锐角三角函数超经典讲义

锐角三角函数

知识点一：锐角三角函数

1、锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数。

2、锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即斜边的对边

A A ∠=

sin 。

3、锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即斜边的邻边

A A ∠=cos 。

4、锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即的邻边

的对边

A A A ∠∠=tan 。

sin α，cos α，tan α都是一个完整的符号，单独的 “sin”没有意义，其中α前面的“∠”一般省略不写；但当用三个大写字母表示一个角时，“∠”的符号就不能省略。 考点一：锐角三角函数的定义 1、在Rt△ABC 中，∠C=90°，cosB=5

4

，则AC ：BC ：AB=（ ）

A 、3：4：5

B 、5：3：4

C 、4：3：5

D 、3：5：4

2、已知锐角α，cosα=

3

5

，sinα=_______，tanα=_______。 3、在△ABC 中，∠C=90°，若4a=3c ，则cosB= = ______。 4、在△ABC 中，∠C=90°，AB=15，sinA=

1

3

，则BC 等于_______。 5、在△ABC 中，∠C=90°，若把AB 、BC 都扩大n 倍，则cosB 的值为（ ）

A 、ncosB

B 、1

n

cosB

C 、cos n B

D 、不变

考点二：求某个锐角的三角函数值——关键在构造以此锐角所在的直角三角形

例1、如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上的点，AE BC =，DF AE ⊥，垂足为F ，连接DE 。 （1）求证：ABE △DFA ≌△；

（2）如果10AD AB =，=6，求sin EDF ∠的值。

6、如图，在△ABC 中，∠A=60°，∠B=45°，AB=8，求△ABC 面积（结果可保留根号）。

注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三

7、如图（1），∠α的顶点为O ，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边OA 上有一个点P （3，4），则sin α=______ 8、如图（2）所示，在正方形网格中，sin ∠AOB 等于（ ） A 、

55

B 、

25

5

C 、

12

D 、2

9、如图（3），在ABC △中，90ACB ∠=，CD AB ⊥于D ，若23AC =，32AB =，则tan BCD ∠的值为（ ）

A 、2

B 、

2

2

C 、

63

D 、

33

10、如图（4），直径CD 为10的⊙A 经过点C (0，5)和点O (0，0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点，则∠OBC 的余弦值为( ). A 、

1

2

B 、

3

4

C 、

3

2

D 、

45

11、如图（5），A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为（ ）

A 、

12

B 、

13

C 、

14

D 、

24

12、如图（6），菱形ABCD 的边长为10cm ，DE ⊥AB ，3sin 5

A =

，则这个菱形的面积= cm 2

。

图（1） 图（2） 图（3） 图（4） 图（5） 图（6）

13、如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，sinB=

3

5

，点D 在BC 边上，且∠ADC=45°，DC=6，求∠BAD 的正切值。

14、如图，在正方形ABCD 中，M 为AD 的中点，E 为AB 上一点，且BE=3AE ，求sin ∠ECM。

15、如图，在梯形ABCD 中，AB∥DC，∠BCD=90°，AB=1，BC=2，tan∠ADC=2。

（1）求证：DC=BC

（2）E 是梯形ABCD 内一点，F 是梯形ABCD 外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF ，是判断△ECF 的形状，并证明你的结论；

（3）在（2）的条件下，当BE:CE=1:2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE 的值。

【知识点二】 30°、45°、60°的三角函数值

三角函数\锐角α

30°

45°

60°

sin α 21 22 23 cos α 23 2

2 2

1 tan α

3

3 1

3

考点一：利用特殊角的三角函数值进行计算 16、计算： （1）01

9(π4)sin 302

---- （2）2

01()

(32)2sin 3032

--+︒+-

（31

0182sin 45(2)3-⎛⎫

+-π- ⎪⎝⎭

（4）2sin45°＋3cos30°－

2

3

17、∠B 是Rt△ABC 中的一个内角，且sinB=

23，则cos 2

B

=（ ） A 、

2

1

B 、

23

C 、

2

2

D 、

2

1 18、在△ABC 中，a =3，b =4，∠C=60°，则△ABC 的面积为________。 19、Rt△ABC 中，∠C=90°，c =12，tanB=3

3

，则△ABC 的面积为（ ）

A 、363

B 、183

C 、16

D 、18