孩子与狼故事

分析“孩子与狼”的故事

伊索寓言“孩子与狼”讲的是一个小孩每天到山上放羊，

山里有狼出没，第一天，他在山上喊：“狼来了！狼来了！”，

山下的村民闻声便去打狼，可到山上，发现狼没有来；第二天

仍是如此；第三天，狼真的来了，可无论小孩怎么喊叫，也没

有人来救他，因为前二次他说了慌，人们不再相信他了。

现在用贝叶斯公式来分析此寓言中村民对这个孩子的可

信程度是如何下降的。

首先记事件A 为“小孩说谎”，记事件B 为“小孩可信”，

不妨设村民过去对这个小孩的印象为()0.8P B =，0.2-⎛⎫P B = ⎪⎝⎭

（2.1.3） 我们现在用贝叶斯公式来求()P B A ，亦即这个小孩说了一

次慌后，村民对他的可信度的改变。 我们现在用贝叶斯公式来求()P B A 和-⎛⎫P A B ⎪⎝⎭

，这个两个概率的含义是：前者为“可信()B 的孩子”说谎()A 的可能性，后者为“不

可信”-⎛⎫B ⎪⎝⎭

的孩子“说谎”()A 的可能性。在此不妨设：()0.1P A B =，0.5-⎛⎫P A B = ⎪⎝⎭

第一次村民上山打猎，发现狼没有来，即小孩说了慌()A ，

村民根据这饿信息，对小孩的可信程度改变为：

()()()

()()--P B P A B P B A =⎛⎫⎛⎫P B P A B +P B P A B ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

0.80.10.4440.80.10.20.5

⨯==⨯+⨯ 这表明村民上了一次当后，对这个小孩的可信程度由原来

0.8调整为0.444，也就是(3.1.2)调整为：()0.444P B =，0.556-⎛⎫P B = ⎪⎝⎭

(3.1.3)

在次基础上，我们再一次用贝叶斯公式来计算()P B A ，亦

即这个小孩第二次说慌后，村民对他的可信度的改变为：

()()()

()()--P B P A B P B A =⎛⎫⎛⎫P B P A B +P B P A B ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

0.4440.10.1380.4440.10.5560.5

⨯==⨯+⨯ 这表明村民们经过两次上当，对这个小孩的可信程度已经

从0.8下降到了0.138，如此低的可信度，村民听到第三次呼叫时

怎么再会上山打狼呢？

分析曹刿论战的故事

相信大家都很清楚春秋末鲁国史官左丘明所著《作传》中

精彩绝伦的故事——“曹刿论战”。曹刿这次的战略思想就是

“一鼓作气，再而衰，三而竭”。当鲁庄公问曹刿时，他是这

样解释的：“打仗是靠勇气的，第一次击崐鼓，能够振作士兵

的勇气，第二次击鼓，士兵的勇气就减弱了，第三次击鼓后士

兵的勇气就消耗完了。他们的勇气已经完了，我们的勇气正旺

盛，所以战胜了他们。

这听来的确很有道理，但如果叫曹刿用数学知识来论证此

事，那就强人所难了吧。而有了贝叶斯公式，那可就很容易用

数学的理论来论证了。

现在让我们用贝叶斯公式来分析齐国士兵勇气变化的过

程：

我们先记事件A 为“击鼓后鲁国进攻”：记事件B 为“齐国

士兵勇气高涨”则-

B 为“齐国士兵勇气低落”，由以往的经验可

知道对强国士兵的勇气评价为：

()0.9P B =，0.1-⎛⎫P B = ⎪⎝⎭， （2.1.1） 因为在军队里的人很多都是农民，他们是迫于权势和无奈

而被抓去当兵的，心里比较怨恨战争，更怨恨侵略的战争，但

由于自己所在的军队强大，相信对方会采取进攻而为此一拼，

所以士兵的勇士才会有那么高涨，即所谓“一鼓作气”，因而

这个假设是合理的。

现在我们就在第二次击鼓后，鲁国不进攻，齐国当然也不

能进攻（这是古代我国战争的规定），而这是一场强大的齐国

进攻弱小的鲁国的战争，因而在强国士兵的勇气高涨的情况下，弱国进攻的概率是很小的，即假设为()0.09P A B =，而一般

情况下，在强国的士兵的勇气低落的情况下，而弱国就会冒死一拼，进攻的概率就大大提高了，即0.7-⎛⎫P A B = ⎪⎝⎭。

第二次击鼓后，鲁国不进攻-

A ，则运用贝叶斯公式对齐国

士兵勇气高涨的改变：

()()()

()()--P B P A B P B A =⎛⎫⎛⎫P B P A B +P B P A B ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

0.90.090.5360.90.090.10.7⨯==⨯+⨯

这说明鲁国不进攻后，齐国士兵勇气高涨有原来的0.9降到

0.536，即（2.1.1）调整为：()0.536P B =，0.464-⎛⎫P B = ⎪⎝⎭ （2.1.2）

可见这就是曹刿所说的“再而衰”。

那在此基础上，当第三次击鼓时，那齐国士兵勇气改变为 ()()()

()()--P B P A B P B A =⎛⎫⎛⎫P B P A B +P B P A B ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

0.5360.090.1290.5360.090.4640.7⨯==⨯+⨯

也就是说第三次击鼓时，以为鲁国更不敢进攻，齐国士兵勇气就正如曹刿所说的“三而竭”了，但此时此刻，鲁国却突然进攻，那可就令齐国将士们防不胜防，必遭大败。