结构力学第十一讲资料

F1P F2P
k11
Δ1 Δ1=1
k21
× Δ1
k12
× Δ2
Δ2=1
k22
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n个结点位移的位移法典型方程 k111 k122 k1nn F1P 0 k211 k222 k2nn F2P 0 kn11 kn22 knnn FnP 0
• 主系数 kii── 基本体系在Δi=1单独作用时，在第 i个附加约 束中产生的约束力矩和约束力，恒为正；
（5）杆件分析是结构分析的基础。
11.2 等截面直杆的形常数、载常数
形常数：由单位杆端位移引起的单跨超静定梁的杆端力
载常数:由跨中荷载引起的固端力
MAB
一、杆端力和杆端位移的正负规定 1.杆端转角、杆两端相对位移Δ以顺
QAB θA
θB
时针为正。
2.杆端弯矩，对杆端顺时针转动为正 号；杆端剪力以使作用截面顺时针转
•k11、k21── 基本体系在Δ1=1单独作用时，
附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；
•k12、k22── 基本体系在Δ2=1单独作用时，附加约
束1、2中产生的约束力矩和约束力；
•F1P、F2P── 基本体系在荷载单独作用时，附加
约束1、2中产生的约束力矩和约束力。
位移法方程的含义：基本体系在结点位 移和荷载共同作用下，产生的附加约束中的 总约束力(矩)等于零。实质上是平衡条件。
一、位移法基本未知量 独立的结点位移：包括角位移和线位移
1.无侧移结构(刚架与梁不计轴向变形) 基本未知量为所有刚结点的转角
1
2
1
结点角位移数： 刚结点的数目 独立结点线位移数： 铰结体系的自由度
2.有侧移结构(刚架与梁不计轴向变形)
1
2
3
二、基本体系
基本结构:增加附加约束（刚臂、链杆）后,使得原结构的 结点不能发生位移的结构。
16
3 2 1
结点转角的数目：7个
独立结点线位移的数目：3个
结点转角的数目：3个
独立结点线位移的数目：2个
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分析: (1)铰处的转角不作基本未知量。 (2) 剪力静定杆的杆端侧移也可不作 为基
本未知量。
D
B
E
C
A
(3)结构带无限刚性梁时，若柱
Δ
子平行，则梁端结点转角为0，若
柱子不平行，则梁端结点转角可
6i l 12i
l2 3i l
3i l2
0
由跨间荷载引起的载常数
单跨超静定梁简图
q
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓
A
B
P
A
B
q
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓
B
A
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P B
A
l/2
l/2
mAB
ql 2
12 Pl
8 ql2
8 3Pl
16
mBA
ql 2 12 Pl 8
0
0
11.3位移法基本未知量和基本体系
8EI l
A
ql 2 12
0
2E l
I
A
B
2E l
I
A
θA
4i
2
E l
I
A
B ql2/48
A
ql3 96 EI
4
E l
I
A
位移法要点：
（1）位移法的基本未知量是结点位移；
（2）位移法的基本结构----单跨梁系. （3）位移法的基本方程是平衡方程； （4）建立基本方程的过程分为两步：
A.把结构拆成杆件，进行杆件分析； B.再把杆件综合成结构，进行整体分析；
力法——以多余未知力为基本未知量，由位移条件建立 力法方程，求出内力后再计算位移。 位移法——以某些结点位移为基本未知量，由平衡条件 建立位移法方程，求出位移后再计算内力。位移法最主要 的研究对象是高次超静定刚架（多层多跨刚架）
力法----有六个未知量。 位移法----用结点位移作未知量，只有一个未知量。
由柱顶侧移表示出来。
（4）对于平行柱刚架不论横梁是 平的，还是斜的，柱子等高或不等 高，柱顶线位移都相等。
a
Δ Δ
18
11.4 位移法典型方程
Δ2
F1 Δ2
Δ1
Δ1
F1=0 F2=0
Δ1
Δ1
F2
位移法
基本体系
F1=0 F2=0
k111 k122 F1P 0 k211 k222 F2P 0
11.1 位移法的基本概念
位移法是计算超静定结构的基本方法之一。
q
F1P
q
ql2/12
A
C
θA
EI=常数
ql2/12
A
C
F1P
ql 2 12
l
B
ql2/24 A
l
B
4EI l
A
θA
4
E l
I
A
F11 A
2
E l
I
A
C
5ql2/48 C
4
EθIA
l
A
F11
4EI A l
4EI A l
F1 F11 F1P 0
• 付系数 kij= kji── 基本体系在Δj=1单独作用时，在第 i个 附 加约束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零；
• 自由项 FiP── 基本体系在荷载单独作用时，在第 i个 附加约 束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零。
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11.5 位移法计算连续梁 及无侧移刚架
Ai
M图 (kN.m)
21
例1：作图示刚架弯矩图
基本未知量 1 B , 2 C （1）取基本体系
MAB>0
动为正号。
二、形常数
根据力法求解：
1
QBA MBA
MBA<0
Δ
M AB 4i,
i=EI/l
M BA 2i
2i
4i
M
由单位杆端位移引起的形常数
单跨超静定梁简图
MAB
θ=1
A
B
4i
A
θ=1
A A
θ=1
A
B1
B
B
1
B
6i l
3i 3i l
i
MBA
2i 6i l
0 0 -i
QAB= QBA
基本体系：把基本结构在荷载和基本未知量共同作用下的 体系，称为原结构的基本体系。
q
原结构
2
1
基本体系
q
基本结构
1
2
基本体系
q
角位移举例：
B、C两个刚结点， 有两个角位移。
B为组合结点，它的左 右各有一个刚结点，有 两个角位移。 CD外伸部分是静定的 可以去掉。
线位移举例：
图a刚架改为铰结体系后，只需增设两根附加链杆就能变成 几何不变体系（图b所示），有两个线位移。
3m
20kN
B
3m
2kN/m
i
C
6m
k111 F1P 0
1
F1P k11
6 7i
15
A
A 2i
16.72
A
20kN15 9F1P 2kN/m
B
C
15
F1P 9
MP
F1P=15－9=6
4i k11
Δ1=1
B
C
k11 3i
M1
4i
3i k11=4i+3i=7i
11.57 9
30
B
C
11.57
11.57 ∑MB=0
基本要求：熟练掌握位移法的基本原理和超静定梁、刚架在荷载 作用下内力的计算。
主要内容：﹡位移法的基本概念 ﹡等截面直杆的形常数和载常数 ﹡位移法的基本未知量和基本体系 ﹡位移法方程 ﹡位移法计算连续梁和刚架
力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。力 法于十九世纪末开始应用，位移法建立于上世纪初。