积分公式大全
高等数学积分公式大全
高等数学积分公式大全高等数学是一门非常重要的学科，在很多领域都有应用。
其中，积分学是高等数学中的一个重要章节。
积分可以理解为求解曲线图形下面的面积，不同类型的积分公式有着不同的概念和应用，下面，就为大家整理了一份高等数学积分公式大全，让大家对这个知识点有一个更全面的认识。
1. 常数积分公式$$\int kdx=kx+C$$2. 幂函数积分公式$$\int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$3. 指数函数积分公式$$\int e^xdx=e^x+C$$4. 对数函数积分公式$$\int \frac{1}{x}dx=\ln|x|+C$$5. 三角函数积分公式$$\int \sin xdx=-\cos x+C$$$$\int \cos xdx=\sin x+C$$6. 反三角函数积分公式$$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C$$$$\int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C$$$$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2-1}|+C$$7. 换元法积分公式$$\int f(u)du=\int f(u(x))\frac{du}{dx}dx$$8. 分部积分公式$$\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)dx$$9. 定积分公式$$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$10. 积分中值定理$$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$$这便是几种高等数学积分公式的介绍，这些公式是数学中不可或缺的知识点，掌握这些公式不仅有助于学生学好数学，还对应用数学的工作有相当多的帮助。
除了这些基本的积分公式之外，高等数学还涉及到一些比较复杂的积分公式，如多重积分、线性代数积分、微积分方程等等。
1. 多重积分公式多重积分是指对多元函数的积分，通常被用于几何问题、概率论问题和物理学问题中。
常见的不定积分公式大全
常见的不定积分公式大全一、基本积分公式。
1. ∫ kdx = kx + C（k为常数）- 例如，∫ 3dx = 3x + C。
2. ∫ x^n dx=frac{x^n + 1}{n+1}+C(n≠ - 1)- 如∫ x^2dx=frac{x^3}{3}+C，∫ x^(1)/(2)dx=(2)/(3)x^(3)/(2)+C。
3. ∫(1)/(x)dx=lnx+C- 注意这里绝对值的作用，当x>0时，∫(1)/(x)dx=ln x + C；当x<0时，∫(1)/(x)dx=ln(-x)+C。
4. ∫ e^x dx = e^x+C- 例如，∫ 2e^x dx = 2e^x + C。
5. ∫ a^x dx=(a^x)/(ln a)+C(a>0,a≠1)- ∫ 2^x dx=(2^x)/(ln 2)+C。
6. ∫sin xdx =-cos x + C- 例如，∫ 3sin xdx=- 3cos x + C。
7. ∫cos xdx=sin x + C- 如∫ 5cos xdx = 5sin x+C。
8. ∫(1)/(cos^2)xdx=tan x + C- 因为(d)/(dx)(tan x)=sec^2x=(1)/(cos^2)x。
9. ∫(1)/(sin^2)xdx =-cot x + C- 由于(d)/(dx)(-cot x)=(1)/(sin^2)x。
二、换元积分法相关公式（凑微分法）1. ∫ f(ax + b)dx=(1)/(a)∫ f(u)du（令u = ax + b）- 例如，∫sin(2x + 1)dx，令u = 2x+1，则du=2dx，所以∫sin(2x +1)dx=(1)/(2)∫sin udu=-(1)/(2)cos u + C=-(1)/(2)cos(2x + 1)+C。
2. ∫ x^n - 1f(x^n)dx=(1)/(n)∫ f(u)du（令u = x^n）- 如∫ x^2sin(x^3)dx，令u = x^3，du = 3x^2dx，则∫ x^2sin(x^3)dx=(1)/(3)∫sin udu=-(1)/(3)cos u + C=-(1)/(3)cos(x^3)+C。
积分公式大全
常 用 积 分 公 式(一）含有ax b +的积分（0a ≠） 1．d x ax b +⎰＝1ln ax b C a ++2．()d ax b x μ+⎰＝11()(1)ax b C a μμ++++(1μ≠-）3．d x x ax b +⎰＝21(ln )ax b b ax b C a +-++456．2d ()x x ax b +⎰＝21ln a ax b C bx b x+-++ 7．2d ()xx ax b +⎰＝21(ln )b ax b C a ax b++++ 8．22d ()x x ax b +⎰＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9．2d ()x x ax b +⎰＝211ln ()ax b C b ax b b x+-++（二)的积分10．x C +11．x ⎰＝22(3215ax b C a -12．x x ⎰＝22232(15128105a x abx b C a-+13．x⎰＝22(23ax b C a -14．2x＝22232(34815a x abx b C a -+ 15．(0)(0)C b C b ⎧+>+<16．2a b - 17．x＝b ⎰18．x＝2a +（三)含有22x a ±的积分 19．22d x x a +⎰=1arctan xC a a+ 20．22d ()n x x a +⎰=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n xn a x a n a x a ---+-+-+⎰21．22d x x a -⎰=1ln 2x aC a x a-++(四）含有2(0)ax b a +>的积分2223．2d x x ax b +⎰＝21ln 2ax b C a++24．22d x x ax b+⎰＝2d x b x a a ax b -+⎰25．2d ()xx ax b +⎰＝221ln 2x C b ax b++ 26．22d ()xx ax b +⎰＝21d a x bx b ax b --+⎰27．32d ()x x ax b +⎰＝22221ln 22ax b a C b x bx+-+ 28．22d ()x ax b +⎰＝221d 2()2x xb ax b b ax b +++⎰（五)含有2ax bx c ++(0)a >的积分29．2d x ax bx c ++⎰＝22(4)(4)C b ac C b ac +<+> 30．2d x x ax bx c ++⎰＝221d ln 22b x ax bx c a a ax bx c++-++⎰(0)a >的积分 31．＝1arshxC a+＝ln(x C ++ 32．C +33．xC34．x＝C +35．2x 2ln(2a x C ++36．2x ⎰＝ln(x C +++37．1lnaC a x +38．C +39．x 2ln(2a x C ++40．x ＝2243(25ln(88x x a a x C +++41．x ⎰C42．xx ⎰＝422(2ln(88x a x a x C +-++43．x a C +44．2d x x ⎰＝ln(x C x-+++(0)a >的积分45．＝1arch x xC x a+=ln x C ++ 46．C +47．x C48．x ＝C +49．2x 2ln 2a x C ++50．2x ⎰＝ln x C +++51．1arccos aC a x+52．C +53．x 2ln 2a x C ++54．x ＝2243(25ln 88x x a a x C -++55．x ⎰C56．xx ⎰＝422(2ln 88x a x a x C -++57．x x⎰arccos a a C x -+58．2d x x ⎰＝ln x C x-+++(0)a >的积分 59．＝arcsinxC a+ 60．C +61．x ＝C +62．x C +63．2x ＝2arcsin 2a x C a + 64．2x ⎰arcsinxC a-+65．1C a +66．C +67．x 2arcsin 2a x C a+68．x ＝2243(52arcsin 88x x a x a C a -+69．x ⎰＝C70．xx ⎰＝422(2arcsin 88x a x x a C a-++71．x a C +72．x ＝arcsin xC a-+(0)a >的积分73．2ax b C +++74．x22ax b C ++++75．x2ax b C -+++76．＝C +77．x 2C +78．x ＝C +79．x ＝((x b b a C --+80．x ＝((x b b a C --81．C()a b <82．x 2()4b a C -()a b < （十一）含有三角函数的积分 83．sin d x x ⎰＝cos x C -+84．cos d x x ⎰＝sin x C + 85．tan d x x ⎰＝ln cos x C -+ 86．cot d x x ⎰＝ln sin x C + 87．sec d x x ⎰＝ln tan()42xC π++＝ln sec tan x x C ++ 88．csc d x x ⎰＝ln tan2xC +＝ln csc cot x x C -+ 89．2sec d x x ⎰＝tan x C + 90．2csc d x x ⎰＝cot x C -+ 91．sec tan d x x x ⎰＝sec x C + 92．csc cot d x x x ⎰＝csc x C -+93．2sin d x x ⎰＝1sin 224x x C -+ 94．2cos d x x ⎰＝1sin 224x x C ++95．sin d nx x ⎰＝1211sin cos sin d n n n x x x x n n----+⎰ 96．cos d nx x ⎰＝1211cos sin cos d n n n x x x x n n ---+⎰ 97．d sin n x x ⎰＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n xn x n x ----⋅+--⎰98．d cos n x x ⎰＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n xn x n x---⋅+--⎰ 99．cos sin d m nx x x ⎰＝11211cos sin cos sin d m n m n m x x x x x m n m n -+--+++⎰ ＝11211cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n+----+++⎰ 100．sin cos d ax bx x ⎰＝11cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b -+--++-101．sin sin d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b -++-++-102．cos cos d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++-++-103．d sin xa b x +⎰tan xa b C ++22()a b >104．d sin x a b x +⎰C+22()a b <105．d cos x a b x +⎰)2xC +22()a b >106．d cos x a b x +⎰C +22()a b <107．2222d cos sin x a x b x +⎰＝1arctan(tan )bx C ab a + 108．2222d cos sin x a x b x -⎰＝1tan ln 2tan b x a C ab b x a ++-109．sin d x ax x ⎰＝211sin cos ax x ax C a a -+ 110．2sin d x ax x ⎰＝223122cos sin cos x ax x ax ax C a a a -+++111．cos d x ax x ⎰＝211cos sin ax x ax C a a ++112．2cos d x ax x ⎰＝223122sin cos sin x ax x ax ax C a a a+-+（十二）含有反三角函数的积分(其中0a >)113．arcsin d x x a ⎰＝arcsin x x C a114．arcsin d x x x a ⎰＝22()arcsin 24x a x C a -+115．2arcsin d x x x a ⎰＝3221arcsin (239x x x a C a ++116．arccos d x x a ⎰＝arccosxx C a-117．arccos d x x x a ⎰＝22()arccos 24x a x C a --118．2arccos d x x x a ⎰＝3221arccos (239x x x a C a -+119．arctand x x a ⎰＝22arctan ln()2x a x a x C a -++ 120．arctan d x x x a ⎰＝221()arctan 22x a a x x C a +-+121．2arctan d x x x a ⎰＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a -+++ (十三)含有指数函数的积分122．d xa x ⎰＝1ln xa C a + 123．e d axx ⎰＝1e ax C a +124．e d axx x ⎰＝21(1)e ax ax C a-+125．e d n axx x ⎰＝11e e d n ax n ax n x x x a a--⎰126．d xxa x ⎰＝21ln (ln )x x x a a C a a -+ 127．d nxx a x ⎰＝11d ln ln n x n xn x a x a x a a --⎰ 128．e sin d axbx x ⎰＝221e (sin cos )ax a bx b bx C a b -++ 129．e cos d axbx x ⎰＝221e (sin cos )ax b bx a bx C a b+++130．e sin d ax n bx x ⎰＝12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n--+ 22222(1)e sin d ax n n n b bx x a b n --++⎰131．e cos d ax n bx x ⎰＝12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n-++ 22222(1)e cos d ax n n n b bx x a b n--++⎰ （十四）含有对数函数的积分132．ln d x x ⎰＝ln x x x C -+ 133．d ln x x x ⎰＝ln ln x C +134．ln d n x x x ⎰＝111(ln )11n x x C n n +-+++ 135．(ln )d n x x ⎰＝1(ln )(ln )d n n x x n x x --⎰ 136．(ln )d m n x x x ⎰＝111(ln )(ln )d 11m n m n n x x x x x m m +--++⎰（十五）含有双曲函数的积分137．sh d x x ⎰＝ch x C +138．ch d x x ⎰＝sh x C +139．th d x x ⎰＝ln ch x C + 140．2sh d x x ⎰＝1sh224x x C -++ 141．2ch d x x ⎰＝1sh224x x C ++ （十六）定积分142．cos d nx x π-π⎰＝sin d nx x π-π⎰＝0 143．cos sin d mx nx x π-π⎰＝0144．cos cos d mx nx x π-π⎰＝0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩145．sin sin d mx nx x π-π⎰＝0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩ 146．0sin sin d mx nx x π⎰＝0cos cos d mx nx x π⎰＝0,,2m n m n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩ 147． n I ＝20sin d n x x π⎰＝20cos d n x x π⎰ n I ＝21n n I n-- 1342253n n n I n n --=⋅⋅⋅⋅- (n 为大于1的正奇数），1I ＝1 13312422n n n I n n --π=⋅⋅⋅⋅⋅-（n 为正偶数），0I ＝2π。
求积分公式大全高等数学
求积分公式大全高等数学在高等数学中，积分是微积分中的重要概念之一，用于求解函数的面积、体积、曲线的长度以及求解微分方程等问题。
常见的积分公式包括原函数的求法、基本积分公式、常用函数的积分公式等。
下面将介绍一些常用的积分公式。
1. 原函数的求法原函数是指对于给定函数f(x)，找到一个函数F(x)，使得F'(x)=f(x)。
常见的函数对应的原函数公式包括：- 常数函数的原函数：∫kdx = kx + C，其中k是常数，C是常数项。
- 幂函数的原函数：∫x^ndx = 1/(n+1)x^(n+1) + C，其中n不等于-1。
- 正弦函数的原函数：∫sinxdx = -cosx + C。
- 余弦函数的原函数：∫cosxdx = sinx + C。
- 指数函数的原函数：∫e^xdx = e^x + C。
2. 基本积分公式基本积分公式是指对于一些常见函数的积分形式，可以直接根据公式进行求解。
常见的基本积分公式包括：- 幂函数积分公式：∫x^n dx = 1/(n+1)x^(n+1) + C，其中n不等于-1。
- 三角函数积分公式：- ∫sinxdx = -cosx + C。
- ∫cosxdx = sinx + C。
- ∫sec^2xdx = tanx + C。
- ∫csc^2xdx = -cotx + C。
- 指数函数积分公式：∫e^xdx = e^x + C。
- 对数函数积分公式：∫1/xdx = ln|x| + C。
3. 常用函数的积分公式除了基本积分公式外，还有一些常用函数的积分公式：- 三角函数的复合函数积分公式：- ∫sin(ax)dx = -1/as * cos(ax) + C。
- ∫cos(ax)dx = 1/as * sin(ax) + C。
- ∫sec^2(ax)dx = 1/as * tan(ax) + C。
- ∫csc^2(ax)dx = -1/as * cot(ax) + C。
24个基本积分公式
24个基本积分公式24个基本积分公式是数学中常用的工具，它能帮助我们快速解决复杂的积分问题。
1.一个公式：恒积分公式，它是所有积分公式中最基本也是最重要的公式，它表示对某一函数$f(x)$的某一闭区间$[a,b]$进行积分，其公式如下：$$int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$$其中$F(x)$是$f(x)$的上原函数。
2.二个公式：幂积分公式，它也是一种常用的公式，它描述了当变量$x$的幂次为$n$时，$f(x)$的积分的公式如下：$$int x^nf(x)dx=frac{x^{n+1}}{n+1}f(x)-frac{n}{n+1}int x^{n-1}f(x)dx$$3.三个公式：复合公式，有时候积分可能会变得更加复杂，它描述了一种复合积分形式，其公式如下：$$int int_Rf(x,y)dydx=iint_Rf(x,y)dxdy$$其中$R$表示一个积分区域，$f(x,y)$表示函数。
4.四个公式：变量替代公式，当我们积分时，有时可能会用到变量替代的方法。
此时对于积分$int f(x)dx$，用变量$t$替代$x$，变量$t$的关于$x$的函数表达式为$t=t(x)$，当$x$的范围从$[a,b]$变为$[t_a,t_b]$时，这时需要用到变量替代公式，其公式如下：$$int_a^bf(x)dx=int_{t_a}^{t_b}f(t(x))t(x)dx$$ 其中$t(x)$表示$t$关于$x$的微分。
5.五个公式：指数积分公式，当我们积分某一函数$f(x)$关于$x$的幂为$n$时，能够用到指数积分公式，其公式如下：$$int x^ne^xdx=x^ne^x-nint x^{n-1}e^xdx$$6.六个公式：对数积分公式，当我们积分某一函数$f(x)$的流函数是一个对数函数的时候，可以用到对数积分公式，它的公式如下： $$int frac{1}{x}dx=ln|x|+C$$其中$C$是常量。
二十四个基本积分公式
二十四个基本积分公式积分是微积分的基本概念之一，它是对函数曲线下其中一区间的面积进行求解的操作。
在求解积分时，我们可以利用一些基本的积分公式来简化计算。
下面将介绍二十四个常用的基本积分公式。
1. $\int x^ndx = \frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$ （其中$n\neq -1$）这是幂函数的积分公式，对幂函数进行求积分时，指数加一后再乘以系数并且指数要除以新系数。
2. $\int \frac{1}{x}dx = \ln，x， + C$这是倒数函数的积分公式，对倒数函数求积分时，结果是该函数的自然对数的绝对值。
3. $\int e^xdx = e^x + C$这是指数函数的积分公式，对指数函数求积分时，结果是该函数本身。
4. $\int a^xdx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ （其中$a>0, a\neq 1$）这是以底数为常数的指数函数的积分公式，对这种函数进行求积分时，结果是该函数除以对数的底数再加上常数。
5. $\int \sin xdx = -\cos x + C$这是正弦函数的积分公式，对正弦函数求积分时，结果是该函数的负余弦。
6. $\int \cos xdx = \sin x + C$弦。
7. $\int \tan xdx = -\ln，\cos x， + C$这是正切函数的积分公式，对正切函数求积分时，结果是该函数的负对数的余弦的绝对值。
8. $\int \sec xdx = \ln，\sec x + \tan x， + C$这是正割函数的积分公式，对正割函数求积分时，结果是该函数的对数的正割加正切的绝对值。
9. $\int \cot xdx = \ln，\sin x， + C$这是余切函数的积分公式，对余切函数求积分时，结果是该函数的对数的正弦的绝对值。
10. $\int \csc xdx = \ln，\csc x - \cot x， + C$这是余割函数的积分公式，对余割函数求积分时，结果是该函数的对数的余割减余切的绝对值。
常见积分公式
常见积分公式事实上，所有的不定积分都可以当作积分公式来看，当然我们通常都只关注比较简单的那些，太复杂的也记不住啊。
常用的积分公式，指的是六大基本函数相关的一些不定积分。
首先是常量函数的积分公式。
包括：(1)∫0dx=C; (2)∫1dx=x+C; (3)∫adx=ax+C. a是任意常数。
虽然被积函数都是常量，但0的原函数是任意常数，而非0的常数的原函数却是一次函数.然后是幂函数：(3)∫x^adx=x^(a+1)/(a+1)+C (a≠-1,x>0).你可以对右边求导，就可以得到被积函数。
求导和不定积分可以看作是一个互逆的过程。
x大于0是为了防止偶数次号内有负数，或者分母是0，造成被积函数没有意义。
而a=-1时，却是另外一类不定积分，是原函数为对数函九有关的不定积分。
(4)∫1/xdx=ln|x|+C (x≠0); (5)∫1/(xlna)dx=log_a |x|+C(a>0, a≠1; x≠0);需要注意的是，当x>0时，不需要加绝对值符号。
否则就要加绝对值符号，这一点是很多人容易忽略的。
还有指数函数的不定积分公式：(6)∫e^xdx=e^x+C; (7)∫a^xdx=a^x/lna+C (a>0, a≠1).与三角函数有关的不定积分公式特别多，这里只分享比较简单的一些。
注意，不论是与三角函数有关的不定积分，还是与反三角函数有关的积分，它们一般都是成对出现的，而且两个积分之间总有某种交错对称的关系，注意观察，结合起来才容易记忆。
与三角函数有关的常用积分公式：(1)∫cosaxdx=1/a*sinax+C; ∫sinaxdx=-1/a*cosax+C(a≠0);当a=1时，就有∫cosxdx=sinx+C; ∫sinxdx=-cosx+C;其实所有的积分公式中，x都可以替换成中间变量u=ax，结果在原函数前面乘上一个1/a就可以了。
(2)∫(secx)^2dx=tanx+C; ∫(cscx)^2dx=-cotx+C;(3)∫secx·tanxdx=secx+C; ∫cscx·tanxdx=-cscx+C;(4)∫(sinx)^2dx=1/2*(x-sinxcosx)+C;∫(cosx)^2dx=1/2*(x+sinxcosx)+C;(5)∫dx/(1±sinx)=tanx?secx+C; ∫dx/(1±cosx)=-cotx±cscx+C;(6)∫dx/sinxcosx=ln|tanx|+C=ln|csc2x-cot2x|+C;注意，求不定积分的方法有很多，用不同的方法可能会得到不同的形式，所以千万不要一看到形式不同，就认为结果是错误的。
常见积分公式表
常见积分公式表常见积分公式表在微积分中，积分是一个重要的概念，它可以用来求解曲线下的面积、求解函数的原函数等。
而积分公式则是在求解积分过程中经常使用的一些公式，它们可以帮助我们简化计算，提高效率。
下面是一些常见的积分公式表：1. 基本积分公式：- ∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) + C，其中n不等于-1- ∫e^x dx = e^x + C- ∫a^x dx = (1/ln(a)) * a^x + C，其中a为常数且不等于1- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C- ∫cos(x) dx = sin(x) + C- ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C- ∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C- ∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C- ∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C2. 特殊函数积分公式：- ∫1/(1+x^2) dx = arctan(x) + C- ∫1/(√(1-x^2)) dx = arcsin(x) + C- ∫1/(√(x^2+1)) dx = ln(x + √(x^2+1)) + C- ∫e^x/(1+e^x) dx = ln(1+e^x) + C- ∫sinh(x) dx = cosh(x) + C- ∫cosh(x) dx = sinh(x) + C3. 三角函数积分公式：- ∫sin^n(x) dx = (-1/(n-1)) * sin^(n-1)(x) * cos(x) + (n-2)/(n-1) *∫sin^(n-2)(x) dx，其中n不等于1- ∫cos^n(x) dx = (1/(n-1)) * cos^(n-1)(x) * sin(x) + (n-2)/(n-1) *∫cos^(n-2)(x) dx，其中n不等于14. 指数函数积分公式：- ∫a^x ln(a) dx = (1/(ln(a))^2) * a^x + C，其中a为常数且不等于15. 分部积分公式：- ∫u dv = uv - ∫v du6. 替换积分公式：- ∫f(g(x)) g'(x) dx = ∫f(u) du，其中u = g(x)这些是常见的积分公式，掌握它们可以在求解积分时事半功倍。
高等数学积分公式大全
（二）含有 ax + b 的积分
2 ( ax + b) 3 + C 3a 2 11． ∫ x ax + bd x ＝ (3ax − 2b ) (ax + b )3 + C 2 15a 2 2 12． ∫ x ax + bd x ＝ (15a 2 x 2 − 12abx + 8b 2 ) ( ax + b) 3 + C 3 105a
24．
x2 x b dx ∫ ax 2 + bdx ＝ a − a ∫ ax2 + b
25．
dx 1 x2 ＝ ln ∫ x(ax 2 + b) 2b ax 2 + b + C
26．
∫x
2
dx 1 a dx ＝− − ∫ 2 2 ( ax + b) bx b ax + b
27．
ax 2 + b dx a 1 ＝ ln − +C 2 ∫ x 3 (ax 2 + b) 2b2 x 2bx 2
3．
∫ ax + bdx ＝ a
x
1
2
x2 1 ⎡1 ⎤ 4． ∫ dx ＝ 3 ⎢ (ax + b )2 − 2b (ax + b ) + b2 ln ax + b ⎥ + C ax + b a ⎣2 ⎦
5．
∫ x(ax + b) ＝ − b ln ∫x
2
dx
1
ax + b +C x
6．
dx 1 a ax + b ＝− + ln +C ( ax + b) bx b2 x
高数积分公式大全
高数积分公式大全高数积分公式大全在高等数学中，积分是一个重要的概念和工具。
积分公式是进行积分运算时的基本工具，掌握这些公式对于解题和推导都至关重要。
下面是一些常见的高数积分公式大全，希望对学习者有所帮助。
一、基本积分公式1. ∫xn dx = (1/n+1) xn+1 + C (n≠-1)2. ∫(1/x) dx = ln|x| + C3. ∫e^x dx = e^x + C4. ∫a^x dx = (1/ln(a)) a^x + C (a>0, a≠1)5. ∫sin(x) dx = -cos(x) + C6) ∫cos(x) dx = sin(x) + C7. ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C8. ∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C9. ∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C10. ∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C11. ∫sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C12. ∫csc(x) dx = ln|csc(x) - cot(x)| + C13. ∫tan(x) dx = -ln|cos(x)| + C14. ∫cot(x) dx = ln|sin(x)| + C15. ∫cot^2(x) dx = -cot(x) - x + C二、一些特殊函数的积分公式1. ∫e^ax sin(bx) dx = (1/(a^2 + b^2))e^ax (a sin(bx)- b cos(bx)) + C2. ∫e^ax cos(bx) dx = (1/(a^2 + b^2))e^ax (a cos(bx) + b sin(bx)) + C3. ∫si n^2(x) dx = (1/2)(x - sin(x)cos(x)) + C4. ∫cos^2(x) dx = (1/2)(x + sin(x)cos(x)) + C5. ∫sin^3(x) dx = -(1/3)cos^3(x) + (1/3)cos(x) + C6. ∫cos^3(x) dx = (1/3)sin^3(x) + (1/3)sin(x) + C三、三角替换公式1. ∫√(a^2 - x^2) dx = (1/2)(x√(a^2 - x^2) +a^2arcsin(x/a)) + C2. ∫√(x^2 + a^2) dx = (1/2)(x√(x^2 + a^2) + a^2ln|x + √(x^2 + a^2)|) + C3. ∫√(x^2 - a^2) dx = (1/2)(x√(x^2 - a^2) - a^2ln|x + √(x^2 - a^2)|) + C四、分部积分公式1. ∫u dv = uv - ∫v du，其中u和v是可微的函数。
积分公式大全
常用积分公式∫-一X = -A 3 卩(ax +b)2-2b(ax +b) +b 2l n ∣ax + b ∣∣+Cax b a 2(二)含有.ax b 的积分10. 『Jax+bdx = 2 J(aχ +b)3 +C L3a11.x 、.ax bdx = 飞(3ax-2b)∖(ax b)3C15a12. χ2 . ax bdx = 2^(15a 2χ2 - 12abx 8b 2) . (ax b)3C105a13.J —X dχ = -2y(ax -2b)'∕0x +b +C ^aX b 3a5.（一）含有ax 1.■ b 的积分(a = O)1ln aax + b + C 2. (ax b) 'dx =a (「)(ax S'1 C 「*)3.Xax b adx = p(ax + b - bln ax +b) + C 4. 6.dx x 2 (ax b)—b 2lnax b7.X 2dx (ax b)1=—2(ln ax + b + a9.(ax b)^dx=A (ax+b-2bln ax +b a-I ^)C ax b1 x(ax b)2b(ax b) b 2"dx ax b2（三）含有x2-a 2的积分.dx1 X19. -2 --- 2 = — arcta n 一 C ^x 2+a 2 a aF dxX2n — 3 FdX20 =—22、n2,22、n42.,2 2、n_J(X a )2(n - 1)a (X a )2(n - 1)a (X a )X 1 223. 1 —2 -- dx =——ln ax +b +C'ax +b 2ar dx J^a r et a √ab晶+c(bA0)IaX^HbJ ——ln2√-ab÷C (be O)+V-b2（四）含有ax ■ b（a 0）的积分22.14.dx,ax b百(3a2χ-4abx 8b2Z χ b C15.dx X M ax b2、、-bax b :-b(b 0) (b ：16.dx x 2 ax bax b a dX bx 2b x. ax b17.dxT dX = 2E b x” ax -b 18..ax bdx.ax b a X 2 x λ ax b21.dx =X -a1 2aIn ra .ax b - . b .aXbb234.24. X 2 dXax b dx 2 ^ ax b25. dx x(ax 2b)丄In2b2Xax 2 b 26. ILdxx 2(ax 2b)1bx27.dx 3x 3(ax 2b) 2b 2"28. 29.30. (A) 31. 32. 33. dx b ax 2b ax 2 bx 2rdx2 2 2 I(ax b) 2b( ax b) 2b ax 2 bdx^2-含有ax 2bx c (a 0)的积分I L dxax 2 bx C-arctan —2J C4ac - b 2 ______ In、b 2- 4ac戶 dx =— ax bx C 2a ∙. 4ac _ b 22ax b - ∖,b 2 -4ac 2ax b . b 2 - 4acdx 2 _2(b ：：4ac)C (b 2 4ac)In aχ2 + bx + c . 2 2a ' ax “ + bx + c 含有'.X 2 a 2 (a ■ 0)的积分 dx ■- x 2a 2 dx .(x 2 a 2)3arsh — C 1= In(x . x 2 a 2) C a a ⅛⅛ C^x^a2 dx =x 2 a 2C1dx = - ---- == C.(x 2 a 2)3■ x 2 a 235.36.37.38.39.40.41 .42.43.44.45.46.47.,x2aX r 2 2 a 2 2=dx = . x a ln(x .. X a ) C2 2 22 2、3dX = ----- 2——f ln X ' X^)C(X2 a2)X- adxx i x2 a2 a1 . x2 a2-a=—In C2dxx2', x2a2「rdx = ?|n(x .r> Cj√(x2 a2)3dx = -(2x2■ 5a2). x2 a2■ -3 a4 ln(x8 C[χjχ2 +a2dx =—L32 2、3x2 x2 a2dx = x s 2-2(2 x a)∖ x2 a2ln(X x2^X^dX =J K+aln 迂a—a +C2 22 a2) Ca2) C —-dx —三x2a2In(x ' x2a2) C含有.χ2 -a2 (a 0)的积分dX2 2X -adX=—arch X +C1=In X+ 寸x2_a2+C√X2-a2)32 2dX=χ2_a2CXPdX = - . 212+C-a ). x - a2IX r~2T a Idx = — ■ X -a In2XIX x 2 - a 21=—arccos —aXdx2 22 2.X -a . dx = X含有∙.a 2 -x 2(a 0)的积分X=arcsιn C a2 248.49.50.51 .52.53.54.55.56.57.58.(A)59.60.__________ _______________________ 2 .,口dx =号lnC2 X(X 2 _a 2)3dx = ∙x X (2χ2「5a 2)、χ2 _a 8 I L χjχ2 -a 2dx = I J (X 2 _a 2)3 + C L 3 + 3a 4∣n X 8+ 4—a 2 +Cx 2、F d X = j 2χ2 -血F4 __________-——ln x +P x -a +C 8-2 2 X -a I 2 dx = X'2 2X -a + In x + • χ2 -a 2『 dx.(a 2-X 2)3-+c2 2 2 a a -XX * 2j∣l 2 2XrX -a2.(x^a 2)3dx =Vx 2 -a 2 -aarccos∙aΛ dx—a 2=χ2dx XJ / 2X2 dx = -d a2—x 2 +C-X2X 2 2 a ∙ x—.a -X arcsIn C2 2aIX. X Xdx 1 I -------- =—lna 2 -x 2 a■; 2 2^y a -X +CX ∕aC a Xdx == - arcs InC,(a 2-X 2)3z 2-x 2a61.62. 63.64.65.66.67.68. 69. 70. 71 .72. (九) 73.dx x 2 . a 2 -x 2 __________ ______________________ 2 ∣"J a 2 -x 2dx = X J a 2 _x 2+ — arcsin — +C 2 2 a ! ；(a 2 _x 2)3dx = ；(5a 2 _2x 2) . a 2 _x2 J x √a^7dx =一 3 JU-a 4 arcsin X C8 a__________ ______________________________________ 4 χ2 -a 2-χ2dx = △(2χ2-a 2)、a 2-χ2 - arcsin' C 8 8 a '22 —a —dx =、a 2「x 2 a ln X J2 2a _ ‘aX C _2 2 -2 2' a —x 」 a -xXC 2 dx = arcs In C X X a 含有' -ax 2 bx c (a 0)的积分dx =丄 ∙. ax 2bx c I aIn 2ax+b+2寸a Jax 2 + bx + c +C I . _______ dx = .(a 2 -x 2)31+C.a 2-x 22f , X dx = J Il 2 2.a -XX474. 22ax b - 2ax bx CdX = --------- ax bx C4a4ac- b 1」8苛l2ιx b 2a ax bx C C 75. .ax 2bx Cdx=丄 J aχ2+ bx +c a22 x b 2 a76. dxIC bx -aχ21 2ax - b 〒arcsin :2 +C a ,b 4ac77. C bx -ax 2dx2ax一b2 bx-aχ2 4ab 2 4ac . 2ax-barcs InC8 a b 2 4ac78. -dx-C bx - axIJ C +bx -aχ2a+ Aarcsin 卓』+C 2 ∖ a 3 ■- b 24ac或、.（x 「a ）（b 「x ）的积分81. 82.79. 80. 含有*兰(X 一 b)J^b W a)In(J(b - a)arcs in »I-_ +C b-x (x-b)x - a b-xX 「a+』x _b )+c∙,(x -a)(b -x)2arcsin+C (a c b)'∙. (x -a)(b _ x)d2x 「a -b X = ---------■ (x -a)(b-x) + 守arcsin 后+ C(a ：： b)（十一）含有三角函数的积分83. Si nxdx = - CoSX CCoSXdX = Sin x CI L tan XdX = —In cosx∣ +C∫cot XdX = ln Sinx +CJT X[secxdx = ln tan(上+—)+C = ln secx +tanx +C 4 2Xfcscxdx = ln tan—+c = ln cscx—cotx +CL22SeC XdX = tan x CCSC XdX = - cot X CSeCX tan XdX = SeCX CCSC X cot XdX = -CSCX CX 1 sin2x C2 42 X 1cos XdX = Sin 2x C2 4I- m ・ n I cosXSin XdX m -1・n十cos XSin X I- m-2 ・ n I cos XSin XdX84.85.86.87.88.89.90.91.92.93.94.95.96.97.98.99. 100.cos n XdX1 n 4 . n-∙1cos XSin xCOS n^XdXn ndx —1cos x n-2dxnSin X n -1n 4Sin X n -1!・ n _2Sin Xdx1Sin X n-2dxncos X n -1+nJ An-2 cos XSin n XdX =-丄Sinn 4xcosx ■ n―-n nm ・ n-2 Icos XSin XdX sin1 2 XdX =Sin n d XdXSin ax COSbXdX =-12(a b)cos(a b)x -12(a -b)cos(a -b)xX ata n b 22arctan C a 「b . a -b上叫I :二;X a b tan 2lb-a1 1 XSin axdx = —2 Sin ax X cosax Ca a「2. .42 +2 +2 +QX Sin axdx = X cosax 2 xsInaX 亍 cosax Ca a a1 1XCOSaXdX = 2cosax XSin ax Ca ax 2 COSaXdX = 1x 2s in ax Wxcosax--^s in ax Ca a a(十二)含有反三角函数的积分(其中 a 0) X X f 22113.arcs in dx = XarCS in a - x Ca a4barctan(- tan x) C ab aSin ax S inbxdx =cosax COSbXdX =12( a b) 1 2(a b)sin(a b)xsin(a b)x12(a -b) 12(a -b) Sin(a -b)x Sin(a 「b)X C 101. 102.103.104.105.106.107.10 8. 109. 110. 111. 112. f_______ dx _______ a 2 cos 2X b 2sin 2 X abfdx .^^2 2 Γ^2 ~- 2-a cos x -b Sin X丄ln 2ab bta n x abtan x -a dx(a 2 b 2)a bsin X(a 2 ：：(a 2 b 2)dx lna ba bcosx2 2, .X X a 、 . XX 口 -------- 2 C 114.XarCSIn dx = ( )arcsιn a -X Ca 2 4 a 4 3 d__________X ∙ X 1 2 2 ~2 2=—arcsIn (X 2a )、a -X C3 a 9x 2arccos 二dx = arccos x -l(x 2 2a 2) , a 2 - x 2Ca 3a 9119.arctan xdx = Xarctan°-aln( a 2 x 2) C a a 2X 1 2 2 X a120.XarCtan dx = (a X )arctan X Ca 2 a 2 332X X Xa 2 a22121.X arctan —dx = arctan Xln(a X)Ca 3 a 66（十三）含有指数函数的积分115.X 2 arcsin X dX a 116.arccos jX dX = aXarCCOS — -?.a ^ X 2 Ca 117.2 X* ZXXarCCos-dx =(—a 22 _______________________________J arccos HLC118.122 .123 .124 . 125 .126 . 127 .1a x dx = ----- a x Cln aax 1 axe dx = e CaXe aX dX = -12 (ax -1)e ax Can ax 1 n ax n n 4 ax .XedX = X e XedXa a LXa X dX = a x 12 a x Cln a (ln a)X n a X dX= 1nX aln ae ax Sin bxdx =e ax cos bxdx =n n 4 X IXadX ln a1a2 b2e ax(asinbx -bcosbx) C1a2 b2e ax(bs inbx a COSbX) C139. thxdx = In ChX C 140.sh 2xdx = -X-sh2x C2 4 r 2 X I 1 丄141.Ch XdX = sh2x C4(十六)定积分ππ 142.cos nxdx = Sin nxdx = 0-π -π.π143.COSmXS in nxdx = 0-πI - ax・ n . I130. e Sin bxdx22 2 eaxsin n 'bx(asin bx - nbcosbx)a bn仲Iefn^bxdxa bnI BaX n . I131. e CoS bxdx1axa 2b 2n 2en _1cos bx(a cosbx nbsinbx)n(n -1)b 2 +-2 I2 2 a bne ax cos n 工 bxdx （十四）含有对数函数的积分132. In XdX = XIn x -x C 133. dx xln X=Inln X +C134. X n In XdX =(In 135. (In x)ndx = x(ln x)n1X) - C n +1n Λdx _ n (In X) m 1 nX （In X ） m 1（十五）含有双曲函数的积分136.x m(ln x)ndx =nx m (ln x)nj dx137. ShXdX = ChX C 138.ChXdX = ShX C二0, m n 144. COSmXCOS nxdx =I , m = nln.X - ax 2., x 2_ a 21m ^⅛ .n4 丄n —1cos XSi n Xm nm n- 0, m = n145. Sinm XSi nnxdx = 入 ■:≈, m = n146. 卩，π πSin mxsin nxdx = COSmXCOSnxdx =' LOI —, m = n2147. I n ππO2Sin n XdX = ∫02 CoS n XdX I nn -1 I n 1n_2I nn - 3 ... n -2 n -3（n 为大于1 的正奇数），I i = 1n -2Jl4 2 2（n 为正偶数）。
积分公式大全
x2 a2dx ＝ x x2
a2
a2 ln( x
2
2
x 2 a2 ) C
40．
( x2 a2 )3 dx ＝ x (2 x2 5a 2) x2 a 2 3 a4 ln( x
8
8
41． x x2
a2dx ＝ 1
2
(x
23
a)
C
3
x2 a2 ) C
42． x 2 x 2
a2 dx ＝ x (2 x 2 a 2) x 2 a 2 8
x2 a2 C
56． x 2 x 2
a2 dx ＝ x (2 x 2 a 2) x 2 a 2 8
a4 ln x
8
x2 a2 C
57．
x2 a2 dx ＝ x2 a2
a a arccos
C
x
x
58．
x2 x2
a 2 dx ＝
x2 a 2 ln x x
x2 a2 C
（八）含有 a2 x2 (a 0) 的积分
mn
mn
＝
1 cosm 1 x sinn 1 x n 1 cosm x sin n 2 xdx
mn
mn
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8
—
100． sin ax cosbxdx ＝
1 cos(a b)x
1 cos(a b) x C
2( a b)
2( a b)
101． sin ax sin bxdx ＝
1 sin( a b) x
x2
2
dx ＝ x
ax b a
b dx a ax2 b
2
25．
dx x(ax 2
＝
b)
1 2b
高等数学积分公式大全
常 用 积 分 公 式（一）含有ax b +的积分(0a ≠) 1．d x ax b+⎰＝1ln ax b C a++2．()d ax b x μ+⎰＝11()(1)ax b C a μμ++++（1μ≠-）3．d x x ax b+⎰＝21(ln )ax b b ax b C a+-++4．2d xx ax b+⎰＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ⎡⎤+-++++⎢⎥⎣⎦ 5．d ()xx ax b +⎰＝1ln ax b C b x +-+6．2d ()xx ax b +⎰＝21lna axb C bx bx+-++7．2d ()x x ax b +⎰＝21(ln )b ax b C aax b++++8．22d ()xx ax b +⎰＝231(2ln )bax b b ax b C aax b+-+-++9．2d ()x x ax b +⎰＝211ln()ax b C b ax b bx+-++的积分10．x ⎰＝C11．x ⎰＝22(3215ax b C a-+12．x x ⎰＝22232(15128105a x abx b C a-+13．x⎰＝22(23ax b C a-+14．2x⎰＝22232(34815a x abx b C a-+15．⎰(0)(0)C b C b ⎧+>⎪<⎪⎩16．d x ⎰＝2a bxb --⎰17．x x ⎰＝b ⎰18．2d x x⎰＝2ax-+⎰（三）含有22x a ±的积分 19．22d x x a+⎰=1arctanx C aa+20．22d ()nx x a +⎰=2221222123d 2(1)()2(1)()n n xn xn a x a n axa ---+-+-+⎰21．22d x x a-⎰=1ln 2x a C ax a-++（四）含有2(0)ax b a +>的积分22．2d x ax b+⎰＝(0)(0)Cb Cb ⎧+>⎪⎪⎨+<23．2d x x ax b+⎰＝21ln 2ax b C a ++ 24．22d xx ax b+⎰＝2d x bxaa axb-+⎰25．2d ()xx ax b +⎰＝221ln2xC bax b++26．22d ()xx ax b +⎰＝21d axbxb axb--+⎰27．32d ()x x ax b +⎰＝22221ln22ax b a C bxbx+-+28．22d ()x ax b +⎰＝221d 2()2x xb ax b b axb+++⎰（五）含有2ax bx c ++(0)a >的积分29．2d x ax bx c ++⎰＝22(4)(4)C b ac Cb ac +<⎨+>30．2d x x ax bx c++⎰＝221d ln 22b xax bx c aaaxbx c++-++⎰(0)a >的积分 31．⎰＝1arshx C a+＝ln(x C ++32．⎰C +33．x ⎰C34．x ⎰＝C -+35．2x ⎰2ln(2ax C ++36．2x ⎰＝ln(x C -+++37．⎰1lnaC ax +38．⎰＝2C a x-+39．x ⎰＝2ln(2ax C +++40．x ⎰＝2243(25ln(88x x a a x C ++++41．x ⎰＝C +42．xx ⎰＝422(2ln(88x ax a x C +++43．x x ⎰lna C +44．2d x x⎰＝ln(x C x-+++(0)a >的积分45．⎰1archx x C xa+=ln x C ++46．⎰C -+47．x ⎰C48．x ⎰＝C -+49．2x ⎰2ln 2ax C +++50．2x ⎰＝ln x C -+++51．⎰＝1arccosa C ax+52．⎰＝2C a x+53．x ⎰2ln 2ax C +54．x ⎰＝2243(25ln 88x x a a x C -++55．x ⎰＝C +56．xx ⎰＝422(2ln 88x ax a x C --++57．x x ⎰arccosa a C x+58．x x⎰＝ln x C x-+++(0)a >的积分59．⎰＝arcsinx C a +60．⎰C +61．x ⎰＝C +62．x ⎰C +63．2x ⎰＝2arcsin2ax C a-+64．2x ⎰arcsinx C a-+65．⎰＝1lna C ax-+66．⎰＝2C a x-+67．x ⎰2arcsin2ax C a+68．x ⎰＝2243(52arcsin88x x a x a C a-++69．x ⎰＝C -70．xx ⎰＝422(2arcsin88x ax x a C a-+71．x x ⎰lna C +72．x x⎰＝arcsin x C xa--+(0)a >的积分73．⎰12ax b C +++74．x ⎰2n 2a x b c C++++75．x ⎰＝n 2a x b c C-+++ 76．⎰＝C -+77．x ⎰2C ++78．x ⎰＝C -+79．x ⎰＝(()x b b a C -+-+80．x ⎰＝(()arcsinx b b a C --81．⎰2arcsinC +()a b <82．x ⎰＝2()arcsin4b a C -()a b < （十一）含有三角函数的积分 83．sin d x x ⎰＝cos x C -+ 84．cos d x x ⎰＝sin x C + 85．tan d x x ⎰＝ln cos x C -+ 86．cot d x x ⎰＝ln sin x C + 87．sec d x x ⎰＝ln tan()42x C π++＝ln sec tan x x C ++88．csc d x x ⎰＝ln tan2x C +＝ln csc cot x x C -+89．2sec d x x ⎰＝tan x C + 90．2csc d x x ⎰＝cot x C -+91．sec tan d x x x ⎰＝sec x C + 92．csc cot d x x x ⎰＝csc x C -+ 93．2sin d x x ⎰＝1sin 224x x C -+ 94．2cos d x x ⎰＝1sin 224x x C ++95．sin d n x x ⎰＝1211sin cos sind n n n x x x x nn ----+⎰96．cos d nx x ⎰＝1211cos sin cosd n n n x x x x nn---+⎰97．d sin nx x ⎰＝121cos 2d 1sin 1sinn n xn xn xn x ----⋅+--⎰ 98．d cos n x x⎰＝121sin 2d 1cos1cosn n xn xn xn x---⋅+--⎰99．cos sin d m nx x x ⎰＝11211cos sincossin d m n m nm x x x x x m nm n-+--+++⎰＝11211cossin cos sind m n mn n x x x x x m nm n+----+++⎰100．sin cos d ax bx x ⎰＝11cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b -+--++-101．sin sin d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b -++-++-102．cos cos d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++-++-103．d sin x a b x+⎰＝tanx a bC++22()a b >104．d sin x a b x+⎰＝C+22()a b <105．d cos x a b x+⎰)2x C +22()a b >106．d cos x a b x+⎰C+22()a b <107．2222d cos sin xa xb x+⎰＝1arctan(tan )b x C aba+108．2222d cos sin xa xb x-⎰＝1tan ln2tan b x a C ab b x a++-109．sin d x ax x ⎰＝211sin cos ax x ax C aa-+110．2sin d x ax x ⎰＝223122cos sin cos x ax x ax ax C aaa-+++111．cos d x ax x ⎰＝211cos sin ax x ax C aa++ 112．2cos d x ax x ⎰＝223122sin cos sin x ax x ax ax C aaa+-+（十二）含有反三角函数的积分（其中0a >） 113．arcsin d xx a⎰＝arcsinx x C a +114．arcsind x x x a⎰＝22()arcsin24xax C a-+115．2arcsin d x x x a ⎰＝3221arcsin(239xx x a C a+++116．arccos d xx a⎰＝arccosx x C a-117．arccos d x x x a⎰＝22()arccos24xax C a--+118．2arccos d x x x a⎰＝3221arccos(239xx x a C a-+119．arctand x x a⎰＝22arctan ln()2x a x a x C a-++120．arctand x x x a ⎰＝221()arctan 22x a a x x C a+-+121．2arctand x x x a⎰＝33222arctanln()366xx a ax a x C a-+++（十三）含有指数函数的积分 122．d xa x ⎰＝1ln xa C a +123．e d axx ⎰＝1e axC a +124．e d ax x x ⎰＝21(1)e axax C a -+ 125．e d naxx x ⎰＝11ee d naxn axn x xx aa--⎰126．d xxa x ⎰＝21ln (ln )xxx a a C aa -+127．d nxx a x ⎰＝11d ln ln nxn xnx a x a x aa--⎰128．e sin d axbx x ⎰＝221e (sin cos )axa bxb bx C a b-++ 129．e cos d axbx x ⎰＝221e (sin cos )axb bx a bx C a b+++ 130．e sin d axnbx x ⎰＝12221esin(sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n--+22222(1)es i n d a xn n n b b x x a b n--++⎰131．e cos d axnbx x ⎰＝12221ecos (cos sin )axn bx a bx nb bx a b n-++22222(1)e c o s d a xn n n b b x x a b n--++⎰（十四）含有对数函数的积分 132．ln d x x ⎰＝ln x x x C -+ 133．d ln x x x⎰＝ln ln x C +134．ln d nx x x ⎰＝111(ln )11n xx C n n +-+++135．(ln )d n x x ⎰＝1(ln )(ln )d n n x x n x x --⎰136．(ln )d m n x x x ⎰＝111(ln )(ln )d 11m nmn nxx x x x m m +--++⎰（十五）含有双曲函数的积分 137．sh d x x ⎰＝ch x C + 138．ch d x x ⎰＝sh x C + 139．th d x x ⎰＝ln ch x C + 140．2sh d x x ⎰＝1sh 224x x C -++141．2ch d x x ⎰＝1sh 224x x C ++（十六）定积分142．cos d nx x π-π⎰＝sin d nx x π-π⎰＝0143．cos sin d mx nx x π-π⎰＝0144．cos cos d mx nx x π-π⎰＝0,,m n m n ≠⎧⎨π=⎩145．sin sin d mx nx x π-π⎰＝0,,m n m n≠⎧⎨π=⎩146．0sin sin d mx nx x π⎰＝0cos cos d mx nx x π⎰＝0,,2m n m n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩ 147． n I ＝2sin d nx x π⎰＝20cos d nx x π⎰ n I ＝21n n I n--1342253n n n I n n --=⋅⋅⋅⋅- （n 为大于1的正奇数），1I ＝113312422n n n I n n --π=⋅⋅⋅⋅⋅-（n 为正偶数），0I ＝2π。
高等数学积分公式大全
适用标准文档常用积分公式（一）含有 ax b 的积分 ( a0 )1．dx ＝ 1ln ax b Cax b a2． ( ax b) dx ＝a( 11) (ax b) 1C （1 ）3．xb dx ＝ 12 (ax b b ln ax b ) Cax a4．x 2dx ＝ 11(ax b) 2 2b(ax b)b 2 ln ax bCax b a 3 25．dx＝ 1 ln axb Cx( axb)bx6．2dx b) ＝ 1 a 2 ln ax b Cx (ax bxbx7．( ax x dx ＝ 1(ln ax bax b ) Cb) 2a 2b8．x 22 dx ＝ 13 (ax b 2b ln ax bb 2 ) C(ax b) aax bdx1 1 axb9．x(ax b)2＝b( ax b) b 2 lnxC（二）含有ax b 的积分10．axbdx ＝2(ax b)3C3a211． x axbdx ＝ 2 (3ax 2b)(ax b) 3 C15a12． x2ax bdx ＝23 (15a 2 x 212 abx 8b 2 ) (ax b)3 C105a13．x dx ＝ 2(ax 2b) ax b Cax b 3a 2适用标准文档14．x 2 ＝22 22axb dx 15a 3 (3a x 4abx 8b ) ax b C1ax b b C (b0)dxlnax bb15．＝bx axb2 arctan ax b C (b 0)b b16．dx＝axba dxx 2 axbx2b x axbb17．ax bdx ＝ 2 ax bbdxbxx ax18．ax bdx ＝ax b a dx bx 2x 2 xax（三）含有 x 2 a 2 的积分19．dx= 1 x C x 2a 2 arctana adxx2n 3dx20． ( x2a 2 )n=2( n 1)a 2 ( x 2a 2 )n 12( n 1)a 2 ( x 2a 2 )n 121．x dx = 1 ln x a C2 a 2 2a x a（四）含有 ax 2 b(a0) 的积分1 arctan a x C( b0)22．dxab bax 2 b ＝ax b1lnC (b0)2 ab axb23．x dx ＝ 1ln ax 2b Cax 2 b 2a适用标准文档24．x 2dx ＝ x bdxax 2a a2bbax 25．dx ＝ 1ln x 2 b Cx(ax 2 b) 2b ax 226．dx＝1 adxx 2(ax 2 b) bxbax2bdxb) ＝ aax 2 b 1 C 27． x 3(ax 2 2b 2 ln x 2 2bx 228．dx＝x1 dx(ax 2 b)b) 2b ax 2b22b( ax 2（五）含有 ax 2bx c ( a0) 的积分2arctan 2ax bC(b 24ac )29．dx ＝ 4ac b 24ac b 2ax 2 bx12axbb 24accln(b 24ac )b 24ac 2ax b b 2C4ac30．ax xc dx ＝ 1ln ax 2bx cb ax 2 dx2bx2a2a bx c（六）含有x 2 a 2 (a0) 的积分31．dx a 2 ＝ arshxC 1 ＝ ln( xx 2 a 2 ) Cx 2a32．dx＝xC(x2a 2 )3a 2x2a233．x a 2 dx ＝ x 2a 2 Cx 234．xdx ＝1C(x 2x 2a 2a 2 ) 335．x 2dx ＝ x x 2 a 2 a 2 ln( xx 2a 2 ) Cx 222a 236．x 2a 2 )3dx＝x a 2ln( xx 2 a 2 ) C( x 2x 237．dx ＝ 1lnx 2a 2a C x x 2 a 2 ax38．dx＝x 2 a 2 C2x 2a 2a 2xx39．x 22dx ＝ x2a 2a 2 x2 a 2 ) Caxln( x2 240．( x2a 2 )3dx ＝ x(2 x 2 5a 2 ) x 2 a 23 a4 ln( xx 2a 2 ) C8841． x x2a 2dx ＝1(x 2a 2 ) 3 C342． x 2 x2a 2dx ＝ x(2 x8 43．x2a 2dx ＝ x 2 ax2 a 2 ) x 2 a 2a 4 ln( xx 2 a 2 ) C82 a lnx 2a 2 aCx44．x 2 a 2 dx ＝ x 2 a 2 ln( x x 2 a 2 ) Cx 2 x（七）含有x 2a 2 (a 0) 的积分45．dx ＝ x arch xC 1 = ln xx 2 a 2Cx 2 a 2 x a46．dx＝xC( x 2a 2 x 2a 2 ) 3a 247．x a 2 dx ＝x 2 a 2Cx 248．x dx ＝1C (x2x2a2a2 )349．x2a2dx ＝xx2a2a2ln x x2a2Cx22250．x 2dx ＝x ln x x2a2C(x2x2a2 a2 )351．dx＝1arccosaCx x2 a 2a x 52．dx＝x2a2C2x2a2a2 xx53．x2a2 dx ＝xx2a2a2ln x x2a2C 2254．( x2a2 )3 dx ＝x(2 x 25a2 ) x2a23a4 ln x x2a2Ca2 dx ＝18855．x x2(x2a2 )3C356．x2x2a2dx＝x2a2) x2a2a4ln x x2a2C (2 x8857．x2x a2dx ＝ x2a2 a arccosaCx58．x2a2dx＝x2x a2ln x x2a2Cx2（八）含有a2x2(a0) 的积分59．dxx2＝ arcsinxCa2a60．dx＝x C(a 2x2x2 ) 3a2 a261．a 2 x dx ＝a 2 x 2 Cx 262．xdx ＝1C(a 2 x 2 )3 a 2 x 263．x2dx ＝ x a2x2a 2arcsin xCa 2 x 222 a64．x2dx ＝x x 2arcsinxC(a 2x 2 )3a 2a65．dx ＝ 1 lnaa 2 x 2Cx a 2x 2ax66．dx＝a 2x 2Cx2a2x2a 2x67．a 2 x 2dx ＝xa 2x 2 a 2 arcsin xC22 a68．(a 2x 2 )3dx ＝ x(5a22x 2 ) a 2x 23a 4arcsinxC88 a69． x a 2x 2 dx ＝ 1 (a 2x 2 )3 C370．x 2 a 2x 2dx ＝ x(2 x2a 2 ) a 2 x 2 a 4 arcsin xC88 a 71．a2xx 2dx ＝ a 2 x2a lnaa 2 x 2Cx 72．a 2 x 2a 2x 2arcsinxx 2dx ＝xCa（九）含有 ax 2bx c (a0) 的积分73．dx＝1ln 2axb 2 a ax 2bx cCax 2 bxc a适用标准文档74．ax2bxcdx ＝2axb ax 2bx c4a4a c 2b2b xc C8 a3l n 2a x b 2 a a x75．ax 2xdx ＝ 1ax 2 bx c bx c abl n 2a x2b x cC2b 2 a a xa 376．dx ＝ 1arcsin2ax b Ccbx ax 2ab 2 4ac77．c bx ax 2dx ＝2axb c bx ax 2 b 2 4ac arcsin 2ax b C4a8 a 3 b 2 4ac 78．xdx ＝ 1 c bx ax 2 b arcsin 2ax b Ccbx ax 2a2 a3 b 24ac（十）含有x a 或 ( x a)( b x) 的积分x b79．xa dx ＝ (x b) x a (b a)ln(x ax b )Cx b x b80．xadx ＝ (x b) x a (ba)arcsin x aCb xb xb x81．dx ＝ 2arcsinx aC( a b)(xa)( b bxx)82．( x a)(bx)dx ＝2 xa b ( x a)( b x) (b a)2 arcsin x a C4 4b x(ab)（十一）含有三角函数的积分适用标准文档83．sin xdx ＝cos x C84．cos xdx ＝sin x C85．tan xdx ＝ln cosx C86．cot xdx ＝ln sinx C87．sec xdx ＝ ln tan(x ) C ＝ln secx tan x C4 288．csc xdx ＝ ln tan xC ＝ln cscx cot x C 289．sec2 xdx ＝tan x C 90．csc2 xdx ＝cotx C 91．secx tan xdx ＝secx C 92．csc x cot xdx ＝cscx C93．94．95．96．97．98．99．sin2 xdx ＝x1sin 2x C24cos2 xdx ＝x1sin 2x C24sin n xdx ＝1sin n1 xcos x n1sin n2 xdxn ncos n xdx ＝1cos n 1 x sin x n1cos n 2 xdxn ndx＝1cos x n2dxsin n x n1sin n 1 x n1sin n 2 xdx＝1sin x n2dxcos n x 1 cos n 1 x n1cos n2 xncos m xsin n xdx ＝1ncos m 1 xsin n 1 x m1cos m 2 x sin n xdxm m n＝1ncos m 1 x sin n 1 x n1cos m x sin n 2 xdxm m n适用标准文档100． sin ax cosbxdx ＝1cos(a b)x1cos(a b) x C2( ab)2( a b)101． sin ax sin bxdx ＝1sin( a b) x1sin(a b)x C2( a2(a b)b)102． cosax cosbxdx ＝1sin( a b)x1sin( a b) xC2( a2(ab)b)dx2a tanxb103．a＝a 2b 2 arctan a 2 2 C( a 2 b 2 )bsin x b 2dx1a tanxbb 2 a 22 2104．＝ln2C( a )a bsin xb2a2 a tanxbb2a2b2105．dx＝2a barctan(a bx C 2 2 a bcos x a bab a tan)( a b )b2dx1 ab tanxa b106．＝ln2b aC(a 22)a bcos x ab babtanxa b2b a107．dxsin 2 x ＝ 1 arctan( btan x) Ca 2 cos 2 xb 2 ab a 108．dxsin 2 x ＝ 1ln b tan x a Ca 2 cos 2 xb 2 2ab b tan x a109．xsin axdx ＝11 x cosaxC 2 sin axaa122110．x 2sin axdx ＝x 2 cosaxCaa 2x sin ax3 cosaxa111． x cosaxdx ＝ 12 cosax1x sin ax Caa112．x 2cosaxdx ＝ 1x 2 sin ax 2 x cosax 2 sin ax Ca a 2a 0 ） a 3（十二）含有反三角函数的积分（此中适用标准文档113．arcsin xdx ＝ x arcsinxa 2x 2Caa114．x＝ x 2 a 2xx a2 x 2Cxarcsin dx(4)arcsin4a2 a115．x 2arcsin xdx ＝x 3arcsinx1 (x2 2a 2 ) a 2 x 2 Ca3a9116． arccos xdx ＝ xarccosxa 2x 2 Caa117．xarccos xdx ＝ ( x2a 2 )arccos xx a 2 x 2 Ca2 4 a4118．x 2arccos xdx ＝x 3arccosx1 ( x2 2a 2 ) a 2x 2Ca3a9119． arctan xdx ＝ x arctanxaln( a 2 x 2 ) Caa2120．x arctan xdx ＝ 1(a2x 2)arctanxa x Ca 2a 2121．x 2arctan xdx ＝x 3arctanxa x 2 a 3 ln( a 2 x 2 ) Ca3 a66（十三）含有指数函数的积分122． a xdx ＝1a x Cln a123． e axdx ＝ 1e axCa124．xe axdx ＝ 12 (ax 1)e ax Ca125．x n e axdx ＝1x n e ax nx n 1e ax dxaa126．xa x dx ＝xa x1 2 a x Cln a(ln a)127．x na xdx ＝1x n a x n x n 1a x dxln a 21ln a128． e axsin bxdx ＝b 2 eax( a sin bxb cosbx ) Ca适用标准文档129．e ax cosbxdx＝212 eax (bsin bx a cosbx)Ca b130．e ax sin n bxdx＝212n 2 e ax sin n 1 bx(a sin bx nb cosbx )a bn( n1)b2axsin n2bxdxa2b2n2e131．e ax cos n bxdx＝a21ax n1nbsin bx) b2n2ecos bx(a cosbxn( n1)b2axcos n2bxdxa2b2n2e （十四）含有对数函数的积分132．ln xdx＝x ln x x C133．dx＝ ln ln x Cxln x11134．x n ln xdx ＝nx n1(ln x)C 1n 1135．(ln x)n dx＝x(ln x)nn1n (ln x)dx136．x m (ln x)n dx ＝1x m 1(ln x)nm n x m (ln x)n 1dxm11（十五）含有双曲函数的积分137．shxdx＝chx C138．chxdx＝shx C139．thxdx ＝lnch x C140．sh2xdx＝x1sh2x C141．ch2xdx＝x214sh2x C 24（十六）定积分142．cos nxdx ＝sin nxdx ＝0 143．cos mx sin nxdx ＝0出色文案适用标准文档0, m n144．cos mx cos nxdx ＝,m n0, m n145．sin mx sin nxdx ＝,m n0, m n 146．sin mxsin nxdx＝cosmx cos nxdx ＝00, m n2147．I n＝ 2 sin n xdx＝2 cos n xdx00I n＝n1I n n2I nn1n342n n25（ n 为大于1的正奇数）， I1＝13I n n1n331（ n 为正偶数）， I 0＝n n24222出色文案。
数学公式(积分大全)—默写版
Part 4 不定积分的计算1. 基本积分公式①∫x k dx=,k≠−1{∫1x2dx=∫√x=∫1xdx=∫e x dx=②∫sinxdx=∫cosxdx=∫tanxdx=∫cotxdx=∫secxdx=∫1cosxdx=∫cscxdx=∫1sinxdx=∫sec2xdx=∫csc2xdx=∫secxtanxdx=∫cscxcotxdx=③∫11+x2dx=∫1a2+x2dx=(a>0)④∫√1−x2=∫√a2−x2=(a>0)⑤∫√x2+a2=∫√x2−a2=(|x|>|a|)⑥∫1x2−a2dx=∫1a2−x2dx=⑦∫√a2−x2dx=(a>|x|≥0)⑧∫sin2xdx== =∫cos2xdx== =∫tan2xdx== =∫cot2xdx== =2. 凑微分∫f[g(x)]g′(x)dx=∫f[g(x)]d[g(x)]=∫f(u)du ①dx=a≠0x k dx=k≠−1②xdx=√xdx=√x=1x2dx=1xdx=e x dx=a x dx=a>0,a≠1③sin xdx=cos x dx=sec2xdx=1cos2xdx=csc2xdx=1sin2xdx=11+x2dx=√1−x2=3. 换元法∫f(x)dx 令x=g(u)→∫f[g(u)]d[g(u)]=∫f[g(u)]g′(u)du①三角函数代换——当被积函数含有如下根式时，可作三角代换。
（a>0）√a 2−x 2→令 ，√a 2+x 2→令 ， √x 2−a 2→令 ， 若x >0，则 ；若x <0，则 ② 恒等变形后作三角函数代换③ 根式代换④ 倒代换——被积函数的分母幂次比分子高⑤ 复杂函数的直接代换a x ,e x ,ln x ,arcsin x ,arctan x4. 分部积分法∫udv =Part 5 定积分的计算1. 区间再现公式∫f(x)dx ba =∫f(x)dx b a = ∫f(x)dx b a = 2. 华里士公式∫sin n xdx π20=∫cos n xdx π20=∫sin n xdx π0=∫cos n xdx π0= ∫sin n xdx 2π0=∫cos n xdx 2π0=3. 其他含三角函数的积分公式① 诱导公式sin (π±t )=cos(π±t)=sin (π2±t)= cos (π2±t)=② ∫xf(sin x)dx π0=∫xf(sin x)dx π0=∫f(sin x)dx π20= ∫f(sin x ,cos x)dx π20= 4. 区间简化公式∫f(x)dx a −a = a >05. 变限积分求导公式[∫f (t )dt φ(x )a ]′x = [∫f (t )dt φ2(x )φ1(x )]′x= Part 6 定积分的精确定义和反常积分的判敛1. 定积分的精确定义∫f (x )dx ba = 令a=0，b=1，得到∫f (x )dx 10= 若上下限中有变量，则得到∫f (t )dt x0= 2. 反常积分的判敛① 概念∫f(x)dx +∞a 叫做无穷区间上的反常积分∫f(x)dx ba ，其中lim x→a +f(x)=∞，则a 叫做瑕点，该积分叫做无界函数的反常积分 ② 常用积分∫1x p dx 10{p <1−→？？p ≥1−→？？∫1x p dx +∞1{p >1−→？？p ≤1−→？？3． 反常积分敛散性判别法（数一同学可与级数判别法比较记忆）① 计算，极限存在则收敛② 无穷区间上的反常积分） 比较判别法：f(x)，g(x)在[a,+∞]上连续，∃t >a ，若当x ∈[t,+∞]时，f(x)≤g(x)，则当∫g(x)dx +∞a收敛时，∫f(x)dx +∞a 也收敛。
高等数学积分公式大全
常 用 积 分 公 式（一）含有的积分() ax +0a ≠b 1．d x ax b +⎰＝1ln ax b C a ++(2．＝)d b x μ+ax ⎰1C μ+1()(1)ax b a μ+++1（μ≠-）3．d x x ax b +⎰＝21(l ax b b ax a +-n )b C ++4．2d x x ax b +⎰＝22311()2()ln 2ax b b ax b b ax a +-++b C ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦5．d ()x x ax b +⎰＝1ln ax b C b x+-+6．2d ()x x ax b +⎰＝21ln a a bx b -+x bC x++ 7．2d ()x x ax ⎰b +＝21(ln ax b a a ++bC x b++ 8．22d ()x x ax ⎰b +＝2C x b ++31(2ln b ax b b ax b a a +-+-9．2d ()x x ax b +⎰＝211ln ()ax b ax b b +b C x+-+的积分10．x ⎰C +11．x ⎰＝C 22(3215ax b a -+12．x x ⎰＝22232(15128105a x abx b aC -++13．x ⎰＝22(23ax b a C -+14．2x ⎰＝22232(34815a x abx b a C -++(0)(0)C b C b ⎧+>15．⎰+<16．2a bx b ⎰＝-- 17．d x x ⎰＝b +⎰18．2d x x ⎰＝2a x -+22x a ±的积分 （三）含有19．22d x x a +⎰=1arctan xC a a+ 20．22d ()n x x a +⎰=22212232(1)()2(1)(x n n a x a n a 221d )n n x x a ---+-+-⎰+21．22d x x a -⎰=1ln 2x a C a x a-++(0)b a +>（四）含有的积分2ax (0)(0)x C b Cb ⎧+>⎪⎪⎨22．2d x ax b +⎰＝+<23．2d x x ax ⎰b +＝21ln 2ax a b C ++24．22d x x ax ⎰b +＝x 2d b xax b a a -+⎰25．2d ()x x ax b +⎰＝2C b21ln2x b ax ++ 26．22d ()x x ax b +⎰＝21d a xax b bx b --+⎰ 27．32d ()x x ax b +⎰＝222ln 22ax b a bx +21C bx -+ 28．22d ()x b +ax ⎰＝221d 2()2x xax b ++⎰c (0)a >b ax b b +（五）含有的积分2ax bx ++29．2d x bx c ++ax ⎰＝224)4)ac ac +<+>((C b C b 30．2d x x ax ⎰bx c ++＝22ln 22ax bx c a a ax ++-1d b x bx c++⎰(0)a >的积分31．⎰＝1ars ＝hxC a+ln(x C ++ 32．⎰C +33．x ⎰C +34．x ⎰＝C +35．2x ⎰2ln(2a x -+C +36．2x ⎰＝ln(x C +++37．⎰1ln a x a C -+38．⎰C a x -+239．x ⎰2ln(2a x ++C +40．x ⎰＝2243(25ln(88x x a a x C ++++41．x ⎰C +42．xx ⎰＝422(2ln(88x a x a x ++C +43．d x x ⎰ln a a x+C -+44．2d x x⎰＝ln(x C +x -++(0)a >的积分45．＝1x C x a+arch x=x C ln ++ 46．⎰C +47．x ⎰C +49．2x ⎰2ln 2a x ++C +50．2x ⎰＝ln x C +++51．⎰＝1arccos aC a x+52．⎰C a x 2+53．x ⎰2ln 2a x -+C +54．x ⎰＝2243(25ln 88x x a a x C -+++55．x ⎰C +56．xx ⎰＝422(2ln 88x a x a x --+C +57．d x x ⎰arccos aa -C x +58．2d x x⎰＝ln x C +x -++(0)a >的积分 59．⎰＝arcs inxC a +60．⎰C +62．x ⎰C +63．2x ⎰＝2arcs 2a +in x C a +64．2x ⎰arcs inxC a-+65．⎰＝C 1ln a a x -+66．⎰C a x -+267．x ⎰2arcs 2a +in x C a+68．x ⎰＝2243(52arcs 88a x a -+in x x C a +69．x ⎰＝C +70．xx ⎰＝422(2arcs 88x a in x x a -+C a+71．d x x ⎰C +ln a a x-+72．2d x x ⎰＝arcs --in xC x a +(0)a >的积分73．⎰2ax b C +++74．x ⎰22ax b +++C +75．x ⎰2ax b -++C +76．⎰＝C +77．x ⎰2C ++78．x ⎰＝C ++79．x ⎰＝((b b a C -+-++x 80．x ⎰＝((b b a C -+-+ x 81．⎰＝C()a b <82．⎰x2(4b a )-C +()a b <（十一）含有三角函数的积分 83．sin d x x ⎰cos ＝x C -+84．cos d x x ⎰＝sin x C + 85．tan d x x ⎰＝ln c x os C -+ 86．cot d x x ⎰＝ln x C + sin 87．sec d x x ⎰＝ln tan(π)42xC ++＝ln sec tan x x C ++ 88．csc d x x ⎰＝ln tan2xC +＝ln csc cot x x C -+ 89．2sec d x x ⎰＝x C + tan 90．2csc d x x ⎰＝x cot C -+ 91．sec tan d x x x ⎰＝se x C + c 92．csc cot d x x x ⎰＝x csc C -+ 93．2sin d x x ⎰＝1sin 24x x 2C -+ 94．2cos d x x ⎰＝1sin 24x x 2C ++95．sin d n x x ⎰＝12d n n 11sin cos sin n x x x x --n n--+⎰ 96．cos d n x x ⎰＝12s d n n 11cos sin co n x x x x --n n-+⎰ 97．d sin n x x ⎰＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n xn x n x ----⋅+--⎰ 98．d cos n x x ⎰＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n xn x n x---⋅+--⎰s m 99．cos in d n x x x ⎰＝1111cos sin cos m n m m 2sin d nx x x m n m n-+x x --+++⎰ ＝1111cos sin cos si m n m n 2n d n x x x m n m n+-x x ---+++⎰ 100．＝sin ax ⎰cos d bx x 11cos()cos(2()2()a b x a a b a b -+-+-)b x C -+101．＝sin ax ⎰sin d bx x 11sin()sin(2()2()a b x a a b a b -+++-)b x C -+c102．＝cos ax ⎰os d bx x 11sin()sin(2()2()a b x a a b a b )b x C ++-+-+103．d sin x a b x +⎰C tan xa b ++22()a b >104．d sin x a b x +⎰C +22()a b <105．d cos x a b x +⎰an )2xC +22()a b >106．d cos x a b x +⎰C +22()a b <107．2222sin b x d cos x a x +⎰＝1arctan(t ban )x C ab a + 108．2222sin b x d cos x a x -⎰＝1ta ln 2t b x ab b x n an aC a ++-109．sin d x ax x ⎰＝211sin co ax x a a s ax C -+ 110．2sin d x ax x ⎰＝2212cos sin co 32s x ax x ax a a -++ax C a +111．cos d x ax x ⎰＝211cos si ax x a a n ax C ++112．2cos d x ax x ⎰＝22312sin cos sin 2x ax x ax a a ax C a+-+0>（十二）含有反三角函数的积分（其中a ）113．arcsin d x x a ⎰＝arcsin x x C a++114．arcsin d x x x a ⎰＝22)arcsin 24x a x C a -++(115．2arcsin d x x x a ⎰＝3221arcsin (239x x x a C a +++ 116．arccos d xx a ⎰＝arccosxx C a-+ 117．arccos d x x x a ⎰＝22(24x a x C a --+118．2arccos d x x x a ⎰＝3221arccos (239x x x a C a -++ 119．arctand x x a ⎰＝22arctan ln()2x a x a x C a -++ 120．arctan d x x x a⎰＝221()arctan 22x a a x x C a +-+121．2arctan d x x x a ⎰＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a -+++（十三）含有指数函数的积分122．＝d xa x ⎰1ln xa C a + 123．e d axx ⎰＝1e ax C +a124．e d ax x x ⎰＝21(1ax a)e axC -+125．e d n axx x ⎰＝1e e d n ax 1n ax n x x x -a a-⎰126．d xxa x ⎰＝2x x a a C -+1ln (ln )x a a 127．d nxx a x ⎰＝1d n x1ln ln n x n x a x a a -⎰a x -e s 128．＝in d bx x ax⎰221e (sin co ax a bx b a b s )bx C -++ 129．＝e c ax ⎰os d bx x 221e (sin co axb bx a a bs )bx C +++130．＝e s ax ⎰in d n bx x 12221e sin (sin ax n bx a bx n a b n--+cos )b bx 2222(1)e si ax n n b a b n -++⎰2n d n bx x - 131．＝e c ax ⎰os d n bx x 12221e cos (cos ax n bx a bx n a b n-++sin )b bx 2222(1)e co ax n n b a b n-++⎰2s d n bx x - （十四）含有对数函数的积分132．ln d x x ⎰ln ＝x x x C -+ 133．d ln x x x ⎰＝x C +ln ln134．ln d n x x x ⎰＝1(ln n 11)11x x C n n +-+++(l 135．n )d n x x (ln )(l n ⎰＝1n )d n x x n -⎰x x -(ln 136．)d m n x x x ⎰＝11ln )d m n 1(ln )(11m n n x x x m m -++⎰x x +- （十五）含有双曲函数的积分137．sh d x x ⎰＝ch x C +138．ch d x x ⎰＝sh x C +139．th d x x ⎰ln ＝x C + ch 140．2sh d x x ⎰＝124x x sh2C -++ 141．2ch d x x ⎰＝124x x sh2C ++sin d nx x sin d nx x c m n m n （十六）定积分142．＝＝0 cos d nx x π-π⎰π-π⎰143．＝0cos mx π-π⎰144．＝cos mx π-π⎰os d nx x 0,,≠⎧⎨⎩π=145．＝sin mx π-π⎰s ,m n m n in d nx x 0,≠⎧⎨⎩π=s c ,m n m n 146．＝＝0sin mx π⎰in d nx x 0cos mx π⎰os d nx x 0,2≠⎧⎪⎨π=⎪⎩ 147． n I ＝20sin d n x x π⎰＝20cos d n x x π⎰ n I ＝21n n I n-- 13423n n n I n n --=⋅⋅⋅⋅- n 125 （为大于1的正奇数），I ＝1 133122n n n I n n --π=⋅⋅⋅⋅⋅- n 0πI ＝ 24（为正偶数），2。
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积分公式大全2常 用 积 分 公 式（一）含有ax b +的积分(0a ≠)1．d x ax b +⎰＝1ln ax b C a++ 2．()d ax b x μ+⎰＝11()(1)ax b Ca μμ++++（1μ≠-）3．d x x ax b +⎰＝21(ln )ax b b ax b C a +-++ 456．2d ()xx ax b +⎰＝21ln a ax b C bx b x +-++ 7．2d ()x x ax b +⎰＝21(ln )b ax b C a ax b++++ 8．22d ()x xax b +⎰＝231(2ln )b ax b b ax b C a ax b+-+-++9．2d ()x x ax b +⎰＝211ln ()ax bCb ax b b x +-++的积分10．x⎰＝C11．x⎰＝22(3215ax b Ca-342223．2d x x ax b +⎰＝21ln 2axb Ca ++24．22d x xax b +⎰＝2d x b x a a ax b-+⎰25．2d ()x x ax b +⎰＝221ln 2x C b ax b++26．22d ()x x ax b +⎰＝21d a xbx b ax b--+⎰27．32d ()x x ax b +⎰＝22221ln 22ax b a C b x bx +-+28．22d ()x ax b +⎰＝221d 2()2xxb ax b bax b+++⎰ （五）含有2ax bx c ++(0)a >的积分29．2d xax bx c++⎰＝22(4)(4)C b ac C b ac +<+>30．2d xx ax bx c ++⎰＝221d ln 22b x axbx c a a ax bx c++-++⎰(0)a >的积分31．＝1arsh xC a+＝ln(x C+532．C+33．xC34．x＝C+35．2x2ln(2a x C ++ 36．2x＝ln(x C++37．＝1C a +38．C +39．x2ln(2a x C +40．x＝2243(25ln(88x x a a x C+++41．x⎰C42．x x⎰＝422(2ln(88x a x a x C +-++43．xln aa Cx++ 44．x＝ln(x C+++6(0)a >的积分45．＝1arch xx C x a+=ln x C+46．C+47．xC+48．x＝C+49．2x2ln 2a x C ++ 50．2x＝ln x C+++51．＝1arccos aC ax+ 52．C +53．x2ln 2a x C ++54．x＝2243(25ln 88x x a a x C-++55．x⎰C56．xx⎰＝422(2ln 88x a x a x C -++757．xarccosa a C x+ 58．x＝ln x C+++(0)a >的积分59．＝arcsin xC a +60．C+61．x＝C62．xC+63．2x＝2arcsin 2a x C a+64．2xarcsinxC a-+65．＝1ln a C a x -+66．C+67．x2arcsin 2a x C a+68．x＝2243(52arcsin 88xxa x a Ca-+869．x⎰＝C+70．x x⎰＝422(2arcsin 88x a x x a C a-++71．d x x ⎰ln a a Cx -++72．2d x x⎰＝arcsin x Cx a--+(0)a >的积分73．2ax b C +++74．x22ax b C++++75．x2ax b C-+++76．＝C+77．x2C++78．x＝C+979．x＝((x b b a C--+80．x＝((x b b a C --81．＝C ()a b <82x2()arcsin 4b a C-+()a b <（十一）含有三角函数的积分 83．sin d x x ⎰＝cos x C -+ 84．cos d x x ⎰＝sin x C + 85．tan d x x ⎰＝ln cos x C -+ 86．cot d x x ⎰＝ln sin x C +87．sec d x x ⎰＝ln tan()42xC π++＝ln sec tan x x C ++ 88．csc d x x ⎰＝ln tan 2xC +＝ln csc cot x x C -+ 89．2sec d x x ⎰＝tan x C + 90．2cscd x x⎰＝cot x C -+1091．sec tan d x x x ⎰＝sec x C + 92．csc cot d x x x ⎰＝csc x C -+ 93．2sind x x⎰＝1sin 224x x C -+ 94．2cos d x x⎰＝1sin 224x x C ++ 95．sind nx x ⎰＝1211sin cos sin d n n n x x x x n n----+⎰96．cosd nx x⎰＝1211cossin cos d n n n x x x x n n---+⎰97．d sin nx x ⎰＝121cos 2d 1sin 1sin n n x n xn x n x----⋅+--⎰ 98．d cos nx x ⎰＝121sin 2d 1cos 1cos n n x n xn x n x---⋅+--⎰ 99．cossin d mn x x x⎰＝11211cossin cos sin d m n m n m x x x x x m nm n-+--+++⎰＝11211cos sin cos sin d m n m n n x x x x x m n m n+----+++⎰100．sin cos d ax bx x ⎰＝11cos()cos()2()2()a b x a b x C a b a b -+--++- 101．sin sin d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b -++-++- 102．cos cos d ax bx x ⎰＝11sin()sin()2()2()a b x a b x C a b a b ++-++-103．d sin xa b x +⎰tan xa b C ++22()a b >104．d sin x a b x+⎰C+22()a b <105．d cos xa b x+⎰)2xC +22()a b >106．d cos x a b x+⎰C +22()a b <107．2222d cos sin x a x b x +⎰＝1arctan(tan )b x C ab a + 108．2222d cos sin x ax b x-⎰＝1tan ln 2tan b x aC ab b x a++- 109．sin d x ax x ⎰＝211sin cos ax x ax C a a -+110．2sin d xax x⎰＝223122cos sin cos xax x ax ax C a a a-+++111．cos d x ax x ⎰＝211cos sin ax x ax C a a ++112．2cos d xax x⎰＝223122sin cos sin xax x ax ax C a a a+-+（十二）含有反三角函数的积分（其中0a >）113．arcsin d x x a⎰＝arcsin xx Ca++114．arcsin d xx x a ⎰＝22()arcsin 24x a x C a -++ 115．2arcsin d x x x a⎰＝3221arcsin (239x x x a C a ++116．arccos d x x a ⎰＝arccos xx Ca-117．arccos d xx x a⎰＝22()arccos 24x a x C a - 118．2arccos d xx x a⎰＝3221arccos (239x x x a C a -+119．arctan d x x a ⎰＝22arctan ln()2x ax ax Ca -++ 120．arctan d x x x a ⎰＝221()arctan22x aax x C a +-+121．2arctan d xx x a⎰＝33222arctan ln()366x x a a x a x C a -+++（十三）含有指数函数的积分 122．d xa x ⎰＝1ln xaCa +123．ed axx⎰＝1e axCa+124．ed axx x⎰＝21(1)eaxax Ca -+ 125．ed n axx x⎰＝11e e d n axn axn x x x aa --⎰126．d x xa x ⎰＝21ln (ln )xx x aa C a a -+ 127．d nxx a x ⎰＝11d ln ln nxn x nx ax a x a a--⎰128．e sin d axbx x⎰＝221e (sin cos )axa bxb bx C a b-++ 129．e cos d axbx x⎰＝221e (sin cos )ax b bx a bx C ab+++130．esin d axn bx x⎰＝12221e sin (sin cos )ax n bx a bx nb bx a b n--+22222(1)e sin d ax n n n b bx x a b n --++⎰131．ecos d axn bx x⎰＝12221e cos (cos sin )ax n bx a bx nb bx a b n-++22222(1)e cos d ax n n n b bx x a b n--++⎰（十四）含有对数函数的积分132．ln d x x ⎰＝ln x x x C -+133．d ln xx x⎰＝ln ln x C + 134．ln d nxx x⎰＝111(ln )11n xx C n n +-+++135．(ln )d nx x ⎰＝1(ln )(ln )d n nx x n x x--⎰136．(ln )d mn xx x⎰＝111(ln )(ln )d 11m n m n nx x x x x m m +--++⎰（十五）含有双曲函数的积分 137．sh d x x ⎰＝ch x C + 138．ch d x x ⎰＝sh x C + 139．th d x x ⎰＝lnch x C +140．2sh d x x ⎰＝1sh224x x C -++ 141．2ch d x x ⎰＝1sh224x x C ++ （十六）定积分142．cos d nx x π-π⎰＝sin d nx x π-π⎰＝0143．cos sin d mx nx x π-π⎰＝0 144．cos cos d mx nx xπ-π⎰＝0,,m n m n≠⎧⎨π=⎩145．sin sin d mx nx xπ-π⎰＝0,,m nm n≠⎧⎨π=⎩146．0sin sin d mx nx xπ⎰＝0cos cos d mx nx xπ⎰＝0,,2m nm n ≠⎧⎪⎨π=⎪⎩147． n I ＝20sin d nx xπ⎰＝20cos d n x xπ⎰nI ＝21n n I n--1342253n n n I n n --=⋅⋅⋅⋅- （n 为大于1的正奇数），1I ＝113312422n n n I n n --π=⋅⋅⋅⋅⋅-（n 为正偶数），0I ＝2π。