圆型限制性三体问题平动点的稳定性

x
0
X
x
x
0
Y
y
x
0
Z
z
x
0
高
阶
项
3.5.1 变Байду номын сангаас方程与线性稳定性
在 上 述 方 程 中 略 去 高 阶 项 ,考 虑 到 平 动 点 的 性 质 ,最 终 可 以 将 关 于 X ,Y , Z T
的方程写成一阶形式：
X&
Y&
Z&
V&X
0 0 0
xx
0
V&Y V&Z
yx
0
zx 0
0 0 0
xy 0 yy 0 zy 0
0 0 0
xz 0
yz 0
zz 0
1 0 0 0
2
0
0 1 0 2
0
0
0 0 1
X Y Z
0
V
X
0 0
V V
Y Z
在 平 动 点 有 z 0, 显 然 地 ：
x x0 X , y y0 Y , z z0 Z .
X,Y,Z是小量
代入运动方程：
d 2 x0 X
dt2
d 2
y0 Y dt
x
x x0 X , y y0 Y , z z0 Z
d 2 y 0 Y
dt2
d 2
x0 X
dt
y
x x0 X , y y0 Y , z z0 Z
x& v x ,
v&x
2vy
x
,
y& v y ,
v&y
2vx
y
,
z& v z ,
v&z
z
.
令方程组的右端全部为零则可解得平动点.
3.5.1 变分方程与线性稳定性
假 定 m 稍 微 偏 离 一 点 平 动 点 的 位 置 x0, y0, z0 T 到 新 的 位 置 x, y, z T ,其 中 ：
Y& BAB -1Y
若存在向量 x和数量 使 Ax x 则 x为矩阵A的特征向量 而 为相应的特征根
其中的 Bi 是矩阵 A 的第 i 个特征向量,并且这样的构造使得对角矩阵 Λ 中的 第i个对角元素是矩阵 A 的第i个特征根.
根据前述对角系数矩阵常微分方程解的情况,Y&= BAB-1Y ΛY 的解是:
X&
Y&
VV& &YX
0
0
xx0
yx 0
0 0
xy 0 yy 0
1 0 0
2
1002VVYXYX
.
各变量之间有耦合关系
例如VX VX X,Y,VY
平动点是否稳定,可以从X,Y,Z随时间的变化情况反映.Z是稳定的,而X,Y
的动力学演化情况则由上述常微分方程决定.
一般地,一个关于向量XX1,X2,L,XnT的常微分方程可写成如下形式:
X &=AX.
A是nn矩阵
方程的解的情况由系数矩阵A决定.特别地,如果矩阵A是一个对角矩阵,该
方程的各个变量之间没有耦合关系,那么这个方程就可以解出来：
Adiag1,2,L,n X&i iXi Xi cieit i1,2,L,n
3.5.1 变分方程与线性稳定性
实际上,可以构造一个变换矩阵 B 使得 Y BX 从而将 X&= AX 变成
xx
0
yy 0
2
2
xx 0
yy
0
xy 0
0.
这 个 方 程 的 根 是 容 易 求 出 的.
这 是 关 于 2 的 二 次 方 程
3.5.1 变分方程与线性稳定性
为 讨 论 平 动 点 的 稳 定 性 ,首 先 计 算 系 数 矩 阵 中 的 元 素 :
xy
0
3
1
x0
d 2 z 0 Z
dt2
z
x x0 X , y y0 Y , z z0 Z
而 上 述 方 程 组 的 右 端 可 以 在 x0, y0, z0 T 附 近 作 展 开 ,比 如 ：
x
x x0 X , y y0 Y , z z0 Z
0 表 示 求 导 在 x 0 ,y 0 ,z 0 T 处 进 行
r15 0
x0 r25
0
1
y0
,
x x 0
1
A
3
1
x0
r15 0
2
x0
12
r25 0
,
yy
0
1
A
3
1
r15 0
r25
0
y
2 0
.
其中
A
zz
0
1 r13
0
r
3 2
0
3.5.2 共线平动点线性稳定性
对 共 线 平 动 点 ,有 y0 0,则
xy
0
=
2 xy
0
xz
0
yz
0,
0
zz 0
1
r13
r23
0
令
A
zz
0
0,可 将
z 方向的运动分离出来：
Z&& A Z
Z0cost, 2A
这是一个简谐振动的方程,所以 在 z 方向的运 动是稳定的.
3.5.1 变分方程与线性稳定性
在上述方程中将z自由度分离,只考虑关于X,YT的方程：
Y&= BAB-1Y
X = B -1Y , X&= B -1Y&
并且其中的系数矩阵 Λ=BAB-1 是一个对角矩阵 :
B -1Y& AB -1Y
1 0 L 0
Λ =B A B -1
0
2
L
0
.
M M O M
0 0 L n
一般地,这样的变换矩阵 B 可以这样构造:
B = B1, B2,L , Bn ,
xy
0,
0
xx
0
1
2A,
特征根方程:
yy
1 A.
0
4 2 A 2 1 2A 1 A 0.
令 2 B 2 A, C 2 1 2A 1 A 0,方 程 成 为 :
xy 0
0
2 .
yx 0 yy 0 2 0
特征根由下述方程给出
01
0
0
d e t
xx
0
xy 0
0
1
2 0
yx 0 yy 0 2
即
Axx AEx0 detAE 0为特征方程
由特征方程可以解出特征根
4
4
Yi cieit
可 见 X & = A X 解 ( 由 X = B - 1 Y 给 出 ) 的 稳 定 性 情 况 由 系 数 矩 阵 A 的 特 征 根 决 定 .
3.5.1 变分方程与线性稳定性
考 虑 平 动 点 的 稳 定 性 ,系 数 矩 阵 为 :
0
0 1 0
0
0
0
1
A
x x 0
天体力学基础
第三章
限制性三体问题
3.5 平动点的线性稳定性
圆型限制性三体问题中 m的运动方程为：
&x&
2
y&
x
1 n 2 x 2 y 2 1 ,
2
r1 r2
&y&
2 x&
y
其中
r12 x y 2 z 2 ,
&z&
z
r
2 2
x
1
y2
z2.
该运动方程可以改写成一阶方程组的形式：