四边形证明

第九讲 平行四边形

【考点聚焦】

1.平行四边形的性质

2.平行四边形的判定

3.三角形的中位线定理

4.平行四边形综合 【基础知识】

1.两组对边互相平行的四边形是________________，此四边形________（是或不是） 轴对称图形.

2.平行四边形的一边长时5cm ，它的周长为28cm ，则平行四边形的另一边长为______cm

3.在

ABCD 中，160A C ∠+∠=，则A ∠=_____________，B ∠=_____________

4.如图，O 是ABCD 的对角线交点，AC=38cm ，BD=24cm ，AD=14cm ，

那么△BOC 的周长等于_________cm

5.在四边形ABCD 中，已知AB=7cm ，BC=5cm ，CD=7cm ， 当AD=______cm 时，四边形ABCD 是平行四边形

6.在四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，若AC=12cm ，BD=10cm ，那么当AO=______cm ，OD=______cm 时，四边形ABCD 是平行四边形

7.已知，在四边形ABCD 中，∠A=∠C=50°，则当∠B=______时，四边形ABCD 为平行 四边形

8.下列条件①∠A=∠B ，∠C=∠D ；②AB ∥CD ，AD ∥BC ；③AB ∥CD ，AB=CD ；④AB=AD ，BC=CD ；⑤AB=CD ，AD=BC 能判定四边形ABCD 是平行四边形的有_____________________

9.在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，若BC=10cm ，∠B=50°，则

DE=_________cm ，∠ADE=________

10.如图，△ABC 中，D 、E 、F 分别为AB 、AC 、BC 的中点，

（1）则图中平行四边形有________个

（2）若AC=b ，AB=c ，BC=a ，则△DEF 的周长为________ 【巩固提高】

例1.已知，如图在平行四边形ABCD 中，∠BCD 的平分线CE 交AD 于E 点，∠ABC 的平分线

BG 交CE 于F 点，交AD 于G 点，求证：AE=DG

例2.如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上一点，且AB=AE

F

E

D C

B A

O D

C

B

A G F E D

C B A

（1）求证：△ABC ≌△EAD

（2）若AE 平分∠DAB ，∠EAC=25°，求∠AED 的度数

例3.如图，平行四边形ABCD ，M 、N 在对角线AC 上，且AM=CN ，求证：四边形BMDN 为平行四边形（用两种方法）

例4.如图，△ABC 中，M 为BC 的中点，AD 是∠A 的角平分线，BD ⊥AD 于D ，AB=12，AC=18，求MD 的长.

例5.如图，四边形ABCD 中，AB=CD ，∠B ≠∠C ，M 、N 分别是BC 、AD 的中点，BA 、CD 的延

长线分别交直线MN 于点E 、F ，求证：∠BEM=∠CFM

例6.如图，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，AE 平方∠BAC ，FM ∥AB ，FN ∥BC ，AC=6，BC=8，则下列结论正确的有_______①CF=CE ；②BE=CM ；③连EN ，则EN ⊥AB ；④FD 的长为1.8

例7.如图，在平行四边形ABCD 中，∠ABC=60°，AE ⊥AD 交BD 于E ，若DE=2DC ，则∠DBC 的大小是？

E D

C

B A

N

M D

C B A B D

M C

A A

B D

E

F

M N

C A B F M

N

E

D C

E

D A

例8.平行四边形ABCD 的对角线AC=5，BD=4，那么四边形ABCD 的面积的最大值等于________

例9.图，在平行四边形ABCD 中，BC=2AB ，CE ⊥AB 于E ，F 为AD 的中点，若∠AEF=54°，求

∠B 的度数.

例10.以△ABC 的三边分别向外作等边△ABD 、△ACE 、△BCF （1）求证：四边形AEFD 为平行四边形；

（2）若∠BAC=90°，AB=4，AC=3，求四边形ADFE 的面积； （3）试讨论△ABC 角满足什么条件时，四边形AEFD 不存在.

例11.△ACB ，△CDE 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连AE ，P 、M 、N 分别为AE 、AB 、DE 的中点.

（1）如图1，点D 、E 分别在AC 、BC 上时，PM 、PN 有何关系；

（2）如图2，将△CDE 绕C 点逆时针旋转一个锐角时，上结论是否仍然成立并证明.

例12.如图，ABCD 是平行四边形，E 在AC 上，AE=2EC ，F 在AB 上，BF=2AF ，如果△BEF 得面积是2，则平行四边形ABCD 的面积是？

F E

D C B

A

A

B F

E

D C

F E

B A

C

D E

P

N M B

A

A B M

N

P E

D

C

例13.已知平行四边形ABCD 的周长为52，自顶点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，E 、F 为垂足，若DE=5，DF=8则BE+BF 的长为.

【同步巩固】

1.如图，E 、F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，AE=CF ，连接BE 、DF ，求证： BE ∥DF

2.△ABC 为等边三角形，点D 、F 分别在BC 、AB 上，且CD=BF ，以AD 为边作等边△ADE.

求证：四边形CDEF 为平行四边形

3.已知，四边形ABCD ，连AC ，BD ，E 、F 、M 、N 分别为AB 、CD 、BD 、AC 的中点EM 、 MF 、FN 、EN ，求证四边形EMFN 为平行四边形

O F

E D

C B A F

E D C B A

N M F

E D C

B A