测试技术基础习题答案-江征风

测试技术基础部分题目答案

第二章

2-21．求正弦信号)2sin(

)(t T

A t x π

=的单边、

双边频谱、实频图、虚频图，如该信号延时4/T 后，其各频谱如何变化？

解： (1)由于22()sin()cos()2

x t A t A t T T πππ==-，符合三角函数展开形式，则 在

2T

π

处：1n A =，所以，单边频谱图为图1的（a ）。 对)2sin()(t T A t x π

=进行复指数展开：由于222()sin(

)()2

j t j t

T T jA x t A t e e T ππ

π-==- 所以，在2T

π

-处：2n jA C =，0nR C =，2nI A C =，||2n A C =，2n πθ=

在2T π处：2n jA C =-，0nR C =，2nI A C =-，||2n A C =，2

n πθ=- 所以，实频图、虚频图、双边幅频图、双边相频图分别如图1的(b)、(c)、(d)、(e)。

T

T

-

(a)单边幅频图 (b) 实频图 (c) 虚频图 (d) )双边幅频图 (e) 双边相频图

图1 正弦信号x (t)的频谱 （2）当延迟4/T 后，()x t 变为2()sin ()4T x t A t T

π

⎡⎤=-⎢

⎥⎣⎦，由于

222()sin ()cos ()cos 442T T x t A t A t A t T T T πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫

=-=--=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭

，符合三角函数

展开形式，则

在

2T

π

处：1n A =，所以，单边频谱图为图2的（a ）。 对222()sin ()sin()cos()42T T x t A t A t A t T

T T π

ππ⎡⎤=-=-=-⎢

⎥⎣⎦进行复指数展开， 由于222()cos()()2

j t j t

T T

A x t A t e e T ππ

π--=-=+ 所以，在2T

π

-处：2n A C =-，2nR A C =-，0nI C =，||2n A C =，n θπ=

在2

T

π

处：

2

n

A

C=-，

2

nR

A

C=-，0

nI

C=，||

2

n

A

C=，

n

θπ

=

所以，实频图、虚频图、双边幅频图、双边相频图分别如图2的(b)、(c)、(d)、(e)。

T

T

-

(a)单边幅频图(b) 实频图(c) 虚频图(d) )双边幅频图(e)

双边相频图

图2正弦信号x(t)延迟后的频谱

2-22．已知方波的傅立叶级数展开式为

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

-

+

-

=

t

t

t

A

t

f

05

cos

5

1

3

cos

3

1

cos

4

)(ω

ω

ω

π

求该方波的均值、频率成分、各频率的幅值，并画出单边幅频谱图。

解：均值

a=0；该方波各谐波的频率分别为

ω、

3ω、

5ω…；对应的幅值分别为

π

4A

、π3

4

A

、

π5

4

A

…

，即,...

5,3,1

,

)1

(

4

2

1

=

-

-

n

n

A n

π

，该方波的单边幅频谱图如图3所示。

00000

图3 方波的单边幅频谱

2-23 试求图2.55所示信号的频谱函数(提示：可将()

f t看成矩形窗函数与(2)

δ-t、(2)

δ+t脉冲函数的卷积)。

图2.55 习题2-23

解：f(t)可以看作位于原点、宽度为2的如下式的窗函数与δ(t-2)、δ(t+2)的卷积：

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

>

≤

=

1

1

1

)(

t

t

t

w

即，)]

2

(

)2

(

[*

)

(

)

(-

+

+

=t

t

t

w

t

fδ

δ

而)2(sin 2)()(f C jf W t w π=⇒，根据时移特性：22)2(⋅⇒+f j e t πδ；22)2(⋅-⇒-f j e t πδ 则)(t f 的频谱函数为：

)

()2(sin 2)()2(sin 2)]2(()2(([)()]2()2([*)()(442222f j f j f j f j e e f C e e f C t F t F jf W t t t w t f ππππππδδδδ-⋅-⋅+⋅=+⋅=-++⋅⇒-++=

2-24．一时间函数)(t f 及其频谱函数图如图2.56所示，已知函数t t f t x 0cos )()(ω=

设m ωω>0[m ω为)(t f 中最高频率分量的角频率]，试出)(t x 和)(t x 的双边幅频谱)(ωj X 的示意图形，当m ωω<0时，)(ωj X 的图形会出现什么样的情况？

(a) )(t f 的时域波形 (b) )(t f 的频谱

图2.56 )(t f 的时域波形及其频谱

解：令t t x 01cos )(ω=，则)()()(1t x t f t x =，即为)(t f 和t 0cos ω的乘积，所以其图形如图4(a)所示。

若)()(11ωj X t x ⇔，)()(ωj F t f ⇔，则)(*)()()()()(11ωωωj F j X j X t x t f t x =⇔=

由于)]()([2

1

)(001ωωδωωδω++-=j X ，其双边幅频图如图4(b)所示。

根据)(*)()()(2121ωωj X j X t x t x ⇔，则

)(*)]()([2

1

)(*)()(001ωωωδωωδωωωj F j F j X j X ++-==

根据)()(*)(ωωδωj x j j x =，)()(*)(00ωωωωδω-=-x x 和)()(*)(00ωωωωδω+=+x x 则

)]()([21

)(*)]()([21)(*)()(00001ωωωωωωωδωωδωωω++-=++-==F F j F j F j X j X

|]

)(||)([|2

1

)(*|])(||)([|21)(*|)(||)(|00001ωωωωωωωδωωδωωω++-=++-==F F j F j F j X j X )(210ωω-F 表示把)(21ωF 的图形搬移到0ω处，图形的最大幅值为)(21

ωF ； )(210ωω+F 表示把)(21ωF 的图形搬移到0ω-处，图形的最大幅值为)(21

ωF ； |)(|210ωω-F 表示把|)(|21ωF 的图形搬移到0ω处，图形的最大幅值为|)(|21

ωF ； |)(|210ωω+F 表示把|)(|21ωF 的图形搬移到0ω-处，图形的最大幅值为|)(|2

1

ωF ； 由于)(1t x 的频谱图用双边幅频图表示，所以)(t x 的双边幅频图|)(|ωj X 如图4(c)所示，当

m ωω<0时，)(t x 的双边幅频图|)(|ωj X 如图4(d)所示。