开口向上；顶点在上方，开口向下；顶点在下方，开口向上；顶点在下方，开口向下；从坐标原点出发，开口向上；从坐标原点出发，开口向下；两个相等的根；无根；两个不相等的根。
下面将对这九种类型进行详细解析。
类型一：顶点在上方，开口向上这种情况下，a的值为正，表示抛物线开口向上，形状类似于一个U 形。
顶点是函数的最低点，可以通过计算顶点的坐标来确认抛物线的位置。
类型二：顶点在上方，开口向下这种情况下，a的值仍然为正，表示抛物线开口向下，形状仍然类似于一个U形。
顶点是函数的最高点。
类型三：顶点在下方，开口向上这种情况下，a的值为负，表示抛物线开口向上，形状类似于一个倒过来的U形。
顶点是函数的最低点。
类型四：顶点在下方，开口向下这种情况下，a的值仍然为负，表示抛物线开口向下，形状类似于一个倒过来的U形。
顶点是函数的最高点。
类型五：从坐标原点出发，开口向上这种情况下，a的值为正，表示抛物线开口向上，形状类似于一个V 形。
抛物线通过坐标原点。
类型六：从坐标原点出发，开口向下这种情况下，a的值仍然为正，表示抛物线开口向下，形状类似于一个V形。
抛物线也通过坐标原点。
类型七：两个相等的根这种情况下，二次函数图像与x轴有一个交点，也就是只有一个解。
可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0来找到这个相等的根。
类型八：无根这种情况下，二次函数图像与x轴没有交点，也就是没有实根。
可以通过求解二次方程ax^2 + bx + c = 0来确认是否有实根。
类型九：两个不相等的根这种情况下，二次函数图像与x轴有两个交点，也就是有两个不相等的实根。
2024中考备考重难点01 二次函数与几何的综合训练(9大题型+限时分层检测)
重难点01 二次函数与几何图形的综合练习中考数学中《二次函数与几何图形的综合练习》部分主要考向分为九类：一、二次函数与几何变换的综合（选择性考，10~12分）二、二次函数与直角三角形的综合（选择性考，10~12分）三、二次函数与等腰三角形的综合（选择性考，10~12分）四、二次函数与相似三角形的综合（选择性考，10~12分）五、二次函数与四边形的综合（选择性考，10~12分）六、二次函数与最值的综合（选择性考，10~12分）七、二次函数与新定义的综合（选择性考，10~12分）八、二次函数与圆的综合（选择性考，10~12分）九、二次函数与角的综合（选择性考，10~12分）因为二次函数是大多数中考压轴题的几何背景，所以，训练二次函数与其他几何图形的综合问题非常必要，只要自己见过一定量的题型，才能再遇到对应类型的压轴题时不至于新生畏惧。
所以，本专题就常见的中考数学中二次函数的几种结合类型的压轴题进行训练，希望大家在训练中摸索方法，掌握技能，练就心态！考向一：二次函数与几何变换的综合1．（2023•武汉）抛物线交x轴于A，B两点（A在B的左边），交y轴于点C．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）如图（1），作直线x＝t（0＜t＜4），分别交x轴，线段BC，抛物线C1于D，E，F三点，连接CF，若△BDE与△CEF相似，求t的值；（3）如图（2），将抛物线C1平移得到抛物线C2，其顶点为原点．直线y＝2x与抛物线交于O，G两点，过OG的中点H作直线MN（异于直线OG）交抛物线C2于M，N两点，直线MO与直线GN交于点P．问点P是否在一条定直线上？若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由．2．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的表达式；（2）当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接BP交AC于点D，如图1，当的值最大时，求点P 的坐标及的最大值；（3）过点P作x轴的垂线交直线AC于点M，连结PC，将△PCM沿直线PC翻折，当点M的对应点M′恰好落在y轴上时，请直接写出此时点M的坐标．考向二：二次函数与直角三角形的综合1．（2023•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3的顶点为P．直线l过点M （0，m）（m≥﹣3），且平行于x轴，与抛物线L1交于A、B两点（B在A的右侧）．将抛物线L1沿直线l翻折得到抛物线L2，抛物线L2交y轴于点C，顶点为D．（1）当m＝1时，求点D的坐标；（2）连接BC、CD、DB，若△BCD为直角三角形，求此时L2所对应的函数表达式；（3）在（2）的条件下，若△BCD的面积为3，E、F两点分别在边BC、CD上运动，且EF＝CD，以EF为一边作正方形EFGH，连接CG，写出CG长度的最小值，并简要说明理由．2．（2023•内江）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于B（4，0），C（﹣2，0）两点，与y轴交于点A（0，﹣2）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．考向三：二次函数与等腰三角形的综合1．（2023•青海）如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴相交于点A和点C（1，0），交y轴于点B（0，3）．（1）求此二次函数的解析式；（2）设二次函数图象的顶点为P，对称轴与x轴交于点Q，求四边形AOBP的面积（请在图1中探索）；（3）二次函数图象的对称轴上是否存在点M，使得△AMB是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．2．（2023•娄底）如图，抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣1，0）、点B（5，0），交y轴于点C．（1）求b，c的值．（2）点P（x0，y0）（0＜x0＜5）是抛物线上的动点．①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考向四：二次函数与相似三角形的综合1．（2023•乐至县）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大值；（3）点Q是线段AO上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交y轴于点N．是否存在点P，使△ABQ与△BQN相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．2．（2023•随州）如图1，平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），B（2，0）和C （0，2），连接BC，点P（m，n）（m＞0）为抛物线上一动点，过点P作PN⊥x轴交直线BC于点M，交x轴于点N．（1）直接写出抛物线和直线BC的解析式；（2）如图2，连接OM，当△OCM为等腰三角形时，求m的值；（3）当P点在运动过程中，在y轴上是否存在点Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与以B，C，N为顶点的三角形相似（其中点P与点C相对应），若存在，直接写出点P和点Q的坐标；若不存在，请说明理由．考向五：二次函数与四边形的综合1．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．定义：若一次函数的图象与二次函数的图象有两个交点，并且都在坐标轴上，则称二次函数为一次函数的轴点函数．【初步理解】（1）现有以下两个函数：①y＝x2﹣1；②y＝x2﹣x，其中，为函数y＝x﹣1的轴点函数．（填序号）【尝试应用】（2）函数y＝x+c（c为常数，c＞0）的图象与x轴交于点A，其轴点函数y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为点B．若OB＝OA，求b的值．【拓展延伸】（3）如图，函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的图象与x轴、y轴分别交于M，C两点，在x轴的正半轴上取一点N，使得ON＝OC．以线段MN的长度为长、线段MO的长度为宽，在x轴的上方作矩形MNDE．若函数y＝x+t（t为常数，t＞0）的轴点函数y＝mx2+nx+t的顶点P在矩形MNDE的边上，求n的值．3．（2023•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x+c经过点A（﹣2，0）和点B（4，0），且与直线l：y＝﹣x﹣1交于D、E两点（点D在点E的右侧），点M为直线l上的一动点，设点M的横坐标为t．（1）求抛物线的解析式．（2）过点M作x轴的垂线，与抛物线交于点N．若0＜t＜4，求△NED面积的最大值．（3）抛物线与y轴交于点C，点R为平面直角坐标系上一点，若以B、C、M、R为顶点的四边形是菱形，请求出所有满足条件的点R的坐标．考向六：二次函数与最值的综合1．（2023•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），连接AP，AQ．（1）求此抛物线的解析式．（2）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．（3）当∠P AQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2，当h2﹣h1＝m时，直接写出m的值．2．（2023•聊城）如图①，抛物线y＝ax2+bx﹣9与x轴交于点A（﹣3，0），B（6，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是x轴上任意一点．（1）求抛物线的表达式；（2）点Q在抛物线上，若以点A，C，P，Q为顶点，AC为一边的四边形为平行四边形时，求点Q的坐标；（3）如图②，当点P（m，0）从点A出发沿x轴向点B运动时（点P与点A，B不重合），自点P分别作PE∥BC，交AC于点E，作PD⊥BC，垂足为点D．当m为何值时，△PED面积最大，并求出最大值．考向七：二次函数与新定义的综合1．（2023•南通）定义：平面直角坐标系xOy中，点P（a，b），点Q（c，d），若c＝ka，d＝﹣kb，其中k 为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”．例如，点（﹣4，6）是点（2，3）的“﹣2级变换点”．（1）函数y＝﹣的图象上是否存在点（1，2）的“k级变换点”？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；（2）动点A（t，t﹣2）与其“k级变换点”B分别在直线l1，l2上，在l1，l2上分别取点（m2，y1），（m2，y2）．若k≤﹣2，求证：y1﹣y2≥2；（3）关于x的二次函数y＝nx2﹣4nx﹣5n（x≥0）的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线y＝﹣x+5上，求n的取值范围．2．（2023•宿迁）规定：若函数y1的图象与函数y2的图象有三个不同的公共点，则称这两个函数互为“兄弟函数”，其公共点称为“兄弟点”．（1）下列三个函数①y＝x+1；②；③y＝﹣x2+1，其中与二次函数y＝2x2﹣4x﹣3互为“兄弟函数”的是（填写序号）；（2）若函数与互为“兄弟函数”，x＝1是其中一个“兄弟点”的横坐标．①求实数a的值；②直接写出另外两个“兄弟点”的横坐标是、；（3）若函数y1＝|x﹣m|（m为常数）与互为“兄弟函数”，三个“兄弟点”的横坐标分别为x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，求的取值范围．考向八：二次函数与圆的综合1．（2023•湘西州）如图（1），二次函数y＝ax2﹣5x+c的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（b，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求二次函数的解析式和b的值．（2）在二次函数位于x轴上方的图象上是否存在点M，使？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图（2），作点A关于原点O的对称点E，连接CE，作以CE为直径的圆．点E′是圆在x轴上方圆弧上的动点（点E′不与圆弧的端点E重合，但与圆弧的另一个端点可以重合），平移线段AE，使点E移动到点E′，线段AE的对应线段为A′E′，连接E′C，A′A，A′A的延长线交直线E′C于点N，求的值．2．（2023•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，c＝﹣1，且该二次函数的图象过点（2，0），求b的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，该二次函数的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜0＜x2，点D在⊙O上且在第二象限内，点E在x轴正半轴上，连接DE，且线段DE交y轴正半轴于点F，．①求证：．②当点E在线段OB上，且BE＝1．⊙O的半径长为线段OA的长度的2倍，若4ac＝﹣a2﹣b2，求2a+b的值．考向九：二次函数与角的综合1．（2023•无锡）已知二次函数y＝（x2+bx+c）的图象与y轴交于点A，且经过点B（4，）和点C （﹣1，）．（1）请直接写出b，c的值；（2）直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y＝（x2+bx+c）图象上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．①求EF的最大值；②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．2．（2023•营口）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D（3，0），过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当＝时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF＝∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（建议用时：150分钟）1．（2023•宜兴市一模）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，则∠ACB＝°；M是二次函数在第四象限内图象上一点，作MQ∥y轴交BC 于Q，若△NQM是以NQ为腰的等腰三角形，则线段NC的长为．2．（2023•越秀区一模）如图，抛物线与H：交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论：①无论x取何值，y2总是负数；②抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到；③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小；④四边形AECD为正方形．其中正确的是．（填写正确的序号）3．（2023•晋州市模拟）如图所示，已知在平面直角坐标系xOy中，点A（15，8），点M是横轴正半轴上的一个动点，⊙P经过原点O，且与AM相切于点M．（1）当AM⊥x轴时，点P的坐标为；（2）若点P在第一象限，设点P的坐标为（x，y），则y关于x的函数关系式为（不用写出自变量x的取值范围）；（3）当射线OP与直线AM相交时，点M的横坐标t的取值范围是．4．（2024•道里区模拟）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点D为直线BC上方抛物线上一动点，连接AC、CD，设直线BC交线段AD于点E，△CDE的面积为S1，△ACE的面积为S2当最大值时，求点D的坐标；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CD、BD，将△BCD沿BC翻折，得到△BCF（点D和点F为对应点），直线BF交y轴于点P，点S为BC中点，连接PS，过点S作SP的垂线交x轴于点R，在对称轴TH上有一点Q，使得△PQB是以PB为直角边的直角三角形，求直线RQ的解析式．5．（2023•枣庄）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（﹣1，0），C（0，3）两点，并交x轴于另一点B，点M是抛物线的顶点，直线AM与y轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若点H是x轴上一动点，分别连接MH，DH，求MH+DH的最小值；（3）若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上是否存在点Q，使得以D，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2023•东莞市一模）抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．连结BC，以BC为边，点O为中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，交BD于点M．（1）求该抛物线对应的函数表达式；（2）x轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P在线段OB上运动时，试探究：当m为何值时，四边形CQMD是平行四边形？请说明理由．7．（2024•碑林区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，点M为y轴负半轴上一点，且OM＝2．（1）求二次函数表达式；（2）点E是线段AB（包含A，B）上的动点，过点E作x轴的垂线，交二次函数图象于点P，交直线AM于点N，若以点P，N，A为顶点的三角形与△AOM相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2024•镇海区校级模拟）若二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2的图象关于点P（1，0）成中心对称图形，我们称y1与y2互为“中心对称”函数．（1）求二次函数y＝x2+6x+3的“中心对称”函数的解析式；（2）若二次函数y＝ax2+2ax+c（a＞0）的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式；（3）二次函数y1＝ax2+bx+c（a＜0）的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若AB＝2BP，且四边形AMDN 为矩形，求b2﹣4ac的值．9．（2024•雁塔区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是（﹣4，0），点B的坐标是（1，0），与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接OP，是否存在点P，使得∠OPD＝2∠CAO？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．10．（2024•长沙模拟）若两条抛物线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，并满足y1﹣kx1＝y2﹣kx2，其中k为常数，我们不妨把k叫做这两条抛物线的“依赖系数”．（1）若两条抛物线相交于A（﹣2，2），B（﹣4，4）两点，求这两条抛物线的“依赖系数”；（2）若抛物线1：y＝2ax2+x+m与抛物线2：y＝ax2﹣x﹣n相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，其中a＞0，求抛物线1与抛物线2的“依赖系数”；（3）如图，在（2）的条件下，设抛物线1和2分别与y轴交于C，D两点，AB所在的直线与y轴交于E点，若点A在x轴上，m≠0，DA＝DC，抛物线2与x轴的另一个交点为点F，以D为圆心，CD为半径画圆，连接EF，与圆相交于G点，求tan∠ECG．11．（2023•嘉善县一模）“距离”是数学研究的重要对象，如我们所熟悉的两点间的距离．现在我们定义一种新的距离：已知P（a，b），Q（c，d）是平面直角坐标系内的两点，我们将|a﹣c|+|b﹣d|称作P，Q间的“L型距离”，记作L（P，Q），即L（P，Q）＝|a﹣c|+|b﹣d|．已知二次函数y1的图象经过平面直角坐标系内的A，B，C三点，其中A，B两点的坐标为A（﹣1，0），B（0，3），点C在直线x＝2上运动，且满足L（B，C）≤BC．（1）求L（A，B）；（2）求抛物线y1的表达式；（3）已知y2＝2tx+1是该坐标系内的一个一次函数．①若D，E是y2＝2tx+1图象上的两个动点，且DE＝5，求△CDE面积的最大值；②当t≤x≤t+3时，若函数y＝y1+y2的最大值与最小值之和为8，求实数t的值．12．（2023•任城区二模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；13．（2023•姑苏区校级二模）探究阅读题：【阅读】在大自然里，有很多数学的奥秘，一片美丽的心形叶片，一棵生长的幼苗都可以看作把一条抛物线的一部分沿直线折叠而形成．（如图1和图2）【探究任务1】确定心形叶片的形状如图3建立平面直角坐标系，心形叶片下部轮廓线可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分，且过原点，求抛物线的解析式和顶点D的坐标．【探究任务2】研究心形叶片的尺寸如图3，心形叶片的对称轴直线y＝x+2与坐标轴交于A、B两点，直线x＝6分别交抛物线和直线AB于点E、F点，点E、E′是叶片上的一对对称点，EE′交直线AB与点G，求叶片此处的宽度EE′．【探究任务3】研究幼苗叶片的生长小李同学在观察幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线都可以看作是二次函数y＝mx2﹣4mx﹣20m+5图象的一部分．如图4，幼苗叶片下方轮廓线正好对应探究任务1中的二次函数，已知直线PD与水平线的夹角为45°，三天后，点D长到与点P同一水平位置的点D′时，叶尖Q落在射线OP上，如图5所示，求此时幼苗叶子的长度和最大宽度．。
九年级数学下册 第二章 二次函数素养集训 1二次函数的图象与性质应用的八种常见类型习
②若 y1＝y2，即－a＋12＝3a－32时，得 a＝12，此时 y1＝y2＝0≠1， 舍去．
③若 y1>y2，即－a＋12>3a－32时，得 0<a<12， ∴－a＋12＝1，得 a＝－12(舍去)． ∴综上知，a 的值为56.
(3)将线段AB向右平移2个单位长度得到线段A′B′，若线段 A′B′与抛物线y＝ax2＋bx＋c＋4a－1仅有一个交点，求a 的取值范围．
解：设点 D 的坐标为(x，－12x2＋32x＋2)， 则点 E 的坐标为x，－12x＋2，
∴DE＝－12x2＋32x＋2－－12x＋2 ＝－12x2＋32x＋2＋12x－2 ＝－12x2＋2x ＝－12(x－2)2＋2. ∵－12＜0，∴当 x＝2 时，线段 DE 的长度最大，
此时，点D的坐标为(2，3)．
仅有一个交点，
∴方程ax2－(2a＋1)x＋4a＋ 1 2
＝－x＋
72在2≤x≤4的范围内
仅有一个根，
即ax2－2ax＋4a－3＝0在2≤x≤4的范围内仅有一个根，
即抛物线y＝ax2－2ax＋4a－3在2≤x≤4的范围内与x轴仅有
一个交点，
即只需当x＝2时，对应的函数值小于或等于0，且当x＝4时，
北师版 九年级下
第二章 二次函数
素养集训 1．二次函数的图象与性质应用的八种
常见类型
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1．【中考·宁波】如图，已知二次函数y＝x2＋ax＋3的图 象经过点P(－2，3)．
(1)求a的值和图象的顶点坐标． 解：把点P(－2，3)的坐标代入y＝x2＋ax＋3， 得3＝(－2)2－2a＋3，解得a＝2. ∴y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2. ∴图象的顶点坐标为(－1，2)．
二次函数综合题存在性问题分类训练(9种类型)(学生版)--2023-2024学年九年级数学上册重难点
二次函数综合题存在性问题分类训练(9种类型)【类型一存在性之等腰三角形】1如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B3,0，C0,-3．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标；(3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来．2如图，已知抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴交于A-1,0，B2,0两点，与y轴交于点C．(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；(2)若F为抛物线上一点，连接BC，是否存在以BC为底的等腰△BCF？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．3如图，已知抛物线y=-x2+bx+c经过B-3,0两点，与x轴的另一个交点为A．,C0,3(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线对称轴上找一点E，使得AE+CE的值最小，求出点E的坐标；(3)设点P为x轴上的一个动点，是否存在使△BPC为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．4如图，已知抛物线y=-x2+bx+c经过B(-3，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为A．(1)求抛物线的解析式；(2)若直线y=mx+n经过B，C两点，则m=；n=；(3)在抛物线对称轴上找一点E，使得AE+CE的值最小，直接写出点E的坐标；(4)设点P为x轴上的一个动点，是否存在使△BPC为等腰三角形的点P，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．【类型二存在性之直角三角形】5如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=12x-2的图象分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y=x2+bx+c经过点A、B，E是线段OA的中点．(1)求抛物线的解析式；(2)点F是抛物线上的动点，当∠OEF=∠BAE时，求点F的横坐标；(3)在抛物线上是否存在点P，使得△ABP是以点A为直角顶点的直角三角形，若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．(4)抛物线上(AB下方)是否存在点M，使得∠ABM=∠ABO？若存在，求出点M到y轴的距离，若不存在，请说明理由．6如图，已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=2，与y轴交于点C0,3，与x轴交于点A和点B．(1)求抛物线的解析式和点A、B的坐标；(2)设点P为抛物线的对称轴直线x=2上的一个动点，求使△PBC为直角三角形的点P的坐标．7如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx-3与直线l:y=x+1交于A，B两点，点A的坐标为-1，0．(1)求抛物线的解析式及点B的坐标；(2)已知抛物线与x轴有2个交点，右侧交点为C，点P为线段AB上任意一点(不含端点)，若△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标．8如图，一次函数y=12x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数y=12x2+bx+c的图象与一次函数y=12x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点，且D点坐标为1,0．(1)求抛物线的解析式；(2)在x轴上找一点P，使|PB-PC|最大，求出点P的坐标；(3)在x轴上是否存在点P，使得△PBC是以点P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【类型三存在性之等腰直角三角形】9如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OB=4，OC=8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．(3)点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．10如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-23x2+43x+2与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点P为直线BC上方抛物线上一动点．(1)求直线BC的解析式；(2)过点A作AD∥BC交抛物线于D，连接CA，CD，PC，PB，记四边形ACPB的面积为S1，△BCD的面积为S2，当S1-S2的值最大时，求P点的坐标和S1-S2的最大值；(3)如图2，将抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线经过点O，G为平移后的抛物线的对称轴直线l上一动点，将线段AC沿直线BC平移，平移过程中的线段记为A′C′(线段A'C'始终在直线l左侧)，是否存在以A′，C′，G为顶点的等腰直角△A′C′G？若存在，请写出满足要求的所有点G的坐标并写出其中一种结果的求解过程，若不存在，请说明理由．11如图所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OB=4，OC=8，抛物线的对称轴与直线BC交于点M，与x轴交于点N．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是对称轴上的一个动点，是否存在以P、C、M为顶点的三角形与△MNB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．(3)D为CO的中点，一个动点G从D点出发，先到达x轴上的点E，再走到抛物线对称轴上的点F，最后返回到点C．要使动点G走过的路程最短，请找出点E、F的位置，写出坐标，并求出最短路程．(4)点Q是抛物线上位于x轴上方的一点，点R在x轴上，是否存在以点Q为直角顶点的等腰Rt△CQR？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．12如图，在平面直角坐标系中，将一等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，其中A的坐标为(0,2)，直角顶点C的坐标为(-1,0)，点B在抛物线y=ax2+ax-2上．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为D，连结BD、CD，求△DBC的面积；(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外)，使△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【类型四存在性之平行四边形】13在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点(-1,0)，(3,0)和0,3．(1)求抛物线的表达式；(2)若直线x=m与x轴交于点N，在第一象限内与抛物线交于点M，当AN+MN有最大值时，求出抛物线上点M的坐标；(3)若点P为抛物线y=ax2+bx+c(a≠0))的对称轴上一动点，将抛物线向左平移1个单位长度后，Q为平移后抛物线上一动点，在(2)的条件下求得的点M，是否能与A，P，Q构成平行四边形？若能构成，求出Q点坐标；若不能构成，请说明理由．14如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2，点A的坐标为(1,0)．(1)求该抛物线的表达式及顶点坐标；(2)在直线BC的下方的抛物线上存在一点M，使得△BCM的面积最大，请求出点M的坐标(3)点F是抛物线上的动点，点D是抛物线顶点坐标，作EF∥AD交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．15如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c(b、c为常数)的顶点坐标为32,-258，与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C，点C，点D关于x轴对称，连接AD，作直线BD．(1)求b、c的值；(2)求点A、B的坐标；(3)求证：∠ADO=∠DBO；(4)点P在抛物线y=-12x2+bx+c上，点Q在直线BD上，当以点C、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点Q的坐标．16如图，抛物线y=ax2+2ax+c与y轴负半轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为(1,0)，OC=3OB．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D是第三象限抛物线上的动点，连接AC，当△ACD的面积为3时，求出此时点D的坐标；(3)将抛物线y=ax2+2ax+c向右平移2个单位，平移后的抛物线与原抛物线相交于点M，N在原抛物线的对称轴上，H为平移后的抛物线上一点，当以A、M、H、N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点H的坐标．【类型五存在性之菱形】17如图，抛物线y=ax2+bx+c过点A-1,0．,B3,0,C0,3(1)求抛物线的解析式；(2)设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标；(3)若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B、C、M、N为顶点的四边形是菱形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．18综合与探究：如图，已知抛物线y=-38x2+94x+6与x轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C．直线BC与抛物线的对称轴交于点E．将直线BC沿射线CO方向向下平移n个单位，平移后的直线与直线AC 交于点F，与抛物线的对称轴交于点D．(1)求出点A，B，C的坐标，并直接写出直线AC，BC的解析式；(2)当△CDB是以BC为斜边的直角三角形时，求出n的值；(3)直线BC上是否存在一点P，使以点D，E，F，P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．19如图，直线y =mx +n m ≠0 ．与抛物线y =-x 2+bx +c 交于A -1,0 ，B 2,3 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点C 在抛物线上，且△ABC 的面积为3，求点C 的坐标；(3)若点P 在抛物线上，PQ ⊥OA 交直线AB 于点Q ，点M 在坐标平面内，当以B ,P ,Q ,M 为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M 的坐标．20如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-32x2+32x+3与x轴交于点A和点B(点A在点B左侧)，与y轴交于点C．(1)求直线BC的解析式；(2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交BC于点D，过点P作x轴的平行线交BC于点E，求PE+3PD的最大值及此时点P的坐标；(3)如图2，在(2)中PE+3PD取得最大值的条件下，将抛物线y=-32x2+32x+3沿着射线CB方向平移得到新抛物线y ，且新抛物线y 经过线段BC的中点F，新抛物线y 与y轴交于点M，点N为新抛物线y 对称轴上一点，点Q为坐标平面内一点，若以点P，Q，M，N为顶点的四边形是以PN为边的菱形，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程．【类型六存在性之矩形】21如图①，抛物线y=ax2+x+c a≠0与x轴交于A(-2,0)，B(6,0)两点，与y轴交于点C，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为点D，PD交直线BC于点E，设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的解析式；(2)如图②．过点P作PF⊥CE，垂足为点F，当CF=EF时，请求出m的值；(3)如图③，连接CP，当四边形OCPD是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使原点O关于直线CQ的对称点O 恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点Q的坐标．22已知抛物线y =ax 2+bx -4a ≠0 交x 轴于点A 4,0 和点B -2,0 ，交y 轴于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P 是抛物线上位于直线AC 下方的动点，过点P 分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线AC 于点D ，交x 轴于点E ，当PD +PE 取最大值时，求点P 的坐标及PD +PE 最大值．(3)在抛物线上是否存在点M ，对于平面内任意点N ，使得以A 、C 、M 、N 为顶点且AC 为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M 、N 的坐标，不存在，请说明理由．23综合与探究如图，抛物线y=ax2-3x+c a≠0与x轴交于A(4，0)，C两点，交y轴于点B(0，-4)，点P为y轴右侧抛物线上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当P在AB下方时，求△ABP面积的最大值；(3)当∠ABP=15°时，△BOP的面积为；(4)点M为抛物线对称轴上的一点，点N为平面内一点，是否存点M、点N，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点M的坐标；如不存在，请说明理由．24如图，直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2-83x+c(a≠0)经过A，C两点，交x轴的正半轴于点B，连接BC．(1)求抛物线的解析式．(2)点P在抛物线上，连接PB，当∠PBC=45°时，求点P的坐标；(3)已知点M从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BA运动，同时点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿OC，CA运动．当点M，N运动到某一时刻时，在坐标平面内是否存在点D，使得以A，M，N，D为顶点的四边形是矩形?若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【类型七存在性之正方形】25如图，抛物线y=-14x2+bx+c的对称轴与x轴交于点A1,0，与y轴交于点B0,3，C为该抛物线图象上的一个动点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，当点C在第一象限，且∠BAC=90°，求ACAB的值；(3)点D在抛物线上(点D在点C的左侧，不与点B重合)，点P在坐标平面内，问是否存在正方形ACPD？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．26综合与探究如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于A-2,0，B4,0两点，与y轴交于点C，直线y=23x-4与x轴交于点D，与y轴交于点E．若M为第一象限内抛物线上一点，过点M且垂直于x轴的直线交DE于点N，连接MC，MD．(1)求抛物线的函数表达式及D，E两点的坐标．(2)当CM=EN时，求点M的横坐标．(3)G为平面直角坐标系内一点，是否存在点M使四边形MDEG是正方形．若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．27如图，已知直线y=-x+4与抛物线y=ax2+bx交于点A4,0两点，点P为抛物线上和B-1,5一动点，过点P作x轴的垂线，交直线AB于Q，PN⊥AB于点N．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线AB下方时，求线段PN的最大值；(3)是否存在点P使得△ABP是直角三角形，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由；(4)坐标轴上是否存在点M，使得以点P，N，Q，M为顶点的四边形是正方形，若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由28如图，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于点A和点B4，0，与y轴交于点C0，4，点E在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)点E在第一象限内，过点E作EF∥y轴，交BC于点F，作EH∥x轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧，以线段EF,EH为邻边作矩形EFGH，当矩形EFGH的周长为11时，求线段EH的长；(3)点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形OENM是正方形时，请直接写出点N的坐标．【类型八存在性之相似三角形】29如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-2与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，经过点x+2交抛物线于点D，点D与点A的横坐标互为相反数，P是抛物线上一动点，连接A的直线y=-12AC．(1)求抛物线的表达式；(2)若点P在第一象限内的抛物线上，当∠PBA=2∠BAD时，求直线BP的表达式；(3)点Q在y轴上，若△DQP∽△COA，请直接写出点P的坐标．30如图，已知抛物线过三点O0,0，弧AB过线段OA的中点C，若点E为弧AB，B2,23，A8,0所在圆的圆心．(1)求该抛物线的解析式．(2)求圆心点E的坐标，并判断点E是否在这条抛物线上．(3)若弧BC的中点为P，是否在x轴上存在点M，使得△APB与△AMP相似？若存在，请求出点M的坐标，若不存在说明理由．31如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点，OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t，①是否存在一点P，使△PCD的面积最大？若存在，求出△PCD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．②设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，直接写出当△CEF与△COD相似时，点P的坐标；32如图，抛物线y=12x2+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A-4,0，C0,-2．(1)求抛物线和直线AC的函数解析式；(2)若点E是线段AC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，求四边形CDAF的最大面积；(3)在抛物线的对称轴上找一点P，使得以A、D、P为顶点的三角形与△OAC相似，请直接写出点P的坐标．【类型九存在性之角度问题】33如图，抛物线y=ax2+bx+2经过A-1,0为抛物线上、B4,0两点，与y轴交于点C，点D x,y 第一象限内的一个动点．(1)求抛物线所对应的函数表达式；(2)当△BCD的面积为4时，求点D的坐标；(3)该抛物线上是否存在点D，使得∠DCB=2∠ABC，若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．34如图，抛物线y=ax2+bx-1a≠0与x轴交于点A1,0和点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D3,0，过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE⊥CD，交直线l于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当BQPQ=57时．求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF=∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．35如图，在平面直角坐标系xoy中，顶点为M的抛物线y=ax2+bx a>0经过点A(-1,3)和x轴正半轴上的点B，AO=OB．(1)求这条抛物线的表达式；(2)联结OM，求∠AOM的度数；(3)联结AM、BM、AB，若在坐标轴上存在一点P，使∠OAP=∠ABM，求点P的坐标．36如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-2(a≠0)与x轴交于A1,0两点，，B3,0与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为0,-1，该抛物线与BE交于另一点F，连接BC．(1)求该抛物线的解析式．(2)一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿与y轴平行的方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒(t>0)，在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB=90°？(3)在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．。
二次函数九种类型
二次函数九种类型
二次函数是一种形式为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、 b、c是实数且a ≠ 0。
下面将介绍九种常见的二次函数类型。
1.普通二次函数：
f(x) = ax^2 + bx + c，a、 b、 c是实数且a ≠ 0。
2.单调递增二次函数：
当a>0时，二次函数开口向上，且图像为单调递增曲线。
3.单调递减二次函数：
当a<0时，二次函数开口向下，且图像为单调递减曲线。
4.对称轴与x轴平行的二次函数：
当c=0时，二次函数的图像与x轴平行，也称为抛物线。
5.对称轴垂直于x轴的二次函数：
当b=0时，二次函数的对称轴为y轴，图像左右对称。
6.对称轴为y=k的二次函数：
当对称轴为y=k时，二次函数的图像关于直线y=k对称。
7.最值与顶点：
当a>0时，二次函数的最小值为顶点，当a<0时，二次函数的最大值
为顶点。
8.关于x轴对称的二次函数：
当对称轴为x轴时，二次函数与x轴关于原点对称。
9.关于y轴对称的二次函数：
当对称轴为y轴时，二次函数与y轴关于原点对称。
这些是常见的二次函数类型，每种类型都有独特的特点和性质。
通过研究这些类型，可以更好地理解和分析二次函数的图像和特性。
在实际应用中，二次函数常用于描述抛物线运动、曲线拟合以及经济学、物理学等领域中的问题。
2023年中考数学--- a,b,c和二次函数图像的九种考法例题解析
2023年中考数学--- a ，b ，c 和二次函数图像的九种考法例题解析如图，二次函数的图像关于直线对称，与x 轴交于，两点，若考法解决方法本题结果①a,b,ca:二次函数图像开口向上时，a ＞0；开口向下，则a ＜0；b ：和a 共同决定了函数对称轴的位置，“左同右异”，当对称轴在y 轴左侧时，a ，b 同号，当对称轴在y 轴右侧时，a ，b 异号。
c ：c 为图像和y 轴交点的纵坐标。
a ＞0b ＜0c ＜0②b 2−4ac当图像和x 轴有两个交点时，b 2−4ac ＞0； 当图像和x 轴有一个交点时，b 2−4ac =0； 当图像和x 轴没有交点时，b 2−4ac ＜0。
b 2−4ac ＜0 ③a+b+c a-b+c 4a+2b+c 4a-2b+c 9a+3b+c 9a-3b+c 用特殊值进行判断：a+b+c 即为当x=1时的函数值； 4a-2b+c 即为当x=-2时的函数值。
a+b+c ＜0 a-b+c ＜0④3a+2b只有a ，b 时，用对称轴代换，消去一个未知数进行判断∵−b2a = 1，∴b=- 2а，∴3a ＋2b= 3a-4a= -a ，∵a ＞0，∴3a+2b<0⑤c+a 只有a ，c 或只有b ，c 时，先用对称轴代换，消去一个未知数，然后利用④中的结果判断结果∵a －b ＋c<0，∴a ＋c<b ，∵a ＞0， ∴b=-2a<0，∴a ＋c<0， ⑥b+2c若c 的系数不是1，可以先化成1再进行上述计算,或这把③中的某个式子中的c 的系数变成题里的形式。
∵−b 2a=1,∴2a =−b , ∵a+b ＋c<0，∴2a+2b ＋2c<0，-b+2b ＋2c<0，b ＋2c<0 ⑦am 2+bm 和a +b 的小小关系同时加上c ，am 2+bm+c ，a +b+c第一个式子是当x=m 时的函数值，第二个am 2+bm ≥a+b式子是当x=1时的函数值；由图可知，x=1时函数取最小值。
人教版九年级数学上册作业课件 第二十二章 二次函数 专题课堂(六) 二次函数的实际应用
解：(1)由题意可知∠B＝60°，BP＝(3－t)cm，BQ＝t cm.若△PBQ 是直角三角形，则∠BPQ＝30°或∠BQP＝30°，于是 BQ＝12 BP 或 BP ＝12 BQ，即 t＝12 (3－t)或 3－t＝12 t，解得 t＝1 或 t＝2，即当 t 为 1 s 或 2 s 时，△PBQ 是直角三角形
(2)过点 P 作 PM⊥BC 于点 M，则易知 BM＝12 BP＝12 (3－t)，∴PM＝
BP2－BM2
＝
3 2
(3－t)，∴S
四边形 APQC＝S△ABC－S△PBQ＝12
×3×32
3 －12
3 t·2
(3－t)＝
3 4
t2－34 3
t＋94 3
，即
y＝
3 4
t2－3 43
t＋9 43
，易知
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第二十二章 二次函数
专题课堂(六) 二次函数的实际应用
类型一：以利润问题为背景
1．(2020·宿迁)某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，
该种商品的每天销售量y(千克)与销售单价x(元/千克)满足一次函数关系，
其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示：
(1)求y(千克)与x(元/千克)之间的函数关系式；
－2x＋80（0＜x≤20，x为正整数） 4x－40（20＜x≤30，x为正整数）
(2)设当月第 x 天的销售额为 w 元，当 0＜x≤20 时，w＝(25 x＋4)×(－
2x＋80)＝－45 (x－15)2＋500，∴当 x＝15 时，w 取得最大值，w 最大值＝500，
当 20＜x≤30 时，w＝(－15 x＋12)×(4x－40)＝－45 (x－35)2＋500，∴当 x ＝30 时，w 取得最大值，w 最大值＝480，综上可得，当 x＝15 时，w 取得最 大值，w 最大值＝500，答：当月第 15 天，该农产品的销售额最大，最大销售 额是 500 元
《二次函数》题型总结
二次函数题型总结一、二次函数的定义（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x 2－4x+1； ①y=2x 2； ①y=2x 2+4x ； ①y=－3x ； ①y=－2x －1； ①y=mx 2+nx+p ； ①y =； ①y=－5x 。
2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2+2t ，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。
3、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。
4、若函数y=(m －2)x m －2+5x+1是关于x 的二次函数，则m 的值为 。
6、已知函数y=(m －1)x m2 +1+5x －3是二次函数，求m 的值。
二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数的对称轴、顶点、最值记忆：如果解析式为顶点式：y=a(x －h)2+k ，则对称轴为： ，最值为： ；如果解析式为一般式：y=ax 2+bx+c ，则对称轴为： ，最值为： ；如果解析式为交点式：y=(x -x 1)(x -x 2), 则对称轴为： ，最值为： 。
1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。
2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．若抛物线y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴6．已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －14 的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ .7．抛物线y=x 2+2x －3的对称轴是 。
九年级二次函数知识点总结
二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
注意：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的取值范围是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. k ax y +=2的性质：上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.3. 交点式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠． （1）0a >⇔抛物线开口向上。
二次函数解析式的8种求法(9年级下)
二次函数解析式的8种求法二次函数的解析式的求法是数学教学的难点，学不易掌握．他的基本思想方法是待定系数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下，和大家共勉：一、定义型：此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a ≠0； 2、x 的最高次数为2次．例1、若 y =( m 2+ m )x m 2 – 2m －1是二次函数，则m = ．二、开放型此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一． 例2、经过点A （1，3）的抛物线的解析式是 ．三、平移型：将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h )2 + k ，a 的值不变，口诀为：左加右减，上加下减．例3、二次函数 253212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向 平移 个 单位，再向 平移 个单位得到的．以上三类题目多出现在选择题或是填空题目中四、一般式当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式c b a y ++=χχ2，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值；五、顶点式若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式()k h x a y +-=2．这顶点坐标为（ h ，k ），对称轴方程x = h ，极值为当x = h 时，y 极值=k 来求出相应的系数；六、两根式已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ，，，，设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=，根据题目条件求出a 的值．例4、根据下面的条件，求二次函数的解析式：1．图像经过（1，－4），（－1，0），（－2，5）2．图象顶点是（－2，3），且过（－1，5）3．图像与x 轴交于（－2，0），（4，0）两点，且过（1，－29）4．已知二次函y=ax 2+bx+c 为x=2时有最大值2，其图象在X 轴上截得的线段长为2，求这个二次函数的解析式。
二次函数的图象与性质(3种题型)-2023年新九年级数学核心知识点与常见题型(浙教版)(解析版)
二次函数y=ax^2＋c(a ≠0)与y=a （x-h)^2＋k(a ≠0)的图象与性质【知识梳理】一、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象及性质1.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象（1）（2）2.二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象的性质关于二次函数的性质，主要从抛物线的开口方向、顶点、对称轴、函数值的增减性以及函数的最大值或最小值等方面来研究．下面结合图象，将其性质列表归纳如下：>a 0<a 0=+≠y ax c a (0)2jjjj向上 向下 (0，c) (0，c) 3.二次函数与之间的关系；（上加下减）.的图象向上（c ＞0）【或向下（c ＜0）】平移│c │个单位得到的图象. 要点诠释：函数的图象是由函数的图象向上（或向下）平移个单位得到的，顶点坐标为(0，c)．抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的对称轴、最值与顶点密不可分，其对称轴即为过顶点且与x 轴垂直的一条直线，其顶点横坐标x ＝0，抛物线平移不改变抛物线的形状，即a 的值不变，只是位置发生变化而已． 二、函数2()(0)y a x h a =−≠与函数2()(0)y a x h k a =−+≠的图象与性质 1.函数2()(0)y a x h a =−≠的图象与性质()20y ax a =≠()20y ax c a =+≠()20y ax a =≠()20y ax c a =+≠2(0)y ax c a =+≠2(0)y ax a =≠||c2.函数2()(0)y a x h k a =−+≠的图象与性质要点诠释：二次函数的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题． 三、二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．2()+(0y a x h k a =−≠）()2y a x h k =−+()h k ，2y ax =()h k，h k要点诠释：⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成（或）⑵沿x 轴平移：向左（右）平移个单位，变成（或）【考点剖析】题型一、二次函数y=ax 2+c(a ≠0)的图象及性质例1．求下列抛物线的解析式：（1）与抛物线形状相同，开口方向相反，顶点坐标是（0，-5）的抛物线； （2）顶点为（0，1），经过点（3，-2）并且关于y 轴对称的抛物线． 【答案与解析】（1）由于待求抛物线形状相同，开口方向相反，可知二次项系数为，又顶点坐标是（0，-5），故常数项，所以所求抛物线为．（2）因为待求抛物线顶点为（0，1），所以其解析式可设为， 又∵ 该抛物线过点（3，-2），∴ ，解得．∴ 所求抛物线为．【总结升华】抛物线形状相同则相同，再由开口方向可确定的符号，由顶点坐标可确定的值，从而确定抛物线的解析式． 例2．在同一直角坐标系中，画出和的图象，并根据图象(如图所示)回答下列问题．2=++y ax bx c y m 2=++y ax bx c 2=+++y ax bx c m 2=++−y ax bx c m 2=++y ax bx c m 2=++y ax bx c 2()()=++++y a x m b x m c 2()()=−+−+y a x m b x m c =−+y x 2312=−+y x 231221=−k 5=−y x 2512=+y ax 12+=−a 912=−a 31=−+y x 3112a ||a k =+y ax k 2=−y x 2=−+y x 12(1)抛物线向________平移________个单位得到抛物线；(2)抛物线，开口方向是________，对称轴为________，顶点坐标为________；(3)抛物线，当x________时，随x 的增大而减小；当x________时，函数y 有最________值，其最________值是________．【答案】 (1)下； l ； (2)向下； y 轴； (0，1)； (3)＞0； ＝0； 大； 大 ； 1. 【解析】在同一平面直角坐标系内画出两条抛物线，利用图象回答问题．(1)抛物线向 下 平移 1__个单位得到抛物线；(2)抛物线，开口方向是 向下 ，对称轴为___ y 轴_____，顶点坐标为_ (0，1)__；(3)抛物线，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小； 当x ＝0__时，函数y 有最 大 值，其最 大__值是 1 ．【总结升华】本例题把函数与函数的图象放在同一直角坐标系中进行对比，易得出二次函数与的图象形状相同，只是位置上下平移的结论．可以看作是把的图象向上或向下平移个单位得到的．例3. 有一个抛物线形的拱形隧道，隧道的最大高度为6m ，跨度为8m ，把它放在如图所示的平面直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）若要在隧道壁上点P （如图）安装一盏照明灯，灯离地面高4.5m ．求灯与点B 的距离．21y x =−+2y x =−21y x =−+21y x =−+21y x =−+2y x =−21y x =−+21y x =−+21y x =−+2y x =−2(0)y ax k a =+≠2(0)y ax a =≠2(0)y ax k a =+≠2(0)y ax a =≠(0)k >(0)k <||k【答案与解析】（1）由题意，设抛物线所对应的函数关系为y=ax2+6（a ＜0）， ∵点A （-4，0）或B （4，0）在抛物线上， ∴0=a•（-4）2+6， 16a+6=0，16a=-6，．故抛物线的函数关系式为.（2）过点P 作PQ ⊥AB 于Q ，连接PB ，则PQ=4.5m ．将y=4.5代入，得x=±2．∴P （-2，4.5），Q （-2，0）， 于是|PQ|=4.5，|BQ|=6，从而所以照明灯与点B 的距离为7.5m ．【总结升华】本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．（1）根据抛物线在坐标系的位置可设解析式：y=ax2+6，把点A （-4，0）代入即可；（2）灯离地面高4.5m ，即y=4.5时，求x 的值，再根据P 点坐标，勾股定理求PB 的值.38a =−2368y x =−+2368y x =−+7.5m =【变式】(1)抛物线的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ． (2)抛物线与的形状相同，其顶点坐标为（0，1），则其解析式为 ． (3)抛物线向 平移 个单位后，得到抛物线. 【答案】(1)下；y 轴；（0，-5）.(2)y=3x2+1, y=-3x2+1. (3)下；10.例4. 根据下列条件求a 的取值范围：(1)函数y ＝(a -2)x 2，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大； (2)函数y ＝(3a -2)x 2有最大值； (3)抛物线y ＝(a+2)x 2与抛物线的形状相同； (4)函数的图象是开口向上的抛物线．【答案与解析】(1)由题意得，a-2＜0，解得a ＜2．(2)由题意得，3a-2＜0，解得．(3)由题意得，，解得，． (4)由题意得，，解得a1＝-2，a2＝1，但a ＞0，∴ a ＝1．【总结升华】解答此类问题，要注意联想二次函数的图象和性质，抓住形状、开口、最值、增减性等特征，并结合草图去确定二次项系数的取值范围．【变式】在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数 的图象大致为（ ）．【答案】B.225y x =−−2y ax c =+23y x =2172y x =−+2132y x =−−212y x =−2a ay ax +=23a <1|2|2a +=−152a =−232a =−220a a a ⎧+=⎨>⎩y ax c =+2y ax c =+例5.在同一坐标系中，一次函数y=ax +b 与二次函数y=ax 2﹣b 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【总结升华】先由一次函数y=ax+b 图象得到字母a 、b 的正负，再与二次函数y=ax2﹣b 的图象相比较看是否一致． 【答案】D. 【解析】解：A 、由直线y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限可知：a ＜0，b ＜0， 二次函数y=ax2﹣b 的图象开口向上， ∴a ＞0，A 不正确；B 、由直线y=ax+b 的图象经过第一、二、三象限可知：a ＞0，b ＞0， 二次函数y=ax2﹣b 的图象开口向下， ∴a ＜0，B 不正确；C 、由直线y=ax+b 的图象经过第一、二、四象限可知：a ＜0，b ＞0， 二次函数y=ax2﹣b 的图象开口向上， ∴a ＞0，C 不正确；D 、由直线y=ax+b 的图象经过第一、二、三象限可知：a ＞0，b ＞0， 二次函数y=ax2﹣b 的图象开口向上，顶点在y 轴负半轴， ∴a ＞0，b ＞0，D 正确． 故选D ．【总结升华】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，解题的关键是根据函数图象逐条分析四个选项中a 、b 的正负．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据一次函数的图象找出其系数的正负，再与二次函数图象进行比较即可得出结论．题型二、二次函数2()(0)y a x h k a =−+≠图象及性质例6．二次函数y=﹣（x ﹣3）2+2的顶点的坐标是 ，对称轴是 ． 【思路点拨】根据二次函数顶点式解析式分别解答即可． 【答案】（3，2），直线x=3．【解析】二次函数y=﹣（x ﹣3）2+2；顶点坐标是（3，1），对称轴是直线x=3． 故答案为：（3，2），直线x=3．【总结升华】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用二次函数顶点式形式求解对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键．【变式】将抛物线向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式为 ．【答案】. 例7．将抛物线y=x 2﹣6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，求得到的抛物线解析式.【答案与解析】解：y=x2﹣6x+5=（x ﹣3）2﹣4， ∴抛物线的顶点坐标为（3，﹣4），把点（3，﹣4）向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到点的坐标为（4，﹣2）， ∴平移后得到的抛物线解析式为y=（x ﹣4）2﹣2．【总结升华】由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 【变式】二次函数的图象可以看作是二次函数的图象向 平移4个单位，再向 平移3个单位得到的．【答案】上；右.例8.已知是由抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．(1)求出a 、h 、k 的值；(2)在同一坐标系中，画出与的图象； (3)观察的图象，当x 取何值时，y 随x 的增大而增大；当x 取何值时，y 随x 增大而减小，并求出函数的最值；23y x =−23127y x x =−+−21(3)42y x =−+212y x =2()y a x h k =−+212y x =−2()y a x h k =−+212y x =−2()y a x h k =−+(4)观察的图象，你能说出对于一切x 的值，函数y 的取值范围吗? 【答案与解析】(1)∵ 抛物线向上平移2个单位长度， 再向右平移1个单位长度得到的抛物线是，∴，1h =，．(2)函数与的图象如图所示．(3)观察的图象知，当时，y 随x 的增大而增大；当时，y 随x 增大而减小，当x ＝1时，函数y 有最大值是2． (4)由图象知，对于一切x 的值，总有函数值y ≤2．【总结升华】先根据平移的性质求出抛物线平移后的抛物线的解析式，再对比得到a 、h 、k 的值，然后画出图象，由图象回答问题．【变式】把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象．（1）试确定a 、h 、k 的值；（2）指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．2()y a x h k =−+212y x =−21(1)22y x =−−+12a =−2k =21(1)22y x =−−+212y x =−21(1)22y x =−−+1x <1x >212y x =−2()y a x h k =−+2()y a x h k =−+21(1)12y x =−+−2()y a x h k =−+【答案】（1）.（2）开口向下，对称轴x=1, 顶点坐标为（1，-5），当x ≥1时，y 随x 的增大而减小； 当x ＜1时，y 随x 的增大而增大.例9.二次函数y=（x ﹣1）2+1，当2≤y ＜5时，相应x 的取值范围为 ．【思路点拨】把y=2和y=5分别代入二次函数解析式，求x 的值，已知对称轴为x=1，根据对称性求x 的取值范围．【答案】﹣1＜x ≤0或2≤x ＜3． 【解析】解：当y=2时，（x ﹣1）2+1=2， 解得x=0或x=2，当y=5时，（x ﹣1）2+1=5，解得x=3或x=﹣1， 又抛物线对称轴为x=1， ∴﹣1＜x ≤0或2≤x ＜3．【总结升华】本题考查了二次函数的增减性，对称性．关键是求出函数值y=2或5时，对应的x 的值，再结合图象确定x 的取值范围．题型三、二次函数2()(0)y a x h k a =−+≠性质的综合应用例10．二次函数y 1=a （x ﹣2）2的图象与直线y 2交于A （0，﹣1），B （2，0）两点． （1）确定二次函数与直线AB（2）如图，分别确定当y 1＜y 2，y 1=y 2，y 1＞y 2时，自变量x 的取值范围．【答案与解析】解：（1）把A （0，﹣1）代入y1=a （x ﹣2）2，得：﹣1=4a ，即a=﹣， ∴二次函数解析式为y1=﹣（x ﹣2）2=﹣a2+a ﹣1； 设直线AB 解析式为y=kx+b ，1,1,52a h k =−==−把A （0，﹣1），B （2，0）代入得：，解得：k=，b=﹣1，则直线AB 解析式为y=x ﹣1；（2）根据图象得：当y1＜y2时，x 的范围为x ＜0或x ＞2；y1=y2时，x=0或x=2，y1＞y2时，0＜x ＜2． 【总结升华】可先由待定系数法建立方程组求出两个函数的解析式，然后利用函数图象写出自变量的取值范围．例11.在同一直角坐标系中，画出下列三条抛物线：，，．（1）观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标； （2）请你说出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标． 【答案与解析】 （1）列表：描点、连线，可得抛物线．将的图象分别向上和向下平移3个单位，就分别得到与的图象（如图所示）．抛物线，与开口都向上，对称轴都是y 轴，顶点坐标依次是（0，0）、（0，3）和（0，-3）．212y x =2132y x =+2132y x =−212y x c =+212y x =212y x=2132y x =+2132y x =−212y x =2132y x =+2132y x =−（2）抛物线的开口向上，对称轴是y 轴（或直线），顶点坐标为（0，c ）．【总结升华】先用描点法画出的图象，再用平移法得到另两条抛物线，并根据图象回答问题．规律总结：．例12.已知：二次函数y=x 2﹣4x+3．（1）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）求出该抛物线与x 轴的交点坐标； （3）当x 取何值时，y ＜0． 【解析】解：（1）∵y=x2﹣4x+3， ∴y=（x ﹣2）2﹣1， ∴对称轴为：直线x=2， ∴顶点（2，﹣1）； （2）令y=0， 则，x2﹣4x+3=0， ∴（x ﹣1）（x ﹣3）=0， ∴x1=1，x2=3，∴与x 轴的交点坐标为（1，0），（3，0）； （3）当1＜x ＜3时，y ＜0．【总结升华】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x 轴坐标的求解方法，二次函数与不等式，熟记性质并把函数解析式整理成顶点式形式求解更简便． 【变式】已知抛物线y=2（x ﹣1）2﹣8．（1）直接写出它的顶点坐标： ，对称轴： ； （2）x 取何值时，y 随x 增大而增大？ 【答案与解析】解：（1）抛物线y=2（x ﹣1）2﹣8的顶点坐标为（1，﹣8），对称轴为直线x=1； 故答案为（1，﹣8），直线x=1； （2）当x ＞1时，y 随x 增大而增大．212y x c =+0x =212y x=2y ax k =+k ←⎯⎯⎯⎯⎯向上平移个单位2y ax =k ⎯⎯⎯⎯→向下平移个单位2(0)y ax k k =−>例13. 如图所示，抛物线的顶点为C ，与y 轴交点为A ，过点A 作y 轴的垂线，交抛物线于另一点B ．(1)求直线AC 的解析式； (2)求△ABC 的面积；(3)当自变量x 满足什么条件时，有? 【答案与解析】(1)由知抛物线顶点C(-1，0)，令x ＝0，得， ∴ ．由待定系数法可求出，∴．(2)∵ 抛物线的对称轴为x ＝-1，根据抛物线对称性知． ∴ ．(3)根据图象知或时，有．【总结升华】 图象都经过A 点和C 点，说明A 点、C 点同时出现在两个图象上，A 、C 两点的坐标均满足两个函数的解析式，解答这类题时，要画出函数图象，结合几何图形的性质，运用数形结合的思想和抛物线的对称性，特别要慎重处理平面直角坐标系中的坐标(数)与线段长度(形)之间的关系，不要出现符号上的错误，充分利用函数图象弄清函数值与自变量的关系，利用图象比较函数值的大小，或根据函数值的大小，确定自变量的变化范围．【过关检测】一、单选题1．（2021秋·浙江绍兴·九年级校联考期中）二次函数22y x =−的顶点坐标是（ ） A ．（0，0）B ．（0，﹣2）C ．（0，2）D ．（，0）211)y x =+2y kx b =+12y y >211)y x =+y =A b =k =2y =+211)y x =+(B −122ABC S =⨯=△0x >1x <−12y y >【分析】直接2y ax k =+根据的性质求解即可．【详解】解：二次函数22y x =−的顶点坐标是（0，﹣2）．故选：B ．【点睛】本题考查了二次函数2y ax k =+ (a ，h ，k 为常数，a≠0)的性质，熟练掌握二次函数2y ax k =+的性质是解答本题的关键．2y ax k =+是抛物线的顶点式，a 决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是(0，k)，对称轴是y 轴．2．（2023·浙江宁波·统考二模）已知点()11,A x y ，()22,B x y 是二次函数()233y x =−+上的两点，若123x x <<，126x x +>，则下列关系正确的是（ ）A ．123y y <<B ．123y y <<C ．213y y <<D ．213y y <<【答案】B【分析】根据二次函数的性质，进行分析即可得出结论． 【详解】解：∵()233y x =−+，对称轴为3x =，10a =>，∴抛物线的开口向上，当3x =时，函数取得最小值，3y =，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵123x x <<，126x x +>，∴点,A B 在对称轴的两侧，且1233x x −<−，∴123y y <<；故选B ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．3．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）对于二次函数()223y x =−+的图象，下列说法不正确的是（ ） A ．开口向下B ．对称轴是直线3x =−C ．顶点坐标为()30−，D ．当3x <−时，y 随x 的增大而减小【分析】根据二次函数的图象和性质，即可进行解答． 【详解】解：A 、∵20a =−<，∴函数图象开口向下，故A 正确，不符合题意； B 、对称轴是直线3x =−，故B 正确，不符合题意； C 、顶点坐标为()30−，，故C 正确，不符合题意；D 、∵函数图象开口向下，对称轴是直线3x =−，∴当3x <−时，y 随x 的增大而增大，故D 不正确，符合题意； 故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数()2y a x h =−的顶点坐标为()0h ，，对称轴为x h =，当0a >时，函数图象开口向上，当a<0时，函数图象开口向下．4．（2022秋·浙江金华·九年级统考期中）已知()14.4,A y −，()23.3,B y −为抛物线()21y x =−+上的两点，则下列结论一定成立的是（ ） A ．210y y << B ．120y y <<C ．120y y <<D ．210y y <<【答案】C【分析】先判断抛物线的开口方向和对称轴位置，再根据增减性求解即可． 【详解】解：∵抛物线()21y x =−+的对称轴为直线=1x −，开口向下，顶点坐标为：()10−，，∴当1x <−时，y 随x 的增大而增大， 又∵ 4.4 3.31−<−<−， ∴120y y <<，故选 C ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键．5．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）设函数()112y x a =−，()222y x a =−，()323y x a =−．直线x b =的图象与函数1y ，2y ，3y 的图象分别交于点()1,A b c ，()2,B b c ，()3,C b c ，（ ） A ．若123b a a a <<<，则312c c c << B ．若123a b a a <<<，则123c c c << C ．若123a a b a <<<，则321c c c << D ．若123a a a b <<<，则321c c c << 【答案】D【分析】按照题意，画出满足题意的图象，根据直线x b =与二次函数图象的交点进行判断即可． 【详解】解：如图所示，A ．由图象可知，若123b a a a <<<，当x b =时，123c c c <<，故选项错误，不符合题意；B ．由图象可知，若123a b a a <<<，，当x b =时，123c c c <<不一定成立，故选项错误，不符合题意；C ．由图象可知，若123a a b a <<<，当x b =时，321c c c <<不一定成立，故选项错误，不符合题意；D ．由图象可知，若123a a a b<<<，当x b =时，321c c c <<，故选项正确，符合题意；故选：D【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．6．（2023春·浙江绍兴·九年级校联考阶段练习）若二次函数2y 2(x 1)1=−−的图象如图所示，则坐标原点可能是（ ）A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D【答案】A【分析】根据顶点坐标，进行判断即可．【详解】解：∵2y 2(x 1)1=−−，∴顶点坐标为：()1,1-，∴顶点坐标在第四象限， ∴原点在函数顶点的左上方， 由图可知，坐标原点只可能是点A ； 故选A ．【点睛】本题考查二次函数的性质及二次函数的图象，确定二次函数图象的顶点坐标是解题的关键．【答案】C【分析】根据题意分别画出12,y y 的图象，继而根据图象即可求解．【详解】解：∵直线1x =的图象与函数1y ，2y 的图象分别交于点()11,A c ，()21,B c ，A. 若121a a <<，如图所示，则12c c >B. 若121a a <<，如图所示，则12c c >则12c c <，故B 选项不合题意，C. 若121a a <<，如图所示，∴12c c <，故C 选项正确，D 选项不正确；故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，数形结合是解题的关键．【答案】C【分析】根据各函数的增减性依次进行判断即可．【详解】解：A 、2(0)y x x =−>中，20k =−<，则当0x >时，y 随x 的增大而增大，即当12x x >时，必有12y y >，此时21210y y x x −>−，故本选项不成立；B 、∵2(2)5(0)y x x =−+≥的对称轴为直线2x =，∴当02x <<时，y 随x 的增大而减小，当2x >时y 随x 的增大而增大， ∴当2x >时，当12x x >时，必有12y y >，此时21210y y x x −>−，故本选项不成立；C 、∵2(3)4(0)y x x =−−<的对称轴为直线3x =，∴当3x <时，y 随x 的增大而减小， ∴当0x <时，当12x x >时，必有12y y <，此时21210y y x x −<−，故本选项成立；D 、∵37y x =+中，30k =>， ∴y 随x 的增大而增大，即当12x x >时，必有12y y >，此时21210y y x x −>−，故本选项不成立．故选：C ．【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数和二次函数的图象和性质，掌握各类函数的增减性是关键．二、填空题【答案】a ＞2【分析】】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数2-a ＜0． 【详解】∵抛物线y=（2-a ）x2+2开口向下， ∴2-a ＜0，即a ＞2， 故答案为：a ＞2．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质．用到的知识点：对于二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）来说，当a ＞0时，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）开口向上；当a ＜0时，抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）开口向下．10．（2022秋·浙江绍兴·九年级统考期中）二次函数()()232y x h t x t =−++≤≤+的图象上任意二点连线不与x 轴平行，则t 的取值范围为______．【答案】5t ≤−或3t ≥−【分析】先根据函数表达式得出函数的对称轴，再根据题意可得该二次函数的图象取对称轴的左边或对称轴的右边，即可进行解答． 【详解】解：∵二次函数表达式为()()232y x h t x t =−++≤≤+，∴该函数的对称轴为直线3x =−， ∵图象上任意二点连线不与x 轴平行， ∴3x ≤−或3x ≥−， ∵2t x t ≤≤+，∴233t t +≤−⎧⎨≥−⎩，解得：5t ≤−或3t ≥−． 故答案为：5t ≤−或3t ≥−．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象，会根据二次函数的表达式求出函数的对称轴．【答案】()2213y x =−−或()2213y x =−−−【分析】根据二次函数的顶点坐标为()1,3−，可得可设这个二次函数的解析式为()213y a x =−−，再根据图象的形状和与抛物线22y x =相同，可得2a =±，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为()1,3−，∴可设这个二次函数的解析式为()213y a x =−−，∵二次函数图象的形状与抛物线22y x =相同，， ∴2=a ，∴2a =±，∴这个二次函数的解析式为()2213y x =−−或()2213y x =−−−．故答案为：()2213y x =−−或()2213y x =−−−．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，牢记形状相同的二次函数二次项系数的绝对值相等是解题的关键．12．（2022·浙江金华·九年级浙江省义乌市稠江中学校考阶段练习）如果一抛物线的对称轴为1x =，且经过点A （3,3），那么点A 关于对称轴的对称点B 的坐标为____________ 【答案】（-1,3）【分析】根据抛物线的对称性即可得到点B 的坐标． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为1x =，点A （3,3）， ∴点A 关于对称轴的对称点B 的坐标为（-1,3）【点睛】本题主要考查二次函数图形的性质和特征，应用对称性性是解题的关键．13．（2022秋·浙江绍兴·九年级校考期中）已知点()11,A x y 、()22,B x y 为抛物线()22y x =−上的两点，如果122x x <<，那么1y ______2.(y 填“>”“<”或“=”)【答案】>【分析】根据函数的表达式即可得出该函数的对称轴和开口方向，根据对称轴和开口方向分析函数的增减性即可解答．【详解】解：抛物线表达式为：()22y x =−，∴函数开口向上，对称轴为2x =，∴当2x <时，y 随x 的增加而减小，2x >时，y 随x 的增大而增大， ∵122x x <<，∴12y y >，故答案为：>．【点睛】本题主要考查了二次函数的增减性，解题的关键是根据抛物表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而分析函数的增减性．【答案】23(2)32y x =++【分析】根据二次函数的图象与性质即可得． 【详解】抛物线的顶点为(2,3)−∴可设此抛物线的解析式为2(2)3y a x =++又此抛物线的形状，开口方向与23312y x x =−+相同32a ∴=则此抛物线的解析式为23(2)32y x =++故答案为：23(2)32y x =++．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟记二次函数的图象与性质是解题关键． 15．（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）抛物线22(3)4y x =−++的开口方向是______． 【答案】向下【分析】由函数解析式可得20a =−<，结合抛物线的性质即可得到答案； 【详解】解：由题意可得，∵22(3)4y x =−++，∴20a =−<， 故答案为：向下．【点睛】本题考查抛物线的性质：a<0开口向下，正确理解二次函数的性质是解题的关键．16．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）已知二次函数()2y x a =−+，当4x ≤−时，y 随x 的增大而增大；当4x ≥−时，y 随x 的增大而减小，当0x =时，y 的值是______． 【答案】16−【分析】根据二次函数的增减性，结合图像与性质即可得到二次函数图像的对称轴为4x =−，从而确定a 值，得到二次函数解析式为()24y x =−+，将0x =代入即可得到结论．【详解】解：二次函数()2y x a =−+，当4x ≤−时，y 随x 的增大而增大；当4x ≥−时，y 随x 的增大而减小，4x a ∴=−=−，即4a =，∴二次函数解析式为()24y x =−+，当0x =时，()20416y =−+=−，故答案为：16−．【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数增减性与对称轴的关系是解决问题的关键．17．（2020·浙江·模拟预测）无论a 取什么实数，点()21,241P a a a −−+都在二次函数y 上，(,)Q m n 是二次函数y 上的点，则2421m n −+=_____________． 【答案】3【分析】由题意可知y=2x2-1，首先把点Q （m ，n ）代入二次函数y=2x2-1解析式，代入得出，关于m ，n 的等式进一步整理得出答案即可．【详解】解：由题意得，当x=a-1时，y=2a2-4a+1=2（a-1）2-1， ∴可得：y=2x2-1，∵Q （m ，n ）是二次函数y=2x2-1上的点， ∴2m2-1=n ， ∴2m2-n=1，所以4m2-2n+1=2（2m2-n ）+1=3 故答案为：3．【点睛】此题考查二次函数图象上点的坐标特点，注意适合解析式的点在图象上，在图象上的点都适合二次函数．18．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知二次函数2(1)10y x =−−+，当m x n ≤≤，且0mn <时，y 的最小值为2m ，y 的最大值2n ，则m n +的值为___________． 【答案】2【分析】由题意可得0m <，0n >，则y 的最小值为2m 为负数，最大值为2n 为正数．分两种情况讨论：①当1n <时，x m =时，y 取最小值，求出m 的值，当x n =时，y 取最大值，可求得n 的值，即可得到m n +的值；②当1n ≥时，当x m =时，y 取最小值，求出m 的值，当1x =时，y 取最大值，求出n 的值，或x n =时，y 取最小值，1x =时，y 取最大值，分别求出m ，n 的值，故可求解．【详解】解：二次函数2(1)10y x =−−+的大致图象如下：0mn <时，y 的最小值为2m ，y 的最大值为2n ，0m ∴<，0n >，①当1n <时，x m =时，y 取最小值，即()22110m m =−−+， 解得：3m =−．当x n =时，y 取最大值，即()22110n n =−−+， 解得：3n =或3(n =−均不合题意，舍去)；②当1n ≥时，当x m =时，y ()22110m m =−−+， 解得：3m =−．当1x =时，y 取最大值，即()221110n =−−+， 解得：5n =，或x n =时，y 取最小值，1x =时，y 取最大值，()22110m n =−−+，5n =，3m ∴=−，所以352m n +=−+=． 故答案为：2．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，数形结合是解题的关键．三、解答题19．（2022秋·浙江丽水·九年级校联考期中）已知二次函数的图像以点()1,4A −为顶点，且过点()2,5B −． （1）求该函数的解析式；（2）直接写出y 随x 的增大而增大时自变量x 的取值范围．【答案】（1）223y x x =−−+；（2）1x <−【分析】（1）根据顶点坐标直接设解析式为顶点式，然后代入B 点坐标求解即可； （2）结合解析式，根据开口方向以及对称轴即可确定范围． 【详解】（1）设二次函数的解析式为()2y a x h k=−+．由题知：1h =−，4k =，则()214y a x =++，又∵二次函数图像过点()2,5B −∴()25214a −=++，∴1a =−．∴二次函数的解析式为：()221423y x x x =−++=−−+．（2）由（1）知当1x <−时，y 随x 的增大而增大．【点睛】灵活从二次函数三种形式中选择合适的表达式求解是解题关键．20．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，已知经过原点的抛物线22y x mx =+与x 轴交于另一点A (2，0)．（1）求m 的值和抛物线顶点M 的坐标； （2）求直线AM 的解析式．【答案】（1）4m =−，M (1，-2)；（2）24y x =−【分析】（1）将A(2，0)代入抛物线的解析式，可求得m 的值，再配成顶点式即可求解； （2）利用待定系数法即可求得直线AM 的解析式．【详解】解 （1）∵抛物线22y x mx =+过点A(2，0)，22220m ∴⨯+=，解得4m =−，224y x x ∴=−，22(1)2x =−−,∴顶点M 的坐标是(1，-2)； （2）设直线AM 的解析式为()0y kx b k =+≠，∵图象过A(2，0)，M (1，-2)，202k b k b +=⎧∴⎨+=−⎩，解得24k b =⎧⎨=−⎩， ∴直线AM 的解析式为24y x =−．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．【答案】(1)285S t t =++(2)25(3)S 有最小值-11【分析】（1）将x 和y 的表达式代入S 的表达式即可； （2）将2t =代入（1）中得到的函数表达式求解即可； （3）将（1）中的函数表达式化为顶点式即可解答．【详解】（1）解：将231x t y t −==+，代入8S x y =+得：()()2238185S t t t t =−++=++，∴S 与t 的函数关系式为：285S t t =++．（2）将2t =代入285S t t =++得：2282525S =+⨯+=，∴当2t =时25S =． （3）()2285411S t t t =++=+−，∴当4t =−时，函数S 有最小值-11．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是将函数表达式化为顶点式，得出函数的最值．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）根据二次函数的图象解答即可； （2）从开口大小和增减性两个方面作答即可. 【详解】（1）解：如图：，2113=+y x 与2113=−−y x 图象的相同点是：形状都是抛物线，对称轴都是y 轴，2113=+y x 与2113=−−y x 图象的不同点是：2113=+y x 开口向上，顶点坐标是（0，1），2113=−−y x 开口向下，顶点坐标是（0，﹣1）；（2）解：两个函数图象的性质的相同点：开口程度相同，即开口大小一样；不同点：2113=+y x ，当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，当x ＞0时，y 随x 的增大而增大；2113=−−y x ，当x ＜0时，y 随x 的增大而增大，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，属于基础题型，熟练掌握抛物线的图象与性质是解答的关键. 23．（2020春·浙江杭州·八年级阶段练习）如图，已知二次函数的图象顶点是(2,3)P −，且过C 点(0,5)． （1）求此二次函数的解析式；（2）已知直线1y x =+与该二次函数图像相交于点,A B ，求,A B 两点的坐标． （3）写出当x 在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值．【答案】（1）()2223y x =−−；（2）A （12，32），B （4，5）；（3）12＜x ＜4【分析】（1）根据顶点坐标设出顶点式，再将点C 坐标代入，即可求出解析式； （2）令()22231x x −−=+，解方程即可得到A 、B 的横坐标，从而计算出纵坐标；（3）根据图象可得出当一次函数图像在二次函数图像上方时的x 取值范围． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象顶点是(2,3)P −， 设二次函数表达式为()223y a x =−−，∵过C 点(0,5)，代入，()20235a −−=，解得：a=2，∴二次函数表达式为：()2223y x =−−； （2）由题意可得：()22231x x −−=+，解得：x=12或4，。
冀教版九年级下册数学第30章 二次函数 阶段核心归类 二次函数的图像和性质的九种应用类型
6．【2020·伊春】如图，已知二次函数y＝－x2＋(a＋1)x －a与x轴交于A、B两点(点A位于点B的左侧)，与y轴 交于点C，已知△BAC的面积是6.
PACB 的面积最大．
8．【中考·资阳】已知：如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋c与 坐标轴分别交于点A(0，6)，B(6，0)，C(－2，0)，点 P是线段AB上方抛 物线上的一个动点．
(1)求抛物线的表达式．
解：∵抛物线过点 B(6，0)，C(－2，0)， ∴抛物线的表达式为 y＝a(x－6)·(x＋2)， 将点 A(0，6)的坐标代入，得－12a＝6，解得 a＝－12， ∴抛物线的表达式为 y＝－12(x－6)(x＋2)＝－12x2＋2x＋6.
2．【2020·温州】已知抛物线y＝ax2＋bx＋1经过点(1，－ 2)，(－2，13)．
(1)求a、b的值；
解：把点(1，－2)，(－2，13)的坐标分别代入 y＝ax2＋bx＋1 中，得－13＝2＝4aa＋－b2＋b＋1，1，解得ab＝＝－1，4.
(2)若(5，y1)，(m，y2)是抛物线上不同的两点，且y2＝12 －y1，求m的值．
④在图③之后的一段时间内，不断增大 n，函数图像与 直线 y＝4，y＝－4 共有 5 个交点，直到运动到如图④ 所示的情况． 此时函数图像与直线 y＝4， y＝－4 恰有 4 个交点， 解－12n2＋n2·n＋n2＝4，得 n＝8.
随着 n 的不断增大，函数图像与直线 y＝4，y＝－4 始 终有 4 个交点，故 n≥8 时恒成立． 综上所述，n 的取值范围是 n≤－8 或 n＝－2 5－2 或 n＝4 或 n≥8.
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如图所示，抛物线y=-12x 2-32x+2和直线y=12x+2相交于A 、C 两点，抛物线与
x 轴的另一个交点为B ，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PBC 为直角三角形，如果存在请求出P 点坐标，如果不存在，请说明理由。
此类问题分别以三角形的三条边为斜边(或三个顶点为直角顶点）分三种情况进行讨论，其中要应用勾股定理等知识。
类型三：直角三角形的分类讨论：
如图所示，抛物线y=-12x 2-32x+2和直线y=12x+2相交于A 、C 两点，抛物线与
x 轴的另一个交点为B ，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PBC 的周长最小，如果存在请求出P 点坐标，如果不存在，请说明理由。
此类问题有一个动点在一条直线上运动，在直线的一侧有两个定点，先找出其中一个定点关于这条直线的对称点，然后连接这个对称点和另一个定点，与已知直线有个交点，这个交点就是使得这个动点到两个定点距离之和最小的点。
类型二：将军饮马问题：
如图所示，抛物线y=-12x 2-32x+2和直线y=12x+2相交于A 、C 两点，抛物线与
x 轴的另一个交点为B ，在直线AC 的上方的抛物线上是否存在点P,使得△PAC 的面积最大，如果存在请求出P 点坐标，如果不存在，请说明理由。
把图形面积用二次函数表达式表示出来，然后
利用函数表达式求最值补充知识：平面直角坐
标系中三角形的面积一般用铅直高乘以水平宽
再乘以二分之一来求。
类型一：利用二次函数表达式求最大值的问题
如图所示，抛物线y=-12x 2-32x+2和直线y=12相交于A 、C 两点，抛物线与
x 轴的另一个交点为B ，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得△PBC 为等腰三角形，如果存在请求出P 点坐标，如果不存在，请说明理由。
此类问题分别以三角形的三条边为底边分三种情况进行讨论，
其中要应用两点之间的距离公式等知识。
类型四：等腰三角形的分类讨论：
如图所示，抛物线y=-12x 2-32x+2和直线y=12
x+2相交于A 、C 两点，抛物线与x 轴的另一个交点为B ，点P 在抛物线上，在y 轴上有一个动点Q,是否存在点P 、Q,使得以A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，如果存在请求出P 点坐标，如果不存在，请说明理由。
此类问题分别以已知的线段为边及对角线进行讨论，其中要应用
线段的中点坐标公式等。
类型五：平行四边形的分类讨论：如图所示，抛物线y=-12x 2-32x+2和直线y=12
x+2相交于A 、C 两点，抛物线与x 轴的另一个交点为B ，点P 是y 轴上一个动点，,是否存在以点P 、O 、A 为顶点的三角形与△OBC 相似，如果存在请求出所有满足条件的P 点坐标，如果不存在，请说明理由。
此类问题首先找出一对相等的角，即对应角，再把夹这个角的两边分两种情况对应，同时还有注意到位置的情况。
类型六：相似三角形的分类讨论：
如图所示，抛物线y=-12x 2-32x+2和直线y=12
x+2相交于A 、C 两点，抛物线与x 轴的另一个交点为B ，将抛物线沿着x 轴平移，使得平移后的抛物线的顶点落在直线AC 上，求平移后的抛物线的表达式。
此类问题要注意到平移抛物线a 值大小不变，对于一般式
只是b 、c 值发生改变，对于顶点式只是顶点坐标发生改变。
类型七：抛物线的几何变换（平移）：
如图所示，抛物线y=-12x 2-32x+2和直线y=12
x+2相交于A 、C 两点，抛物线与x 轴的另一个交点为B ，将抛物线绕着x 轴翻折所得新抛物线与直线交于点D ，求三角形ABD 的面积。
此类问题要注意到沿着x 轴翻折抛物线，由于开口大小没变，
只是开口方向改变，所以a 值变为原来的相反数。
类型八：抛物线的几何变换（轴对称）：
如图所示，抛物线y=-1
2x 2-3
2x+2和直线y=1
2x+2相交于A 、C 两点，抛物线与
x 轴的另一个交点为B ，点Q 是x 轴上一个动点，将抛物线绕点Q 旋转180°得到新抛物线，设原抛物线顶点为M ，旋转后的抛物线顶点为N ，与x 轴交点中右边的交点为D ，若四边形AMDN 为矩形，求Q 的坐标。
此类问题要注意旋转中心在哪里，旋转之后哪些点可以构成平行四边形。
类型九：抛物线的几何变换（旋转）：。