(完整版)等比数列前n项和公式的性质导学案
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等比数列前n 项和的性质导学案知识目标：掌握等比数列前n 项和的性质，灵活的应用等比数列前n 项和公式的性质解决问题。
方法与过程：通过自主探究的方式，培养学生团队精神，勇于探索的精神。
教学过程：复习:1、 等比数列前n 项和公式:（1） （2）2.数学思想：课前练习：1.数列()项和的前n a a a a n 132............,,,1-aa A n--11. B a a n --+111 C a a n ---111 D.以上答案都不对。
2.求和()())(.......212n a a a n -++-+- 新课探究：探究一：性质1。
数列{}n a 的前n 项和A Aq S n n -=()1,0,0≠≠≠q q A 探究{}n a 是否为等比数列。
例题1：若等比数列{}n a 的前n 项和,4a S n n +=求a 的值。
变式：若等比数列{}n a 的前n 项和13-=n n S +a 2，求a 的值。
探究二：我们知道，等差数列有这样的性质：数列{}n a 是等差数列，则K K K K K S S S S S 232,,--................也成等差数列；则新的等差数列的首项是K S ,公差为d k 2。
那么，在等比数列中，也有类似的性质吗？等比数列前n 项和的性质二：数列{}n a 是等比数列，则K K K K K S S S S S 232,,--...............是否也构成成等比数列； 则新的等比数列的首项是K S ,公比（ ）例题2 ：已知等比数列{}n a 中，前10项和10S ＝10，前20项和20S ＝30，求30S 变式训练：1. 等比数列{}n a 10S ＝20，20S =80，求30S ＝？.2.等比数列{}n a 336=S S ，求?69=S S 3、任意等比数列{}n a ，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项 和分别为 X 、Y 、Z ，则下列等式中恒成立的是（ ）Y Z X A 2.=+ .B )()(X Z Z Z Y Y -=-C.XZ Y =2D.)()(X Z X X Y Y -=- 探究三：性质三:等比数列{}n a 共有n 2项，则=奇偶S S 4.数列{}n a 的公比为31，60........9931=+++a a a ，求{}n a 的前100项的和？ 5、已知一个等比数列{}n a 其首项是1，项数是偶数，所有奇数项和是85，所有偶数项和是170，求此数列的项数？小结：。
(完整版)等比数列前n项和导学案
2.5等比数列前n项和一.学习目标1、经历等比数列的前n项和公式推导的探索过程，探究特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想；2、结合公式推导的过程，准确记忆公式，同时归纳出公式应用中的易错点，会用和公式解决有关等比数列的一些简单问题。
二.知识回顾1. 等比数列的定义公式：2. 等比数列的通项公式：3. 等比数列的角标性质：a n 14. 若已知数列｛a n｝中，a i=4, 2 0则a n= _________a n5. 若已知数列｛a n｝中，a3=4,a7=9，则a5= _________三.新知学习1. 情景引入穷人向老板借钱，老板答应，不过提出了条件：在30天中，我第一天借给你1万元，第二天借给你2万元，以后每天借给你的钱都比前一天多1万；但借钱第一天你还给我1分，第二天还给我2分，以后每天还的钱数都是前一天的2倍，30天后互不相欠如何。
问穷人能答应老板条件吗？穷人借的钱:穷人还的钱;2. 公式推导（小组合作探究）已知等比数列｛a n｝的首项是a i,公比是q,项数为n,求它的前n项和S n等比数列前n项和公式：当_________ ■寸，Sn= ____________________________当_________ 时，Sn= ______________________________ 非常数项｛a n｝是等比数列3. 课堂精炼例1•求解下列各题111(1)求等比数列-丄，-,前8项和2 4 81 1⑵已知等比数列佝｝中，a1 8,q 2，a n刁，求〈⑶已知a 0,求1 a a2a n例2.欣赏诗词，解答问题“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增,共灯三百八十一，请问尖头几盏灯”四．通过本节课的学习，你有什么收获？五．作业布置1. 教材P58 练习12. 探究题求和：S n 1 2 2 22 3 23 4 24 n 2n。
§2.5等比数列的前n项和(1)导学案
§2.5等比数列的前n 项和(1)1. 掌握等比数列的前n 项和公式；2. 能用等比数列的前n 项和公式解决实际问题.一、知识清单：1.前n 项和公式的推导方法(错位相减法)设等比数列{}n a ,前n 项和123...n n s a a a a =++++,即211111...n n s a a q a q a q -=+++ ----① ①式两边同乘以q 得：n qS =_________________________--------②①-②，得(1)-=n q S ________________，由此得：1q ≠时，n S =______________。
又n a = ______所以上式可化为n S =_______________；当1q =时，n S =_____________.2.等比数列的前n 项和为n n S Aq B =+（1q ≠），则A 与B 的关系为_________________.3.数列{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则232,,,n n n n n S S S S S -- 仍构成__________二、典型例题：例1.（知三求二）在等比数列{}n a 中（1）2q =，13a =，求6S 与6a （2）12q =，18a =，12n a =，求n S 与n例2．求和：（1）0.90.990.9990.99999n ++++； （2）()2(1)(2)()0na a a n a -+-++-≠例3.已知数列{}n a ，2n n a n = ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，求n S （用错位相减法）三、练习巩固：1.等比数列{}n a 的首项为1，公比为q ，前n 项和为S ，则数列{1n a }的前n 项和为（ ） A.1S - B.S C.1n Sq - D.11n q S --2.在公比1q ≠的等比数列{}n a 中，若前n 项和恒等于11n a a +-，则公比q 等于_________3.在等比数列{}n a 中，有21n n S =-，则22212n a a a ++ 等于_________4.已知等比数列{}n a 中，1010S =，2030S =，则30S =______________5.若等比数列的前项和为()32n nS m n N +=+∈，则m =________________ 6.某工厂去年1月份的产值为a 万元，月平均增长率为()0p p >，则这个工厂去年全年产值的总和为________________自助餐：已知数列{}n a 是等比数列，其中71a =，且456,1,a a a +成等差数列.(1)求数列{}n a 的通项公式；（2）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，证明：128n S <。
等比数列前n项和公式教案
等比数列前n项和公式教案一、教学目标1. 让学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的基本性质。
2. 引导学生通过观察、分析、归纳等比数列前n项和的公式。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 等比数列的概念及基本性质。
2. 等比数列前n项和的公式推导。
3. 等比数列前n项和公式的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：等比数列前n项和公式的推导及应用。
2. 教学难点：等比数列前n项和公式的理解与运用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究等比数列前n项和的公式。
2. 运用案例分析法，让学生通过具体例子体会等比数列前n项和公式的应用。
3. 采用小组讨论法，培养学生的团队协作能力。
五、教学过程1. 导入：回顾等差数列的前n项和公式，引出等比数列前n项和公式的探究。
2. 新课：介绍等比数列的概念及基本性质，引导学生观察等比数列的前n项和的特点。
3. 推导：引导学生通过观察、分析等比数列的前n项和，归纳出等比数列前n项和的公式。
4. 巩固：通过例题讲解，让学生掌握等比数列前n项和的公式的应用。
5. 拓展：引导学生思考等比数列前n项和公式的推广应用，提高学生的思维能力。
6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调等比数列前n项和公式的关键点。
7. 作业：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对等比数列概念和性质的理解程度，以及学生对等比数列前n项和公式的掌握情况。
2. 练习题：布置课后练习题，检验学生对等比数列前n项和公式的应用能力。
3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的表现，评估学生对等比数列前n项和公式的理解深度和团队合作能力。
七、教学反思1. 教师总结：本节课结束后，教师应总结自己在教学过程中的优点和不足，如教学方法、课堂组织等。
2. 学生反馈：收集学生对等比数列前n项和公式的学习反馈，了解学生的掌握情况，为后续教学提供参考。
等比数列的前n项和公式 学案(含答案)
第四章 数列4.3.2 等比数列的前n 项和公式学案一、学习目标1. 理解等比数列的前n 项和公式的推导方法；2. 掌握等比数列的前n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题. 二、基础梳理1.等比数列的前n 项和公式：当1q ≠时， ()11(1)1n n a q S q q-=≠-或1(1)1n n a a qS q q-=≠-. 2.等比数列的前n 项和的性质（1）当q =1时，n m s m s n =，当1q ≠±时，11nn mm s q s q-=-. （2）m n n m m n n m s s q s s q s +=+=+.（3）设s 偶与s 奇分别是偶数项的和与奇数项的和，若项数为2n ，则s q s =偶奇，若项数为2n +1，则1s a q s -=奇偶.（4）当1q ≠-时，连续m 项的和（232m m m m m s s s s s --⋅⋅⋅，，，）仍成等比数列，公比为2m q m ≥，，注意：连续m 项的和必须非零才能成立. 三、巩固练习1.已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，正项等比数列{}n b 满足1134,1b a b a ==+，则使61n b S +≥成立的n 的最大值为( ) A.5B.6C.7D.82.已知数列{}n a 为等比数列，11a =，2q =，且第m 项至第()n m n <项的和为112，则m n +的值为( ) A.11B.12C.13D.143.记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知{}n a 和{}n S k - (k 为常数)均为等比数列,则k 的值可能为( )A.1aB.2aC.3aD.13a a +4.5个数依次组成等比数列,且公比为2-,则其中奇数项和与偶数项和的比值为( ) A.2120-B.2-C.2110-D.215-5.已知n S 是等比数列{}n a 的前 n 项和,若存在*m ∈N ,满足22519,1m m mm S a m S a m +==-,则数列{}n a 的公比为( ) A.2-B.2C.3-D.36.已知等比数列{}n a 的公比2q =,前100项的和10090S =,则246100a a a a ++++=( )A.15B.30C.45D.607.（多选）已知等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ，且满足11a >，9910010a a ->，99100101a a -<-，则以下结论正确的是( ) A.01q << B.9910110a a -<C.100T 的值是n T 中最大的D.使1n T >成立的最大正整数数n 的值为1988. （多选）设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件11a >，201920201a a ⋅>，20192020101a a -<-，则下列结论中正确的是( ) A.20192020S S <B.2019202110S S ⋅-<C.2019T 是数列{}n T 中的最大值D.数列{}n T 无最大值答案以及解析1.答案：D解析：设等比数列{}n b 的公比为q ， 由题意可知当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=-； 当1n =时，112a S ==，2,1,21,2,n n a n n =⎧∴=⎨-≥⎩213412,18b b a b q ∴==+==. 0n b >，2,2n n q b ∴=∴=，66264b ∴==，2651n ∴≥+，8n ∴≤，∴n 的最大值为8，故选D.2.答案：B解析：由已知，得()()11121121121212n m -⨯-⨯--=--，即()11422127m n m --+⋅-=⨯，则14122217m n m --+⎧=⎨-=⎩，解得57m n =⎧⎨=⎩，所以12m n +=，故选B. 3.答案：C解析：若公比1q =,则{}1,n n S k na k S k -=--不可能为等比数列,因此1q ≠,此时1111111n nn a q a q S k a k k q q q ⎛⎫---=-=+- ⎪---⎝⎭,只需101a k q -=-即可.A 选项,{}1n S a -的首项为0,不满足题意；B 选项, 1211011a a a q q q ⎛⎫-=-=⎪--⎝⎭,即211300124q q q ⎛⎫-=⇒-+= ⎪-⎝⎭不成立；C 选项,21311011a a a q q q ⎛⎫-=-= ⎪--⎝⎭,即23210101q q q q -=⇒-+=-,该方程必然有解,成立；D 选项,()2113111011a a a a q q q ⎛⎫-+=--= ⎪--⎝⎭,即()221101001q q q q q q--=⇒-+=⇒=-,不成立. 4.答案：C解析：由题意可设这5个数分别为,2,4,8,16a a a a a --,其中0a ≠,故奇数项和与偶数项和的比值为416212810a a a a a ++=---,故选C.5.答案：B解析：设数列{}n a 的公比为 q ,若1q =,则22mmS S =,与题中条件矛盾,故1q ≠.()()21211119,811m m mm m m a q S q q q S a q q--==+=∴=--.2132111518,3,8,21m m m m m a a q m q m q q a a q m --+====∴=∴=∴=-. 6.答案：D 解析：1001210090S a a a =+++=,设1399S a a a =+++,则241002S a a a =+++,100290,30S S S S ∴+==∴=,故24100260a a a S +++==.故选D.7.答案：ABD解析：9910010a a ->，991001a a ∴>，0q ∴>.99100101a a -<-，()()99100110a a ∴--<，又11a >，01q ∴<<.故A 正确.由A 选项的分析可知991a >，10001a <<，2991011001a a a ∴=<，9910110a a ∴-<，1009910099T T a T =<，故B 正确，C 不正确.()()()()99198121981198219799100991001T a a a a a a a a a a a ===>，()()()1991991219819911992198991011001001T a a a a a a a a a a a a ===<，∴使1n T >成立的最大正整数数n 的值为198，故D 正确. 8.答案：AC解析：由题意，得20191a >，202001a <<，所以01q <<，等比数列{}n a 是各项都为正数的递减数列，即122019202010a a a a >>>>>>>.因为2020201920200S S a -=>，所以20192020S S <，故A 正确；因为20191220191S a a a =+++>，所以()()22201920212019201920202021201920192020202120191S S S S a a S S a a S ⋅=⋅++=+⋅+>>，即2019202110S S ⋅->，故B 错误；根据122019202010a a a a >>>>>>>，可知2019T 是数列{}n T 中的最大项，故C 正确，D 错误.故选AC.。
等比数列前n项和导学案
等比数列前n项和导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN§３.２等比数列前n 项和导学案【学习要求】1．掌握等比数列前n 项公式；（重点）2．等比数列前n 项公式的推导方法；（难点）2．会用等比数列前n 项和公式解决一些简单问题．（拓展）【知识要点】1．等比数列前n 项和公式：（1）公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ ＝ q ≠1 q ＝1.（2）注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况．2．若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 11－q (1－q n )＝A (q n －1)．其中A ＝ .3．等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n 为( ) A ．1－x n1－x B ．1－x n －11－x C ．⎩⎨⎧ 1－x n 1－x ，x ≠1n ，x ＝1 D ．⎩⎨⎧1－x n －11－x ，x ≠1n ，x ＝1 【问题探究】国际象棋起源于古代印度，相传有位数学家带着画有64个方格的木盘，和32个雕刻成六种立体形状，分涂黑白两色的木制小玩具，去见波斯国王并向国王介绍这种游戏的玩法．国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣，一天到晚兴致勃勃地要那位数学家或者大臣陪他玩．高兴之余，他便问那位数学家，作为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐呢数学家开口说道：“请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子，第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒，第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的2倍，直到最后一个格子第64格放满为止，这样我就十分满足了．”“好吧！”国王挥挥手，慷慨地答应了数学家的这个谦卑的请求．国王觉得，这个要求太低了，问他：“你怎么只要这么一点东西呢”数学家笑着恳求道：“陛下还是叫管理国家粮仓的大臣算一算！”第二天，管理粮仓的大臣满面愁容地向国王报告了一个数字，国王大吃一惊：“我的天！我哪来这么多的麦子”这个玩具也随着这个故事传遍全世界，这就是今日的国际象棋．假定一千粒麦的质量为40 g ，那么，数学家要求的麦粒数的总质量究竟是多少呢(将超过7 000亿吨)这实际上是求数列1,2,4，…，263的和．据查，目前世界年度小麦产量约6亿吨，显然国王无法满足数学家的要求．这个传说中的计算是一个等比数列的求和问题，那么等比数列的求和公式是怎样的呢怎样的等比数列才能应用这个公式呢这一节我们就来学习等比数列的求和公式．探究点一 等比数列前n 项和公式的推导探究1 阅读教材后，完成下面等比数列前n 项和公式的推导过程．设等比数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，它的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，由等比数列的通项公式可将S n 写成：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1. ①则qS n ＝ ② .由①－②得：(1－q )S n ＝ .当q ≠1时，S n ＝ .当q ＝1时，由于a 1＝a 2＝…＝a n ，所以S n ＝ .综上所述，S n ＝⎩⎨⎧ ，q ＝1 ， q ≠1当q ≠1时，因为a n ＝a 1q n －1.所以S n 可以用a 1，q ，a n 表示为S n ＝⎩⎨⎧ na 1，q ＝1，q ≠1探究2 下面提供了两种推导等比数列前n 项和公式的方法．请你补充完整．方法一 由等比数列的定义知：a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝…＝a n a n －1＝q . 当q ≠1时，由等比性质得：a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝q ，即 ＝q . 故S n ＝ ＝a 11－q n1－q .当q ＝1时，易知S n ＝ .方法二 由S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 得：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 2q ＋…＋a n －1q ＝a 1＋q · ＝a 1＋q ·从而得(1－q )·S n ＝ .当q ≠1时，S n ＝ ；当q ＝1时，S n ＝na 1.探究点二 错位相减法求和问题 教材中推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．这种求和方法是我们应该掌握的重要方法之一，这种方法的适用范围可以拓展到一个等差数列{a n }与一个等比数列{b n }对应项之积构成的新数列求和．下面是利用错位相减法求数列{n 2n }前n 项和的步骤和过程，请你补充完整．设S n ＝12＋222＋323＋…＋n 2n ，∴12S n ＝ ，∴S n －12S n ＝ ，即12S n ＝ ＝ .∴S n ＝ ＝ .【典型例题】例1 在等比数列{a n }中，a 1＋a ３＝10，a 4 + a 6＝５４，求a 4和S 5.例2 在等比数列{a n }中，S 3＝72，S 6＝632，求a n .小结 涉及等比数列前n 项和时，要先判断q ＝1是否成立，防止因漏掉q ＝1而出错．跟踪训练1 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q .例3 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)．小结一般地，如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，求数列{a n b n}的前n 项和时，可采用错位相减法．跟踪训练3求数列1,3a,5a2,7a3，…，(2n－1)·a n－1的前n项和【当堂检测】1．设数列{(－1)n}的前n项和为S n，则S n等于()A．(1)12nnB．1(1)12nC．(1)12n D．(1)12n2．等比数列{a n}的各项都是正数，若a1＝81，a5＝16，则它的前5项的和是()A．179 B．211 C．243D．2753．在等比数列{a n}中，已知a3＝32，S3＝92，则a1＝______.4．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n＝_____________【课堂小结】1．在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，a n，n，q，S n，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”．2．前n项和公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q＝1时是不同的公式形式，不可忽略q＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列且公比为q，求数列{a n·b n}的前n项和时，可采用错位相减的方法求和．。
等比数列的前n项和导学案 (1)
教材：人教A版实验教科书高中数学（必修5）课题§2.5等比数列的前n项和课型新授课教学目标知识与技能：掌握等比数列的前n项和公式及公式的证明思路；会用等比数列的前n 项和公式解决有关的简单数列问题。
过程与方法：总结等比数列的求和方法，会用等比数列求和公式解决相应的计算问题。
情感态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，激发学生学习数学兴趣。
重点难点重点：等比数列的前n项和公式推导。
难点：灵活应用公式解决相应问题。
预备知识1.等比数列的定义（符号的两种表示），通项公式。
2. 等差数列的前n项和公式的推导方法。
教学过程创设情境引入新课一、情景引入国际象棋起源于古代印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么。
发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上一颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，以此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子。
请给我足够的麦粒以实现上述要求。
”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了。
假定千粒麦子的质量为40克，据查，目前世界年度小麦产量约6亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言。
[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是，公比是，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列的前64项的和，类比等差数列求和公式的推导方法，你能否求出麦粒数总和，重量是多少？自主探究合作学习二、新授课1.等比数列的前n项和公式：一般地，设等比数列naaaa,,321+它的前n项和是=nSnaaaa+++321推导过程：其他推导方法：（从等比数列定义的两种形式出发，推导等比数列的前n项和公式）形式<1> 形式<2>注：①等比数列的两个求和公式应用条件分别是什么？②对于等比数列中的五个量a1,a n,q,n,s n，我们有结论：知“”求“”。
《3.2 等比数列的前n项和》导学案1
《3.2 等比数列的前n项和》导学案1课程学习目标1.掌握等比数列的前n项和公式的推导方法.2.应用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的问题.3.会求等比数列的部分项之和.第一层级·知识记忆与理解知识体系梳理创设情境印度的舍罕王打算奖赏发明国际象棋的大臣西萨·班·达依尔，并问他想得到什么样的奖赏.大臣说:“陛下，请您在这张棋盘的第一个小格内赏给我一粒麦子，在第二个小格内给两粒，在第三个小格内给四粒，照这样下去，每一小格内都比前一小格内的麦子数增加一倍，直到把每一小格都摆上麦子为止，并把这样摆满棋盘上六十四格的麦子赏给您的仆人.”国王认为这位大臣的要求不算多，就爽快地答应了.国王能实现他的诺言吗？知识导学问题1:等比数列的前n项和公式:当q=1时，S n= ；当q≠1时，S n= = .问题2:我们来帮国王计算下要多少粒麦子，把各格所放的麦子数看成是一个数列{a n}，它是一个a1=1，q=2，n=64的等比数列，问题转化为求数列{a n}的前64项的和，可求得S n= = =264-1，而264-1这个数很大，超过了1.84×1019，所以国王根本实现不了这个诺言.问题3:用错位相减法来推导等比数列的前n项和公式:设等比数列{a n}的公比为q，它的前n项和是S n=a1+a1q+a1q2+…+a1q n-1. ①①×q得qS n=a1q+a1q2+…+a1q n-1+a1q n. ②①-②得(1-q)S n= .当q=1时，该数列是常数列，S n= ；当q≠1时，该等比数列的前n项和公式为:S n= .即S n=问题4:用等比数列的定义推导等比数列的前n项和公式:由等比数列的定义，有==…==q.根据等比的性质，有= =q.⇒(1-q)S n=a1-a n q，即S n=基础学习交流1.在等比数列{a n}(n∈N+)中，若a1=1，a4=，则该数列的前10项和为().A.2-B.2-C.2-D.2-2.等比数列的前4项和为1，前8项和为17，则这个等比数列的公比q等于().A.2B.-2C.2或-2D.2或13.等比数列{a n}的公比q>0，已知a2=1，a n+2+a n+1=6a n，则{a n}的前4项和S4= .4.求等比数列1，2a，4a2，8a3，…的前n项和S n.第二层级·思维探究与创新重点难点探究探究一考查等比数列的前n项和公式设数列{a n}是等比数列，其前n项和为S n，且S3=3a3，求此数列的公比q.探究二考查分组求和法已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1+a2=2(+)=8(+).(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=+log2a n，求数列{b n}的前n项和T n.探究三对变量的分类讨论S n是无穷等比数列{a n}的前n项和，且公比q≠1，已知1是S2和S3的等差中项，6是2S2和3S3的等比中项.(1)求S2和S3；(2)求此数列{a n}的前n项和公式.思维拓展应用应用一在等比数列{a n}中，已知S3=，S6=，求a n.应用二求数列1+，2+，3+，…的前n项和S n.应用三等差数列{a n}中，公差d≠0，a2是a1与a4的等比中项，已知数列a1，a3，，，…，，…成等比数列.(1)求数列{k n}的通项k n；(2)求数列{}的前n项和S n.第三层级·技能应用与拓展基础智能检测1.设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2+a5=0，则等于().A.11B.5C.-8D.-112.在各项都为正数的等比数列{a n}中，首项a1=3，前3项和为21，则a3+a4+a5等于().A.33B.72C.84D.1893.已知等比数列{a n}的首项为8，S n是其前n项和，某同学经计算得S2=24， S3=38，S4=65，后来该同学发现其中一个和算错了，则算错的是，该数列的公比是.4.在等比数列{a n}中，若a1=，a4=-4，求公比q和|a1|+|a2|+…+|a n|.全新视角拓展(2013年·全国大纲卷)已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=-，则{a n}的前10项和等于().A.-6(1-3-10)B.(1-310)C.3(1-3-10)D.3(1+3-10)考题变式(我来改编):第四层级·总结评价与反思思维导图构建学习体验分享第7课时等比数列的前n项和知识体系梳理问题1:na1问题2:问题3:a1-a1q n na1问题4:基础学习交流1.B设数列{a n}的公比为q，则q3==，∴q=，∴数列{a n}的前10项和为=2-.2.C==q4，所以q=±2.3.由a n+2+a n+1=6a n，得q n+1+q n=6q n-1，即q2+q-6=0，解得q=2或-3(舍去)，又a2=1，所以a1=，S 4==.4.解:∵公比为q=2a，当q=1，即a=时，S n=n；当q≠1，即a≠时，则S n=.∴S n=重点难点探究探究一:【解析】当q=1时，S3=3a1=3a3，符合题目条件；当q≠1时，=3a1q2，因为a1≠0，所以1-q3=3q2(1-q)，即1+q+q2=3q2，解得q=-.综上所述，公比q的值为1或-.【小结】对于等比数列来讲，必须要考虑q=1和q≠1两种情况.探究二:【解析】(1)设等比数列{a n}的公比为q，则a n=a1q n-1，由已知得a1+a2=2(+)=，∴a1a2=2，由a1+a2=8(+)==，∴a3a4=8q2，又∵a 1>0，q>0，∴解得∴a n=2n-1.(2)由(1)知b n=+log2a n=4n-1+(n-1)，∴T n=(1+4+42+…+4n-1)+(0+1+2+3+…+n-1)=+=+.【小结】求和时要注意分组求和法、错位相减法及裂项求和法等方法的应用.探究三:【解析】(1)根据已知条件整理得解得3S2=2S3=6，即(2)∵q≠1，则可解得q=-，a1=4，∴S n==-(-)n.【小结】要熟记等比数列的前n项和公式.思维拓展应用应用一:∵S6≠2S3，∴q≠1，∴由②÷①得1+q3=9，∴q=2，代入①得a1=，∴a n=a1q n-1=2n-2.应用二:由题意可知，该数列的通项公式为a n=n+，∴S n=(1+)+(2+)+…+(n+)=(1+2+3+…+n)+(+++…+)=+1-.应用三:(1)由已知得(a1+d)2=a1(a1+3d)，解得a1=d或d=0(舍去)，所以数列{a n}的通项是a n=nd.因为数列a1，a3，，，…，，…成等比数列，即数列d，3d，k1d，k2d，…，k n d，…成等比数列，所以公比q==3，k1d=32d，即k1=9，所以数列{k n}是以k1=9为首项，3为公比的等比数列，故k n=9×3n-1=3n+1.(2)S n=+++…+，①S n=+++…+，②由①-②，并整理得S n=(1-)-=-.基础智能检测1.D由8a2+a5=0得8a1q+a1q4=0，∴q=-2，则==-11.2.C由S3=a1(1+q+q2)=21且a1=3，得q2+q-6=0，∴q=2(负根舍去).∴a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22·S3=84.3.S2设等比数列的公比为q，若S2计算正确，则有q=2，但此时S3≠38，S4≠65与题设不符，故算错的就是S2，此时，由S3=38可得q=或q=-；当q=时，S4=65也正确；当q=-时，S4不正确，舍去.所以q=.4.解:由a4=a1q3=q3=-4，可得q=-2，因此，数列{|a n|}是首项为，公比为2的等比数列，所以|a 1|+|a2|+…+|a n|==2n-1-.全新视角拓展C由已知得=-，则数列{a n}为公比是-的等比数列，∵a2=-，∴a1=4，则数列{a n}前10项的和S 10==3(1-3-10).思维导图构建三个两个。
等比数列的前n项和公式经典教案
等比数列的前n项和公式【学习目标】1．掌握等比数列的前n项和公式及推导公式的思想方法和过程，能够熟练应用等比数列的前n项和公式解决相关问题，提高应用求解能力.2．通过对等比数列的前n项和公式的推导与应用，使学生掌握错位相减法、方程思想、划归思想等数学思想和方法.3．激情参与，惜时高效，感受数学思维的严谨性.1.“我1.2.Ⅱ.1.2.3.等比通项公式a=n1．设A．C2AC．－31D．331、答案 D解析由8a2＋a5＝0得8a1q＋a1q4＝0，∴q＝－2，则＝＝－11.【我的疑惑】知识要点归纳：1．等比数列前n项和公式：(1)公式：S n＝=(q≠1).(q＝1).(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．2．若{a n}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和S n＝(1－q n)＝A(q n－1)．其中A＝.3．推导等比数列前n项和的方法叫法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和．4．等比数列{a n}的前n项和为S n，当公比q≠1时，S n＝＝；当q＝1时，S n＝.5．等比数列前n项和的性质：(1)连续m项的和(如S m、S2m－S m、S3m－S2m)，仍构成数列．(注意：q≠－1或m为奇数)(2)S m＋n＝S m＋q m S n(q为数列{a n}的公比)．二、典型范例Ⅰ.质疑探究——质疑解惑、合作探究探究点等比数列的前n项和公式问题1：怎么求等比数列{}n a的前n项和n S？写出公式的推导过程。
S n问题2当＝故当（1）（2（3）由(4)是数列求和的一种重要方法。
问题探究一错位相减法求和问题教材中推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法．这种求和方法是我们应该掌握的重要方法之一，这种方法的适用范围可以拓展到一个等差数列{a n}与一个等比数列{b n}对应项之积构成的新数列求和．下面是利用错位相减法求数列{}前n项和的步骤和过程，请你补充完整．设S n＝＋＋＋…＋，∴S n＝，∴S n－S n＝，即S n＝＝∴S n＝＝2－.例1 在等比数列{a n }中，S 3＝，S 6＝，求a n . 解 由已知S 6≠2S 3，则q ≠1，又S 3＝，S 6＝， 即①,a 1(1－q 6)1－q ＝632.②))②÷①得1＋q 3＝9，∴q ＝2.可求得a 1＝，因此a n ＝a 1q n －1＝2n －2.问题探究二 等比数列前n 项和S n 与函数的关系问题 当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1，是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．当q ＝1时，数列S 1，S 2，S 3，…，S n ，…的图象是正比例函数y ＝a 1x 图象上一些孤立的点．A ＝，的一个指问题1 证明 ＝S m ＋(a ＝S m ＋q m S ∴S m ＋n ＝S m 1A ．48 C ．50 2A ．C ．3．设S n A ．11 C ．－4．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则等于( )A ．2B ．4 C.D.5．已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1等于 ( )A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n )C.(1－4－n )D.(1－2－n )6．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( ) A. B. C.D.二、填空题7．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{a n}的公比为________．8．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________.9．若等比数列{a n}中，a1＝1，a n＝－512，前n项和为S n＝－341，则n的值是________．三、解答题10．设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求a n和S n.11．在等比数列{a n}中，已知S n＝48，S2n＝60，求S3n.12.已知等比数列{a n}中，a1＝2，a3＋2是a2和a4的等差中项．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)记13(1)(2)1A．332A．1.1C．103．已知{aA.和5C.4．程和是A．C．5．数列{a n n1n＋1n6A．3×44B．3×44＋1C．45D．45＋16．某企业在今年年初贷款a万元，年利率为γ，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还()A.万元B.万元C.万元D.万元二、填空题7．等比数列{a n}共2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.8．等比数列{a n}中，前n项和为S n，S3＝2，S6＝6，则a10＋a11＋a12＝________.9．某工厂月生产总值的平均增长率为q，则该工厂的年平均增长率为________．三、解答题10．在等比数列{a n}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，求S20的值．11．利用等比数列前n项和公式证明a n＋a n－1b＋a n－2b2＋…＋b n＝，其中n∈N*a，b是不为0的常数，且a≠b.12.已知{a n}是以a为首项，q为公比的等比数列，S n为它的前n项和．(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；(2)当S m，S n，S l成等差数列时，求证：对任意自然数k，a m＋k，a n＋k，a l＋k也成等差数列．四、探究与拓展1312≈1.1)过关测试1．D7.8.310．解当a1S n当a1S n11．6312．(1)a n(2)S n13．(1)a课后练习。
《等比数列的前n项和》(第一课时)导学案
《等比数列的前n项和》（第一课时）导学案【教学目标】知识与技能1. 理解等比数列的前n项和公式的推导方法；2. 掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题.过程与方法1. 提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力;2. 体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法;3. 渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想.情感与态度1. 培养学生勇于探索、敢于创新的精神，磨练思维品质，从中获得成功的体验;2. 感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美.【教学重难点】重点：等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用;难点：等比数列的前n项和公式的推导.【教学方法】启发式和探究式相结合【教学过程】一、学而时习之1. }a是等比数列 .{n2. 设}a是等比数列，则通项n a的表达式为{n(1) ;(2) . (知三求一)3. 设数列}{a的前n项和是n S, 则用n S表示n a的关系式应为n二、温故而知新1. 从印度国王奖赏国际象棋发明者的实例中，我们得到一个数列}{n b , 它的通项公式是什么呢？ （如果你是发明者，最关心什么事呢？欲知所获麦粒总数，且待今日精彩探究！）2. 你能写出上述数列求和的表达式吗？三、勇于尝试对于一般的等比数列}{n a ，你能运用上述方法，求出它的前n 项和吗？四、实践出真知（知三求二）例1 求等比数列 ,161,81,41,21前8项的和. 例2 等比数列 ,161,81,41,21中前多少项的和是6463? 例3求等比数列 ,161,81,41,21中第5项到第10项的和. 例4 求等比数列 ,161,81,41,21前n 2项中所有偶数项的和. 例5 求和.1132-+++++n a a a a五、问题解决国王奖赏的小麦约有多少？重量约为多少？他能履行承诺吗？六、生活链接神舟六号”发射成功，某移动公司立即发出短信：“请你把中国神六发射成功的消息转发给10位朋友，并且注明您是第x 位接收此消息的……”假定这家公司发出的10条短信中的x 值均为1，以后每一位收到短信后将x 值都增加1，再将短信发出．据统计，所发短信中x 的最大值为10．试问通过这家公司最多发了多少条短信？七、颗粒归仓1. 晒晒你的收获：2. 数学思想方法：3. 洗洗你的疑惑：八、分层练习必做：(1)设}{n a 是等比数列, 263,2763==S S , 求n a .(2) 求数列的前n 项和.选做：(1)求和+++3232x x x …n nx +.(2)“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少？研究性作业：查阅“芝诺悖论”,并从数列求和的角度加以解释．。
等比数列的前n项和公式教案
等比数列的前n项和公式经典教案一、教学目标：1. 让学生理解等比数列的概念，掌握等比数列的前n项和的定义。
2. 通过探究等比数列前n项和的公式，培养学生的逻辑思维能力和归纳总结能力。
3. 能够运用等比数列前n项和公式解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
二、教学内容：1. 等比数列的概念及其性质。
2. 等比数列的前n项和的定义。
3. 等比数列前n项和公式的探究。
4. 等比数列前n项和公式的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：等比数列前n项和公式的推导过程，以及公式的应用。
2. 教学难点：等比数列前n项和公式的理解和运用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生自主探究等比数列前n项和公式。
2. 利用多媒体辅助教学，直观展示等比数列前n项和的图形，帮助学生理解。
3. 实例分析法，让学生通过解决实际问题，掌握等比数列前n项和公式的应用。
五、教学过程：1. 引入：回顾等差数列的前n项和公式，引导学生思考等比数列的前n项和能否也有类似的公式。
2. 等比数列的概念复习：回顾等比数列的定义及其性质。
3. 等比数列的前n项和的定义：引导学生理解等比数列前n项和的含义。
4. 探究等比数列前n项和公式：引导学生分组讨论，归纳总结等比数列前n项和公式。
5. 公式验证与应用：利用多媒体展示等比数列前n项和的图形，帮助学生理解公式。
并通过实例分析，让学生掌握公式的应用。
6. 总结与评价：对本节课的内容进行总结，对学生的学习情况进行评价。
7. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对等比数列概念和前n项和公式的理解程度。
2. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的参与程度和思考过程，评估他们的合作能力。
3. 练习题解答：收集学生的练习题答案，评估他们对等比数列前n 项和公式的掌握情况。
七、教学拓展：1. 等比数列的极限：引导学生思考等比数列前n项和的极限值，为后续学习数列极限奠定基础。
(完整版)等比数列的前N项和优秀教案.docx
等比数列的前n 项和一．教材分析1.在教材中的地位和作用在《数列》一章中，《等比数列的前n 项和》是一项重要的基础内容，从知识体系来看，它不仅是《等差数列的前 n 项和》与《等比数列》的顺延，也是前面所学函数的延续，实质是一种特殊的函数。
而且还为后继深入学习提供了知识基础，同时错位相减法是一种重要的数学思想方法，是求解一类混合数列前 n 项和的重要方法，因此，本节具有承上启下的作用。
等比数列的前 n 项和公式的推导过程中蕴涵了基本的数学思想方法，如分类讨论、错位相减等在数列求和问题中时常出现。
在实际问题中也有广泛的应用，如储蓄、分期付款的有关计算。
2.教材编排与课时安排提出问题——解决问题——等比数列的前n 项和公式推导——强化公式应用（例题与练习）二．教学目标知识目标：理解并掌握等比数列前n 项和公式的推导过程、公式的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题。
能力目标：通过启发、引导、分析、类比、归纳，并通过严谨科学的解题思想和解题方法的训练，提高学生的数学素养。
情感目标：通过解决生产实际和社会生活中的实际问题了解社会、认识社会，形成科学的世界观和价值观。
三．教学重点与难点：教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的应用。
教学难点：公式的推导方法(“错位相减” )和公式的灵活运用。
四．教学过程：（一）、复习回顾：（1）等比数列及等比数列通项公式。
复习回顾例题1：a n为等比数列，请完成下表除s n外的所有项a1a2a3a4⋯⋯q a n s n127⋯⋯11⋯⋯22241 3⋯⋯3答案如下：a1a2a3a4⋯⋯qa n s n133227⋯⋯33n11111⋯⋯11222232422n3111⋯⋯1133233n2（2）回等差数列前n 和公式的推程，是用什么方法推的。
（二）、情境入：国象棋起源于古代印度 .相国王要国象棋的明者 .个故事大家听？“ 在第一个格子里放上 1 麦粒，第二个格子里放上 2 麦粒，第三个格子里放上 4 麦粒，以此推 .每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的 2 倍.直到第 64 个格子 .我足的麦粒以上述要求 .” 就是国象棋明者向国王提出的要求。
等比数列前n项和公式教案
等比数列前n项和公式教案一、教学目标1.理解等比数列的定义和性质。
2.掌握等比数列前n项和公式的推导过程。
3.能够运用等比数列前n项和公式解决实际问题。
二、教学重难点1.等比数列前n项和公式的推导。
2.等比数列前n项和公式的应用。
三、教学准备1.教学课件。
2.等比数列前n项和公式推导过程的相关资料。
3.练习题。
四、教学过程（一）导入1.复习等比数列的定义和性质。
2.提问：等比数列的前n项和如何计算？（二）新课1.等比数列前n项和公式的推导（1）引导学生回顾等差数列前n项和公式的推导过程。
（2）讲解等比数列前n项和公式的推导过程。
设等比数列的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，则有：S_n=a_1+a_1q+a_1q^2++a_1q^{n-1}两边同时乘以q得：qS_n=a_1q+a_1q^2+a_1q^3++a_1q^n将两式相减得：S_nqS_n=a_1a_1q^n化简得：S_n=a_1(1q^n)/(1q)当q=1时，等比数列退化为等差数列，此时S_n=na_1。
S_n=a_1(1q^n)/(1q)，q≠12.等比数列前n项和公式的应用（1）讲解等比数列前n项和公式的应用，如求等比数列的前n项和、通项公式等。
（2）举例讲解：例1：已知等比数列{an}的首项为2，公比为3，求前5项和。
解：由等比数列前n项和公式得：S_5=2(13^5)/(13)=242例2：已知等比数列{an}的前3项和为14，第4项为6，求公比q。
解：由等比数列前n项和公式得：S_3=a_1(1q^3)/(1q)=14又已知a_4=a_1q^3=6联立两式得：q=2或q=-1/2（三）课堂练习1.求等比数列{an}的首项为3，公比为4，前7项和。
2.已知等比数列{an}的前4项和为30，第5项为12，求公比q。
2.鼓励学生提出疑问，共同探讨。
五、课后作业1.复习等比数列前n项和公式，掌握推导过程。
2.完成课后练习题。
六、教学反思本节课通过等比数列前n项和公式的推导和应用，让学生更好地理解等比数列的性质，培养学生的数学思维能力。
等比数列前n项和公式教案
等比数列前n项和公式教案一、教学目标1. 理解等比数列的概念，掌握等比数列的基本性质。
2. 推导并记忆等比数列前n项和的公式。
3. 能够运用等比数列前n项和公式解决实际问题。
二、教学重点1. 等比数列前n项和公式的推导。
2. 等比数列前n项和公式的应用。
三、教学难点1. 等比数列前n项和公式的记忆与运用。
四、教学准备1. 教学PPT。
2. 教案。
3. 教学素材。
五、教学过程1. 引入：通过回顾等差数列的知识，引导学生思考等比数列的概念及其性质。
2. 讲解：讲解等比数列的定义，引导学生掌握等比数列的基本性质。
3. 推导：引导学生通过小组合作，共同推导等比数列前n项和的公式。
4. 总结：对等比数列前n项和公式进行总结，强调公式的记忆与运用。
5. 练习：布置课堂练习，让学生运用等比数列前n项和公式解决实际问题。
6. 反馈：对学生的练习情况进行反馈，解答学生的疑问。
7. 总结：对本节课的内容进行总结，强调等比数列前n项和公式的重点和难点。
8. 作业布置：布置课后作业，巩固学生对等比数列前n项和公式的掌握。
六、教学反思在课后对教学效果进行反思，分析学生的学习情况，针对学生的掌握情况调整教学策略，以提高学生对等比数列前n项和公式的理解和应用能力。
七、教学评价通过课堂表现、课后作业和练习情况，评价学生对等比数列前n项和公式的掌握程度。
六、教学活动设计1. 活动一：等比数列的概念辨析教师提出等比数列的定义，学生尝试解释。
教师给出几个例子，学生判断是否为等比数列。
2. 活动二：等比数列性质探索学生通过小组讨论，探索等比数列的性质。
每个小组汇报他们的发现，教师进行点评和总结。
3. 活动三：等比数列前n项和公式推导教师引导学生使用归纳法或数学归纳法推导等比数列前n项和公式。
学生在教师的引导下，通过数学运算和逻辑推理得出公式。
七、教学方法1. 讲授法：教师讲解等比数列的概念、性质和前n项和公式的推导过程。
2. 讨论法：学生在小组内讨论等比数列的性质，分享各自的想法。
2015-2016学年《等比数列的前n项和》导学案
.固 . 思 导.学
利用等比数列和公式求公比q
设数列{an}是等比数列,其前 n 项和为 Sn,且 S3=3a3,则公比 q 的 值为( C ).
1 A.2 1 B. 2
C.1
1 或2
D.-1
1 或 2
【解析】当 q=1 时,S3=3a1=3a3 符合题意;当 q≠1 时,S3=
凡提1万元,第二天借给阿凡提2万元,以后每天所借的钱 数都比前一天多1万;但借钱第一天,阿凡提还1分钱,第二 天还2分钱,以后每天所还的钱数都是前一天的两倍,30天 后互不相欠.你若是阿凡提,你会接受地主的借钱方案吗?
.固 . 思 导.学
问题1
等比数列的前n项和公式: 当q=1时,Sn= na1 ; 当q≠1时,Sn= =
������ 1 (1-������ 3 ) 1-������ 1 2
=3a1q .∵a1≠0,∴
1 2
2
(1-������ 3 ) 1-������
=3q2,即 2q2-q-1=0,
解得 q=- .综上知 q=1 或 q=- .
.固 . 思 导.学
利用等比数列和公式求an
已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且有 a1=2,3Sn=5an-4an-1+3SnC ). 1(n≥2),则 a2015=( A.42015 B.42014 C.22015 D.22014
解:每年的利税组成一个首项为a1 =300, 公比q=1+10%的等比数列，
第5年利税为 a 6 =a1q5 300 (1 10%)5 483(万元）
a2 (1 q5 ) 1.15 1 第5年总利税为 S= 300 1.1 2015(万元） 1 q 1.1 1
高中数学等比数列前n项和公式的性质导学案(教师版)
第4.3.2课 等比数列前n 项和公式的性质【课标要求】探索并掌握等比数列的前n 项和公式，理解等比数列的前n 项和公式的关系 【学习目标】1.熟练应用等比数列前n 项和公式的有关性质解题.2.会用错位相减法求和 【课前案】1.等比数列通向公式的函数特征等比数列{}n a 的通项公式11n n a a q -=还可以改写为，当1q ≠且10a ≠时，xy q =是指数函数，1xa y q q=⋅是指数型函数， 因此数列{}n a 的图象是函数1xa y q q=⋅的图象上一些孤立的点． 知识点2 等比数列前n 项和的性质1.数列{a n }为公比不为－1的等比数列，S n 为其前n 项和，则 S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n仍构成等比数列． 2.若{a n }是公比为q 的等比数列，S 偶，S 奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n 项中，S 偶S 奇＝ q②在其前2n ＋1项中，S奇－S偶＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…－a 2n ＋a 2n ＋1＝a 1＋a 2n ＋1q1－(－q )＝a 1＋a 2n ＋21＋q(q ≠－1)． 3.一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．193 【答案】 C解析 设最底层灯的盏数为a 1，则公比q ＝12，n ＝7，由a 1(1－127)1－12＝381，解得a 1＝192.4.等比数列{a n }中，a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，则公比q 等于( ) A ．2 B.12 C ．4 D.14【答案】 C解析 ∵a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2， ∴a 4－a 3＝3(S 3－S 2)＝3a 3，即a 4＝4a 3， ∴q ＝a 4a 3＝4，故选C.【课中案】 【导入设计】如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，用什么方法解决呢？【探究活动】探究一 等比数列前n 项和公式的函数特征【例1】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a 是不为零且不等于1的常数)，则数列{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列 C ．是等差数列或等比数列D ．既非等差数列，也非等比数列 【答案】 B解析 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a －1)·a n －1； 当n ＝1时，a 1＝a －1，满足上式， ∴a n ＝(a －1)·a n －1，n ∈N *. ∴a n ＋1a n＝a ， ∴数列{a n }是等比数列．【练习1】若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝________. 【答案】 －13解析 显然q ≠1，此时应有S n ＝A (q n －1)，又S n ＝13·3n ＋t ，∴t ＝－13.探究二 等比数列前n 项和的性质【例2】在等比数列{a n }中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n . 解 因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q＝48，a 1(1－q2n )1－q＝60，①②②÷①得1＋q n＝54，即q n ＝14. ③将③代入①得a 11－q＝64，所以S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q＝64×⎝⎛⎭⎫1－143＝63. 【练习2】设数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则1236＋＋＋…＋a a a a b b b b ＝________. 【答案】 27－2 解析 ∵11111112，n n n n n na a a a a ab b qq b b q+++---⋅===⋅ ∴{}n a b 是首项为b 2，公比为2的等比数列． ∴126＋＋…＋a a a b b b ＝b 2(1－26)1－2＝27－2.探究三 错位相减法求和 【例3】求数列{n2n }的前n 项和解 设S n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，则有12S n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，两式相减，得S n －12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2n ＋1，即12S n ＝12(1－12n )1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1. ∴S n ＝2－12n －1－n2n ＝2－n ＋22n .【练习3】求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)． 解 当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2；当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ， xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1， ∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1 ＝x (1－x n )1－x －nx n ＋1，∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x.综上可得S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2， x ＝1，x (1－x n)(1－x )2－nxn ＋11－x ，x ≠1且x ≠0.【达标检测】1.各项均为实数的等比数列{a n }前n 项之和记为S n ,若1010S =,3070S =, 则40S 等于 A. 150 B. －200 C. 150或－200 D. －50或400【答案】：A 【分析】根据等比数列的前n 项和公式化简S 10＝10，S 30＝70，分别求得关于q 的两个关系式，可求得公比q 的10次方的值，再利用前n 项和公式计算S 40即可．【详解】因为{a n }是等比数列，所以有1010(1)101a q S q -==-，3030(1)701a q S q-==-二式相除得，3010171q q-=-，整理得102017q q ++= 解得102q=或103q =-（舍）所以有40401010(1)1(1)1a q S qa q S q--=--=401011q q -- =4121512-=- 所以401015S S ==150．【答案】选A ．2．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为( )A ．－2B ．2C ．－3D ．3【答案】 B解析 设公比为q ，若q ＝1，则S 2mS m ＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1. ∵S 2mS m ＝a 1(1－q 2m )1－q a 1(1－q m )1－q＝q m ＋1＝9， ∴q m ＝8.∴a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m＝8＝5m ＋1m －1， ∴m ＝3，∴q 3＝8，∴q ＝2.3．等比数列{a n }共2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________. 【答案】 2解析 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160. ∴q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.4.已知等比数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 解 (1)设数列{a n }的公比为q ，由题意知2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，∴q 3－2q 2＋q －2＝0，即(q －2)(q 2＋1)＝0. ∴q ＝2，即a n ＝2·2n －1＝2n ，n ∈N *. (2)b n ＝n ·2n ，∴S n ＝1·2＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n ，① 2S n ＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1，②①－②得－S n ＝21＋22＋23＋24＋…＋2n －n ·2n ＋1＝－2－(n －1)·2n ＋1.∴S n ＝2＋(n －1)·2n ＋1，n ∈N *.。
2.5等比数列的前n项和.导学案
2.5等比数列的前n 项和【学习目标】掌握等比数列的前n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题．【教学重点】使学生掌握等比数列的前n 项和公式，用等比数列的前n 项和公式解决实际问题。
【教学难点】由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式。
【学习过程】一、复习回顾1. 等比数列的定义： 等比数列}{n a 定义数学语言：2.等比数列}{n a 的通项公式：= 3.等差数列}{n a 的性质：已知m 、n 、s 、t ，且m+n=s+t ，则有 二、思考探究任务1：等比数列前n 项和公式的推导设等比数列1,2,3,...,...n a a a a ，它的前项和12...n n s a a a =+++，公比为q ≠0。
① 则 ②(1)n q S ∴-= ，当1q ≠时，n S = ① 或n S = ②当q =1时，n S = 。
注意 (1)公比不为1与公比为1时公式不同，若公比为字母，要注意讨论；．．．．．(2)当已知1,,a q n 时，用公式n s = ，当已知1,,n a q a 时，用公式n s =任务2小试牛刀：等比数列求和公式的简单应用1．在公比为q 的等比数列}{n a 中若31,321==q a ，则=n S ________ 2．判断题： ①21)21(1)2(84211--⨯=-++-+--n n （ ） 22111111n n n n S a a q a q a q a q qS --⎧=+++++⎪⎨=⎪⎩②21)21(12222132--⨯=+++++n n（ ） 三、新知应用例1：根据下列各题中的条件，求相应的等比数列}{n a 的前n 项和n S ：(1) ;6,2,31===n q a (2);1,21,321-=-==n a q a通过本题你得到的结论：对于等比数列的相关量1a ，n a ，q ，n ，n S ，已知其中的 个量，就可以确定其他的量。
例2练习2:【课堂练习】1. 数列1，a ，2a ，3a ，…，1n a -，…的前n 项和为（ ）. A. 11n a a -- B. 111n a a+-- C. 211n a a +-- D. 以上都不对 2.在等比数列}{n a 中已知，则= 3. 在等比数列}{n a 中已知，则公比q=4.在等比数列{a n }中 ，12166,128n n a a a a -+==,且前n 项和S n =126，求n 及公比q.课堂小结1、等比数列的前n 项和公式: .2、一种解题方法: .3、两种数学思想: . 作业布置：1、课堂作业：2、课后作业：na a a S ++++=...12)0(),()2()1(2≠-++-+-=a n a a a S n n。
等比数列前n项和导学案
2．5等比数列的前n 项和【学习目标】1.掌握等比数列前n 项和公式及其获取思路；2.会用等比数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题【研讨互动 问题生成】 1.等比数列的前n 项和公式1 2.等比数列的前n 项和公式2 【合作探究 问题解决】 当1≠q 时，qq a S nn --=1)1(1 ① 或qq a a S n n--=11 ②当q=1时，1na S n=当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式② 【点睛师例 巩固提高】 例1. 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n xn x x x S例2.求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn 前n 项的和.例3.求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n aaan ，…例4．求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.【要点归纳 反思总结】 等比数列求和的公式 【多元评价】自我评价: 小组成员评价: 小组长评价: 学科长评价: 学术助理评价: 【课后训练】1.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=⋅a a a a ，则=1020a a （ ）2.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为3.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中a 1=2，a 5=8，则a 3的值为4.设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若 63S S =3 ，则69S S =5.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242S S =，则公比为6.已知等比数列{a n }的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为7.已知等比数列{}na 的首项为8，nS 是其前n 项的和，某同学经计算得S 2=20，S 3=36，S 4=65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为8.已知数列{}n a 的前n 项和n n S aq =(0a ≠,1q ≠,q 为非零常数),则数列{}n a 为( )A.等差数列B.等比数列C.既不等比也不等差D.既是等差又是等比9. 若a n ＞0，q=2，且a 1·a 2·a 3…a 30=230，则a 3·a 6·a 9…a 30=_____． 10.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则=+221b a a ______．11.等比数列{n a }的公比0q >, 2a =1，216n n n a a a +++=则数列{n a }的4S = 12.等比数列{}n a 的前n 项和n S =22-+⋅a a n ，则n a =_______. 13.已知数列{a n }中，a 1=1,a 2=2,a n+2=)(31321++∈-N n a a n n(1)求证：{a n+1-a n }是等比数列。
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等比数列前n 项和的性质导学案
知识目标：掌握等比数列前n 项和的性质，灵活的应用等比数列前n 项和公式的性质解决问题。
方法与过程：通过自主探究的方式，培养学生团队精神，勇于探索的精神。
教学过程：
复习:
1、 等比数列前n 项和公式:
（1） （2）
2.数学思想：
课前练习：
1.数列()项和的前n a a a a n 13
2............,,,1-
a
a A n
--11. B a a n --+111 C a a n ---111 D.以上答案都不对。
2.求和()()
)(.......212n a a a n -++-+- 新课探究：
探究一：
性质1。
数列{}n a 的前n 项和A Aq S n n -=()1,0,0≠≠≠q q A 探究{}n a 是否为等比数
列。
例题1：若等比数列{}n a 的前n 项和,4a S n n +=求a 的值。
变式：若等比数列{}n a 的前n 项和13-=n n S +a 2，求a 的值。
探究二：
我们知道，等差数列有这样的性质：
数列{}n a 是等差数列，则K K K K K S S S S S 232,,--................也成等差数列；
则新的等差数列的首项是K S ,公差为d k 2。
那么，在等比数列中，也有类似的性质吗？
等比数列前n 项和的性质二：
数列{}n a 是等比数列，则K K K K K S S S S S 232,,--...............是否也构成成等比数列； 则新的等比数列的首项是K S ,公比（ ）
例题2 ：已知等比数列{}n a 中，前10项和10S ＝10，前20项和20S ＝30，求30S 变式训练：
1. 等比数列{}n a 10S ＝20，20S =80，求30S ＝？.
2.等比数列{}n a 336=S S ，求?6
9=S S 3、任意等比数列{}n a ，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项 和分别为 X 、Y 、Z ，则下列等式中恒成立的是（ ）
Y Z X A 2.=+ .B )()(X Z Z Z Y Y -=-
C.XZ Y =2
D.)()(X Z X X Y Y -=- 探究三：
性质三:等比数列{}n a 共有n 2项，则
=奇偶S S 4.数列{}n a 的公比为3
1，60........9931=+++a a a ，求{}n a 的前100项的和？ 5、已知一个等比数列{}n a 其首项是1，项数是偶数，所有奇数项和是85，所有偶数项和是170，求此数列的项数？
小结：。