小奥数论1-整除和余数知识点总结归纳及经典例题

1.数论——数的整除和余数

2.1基本概念和基本性质

整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。

ab

各数位上数字的和是3或9的倍数，则能被3或9整除。

173652÷9:1+7+3+6+5+2的和除以3或9；

简便算法，利用整除的加减性，可以去掉1个或多个9，剩下数字的和x再除以3或9；如果x﹥9,则余数为x-9;如果x﹤9,则余数为x。

从右往左编号，编号为奇数的为奇数位，编号为偶数的为偶数位，看奇数位上的数字的和与偶

11，2.2.4

①

最后看

个倍数的十位数和后一个倍数的个位数的和即为空格中应填的数。注意，如果这个数加或减7后为1到9间的自然数，则加或减7后的这个数也为正确答案。

395864□82365，答案为5

463925□01234，答案为1和8

②特殊求空格数

根据整除的因数性，如果1个数能被1001整除，则这个数能被7、11、13、77、91、143

整除，因为：

7×11×13=1001;

77×13=1001;

99×11=1001;

7×143=1001;

根据=×1001;=×1001;求能被7整除的空格数

看相能被11

2.3

①

②

此时，a=b×c+d;b=(a-d)÷c; c=(a-d)÷b

记着：a≡d(modb)

2.3.2余数的判别法（与整除相同）

【注意】：当被除数是比除数小的非零自然数，则被除数为余数；当被除数比余数大，则减去除数的倍数所得比除数小的数即为余数。

为0,3,0,8,0,18

被

13|111111，即每连续11．…

m同余或a

充要条件：整数a,b对模m同余的充要条件是a-b能被m整除（即m|a-b）；或a≡b(mod m)的充要条件是a=mt+b（t为整数）。

2.3.2.2基本定理

同余关系具有自身性、对称性与传递性，即

1）自身性：a≡a (mod m);

2）对称性：若a≡b (mod m), 则b≡a (mod m);

3）传递性：若a≡b (mod m), b≡c (mod m)，则a≡c (mod m).

2.3.2.3重要定理：一个同余式的加减乘及幂的运算

定理1若a≡b(mod m),n为自然数，则an≡bn (mod m)；即a、b关于关于模m同余，则a、b的同倍数也关于模m同余；

多少？

若

1

2）a-c≡b-d (mod m);即差的余数等于余数的差；

3）ac≡bd (mod m)；即积的余数等于余数的积；

【例】316×419×813除以13所得的余数

2.3.4只知被除数和余数，求除数或求商

（注意余数比除数小）

有余数的情况：a÷b=c…..d（0﹤d﹤b）；

b=(a-d) ÷c;或c=(a-d) ÷b

如果，只知a和d,求b或c

①

6/43

因为余数要小于除数，判断9﹤m﹤63；所以m=43

②余数不确定——余数相同

【例2】300=m×（商）+a

262=m×（）+a

205=m×（）+a,

根据同余定理：

m∣（300-262）= m∣（38）；

m∣（262-205）= m∣（57）；

m∣（300-205）= m∣（95）；

满足两个即可，选数小的算，求同时满足能整除38和57，即求这两个数的公约数，分别有1和19，答案为19。

③

④

m∣（180-61）= m∣（119）；

119的约数有1/119,7/17，除数大于余数，排除1和119,仅17满足；

2.3.5幂和连乘积的余数——余数的周期性

周期性的用法：可用以求某个数的若干次方的个位数：

【例】的个位数：

3的若干次方的个位数，依次枚举，找出循环规律，4个一个周期，2015除以4，余几为周期内第几个。

幂的余数的求法：先求底数的余数，再算底数的幂的余数的周期性，再根据指数相应的周期来确定最终的余数；

【例】除以7的余数：

≡≡1（mod7）

1。

①除以

9

除以

除以

+除以

②

2.3.6

信点兵算所谓剩余定理）

【解法】

三人同行七十稀；把除以3所得的余数用70乘

五树梅花廿一枝；把除以5所得的余数用21乘；

七子团圆正半月；把除以7所得的余数用15乘

除百零五便得知；把上述三个积加起来,除以105的余数即为得数；

2×70+3×21+2×15=233 233÷105=2…23；得数为23。

2.3.6.2物不知数：余数问题的通解：基本的枚举法

①从除数大的开始枚举；

②先找同时满足两个除数的最小符合数，再加这俩除数的最小公倍数，直到满足所有除数的

最小的符合数；

③

①

②

48×49

③

④

2.3.6.3物不知数：余数问题的通解：特殊情况

①余数相同的——最小符合数就是余数，其他的为除数的最小公倍数的倍数+余数（即最小

符合数+除数的最小公倍数的倍数）；

【例】5余4,7余4,9余4，最小的为4；

【例】某除4、除5、除6皆余1，某=4/5/6的公倍数+1；

②差相同的——余数都不相同但除数与余数的差相同的，最小符合数为除数的最小公倍数-