乘法公式(练习加强版)
14.2 乘法公式教案 2022-2023学年人教版八年级数学上册
14.2 乘法公式教案 2022-2023学年人教版八年级数学上册一、教学目标1.掌握乘法公式的概念和基本用法；2.理解乘法公式在实际问题中的应用；3.能够灵活运用乘法公式解决具体问题。
二、教学重点1.理解乘法公式的概念；2.熟练应用乘法公式解决问题。
三、教学难点理解乘法公式在实际问题中的应用。
四、教学过程1. 导入通过一个实际问题导入本节课的内容，激发学生的思考和兴趣。
例如：某超市正在举办特价活动，A商品的原价为10元，现在打八折出售，你能快速计算出它的现价吗？2. 学习乘法公式•引导学生理解乘法公式的概念：乘法公式是指将两个或多个数相乘的表达式，一般用字母如a、b等表示。
•介绍乘法公式的基本形式：a × b = c，其中a和b是被乘数、乘数，c是积。
•给出一些示例，帮助学生理解乘法公式的具体运用。
3. 习题训练让学生在黑板上解答一些乘法公式相关的习题，巩固所学内容。
例如： - 计算：3 × 4 = ?，5 × 7 = ?； - 根据给出的乘法公式计算：12 × 6 = ?，8 × 9 = ?； - 利用乘法公式解决实际问题：张三身高1.6米，若每一步行走的距离为0.5米，他需要走多少步才能达到2.5米的目标？4. 拓展应用通过一些拓展应用题，帮助学生将乘法公式应用到实际生活中。
例如： - 根据乘法公式计算某商品的折扣价； - 计算某地每天用水50吨，连续用水5天，总共用水多少吨？5. 小结和提高对本节课所学的内容进行小结，帮助学生复习和巩固知识点。
同时，提出一些提高题，鼓励学生进行拓展思考。
例如：如果一个数与0相乘，结果是多少？如果两个数相乘的积为0，那这两个数之一一定为0吗？五、课堂练习让学生在课堂上完成一些习题，检验他们对乘法公式的掌握情况。
同时，教师可以对学生的答题情况进行及时批改，帮助他们加强对乘法公式的理解。
六、课后作业布置乘法公式相关的课后作业，要求学生独立完成并提交。
乘法口诀训练表模板
乘法口诀训练表模板一、乘法口诀表整体结构乘法口诀表由九九八十一条乘法公式组成，呈现出矩形网格状，按照从小到大的顺序排列。
二、乘法口诀表横向规律每一行相邻两个数相乘的结果等于行号，例如：1×1=12×1=2 2×2=43×1=3 3×2=6 3×3=9... ...九×1=9 九×2=18 九×3=27 ... 九×9=81三、乘法口诀表纵向规律每一列从上到下，因数的逐渐增大，乘积也逐渐增大。
例如：1×1=11×2=2 2×2=41×3=3 2×3=6 3×3=9... ...1×9=9 2×9=18 3×9=27 ... 9×9=81四、乘法口诀表对角线规律左上到右下对角线的数相乘的结果等于它们的行号与列号的和。
例如：1×1=1， 2×2=4， 3×3=9，... ...，9×9=81。
五、乘法口诀表特殊数字规律5的乘法口诀中，只有5和0没有出现在口诀中；如果一个因数的十位数字和另一个因数的个位数字相同，那么它们的乘积的十位数字和个位数字也相同。
例如：25×4=100， 65×8=520。
六、乘法口诀表应用题练习应用乘法口诀进行各种实际问题求解，如物品的数量、价格的计算等。
例如：一个书包的价格是25元，如果买4个这样的书包需要多少钱？答案为：4×25=100元。
七、乘法口诀表记忆方法在记忆乘法口诀表时，可以按照以下方法进行记忆：先从横行开始逐步记忆，然后转向纵向记忆，最后再按照对角线记忆。
同时，还可以结合一些记忆技巧，如联想记忆、故事记忆等，帮助自己更好地记忆乘法口诀表。
整式的乘法与因式分解（教师版）
整式的乘法与因式分解（教师版）整式的乘法与因式分解（学⽣加强版）⼀．整式的乘法【学习⽬标】1. 会进⾏单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算．2. 掌握整式的加、减、乘、乘⽅的较简单的混合运算，并能灵活地运⽤运算律简化运算. 【要点梳理】要点⼀、单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在⼀个单项式⾥含有的字母，则连同它们的指数作为积的⼀个因式.要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应⽤.（2）单项式的乘法⽅法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到⼀起进⾏有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进⾏计算；只在⼀个单项式⾥含有的字母，要连同它的指数写在积⾥作为积的⼀个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适⽤以上法则. 要点⼆、单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是⽤单项式去乘多项式的每⼀项，再把所得的积相加.即()m a b c ma mb mc ++=++.要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算⽅法，实质是利⽤乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是⼀个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每⼀项包括它前⾯的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从⽽得到最简的结果.要点三、多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先⽤⼀个多项式的每⼀项乘另⼀个多项式的每⼀项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn++=+++.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的⼆项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.【加强版练习题】1类型⼀、单项式与单项式相乘1、计算：（1）()()121232n n xy xy x z +??-?-?-（2）322325(3)(6)()(4)a b b ab ab ab a -+----．【答案与解析】解：（1）()()121232n n xy xy x z +??-?-?-()()()()121232n nx x x y y z +=-?-?- ???413n n x y z ++=-（2）322325(3)(6)()(4)a bb ab ab ab a -+----3222325936()16a b b a b ab ab a =+--333333334536167a b a b a b a b =--=-．【总结升华】凡是在单项式⾥出现过的字母，在其结果也应全都有，不能漏掉.注意运算顺序，有同类项，必须合并.类型⼆、单项式与多项式相乘2、计算：（1）(2)2(1)3(5)x x x x x x --+-- （2）2322(32)3(21)a a a a a a +--+-+【思路点拨】先单项式乘多项式去掉括号，然后移项、合并进⾏化简．【答案与解析】解：（1）(2)2(1)3(5)x x x x x x --+--2(2)(2)(2)(3)(3)(5)x x x x x x x x =+-+-+-+-+--2222222315411x x x x x x x x =----+=-+．（2）2322(32)3(21)a a a a a a +--+-+2322232(2)(3)(3)2(3)()(3)a a a a a a a a =++-+-+-+--+-3232326436333a a a a a a a a =+---+-=---．【总结升华】（1）本题属于混合运算题，计算顺序仍然是先乘除、后加减，先去括号等．混合运算的结果有同类项的需合并，从⽽得到最简结果．（2）单项式与多项式的每⼀项都要相乘，不能漏乘、多乘．（3）在确定积的每⼀项的符号时，⼀定要⼩⼼．举⼀反三：【变式】化简：x （x ﹣1）+2x （x+1）﹣3x （2x ﹣5）．【答案】解：原式=x 2﹣x+2x 2+2x ﹣6x 2+15x=﹣3x 2+16x ．3、先化简，再求值3a （2a 2﹣4a+3）﹣2a 2（3a+4），其中a=﹣2．【思路点拨】⾸先根据单项式与多项式相乘的法则去掉括号，然后合并同类项，最后代⼊已知的数值计算即可．【答案与解析】解：3a （2a 2﹣4a+3）﹣2a 2（3a+4）=6a 3﹣12a 2+9a ﹣6a 3﹣8a 2=﹣20a 2+9a ，当a=﹣2时，原式=﹣20×4﹣9×2=﹣98．【总结升华】本题考查了单项式乘以多项式以及整式的化简求值．整式的化简求值实际上就是去括号、合并同类项，这是各地中考的常考点．举⼀反三：【变式】若20x y +=，求332()4x xy x y y +++的值．【答案】解：332()4x xy x y y +++3223224x x y xy y =+++ 22(2)2(2)x x y y x y =+++，当20x y +=时，原式＝220020x y +=．类型三、多项式与多项式相乘4、若多项式21ax bx ++与2231x x -+的积不含3x 项，也不含x 项，求a 和b 的值．【思路点拨】缺项就是多项式中此项的系数为零，此题中不含3x 和x 项，也就是3 x 和x 项的系数为0，由此得⽅程组求解．【答案与解析】解：22(1)(231)ax bx x x ++-+4323222323231ax ax ax bx bx bx x x =-++-++-+ 4322(32)(32)(3)1ax a b x a b x b x =+-++-++-+∵乘积中不含3x 和x 项．∴ 32030a b b -+=??-=?，解得23a b =??=?．【总结升华】解此类问题的常规思路是：将两个多项式乘法依据乘法法则展开，合并同类项，再根据题意由某些项的系数为零，通过解⽅程（组）求解．举⼀反三：【变式】在()()22231x ax b x x ++-- 的积中，3x 项的系数是－5，2x 项的系数是－6，求a 、b ．【答案】解：()()22231x ax b x x ++--因为3x 项的系数是－5，2x 项的系数是－6，所以235a -=-，2316b a --=-，解得14a b =-=-，.⼆．因式分解（加强学习）1.提公因式法【学习⽬标】1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；2．能确定多项式各项的公因式，会⽤提公因式法将多项式分解因式. 【要点梳理】要点⼀、因式分解把⼀个多项式化成⼏个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，⽽不是针对单项式，是对这个多项式的整体，⽽不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把⼀个多项式分解到每⼀个因式不能再分解为⽌.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，⼆者不能混淆.因式分解是⼀种恒等变形，⽽整式乘法是⼀种运算.要点⼆、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式. 要点诠释：（1）公因式必须是每⼀项中都含有的因式.（2）公因式可以是⼀个数，也可以是⼀个字母，还可以是⼀个多项式. （3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最⼤公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.要点三、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中⼀个因式是各项的公因式m ，另⼀个因式是，即，⽽正好是除以m 所得的商，这种因式分解的⽅法叫提公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆⽤乘法分配律，即.（2）⽤提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第⼀项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第⼀项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）⽤提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0⽽出现错误.【加强版练习题】2类型⼀、因式分解的概念1、下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说明理由．（1）()a x y ax ay +=+；（2）2221(2)(1)(1)x xy y x x y y y ++-=+++-；（3）24(2)(2)ax a a x x -=+-；（4）221122ab a b =；（5）222112a a a a ??++=+．【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成⼏个整式的积的形式，从对象和结果两⽅⾯去判断. 【答案与解析】解：因为(1)(2)的右边都不是积的形式，所以它们都不是因式分解；(4)的左边不是多项式⽽是⼀个单项式，(5)中的21a 、1a都不是整式，所以(4)(5)也不是因式分解，只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以只有(3)是因式分解．【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆成⼏个单项式乘积的形式不能称为因式分解．等式的右边必须是整式因式积的形式．举⼀反三：【变式】下列变形是因式分解的是 ( )A.243(2)(2)3a a a a a -+=-++ B.2244(2)x x x ++=+ C. 11(1)x x x+=+ D.2(1)(1)1x x x +-=- 【答案】B ；类型⼆、提公因式法分解因式2、下列因式分解变形中，正确的是（）A ．()()()()1ab a b a b a a b a b ---=--+B ．()()()()262231m n m n m n m n +-+=+++ C ．()()()()232332y x x y y x y x -+-=--+ D ．()()()()2232x x y x y x y x y +-+=++【答案】A ；【解析】解：A.()()()()1ab a b a b a a b a b ---=--+，正确；B.()()()()2622331m n m n m n m n +-+=++-，故本选项错误；C.()()()()232332y x x y y x y x -+-=---，故本选项错误；D.()()()()223331x x y x y x y x xy +-+=++-，故本选项错误．【总结升华】解题的关键是正确找出公因式，提取公因式后注意符号的变化．找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最⼤公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．举⼀反三：【变式】下列分解因式结果正确的是（）A.a 2b+7ab ﹣b=b （a 2+7a ） B.3x 2y ﹣3xy+6y=3y （x 2﹣x ﹣2） C.8xyz ﹣6x 2y 2=2xyz （4﹣3xy ） D.﹣2a 2+4ab ﹣6ac=﹣2a （a ﹣2b+3c ）【答案】D.解：A 、原式=b （a 2+7a+1），错误；B 、原式=3y （x 2﹣x+2），错误；C 、原式=2xy （4z ﹣3xy ），错误；D 、原式=﹣2a （a ﹣2b+3c ），正确．故选D ．类型三、提公因式法分解因式的应⽤3、若a 、b 、c 为ABC ?的三边长，且()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-，则ABC ?按边分类，应是什么三⾓形？【答案与解析】解：∵()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-∴()()()()a b b a a b a c a b c a ---=---()()()()a b b a c a a b --=--当a b =时，等式成⽴，当a b ≠时，原式变为a b a c -=-，得出b c =，∴a b b c ==或∴ABC ?是等腰三⾓形.【总结升华】将原式分解因式，就可以得出三边之间的关系，从⽽判定三⾓形的类型. 4、对任意⾃然数n （n ＞0），422n n +-是30的倍数，请你判定⼀下这个说法的正确性，并说说理由. 【答案与解析】解：()44422222221152n n n n n n +-=?-=-=?∵n 为⼤于0的⾃然数，∴2n为偶数，15×2n为30的倍数，即422n n +-是30的倍数.【总结升华】判断422n n +-是否为30的倍数，只需要把422n n +-分解因式，看分解后有没有能够整除30的因式. 举⼀反三：【变式】说明200199198343103-?+?能被7整除.【答案】解：200199198343103-?+?()198219833431073=-?+=?所以200199198343103-?+?能被7整除.5、已知xy=﹣3，满⾜x+y=2，求代数式x 2y+xy 2的值．【思路点拨】将原式提取公因式xy ，进⽽将已知代⼊求出结果即可．【答案与解析】解：∵xy=—3，x+y=2，∴x 2y+xy 2=xy （x+y ）=﹣3×2=﹣6．【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．2.完全平⽅公式【学习⽬标】1. 能运⽤完全平⽅公式把简单的多项式进⾏因式分解.2. 会综合运⽤提公因式法和公式法把多项式分解因式； 3．发展综合运⽤知识的能⼒和逆向思维的习惯. 【要点梳理】要点⼀、公式法——完全平⽅公式两个数的平⽅和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平⽅．即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-.形如222a ab b ++，222a ab b -+的式⼦叫做完全平⽅式.要点诠释：（1）逆⽤乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平⽅公式的特点：左边是⼆次三项式，是这两数的平⽅和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平⽅.（3）完全平⽅公式有两个，⼆者不能互相代替，注意⼆者的使⽤条件. （4）套⽤公式时要注意字母a 和b 的⼴泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点⼆、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试⽤公式法；（3）如⽤上述⽅法也不能分解，那么就得选择分组或其它⽅法来分解（以后会学到）．要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为⽌．【加强版练习题】3类型⼀、公式法——完全平⽅公式 1、分解因式：（1）22363ax axy ay -+-；（2）42242a a b b -+；（3）2222216(4)x y x y -+；（4）4224816a a b b -+．【答案与解析】解：（1）222223633(2)3()ax axy ay a x xy y a x y -+-=--+=--．（2）42242222222()[()()]()()a a b b a b a b a b a b a b -+=-=+-=+-．（3）2222216(4)x y x y -+22222222(4)(4)(44)(44)xy x y xy x y xy x y =-+=++-- 22222(2)[(44)](2)(2)x y x xy y x y x y =+--+=-+-．（4）4224222222816(4)[(2)(2)](2)(2)a a b b a b a b a b a b a b -+=-=+-=+-．【总结升华】（1）提公因式法是因式分解的⾸选法．多项式中各项若有公因式，⼀定要先提公因式，常⽤思路是：①提公因式法；②运⽤公式法．（2）因式分解要分解到每⼀个因式不能再分解为⽌．举⼀反三：【变式】分解因式：（1）224()12()()9()x a x a x b x b ++++++．（2）22224()4()()x y x y x y +--+-．【答案】解：（1）原式22[2()]22()3()[3()]x a x a x b x b =++?+?+++22[2()3()](523)x a x b x a b =+++=++．（2）原式22[2()]22()()()x y x y x y x y =+-?+?-+-22[2()()](3)x y x y x y =+--=+．2、分解因式：22(33)(35)1x x x x +++++．【思路点拨】若将括号完全展开，所含的项太多，很难找到恰当的因式分解的⽅法，通过观察发现：将相同的部分23x x +作为⼀个整体，展开后再进⾏分解就容易了．【答案与解析】解：22(33)(35)1x x x x +++++ 22[(3)3][(3)5]1x x x x =+++++222(3)8(3)16x x x x =++++ 22(34)x x =++．【总结升华】在因式分解中要注意整体思想的应⽤，对于式⼦较复杂的题⽬不要轻易去括号．举⼀反三：【变式】若x ，y 是整数，求证：()()()()4234x y x y x y x y y +++++是⼀个完全平⽅数. 【答案】解：()()()()4234x y x y x y x y y +++++()()()()4423x y x y x y x y y =+++++22224(54)(56)x xy y x xy y y =+++++令2254x xy y u ++=∴上式2422222(2)()(55)u u y y u y x xy y ++=+=++ 即()()()()4222234(55)x y x y x y x y y x xy y +++++=++ 类型⼆、配⽅法分解因式3、⽤配⽅法来解决⼀部分⼆次三项式因式分解的问题，如：()()()()()()222282118 19 1313 24x x x x x x x x x --=-+--=--=-+--=+-那该添什么项就可以配成完全平⽅公式呢？我们先考虑⼆次项系数为1的情况：如2x bx +添上什么就可以成为完全平⽅式？2222()2222b b b x bx x x x++=+??+=+ ? ?????因此添加的项应为⼀次项系数的⼀半的平⽅.那么⼆次项系数不是1的呢？当然是转化为⼆次项系数为1了.分解因式：2352x x +-. 【思路点拨】提出⼆次项的系数3，转化为⼆次项系数为1来解决.【答案与解析】解：如2252352333x x x x ??+-=+- ??222555233663x x ??=++--?? ? ?25493636x =+-?? ???2257366x =+-?? ? ???575736666x x ?=+++- ?()1323x x ?=+-【总结升华】配⽅法，⼆次项系数为1的时候，添加的项应为⼀次项系数的⼀半的平⽅. ⼆次项系数不是1的时候，转化为⼆次项系数为1来解决. 类型三、完全平⽅公式的应⽤4、先仔细阅读材料，再尝试解决问题：完全平⽅公式x 2±2xy+y 2=（x±y）2及（x±y）2的值恒为⾮负数的特点在数学学习中有着⼴泛的应⽤，⽐如探求多项式2x 2+12x ﹣4的最⼤（⼩）值时，我们可以这样处理：解：原式=2（x 2+6x ﹣2）=2（x 2+6x+9﹣9﹣2）=2[（x+3）2﹣11]=2（x+3）2﹣22因为⽆论x 取什么数，都有（x+3）2的值为⾮负数所以（x+3）2的最⼩值为0，此时x=﹣3进⽽2（x+3）2﹣22的最⼩值是2×0﹣22=﹣22所以当x=﹣3时，原多项式的最⼩值是﹣22. 解决问题：请根据上⾯的解题思路，探求多项式3x 2﹣6x+12的最⼩值是多少，并写出对应的x 的取值．【答案与解析】解：原式=3（x 2﹣2x+4）=3（x 2﹣2x+1﹣1+4）=3（x ﹣1）2+9，∵⽆论x 取什么数，都有（x ﹣1）2的值为⾮负数，∴（x ﹣1）2的最⼩值为0，此时x=1，∴3（x ﹣1）2+9的最⼩值为：3×0+9=9，则当x=1时，原多项式的最⼩值是9．【总结升华】此题考查了完全平⽅公式，⾮负数的性质，以及配⽅法的应⽤，熟练掌握完全平⽅公式是解本题的关键．举⼀反三：【变式1】若△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ,且满⾜222166100a b c ab bc --++=，求证：2a c b +=. 【答案】解：22216610a b c ab bc --++()()()22222269251035a ab b b bc c a b b c =++--+=+--所以()()22350a b b c +--=()()2235a b b c +=-所以3(5)a b b c +=±-所以28a c b b c a +==-或因为△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，c a b -<，所以8b c a b =-<，⽭盾，舍去.所以2a c b +=.4.平⽅差公式【学习⽬标】1. 能运⽤平⽅差公式把简单的多项式进⾏因式分解.2. 会综合运⽤提公因式法和平⽅差公式把多项式分解因式； 3．发展综合运⽤知识的能⼒和逆向思维的习惯. 【要点梳理】要点⼀、公式法——平⽅差公式两个数的平⽅差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22a b a b a b -=+-要点诠释：（1）逆⽤乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平⽅差公式的特点：左边是两个数（整式）的平⽅，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套⽤公式时要注意字母a 和b 的⼴泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点⼆、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试⽤公式法；（3）如⽤上述⽅法也不能分解，那么就得选择分组或其它⽅法来分解（以后会学到）．要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为⽌．【加强版练习题】4类型⼀、公式法——平⽅差公式 1、分解因式：（1）2()4x y +-；（2）2216()25()a b a b --+；（3）22(2)(21)x x +--．【思路点拨】（1）把x y +看做整体，变形为22()2x y +-后分解．（2）216()a b -可写成2[4()]a b -，225()a b +可写成2[5()]a b +，4()a b -和5()a b +分别相当于公式⾥的a 和b ．（3）把(2)x +、(21)x -看作⼀个整体进⾏分解．【答案与解析】解：（1）222()4()2(2)(2)x y x y x y x y +-=+-=+++-．（2）222216()25()[4()][5()]a b a b a b a b --+=--+[4()5()][4()5()]a b a b a b a b =-++--+(9)(9)a b a b =+-- (9)(9)a b a b =-++．（3）22(2)(21)[(2)(21)][(2)(21)]x x x x x x +--=++-+--(31)(3)x x =+-．【总结升华】注意套⽤公式时要注意字母的⼴泛意义，可以是字母，也可以是单项式或多项式. 举⼀反三：【变式】将下列各式分解因式：（1）()()22259a b a b +--；（2）()22234x y x --（3）33x y xy -+；（4）32436x xy -；【答案】解：（1）原式()()()()5353a b a b a b a b =++-+--()()()()8228444a b a b a b a b =++=++（2）原式＝()()232232x y x x y x -+-- ＝()343y x y --（3）原式()()()22xy x y xy x y x y =--=-+- （4）原式()()()2249433x x y x x y x y =-=+- 2、分解因式：（1）2128x -+；（2）33a b ab -；（3）516x x -；（4）2(1)(1)a b a -+- 【答案与解析】解：（1）221112(16)(4)(4)888x x x x -+=--=-+-．（2）3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-．（3）5422216(16)(4)(4)(4)(2)(2)x x x x x x x x x x x -=-=+-=++-．（4）222(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)a b a a b a a b a b b -+-=---=--=-+-．【总结升华】（1）如果多项式的各项中含有公因式，那么先提取公因式，再运⽤平⽅差公式分解．（2）因式分解必须进⾏到每⼀个多项式的因式都不能分解为⽌．举⼀反三：【变式】先化简，再求值：（2a+3b）2﹣（2a﹣3b）2，其中a=．【答案】解：原式=（2a+3b+2a﹣3b）（2a+3b﹣2a+3b）=4a×6b=24ab，当a=，即ab=时，原式=24ab=4．类型⼆、平⽅差公式的应⽤3、阅读下⾯的计算过程：（2+1）（22+1）（24+1）=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）=（24﹣1）（24+1）=（28﹣1）．根据上式的计算⽅法，请计算：（1）（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣．【思路点拨】（1）原式变形后，利⽤平⽅差公式化简，计算即可得到结果；（2）原式变形后，利⽤平⽅差公式化简，计算即可得到结果．【答案与解析】解：（1）原式=2（1﹣）（1+）（1+）（1+）…（1+）=2（1﹣）（1+）（1+）…（1+）=2（1﹣）（1+）…（1+）=2（1﹣）=；（2）原式=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣=（32﹣1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣=（364﹣1）﹣【总结升华】此题考查了平⽅差公式，熟练掌握平⽅差公式是解本题的关键．5.⼗字相乘法及分组分解法【学习⽬标】1. 熟练掌握⾸项系数为1的形如pq x q p x +++)(2型的⼆次三项式的因式分解. 2. 基础较好的同学可进⼀步掌握⾸项系数⾮1的简单的整系数⼆次三项式的因式分解. 3. 对于再学有余⼒的学⽣可进⼀步掌握分数系数；实数系数；字母系数的⼆次三项式的因式分解.(但应控制好难度) 4. 掌握好简单的分组分解法. 【要点梳理】要点⼀、⼗字相乘法利⽤⼗字交叉线来分解系数，把⼆次三项式分解因式的⽅法叫做⼗字相乘法.对于⼆次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b=??+=? ，则()()2x bx c x p x q ++=++要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负⼊⼿，若0c >，则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据⼀次项系数b 的正负再确定p q 、的符号（2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为⽌.要点⼆、⾸项系数不为1的⼗字相乘法在⼆次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果⼆次项系数a 可以分解成两个因数之积，即12a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即12c c c =，把1212a a c c ，，，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于⼆次三项式2ax bx c ++的⼀次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么⼆次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）⼆次项系数a ⼀般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号⾥⾯的⼆次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于⼀个多项式的整体，若不能直接运⽤提公因式法和公式法进⾏因式分解时，可考虑分步处理的⽅法，即把这个多项式分成⼏组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题⽬进⾏分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常⽤的思路有：⽅法分组⽅法特点分组分解法四项⼆项、⼆项①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组三项、⼀项先完全平⽅公式后平⽅差公式五项三项、⼆项各组之间有公因式六项三项、三项⼆项、⼆项、⼆项各组之间有公因式三项、⼆项、⼀项可化为⼆次三项式要点四、添、拆项法把多项式的某⼀项拆开或填补上互为相反数的两项（或⼏项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进⾏分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进⾏变形.添、拆项法分解因式需要⼀定的技巧性，在仔细观察题⽬后可先尝试进⾏添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和⽅法.【加强版练习题】5类型⼀、⼗字相乘法1、分解因式： 22(1)(6136)x a x a a ++--+ 【答案与解析】解：原式＝()()()212332x a x a a ++---()()()()23322332x a x a x a x a =--+-=-++-【总结升华】将a 视作常数，就以x 为主元⼗字相乘可解决.举⼀反三：【变式】分解因式：23345xy y x y ++-- 【答案】解：原式2(34)35(35)(1)y x y x y x y =+-+-=+-+2、分解因式：【思路点拨】该题可以先将()2a a -看作⼀个整体进⾏⼗字相乘法分解，接着再套⽤⼀次⼗字相乘.【答案与解析】解：因为()()()22221214a a a a a a ----=--所以：原式＝[－2][－12]＝22(2)(12)a a a a ----＝()()()()1234a a a a +-+-【总结升华】⼗字相乘法对于⼆次三项式的分解因式⼗分⽅便，⼤家⼀定要熟练掌握. 举⼀反三：【变式】分解因式：222(3)2(3)8x x x x ----；【答案】解：原式()()223432x x xx =---+()()()()4112x x x x =-+-- 3、分解下列因式(1)22(1)(2)12x x x x ++++- (2)22(33)(34)8x x x x +-++- 【答案与解析】解：（1）令21x x t ++=，则原式222(1)1212(4)(3)(5)(2)t t t t t t x x x x =+-=+-=+-=+++- 2(2)(1)(5)x x x x =+-++（2）令23x x m +=，原式2(3)(4)820(5)(4)m m m m m m =-+-=+-=+- 222(35)(34)(4)(1)(35)x x x x x x x x =+++-=+-++【总结升华】此两道⼩题结构都⾮常有特点，欲分解都必须先拆开，再仔细观察每个式⼦中都存在⼤量相同的因式→整体性想法.整体性思路⼜称换元法，这与我们⽣活中搬家有些类似，要先将⼀些碎东西找包，会省许多事. 类型⼆、分组分解法4、分解因式：222332x xy y x y -++-+【思路点拨】对完全平⽅公式熟悉的同学，⼀看见该式，⾸先想到的肯定是式⼦中前三项恰好构成2()x y -，第4、5项→3()x y -. 【答案与解析】解：原式2()3()2x y x y =-+-+(1)(2)x y x y =-+-+【总结升华】①熟记公式在复杂背景下识别公式架构很重要；②我们前⾯练习中⽆论公式、配⽅、⼗字相乘⼀般都只涉及单⼀字母，其实代数式学习是⼀个结构的学习，其中任⼀个字母均可被⼀个复杂代数式来替代，故有时要有⼀些整体性认识的想法. 举⼀反三：【变式1】分解因式：（1）22a b ac bc -++（2）225533a b a b --+ （3）23345xy y x y ++--【答案】解：（1）原式()()()()()a b a b c a b a b a b c =+-++=+-+；（2）原式()()()()()()()225353553a b a b a b a b a b a b a b =---=+---=-+-；（3）原式233453(1)(1)(5)(1)(35)xy x y y x y y y y x y =++--=+++-=++-. 【变式2】因式分解：a 2﹣b 2﹣2a+1．【答案】解：a 2﹣b 2﹣2a+1=a 2﹣2a+1﹣b 2=（a ﹣1）2﹣b 2=（a ﹣1+b ）（a ﹣1﹣b ）．类型三、拆项或添项分解因式5、阅读理解：对于⼆次三项式x 2+2ax+a 2可以直接⽤公式法分解为（x+a ）2的形式，但对于⼆次三项式x 2+2ax ﹣8a 2，就不能直接⽤公式法了．我们可以在⼆次三项式x 2+2ax ﹣8a 2中先加上⼀项a 2，使其成为完全平⽅式，再减去a 2这项，使整个式⼦的值不变，于是⼜： x 2+2ax ﹣8a 2 =x 2+2ax ﹣8a 2+a 2﹣a 2=（x 2+2ax+a 2）﹣8a 2﹣a 2=（x+a ）2﹣9a 2=[（x+a ）+3a][（x+a ）﹣3] =（x+4a ）（x ﹣2a ）像这样把⼆次三项式分解因式的⽅法叫做添（拆）项法．（1）请认真阅读以上的添（拆）项法，并⽤上述⽅法将⼆次三项式：x 2+2ax ﹣3a 2分解因式．（2）直接填空：请⽤上述的添项法将⽅程的x2﹣4xy+3y2=0化为（x﹣）?（x﹣）=0并直接写出y与x的关系式．（满⾜xy≠0，且x≠y）（3）先化简﹣﹣，再利⽤（2）中y与x的关系式求值．【答案与解析】解：（1）x2+2ax﹣3a2=x2+2ax+a2﹣4a2=（x+a）2﹣4a2=（x+a+2a）（x+a﹣2a）=（x+3a）（x﹣a）；（2）x2﹣4xy+3y2=x2﹣4xy+4y2﹣y2=（x﹣2y）2﹣y2=（x﹣2y+y）（x﹣2y﹣y）=（x﹣y）（x﹣3y）；x=y或x=3y；故答案为：y；3y（3）原式===﹣，若x=y，原式=﹣2；若x=3y，原式=﹣23．【总结升华】此题考查了因式分解﹣添（拆）项法，正确地添（拆）项是解本题的关键．。
乘法口诀表(打印版)
一九得九 二九十八 三九二十七 四九三十六 五九四十五 六九五十四 七九六十三 八九七十二 九九八十一
1×1=1
乘法口诀表
1×2=2 2×2=4
1×3=3 2×3=6 3×3=9
1×4=4 2×4=8 3×4=12 4×4=16
1×5=5 2×5=10 3×5=15 4×5=20 5×5=25
1×6=6 2×6=12 3×6=18 4×6=24 5×6=30 6×6=36
1×7=7 2×7=14 3×7=21 4×7=28 5×7=35 6×7=42 7×7=49
1×8=8 2×8=16 3×8=24 4×8=32 5×8=40 6×8=48 7×8=56 8×8=64
1×9=9 2×9=18 3×9=27 4×9=36 5×9=45 6×9=54 7×9=63 8×9=72 9×9=81
1×6=6 2×6=12 3×6=18 4×6=24 5×6=30 6×6=36 一六得六 二六十二 三六十八 四六二十四 五六三十 六六三十六
1×7=7 一七得七
1×8=8 一八得八
2×7=14 二七十四
2×8=16 二八十六
3×7=21 三七二十一
3×8=24 三八二十四
4×7=28 5×7=35 6×7=42 7×7=49 四七二十八 五七三十五 六七四十二 七七四十九
ห้องสมุดไป่ตู้
一一得一
乘法口诀表
一二得二 二二得四
一三得三 二三得六 三三得九
一四得四 二四得八 三四十二 四四十六
一五得五 二五一十 三五十五 四五二十 五五二十五
一六得六 二六十二 三六十八 四六二十四 五六三十 六六三十六
一七得七 二七十四 三七二十一 四七二十八 五七三十五 六七四十二 七七四十九
提高小学生乘法技巧的练习题
提高小学生乘法技巧的练习题一、基础乘法运算1. 8 × 6 = ________2. 4 × 9 = ________3. 5 × 3 = ________4. 7 × 2 = ________5. 2 × 10 = ________二、扩展乘法运算1. 35 × 2 = ________2. 12 × 5 = ________3. 6 × 8 = ________4. 21 × 4 = ________5. 17 × 3 = ________三、乘法口诀表填入适当的数字：× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10----------------------------------------------1 | 123456789 102 | 2 4 6 8 10 12 14 16 18 203 | 3 6 9 12 15 18 21 24 27 304 | 4 8 12 16 20 24 28 32 36 405 | 5 10 15 20 25 30 35 40 45 506 | 6 12 18 24 30 36 42 48 54 607 | 7 14 21 28 35 42 49 56 63 708 | 8 16 24 32 40 48 56 64 72 809 | 9 18 27 36 45 54 63 72 81 9010| 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100四、填空练习1. 12 × ________ = 962. ________ × 7 = 493. 9 × ________ = 814. ________ × 4 = 245. 15 × ________ = 75五、解决问题1. 小明每天早上骑自行车上学，一共耗时10分钟。
初中数学各种公式(完整版)
初中数学各种公式(完整版) 初中数学公式大全1.乘法与因式分解① $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$② $(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$③ $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$④ $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$a-b)^2=(a+b)^2-4ab$2.幂的运算性质① $a^1=a$⑥ $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$② $a^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{a}$③ $(a^m)^n=a^{mn}$④ $a^m\times a^n=a^{m+n}$⑤ $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$⑦ $a^0=1(a\neq 0)$特别地：$a^{\frac{1}{2}}=\sqrt{a}$3.二次根式① $\sqrt{a^2}=a(a\geq 0)$② $|\pm a|=|a|$③ $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}$④ $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}\sqrt{b}(\text{其中}a>0,b\geq 0)$4.三角不等式a|-|b|\leq |a\pm b|\leq |a|+|b|(\text{定理})$；加强条件：$||a|-|b||\leq |a\pm b|\leq |a|+|b|$也成立，这个不等式也可称为向量的三角不等式（其中$a$，$b$分别为向量$a$和向量$b$）；a+b|\leq |a|+|b|$；$|a-b|\leq |a|+|b|$；$|a|\leq b\iff -b\leq a\leq b$；a-b|\geq |a|-|b|$；$-|a|\leq a\leq |a|$；5.某些数列前$n$项之和1+2+3+4+5+6+7+8+9+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}$；1+3+5+7+9+11+13+15+\cdots+(2n-1)=n^2$；2+4+6+8+10+12+14+\cdots+(2n)=n(n+1)$；1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+7^2+8^2+\cdots+n^2=\frac{n(n +1)(2n+1)}{6}$；1^3+2^3+3^3+4^3+5^3+6^3+\cdots+n^3=\frac{n^2(n+1)^2} {4}$；1\times 2+2\times 3+3\times 4+4\times 5+5\times 6+6\times 7+\cdots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$；6.一元二次方程对于方程：$ax^2+bx+c=0$：①求根公式是$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，其中$\Delta=b^2-4ac$叫做根的判别式。
人教版数学八年级上册教学设计《14-2乘法公式》(第3课时)
人教版数学八年级上册教学设计《14-2乘法公式》（第3课时）一. 教材分析《14-2乘法公式》是人教版数学八年级上册的教学内容，本节课主要介绍了完全平方公式和平方差公式的概念及其应用。
通过学习本节课，学生能够掌握完全平方公式和平方差公式的推导过程，理解其含义，并能灵活运用这两个公式解决实际问题。
教材中安排了丰富的例题和练习题，有助于学生巩固所学知识。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对公式、定理有一定的认识。
但在解决实际问题时，仍需加强对公式的理解和运用。
学生在学习过程中，可能对完全平方公式和平方差公式的推导过程存在一定的困惑，因此需要教师耐心引导，让学生逐步理解并掌握这两个公式。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握完全平方公式和平方差公式的推导过程，理解其含义，并能灵活运用这两个公式解决实际问题。
2.过程与方法：通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生的合作精神和沟通能力，提高学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力，使学生感受到数学在生活中的重要性。
四. 教学重难点1.教学重点：完全平方公式和平方差公式的推导过程，及其在实际问题中的应用。
2.教学难点：完全平方公式和平方差公式的灵活运用，解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入课题，激发学生的学习兴趣。
2.启发式教学法：教师引导学生思考，让学生自主探索，发现公式的推导过程。
3.小组合作学习：学生分组讨论，培养学生的合作精神和沟通能力。
4.练习法：布置适量的练习题，让学生在实践中巩固所学知识。
六. 教学准备1.课件：制作乘法公式的课件，包括教学内容、例题、练习题等。
2.教学素材：准备一些与生活相关的实例，用于导入新课。
3.练习题：挑选一些适合本节课的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活实例，如平方运算、面积计算等，引导学生思考乘法公式的应用。
专题学习-乘法公式
专题学习：乘法公式（练习加强版）〖平方差公式〗 22))((b a b a b a -=-+公式描述：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差公式特点：公式的一边是两个多项式相乘，其中有两项是相同的，有两项是相反的；另一边就等于相同项的平方减去相反项的平方。
特点利用：利用上述特点，首先可以判断一个式子可否用平方差公式计算，如果可以，就找出相同项与相反项，再平方后相减就可以了。
例：))((b a b a ---，观察可知b 是相同项，a 是相反项（不用管符号），所以就等于22a b -。
〖完全平方公式〗 2222)(b ab a b a +±=±公式描述：两数和（或差）的平方等于这两个数的平方和再加上（或减去）它们的积的两倍。
公式特点：① 公式的一边是一个和或差的平方，另一边就先将这两项平方相加（总是平方相加，不会出现差的形式），再加或减这两项积的2倍；② 如果完全平方公式底数中的两项同号，就用只含加号的公式；异号则用含减号的公式。
即：22)()(b a b a --=+，222)()()(a b b a b a -=+-=-【知识点一】直接套用公式进行运算〖例〗=-+)2)(2(b a b a 22224)2(b a b a -=-222224129)2(232)3()23(y xy x y y x x y x +-=+⋅⋅-=- 〖练习〗⒈ 根据乘法公式直接写出答案：① 2)12(-a ② )23)(23(x x +-＝ ③ 2)3(n m -＝ ④ )32)(32(b a b a --+-＝ ⑤ )2)(2(22+-x x ＝⑥ 2)32(y x --＝ ⑦ 2)23(b a +-＝⑧ )1)(1)(1)(1(24-+++x x x x ＝ ⑨ )1()1)(1)(1)(1)(1(64842+⋅⋅⋅++++-x x x x x x ＝ ⒉ 利用乘法公式进行因式分解：① 229y x -＝ ② 22254y x -＝ ③ 122-y x ＝④ 22)(c b a -+＝ ⑤ 14-x ＝⑥ 2244y xy x +-＝ ⑦ 2)()(816y x y x -+--＝⑧ 25)(20)(42++-+b a b a ＝ ⑨ 22)(9)(4b a b a --+＝【知识点二】辨别两个多项式相乘要选用哪一种乘法公式〖要点〗① 两个多项式相乘，如果既有相同项又有相反项，那么一定是用平方差公式；如果全是相同项或全是相反项，那么就要用完全平方公式。
二年级乘法口诀
二年级乘法口诀乘法口诀是二年级数学的重要学习内容，也是学生进行乘法运算的基础。
掌握乘法口诀能够帮助学生们更快速地计算乘法，提高计算效率。
在二年级的乘法口诀中，学生们需要掌握从1乘以1到9乘以9的所有乘法口诀。
这些口诀包括一一得一二得二二得一三得二三得三三得一四得二四得三四十四四十一五得二五一十、三五十四五二十、五五二十一六得二六十三六十四六二十五六三十、六六三十六等。
为了更好地掌握这些乘法口诀，学生们可以通过多种方式进行练习。
他们可以在课堂上跟随老师一起朗读口诀表，熟悉口诀的顺序和内容。
他们可以利用一些小卡片或小册子进行自我练习，反复背诵和默写乘法口诀。
还可以通过做一些有关乘法口诀的练习题来加深对口诀的理解和记忆。
在掌握乘法口诀的基础上，学生们可以进一步学习更复杂的乘法运算。
例如，他们可以学习如何计算两位数的乘法，如12乘以13，这需要用到乘法口诀中的“二三得六”和“二四得八”。
通过不断练习，学生们可以逐渐提高自己的乘法计算能力，并应用于实际生活中。
二年级乘法口诀是学生们学习数学的重要内容之一。
通过掌握乘法口诀，学生们可以更快速地计算乘法，提高计算效率，并为将来的数学学习打下坚实的基础。
因此，学生们应该多加练习，熟悉口诀的顺序和内容，并应用于实际生活中。
胚胎工程是指对动物____和____所采用的一系列技术的总称。
胚胎工程中的胚胎移植实际上是生产胚胎的供体和孕育胚胎的受体共同完成的一项工作，通过这项工作，使胚胎获得____和____，受体对移入子宫的外来胚胎基本不发生____反应，使胚胎在受体内的存活率提高。
胚胎分割可以看做动物无性繁殖或克隆的方法之一。
进行胚胎分割时，应选择发育良好、形态正常的桑椹胚或囊胚进行分割，这是因为此时的胚胎细胞数目较少，随着胚胎的发育，这些细胞将逐渐具有不同的分化能力，从而影响分割后胚胎的恢复和进一步发育。
对囊胚阶段的胚胎进行分割时要注意将____均等分割，否则会影响分割后胚胎的恢复和进一步发育。
人教版八年级数学上册教学设计14.2 乘法公式
人教版八年级数学上册教学设计14.2 乘法公式一. 教材分析人教版八年级数学上册的教学内容涉及平面几何、立体几何、代数、概率等多个方面，其中第14章“整式乘法”是基础也是重点。
本节课的内容“乘法公式”是整式乘法中的一个重要部分，主要包括平方差公式和完全平方公式的探究和应用。
平方差公式和完全平方公式在解决实际问题中有着广泛的应用，是学生必须掌握的基础知识。
二. 学情分析学生在七年级时已经学习了有理数的乘法、幂的运算等基础知识，对整式的乘法有了一定的了解。
但平方差公式和完全平方公式的推导和应用还需要通过实例和练习来加深理解。
此外，学生可能对公式的记忆和应用存在困难，需要通过反复练习和实际问题来提高应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能：掌握平方差公式和完全平方公式的推导过程和应用方法。
2.过程与方法：通过探究、合作、交流的方式，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极进取的精神。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式和完全平方公式的推导和应用。
2.难点：对平方差公式和完全平方公式的理解和灵活应用。
五. 教学方法采用探究式教学法、合作学习法和案例教学法。
通过引导学生自主探究、合作交流，以实际问题为载体，让学生在实践中理解和掌握平方差公式和完全平方公式。
六. 教学准备1.准备相关的基础知识和例题。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备练习题和测试题，以检验学生的学习效果。
七. 教学过程导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题：已知正方形的面积是20，求这个正方形的边长。
让学生思考如何解决这个问题，从而引出平方公式。
呈现（10分钟）1.平方差公式：a² - b² = (a + b)(a - b)2.完全平方公式：a² + 2ab + b² = (a + b)²，a² - 2ab + b² = (a - b)²通过讲解和示例，让学生理解平方差公式和完全平方公式的推导过程和应用方法。
初中数学公式大汇总(完整版)
数学公式及性质（完整版）1．乘法与因式分解①(a＋b)(a－b)＝a2－b2；②(a±b)2＝a2±2ab＋b2；③(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3；④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；(a－b)2＝(a＋b)2－4ab。
2．幂的运算性质①a m×a n＝a m+n；②a m÷a n＝a m-n；③(a m)n＝a mn；④(ab)n＝a n b n；⑤()n＝；⑥a-n＝，特别：()-n＝()n；⑦a0＝1(a≠0)。
3．二次根式①()2＝a(a≥0)；②＝丨a丨；③＝×；④＝(a＞0，b≥0)。
4．三角不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|（定理）；加强条件：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|也成立，这个不等式也可称为向量的三角不等式（其中a，b分别为向量a和向量b）|a+b|≤|a|+|b|；|a-b|≤|a|+|b|；|a|≤b<=>-b≤a≤b ；|a-b|≥|a|-|b|； -|a|≤a≤|a|；5．某些数列前n项之和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2；1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2；2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)；12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1) (2n+1)/6；13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4； 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3；6．一元二次方程对于方程：ax2＋bx＋c＝0：①求根公式是x＝，其中△＝b2－4ac叫做根的判别式。
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根。
沪教版数学七年级上册第9章第4节《乘法公式》教学设计
沪教版数学七年级上册第9章第4节《乘法公式》教学设计一. 教材分析《乘法公式》是沪教版数学七年级上册第9章第4节的内容，主要包括平方差公式和完全平方公式的引入、推导、理解和应用。
这两个公式是初中数学中重要的基础概念，对于学生来说，掌握乘法公式对于理解后续的代数知识和提高解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的混合运算、整式的乘法等知识，具备了一定的逻辑思维能力和运算能力。
但是，对于平方差公式和完全平方公式的推导过程和应用，可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，及时进行引导和解答疑问。
三. 教学目标1.理解平方差公式和完全平方公式的含义，掌握其推导过程。
2.能够运用平方差公式和完全平方公式进行计算和解决问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
4.培养学生合作学习、积极探究的学习态度。
四. 教学重难点1.重点：平方差公式和完全平方公式的推导过程及应用。
2.难点：平方差公式和完全平方公式的灵活运用。
五. 教学方法1.引导法：通过问题引导，让学生思考和探索乘法公式的推导过程。
2.案例分析法：通过具体的例子，让学生理解和掌握乘法公式的应用。
3.合作学习法：分组讨论，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，包括平方差公式和完全平方公式的推导过程、例题和练习题。
2.准备黑板、粉笔等教学工具。
3.准备相关的学习资料，以便学生在课堂上进行查阅和学习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾之前学过的知识，如整式的乘法、有理数的混合运算等，为新知识的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）介绍平方差公式和完全平方公式的定义和推导过程，让学生理解和掌握公式的来源。
3.操练（10分钟）给出一些具体的例题，让学生运用平方差公式和完全平方公式进行计算，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）给出一些练习题，让学生独立完成，检测学生对乘法公式的掌握程度。
小学四五六年级数学公式练习题
小学四五六年级数学公式练习题计算对于小学生来说是数学学习中必不可少的一部分，而数学公式是解决数学题目的重要工具。
在四五六年级阶段，学生们需要掌握一些基本的数学公式，并通过练习题来加强对这些公式的理解和应用。
本文将为小学四五六年级的学生提供一些数学公式的练习题。
一、四则运算的公式1. 加法公式：(1) 63 + 25 = ?(2) 108 + 42 = ?(3) 356 + 217 = ?(4) 1850 + 2754 = ?2. 减法公式：(1) 87 - 32 = ?(2) 185 - 79 = ?(3) 643 - 287 = ?(4) 3204 - 2157 = ?3. 乘法公式：(1) 6 × 7 = ?(2) 12 × 9 = ?(3) 25 × 16 = ?(4) 126 × 38 = ?4. 除法公式：(1) 45 ÷ 5 = ?(2) 81 ÷ 9 = ?(3) 168 ÷ 7 = ?(4) 296 ÷ 8 = ?二、面积和周长的公式1. 矩形的面积和周长公式：(1) 一块长为5米、宽为3米的矩形地面的面积是多少？(2) 一块长为12厘米、宽为8厘米的矩形纸片的周长是多少？2. 正方形的面积和周长公式：(1) 一块边长为6米的正方形地面的面积是多少？(2) 一块边长为15厘米的正方形纸片的周长是多少？3. 三角形的面积公式：(1) 一个底边长为8厘米，高为4厘米的三角形的面积是多少？(2) 一个底边长为15米，高为9米的三角形的面积是多少？三、体积和表面积的公式1. 立方体的体积和表面积公式：(1) 一块边长为4厘米的立方体的体积是多少？(2) 一块边长为5厘米的立方体的表面积是多少？2. 长方体的体积和表面积公式：(1) 一块长为6米、宽为3米、高为4米的长方体的体积是多少？(2) 一块长为10厘米、宽为5厘米、高为8厘米的长方体的表面积是多少？以上是一些小学四五六年级的数学公式练习题，希望能够帮助同学们巩固和应用所学的数学知识。
人教版数学八年级上册教学设计《14-2乘法公式》(第1课时)
人教版数学八年级上册教学设计《14-2乘法公式》（第1课时）一. 教材分析《14-2乘法公式》是人教版数学八年级上册的教学内容，本节课的主要内容是掌握乘法公式的概念、形式以及应用。
乘法公式是数学中基本的公式之一，对于学生来说，理解和掌握乘法公式对于后续的学习具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了有理数的乘法、分配律等基础知识，对于这些知识的理解和应用能力将影响到对本节课的理解。
同时，学生对于新知识的学习能力和兴趣也是需要考虑的因素。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解和掌握乘法公式的概念和形式，能够运用乘法公式进行计算。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流等方法，培养学生的数学思维能力和问题解决能力。
3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的自主学习能力和团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：乘法公式的概念和形式的掌握。
2.难点：乘法公式的运用和理解。
五. 教学方法1.自主学习：引导学生通过自主学习，理解和掌握乘法公式的概念和形式。
2.合作交流：学生进行小组合作，通过交流和讨论，共同解决问题。
3.实例分析：通过具体的实例，使学生理解和掌握乘法公式的运用。
六. 教学准备1.教材：人教版数学八年级上册。
2.课件：乘法公式的相关课件。
3.练习题：乘法公式的相关练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习有理数的乘法和分配律，引导学生进入对新知识的学习。
2.呈现（10分钟）通过课件，呈现乘法公式的概念和形式，引导学生理解和掌握。
3.操练（15分钟）让学生通过自主学习和合作交流，解决乘法公式的问题。
4.巩固（10分钟）通过练习题，使学生巩固对乘法公式的理解和掌握。
5.拓展（10分钟）引导学生运用乘法公式解决实际问题，提高学生的问题解决能力。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，使学生加深对乘法公式的理解。
7.家庭作业（5分钟）布置乘法公式的相关练习题，让学生巩固所学知识。
2024北师大版数学七年级下册1.6.3《乘法公式综合运用》教案3
2024北师大版数学七年级下册1.6.3《乘法公式综合运用》教案3一. 教材分析《乘法公式综合运用》是北师大版数学七年级下册1.6.3的教学内容。
这部分内容是在学生掌握了平方差公式、完全平方公式等乘法公式的基础上进行学习的。
通过这部分的学习，学生能够灵活运用乘法公式解决实际问题，提高他们的解决问题的能力。
二. 学情分析面对七年级的学生，他们在之前的学习中已经掌握了平方差公式、完全平方公式等乘法公式。
但是，他们在运用这些公式解决实际问题时，往往会存在理解不深、运用不灵活的情况。
因此，在教学这部分内容时，需要引导学生深入理解乘法公式的内涵，提高他们解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握乘法公式的运用方法，能够灵活解决实际问题。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养他们积极思考、勇于探索的精神。
四. 教学重难点1.重点：乘法公式的运用。
2.难点：灵活运用乘法公式解决实际问题。
五. 教学方法采用自主学习、合作交流、教师引导相结合的教学方法，让学生在探究中掌握知识，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的乘法公式的资料，以便在教学中进行查阅。
2.准备一些实际问题，让学生进行练习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问的方式，引导学生回顾之前学过的平方差公式、完全平方公式等乘法公式，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（10分钟）教师通过展示一些实际问题，让学生尝试运用乘法公式进行解决。
学生在解决问题的过程中，教师给予适当的引导和提示。
3.操练（10分钟）学生分组进行练习，教师给出一些运用乘法公式的问题，学生通过合作交流，共同解决问题。
4.巩固（5分钟）教师挑选一些学生解决的实际问题，让学生上台进行讲解，以此巩固乘法公式的运用。
5.拓展（5分钟）教师提出一些拓展问题，引导学生深入思考，提高他们解决问题的能力。
苏科版数学七年级下册《9.4 乘法公式》教学设计
苏科版数学七年级下册《9.4 乘法公式》教学设计一. 教材分析乘法公式是数学中的基本概念，苏科版数学七年级下册《9.4 乘法公式》这一节主要介绍了平方差公式和完全平方公式。
平方差公式是指两个数的平方差可以分解为它们的和与差的乘积，即 a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)；完全平方公式是指一个数的平方可以表示为它的两倍与一半的平方，即 (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2。
二. 学情分析学生在学习这一节之前，已经掌握了有理数的乘法、平方等基本运算，但对乘法公式的理解和应用可能还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过实例理解乘法公式的含义，并通过练习让学生熟练掌握公式的运用。
三. 教学目标1.理解平方差公式和完全平方公式的含义。
2.能够运用平方差公式和完全平方公式进行计算和解决问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.平方差公式和完全平方公式的理解和记忆。
2.能够灵活运用乘法公式解决实际问题。
五. 教学方法采用案例教学法、问题驱动法和小组合作法进行教学。
通过实例引导学生理解乘法公式的含义，通过问题驱动法激发学生的思考，通过小组合作法让学生在合作中学习和巩固知识。
六. 教学准备1.准备相关的实例和练习题。
2.准备课件和板书。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入乘法公式的话题，例如：已知一个正方形的边长为a，求它的面积。
引导学生思考如何用乘法公式来解决这个问题。
2.呈现（10分钟）呈现平方差公式和完全平方公式，并用实例解释这两个公式的含义和运用。
让学生通过观察和思考，理解公式的结构和特点。
3.操练（10分钟）让学生分组进行练习，运用平方差公式和完全平方公式进行计算。
教师巡回指导，及时解答学生的问题，并给予鼓励和评价。
4.巩固（10分钟）通过一些综合性的题目，让学生运用平方差公式和完全平方公式解决问题。
教师可以适时给予提示和指导，帮助学生巩固所学知识。
(完整版)初中数学各种公式(完整版)
④一次函数 y kx n k 0 的图像 l 与二次函数 y ax 2 bx c a 0 的图像 G 的交点，由
y kx n
方程组
y
ax2
bx
的解的数目来确定： c
a 方程组有两组不同的解时 l 与 G 有两个交点；
b 方程组只有一组解时 l 与 G 只有一个交点；
c 方程组无解时 l 与 G 没有交点。 ⑤ 抛 物 线 与 x 轴 两 交 点 之 间 的 距 离 ： 若 抛 物 线 y ax2 bx c 与 x 轴 两 交 点 为
2
②顶点式： y a x h k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
③交点式：已知图像与 x 轴的交点坐标 x1、 x2 ，通常选用交点式： y a x x1 x x2 。
（ 7）.直线与抛物线的交点 ① y 轴与抛物线 y ax 2 bx c 得交点为 (0, c )。
②抛物线与 x 轴的交点。 二次函数 y ax2 bx c 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x1 、 x2 ，是对应一元二次方程 ax 2 bx c 0 的两个实数根 .抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别
① c 0 ，抛物线经过原点 ; ② c 0 ,与 y 轴交于正半轴； ③ c 0 ,与 y 轴交于负半轴 . 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立 .如抛物线的对称轴在 y 轴右侧，则 b 0。
a
（ 6） .用待定系数法求二次函数的解析式
①一般式： y ax2 bx c .已知图像上三点或三对 x 、 y 的值，通常选择一般式 .
数学各种公式及性质
1． 乘法与因式分解 ①(a＋b)(a－b)＝a2－ b2；②(a±b)2＝a2±2ab＋b2；③ (a＋b)(a2－ab＋ b2)＝ a3＋b3； ④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝ a3－b3； a2＋b2＝(a＋ b)2－ 2ab；(a－b)2＝(a＋ b)2－4ab。
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专题学习：乘法公式（练习加强版）〖平方差公式〗 22))((b a b a b a -=-+公式描述：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差。
公式特点：公式的一边是两个多项式相乘，其中有两项是相同的，有两项是相反的；另一边就等于相同项的平方减去相反项的平方。
特点利用：利用上述特点，首先可以判断一个式子可否用平方差公式计算，如果可以，就找出相同项与相反项，再平方后相减就可以了。
例：))((b a b a ---，观察可知b 是相同项，a 是相反项（不用管符号），所以就等于22a b -。
〖完全平方公式〗 2222)(b ab a b a +±=±公式描述：两数和（或差）的平方等于这两个数的平方和再加上（或减去）它们的积的两倍。
公式特点：① 公式的一边是一个和或差的平方，另一边就先将这两项平方相加（总是平方相加，不会出现差的形式），再加或减这两项积的2倍；② 如果完全平方公式底数中的两项同号，就用只含加号的公式；异号则用含减号的公式。
即：22)()(b a b a --=+，222)()()(a b b a b a -=+-=-【知识点一】直接套用公式进行运算〖例〗=-+)2)(2(b a b a 22224)2(b a b a -=-222224129)2(232)3()23(y xy x y y x x y x +-=+⋅⋅-=- 〖练习〗⒈ 根据乘法公式直接写出答案：① 2)12(-a ② )23)(23(x x +-＝ ③ 2)3(n m -＝④ )32)(32(b a b a --+-＝ ⑤ )2)(2(22+-x x ＝⑥ 2)32(y x --＝ ⑦ 2)23(b a +-＝⑧ )1)(1)(1)(1(24-+++x x x x ＝ ⑨ )1()1)(1)(1)(1)(1(64842+⋅⋅⋅++++-x x x x x x ＝ ⒉ 利用乘法公式进行因式分解：① 229y x -＝ ② 22254y x -＝ ③ 122-y x ＝④ 22)(c b a -+＝ ⑤ 14-x ＝⑥ 2244y xy x +-＝ ⑦ 2)()(816y x y x -+--＝⑧ 25)(20)(42++-+b a b a ＝ ⑨ 22)(9)(4b a b a --+＝【知识点二】辨别两个多项式相乘要选用哪一种乘法公式〖要点〗① 两个多项式相乘，如果既有相同项又有相反项，那么一定是用平方差公式；如果全是相同项或全是相反项，那么就要用完全平方公式。
② 如果两个多项式互为相反数，就等于其中一个多项式的平方的相反数。
例：2)())((b a b a b a +-=--+〖练习〗① )32)(32(n m n m -+-＝ ＝②)5)(5(33m n n m -+＝ ③)1)(1(---xy xy ＝ ④)2.02)(22.0(x y y x -+＝【知识点三】了解乘法公式的几何意义 〖平方差公式的几何意义〗如图1，在边长为a 的正方形中截去一个边长为b 的正方形， 再通过割补法拼成如图2形状；分别用代数式表示两图面积为： 图1：22b a - 图2：))((b a b a -+ 两个图形面积相等，则有平方差公式。
〖完全平方公式的几何意义〗图3中，用两种方式表示大正方形的面积：图1图2① 等于边长的平方：2)(b a +② 等于图中4个小图形的面积和：ab b a 222++所以有第一个完全平方公式；试根据图4说明第二个完全平方公式：〖练习〗①如图5，将边长为a 的正方形截去一个边长 为b 的正方形，沿虚线剪开，再如图6拼成一个梯形， 根据这两个图形的面积关系可证得 公式。
② 如图7是一个长为2m ，宽为2n 的长方形，沿虚线 剪开，拼成如图8所示的正方形；则可以用两种方法 表示图8中的阴影部分面积：⑴ ⑵ 由此可得公式：（参知识点五）【知识点四】了解完全平方式，掌握配方法〖要点〗① 诸如222b ab a +±的代数式称为完全平方式，它可以写成2)(b a ±； ② 要了解完全平方式的特点，它有两个平方项，还有一项是两个平方项的底数的乘积的2倍； ③ 给出完全平方式的任意两项，要能根据其特点推出第三个项。
〖例1〗xy x 1292-+ ＝(x 3－ )2方法说明：先将29x 项改写成2)3(x ，将xy 12项提出一个2和x 3写成⋅⋅)3(2x ，则此空上应是y 2，再将其平方就是所求答案；所以第一空填24y ，第二空填y 2。
〖例2〗 2294y mxy x ++是完全平方式，则m ＝方法说明：先将两个平方项的底数写出：22)2(4x x =，22)3(9y y =，则中间项为±y x 322⋅⋅＝±xy 12 所以m ＝±12.注意，中间项都要考虑±两种情况，只在一种情况下只有一种符号，如： 若2294y mxy x ++＝2)32(y x -，则m ＝－12〖练习〗① +-x x 442 =( － )2 ② 2x + +29y =(x + )2③ 92+-mx x 是完全平方式，则m 的值为 ；④ --=--22)1(12a a a ；⑤ =++101242a a (2a + )2+ ； ⑥ 若6)2(2=-x ，则=+-742x x ；⑦ 利用配方法分解因式：562++x x ＝++x x 62－ ＝（x + )2－＝ ＝⑧ 已知054222=++-+y x y x ，求2013)(y x +的值。
（提示：配成两个平方式的和）⑨ 求代数式10024522++-+b ab b a 的最小值。
（提示：配成两个平方式的和加一个常数）⑩ 添加一个单项式，使12+x 成为一个完全平方式。
（提示：答案不止一个，请尽量找完全）图3图4图5图6图7图8【知识点五】特殊的完全平方公式及变形〖要点〗① 21)1(222±+=±aa a a ，此类常见题型见例1；② 在b a +或2)(b a +、b a -或2)(b a -、ab 、22b a +这四个代数式中，已知其中任意两个的值，可求出其余两个的值；相关公式变形有：ab b a b a 4)()(22+-=+或ab b a b a 4)()(22-+=-；ab b a ab b a b a 2)(2)(2222+-=-+=+2)()(22b a b a -++=；4)()(22b a b a ab --+=＝2)()(222b a b a +-+等等；（可参考《数学专页》第32期第4版文章）例1：已知x x 1+＝7，则221xx +＝2)1(2-+x x ＝49－2＝47例2：已知5=+y x ，6=xy ，则22y x +＝xy y x 2)(2-+=25－12=13〖练习〗① 已知x x 1-＝5，则221x x +＝ ，441xx +＝ ；② 已知6=-y x ，xy =3，则22y x +＝ ，2)(y x +＝ ；③ 已知x x 1+＝3，则221x x +＝ ，441xx +＝ ；④ 已知b a +＝5，ab ＝6，则22b a +＝ ；若b a +＝7，22b a +＝25，则ab ＝ ；⑤ 已知b a -＝3，22b a +＝5，则ab ＝ ；若b a +＝3，b a -＝5，则ab ＝ ；⑥ 已知b a +＝5，b a -＝1，则22b a +＝ ；若b a -＝1，ab ＝12，则22b a +＝ ；【知识点六】完全平方公式、平方差公式的综合运算⒈ 运用乘法公式进行计算：① 22)()(y x y x --+ ② 22)3()3(n m n m -+ ③ 22)32()32(b a b a --+④ )32)(94)(32(22b a b a b a --+ ⑤ )1)(1)(1(24a a a a ++-- ⑥ )941)(321)(213(2x x x -----⒉ 运用乘法公式进行因式分解：① 1222-+-y xy x ② 1224+-a a ③ 222)(9)(x y y x x ---【知识点七】利用乘法公式进行简便运算例：899964900002300)2300)(2300(29830222=-=-=-+=⨯39204480040000222002200)2200(1982222=+-=+⨯⨯-=-=〖练习〗⒈ 运用乘法公式进行计算：① 92×88 ② 32593160⨯ ③ 982④ 12011201320122+⨯⑤ 224951+ ⑥ 2001199920002⨯- ⑦2)2140( ⑧ 298.9⑨ 311684221)211)(211)(211)(211)(211(++++++（提示：用“借一还一”法）⒉ 利用乘法公式进行因式分解计算：① 1198992++ ② 15076757622⨯-+ ③ 229899- ④ 25991012522⨯-⨯⑤ 10001101119⨯⨯⨯ ⑥ )201311)(201211()511)(411)(311)(211(222222--⋅⋅⋅⋅⋅⋅----【知识点八】超出两项的乘法公式〖要点〗① 两个三项式相乘的平方差公式，解法参例1；② 底数为三项的完全平方公式：等于每一项的平方和再加上每两项的乘积的2倍，如：bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++例1：计算))((c b a c b a -++-解法1：将两个相反的项添加括号：原式＝[][])()(c b a c b a -+--＝22)(c b a --＝bc c b a 2222+--解法2：观察得相同项为a ，相反项为c b +-或c b -，根据平方差公式的特点：用相同项的平方减去相反项的平方，可得：原式＝22)(c b a --＝bc c b a 2222+--〖练习〗① )1)(1(++--n m n m ② )132)(132(++--y x y x③ 2)(c b a +- ④ 2)32(z y x -+ ⑤ 2)32(z y x --⑥ 2)121()121)(121(---+---b a b a b a （提示：将b a 21-看成一个整体计算更简单）。