常见微分方程的求解

dy P(x )y Q(x ) dx
dy P(x )y 0 dx
一阶线性微分方程

分离变量法
dy P(x ) dx , y

ln y P(x ) dx C 1 ,
y Ce
P (x ) dx
得方程(2)的通解
一阶线性微分方程

y ( x ) C ( x )e
2)求出特征方程的两个根 r1 , r2； 3)根据 r1 , r2 的不同情况写出通解： ① r1 , r2是不等二实根， ② r1 , r2是相等二实根， ③ r1 , r2是一对共轭复根，
y C 1 C 2x e x ,
y C 1e r x C 2e r x ,
1 2
y e x(C 1 cos x C 2 sin x ).
Q’’(x) (2+p)Q’(x) (2 p q)Q(x) Pm(x)

(2)
2) 是特征方程 r2 pr q 0 的单根，即2+p+q 0，


但 2 p 0 ，(2)式变为 Q’’(x)+(2+p)Q’(x) Pm(x) ，
可见 Q’(x) 应是m次多项式且Q(x)的常数项可任取(不 妨取为零)，令 Q(x) xQm(x)，用同样的方法可求出 Qm(x)的系数b0 , b1 , … , bm .
p 1 , 4q p 2 . 2 2
二阶常系数非齐次线性微分方程
y ’’ p y ’ q y f(x) , p, q 是常数 (1)
求方程(1)的通解，归结为求对应的齐次方程 y ’’ p y ’ q y 0
的通解和(1)的一个特解。 求特解： f(x) exPm(x)
f(x)是多项式Pm(x)与指数函数 ex 的乘积，其导数仍然是同一类型，因此我们推测，特解 具有形式
y* exQ(x)，其中Q(x)是待定的多项式。 将 y* exQ(x) ， y*’ ex[Q(x) Q’(x)] y*’’ ex[2 Q(x) 2Q’(x) Q’’(x)] (2)
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特：可分离变量的求解方法

一个一阶微分方程称为可分离变量的微分方程，


如果能把它写成形式
g(y)dy f(x)dx。
g( ( x )) ( x )dx f ( x )dx ,

若G(y)、F(x)分别是g(y)、 f(x)的原函数，得
G(y ) F(x ) C
一阶线性微分方程
微分方程的求解



说明：
(1) n阶微分方程的解中最多只能含有n个独立的任意常数。
(2) 微分方程的通解不一定包含它的全部解。如方程 不包含特解 y 0
y
y 0的 通 解 y
1 ( x C )2 4

(3) y(x0)= y0， y (x0)= y1 ，… 称为初始条件(或初值)。带有初始条件的微分方程 问题称为初值问题。
y1 e , y2 e
r1 x
r2 x
二阶线性微分方程

2) p24q 0 , 得到方程的一个解
y1 e x e


p x 2
.
x 2 y e ( u 2 u u) , 2
设另一个线性无关的解
y2 e xu( x) ,
e x(u u ), y2
带入方程并消去ex 得
Q’’(x) (2+p)Q’(x) (2 p q)Q(x) Pm(x)
二阶常系数非齐次线性微分方程
Q’’(x) (2+p)Q’(x) (2 p q)Q(x) Pm(x)

(2)
1) 不ຫໍສະໝຸດ Baidu特征方程 r2 pr q 0 的根，2+p+q 0 ，
P ( x ) dx
.
y e
P (x ) dx
P (x ) dx Q ( x ) e dx C
二阶线性微分方程

形如 y ’’ p y ’ q y 0 .


定义 代数方程
r2 pr q 0 为微分方程的特征方程
1) p24q 0 , r1 , r2 是两个不相等的实根，则
~ y1 ~ y2 y2 e x sin x 2i
得到两个线性无关的实解，所以通解是：
y e x(C 1 cos x C 2 sin x ).
二阶常系数齐次线性方程

形如 y ’’ p y ’ q y 0 .


求解过程 1)写出特征方程 r2 pr q 0；

这样得到两个线性无关的复数形式的解
( i )x y e x(cos x i sin x ), ~1 e
~ y2 e( i ) x ex (cosx i sinx) .
根据解的叠加原理
~ y1 ~ y2 y1 e x cos x , 2



结论： f(x) e xPm(x)时方程(1)有 y* xkQm(x)ex 形式的特解：当 不是特征根
时取 k 0，当 是单特征根时取 k 1，当 是重特征根时取 k 2。
例题

y e x(C 1 cos x C 2 sin x ).

p 1 , 4q p 2 . 2 2
二阶常系数非齐次线性微分方程
Q’’(x) (2+p)Q’(x) (2 p q)Q(x) Pm(x)

(2)
是特征方程 r2 pr q 0的重根，即 2 p q 0,
且 2 p 0 ，(2) 式变为 Q’’(x) Pm(x) ，
可见 Q’’(x) 应是 m 次多项式且 Q(x)的常数项和一次项系数可任取，因而可令 Q(x) x2Qm(x)，然后用同样的方法求出Qm(x)的系数 b0 , b1 , … , bm 。
代入得：
取 ux, 得
2 u (2 p)u ( p q)u 0 , u 0 .
，这时方程(1)的通解为：
y C 1e x C 2xe x (C 1 C 2x ) e x .
二阶线性微分方程

3) p24q 0 , 得到一对共轭复根 r1 i, r2 i,

要使(2)式两端相等，Q(x)必须是m次多项式
Qm(x) b0 x m b1x m1 bm1x + bm ， 代入(2)式，比较同次幂系数，得到一个以 b0 , b1 , … , bm 为未知数的 m 1 个方程的方程组，从而可求出特解 y* Qm(x)ex .
二阶常系数非齐次线性微分方程
常见微分方程的求解
12海科 郭海宏
微分方程的基本概念

定义 含有未知函数的导数(或微分、偏导数)的函数方程叫做微分方程，未知函
数是一元函数叫做常微分方程，未知函数是多元函数叫做偏微分方程；其中出现 的未知函数的导数(或微分、偏导数)的最高阶数叫做该微分方程的阶。

n阶微分方程的一般形式
F(x ,y ,y , ,y (n )) 0,