《二项分布与超几何分布》复习课程
课件2：4.2.3 二项分布与超几何分布（二）
2．在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回 检验，可以看作独立重复试验吗？
[提示] 独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检 验问题，但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样 品的不放回检验，可以近似地看作此类型．
【例 3】 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产 情况，随机抽取该流水线上的 40 件产品作为样本称出它 们的 质量( 单位：克 )，质 量的分 组区间为 (490,495] ， (495,500]，…，(510,515]．由此得到样本的频率分布直方 图如图．
[解] 设所得金额为 X，X 的可能取值为 3,7,11.
P(X＝3)＝CC31380＝175，P(X＝7)＝CC28C31012＝175， P(X＝11)＝CC18·31C0 22＝115. 故 X 的分布列为
X 3 7 11
P
7 15
7 15
1 15
类型3 超几何分布与二项分布间的联系 [探究问题] 1．超几何分布适合解决什么样的概率问题？ [提示] 超几何分布适合解决一个总体(共有 N 个个体) 内含有两种不同事物 A(M 个)、B(N—M 个)，任取 n 个， 其中恰有 X 个 A 的概率分布问题．
B．5 件产品中有 2 件次品的概率
C．5 件产品中有 2 件正品的概率
D．5 件产品中至少有 2 件次品的概率
【解析】根据超几何分布的定义可知 C23表示从 3 件次品 中任选 2 件，C37表示从 7 件正品中任选 3 件，故选 B. 【答案】B
4．高二·一班共有 50 名学生，其中有 15 名学生戴眼镜， 从班级中随机抽取 5 人，设抽到戴眼镜的人数为 X, 则 X～ ________. 【解析】由超几何分布的定义可知，X～H(50,5,15)． 【答案】H(50,5,15)
《二项分布与超几何分布》知识讲解
二项分布与超几何分布★ 知 识 梳理 ★1．条件概率：称)()()|(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。
特别提醒： ①0≤P （B|A ）≤1；②P(B ∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
2. 相互独立事件：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
特别提醒：①如果事件A 、B 是相互独立事件，那么，A 与_B 、_A 与B 、_A 与_B 都是相互独立事件②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
我们把两个事件A 、B 同时发生记作A ·B ，则有P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）推广：如果事件A 1，A 2，…A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
即：P （A 1·A 2·…·A n ）= P （A 1）·P （A 2）·…·P(A n )3.独立重复试验: 在同样的条件下，重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.4.如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率计算公式：P n （k ）=C k n P k （1－P ）n －k ,其中，k =0,1,2，…,n 5.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ 0 1… k … n P n n q p C 00 111-n n q p C … k n k k n q p C - …0q p C n n n 由于k n k k n q p C -恰好是二项展开式011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--ΛΛ中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．6. 两点分布：X 0 1P 1－p p特别提醒： 若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.7. 超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则},,min{,,1,0,)(n M m m k C C C k X P n Nk n M N k M ====--Λ其中，N M N n ≤≤,。
高考数学知识点复习：二项分布与超几何分布 课件
2. 位于坐标原点的一个质点 P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的 方向为向上或5向右，若向上、向右移动的概率都是12，则质点 P 移动五次后位于点(2,3) 的概率是___1_6____.
【解析】 因为质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位 于点(2,3)，所以质点 P 必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为 C35123·122＝C3512 5＝156.
答对每道题的概率均为45，且各次答对与否相互独立，则该参赛者答完三道题后至少答
对两道题的概率为( A )
112 A. 125
80 B. 125
113 C. 125
124 D. 125
【解析】 该参赛者答完三道题后至少答对两道题的概率为 P＝453＋C2345215＝111225.
(1) 在求 n 次独立重复试验中事件恰好发生 k 次的概率时，首先要确定好 n 和 k 的 值，再准确利用公式求概率；(2) 在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键 是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数 n 和变量的概率，求得概率．
2. 两点分布与二项分布的均值、方差 (1) 若随机变量 X 服从两点分布，则 E(X)＝__p_，D(X)＝______p_(_1_－__p_)______. (2) 若 X～B(n，p)，则 E(X)＝___n_p__，D(X)＝_______n_p_(_1_－__p_) _______.
3. 超几何分布
4. 在含有 3 件次品的 10 件产品中，任取 4 件，X 表示取到的次品数，则 P(X＝2) 3
＝_____1_0_______.
【解析】 由题意，X 服从超几何分布，其中 N＝10，M＝3，n＝4，故 P(X＝2)＝CC23C14027 ＝130.
高考数学复习知识点讲解教案第65讲 二项分布与超几何分布、正态分布
正态曲线： =
1
2π
−
⋅e
− 2
22
, ∈ ，其中 ∈ ， > 0为参数，称
正态密度曲线
为正态密度函数，函数 的图象为_________________,简称正态曲线.
（2）
正态曲线的特点
=
①曲线是单峰的，它关于直线________对称.
②
=
1
曲线在________处达到峰值
3
［思路点拨］（1）由题可求出一次试验成功的概率，设试验成功的次数为，可
知服从二项分布，再利用方差的性质即可求解.
[解析] 由题意得，启动一次出现的数字为 = 1010的概率 =
设试验成功的次数为，则～
所以的方差 = 54 ×
2
27
×
25
27
2
54,
27
=
2
1
3
2
3
× =
2
.
记选出女生的人数为，则服从超几何分布，③满足题意；
盒中有4个白球和3个黑球，每次从中随机摸出1个球且不放回，
记第一次摸出黑球时摸取的次数为，
则不服从超几何分布，④不满足题意.故填③.
5.已知随机变量 ∼
2
2,
0.35
, ≤ 0 = 0.15,则 2 ≤ ≤ 4 =______.
0 < < 1 ,用表示事件发生的次数,则的分布列为( = ) =
−
C 1 −
_________________________，
= 0,1,2,⋯ ,,称随机变量服从二项分布,记作
∼ , .
（2）
1 −
二项分布和超几何分布(含答案)讲课教案
二项分布和超几何分布(含答案)超几何分布和二项分布一、两者的定义是不同的1超几何分布的定义2独立重复试验与二项分布的定义(1)独立重复试验．(2)二项分布．本质区别(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，而二项分布描述的是放回抽样问题.(2)超几何分布中的概率计算实质上是古典概型问题；二项分布中的概率计算实质上是相互独立事件的概率问题.二、两者之间是有联系的人教版新课标选修2-3第59页习题2.2B组第3题：例1某批n件产品的次品率为2%，现从中任意地依次抽出3件进行检验，问：（1）当n=500,5000,500000时，分别以放回和不放回的方式抽取，恰好抽到1件产品的概率各是多少？（2）根据（1）你对超几何分布与二项分布的关系有何认识？【说明】由于数字比较大，可以利用计算机或计算器进行数值计算.另外，本题目也可以帮助学生了解超几何分布和二项分布之间的关系：第一，n次试验中，某一事件A出现的次数X可能服从超几何分布或二项分布.当这n次试验是独立重复试验时，X服从二项分布；当这n次试验是不放回摸球问题，事件A为摸到某种特性（如某种颜色）的球时，X服从超几何分布第二，在不放回n次摸球试验中，摸到某种颜色的次数X服从超几何分布，但是当袋子中的球的数目N 很大时，X的分布列近似于二项分布，并且随着N的增加，这种近似的精度也增加.从以上分析可以看出两者之间的联系：当调查研究的样本容量非常大时，在有放回地抽取与无放回地抽取条件下，计算得到的概率非常接近，可以近似把超几何分布认为是二项分布.例2袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取一个球，求（1）又放回抽样时，取到黑球的个数X的分布列；（2）无放回地抽样时，取到黑球的个数Y的分布列.[错解分析]第二问的选人问题是不放回抽样问题,按照定义先考虑超几何分布,但是题目中又明确给出:“以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，从该社区(人数很多)任选3人”,说明不是从16人中任选3人,而是从该社区(人数很多)任选3人,所以可以近似看作是3次独立重复试验,应该按照二项分布去求解，而不能按照超几何分布去处理.【正解】（1）同上；从以上解题过程中我们还发现，错解中的期望值与正解中的期望值相等，好多学生都觉得不可思议，怎么会出现相同的结果呢？其实这还是由于前面解释过的原因，超几何分布与二项分布是有联系的，看它们的期望公式：综上可知，当提问中涉及“用样本数据来估计总体数据”字样的为二项分布。
超几何分布及二项分布二轮复习教学设计及导学案
超几何分布及二项分布二轮复习教学设计及导学案【导学案】课题名称：超几何分布及二项分布学科：数学年级：高一教学时间：2课时教学目标：1.理解超几何分布和二项分布的概念与特点。
2.掌握超几何分布和二项分布的计算方法。
3.能够应用超几何分布和二项分布解决实际问题。
教学重点：1.超几何分布和二项分布的概念与特点。
2.超几何分布和二项分布的计算方法。
教学难点：1.能够应用超几何分布和二项分布解决实际问题。
教学准备：1.教师准备PPT。
2.学生铅笔、橡皮、作业本。
教学过程：Step 1 导入新课（5分钟）1.让学生回顾前一节课的内容，回答几个问题：什么是离散型随机变量？如何计算离散型随机变量的期望？2.引入本节课的新内容，告诉学生本节课要学习和复习超几何分布和二项分布。
Step 2 课堂教学（55分钟）1.引导学生回忆超几何分布的概念和特点，并结合具体例子进行讲解。
提醒学生注意超几何分布中的各个参数的含义和计算方法。
2.引导学生回忆二项分布的概念和特点，并结合具体例子进行讲解。
提醒学生注意二项分布中的各个参数的含义和计算方法。
3.给学生讲解超几何分布和二项分布的计算方法，并通过例题进行演示。
帮助学生掌握计算过程和技巧。
4.给学生出几道练习题，让学生独立完成，并在课堂上逐题讲解答案和解题思路。
帮助学生巩固所学知识。
Step 3 课堂小结（5分钟）1.总结本节课的重点内容，强调超几何分布和二项分布的概念和特点。
2.提醒学生进行课后复习，并解答学生的问题。
Step 4 课后作业（2分钟）1.布置适量的课后作业，巩固学生对超几何分布和二项分布的理解和掌握。
2.提醒学生及时批改作业，并预习下节课内容。
备注：以上为教学设计概要，具体教学内容及时间可根据实际情况灵活调整。
超几何分布与二项分布二轮复习教育教学设计与导学案
超几何分布与二项分布二轮复习教学设计与导学案————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：高三二轮复习教学设计1 超几何分布与二项分布知识与技能：1、进一步了解并熟悉超几何分布与二项分布产生的实际背景，理解超几何分布的导出过程，理解独立重复试验与二项分布的关系，进一步建构并完善知识体系与结构；2、明确两种分布基本特征，能正确区分两种分布，能准确运用两种概率分布分析解决实际问题；3、训练提升运算能力、数学阅读与理解能力，分析与解决实际问题的能力。
过程与方法：1、通过自主学习，熟化基本知识与思想方法，完成知识体系建构；2、借助实例，通过合作与探究学习，在讨论交流中实现对两种分布本质特征的再认识，完善知识结构，达到深刻理解与准确应用。
情感态度与价值观：以学生考试中的正、误两种解答导入，引发学生对问题与解决方法的关注度，激发学生积极主动参与数学思维活动；通过主动探究、合作学习、相互交流，形成良好地思维习惯和理性思考问题的思维品质；借助高考真题的解析，增强学习的自信心，增强学生敢于超越并勇于超越的自我激励与竞争进取的意志品质。
教学重点：二项分布与超几何分布的辨别与应用教学难点：二项分布与超几何分布的区别与运用教学媒体：多媒体教学方法：讨论探究与讲授相结合课型：复习课教学流程和情境设计流程问题情境设计意图师生活动解题回放提出问题问题1“低碳生活”题中出现的两种解答中，知识依据与过程完全不同，得到的期望值却相同。
纯属巧合吗？哪种解借助学生考试中给出的解答提出问题，既给学生以警示，又引发疑问，诱发思考，有利于吸引学生的注意力并激发学生的学习激情。
展示学生答题过程，学生赏析，判断正误。
答更符合题意呢？辨别正误发现错因问题2造成错解的核心问题为何？怎样有效避免？引导学生快速进入学习主题，弄清区分两种分布是避免错误的关键。
引发学生积极思考，主动探究解决问题的方法。
超几何分布和二项分布的复习课教学建议
超几何分布和二项分布的复习课教学建议在人教A版《数学选修2-3》的课本中，第二章《概率》的2.1.2节和2.2.3节分别介绍了两种离散型随机变量的概率分布，超几何分布与二项分布。
通过实例,让学生认识模型所刻画的随机变量的共同特点,从而建立新的模型,并能运用两模型解决一些实际问题。
同时超几何分布与二项分布模型是理科数学选修2—3概率问题的重要内容。
然而在教学过程中,我发现学生对这两模型的定义不能很好的理解,在高三好几次模拟考试中，针对解答题的第二题概率与统计问题中，同学们往往不能准确辨别所要解决的问题是到底是属于超几何分布还是二项分布。
一遇到含“取”或“摸”的题型, 就认为是超几何分布,不加分析,随便滥用公式。
事实上,超几何分布和二项分布确实有着密切的联系，但也有明显的区别。
为了让同学们对这两种分布有更加深刻地认识与理解，以免再在实际解决问题中出错，在第二轮复习教学中，我特别设计了一节课来帮助同学们更好地区别超几何分布与二项分布。
以下是我本节课的简要设计过程。
一、问题引入:（学生易混淆）袋中有8个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球.求:(1) 有放回抽样时,取到黑球的个数X的分布列;(2) 不放回抽样时,取到黑球的个数Y的分布列.分析思路:(1) 有放回抽样时,取到的黑球数X可能的取值为0,1,2,3.又由于每次取到黑球的概率均为15,3次取球可以看成3次独立重复试验,则X~B13,5⎛⎫⎪⎝⎭。
(2) 不放回抽样时,取到的黑球数Y服从超几何分布。
二、超几何分布与二项分布概念的区别：1、超几何分布：课本上以实例引入，在产品质量的不放回抽检中，若N件产品中有M件次品，抽检n件时所得次品数X=k 则，此时我们称随机变量X服从超几何分布。
归纳：一般的，若一个随机变量X 的分布列为，其中，则称X服从超几何分布。
其概率分布表为：特征：超几何分布的模型是不放回抽样。
12 超几何分布必须同时满足两个条件：一是抽取的产品不再放回;二是产品数目为有限个.当这两个条件中任何一个发生改变,则不再是超几何分布。
二项分布、超几何分布与正态分布(高三一轮复习)
55×0.3＋65×0.15＋75×0.15＋85×0.1＝58.5.
(2)依题意，周末体育锻炼时间在[40,50)内的学生抽6人，在[50,60)内的学生抽9
人，则P(X＝0)＝
C63 C135
＝
4 91
，P(X＝1)＝
C26C19 C315
＝
27 91
，P(X＝2)＝
C61C92 C315
＝
216 455
解 (1)由频率分布直方图可知，男生立定跳远的达标率为0.2×(1.00＋0.75＋ 0.50＋0.25)＝0.5，
因为50%<60%，所以该校男生还需加强立定跳远训练．
数学 N 必备知识 近似服从正态分布N(2.25，σ2)，且P(ξ≤2.45)＝0.8，所以P(ξ≥2.05)＝ 0.8，
(2)在这600人中，用分层随机抽样的方法，从周末体育锻炼时间在[40,60)内的学 生中抽取15人，再从这15人中随机抽取3人，记这3人中周末体育锻炼时间在[50,60) 内的人数为X，求X的分布列以及数学期望E(X)．
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
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解 (1)估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数 t ＝35×0.1＋45×0.2＋
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 21 —
(1)若男生立定跳远的达标率低于60%，则该校男生还需加强立定跳远训练．请 你通过计算，判断该校男生是否还需加强立定跳远训练；
(2)为提高学生的达标率，该校决定加强训练，经过一段时间训练后，该校男生 立定跳远的距离ξ(单位：米)近似服从正态分布N(2.25，σ2)，且P(ξ≤2.45)＝0.8.再从 该校任选3名男生进行测试，X表示这3人中立定跳远达标的人数，求X的分布列和数 学期望E(X)．
二项分布与超几何分布-讲义(学生版)
二项分布与超几何分布一、课堂目标1．理解次独立重复试验的概念．2．熟练求解二项分布的分布列、数学期望和方差．3．熟练求解超几何分布的分布列和数学期望．二、知识讲解1. 次独立重复实验与二项分布知识精讲（一）伯努利试验与重伯努利试验（或次独立重复实验）（1）伯努利试验：我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.（2）重伯努利试验（或次独立重复实验）：我们将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验（或次独立重复实验）.（3）重伯努利试验具有如下两个特征：①同一个伯努利试验重复做次（“重复”意味着各次试验成功的概率相同）；②各次试验的结果相互独立.（4）独立重复试验中事件发生次的概率①公式：一般地，在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率.②明确该公式中各量表示的意义：为重复试验的次数；是在一次试验中事件发生的概率；是一次试验中事件不发生的概率；是在次独立重复试验中事件发生的次数.（二）二项分布（1）二项分布的概念一般地，在次独立重复试验中，用表示事件发生的次数，设每次试验中事件发生的概率为，事件不发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率，．此时，称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功的概率.（2）二项分布的分布列…………（3）二项分布的特点①对立性：即一次试验中只有两种结果——“成功”和“不成功”，而且有且仅有一个发生；②重复性：试验在相同条件下独立重复地进行次，保证每次试验中“成功”的概率和“不成功”的概率都保持不变.（4）二项分布的数学期望与方差①若，则．②若，则．知识点睛独立重复试验与二项分布的判断（1）独立重复试验满足两个条件：①在同样的条件下重复进行；②各次试验之间相互独立.（2）二项分布满足四个条件：①在每次试验中，事件发生的概率是相同的；②各次试验中的事件是相互独立的；③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；④随机变量是这次独立重复试验中事件发生的次数.经典例题A. B. C.D.1.已知，且，，则等于（）．巩固练习2.已知离散型随机变量，随机变量，则的数学期望．3.已知随机变量服从二项分布，若，，则．经典例题4.盒中有大小相同的个红球，个白球，现从盒中任取球，记住颜色后再放回盒中，连续摸取次．设表示连续摸取次中取得红球的次数，则，的数学期望．A.和 B.和C.和D.和5.在三次独立重复试验中，事件在每次试验中发生的概率相同，若事件至少发生一次的概率为，则事件发生次数的期望和方差分别为（）．巩固练习A.B.C.D.6.同时抛掷枚质地均匀的硬币次，设枚硬币均正面向上的次数为，则的数学方差是（ ）．7.一射击测试中每人射击三次，每击中目标一次记分，没有击中记分，某人每次击中目标的概率为，则此人得分的均值与方差分别为 ， ．经典例题（1）（2）8.年月日起，《北京市垃圾分类管理条例》正式实施，某社区随机对种垃圾辨识度进行了随机调查，经分类整理得到下表：垃圾分类厨余垃圾可回收物有害垃圾其他垃圾垃圾种类辨识率辨识率是指：一类垃圾中辨识准确度高的数量与该类垃圾的种类数的比值．从社区调查的种垃圾中随机选取一种，求这种垃圾辨识度高的概率．从可回收物中有放回的抽取三种垃圾，记为其中辨识度高的垃圾种数，求的分布列和数学期望．巩固练习9.每年月日是国际幸福日，某电视台随机调查某一社区人们的幸福度．现从该社区群中随机抽取名，用“分制”记录了他们的幸福度指数，结果见如图所示茎叶图，其中以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶．若幸福度不低于分，则称该人的幸福度为“很幸福”．幸福度（1）（2）求从这人中随机选取人，至少有人是“很幸福”的概率．以这人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选人，记表示抽到“很幸福”的人数，求的分布列及．经典例题（1）（2）10.某部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了名乘客，统计其乘车等待时间（指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过分钟）.将统计数据按，，，,分组，制成频率分布直方图：频率组距乘车等待时间（分钟）甲站频率组距（分钟）乘车等待时间乙站假设乘客乘车等待时间相互独立．在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取人，记为；从乙站的乘客中随机抽取人，记为．用频率估计概率，求“乘客，乘车等待时间都小于分钟”的概率．在上班高峰时段，从乙站乘车的乘客中随机抽取人，表示乘车等待时间小于分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望．巩固练习11.某市政府为了节约生活用电，计划在本市试行居民生活用电定额管理，即确定一户居民月用电量标准，用电量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费．为此，政府调查了户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图所示．（1）（2）频率组距月平均月电量度根据频率分布直方图的数据，求出的值并估计该市每户居民月平均用电量的值．现从该市所有居民中随机抽取户，其中月平均用电量介于的户数为，用频率估计概率，求的分布列及数学期望．2. 超几何分布知识精讲（1）定义一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，若其中恰有件次品，则，即其中，且.如果随机变量的分布列具有上表的形式，那么称随机变量服从超几何分布.（2）超几何分布的判断①若随机变量满足：试验是不放回地抽取次；随机变量表示抽取到的次品件数.则该随机变量服从超几何分布.②一般地，设有件产品，其中次品和正品分别为件，从中任取件产品，用分别表示取出的件产品中次品和正品的件数，则随机变量服从参数为的超几何分布，随机变量服从参数为的超几何分布.（3）超几何分布的数学期望和方差若离散型随机变量服从参数为，，的超几何分布，则；.知识点睛二项分布与超几何分布的区别：①二项分布：有放回抽样时，每次抽取时的总体没有改变，因而每次抽到某物的概率都是相同的，可以看成是独立重复试验，此种抽样是二项分布模型.②超几何分布：不放回抽样时，取出一个则总体中就少一个，因此每次取到某物的概率是不同的，此种抽样为超几何分布模型.因此，二项分布模型和超几何分布模型最主要的区别在于是有放回抽样还是不放回抽样.经典例题A.B.C.D.12.口袋中有相同的黑色小球个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取个小球．表示当时取出黑球的数目，表示当时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（）．，，，，巩固练习13.一袋中装有个大小相同的黑球和白球．已知从袋中任意摸出个球，至少得到个白球的概率是，则袋中白球的个数为 ；从袋中任意摸出个球，则摸到白球的个数的数学期望为 ．经典例题（1）（2）14.某校组织一次冬令营活动，有名同学参加，其中有名男同学，名女同学，为了活动的需要，要从这名同学中随机抽取名同学去执行一项特殊任务，记其中有名男同学．求的分布列．求去执行任务的同学中有男有女的概率．巩固练习15.安康市某中学在月日举行元旦歌咏比赛，参赛的名选手得分的茎叶图如图所示．（1）（2）写出这名选手得分的众数和中位数．若得分前六名按一等奖一名、二等奖两名、三等奖三名分别发放元、元元的奖品，从该名选手中随机选取人，设这人奖品的钱数之和为，求的分布列与数学期望．经典例题（1）（2）16.随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加．为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取人，对其每月参与马拉松运动训练的天数进行统计，得到以下统计表：平均每月进行训练的天数人数以这人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率．从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取个人，求恰好有个人是“平均每月进行训练的天数不少于天”的概率．依据统计表，用分层抽样的方法从这个人中抽取个，再从抽取的个人中随机抽取个，表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于天”的人数，求的分布列及数学期望．巩固练习17.脐橙营养丰富，含有人体所必需的各类营养成份，若规定单个脐橙重量（单位：千克）在的脐橙是“普通果”，重量在的脐橙是“精品果”，重量在的脐橙是“特级果”，有一果农今年种植脐橙，大获丰收．为了了解脐橙的品质，随机摘取个脐橙进行检测，其重量分别在，，，，，中，经统计得到如图所示频率分布直方图．（1）（2）频率/组距重量千克将频率视为概率，用样本估计总体．现有一名消费者从脐橙果园中，随机摘取个脐橙，求恰有个是“精品果”的概率．现从摘取的个脐橙中，采用分层抽样的方式从重量为，的脐橙中随机抽取个，再从这个抽取个，记随机变量表示重量在内的脐橙个数，求的分布列及数学期望．三、思维导图你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！四、出门测A. B. C. D.18.某班有数学成绩优秀的学生数，则等于（）．（1）（2）19.年月日，甘肃省人民政府办公厅发布《甘肃省关于餐饮业质量安全提升工程的实施意见》，卫生部对所大学食堂的“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估．满分者为“安全食堂”，评分分以下的为“待改革食堂”．评分在分以下考虑为“取缔食堂”，大部分大学食堂的评分在分之间，以下表格记录了它们的评分情况：分数段食堂个数现从所大学食堂中随机抽取个，求至多有个评分不低于分的概率．以这所大学食堂评分数据估计大学食堂的经营性质，若从全国的大学食堂任选个，记表示抽到评分不低于分的食堂个数，求的分布列及数学期望．（1）（2）20.为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组．该年级理科班有男生人，女生人；文科班有男生人，女生人．现按男、女用分层抽样从理科生中抽取人，按男、女用分层抽样从文科生中抽取人，组成环境保护兴趣小组，再从这人的兴趣小组中抽出人参加学校的环保知识竞赛．设事件为“选出的这个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有”，求事件发生的概率．用表示抽取的人中文科女生的人数，求的分布列和数学期望．。
2025高考数学一轮复习-第53讲-二项分布与超几何分布【课件】
三、 常用结论 超几何分布的均值与方差(*)
nM
r
(1) 均值：根据均值的计算公式，当 X～H(n，M，N)时，E(X)＝ kPk＝___N___，其
k＝M
中 r＝min{n，M}． (2) 方差：D(X)＝nM(NN－2(NM－)(1N)－n).
二项分布
举题说法
1 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3的三个外观相同的 空箱子中随机选择一个，放入一个金蛋，再将三个箱子关闭．主持人 知道金蛋在哪个箱子里．游戏规则是主持人请抽奖人在三个箱子中选 择一个，若金蛋在此箱子里，抽奖人得到200元奖金；若金蛋不在此 箱子里，抽奖人得到50元参与奖．无论抽奖人是否抽中金蛋，主持人 都重新随机放置金蛋，关闭三个箱子，等待下一个抽奖人．
B2，13，可得 P(X＝0)＝C02×130×1－132＝49，P(X＝1)＝C12×13×1－13＝49，P(X＝2)
＝C22×132×1－130＝19， 所以随机变量X的分布列为 故 E(X)＝23.
X0 1 2
P
4 9
4 9
1 9
3 (2) 若每次抽取后都不放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布
第十章 计数原理、概率及其分布
第53讲 二项分布与超几何分布
激活思维
1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X表示“正面朝上”出现的
次数，则E(X)＝___2__，D(X)＝___1__．
【解析】一枚质地均匀的硬币抛掷一次正面朝上的概率为12，且每次是否正面朝上相 互独立，所以 X～B4，12，所以 E(X)＝4×12＝2，D(X)＝4×12×12＝1.
两道题均答对，方可进行第二组答题，否则本轮答题结束．已知甲同学第一组每道题
答对的概率均为3，第二组每道题答对的概率均为1，两组题至少答对
二项分布与超几何分布 章末复习课
7.4二项分布与超几何分布章末复习课一、导学指导二．离散型随机变量的分布列、均值和方差角度1 二项分布的均值、方差例2.1 某厂有4台大型机器，在一个月中，一台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障需要维修的概率为13. (1)问该厂至少有多少名维修工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不小于90%?(2)已知1名工人每月只有维修1台机器的能力，每月需支付给每位工人1万元的工资，每台机器不出现故障或出现故障能及时维修，能使该厂产生5万元的利润，否则将不产生利润．若该厂现有2名工人，求该厂每月获利的均值．角度2 超几何分布的均值、方差例2.2 某学院为了调查本校学生2021年4月“健康上网”(健康上网是指每天上网不超过两个小时)的天数情况，随机抽取了40名本校学生，统计他们在该月30天内健康上网的天数，并将所得的数据分成以下六组：[0,5]，(5,10]，(10,15]，…，(25,30]，由此画出样本的频率分布直方图，如图所示．(1)根据频率分布直方图，求这40名学生中健康上网天数超过20天的人数；(2)现从这40名学生中任取2名，设Y 为取出的2名学生中健康上网天数超过20天的人数，求Y 的分布列及均值E (Y )．反思感悟：三、正态分布与二项分布、超几何分布的综合应用例3某市为了解本市1万名小学生的普通话水平，在全市范围内进行了普通话测试，测试后对每个小学生的普通话测试成绩进行统计，发现总体(这1万名小学生普通话测试成绩)服从正态分布N(69,49)．(1)从这1万名小学生中任意抽取1名小学生，求这名小学生的普通话测试成绩在(62,90)内的概率；(2)现在从总体中随机抽取12名小学生的普通话测试成绩，对应的数据如下：50,52,56,62,63,68,65,64,72,80,67,90.从这12个数据中随机选取4个，记X表示大于总体平均分的个数，求X的方差．跟踪训练3为提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力确保公交车的准点率，减少居民侯车时间，为此，该公司对某站台乘客的候车时间进行统计．乘客候车时间受公交车准点率、交通拥堵情况、节假日人流量增大等情况影响．在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，乘客候车时间X满足正态分布N(μ，σ2)．在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车时间，经过统计得到如图所示的频率分布直方图．(1)在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组的各个值，试估计μ，σ2的值；(2)在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为，在正常情况下，一次试验中，小概率事件是不能发生的．在交通拥堵情况正常、非节假日的某天，随机调查了该站的10名乘客的候车时间，发现其中有3名乘客候车时间超过15分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，说明理由．反思感悟：一、巩固诊断1．设X ～N (10,0.8)，则D (2X ＋1)等于( )A ．1.6B ．3.2C ．6.4D ．12.82．甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制(不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束)．根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1.则甲以3∶1取得胜利的概率为( )A ．0.162B ．0.18C ．0.168D ．0.1743．在一个质地均匀的小正方体的六个面中，三个面标0，两个面标1，一个面标2，将这个小正方体连续掷两次，若向上的数字的乘积为偶数，则该乘积为非零偶数的概率为( )A.14B.89C.116D.5324．一个盒子中有大小、形状完全相同的m 个红球和6个黄球．从盒中每次随机取出一个球，记下颜色后放回，共取5次，设取到红球的个数为X ，若E (X )＝72，则m 的值为________．。
第6节 二项分布与超几何分布--2025高中数学一轮复习课件基础版(新高考新教材)
高考总复习2025第6节 二项分布与超几何分布课标解读1.了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题.2.了解超几何分布及其均值,并能解决简单的实际问题.强基础 固本增分知识梳理1.n 重伯努利试验与二项分布(1)n 重伯努利试验把只包含两个可能结果的试验叫做__________.将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为n 重伯努利试验.(2)二项分布一般地,在n 重伯努利试验中,设每次试验中事件A 发生的概率为p (0<p <1),用X 表示事件A 发生的次数,则X 的分布列为 k=0,1,2,…, n ,如果随机变量X 的分布列具有上式的形式,则称随机变量X 服从二项分布,记作__________.伯努利试验 X~B (n ,p )(3)两点分布与二项分布的均值、方差若随机变量X 服从两点分布,则E(X )= __________,D (X )=__________.若X ~B (n ,p ),则E(X )=__________,D (X )=__________. 微点拨判断一个随机变量是否服从二项分布的两个关键点:(1)在一次试验中,事件A 发生与不发生,二者必居其一,且A 发生的概率不变;(2)试验可以独立重复进行n 次.p p (1-p ) np np (1-p )2.超几何分布一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为P(X=k)= ,k=m,m+1,m+2,…,r,其中n,M,N∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=m i n{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.微点拨超几何分布与二项分布的关系 不同点联系假设一批产品共有N 件,其中有M 件次品.从N 件产品中随机抽取n 件,用X表示抽取的n 件产品中的次品数,若采用有放回抽样的方法抽取,则随机变量X 服从二项分布,即X ~B (n ,p )(其中p = );若采用不放回抽样的方法随机抽取则随机变量X 服从超几何分布二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取n 件产品中次品的分布规律,并且二者的均值相同.对于不放回抽样,当n 远远小于N 时,每抽取一次后,对N 的影响很小,超几何分布可以用二项分布近似自主诊断题组一 思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”)1.二项分布是一个概率分布,其公式相当于(a +b )n 二项展开式的通项,其中a =p ,b =1-p .( )2.从4名男演员和3名女演员中选出4名,其中女演员的人数X 服从超几何分布.( )3.两点分布是二项分布当n =1时的特殊情况.( )4.若X 表示n 次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数,则X 服从二项分布.( )× √√√题组二回源教材5.(人教A版选择性必修第三册7.4.1节例1改编)将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次,则恰好出现5次正面朝上的概率是__________.6.(人教B版选择性必修第二册4.2.4节练习B第1题)已知随机变量X服从参数为n,p的二项分布,即X~B(n,p),且E(X)=7,D(X)=6,则p的值为__________.题组三连线高考7.(2005·辽宁,3)设袋中有80个红球,20个白球,若从袋中任取10个球,则其中D恰有6个红球的概率为( )8.(2006·重庆,18)某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18,19,20层停靠.若该电梯在底层载有5位乘客,且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为 ,用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数,求:(1)随机变量ξ的分布列;(2)随机变量ξ的期望.研考点 精准突破考点一 二项分布及其应用例1(2024·安徽蚌埠模拟)某地有一家知名蛋糕房根据以往某种蛋糕在100天里的销售记录,绘制了以下频数分布表:日销售量/个[0,50)[50,100)[100,150)[150,200)[200,250]频数1525302010将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立. (1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率;(2)用ξ表示在未来3天里日销售量不低于150个的天数,求随机变量ξ的分布列、期望和方差.天的日销售量低于50个”,则P(A)=0.62×0.15+0.15×0.62=0.108.[对点训练1](2024·四川攀枝花模拟)某企业从生产的一批产品中抽取100个作为样本,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果制成如图所示的频率分布直方图.(1)求这100件产品质量指标值的样本平均数(同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数;(2)已知某用户从该企业购买了3件该产品,用X表示这3件产品中质量指标值位于[15,25)内的产品件数,用频率代替概率,求X的分布列和数学期望.解(1)由已知得=10×0.015×10+20×0.040×10+30×0.025×10+40×0.020×10=25.因为0.15+0.4>0.5,设中位数为x,则x∈(15,25),则0.015×10+0.04×(x-15)=0.5,解得x=23.75.考点二 超几何分布及其应用例2每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”,为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况,从该地区随机抽取了1 000名高一学生进行在线调查,得到了这1 000名学生的日平均阅读时间(单位:小时),并将样本数据分成[0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10],(10,12],(12,14],(14,16],(16,18]九组,绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)求a的值:(2)为进一步了解这1 000名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况,从日平均阅读时间在(8,10],(10,12]两组上的学生中,采用分层随机抽样的方法抽取了10人,现从这10人中随机抽取3人,记日平均阅读时间在(10,12]上的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.解(1)由频率分布直方图得,2×(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01)=1,解得a=0.10.[对点训练2](2024·河南洛阳模拟)某校为了调查假期学生在家锻炼身体的情况,随机抽查了150名学生,并统计出他们在家的锻炼时长,得到频率分布直方图如图所示.(1)求a的值,并估计锻炼时长的平均数(同组数据用该组区间的中点值代替);(2)从锻炼时长分布在[20,30),[30,40),[40,50),[50,60]的学生中按分层抽样的方法抽出7名学生,再从这7名学生中随机抽出3人,记3人中锻炼时长超过40分钟的学生人数为X,求X的分布列和数学期望.解(1)由题意可得,(0.006+0.010+2a+0.024+0.036)×10=1,解得a=0.012.样本数据在[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60)的频率分别为0.06,0.10,0.12,0.36,0.24,0.12,则0.06×5+0.10×15+0.12×25+0.36×35+0.24×45+0.12×55=34.8,所以估计锻炼时长的平均数为34.8.。
《二项分布与超几何分布》 讲义
《二项分布与超几何分布》讲义在概率论中，二项分布和超几何分布是两个非常重要的离散型概率分布。
它们在实际生活和科学研究中有着广泛的应用，理解和掌握这两种分布对于解决各种概率相关的问题至关重要。
一、二项分布（一）定义二项分布是指进行\（n\）次独立的伯努利试验，每次试验中成功的概率为\（p\），失败的概率为\（1 p\）。
设随机变量\（X\）表示在\（n\）次试验中成功的次数，则\（X\）服从参数为\（n\）和\（p\）的二项分布，记为\（X ～ B(n, p)＼）。
（二）概率质量函数二项分布的概率质量函数为：＼（P(X ＝ k) ＝ C_{n}＾k p^k （1 p)＾｛n k}＼），其中\（C_{n}＾k\）表示从\（n\）个元素中选取\（k\）个元素的组合数。
（三）期望和方差二项分布的期望为\（E(X) ＝ np\），方差为\（Var(X) ＝ np(1 p)＼）。
（四）应用场景二项分布在很多实际问题中都有应用。
例如，抛硬币多次，计算正面朝上的次数；产品抽检中，确定不合格产品的数量等。
二、超几何分布（一）定义超几何分布描述的是从有限\（N\）个物件（其中包含\（M\）个成功物件）中，不放回地抽取\（n\）个物件，成功物件的数量为随机变量\（X\），则\（X\）服从超几何分布。
（二）概率质量函数超几何分布的概率质量函数为：＼（P(X ＝ k) ＝＼frac{C_{M}＾k C_{N M}＾｛n k}｝｛C_{N}＾n}＼）。
（三）期望和方差超几何分布的期望为\（E(X) ＝ n\frac{M}｛N}＼），方差为\（Var(X) ＝ n\frac{M}｛N}（1 ＼frac{M}｛N}）＼frac{N n}｛N 1}＼）。
（四）应用场景超几何分布常用于抽样调查，比如从一批产品中随机抽取一定数量的产品，计算其中合格品的数量；从一个班级中抽取若干学生，统计其中男生的人数等。
三、二项分布与超几何分布的比较（一）相同点1、都是离散型概率分布，用于描述随机变量取不同值的概率。
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二项分布与超几何分布★ 知 识 梳理 ★1．条件概率：称)()()|(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。
特别提醒： ①0≤P （B|A ）≤1；②P(B ∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
2. 相互独立事件：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。
特别提醒：①如果事件A 、B 是相互独立事件，那么，A 与_B 、_A 与B 、_A 与_B 都是相互独立事件②两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
我们把两个事件A 、B 同时发生记作A ·B ，则有P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）推广：如果事件A 1，A 2，…A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
即：P （A 1·A 2·…·A n ）= P （A 1）·P （A 2）·…·P(A n )3.独立重复试验: 在同样的条件下，重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验.在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.4.如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率计算公式：P n （k ）=C k n P k （1－P ）n －k ,其中，k =0,1,2，…,n 5.离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是k n k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ 0 1… k … n P n n q p C 00 111-n n q p C … k n k k n q p C - …0q p C n n n 由于k n k k n q p C -恰好是二项展开式011100)(q p C q p C q p C q p C p q n n n k n k k n n n n n n +++++=+--ΛΛ中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B (n ，p )，其中n ，p 为参数，并记k n k k n q p C -＝b (k ；n ，p )．6. 两点分布：X 0 1P 1－p p特别提醒： 若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)为成功率.7. 超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则},,min{,,1,0,)(n M m m k C C C k X P n Nk n M N k M ====--Λ其中，N M N n ≤≤,。
称分布列X 0 1 … mP n N n M N M C C C 00-- n N n M N M C C C 11-- … n Nm n M N m M C C C -- 为超几何分布列， 称X 服从超几何分布★ 重 难 点 突 破 ★1.重点：理解超几何分布及其导出过程.了解条件概率和两个事件相互独立的概念，能理解n 次独立重复实验的模型及二项分布.2.难点：能利用超几何分布, 二项分布及n 次独立重复实验解决一些简单的实际问题3.重难点：.(1) “互斥”与“独立”混同问题1: 甲投篮命中率为O ．8，乙投篮命中率为0.7，每人投3次，两人恰好都命中2次的概率是多少?错解 设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，则两人都恰好投中两次为事件A+B ，P(A+B)=P(A)+P(B)： 2222330.80.20.70.30.825c c ⨯+⨯=点拨: 本题错误的原因是把相互独立同时发生的事件当成互斥事件来考虑，将两人都恰好投中2次理解为“甲恰好投中两次”与“乙恰好投中两次”的和．正确解答：设“甲恰好投中两次”为事件A ，“乙恰好投中两次”为事件B ，且A ，B 相互独立，则两人都恰好投中两次为事件A·B，于是P(A·B)=P(A)×P(B)= 2222330.80.20.70.30.169c c ⨯+⨯≈．（2）“条件概率P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同问题2:袋中有6个黄色、4个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取2次，求第二次才取到黄色球的概率．错解 记“第一次取到白球”为事件A ，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件C,所以P(C)=P(B/A)=6293=. 点拨：本题错误在于P(A ⋅B)与P(B/A)的含义没有弄清, P(A ⋅B)表示在样本空间S 中,A 与B 同时发生的概率；而P （B/A ）表示在缩减的样本空间S A 中，作为条件的A 已经发生的条件下事件B 发生的概率。
正确答案：P （C ）= P(A ⋅B)=P （A ）P （B/A ）=46410915⨯=。
★ 热 点 考 点 题 型 探 析★考点一： 条件概率,相互独立事件和独立重复试验题型1. 条件概率[例1] 一张储蓄卡的密码共有6位数，每位数字都可从0～9中任选，某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：⑴按第一次不对的情况下，第二次按对的概率；⑵任意按最后一位数字，按两次恰好按对的概率；⑶若他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率[解题思路]：⑴这是一个一般概率还是条件概率？应选择哪个概率公式？⑵“按两次恰好按对”指的是什么事件？为何要按两次？隐含什么含义？第一次按与第二次按有什么关系？应选择哪个概率公式？⑶“最后一位是偶数”的情形有几种？“不超过2次就按对”包括哪些事件？这些事件相互之间是什么关系？应选择用哪个概率公式？【名师指引】⑴条件概率相当于随机试验及随机试验的样本空间发生了变化，事件A 发生的条件下事件B 发生的概率可以看成在样本空间为事件A 中事件B 发生的概率，从而得出求条件概率的另一种方法——缩减样本空间法 ⑵将条件概率的计算公式进行变形，可得概率的乘法公式)()()(A B P A P AB P =【新题导练】1.设 100 件产品中有 70 件一等品，25 件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1 件，求 (1) 取得一等品的概率；(2) 已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．题型2。
相互独立事件和独立重复试验[例2] (2010四川省成都市一诊)某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定．他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张．投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，他们的投票相互没有影响．规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目投资．（Ⅰ）求此公司一致决定对该项目投资的概率；（Ⅱ）求此公司决定对该项目投资的概率；[解题思路]： 注意相互独立事件和独立重复试验恰有k 次发生的区别【名师指引】 除注意事件的独立性外, 还要注意恰有k 次发生与指定第k 次发生的区别, 对独立重复试验来说,前者的概率为(1)k k n k n C p p --,后者的概率为(1)k n k p p --【新题导练】1. （湖南卷16）.（本小题满分12分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响.求：至少有1人面试合格的概率;2．（山东卷18）甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分， 答错得零分。
假设甲队中每人答对的概率均为32，乙队中3人答对的概率分别为21,32,32且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.（Ⅰ）求随机变量ε分布列； (Ⅱ)用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB ).考点二: 两点分布与超几何分布题型1: 两点分布与超几何分布的应用[例3] 高二（十）班共50名同学，其中35名男生，15名女生，随机从中取出5名同学参加学生代表大会，所取出的5名学生代表中，女生人数X 的频率分布如何？[解题思路]：5名学生代表中，女生人数有6种情况.[例4] 若随机事件A 在1次试验中发生的概率是p ，用随机变量ξ表示A 在1次实验中发生的次数。
（1）求方差ξD 的最大值；（2）求ξξE D 12-的最大值。
[解题思路]：（1）由两点分布，分布列易写出，而要求方差ξD 的最大值需求得ξD 的表达式，转化为二次函数的最值问题；（2）得到pp p p p E D 1221)(2122--=--=-ξξ后自然会联想均值不等式求最值。
【名师指引】在超几何分布中,只要知道N,M 和n,就可以根据公式求出X 取不同m 值时的概率P(X=m).【新题导练】1．在一个口袋中装有30个球，其中有10个红球，其余为白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.摸到4个红球就中一等奖，那么获一等奖的概率是多少？2．假定一批产品共100件，其中有4件不合格品，随机取出的6件产品中，不合格品数X 的概率分布如何？ 考点三: 独立重复试验与二项分布题型1: 独立重复试验与二项分布的应用[例6] 一口袋内装有5个黄球，3个红球，现从袋中往外取球，每次取出一个，取出后记下球的颜色，然后放回，直到红球出现10次时停止，停止时取球的次数ξ是一个随机变量，则)12(=ξP =______________。
（填计算式）[解题思路]：这是一个“12次独立重复试验恰有10次发生”的概率问题，同学们很容易由二项分布原理得到2101012)85()83()12(C P ==ξ，这就忽视了隐含条件“第12次抽取的是红球”，此种解法的结果包含着第12次抽取到黄球。
[例7] 某人对一目标进行射击，每次命中率都是0.25，若使至少命中1次的概率不小于0.75，至少应射击几次？[解题思路]：“至多”，“至少”问题往往考虑逆向思维法【名师指引】要熟练掌握二项分布的特征，更要注意挖掘题目信息中的隐含信息。
【新题导练】1. 广东深圳外国语学校2009—2010学年高三月考理 某科研小组进行某项科学实验的成功率为32。