圆型限制性三体问题平动点的稳定性
拉格朗日点和平面圆三体问题[转]
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拉格朗⽇点和平⾯圆三体问题[转]拉格朗⽇点和平⾯圆三体问题[转]中⽂名称：拉格朗⽇点英⽂名称：Lagrangian point定义：圆型限制性三体问题中存在的五个秤动点的总称。
包括两个等边三⾓形点和三个共线点。
拉格朗⽇点指受两⼤物体引⼒作⽤下,能使⼩物体稳定的点.⼀个⼩物体在两个⼤物体的引⼒作⽤下在空间中的⼀点，在该点处，⼩物体相对于两⼤物体基本保持静⽌。
这些点的存在由法国数学家拉格朗⽇于1772年推导证明的。
1906年⾸次发现运动于⽊星轨道上的⼩⾏星（见脱罗央群⼩⾏星）在⽊星和太阳的作⽤下处于拉格朗⽇点上。
在每个由两⼤天体构成的系统中，按推论有5个拉格朗⽇点，但只有两个是稳定的，即⼩物体在该点处即使受外界引⼒的摄扰，仍然有保持在原来位置处的倾向。
每个稳定点同两⼤物体所在的点构成⼀个等边三⾓.，1767年数学家欧拉Leonhard Euler (1707-1783)根据旋转的⼆体引⼒场推算出其中三个点（特解）L1、L2、L3，1772年数学家拉格朗⽇Joseph Lagrange(1736-1813) 推算出另外两个点（特解）L4、L5；但后来习惯上将这五个点都称为“拉格朗⽇Lagrange”或“拉格朗⽇点Lagrangian points”；有时也称为“平动点libration points”。
发现18世纪法国数学家、⼒学家和天⽂学家拉格朗⽇（拉格朗治）在1772年发表的论⽂“三体问题”中，为了求得三体问题的通解，他⽤了⼀个⾮常特殊的例⼦作为问题的结果，即：如果某⼀时刻，三个运动物体恰恰处于等边三⾓形的三个顶点，那么给定初速度，它们将始终保持等边三⾓形队形运动。
A.D1906年，天⽂学家发现了第588号⼩⾏星和太阳正好等距离，它同⽊星⼏乎在同⼀轨道上超前60°运动，它们⼀起构成运动着的等边三⾓形。
同年发现的第617号⼩⾏星也在⽊星轨道上落后60°左右，构成第2个拉格朗⽇（拉格朗治）正三⾓形。
第七章限制性三体问题
π2月球质量与地月质量的比值0.01215
第5页/共27页
1.2 限制性三体问题的动力学方程
在BBR坐标系中
dr dr ωr dt I dt R
w=n=sqrt(u/a^3)
u=G(m1+m2) a=r12(即地月距离)
d 2r dt 2
I
d 2r dt 2
R
2ω dr dt
当
发现了三个平衡点，分别命名为：拉格朗日L1，L2，L3点。
第11页/共27页
1.3 拉格朗日解
地月系统：拉格朗日L1，L2，L3点(π2=0.01214)
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1.3 拉格朗日解
地月系统5个拉格朗日点（以地球为坐标原点）
第13页/共27页
3/2
1.3 本节作业
作业：计算地月系统5个拉格朗日点（地球为中心）
y2)
1
d dt
1 r1
2
d dt
1 r2
第17页/共27页
2.1 雅可比积分
1 2
dv2 dt
1 2
2
d dt
(x2
y2)
1
d dt
1 r1
2
d dt
1 r2
d dt
1
2
v2
1 2
2 (x2
y2)
1
1 r1
2
1 r2
0
动能
旋转 势能
势能
机械能
1 v2 2
1 2(x2
2
y2 ) 1
1 r1
思考题：拉格朗日存在的力学原理？
d 2r dt 2
R
2ω
dr dt
关于一些特殊的限制性三体问题的讨论
关于一些特殊的限制性三体问题的讨论一般来说,三体问题是不可积的,因此我们需要做一些近似。
其中很重要的一类就是限制性三体问题,这也是很多实际问题的很好的近似模型,例如,研究卫星的轨道演化的时候,不妨引入太阳+行星+无质量的测试粒子的模型,亦如研究太阳系主带小行星或者柯伊伯带天体的时候,也可以简化成太阳+木星或者海王星+无质量的测试粒子的模型；这些都是真实情况的很好近似。
特别的,我们所感兴趣的是等级式的系统(系统可以分成内部轨道和外部轨道因而保证了系统的稳定性),大体来说,限制性等级式三体问题可以分成外限制(测试粒子在外部轨道)和内限制(测试粒子在内部轨道)两种,我们在第一章和第二章中分别做讨论。
在对外限制问题的讨论中,我们利用展开了的摄动函数,得到最低阶的一个可积的系统,由此得出,这时候测试粒子的升交点经度可能会平动,并且此时伴有较高的倾角；更一般的,我们介绍了这个系统的演化特性。
而后我们引入高阶影响,特别关注了此时的偏心率的演化。
在近共面的情况下,我们得到此时的偏心率激发和共面情况没有(明显)差别的结论；在近极轨的条件下,我们发现,此时偏心率的激发可能会依赖初始的倾角的不同而分为两种情况,这是因为这两种不同的激发在相图中属于不同的平动区的缘故；并且,当轨道属于高激发区域时,偏心率可以从近零激发到0.3,这会极大的影响这种轨道的轨道稳定性,事实上,我们利用这种偏心率激发机制可以很好的限制环高偏心率双星的高倾角轨道的稳定性。
在对内限制问题的研究中,我们关注的重点是外部天体的平运动与内部测试粒子的进动频率相当的时候所引起的近共振的影响。
在共面的假设下,我们推导了含有偏心率的哈密顿量,并利用此时发生倍周期分叉临界点可以得出关于稳定性边界的限制。
我们也推导了高阶的描述倾斜轨道的演化的哈密顿量。
限制性三体问题共线平动点相流结构研究
通 信 作 者 简 介 ： 言 俊 （ ９３ ）， ， 士 ， 授 ， 士 生 导 师 ， 李 １４ 一 男 博 教 博 研
究 方 向 ： 航 、 导 与控 制 。 导 制
２７ ２２
科
学
技
术
与
工
程
１ 卷 １
点 垂直于 ， 的超平 面 ， 对任 意充 分 接近 的 则
⑥
பைடு நூலகம்
２ １ Ｓｉ ｅｈ Ｅ ｇｇ ０ ｃ Ｔ ｃ ． ｎｎ ． １ ．
限 制 性 三 体 问 题 共 线 平 动 点 相 流 结 构 研 究
张 汉 清 李 言 俊 张 科 孙 小 炜
（ 西北 工业 大 学 航 天 学 院 ， 西安 ７ ０ ７ 西 安 应 用 光 学研 究 所 西 安 ７ ０６ ） １０ ２； ， １０ ５
区域相 流的扭 转特 性 ， 后 为 了 克服 流 形 管 道破 裂 然
的 问题 ， 设计 了一 种 打 靶 方 法 ， 算 并 分 析 了相 流 计 长 期演化 的转 移特 性 。
空 间物 资 运 输 方 便 ， 非 常 适 于 进 一 步 的 深 空 探 且
测， 是建 立太 空基 地和 星 际航 行 港 的最 佳选 择 。 Ｃ ｎｅ ｌ 于 １６ ｏｌ 】 ｙ ９ ８年 研 究 了 平 动 点 附 近 的 相 流 结 构 ， 为平 动点轨 道 的不 变 流形 将 分 离 转 移 与 非 认 转 移轨 道 ， 而转 移轨 道 即可 用 来 构 造 地月 之 间 的 低 能飞行 轨 道 。 同时 ， ｃ ｅｅ 也 研 究 了平 动 点 附 Ｍ Ｇ ｈｅ
１ ７０。
，
将 所得 截 面 曲线绘 制 于 同一 幅 图 中 ， ２显 图
受摄圆型限制性三体问题平动点渐近稳定性法则及应用
收 稿 日期 ：０ ０—０ ２１ ５—１ 。 ２
基 金项 目 ： 西 省 白然 科 学 基 金 资 助 项 目（ ５ １２ ） 江 西 省 教 育 厅 科 技 项 Ｆ（ Ｊ ８ ７ ） 江 ０ １０ ５ ； １ＧＪ ３７ 。 ０ 作 者简 介 ： 云 辉 （９７一） 男 ， 师 ， 士 。 易 １７ ， 讲 硕
一
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第３ ５卷 第 １ 期 ２ １ 年 ２月 ０１
南 昌 大 学 学报 （ 科 版 ） 理 Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ａ ｅ ａ ｇ Ｕ ｉ ｒｉ （ ａｕａ Ｓ ｉ ｃ ） ｏ ｒａ ｏ Ｎ ｎ ｈ ｎ ｎｖ ｓ ｙ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎ ｅ ｅ ｔ ｅ
Ｖ０ ． ５ Ｎｏ １ ３ ．１ Ｆｅ ２ ｂ． ０１１
摘
要 ： 用 著 名 的 霍 尔 维 茨 （ ｕｗｔ） 理 ， 到 ｒ受 摄 圆型 限 制 性 三 体 问 题 平 动 点 稳 定 的一 个判 别 条 件 ， 应 用 利 Ｈ ｒｉ 定 ｓ 得 并
它 讨 论 了与 速 度 有 关 的外 力摄 动 对 圆型 限制 性 三 体 问题 三 角 平 动 点 稳 定 性 影 响 ， 进 了文 Ｉ 的 主要 结 论 。 改 ２中
Ｙ
十 二＝ ＋ ， ２ Ｆ
（） １
后 的平动点 （ ， ） ， 。 一 易知 系统 （ ）的平动点 （ ， ）特征 方程为 １ Ｙ
中学物理解答限制性三体问题的讨论
中学物理解答限制性三体问题的讨论
限制性三体问题是物理学中比较有挑战的问题，也是一个不知道结论的
难题。
它涉及三个物体的相互作用，物体之间没有外力耦合且物体之间受到
引力，而且这个问题存在着对称性，没有解决办法，具体到这三个物体之间
受到指定引力作用，讨论其形成的结果。
回归到实际，我们可以考虑三个相同质量的星球，它们受到其他星球的
引力作用，这样也就形成一个方阵的形状。
这里的关键是物体之间的力矩，
三个物体的力矩之和必须为零，才能确保物体不会发生运动。
这显然意味着
物体之间的距离也是有限的，即使受到的力越来越大，它们还是会保持一个
固定的形状，也就是不断发生变形但总体不会偏离一个特定的位置。
三体问题实际上只有无穷多种解，这也是这个问题非常复杂的原因，一
不小心就会让物体进入到一个不稳定的状态，而这个状态的变形甚至会导致
物体之间的碰撞。
总体而言，解决带有限制性的三体问题是非常困难的任务，需要很高的数学计算能力，同时要利用力学中约束着运动物体的有限条件来
求解，以使三个物体能够不断稳定地发生变形，以便能够以一种较好的状态
来构成我们所想要的效果。
限制性三体问题及应用
方程表明m2相对m1的运动是以m1为焦点的 开普勒运动，而m1和m2相对质心O的运动 也分别是以O为焦点的开普勒运动。
以O为原点建立动坐标系，令x轴沿m1至m2的连线，z轴沿轨道平面法线， m1，m2在x轴上的坐标分别为a1和-a2（如图）。此坐标系随同m1,m2的圆轨 道运动而绕z轴旋转。角速度:
依据此前的假设，只讨论质点m在(m1,m2)的轨道平面xoy内运动的简单情形。 分别以ρ,ρ1, ρ2表示自点O, m1, m2指向点m的矢径。由叠加原理，m在m1,m2 的势场下，势函数表述为：
式中,
m受到的万有引力可表述为：
其动力学方程为：
以相对坐标系的相对倒数表述，得到动力学方程的标量形式： ρ 将
a
L1, L2, L3是由数学家欧拉推算出来的， L4, L5是 由拉格朗日推算出来得。但后来习惯上将这五 个点都称为拉格朗日点。 从Hill曲线上可以看 出， L1, L2, L3是不稳定平衡点，而L4, L5是稳定 的平衡点。
拉格朗日平衡点的证实
拉格朗日点的求解多少显得有点象数学游戏。但是，后来的发现却证实 了拉格朗日点的存在，并且发现这些点都具有非常重要的意义。
2 y 2 为质点m在坐标系内的 令 v x
相对速度，能量积分为： v 2
V* E 2 m
V*为质点由m1和m2的引力场及 动坐标系的离心力场组成的相对势能: V * V
V 2 x 2 y x c c x V 2c x c2 y y y
1906年，德国天文学家马克思· 沃尔夫发现了一颗奇异的小行星。它的轨道与木星 相同，而不在通常所说火星轨道与木星轨道之间的小行星带里。最奇妙的是，它的 绕日运动周期与木星相同。从太阳看去，它总是在木星之前60°运转，不会与木星 贴近。天文学家沙利叶敏锐地意识到它可能 位于拉格朗日所求解的特解点上。果然，天 文学家很快就在木星之后60°的位置上，也 发现了小行星。迄今为止，在木星前后这两个 拉格朗日点上，已找到700颗小行星。 这就是著名的特洛伊群和希腊群小行星。 事实上，在任何双星系统、行星和太阳、 卫星和行星 的轨道面上，都存在5个拉格朗日 点。其中L1, L2, L3不稳定，而L4, L5是稳定的。 后来人们陆续发现，土卫三的L4和L5点有两个 小卫星，分别是土卫十三和土卫十四； 土卫四在L4点有一个卫星土卫十二。 更多的发现无可争议地证实了拉格朗日点 的存在。
圆形中动点问题的解题策略：
圆形中动点问题的解题策略：圆形中动点问题的解题策略
圆形中动点问题是一类在几何学中常见的问题，涵盖了动点在圆形表面的位置、路径、速度和加速度等相关计算和性质。
解决这类问题可以采用以下简单策略：
1. 确定圆的性质
首先，确定给定圆的半径和中心坐标。
这些参数将是解题的基础，用来计算动点相对于圆的位置。
2. 确定动点的位置
确定动点在圆上的位置。
可以使用动点在圆上的弧长或角度来描述其位置。
3. 计算动点的速度
根据题目所给的信息，计算动点在圆上的速度。
可以使用速度公式来计算动点的线速度。
4. 计算动点的加速度
如果题目要求，计算动点在圆上的加速度。
可以使用加速度公
式来计算动点的向心加速度和切向加速度。
5. 分析动点的运动轨迹
根据动点的速度和加速度，可以分析动点的运动轨迹。
根据速
度的方向和大小，以及加速度的方向和大小，可以确定动点在圆上
的运动性质。
6. 结论
总结分析结果，得出关于动点在圆上运动的结论。
以上是解决圆形中动点问题的一般策略，根据具体题目的要求，可能需要适当调整和扩展这些策略。
通过掌握这些基本策略，可以
更有效地解决圆形中动点问题。
圆形限制性三体问题
圆形限制性三体问题圆形限制性三体问题（Circular Restricted Three-Body Problem，简称CRTBP）是物理学家和天文学家研究系统动力学的一个重要实例，它描述了一个受两个大质量物体（太阳和月球）的引力影响，而另一个质量很小的物体（卫星）在其中轨道运动的系统。
CRTBP可以用来描述太阳-地球-月球系统，也可以用来描述任何其他两个大质量物体和一个质量很小的物体之间的关系。
CRTBP是一个复杂的非线性系统，它描述了三个物体之间的相互作用。
这个系统的特征是，它是一个非线性系统，即每个物体的行为可以有许多不同的解，而且这些解可能会影响其他两个物体的行为。
此外，由于物体之间的相互作用，系统的力学行为可能会发生混乱的变化，这种变化被称为“混沌”。
在CRTBP中，第一个物体被称为“主体”，第二个物体被称为“助力”，而第三个物体被称为“小物体”。
主体和助力可以是任何两个质量不同的物体，如太阳和月球，或是任何其他两个质量不同的物体，比如行星和小行星。
小物体的质量必须比主体和助力的质量都要小得多，因此它的运动受到主体和助力的合力影响。
圆形限制性三体问题最早是由法国天文学家和数学家J. L. Lagrange 在18th世纪提出的，但它直到20世纪中叶才得到了广泛的应用。
当时，CRTBP被用来模拟太阳-地球-月球系统，这样就可以更准确地预测月球的运动轨道。
后来，CRTBP被广泛应用于模拟行星、小行星和其他多体系统的运动。
CRTBP的数学模型非常复杂，它涉及到多个变量，因此它的解是非常困难的。
为了解决这个问题，物理学家和天文学家们必须使用各种数学工具，如微分方程、偏微分方程和矩阵方程，来求解CRTBP。
此外，由于CRTBP的复杂性，研究者们还必须使用计算机模拟，以确定三体系统的轨道运动。
CRTBP在现代物理学和天文学中仍然是一个重要的研究课题，它可以用来研究太阳系中的行星、小行星、卫星和其他多体系统的运动。
三体系培训内容
三体系培训内容概述：三体系是指由三个物体组成的力学系统，其中每个物体都对其他两个物体施加引力。
三体系是力学中的经典问题，具有复杂的动力学性质和丰富的现象。
一、三体问题的历史背景三体问题最早可以追溯到17世纪，由牛顿在其《自然哲学的数学原理》中提出。
牛顿通过分析地月系统中的引力相互作用，形成了对三体问题的基本理论框架。
随后，拉普拉斯和勒让德等科学家对三体问题进行了深入研究，提出了一系列重要的数学方法和解析解。
二、三体问题的分类根据三体系统的性质和约束条件的不同，三体问题可以分为多种类型。
常见的三体问题包括限制性三体问题、非限制性三体问题、相对论三体问题等。
1. 限制性三体问题限制性三体问题是指其中一个物体的质量可以忽略不计，另外两个物体的质量相对较大。
在这种情况下，可以将问题简化为二体问题和一个质点之间的相互作用。
著名的限制性三体问题有地月系统和太阳系中的某些小行星。
2. 非限制性三体问题非限制性三体问题是指所有物体的质量都不能忽略不计，它们之间的相互作用都需要考虑。
非限制性三体问题的求解更为复杂，通常需要借助数值模拟等方法。
这类问题在天体力学和宇宙学中具有重要的应用。
3. 相对论三体问题相对论三体问题是指在相对论框架下考虑引力相互作用的三体系统。
由于相对论效应的存在，物体的质量和速度会发生变化，从而影响系统的运动和结构。
相对论三体问题是理论物理和天体物理学中的前沿课题。
三、三体问题的动力学行为三体问题的动力学行为极其丰富多样，其中最著名的现象是混沌现象。
混沌现象是指系统对初始条件的微小变化极其敏感，导致系统的演化变得不可预测。
混沌现象在三体问题中经常出现，给问题的求解和研究带来了巨大的挑战。
三体问题还涉及到稳定性分析、周期解的存在性、能量守恒等重要问题。
通过对系统的数值模拟和分析，科学家们不断揭示三体问题的奥秘，为力学和天体物理学的发展做出了重要贡献。
四、三体问题的应用与研究方向三体问题不仅在理论物理学中具有重要地位，还广泛应用于天体力学、人造卫星轨道设计、行星运动预测等领域。
三体问题初步
GM E J 2 R E 3 1 2 V r , cos r 2 r 2 GM E J 2 R E 3 2 1 sin i r 2 r 4 n 2J 2R E 2 3 2 1 sin i 3 2 2 1 e 2 4
T 2 rr dm r Udm I
3
xy z2 x2 zy
xz yz dm x2 y2
地球椭球体：形状轴
主转动惯量和惯量主轴
A 0 0 I0 B 0 0 0 C C A B
A 304 C A
C A 0.0032729 C
刚体地球的性质1：三轴共面
H AΩ (C A)TT Ω T TT Ω H 0
5
摄动力矩
摄动加速度
a
(s r )
sr s
3
,
r T ˆ ˆˆ a 2 s U 3ss
s
摄动力矩
N 3 T ˆ ˆ. ( C A ) s TT s 3 s
19
圆形限制性三体问题
限制性问题的基本思想：第一步，先不考虑小质 量的第三体， 分离出两个大质量天体（主天体）， 问题简化为二体问题，因而可解. 第二步，在解决 了关于主天体的二体问题之后，再研究小天体在 两个主天体影响下的运动. 这时，主天体的引力场 是已知的，问题得到了简化. 圆形限制性三体问题：主天体在圆轨道上运动， 两体间的距离不变. 一级近似把两个大天体的相对 位置当作是固定不变的.
20
惯性参考系
1 rS rE
rS rSE , 0 rE 1 rSE
拉格朗日点
拉格朗日点科技名词定义中文名称：拉格朗日点英文名称：Lagrangian point定义：圆型限制性三体问题中存在的五个秤动点的总称。
包括两个等边三角形点和三个共线点。
所属学科：天文学（一级学科）；天体力学（二级学科）本内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布百科名片拉格朗日点指受两大物体引力作用下,能使小物体稳定的点. 一个小物体在两个大物体的引力作用下在空间中的一点，在该点处，小物体相对于两大物体基本保持静止。
这些点的存在由法国数学家拉格朗日于1772年推导证明的。
1906年首次发现运动于木星轨道上的小行星（见脱罗央群小行星）在木星和太阳的作用下处于拉格朗日点上。
在每个由两大天体构成的系统中，按推论有5个拉格朗日点，但只有两个是稳定的，即小物体在该点处即使受外界引力的摄扰，仍然有保持在原来位置处的倾向。
每个稳定点同两大物体所在的点构成一个等边三角.目录概述发现现象拉格朗日点的五个特解L11L21L31L41L5天文学中的用途理性在太空闪光展开编辑本段概述就平面圆型三体问题，1767年数学家欧拉Leonhard Euler (1707-1783) 根据旋转的二体引力场推算出其中三个点（特解）L1、L2、L3，1772年数学家拉格朗日Joseph Lagrange (1736-1813) 推算出另外两个点（特解）L4、L5；但后来习惯上将这五个点都称为“拉格朗日Lagrange”或“拉格朗日点Lagrangian points”；有时也称为“平动点libration points”。
编辑本段发现18世纪法国数学家、力学家和天文学家拉格朗日（拉格朗治）在1772年发表的论文“三体问题”中，为了求得三体问题的通解，他用了一个非常特殊的例子作为问题的结果，即：如果某一时刻，三个运动物体恰恰处于等边三角形的三个顶点，那么给定初速度，它们将始终保持等边三角形队形运动。
A.D 1906年，天文学家发现了第588号小行星和太阳正好等距离，它同木星几乎在同一轨道上超前60°运动，它们一起构成运动着的等边三角形。
太阳摄动下的地-月系统特性
了系统 零速 度面 的变 化情 况 。
地一 月三体 系统受到各种摄动力影响 ， 其 中量 级高的当数太 阳引力 ［ 。考虑太阳引力 的影响 ， 建 立 日 一地 一月 质心 惯性 坐 标 系 ０ — ， ｌ ， ， 原 点 。为 日 一地 一月 质 心 ， 轴垂 直 于 黄道 面 ，其 指 向 由地 月质心绕太阳的旋转运动确定。 建立地 一月质心坐标系 Ｂ — ｌ ， ， 其坐标轴指 向与 ０ ， ｙ ， ｚ ， 各坐标轴相 同。 令Ｂ — ｘ ｙ ｚ为 以地 一 月质 心 Ｂ为 原点 的质 心 旋转
太阳摄动下的地 一月系统特性
张 云 燕 ， 李 楠 ， 李 言俊
（ １ ． 西北工业大学航天学院， 西安 ７ １ ０ ０ ７ ２ ； ２ ． 上海卫星工程研究所， 上海 ２ ０ ０ ２ ４ ０ ）
摘
要： 分析了太 阳引力摄动下地 一月系统 的动力学特性 。 以地 一月 圆型限制性 三体 问题为基础 ， 考虑 与其非共
面 的： 阳运动 ， 建立 了受摄地 一月问题 的动力学模型 ； 求解 此模 型的平衡点位置 ， 考察了它们的变化规律及稳定性 ； 构造了非 自治 系统的类 Ｊ ａ ｃ ｏ ｂ ｉ 积分 ， 从而得到受摄三体系统的零速度面 ， 分析了其连通域随地 一月相位 的变化情况 。 计算结果表明 ， 在太阳引力摄动下 ， 地 一月系统 的平衡点位于无摄 三体 系统 的平动点附近 ， 稳定性也与其附近的平动
共线平动点附近的周期和拟周期轨道
轨道 ，并通过分析一个周期处的状态转移矩 阵 （ Ｍ矩 阵 ）分析 了各种轨道 的稳定 性 以及几 种周 期和 拟周期 轨道之 间 的关 系 。最后给出 了圆型限制型三体 模型下 Ｈ ｌ ａ ｏ轨道的牛顿迭代算 法。 关键字 ：共线平动点 ；Ｍ矩阵 ；Ｈ ｏ轨道 ；Ｌｓａ ｕ 轨道 ；Ｌａ ｕ ｏ ｌ ａ ｉ ｊｓ ｓｏ ｙｐ ｎｖ轨道
∑
，， ∑Ｖ 。 １ ＝
然后由线性解 的形式中得到这个迭代方程的
初值 ： ｏ ＝ ， ｖ０ Ｖ， ｏ ＝－１ ／１＝Ｋ， ０ ＝ １ ｏ ，Ｔｏ ｌ０
ｆ ＝ ａ ｏ（ｔ － ｃｓ ＋ ） ２ ｛ ＝￣ ｓ （ｔ ｒ ＇ ｉＡ＋ ） ／ ａｎ Ｉ ＝ｆ ｉ ｖ＋ ｌ ｎ ｔ ） ｓ（
（＝ ∑（∑ ￣ｍｏｋ ＋ Ｏ） ） ： ｃ（ ，ｍ２ａ ｆ ｓＯ ｋ ）
ｉ ＝ ｋ ｉｍ＜ ， ｌ ｌ， ｌ ｊ Ｊ＜ Ｉ ￣ ＿ ｊ
ｒ＝ｔ Ｃ ｅ 一￣ Ｃ２一 一ａ ｃ３ ｏ ｄ ｔ（ ） ／ ￣ ｌ却 １ ｅ ２ ｓ ２ ２ ｃ
刀） ∑（∑ ｑｍｎ ０ ｍ２ （ （＝ ｏｓ（ １ Ｏ） ５ ｋｉｋ ＋ ） ａ ）
上述 过 程 中 ，如 果 得 到 的 结 果 中 系 数 是 Ｃ
（ ）的表达式 ，就得到 了分析解 ，如 Ｒｃａ ｓ ｉ ｒｏ ｈｄｎ
标 系 （ Ｊｃｂ 坐 标 系 ） 中研 究 小 天 体 的 运 动 。 即 ａｏ ｉ
（） １
ｉ
２ｘ ２ ２， Ｆ＋＋ ／ ｙ半＋ ２
如图 １ ，此 模 型 下存 在 着 五个 特 解 ，即 五 个 平 动
对 此方 程在 共 线 平 动 点 附近 线 性 展 开后 ，分 析线性 化矩 阵 的特 征 值 可 知 ：ｚ方 向上 是 简 谐 振 动 ，运 动稳 定 ；Ｘ Ｙ平 面 内 特 征 值 有 两 个 异 号 实 根 ，两个 纯 虚根 ，运动 不 稳 定 ，可 知 共 线平 动 点 是 鞍点 。在 以 平 动 点 为 原 点 的 旋 转 坐 标 系 （ ，
受摄三体问题研究
２０ ０ ８年 ｌ ２月
中 国 空 间 科 学 技 术
１ ５
圆型 限 制性 三体 问题
假设 两个 主天 体 Ｍ１ Ｍ２Ｍ１ 和 （ ＞Ｍ２绕其 公 共质 心 以角速 度 ∞ 做 圆周 运 动 ， ） 第三 体 （ 行器 ） 飞 Ｍ３ 质量 远远 小于 主天 体 的质 量 ，因而第 三体不 影 响主天 体 的运动 。圆型限 制性 三体 问题研 究第 三体 在 主天 体 的引力 作用 下 的运 动 。以系统 的公共 质 心 为 原点 ，定义 会 合 坐标 系 。ｚ轴 从 Ｍ 向 Ｍ２ 指 ，ｚ
摘 要 圆型 限制 性三体 问题模 型忽略 了摄动 因素 的影响 ，在 很 多情况 下不能足 够准确
地描 述三体 系统 的动力 学性质 。本文研 究 了考虑 摄动影 响 的三体 问题 的动 力学性质及 其轨
道设计 。首先分析 了运行在 平动 点 附近 的卫 星所 受的主要 摄动 因素 ；然后从 系统在 惯性 坐 标 系中的动 力学方程 出发 ，推 导 了会 合 坐标 系中考虑偏 心率 、第四体 引力 以及 太 阳光压摄 动影 响的一般 动 力学方程 ；最后使 用 两层 微分修 正方 法将 圆型限制性 三体 问题 模 型下设计
１ ４
中 国 空 间 科 学 技 术
ＣＨＩ ＮＥＳＥ ＰＡＣＥ ＣＩ Ｓ Ｓ ＥＮＣＥ ＡＮＤ ＴＥＣＨＮＯＩＯＧＹ
２０ ０ ８年 １ ２月
第
６ 期
受 摄 三体 问题 研究
李 明涛 郑建华 于锡峥 高东
（ 中国 科 学 院空 间科 学 与 应 用 研 究 中心 ，北 京 １ ０ ８ ） ０ ０ Ｏ
较 好 的描述平 动点 附近的动 力学性 质在概念 设计 阶段被 广泛使 用 ，然 而 圆型限制性 三体 问题没有 考
变质量椭圆限制性三体问题
变质量椭圆限制性三体问题
变质量椭圆限制性三体问题是一个重要的天体力学问题，它涉及到三个天体的运动，其中一个天体的质量可以变化。
它是一个复杂的问题，因为它涉及到三个天体的相互作用，而且这三个天体的质量可以变化。
变质量椭圆限制性三体问题的研究始于1767年，当时爱因斯坦和拉普拉斯研究了这个问题。
他们发现，当三个天体的质量可以变化时，它们的运动会受到椭圆限制，这就是变质量椭圆限制性三体问题的名称。
变质量椭圆限制性三体问题是指三个天体在发生相互作用的情况下，由于其中一个天体的质量发生变化，导致这三个天体的运动受到限制的问题。
这种问题常用于描述星系中的小行星、恒星和黑洞的运动，也可用于描述太阳系中的行星和小行星的运动。
变质量椭圆限制性三体问题的解决方法包括计算机模拟和数值解法。
通过对三体问题进行模拟或数值解，可以得到三体系统的运动轨迹、能量分布、角动量等物理量的变化规律。
这些信息对于研究星系动力学、小行星的演化规律、太阳系的组成结构等方面具有重要意义。
三体运动的规律课程设计
三体运动的规律课程设计一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握三体运动的基本概念，理解三体运动中物体间的相互作用力。
2. 使学生了解三体运动的主要数学模型，如拉格朗日点和欧拉方程。
3. 引导学生掌握分析三体运动稳定性的方法，了解限制性三体问题和开普勒定律的应用。
技能目标：1. 培养学生运用数学知识解决三体运动问题的能力，包括建立数学模型、求解方程等。
2. 提高学生运用物理原理分析三体运动中物体运动状态变化的能力。
3. 培养学生运用计算机软件模拟三体运动过程，观察和分析运动规律的能力。
情感态度价值观目标：1. 激发学生对天体物理学和数学建模的兴趣，培养科学探索精神。
2. 培养学生团队协作意识，学会与他人共同分析问题、解决问题。
3. 引导学生关注我国航天事业的发展，树立为国家和民族事业奋斗的远大理想。
本课程针对高中物理课程中的三体运动问题，结合学生年级特点和教学要求，设计课程目标。
通过本课程的学习，学生将能深入理解三体运动的规律，掌握相关物理和数学知识，培养解决实际问题的能力，同时培养科学精神和团队协作意识。
二、教学内容本课程教学内容主要包括以下几部分：1. 三体运动基本概念：介绍三体运动定义，分析三体系统中物体间的相互作用力，如万有引力等。
2. 数学模型：学习拉格朗日点和欧拉方程，了解它们在三体运动中的应用。
- 拉格朗日点：讲解拉格朗日点的定义及其稳定性。
- 欧拉方程：推导并解释欧拉方程在三体运动中的作用。
3. 三体运动稳定性分析：探讨限制性三体问题，分析三体系统运动稳定性。
4. 开普勒定律及其应用：回顾开普勒定律，并应用于三体运动问题。
5. 计算机模拟：利用计算机软件（如MATLAB等）进行三体运动模拟，观察和分析运动规律。
6. 实践案例：分析实际航天工程中的三体运动问题，如地球-月球-人造卫星系统。
教学内容按照以下进度安排：1. 第1周：三体运动基本概念，拉格朗日点介绍。
2. 第2周：欧拉方程推导及应用，三体运动稳定性初步分析。
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x& v x ,
v&x
2vy
x
,
y& v y ,
v&y
2vx
y
,
z& v z ,
v&z
z
.
令方程组的右端全部为零则可解得平动点.
3.5.1 变分方程与线性稳定性
假 定 m 稍 微 偏 离 一 点 平 动 点 的 位 置 x0, y0, z0 T 到 新 的 位 置 x, y, z T ,其 中 ：
Y& BAB -1Y
若存在向量 x和数量 使 Ax x 则 x为矩阵A的特征向量 而 为相应的特征根
其中的 Bi 是矩阵 A 的第 i 个特征向量,并且这样的构造使得对角矩阵 Λ 中的 第i个对角元素是矩阵 A 的第i个特征根.
根据前述对角系数矩阵常微分方程解的情况,Y&= BAB-1Y ΛY 的解是:
xy
0
=
2 xy
0
xz
0
yz
0,
0
zz 0
1
r13
r23
0
令
A
zz
0
0,可 将
z 方向的运动分离出来：
Z&& A Z
Z0cost, 2A
这是一个简谐振动的方程,所以 在 z 方向的运 动是稳定的.
3.5.1 变分方程与线性稳定性
在上述方程中将z自由度分离,只考虑关于X,YT的方程：
X&
Y&
VV& &YX
0
0
xx0
yx 0
0 0
xy 0 yy 0
1 0 0
2
1002VVYXYX
.
各变量之间有耦合关系
例如VX VX X,Y,VY
平动点是否稳定,可以从X,Y,Z随时间的变化情况反映.Z是稳定的,而X,Y
的动力学演化情况则由上述常微分方程决定.
一般地,一个关于向量XX1,X2,L,XnT的常微分方程可写成如下形式:
Y&= BAB-1Y
X = B -1Y , X&= B -1Y&
并且其中的系数矩阵 Λ=BAB-1 是一个对角矩阵 :
B -1Y& AB -1Y
1 0 L 0
Λ =B A B -1
0
2
L
0
.
M M O M
0 0 L n
一般地,这样的变换矩阵 B 可以这样构造:
B = B1, B2,L , Bn ,
X &=AX.
A是nn矩阵
方程的解的情况由系数矩阵A决定.特别地,如果矩阵A是一个对角矩阵,该
方程的各个变量之间没有耦合关系,那么这个方程就可以解出来：
Adiag1,2,L,n X&i iXi Xi cieit i1,2,L,n
3.5.1 变分方程与线性稳定性
实际上,可以构造一个变换矩阵 B 使得 Y BX 从而将 X&= AX 变成
xy 0
0
2 .
yx 0 yy 0 2 0
特征根由下述方程给出
01
0
0
d e t
xx
0
xy 0
0
1
2 0
yx 0 yy 0 2
即
Axx AEx0 detAE 0为特征方程
由特征方程可以解出特征根
4
4
r15 0
x0 r25
0
1
y0
,
x x 0
1
A
3
1
x0
r15 0
2
x0
12
r25 0
,
yy
0
1
A
3
1
r15 0
r25
0
y
2 0
.
ห้องสมุดไป่ตู้
其中
A
zz
0
1 r13
0
r
3 2
0
3.5.2 共线平动点线性稳定性
对 共 线 平 动 点 ,有 y0 0,则
0 0 0
xx
0
V&Y V&Z
yx
0
zx 0
0 0 0
xy 0 yy 0 zy 0
0 0 0
xz 0
yz 0
zz 0
1 0 0 0
2
0
0 1 0 2
0
0
0 0 1
X Y Z
0
V
X
0 0
V V
Y Z
在 平 动 点 有 z 0, 显 然 地 ：
xy
0,
0
xx
0
1
2A,
特征根方程:
yy
1 A.
0
4 2 A 2 1 2A 1 A 0.
令 2 B 2 A, C 2 1 2A 1 A 0,方 程 成 为 :
d 2 z 0 Z
dt2
z
x x0 X , y y0 Y , z z0 Z
而 上 述 方 程 组 的 右 端 可 以 在 x0, y0, z0 T 附 近 作 展 开 ,比 如 ：
x
x x0 X , y y0 Y , z z0 Z
0 表 示 求 导 在 x 0 ,y 0 ,z 0 T 处 进 行
x
0
X
x
x
0
Y
y
x
0
Z
z
x
0
高
阶
项
3.5.1 变分方程与线性稳定性
在 上 述 方 程 中 略 去 高 阶 项 ,考 虑 到 平 动 点 的 性 质 ,最 终 可 以 将 关 于 X ,Y , Z T
的方程写成一阶形式：
X&
Y&
Z&
V&X
xx
0
yy 0
2
2
xx 0
yy
0
xy 0
0.
这 个 方 程 的 根 是 容 易 求 出 的.
这 是 关 于 2 的 二 次 方 程
3.5.1 变分方程与线性稳定性
为 讨 论 平 动 点 的 稳 定 性 ,首 先 计 算 系 数 矩 阵 中 的 元 素 :
xy
0
3
1
x0
x x0 X , y y0 Y , z z0 Z .
X,Y,Z是小量
代入运动方程：
d 2 x0 X
dt2
d 2
y0 Y dt
x
x x0 X , y y0 Y , z z0 Z
d 2 y 0 Y
dt2
d 2
x0 X
dt
y
x x0 X , y y0 Y , z z0 Z
Yi cieit
可 见 X & = A X 解 ( 由 X = B - 1 Y 给 出 ) 的 稳 定 性 情 况 由 系 数 矩 阵 A 的 特 征 根 决 定 .
3.5.1 变分方程与线性稳定性
考 虑 平 动 点 的 稳 定 性 ,系 数 矩 阵 为 :
0
0 1 0
0
0
0
1
A
x x 0
天体力学基础
第三章
限制性三体问题
3.5 平动点的线性稳定性
圆型限制性三体问题中 m的运动方程为：
&x&
2
y&
x
1 n 2 x 2 y 2 1 ,
2
r1 r2
&y&
2 x&
y
其中
r12 x y 2 z 2 ,
&z&
z
r
2 2
x
1
y2
z2.
该运动方程可以改写成一阶方程组的形式：