第九章拉氏变换 ppt课件

Lf(t) f(t)esd t t 0
f (t)在t=0包含了脉冲函数，我们就必须区分这个 积分区间包括t=0这一点，还是不包括t=0这一点
假如包括，我们把积分下限记为0 ；
L f(t)0
f(t)esd t ,t
假如不包括，我们把积分下限记为0，于是得出
了不同的拉氏变换。记
L
f(t)
令
at，Lf(a)t
f(
s
)ea
d
0
a
1
s
f()e a
d
1 F s
3°f (t)是指数级函数(增长速度不超过指数函数)
即存在常数M > 0及c > 0使
| f(t)|≤Mect (0≤t <+∞)
c称为 f(t)的增长指数
则f (t)的拉氏变换 F(s) f(t)estdt 0
在半平面Re(s)＞c 一定存在，F(s)是解析函数。
三、关于拉氏变换的积分下限问题
f (t)在t=0附近有界时, f(0)与f (t)的Laplace变换无关
0 s
四、常用函数的拉氏变换公式
(1) L[u(t)]1,(Rs)e>(0) s
(2) L [ek]t1,(R s)> eR (ke ))( sk
d (3 ) L [(t) ]1(R s )> e)(
(4) L sikn ts2 kk2,(R s)> e0)( (5) L co ks ts2 sk2,(R s)> e0)(
解: L[f(t)] f(t)estdt Aestdt
0
0
A estdt A/s 0
例2: 求函数f(t)=A(1eat)的Laplace变换.
解:
L [f(t) ]
A (1eat)esd t t
0
Ased t t
Aae tesd t t
0
0
Ased t t
Aae tesd t t
又称 f(t)为F(s)的拉普拉斯逆变换(简称为拉氏逆
变换)或象原函数，即f(t)=L1[F(s)]
例1 分别求出单位阶跃函数u(t),符号函数sgnt,以 及f(t)=1的拉氏变换
解: 由拉氏变换的定义有
Lu(t) 1estdt 1 est 1 (Res > 0)
0
s 0 s
Lsgtn )(1estdt 1 (Res > 0)
0
s
L1 1estdt 1
0
s
(Res > 0)
例2 求出指数函数f (t) = e kt 的拉氏变换
解: L f(t) e kte sd tt e (s k )td t 1
0
0
sk
(Res > Rek)
例3 求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的laplace变换
解: 根据定义有
§9.1 拉普拉斯变换的概念
一、拉氏变换的定义
设函数f(t)当t≥0时有定义，而且积分
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f
(t)estdt
0
在s的某一域内收敛(s是一个复参量) ，则由此积
分决定的函数可写为 F(s) f(t)estdt 0
称F(s)为f(t)的拉普拉斯变换(简称拉氏变换)或象
函数，记为F(s)=L[f(t)].
0
f(t)esd t t
00f(t)esd t tR f(t)
例4 求单位脉冲函数d(t)的laplace变换.
解: L[d(t)] d(t)estdt d(t)estdt
0
0
00d(t)estd t L[d(t)] [Re(s) > ]
显然L+[d(t)]=0
d d 而 0 (t)e sd t t (t)e sd t te st =1.
L(sk in )t
sikntsed t t
0
s2e skt2(ssikn tkcok)st0
k s2k2
[Re> (s0)]
同理可得
s L[ck o]tss2k2
[Re>0 (s])
二、拉氏变换的存在定理
拉氏变换存在定理: 设函数f (t)满足下列条件：
1°当t＜0时，f (t)=0； 2°f (t)在t≥0的任一有限区间上分段连续，间断点 的个数是有限个，且都是第一类间断点；
解: L[f(t)] cokstsed t t 0
1(ejk t ejk)testdt
02
1[ 1 1 ] 2 sjk s jk
s2
s
k2
(2) 相似性质(a为正实数) 设L[f(t)]=F(s), 则当a为正实数时
Lf at 1F s
a a
证明：L f(a)tf(a)e tstdt 0
0
0
A(1 1 )
s sa
例3 求正弦函数f(t)=sinkt(k为实数)的laplace变换
解:
L[f(t)]
s
ikntsed t t
0
1(ejktejkt)estdt
0 2j
1[ 1 1 ] 2j sjk sjk
s2
k k2
例4 求余弦函数f(t)=coskt(k为实数)的laplace变换
双边拉氏变换:
L [f(t) ]
f(t)e(jw )tdt
傅氏变换:
L[f(t)]
f(t)ejwdt t
傅氏变换与拉氏变换的关系
当t 0 f (t) 0
双边拉氏变换
s j
t
0
单边拉氏变换
s j
0 t
傅氏变换
s j
t
L[f(t)]F[f(t)u(t)et]
(sj)
0
t 0
例5 求函数f(t)=etd(t)etu(t)的laplace变换.
解: L[f(t)] f(t)estdt 0
d [ et (t)etu (t)e]sd t t 0
d (t)e (s )td t e (s )td(tRes > Re)
0
0
e(s)t
e(s)t
s
t0 s
第九章 拉普拉斯变换
§9.1 拉普拉斯变换的概念
§9.2 拉氏变换的性质 §9.3 拉氏逆变换 §9.4 拉氏变换的应用
引言
Fourier变换的限制:
绝对可积
指数衰减函数et (>0)
在整个数轴上有定义
单位阶跃函数u(t)
演变为拉氏变换
L [f( t) ] F [f( t)e tu ( t) ]f ( t)e ( j) w tdt 0
§9.2 拉氏变换的性质
(1) 线性性质
设a、为常数, 且 L [f( t) 有 ] F ( s )L [ ,g ( t) ] G ( s )
则 L α f 1 ( t ) β f 2 ( 有 t ) α F 1 ( s ) β F 2 ( s ).
例1: 求常数A的Laplace变换.