最新3第三章微分中值定理与导数的应用习题解答23309汇总
第三章微分中值定理与导数的应用习题
第三章 微分中值定理与导数的应用习题专业、班级： 学号： 姓名：一、选择题1.罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ ）A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件2.下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ ）A.x e x f =)(B.||)(x x f =C.21)(x x f -=D.⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,10 ,1sin )(x x xx x f3.在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ ） A.x x x sin lim 20→ B.x x x tan 0)1(lim +→C. x xx x sin lim +∞→ D.x nx e x +∞→lim4.设)12)(1()(+-='x x x f ，则在区间)1,21(内（ ）A. )(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凹的B. )(x f y =单调减少，曲线)(x f y =为凹的C. )(x f y =单调减少，曲线)(x f y =为凸的D. )(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凸的5.下列函数中，在指定区间内单调减少的函数是（ ）A.x y -=2 ),(∞+-∞B.x y e = )0,(-∞C.x y ln = ),0(∞+D.x y sin = ),0(π6.若)(x f 在0x 至少二阶可导，且1)()()(lim 2000-=--→x x x f x f x x ，则函数)(x f 在0x处（ ）A.取得极大值B.取得极小值C.无极值D.不一定有极值二、填空题1. 设函数)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 个实根，分别位于 区间 中．2. 函数12+=ax y 在),0(∞+内单调增加，则a ．3. 函数x y sin ln =在[65 ,6 ππ]上的罗尔中值点ξ= ． 4. 若点（1，3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则=a ，=b ．5. 求函数2824+-=x x y 在区间]3,1[-上的最大值为 ，最小值为 ．6. 函数)1ln(+-=x x y 在区间 内单调减少，在区间 内单调增加．7. 曲线8 2x ey -=的凸区间是 ．三、计算题1.求下列极限 （1）n n m m a x a x a x --→lim （2）20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→（3）)1 ln 1(lim 1--→x x x x （4）x x x e e x x x sin 2lim 0----→2.求函数133+-=x xy 在区间[-2，0]上的最大值和最小值．3.求函数12-+=x x x y 的拐点及凹或凸的区间．4.求函数496 23-+-=x x x y 的单调区间、极值、凹凸区间和拐点．四、证明题1.求证当0>x 时， )1ln(212x x x +<-．2.求证当1>x 时，1)1(2ln +->x x x ．。
3章微分中值定理与导数应用习题解答
第3章 微分中值定理与导数应用习题解答1.验证中值定理的正确性（1) 验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性.解 因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续, 在)65 ,6(ππ内可导, 且)65()6(ππy y =, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点)65 ,6(ππξ∈, 使得y '(ξ)=cot ξ=0. 由y '(x )=cot x =0得)65 ,6(2πππ∈，因此确有)65 ,6(2πππξ∈=, 使y '(ξ)=cot ξ=0.(2) 验证拉格朗日中值定理对函数y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上的正确性.解 因为y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 由拉格朗日中值定理知, 至少存在一点ξ∈(0, 1), 使001)0()1()(=--='y y y ξ. 由y '(x )=12x 2-10x +1=0得)1 ,0(12135∈±=x .因此确有)1 ,0(12135∈±=ξ, 使01)0()1()(--='y y y ξ.(3) 对函数f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上验证柯西中值定理的正确性. 解 因为f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上连续, 在)2 ,0(π可导, 且F '(x )=1-sin x 在)2 ,0(π内不为0, 所以由柯西中值定理知至少存在一点)2,0(πξ∈, 使得)()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--. 令)0()2()0()2()()(F F f f x F x f --=''ππ, 即22sin 1cos -=-πx x .化简得14)2(8sin 2-+-=πx . 易证114)2(802<-+-<π, 所以14)2(8sin 2-+-=πx 在)2 ,0(π内有解, 即确实存在)2,0(πξ∈, 使得)()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--.2. 证明题:(1)证明恒等式: 2arccos arcsin π=+x x (-1≤x ≤1).证明 设f (x )= arcsin x +arccos x . 因为 01111)(22≡---='x x x f ,所以f (x )≡C , 其中C 是一常数.因此2arccos arcsin )0()(π=+==x x f x f , 即2arccos arcsin π=+x x .(2)若方程a 0x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ + a n -1x =0有一个正根x 0, 证明方程a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1 =0必有一个小于x 0的正根.证明 设F (x )=a 0x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ + a n -1x , 由于F (x )在[0, x 0]上连续, 在(0, x 0)内可导, 且F (0)=F (x 0)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ∈(0, x 0), 使F '(ξ)=0, 即方程a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1 =0 必有一个小于x 0的正根.(3)若函数f (x )在(a , b )内具有二阶导数, 且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3), 其中a <x 1<x 2<x 3<b , 证明: 在(x 1, x 3)内至少有一点ξ, 使得f ''(ξ)=0.证明 由于f (x )在[x 1, x 2]上连续, 在(x 1, x 2)内可导, 且f (x 1)=f (x 2), 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ1∈(x 1, x 2), 使f '(ξ1)=0. 同理存在一点ξ2∈(x 2, x 3), 使f '(ξ2)=0.又由于f '(x )在[ξ1, ξ2]上连续, 在(ξ1, ξ2)内可导, 且f '(ξ1)=f '(ξ2)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ ∈(ξ1, ξ2)⊂(x 1, x 3), 使f ''(ξ )=0.(4) 设a >b >0, n >1, 证明: nb n -1(a -b )<a n -b n <na n -1(a -b ) .证明 设f (x )=x n , 则f (x )在[b , a ]上连续, 在(b , a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(b , a ), 使f (a )-f (b )=f '(ξ)(a -b ), 即a n -b n =n ξ n -1(a -b ). 因为 nb n -1(a -b )<n ξ n -1(a -b )< na n -1(a -b ), 所以 nb n -1(a -b )<a n -b n < na n -1(a -b ) .3. 用洛必达法则求下列极限: (1)22)2(sin ln limx x x -→ππ; (2)nn m m ax a x a x --→lim; (3)x xx 2tan ln 7tan ln lim0+→; (4)x x x 3tan tan lim 2π→;(5)2120lim x x e x →; (6)⎪⎭⎫ ⎝⎛---→1112lim 21x x x ; (7)x x xa )1(lim +∞→; (8)xx xsin 0lim +→; 解: (1)812csc lim 41)2()2(2cot lim )2(sin ln lim 22222-=---=-⋅-=-→→→x x x x xx x x πππππ.(2)nm n m n m ax nn m m ax a nm na mx nx mx a x a x -----→→===--1111limlim. (3)2000021sec 77ln tan 77tan 272tan 7lim lim lim lim 11ln tan 22tan 727sec 22tan 2x x x x x x x x x x x x x x→+→+→+→+⋅⋅====⋅⋅.(4))sin (cos 23)3sin (3cos 2lim31cos 3cos lim 3133sec sec lim 3tan tan lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x -⋅-==⋅=→→→→ππππ 3sin 3sin 3lim cos 3cos lim22=---=-=→→x xx x x x ππ.(5)+∞====+∞→+∞→→→1lim lim 1lim lim 2101222t t t t x x xx e t e x e e x (注: 当x →0时, +∞→=21xt ). (6)2121lim 11lim 1112lim 12121-=-=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→→→x x x x x x x x . (7)解法1 因为)1ln(lim )1(lim x ax x x x exa +∞→∞→=+, 而 221()ln(1)1lim (ln(1)limlim 11x x x aa axa x x x x x x→∞→∞→∞⋅-+++==- limlim 1x x ax aa x a →∞→∞===+ ,所以 a x ax x x x e exa ==++∞→∞→)1ln(lim )1(lim . 解法2 lim 1lim 1axxa ax x a a e x x →∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦(8) 因为x x x x x e x ln sin 0sin 0lim lim +→+→=,而 00ln lim sin ln lim csc x x x x x x →+→+= 2001sin lim lim 0csc cot cos x x x x x x x x→+→+==-=-⋅ ，所以 1lim lim 0ln sin 0sin 0===+→+→e e x x x x x x .4. 验证下列各题: (1) 验证极限xxx x sin lim+∞→存在, 但不能用洛必达法则得出.解 1)s i n 1(l i m s i n l i m =+=+∞→∞→x x x x x x x , 极限x xx x sin lim+∞→是存在的. 但)cos 1(lim 1cos 1lim )()sin (limx xx x x x x x +=+=''+∞→∞→∞→不存在, 不能用洛必达法则.(2) 验证极限xx x x sin 1sinlim20→存在, 但不能用洛必达法则得出.解 0011sin sin lim sin 1sinlim020=⋅=⋅=→→xx x x x x x x x , 极限x x x x sin 1sinlim 20→是存在的. 但xx x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim )(sin )1sin (lim020-=''→→不存在, 不能用洛必达法则. 5. 将下列函数展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式(1) 求函数f (x )=ln x 按(x -2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式. 解 因为f '(x )=x -1, f ''(x )=(-1)x -2, f '''(x )=(-1)(-2)x -3 , ⋅ ⋅ ⋅ , nn nn x n x n x f )!1()1()1( )2)(1()(1)(--=+-⋅⋅⋅--=--;kk k k f 2)!1()1()2(1)(--=-(k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n +1)所以])2[()2(!)2( )2(!3)2()2(!2)2()2)(2()2(ln )(32n n n x o x n f x f x f x f f x -+-+⋅⋅⋅+-'''+-''+-'+=])2[()2(2)1( )2(231)2(221)2(212ln 13322n n nn x o x n x x x -+-⋅-+⋅⋅⋅--⋅+-⋅--+=-.(2) 求函数f (x )=xe x 的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式. 解 因为f '(x )=e x +x e x ,f ''(x )=e x +e x +x e x =2e x +x e x , f '''(x )=2e x +e x +x e x =3e x +x e x , ⋅ ⋅ ⋅, f (n )(x )=ne x +xe x ;f (k )(0)=k (k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n ),所以 )(!)0( !3)0(!2)0()0()0()(32n nn xx o x n f x f x f x f f xe ++⋅⋅⋅⋅+'''+''+'+=)()!1(1!2132n n x o x n x x x +-⋅⋅⋅+++=.6. 确定下列函数的单调区间:(1) y =2x 3-6x 2-18x -7; (2)xx x y 6941023+-=; 解 (1) y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1)=0, 令y '=0得驻点x 1=-1, x 2=3. 列表得可见函数在(-∞, -1]和[3, +∞)内单调增加, 在[-1, 3]内单调减少.(2)223)694()1)(12(60x x x x x y +----=', 令y '=0得驻点211=x , x 2=1, 不可导点为x =0. 列表得可见函数在(-∞, 0), ]21 ,0(, [1, +∞)内单调减少, 在]1 ,21[上单调增加.7.证明下列不等式::(1)当x >0时, x x +>+1211;(2)当x >4时, 2x >x 2;证明 (1)设x x x f +-+=1211)(, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为x x f +-='12121)(01211>+-+=xx , 所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01211>+-+x x ,也就是 x x +>+1211.(2)设f (x )=x ln2-2ln x , 则f (x )在[4, +∞)内连续, 因为 0422ln 224ln 22ln )(=->-=-='e x x x f ,所以当x >4时, f '(x )>0, 即f (x )内单调增加.因此当x >4时, f (x )>f (4)=0, 即x ln2-2ln x >0,也就是2x >x 2.8.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: (1) y =x 3-5x 2+3x +5 ; (2) y =xe -x ;(3) y =(x +1)4+e x .解 (1)y '=3x 2-10x +3, y ''=6x -10. 令y ''=0, 得35=x .因为当35<x 时, y ''<0; 当35>x 时, y ''>0, 所以曲线在]35 ,(-∞内是是凸的, 在) ,35[∞+内是凹的, 拐点为)2720,35(.(2)y '=e -x -x e -x , y ''=-e -x -e -x +x e -x =e -x (x -2). 令y ''=0, 得x =2.因为当x <2时, y ''<0; 当x >2时, y ''>0, 所以曲线在(-∞, 2]内是凸的, 在[2, +∞)内是凹的, 拐点为(2, 2e -2).(3)y '=4(x +1)3+e x , y ''=12(x +1)2+e x .因为在(-∞, +∞)内, y ''>0, 所以曲线y =(x +1)4+e x 的在(-∞, +∞)内是凹的, 无拐点.9.求函数的极值:(1) y =2x 3-6x 2-18x +7； (2) y =x -ln(1+x )； (3) y =-x 4+2x 2 .解 (1)函数的定义为(-∞, +∞), y '=6x 2-12x -18=6(x 2-2x -3)=6(x -3)(x +1), 驻点为x 1=-1, x 2=3. 列表可见函数在x =-1处取得极大值17, 在x =3处取得极小值-47.(2)函数的定义为(-1, +∞), xxx y +=+-='1111, 驻点为x =0. 因为当-1<x <0时, y '<0; 当x >0时, y '>0, 所以函数在x =0处取得极小值, 极小值为y (0)=0.(3)函数的定义为(-∞, +∞),y '=-4x 3+4x =-4x (x 2-1), y ''=-12x 2+4, 令y '=0, 得x 1=0, x 2=-1, x 3=1.因为y ''(0)=4>0, y ''(-1)=-8<0, y ''(1)=-8<0, 所以y (0)=0是函数的极小值, y (-1)=1和y (1)=1是函数的极大值.10.求下列函数的最大值、最小值: (1) y =2x 3-3x 2 , -1≤x ≤4;(2) y =2x 3-6x 2-18x -7(1≤x ≤4).解 (1)y '=6x 2-6x =6x (x -1), 令y '=0, 得x 1=0, x 2=1. 计算函数值得 y (-1)=-5, y (0)=0, y (1)=-1, y (4)=80,经比较得出函数的最小值为y (-1)=-5, 最大值为y (4)=80.(2) y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1), 函数f (x )在1≤x ≤4内的驻点为x =3. 比较函数值:f (1)=-29, f (3)=-61, f (4)=-47,函数f (x )在x =1处取得最大值, 最大值为f (1)=-29.11.某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图), 截面的面积为5m 2, 问底宽x 为多少时才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省？解 设矩形高为h , 截面的周长S , 则5)2(212=⋅+πx xh , x x h 85π-=.于是xx x x h x S 10422++=++=ππ(π400<<x ), 21041xS -+='π.令S '=0, 得唯一驻点π+=440x .因为0203>=''xS , 所以π+=440x 为极小值点, 同时也是最小值点. 因此底宽为π+=440x 时所用的材料最省. 12.从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图), 问留下的扇形的中心角ϕ取多大时, 做成的漏斗的容积最大？解 漏斗的底周长l 、底半径r 、高h 分别为 l =R ⋅ϕ, πϕ2R r =, 222242ϕππ-=-=Rr R h .漏斗的容积为22223242431ϕππϕπ-==R hr V (0<ϕ<2π).2222234)38(24ϕπϕπϕπ--⋅='R V ，驻点为πϕ362=. 由问题的实际意义, V 一定在(0, 2π)内取得最大值, 而V 在(0, 2π)内只有一个驻点, 所以该驻点一定也是最大值点. 因此当ϕ π362=时, 漏斗的容积最大.13.一房地产公司有50套公寓要出租. 当月租金定为1000元时, 公寓会全部租出去. 当月租金每增加50元时, 就会多一套公寓租不出去, 而租出去的公寓每月需花费100元的维修费. 试问房租定为多少可获最大收入？解 房租定为x 元, 纯收入为R 元.当x ≤1000时, R =50x -50⨯100=50x -5000, 且当x =1000时, 得最大纯收入45000元. 当x >1000时,700072501100)]1000(5150[)]1000(5150[2-+-=⋅---⋅--=x x x x x R ,72251+-='x R . 令R '=0得(1000, +∞)内唯一驻点x =1800. 因为0251<-=''R , 所以1800为极大值点, 同时也是最大值点. 最大值为R =57800.因此, 房租定为1800元可获最大收入.。
第03章微分中值定理与导数的应用习题详解
M 12丿」I 2丿第三章 微分中值定理与导数的应用习题3-11.解：(1)虽然 f(x)在［—1,1］上连续，f(—1) = f(1)，且 f(x)在(—1,1)内可导。
可见，f(x)在［_1,1］上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点 匕€(-1,1)，使得f 牡)=0，即:f(X)=cosx, F(X)=1 — sin X 且对任一 x 乏0,—】，F'(X)H 0, ”■. f (x),F (x)满足柯西 I 2丿中值定理条件。
—12©宀2=0，满足、； (2)虽然f(x)在［—1,1］上连续,f(_1)= f (1)，但 f (x)在(—1,1)内 x = 0点不可导。
可 见，f (x)在［ —1,1］上不满足罗尔中值定理的条件，因此未必存在一点 £ £ (_1,1)，使得 f 徉)=0. 2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件 3 3 .解：令 y = 3arccos x - arccos(3x - 4x 3), y ‘ = 一 23 —12x 2厂工®®3)2，化简得 y'=0,「. y =c ( C 为常数)，又 y(0.5)=兀，故当-0.5<x<0.5，有 y(x)=兀。
「兀f f 兀、 4 .证明：显然f(x), F(x)都满足在'|0,二I 上连续，在10,二 内可导L 2」 I 2丿 c oxsn ——x、、2丿F Q-F(O)12丿兀--1 2F( x) -1 sixn_c O 弓-x厂(X )_F(x) ZL"2 /兀 X ,，即 tan I - -- U--1，此时l 4 2丿 2f JI「兀X = 2 I — -arctan l — -1L 4l 2显然萨〔0,-〕，即丿」 I 2丿5.解：因为f(0) = f (1)= f (2) = f (3) =0，又因为f(x)在任一区间内都连续而且可导, 所以f (X)在任一区间 0,1 ], 1,2], [2,3]内满足罗尔中值定理的条件， 所以由罗尔定理，得:3" -(0,1), "^(1,2), ©-(2,3),使得：f 徉1 )= 0 r =) &：◎(=), 30 因为6.证明：设f(x) =0的n+1个相异实根为X o V X 1 <X 2 <H( <X n则由罗尔中值定理知：存在J (i =1,2,川n):X0 <：勺1cj ■<X2 vill <-1^Xn ，使得再由罗尔中值定理至少存在So =1,2,川n-1):上11 C 巴21 V ©2 吒 W ©3 V i 11 < J n d W G n ,使得7.解：反证法，倘若 p(X)=0有两个实根，设为X^X 2，由于多项式函数 p(x)在[X 1,X 2]上连续且可导，故由罗尔中值定理存在一点E€(X I ,X 2),使得P 徉)=0,而这与所设p'(x)=0没有实根相矛盾，命题得证。
(完整版)中值定理与导数的应用导数、微分习题及答案
第三章 中值定理与导数的应用(A)1．在下列四个函数中,在[]1,1-上满足罗尔定理条件的函数是( ) A ．18+=x y B ．142+=x y C ．21xy = D ．x y sin = 2．函数()xx f 1=满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( ) A ．[]2,2- B ． []0,2- C ．[]2,1 D ．[]1,0 3．方程0155=+-x x 在()1,1-内根的个数是 ( ) A ．没有实根 B ．有且仅有一个实根 C ．有两个相异的实根 D ．有五个实根 4．若对任意()b a x ,∈，有()()x g x f '='，则 ( ) A ．对任意()b a x ,∈，有()()x g x f = B ．存在()b a x ,0∈，使()()00x g x f =C ．对任意()b a x ,∈，有()()0C x g x f +=(0C 是某个常数)D ．对任意()b a x ,∈，有()()C x g x f +=(C 是任意常数) 5．函数()3553x x x f -=在R 上有 ( )A ．四个极值点；B ．三个极值点C ．二个极值点D ． 一个极值点 6．函数()7186223+--=x x x x f 的极大值是 ( ) A ．17 B ．11 C ．10 D ．97．设()x f 在闭区间[]1,1-上连续，在开区间()1,1-上可导，且()M x f ≤'，()00=f ，则必有 ( )A ．()M x f ≥B ．()M x f >C ．()M x f ≤D ．()M x f < 8．若函数()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,可导，则 ( ) A ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b f a f b f --'=-θ B ．存在()1,0∈θ，有()()()()()a b a b a f b f a f --+'=-θC ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f b f a f -'=-θD ．存在()b a ,∈θ，有()()()()b a f a f b f -'=-θ9．若032<-b a ，则方程()023=+++=c bx ax x x f ( )A ．无实根B ．有唯一的实根C ．有三个实根D ．有重实根10．求极限xx x x sin 1sinlim20→时，下列各种解法正确的是 ( )A ．用洛必塔法则后，求得极限为0B ．因为xx 1lim0→不存在，所以上述极限不存在 C ．原式01sin sin lim 0=⋅=→x x x x xD ．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在 11．设函数212x xy +=，在 ( ) A ．()+∞∞-,单调增加 B ．()+∞∞-,单调减少 C ．()1,1-单调增加，其余区间单调减少 D ．()1,1-单调减少，其余区间单调增加12．曲线xe y x+=1 ( )A ．有一个拐点B ．有二个拐点C ．有三个拐点D ． 无拐点 13．指出曲线23x xy -=的渐近线 ( ) A ．没有水平渐近线，也没有斜渐近线 B ．3=x 为其垂直渐近线，但无水平渐近线 C ．即有垂直渐近线，又有水平渐近线 D ． 只有水平渐近线14．函数()()312321--=x x x f 在区间()2,0上最小值为 ( )A ．4729B ．0C ．1D ．无最小值 15．求()201ln lim x x x x +-→16．求()⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+→x x x 11ln 1lim 0 17．求x xx 3cos sin 21lim6-→π18．求()xx x1201lim +→19．求xx arctgx ln 12lim ⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→π20．求函数149323+--=x x x y 的单调区间。
高等数学第三章微分中值定理与导数的应用试题库(附带答案)
>第三章 微分中值定理与导数的应用一、选择题1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ）是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A (2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ）0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''=3、的凸区间是 x e y x -=（ ）) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞，4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ）(A)xx sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2x )x (f = (D)1x )x (f 2+=5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ）(A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ]5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ）(A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-，&8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ．(A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3x 3sin3x asinx f(x)π=+=（ ） (A) 1 (B) 2 (C)3 π(D) 010、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ）]5 4, 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000、二、填空题 1、__________________e y82x的凸区间是曲线-=．2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．3、的凸区间为曲线x 3 e y x+=_____________________ ． 4、函数f （x ）＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝ ． 5、设曲线y ＝a 23bx x +以点（1，3）为拐点，则数组（a ，b ）＝ ． 6、函数1x 3x y 3+-=在区间 [-2,0] 上的最大值为 ，最小值为 ． 7、函数 x sin ln y =在 [65, 6 ππ] 上的罗尔中值点ξ= ． …8、1 x y +=在区间 [ 1，3 ] 的拉格朗日中值点ξ = _______________． 9、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 10、______________ 2x y x 的极小值点是函数⋅=。
第三章 中值定理与导数的应用部分考研真题及解答
第三章 中值定理与导数的应用 3.1中值定理02.12)设函数()y f x =在(0,)+∞内有界且可导，则 （ B ）（A ）当l i m ()0x f x →+∞=时，必有lim ()0x f x →+∞'= （B ）当l i m ()x f x →+∞'存在时，必有lim ()0x f x →+∞'=（C ）当0l i m ()0x f x +→=时，必有0lim ()0x f x +→'= （D ）当0l i m ()x f x +→'存在时，必有0lim ()0x f x +→'= 提示：sin ()xf x x=和()sin f x x =反例排除 02.34)设函数f (x )在闭区间[a ，b ]上有定义，在区间（a ，b ）上可导，则 （ B ） （A ）当()()0f a f b <时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ=. （B ）对任何(,)a b ξ∈，有[]lim ()()0x f x f ξξ→-=（C ）当()()f a f b =时，存在(,)a b ξ∈，使()0f ξ'= （D ）存在(,)a b ξ∈，使()()f a f b -=()()f b a ξ'-01.1)设y =f (x )在(-1,1)内具有二阶连续导数且()0f x ''≠，求证：（1）对于(-1,1)内的任意0x ≠，存在唯一的()(0,1)x θ∈，使得()(0)[()]f x f xf x x θ'=+成立；（拉格朗日+一导单调所以唯一）（2）01lim ()2x x θ→=. 证明：（2）对于非零(1,1),x ∈-由拉格朗日中值定理得()(0)[()]f x f xf x x θ'=+(01)θ<<于是2[()](0)()(0)(0)f x x f f x f f xx x θ'''---=两边取0x →的极限即得。
[整理]3第三章微分中值定理与导数的应用习题解答23309
![[整理]3第三章微分中值定理与导数的应用习题解答23309](https://img.taocdn.com/s3/m/82e50b59f111f18583d05acf.png)
第三章 微分中值定理与导数的应用答案§3.1 微分中值定理1． 填空题 （１）ππ-4 （２） 3 , )5,3(),3,2(),2,1(2． 选择题（１） B （２） C （３） B3．证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则01111)(22=+-+='xx x f ，所以)(x f 为一常数． 设c x f =)(，又因为(1)2f π=，故 )(2c o t a r c t a n ∞<<-∞=+x x arc x π．4．证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．5．证明：设621)(32x x x x f +++=， 则031)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ， 使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在),(21x x ∈η使0)(='ηf ，即02112=++ηη，这与02112>++ηη矛盾．故方程062132=+++x x x 只有一个实根．6．证明： 由于)(x f 在],[b a 内可导，从而)(x f 在闭区间],[b a 内连续，在开区间(,)a b 内可导．又因为()0,()0f a f c <>，根据零点存在定理，必存在点1(,)a c ξ∈，使得0)(1=ξf ． 同理，存在点2(,)c b ξ∈，使得0)(2=ξf ．因此()f x 在[]21,ξξ上满足罗尔定理的条件，故存在),(b a ∈ξ， 使0)(='ξf 成立．7.证明： 只需令2)(x x g =，利用柯西中值定理即可证明.8． （１）证明： 设t t t t f cos sin )(-=，函数)(t f 在区间],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，且t t t f sin )(=', 故'()(0)()(0), 0f x f f x x ξξ-=-<<, 即0sin cos sin >=-ξξx x x x (π<<x 0)因此， 当π<<x 0时，x xxcos sin >．（２）证明：设x x f ln )(=，则函数在区间[,]b a 上满足拉格朗日中值定理得条件，有'()()()(),f a f b f a b b a ξξ-=-<< 因为'1()f x x=，所以1ln ()a a b b ξ=-，又因为b a ξ<<，所以111a b ξ<<，从而 bba b a a b a -<<-ln ．§3.2 洛毕达法则1． 填空题 （１）35- （２） 0 （３）31 （４）1２．选择题（１） B （２） C3．（１）解： n n m m a x a x a x --→lim =nm n m a x a nm nx mx ---→=11lim．（２）解： 20222lim xx x x -+-→=x x x x 22ln 22ln 2lim 0-→-=2)2(ln 2)2(ln 2lim 220x x x -→+=2)2(ln ．（３）解：30tan sin lim x x x x -→＝32030)21(lim )1(cos tan lim x x x x x x x x -⋅=-→→＝21-．（４）解：20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→＝201sin lim xx e x x --→＝212sin lim 2cos lim 00=+=-→→x e x x e x x x x ．（５） 解： )ln 1()(x x x xx+='，x x x x x x ln 1lim1+--→＝x x x xx 11)ln 1(1lim 1+-+-→＝22111)ln 1(limxx x x x xx x --+-→2])ln 1([lim 1221=++=++→x x x x x x ．（６） 解：2121lim )1(1lim )111(lim 22000==---=--→→→x xe x x e e x x x x x x x（７）解：1)1(lim 202000sin limcsc 1lim cot ln limln tan lim tan 0=====+→+→+→+→+----→x xxx xxxx xx x x x x e e ee x．（８）解： )31ln()21ln(lim x x x +++∞→=2ln 23ln(12)12lim ln(12)3lim 3lim1x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞+++== =xxx 212lim 2ln 3++∞→=2ln 3．（９）解： 因为1lim1limln 1lim===∞→∞→∞→x x x x x x x eex ，所以nn n ∞→lim=1．§3.3 泰勒公式１．解： 10)1(,64)(3='+='f x x x f ， 同理得24)1(,24)1(,18)1()4(=='''=''ff f ，且0)()5(=x f ．由泰勒公式得：43)(24++=x x x f =432)1()1(4)1(9)1(108-+-+-+-+x x x x ．2．解：因为)(!!2!112n nxx o n x x x e +++++= ，所以xe x xf 2)(==2222[1()]1!2!(2)!n n x x x x o x n --+++++-=)()!2(!2!1432n n x o n x x x x +-++++ ．3．解：设xx f 2)(=，则2ln 2)(xx f ='，2)2(ln 2)(xx f =''．2)2(ln )0(,2ln )0(,1)0(=''='=f f f ，故 )(!2)2(ln !12ln 12222x x x xο+++=， 则 222)2(ln 2ln 1)(x x x p ++=为所求． 4．解：因为 ))1((3)1(2)1(1)11ln(332xo x x x x ++-=+，所以 )11ln(2x x x +-=)])1((3)1(2)1(1[3322x o x x x x x ++--=)1(3121x o x +-， 故 21)]1(3121[lim )]11ln([lim 2=+-=+-∞→∞→x o x x x x x x ．5．证明： 因为 0)(lim 20=→x x f x ，所以0)0(,0)0(,0)0(=''='=f f f ．由麦克劳林公式得：332!3)(!3)(!2)0()0()0()(x f x f x f x f f x f ξξ'''='''+''+'+= （ξ介于0与x 之间），因此 !3)()1(ξf f '''=，由于0)1(=f ，故0)(='''ξf ．§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性1． 填空题 （１）),21()0,21(+∞- , )21,0()21,( --∞ （２） 增加（３）0> （４）23-，29， )1,(-∞， ),1(∞．2． 单项选择题（１）A （２） B （３） D （４）B 3．（１）解：1-='xe y ，当0>x 时，0>'y ,所以函数在区间),0[+∞为单调增加； 当0<x 时，0<'y ，所以函数在区间]0,(-∞为单调减少．（２）解：)1(31031-='-x x y ， 当1>x ，或0<x 时，0>'y ,所以函数在区间),1[]0,(+∞-∞ 为单调增加； 当01x <<时，0<'y ，所以函数在区间]1,0[为单调减少．（３）解： 011111222>+=++++='xxx x x y ，故函数在),(+∞-∞单调增加．3． （１）证明：令xxx f +=1)(，则0)1(1)(2>+='x x f ， )(x f 在) , 0 [∞+内单调增加. 于是, 由 |||| ||b a b a +≤+, 就有 ) |||| () || (b a f b a f +≤+, 即||1||||1||||||1||||||1||||||1||||||1||b b a a b a b b a a b a b a b a b a +++≤+++++=+++≤+++（２）证明：设)1(2ln )1()(--+=x x x x f ， 11ln )('-+=xx x f ，由于当1x >时，211()0f x x x''=->, 因此)(x f '在),1[+∞单调递增, 当 1x >时, 0)1()(='>'f x f , 故)(x f 在),1[+∞单调递增, 当 1>x 时, 有0)1()(=>f x f .故当1>x 时,0)1(2ln )1()(>--+=x x x x f ,因此1)1(2ln +->x x x ．（３）证明：设6sin )(3x x x x f +-=, 021cos )(2=+-='x x x f ，当0>x ，()sin 0f x x x ''=->，所以)(x f '在),0[+∞单调递增, 当 0>x 时, 0)0()(='>'f x f , 故)(x f 在),0[+∞单调递增, 从而当 0>x 时, 有0)0()(=>f x f . 因此当 0>x 时，6sin 3x x x ->．4．解：设()sin ,2x x x k πϕ=-- 则()x ϕ在]2,0[π连续, 且k k -=-=)2(,)0(πϕϕ， 由()1cos 02x x πϕ'=-=，得2arccos x π=为)2,0(π内的唯一驻点．()x ϕ在2[0,arccos ]π上单调减少，在2[arccos ,]2ππ上单调增加．故k ---=242arccos )2(arccos 2πππϕ为极小值，因此)(x ϕ在]2,0[π的最大值是k -,最小值是k ---242arccos 2ππ．（１） 当,0≥k 或242arccos 2--<ππk 时,方程在)2,0(π内无实根；（２） 当0242arccos 2<<--k ππ时,有两个实根；（３） 当242arccos2--=ππk 时，有唯一实根．5．解： c bx ax y ++='232,b ax y 26+=''，所以2323(2)2(2)062010(2)(2)(2)44a b c a b a b c d a b c d ⎧-+-+=⎪+=⎪⎨+++=-⎪⎪-+-+-+=⎩解得 16,24,3,1=-=-==d c b a ．6．（１）解： 222)1(11-+-='x x y , 323)1(62-+=''x xx y , 令0=''y ,得0=x ，当1x =±时y ''不存在．当01<<-x 或1>x 时, 0>''y ,当1-<x 或10<<x 时, 0<''y ．故曲线12-+=x xx y 在)1,0()1,( --∞上是凸的, 在区间和),1()0,1(+∞- 上是凹的，曲线的拐点为)0,0(．（２）解：y '=，y ''=．当0=x 时，y y ''',不存在；当21-=x 时，0=''y ．故曲线在)21,(--∞上是凸的, 在),21(+∞-上是凹的，)23,21(3--是曲线的拐点,7．证明：令πx x x f -=2sin )(, 则π12cos 21)(-='x x f , 2sin 41)(x x f -=''． 当π<<x 0时, 0)(<''x f , 故函数πxx x f -=2sin )(的图形在),0(π上是凸的, 从而曲线)(x f y =在线段AB （其中)(,()),0(,0(ππf B f A ）的上方，又0)()0(==πf f , 因此0)(>x f ,即πx x >2sin ．§3.5 函数的极值与最大值最小值1． 填空题 （１）1ln 2x =-（２） 322)21(=f ， (0)1f =-2．选择题（１） C （２） B （３）Ａ3．（１）解：由13()10f x x-'=-=，得1=x ．4''31(),(1)03f x x f -''=>，所以函数在1=x 点取得极小值．（２）解：定义域为),0(+∞，11ln 21, (1ln )x x xy ey xx x '==-， 令0y '=得驻点x e =，当(0,)x e ∈时，0y '>，当(,)x e ∈+∞时，0y '<．因此ee e y 1)(=为极大值． 4．解：(3)23, (4)132y y -==．由266120y x x '=+-=，得1=x , 2-=x ．而34)2(,7)1(=-=y y , 所以最大值为132，最小值为7．5．解：设圆锥体的高为h , 底半径为r ,故圆锥体的体积为h r V 2 31π=， 由于222)(R r R h =+-，因此)2( 31)(2h Rh h h V -=π )20(R h <<， 由0)34( 31)(2=-='h Rh h V π，得34R h =，此时R r 322=． 由于内接锥体体积的最大值一定存在,且在)2,0(R 的内部取得. 现在0)(='h V 在)2,0(R 内只有一个根,故当34Rh =, R r 322=时, 内接锥体体积的最大．6.解: 设AD x =, B 与C 间的运费为y , 则)100(340052x k x k y -++= （1000≤≤x ）， 其中k 是某一正数． 由 0)34005(2=-+='xx k y , 得15=x .由于k y x 400|0==, k y x 380|15==, 2100511500|+==x y , 其中以k y x 380|15==为最小, 因此当AD =15=x km 时, 总运费为最省．7．解： 问题转化为求过点C 的线段AB 的最大值. 设木料的长度为l , y CB x AC ==,，木料与河岸的夹角为t ，则l y x =+，且 t b y t a x sin ,cos ==, t b t a l s i n c o s += )2,0(π∈t ． 则 ttb t t a l 22sin cos cos sin -='， 由0='l 得3tan abt =, 此时233232)(b a l +=，故木料最长为233232)(b a l +=．§3.6 函数图形的描绘１．解：由 -∞=+-→231)1(limx x x ，所以1x =为曲线)(x f y =的铅直渐近线． 因为 2)1(lim )(lim ,1)1(limlim 2322-=-+=-=+=∞→∞→∞→∞→x x x x y x x x y x x x x 所以2-=x y 为曲线)(x f y =的斜渐近线．2．解： 函数的定义域为()(),11,-∞-+∞．()()()()()2342132, 211x x x y y x x -+-'''==--． 令0='y ，得1 ,2-==x x ；令0=''y ，得2=x ．列表讨论如下：x(,1)-∞-1- (1,1)-(1,2)2 (2,)+∞y ' ＋ 0－ ＋ 0 ＋ y '' － － －－＋ ()x f y =⎛极大值83-⎫ ⎛拐点()3,2⎭由于()()21122lim lim 23=--=∞→∞→x x x x x f x x ， ()()11222lim 21lim 22=---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∞→∞→x x x x x f x x ， 所以，121+=x y 是曲线的斜渐近线．又因为()-∞=--→231122lim x x x ，所以1=x 是曲线的铅垂渐近线． 当0=x 时1-=y ；当0=y 时32=x ．综合上述讨论，作出函数的图形如下3§3.7 曲率1． 填空题:（１） __0__ （２） ___2____， 21（３） dx e x x 2)(cos 1++．2．解： 由题设可知 函数c bx ax y ++=2与xe y =在0=x 处由相同的函数值，一阶导数值，二阶导数值，故21,1,1===a b c ．3．解： x y x y sin ,cos -=''=', 曲线在一点处的曲率为332222|sin |sin (1cos )(2sin )x x K x x ==+-令 322()(2)xf x x =-, 25222(1)()(2)x f x x +'=-，当10≤≤x 时,0)(>'x f ,故)(x f 在]1,0[上单调增加, 因此)(x f 在]1,0[上的最大值是1)1(=f ,即)0(sin π<<=x x y 在点)1,2(π处的曲率半径最小, 其曲率半径为11==KR ．4．解：t b y t a x t b y t a x sin ,cos ;cos ,sin -=''-=''='-='因此曲率|||)cos sin (||)(||),0(2/322222/322a bt b t a ab y x y x y x k b =+='+''''-'''=， 曲率半径||/1bak ==ρ．§3.7方程的近似解1.证明: 令055)(,15)(45>+='++=x x f x x x f ，函数)(x f 在)0,1(-单调递增．)(x f 在[1,0]-上连续，且01)0(,05)1(>=<-=-f f ,故方程0155=++x x 在区间)0,1(-内有唯一的实根．求近似值的过程略．第三章 综合练习题1．填空题（１） 0 （２） )0,1(-， ),0(+∞ （３） 00==y x 和．（４） 1 ．2．（１） 解：20)1ln(sin 1tan 1lim x x x x x x -++-+→＝xx x x x x x x sin 1tan 11])1[ln(sin tan lim 0+++⋅-+-→ ＝x x x x x x x tan lim )1ln(cos 1lim 2100→→⋅-+-＝x x x x -+-→)1ln(cos 1lim 210＝111sin lim 210-+→xx x ＝21)1(sin lim 210-=+-→x x x x ．（２） 解：x e e x x x x a a x x 1sin )(1cos )1cos 11sin(lim 21-+-+∞→=xe e x x x x x a x 1sin )1(1cos )1cos 11sin (lim 212-+-∞→=x x e x x x a x 1)1(1cos 11sin lim 22+-∞→ =a x a e x x x x x x x e 2432223131sin 11cos 11cos 1lim 1-=-+-∞→．3．证明： 令221)1ln()(x x x x f +-+=, 则 21()111x f x x x x'=-+=++, 当0>x 时, ()0f x '>，故)(x f 在),0[+∞单调增． 当0>x 时，有()(0)0f x f >=，即)1ln(212x x x +<-．4．证明： 设)(arctan )(x f x F =, 则)(1)()(2x f x f x F +'='，且2|)(|π≤x F ． 由拉格朗日中值定理知, 存在),(0b a x ∈，使)()()(0x F a b a F b F '=--, 即 14422|)(||)(|)()()(1)(020<=+≤-+≤--=+'πππa b a F b F a b a F b F x f x f ．5．证明： 设)(),(x g x f 分别在),(,21b a x x ∈取得最大值M ， 则12()()f x g x M ==, 且12()()0f x g x ''==． 令)()()(x g x f x F -=．当21x x =时, 0)()()(1===x F b F a F , 由罗尔定理知, 存在),(),,(1211b x x a ∈∈ξξ, 使 0)()(21='='ξξF F , 进一步由罗尔定理知, 存在),(21x x ∈ξ，使0)(=''ξF ，即)()(ξξg f ''=''当21x x ≠时, 0)()(11≥-=x g M x F ,0)()(22≤-=M x f x F ，由零点存在定理可知，存在],[211x x ∈ξ，使0)(1=ξF ． 由于0)()(==b F a F ，由前面证明知, 存在),(b a ∈ξ，使0)(=''ξF ，即)()(ξξg f ''=''．6． 证明：设11)(2-+=x kx x f ． 当0=k ，显然112=x只有一个正的实根．下考虑0<k 时的情况． 先证存在性： 因为)(x f 在),0(+∞内连续，且+∞=→)(lim 0x f x ，-∞=+∞→)(lim x f x ，由零点存在定理知，至少存在一个),0(+∞∈ξ，使0)(=ξf ，即112=+xkx 至少有一个正的实根． 再证唯一性：假设有12,0x x >，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在12(,)(0,)x x η∈⊂+∞，使0)(='ηf ，即023=-ηk ，从而023>=ηk ，这与0<k 矛盾．故方程112=+x kx 只有一个正的实根．7．解：因为12183)()(2++-='=t t t Q t x ,186)()(+-=''='t t Q t x , 令0)(='t x ,得3=t ． 又当3t <时，()0x t '>．函数()x t 在[0,3]上单调增加；当3t >时，()0x t '<，函数()x t 在[3,)+∞上单调减少．故当3=t 时，)(t x 达到最大, 即上午11时这个工人的工作效率最高．。
微积分经济类考研基础习题第三章中值定理与导数的应用word精品文档7页
微积分经济类考研基础习题第三章 中值定理与导数的应用一、填空题1.函数321)(x x f -=在]1,1[-上不能有罗尔定理的结论，其原因是由于)(x f 不满足罗尔定理的一个条件： .2.极限13cos ln lim 2sin 2-→x x xπ的值等于 .3.极限xx xx x sin tan lim 0--→的值等于 .4.函数x ex f x2)(2-=在区间 .上单调递增.5.设函数)(x f y =在),(+∞-∞上可导，且2411)('x ex x f -+=，则)(x f y =在),(+∞-∞上是单调 .函数.6.函数322312)(x x x x f -+=的极小值是 . 7.函数x x x f ln 3arctan 10)(-=的极大值是 .8.函数22sin )(x x e x f x+--=在),(+∞-∞上的最小值是 . 9.函数42)(x x x f -=在),(+∞-∞上的最大值是 . 10.曲线xxe y 2=在区间 上是凸的（即向下凹的）.11.曲线x x x y sin 24-+=在区间 上是凹的（即向上凹的）. 12.曲线16623-+=x x y 的拐点坐标是 .13.曲线2101)1ln(xx y ++=的渐近线方程是 . 二、选择题1.设)(),(x g x f 在0x 的某去心邻域内可导，,0)('≠x g 且适合0)(lim 0=→x f x x 及0)(lim 0=→x g x x ，则（I ）:λ=→)()(limx g x f x x 与（II ）: λ=→)(')('lim 0x g x f x x 的关系是（ ）.（A ）（I ）是（II ）的充分但非必要条件 （B ）（I ）是（II ）的必要但非充分条件（C ）（I ）是（II ）的充要条件 （D ）（I ）不是（II ）的充分条件，也不是（II ）的必要条件 2.设)(x f 在),(+∞-∞上二阶可导，,0)('0=x f 问)(x f 还要满足以下哪个条件（ ），则)(0x f 必是)(x f 的最大值.（A ）0x x =是)(x f 的唯一驻点 （B ）0x x =是)(x f 的极大值点 （C ）)(''x f 在),(+∞-∞上恒为负值 （D ）)(''x f 在),(+∞-∞上恒为正值 3.“()f x 在00(,)x x δδ-+内可导且,0)('0=x f 当00x x δ-<-<时()0f x '>；当00x x δ<-<时'()0f x <”是)(x f 在0x 处取得极大值的（ ）.（A ）必要但非充分条件 （B ）充分但非必要条件（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件. 4.设,)(23x bx ax x f ++=且,1)1(=f 则（ ）. （A ）,1,1=-=b a 该函数有极大值(1)f （B ）1,1a b ==-，该函数有极小值(1)f （C ）1,2a b =-=，（1,1）该曲线的拐点 （D ）1,1a b ==-，(1)f 是该函数的极小值5.命题（I ）:)()(x g x f >是命题（II ）：)(')('x g x f >的（ ）. （A ）必要但非充分条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件6．设)(x f 处处连续，且在1x x =处有21,0)('x x x f ==在处不可导，那么有（ ）. （A ）21 x x x x ==及都必不是)(x f 的极值点（B ）只有1x x =是)(x f 的极值点（C ）21 x x x x ==及都有可能是)(x f 的极值点 （D ）只有2x x =是)(x f 的极值点7.设,)]([)('2x x f φ=其中)(x φ在),(+∞-∞上恒为正值，其导数)('x φ为单调减，且,0)('0=x φ则（ ）.（A ）)(x f y =所表示的曲线在))(,(00x f x 处有拐点（B ）0x x =是)(x f 的极大值点 （C ）曲线)(x f y =在),(+∞-∞上是凹的 （D ）)(0x f 是)(x f 在),(+∞-∞上的最小值 8.设曲线的方程为),1arctan(sin x xxy -+=则（ ）. （A ）曲线没有渐进线 （B ）2π-=y 是曲线的渐进线（C ）0x =是曲线的渐进线 （D ）2π=y 是曲线的渐进线9. 设曲线的方程为1)1sin(22--=x x y ,则（ ）.（A ）1y =-是曲线的渐进线 （B ）曲线没有渐进线（C ）0y =是曲线的渐进线 （D ）11=-=x x 及是曲线的渐进线 三、计算题 1.极限)1ln(arctan sin lim20x x xx x +-→.2.求极限xx x ln 1)arctan 2(lim -+∞→π.3.求极限.21sin 22sinlim-+→x x x ππ4.求极限bxax x sin ln sin ln lim→（,a b 都是不为０的常数）.5.求极限)sin 4cos 4csc (lim 30xx xx x x -→. 6.求极限)1sin 1(lim 2xx x x -∞→.7.求极限2tan tan )tan(lim 4222+--+-→x e e x x x .8.求极限xxx ex 110))1((lim +→. 9.试确定,,a b c 的值，使c bx ax x y +++=23在点(1,1)-处有拐点，且在0x =处有极大值为１，并求此函数的极小值.10.求22)(x xe x f -=在),(+∞-∞上的最大值与最小值.11.设对所有x ，函数)(),(x g x f 均可导，),(')('x g x f >且).0()0(f g =试在），）及（∞+-∞00,(中比较)(x f 与()g x 的大小.12.讨论x x x f ln )(=在其定义域上的最大值与最小值. 13.求)1ln(44)(2++-=x x x x f 的极大值与极小值.14.设可微函数)(x f y =由方程04333=+-+y x y x 所确定，试确定此函数的单调区间.四、证明题1.验证罗尔定理对32)(2--=x x x f 在[3,1-]上的正确性. 2.验证柯西中值定理对函数x x f sin 2)(=和x x g cos 1)(-=在[2,0π]上的正确性.3.设)(x f 在[0，1]上连续，在(0,1)内可导，且.0)0(=f 证明：在(0,1)内至少存在一点c ，使).(')(2)('c f c f c cf =+【提示：设辅助函数).()1()(2x f x x F -=】4.证明不等式：当0>x 时，.1ln x xe x <- 5.证明：当20π<<x 时，有不等式：tan 2sin 3x x x +>.6.证明恒等式：π=--)43arccos(arccos 33x x x . 四、附加题1.设0,()a f x >在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，又0)(=a f . 试证：()())(,ξξξξf ab f b a '-=∈∃使. 2.设函数)(x f 在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，且(0)(1)(2)3f f f ++=,(3)1f =，试证必存在()()03,0='∈ξξf 使 .3.设)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且(1)1f =，(0)0f =，则在(0,1)内至少存在一点()()[]1,1='+-ξξξξf f e使.4.设0,2121>≠x x x x 且，试证在1x 与2x 之间存在一点ξ，使()()2121112x x e e x e x x x --=-ξξ.5.设0a >，)(x f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，证明:存在),(,b a ∈ηξ，使得()()ηηξf ba f '+='2. 6.设函数)(x f 在[1,1]-上具有三阶连续导数，且(1)0f -=, (1)1f =,'(0)0f =,证明：在(1,1)-内至少存在一点()3='''ξξf 使.7.试证当0x >时，()()221ln 1-≥-x x x .8.设()1,0∈x ，证明:（1）()()221ln 1x x x <++； （2）()2111ln 112ln 1<-+<-x x . 9.设2e b a e <<<, 证明：)(4ln ln 222a b ea b ->-. 10.设b a <<0，证明:不等式222ln ln a b a a b b a -<<+-11.设)(x f ,()g x 在点0x 处可导，且00()()0f x g x ==,()()000f x g x ''>，()g x ，)(x f 在0x 处二阶导数存在，则点0x （ ）.（A ）不是)(x f ()g x 的驻点 （B ）是)(x f ()g x 的驻点，但不是极值点 （C ）是)(x f ()g x 的极小点 （D ）是)(x f ()g x 的极大点 12．设)(x f 有二阶连续导数，且0)0(='f ，1)(lim=''→xx f x ，则（ ） （A ）(0)f 是)(x f 的极大值. （B ）(0)f 是)(x f 的极小值.（C ）(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点（D ）(0)f 不是)(x f 的极值，点(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点13.设1a >，()),(+∞-∞-=在at a t f t内的驻点为()t a ，问a 为何值时，()t a 最小？并求出最小值.14. 求极限xx x x x ln 1lim 1-→.15.计算()xe x x xt cos 1]1[lim10--+→.-+→ax axa xxx .16．求极限(),lim2>。
第三章中值定理与导数的应用答案word资料13页
习题3.1 （A ）一 选择1—5 BCBDB 二 计算与证明1．若0>x ，证明x e x +>1。
证明：令()x e x F x --=1，则()1-='x e x F当0>x 时，()0>'x F ，从而()x F 在()+∞,0单增 因为()00=F ，故()0>x F ，即 x e x +>12．设0>x ，证明()x x x x <+<-1ln 22。
证明：10：令()()x x x x f +--=1ln 22，则()xx x x x f +-=+--='11112因0>x ，则()0<'x f ，从而()x f 在()+∞,0单减。
故()()00=<f x f ，即()x x x +<-1ln 2220：令()()x x x g -+=1ln ，则()111-+='xx g 当0>x 时，()0<'x g ，从而()x g 在()+∞,0单减 故()()00=<g x g ，即()x x <+1ln由10、20知，()x x x x <+<-1ln 22（B ）一 选择 1—4 CBDD 二 计算与证明1．求11arctan arctan1lim111n n n n n →∞-+-+ 解：令()arctan F x x =，则()x F 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡+n n 1,11上连续，在⎪⎭⎫⎝⎛+n n 1,11可导，故由拉格朗日定理知，存在一点ξ，使()11arctan arctan1111n n f n n ξ-+'=-+ 当∞→n 时，则0→ξ 故原式()111limlim 200=+='=→→ξξξξf2．设()x f 在[]1,0上可导，且()10<<x f ，对于任何()1,0∈x ，都有()1≠'x f ，试证：在()1,0内，有且仅有一个数x ，使()x x f =。
高等数学第三章之中值定理与导数应用部分测试题(附答案)
高等数学第三章之中值定理与导数应用部分测试题（附答案）一、单选题 （每小题4分，共计20分）1、设),,(),12)(1()(+∞-∞∈+-='x x x x f 则在)1,21(内曲线)(x f （ ）（Ａ）单调增凹的； （Ｂ）单调减凹的； （Ｃ）单调增凸的； （Ｄ）单调减凸的。
2、已知)(x f 在0=x 的某个邻域内连续，且0)0(=f ，2cos 1)(lim0=-→x x f x ，则在点0=x 处)(x f （ ）（Ａ）不可导； （Ｂ）可导，且0)0('≠f ； （C ）取得极大值； （Ｄ）取得极小值。
3、设)(x f 有二阶连续导数，且0)0('=f ，1||)("lim=→x x f x ，则（ ） （Ａ）)0(f 是)(x f 的极大值； （Ｂ）)0(f 是)(x f 的极小值； （Ｃ）))0(,0(f 是曲线)(x f y =的拐点； （Ｄ）)0(f 不是)(x f 的极值点。
4、设)(x f 、)(x g 在[]b a ,连续可导，0)()(≠x g x f ，且)()()()(x g x f x g x f '<'，则当b x a <<时，则有（ ）（Ａ）)()()()(a g a f x g x f <； （Ｂ）)()()()(b g b f x g x f <； （Ｃ）)()()()(a g a f x g x f <； （Ｄ）)()()()(a f a g x f x g >。
5、)(x f 在),(b a 内连续，0)()(),,(000=''='∈x f x f b a x ，则)(x f 在0x x = 处（Ｄ ） （Ａ）取得极大值； （Ｂ）取得极小值；（Ｃ）一定有拐点))(,(00x f x ； （Ｄ）可能取得极值，也可能有拐点。
二、填空题（每小题4分，共计20分）1、=→x x x ln lim 0_______。
(整理)第三章微分中值定理与导数的应用习题详解wang1
第三章 微分中值定理与导数的应用习题3-11.解：（1）虽然()f x 在[1,1]-上连续，(1)(1)f f -=，且()f x 在(1,1)-内可导。
可见，()f x 在[1,1]-上满足罗尔中值定理的条件，因此，必存在一点ξ(1,1)∈-，使得()0f ξ'=，即：22120(21)ξξ-=+ ，满足，0ξ=； （2）虽然()f x 在[1,1]-上连续，(1)(1)f f -=，但()f x 在(1,1)-内0x =点不可导。
可见，()f x 在[1,1]-上不满足罗尔中值定理的条件，且1,0<1(), =01,1<0x f x x x <⎧⎪'=⎨⎪--<⎩不存在,因此不存在一点ξ(1,1)∈-，使得()0f ξ'=.2.因为函数是一初等函数，易验证满足条件.3．解：令33arccosarccos(34)y x x x =--，2y '=，化简得0,C y y '=∴=（C 为常数），又(0.5)y π=，故当0.50.5x -≤≤，有()y x π=。
4．证明：显然(),(f x F x 都满足在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内可导()cos ,()1sin f x x F x x ''==-且对任一0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0F x '≠，(),()f x F x ∴满足柯西中值定理条件。
(0)121(0)22f f F F πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫-- ⎪⎝⎭，而sin cos ()cos 242()1sin 1cos sin 242x x f x x x F x x x ππππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪'⎝⎭⎝⎭==='-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()1()12f x F x π'='-，即t a n 1422x ππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，此时2a r c t a n 142x ππ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,显然0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即2arctan 10,422πππξ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∃=--∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，使得(0)(3)2(3)(0)2f f f F F F ππ⎛⎫- ⎪'⎝⎭='⎛⎫- ⎪⎝⎭。
3微分中值定理与导数的应用习题解答
第三章 微分中值定理与导数的应用答案§3.1 微分中值定理1． 填空题（１）函数x x f arctan )(=在]1 ,0[上使拉格朗日中值定理结论成立的ξ是ππ-4．（２）设)5)(3)(2)(1()(----=x x x x x f ，则0)(='x f 有 3 个实根，分别位于区间)5,3(),3,2(),2,1(中．2． 选择题 （１）罗尔定理中的三个条件:)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)()(b f a f =，是)(x f 在),(b a 内至少存在一点ξ，使0)(='ξf 成立的（ B ）．A ． 必要条件B ．充分条件C ． 充要条件D ． 既非充分也非必要条件（２）下列函数在]1 ,1[-上满足罗尔定理条件的是（ C ）．A . xe xf =)( B. ||)(x x f = C. 21)(x x f -= D. ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin )(x x xx x f （３）若)(x f 在),(b a 内可导，且21x x 、是),(b a 内任意两点，则至少存在一点ξ，使下式成立（ B ）．A ． ),()()()()(2112b a f x x x f x f ∈'-=-ξξB ． ξξ)()()()(2121f x x x f x f '-=-在12,x x 之间C ． 211221)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξD ． 211212)()()()(x x f x x x f x f <<'-=-ξξ3．证明恒等式：)(2cot arctan ∞<<-∞=+x x arc x π．证明： 令x arc x x f cot arctan )(+=，则01111)(22=+-+='xx x f ，所以)(x f 为一常数． 设c x f =)(，又因为(1)2f π=，故 )(2c o t a r c t an ∞<<-∞=+x x arc x π．4．若函数)(x f 在),(b a 内具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，其中12a x x <<3x b <<，证明:在),(31x x 内至少有一点ξ，使得0)(=''ξf ．证明：由于)(x f 在],[21x x 上连续,在),(21x x 可导,且)()(21x f x f =，根据罗尔定理知，存在),(211x x ∈ξ， 使0)(1='ξf ． 同理存在),(322x x ∈ξ，使0)(2='ξf ． 又)(x f '在],[21ξξ上符合罗尔定理的条件，故有),(31x x ∈ξ，使得0)(=''ξf ．5． 证明方程062132=+++x x x 有且仅有一个实根．证明：设621)(32x x x x f +++=， 则031)2(,01)0(<-=->=f f ，根据零点存在定理至少存在一个)0,2(-∈ξ， 使得0)(=ξf ．另一方面，假设有),(,21+∞-∞∈x x ，且21x x <，使0)()(21==x f x f ，根据罗尔定理，存在),(21x x ∈η使0)(='ηf ，即02112=++ηη，这与02112>++ηη矛盾．故方程062132=+++x x x 只有一个实根．6． 设函数)(x f 的导函数)(x f '在],[b a 上连续，且0)(,0)(,0)(<><b f c f a f ，其中c 是介于b a ,之间的一个实数． 证明： 存在),(b a ∈ξ, 使0)(='ξf 成立.证明： 由于)(x f 在],[b a 内可导，从而)(x f 在闭区间],[b a 内连续，在开区间(,)a b 内可导．又因为()0,()0f a f c <>，根据零点存在定理，必存在点1(,)a c ξ∈，使得0)(1=ξf ． 同理，存在点2(,)c b ξ∈，使得0)(2=ξf ．因此()f x 在[]21,ξξ上满足罗尔定理的条件，故存在),(b a ∈ξ， 使0)(='ξf 成立．7. 设函数)(x f 在]1,0[上连续, 在)1,0(内可导. 试证:至少存在一点(0,1)ξ∈, 使()2[(1)(0)].f f f ξξ'=- 证明： 只需令2)(x x g =，利用柯西中值定理即可证明.8．证明下列不等式（１）当π<<x 0时，x xxcos sin >． 证明： 设t t t t f cos sin )(-=，函数)(t f 在区间],0[x 上满足拉格朗日中值定理的条件，且t t t f sin )(=', 故'()(0)()(0), 0f x f f x x ξξ-=-<<, 即0sin cos sin >=-ξξx x x x (π<<x 0)因此， 当π<<x 0时，x xxcos sin >．（２）当 0>>b a 时，bba b a a b a -<<-ln ． 证明：设x x f ln )(=，则函数在区间[,]b a 上满足拉格朗日中值定理得条件，有'()()()(),f a f b f a b b a ξξ-=-<< 因为'1()f x x=，所以1ln ()a a b b ξ=-，又因为b a ξ<<，所以111a b ξ<<，从而bba b a a b a -<<-ln ．§3.1 洛毕达法则1． 填空题 （１） =→xxx 3cos 5cos lim2π35-（２）=++∞→xx x arctan )11ln(lim0 （３）)tan 11(lim 20x x x x -→=31（４）0lim(sin )xx x +→=1２．选择题（１）下列各式运用洛必达法则正确的是（ B ） A ． ==∞→∞→nn n n n en ln limlim 11lim=∞→nn eB ． =-+→x x x x x sin sin lim0 ∞=-+→xxx cos 1cos 1lim 0C ． xx x x x x x x x cos 1cos1sin 2lim sin 1sin lim020-=→→不存在 D ． x x e x 0lim →=11lim 0=→x x e（２） 在以下各式中，极限存在，但不能用洛必达法则计算的是（ C ）A ． x x x sin lim 20→B ． x x x tan 0)1(lim +→C ． x x x x sin lim +∞→D ． x nx e x +∞→lim3． 求下列极限（１）nn mm a x a x a x --→lim ．解： n n m m a x a x a x --→lim =nm n m a x a nm nx mx ---→=11lim．（２）20222lim x x x x -+-→．解： 20222lim xx x x -+-→=x x x x 22ln 22ln 2lim 0-→-=2)2(ln 2)2(ln 2lim 220x x x -→+=2)2(ln ．（３）30tan sin limxxx x -→ ．解：30tan sin lim x x x x -→＝32030)21(lim )1(cos tan lim x x x x x x x x -⋅=-→→＝21-． （４） 20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→．解：20)(arcsin 1sin lim x x e x x --→＝201sin lim xx e x x --→＝212sin lim 2cos lim 00=+=-→→x e x x e x x x x ．（５）x x x x xx ln 1lim 1+--→．解： )ln 1()(x x x xx +='， x x x x xx ln 1lim1+--→＝xx x xx 11)ln 1(1lim 1+-+-→＝22111)ln 1(limx x x x x xx x --+-→2])ln 1([lim 1221=++=++→x x x x x x ．（６） )111(lim 0--→x x e x ． 解：2121lim )1(1lim )111(lim 22000==---=--→→→xx e x x e e x x x xx x x（７） xx xtan 0)1(lim +→ ．解：1)1(lim 202000sin limcsc 1lim cot ln limln tan lim tan 0=====+→+→+→+→+----→x xx x xxxx x x x x x x eeeex．（８）)31ln()21ln(lim xxx +++∞→．解： )31ln()21ln(lim x x x +++∞→=2ln 23ln(12)12lim ln(12)3lim 3lim1x x x x x x x x x →+∞→+∞→+∞+++== =xxx 212lim 2ln 3++∞→=2ln 3．（９） n n n ∞→l i m ．解： 因为1lim1limln 1lim===∞→∞→∞→xxxxx x x eex ，所以nn n ∞→lim=1．§3.3 泰勒公式 １．按1-x 的幂展开多项式43)(24++=x x x f ．解： 10)1(,64)(3='+='f x x x f ，同理得24)1(,24)1(,18)1()4(=='''=''f f f ，且0)()5(=x f ．由泰勒公式得：43)(24++=x x x f =432)1()1(4)1(9)1(108-+-+-+-+x x x x ．2． 求函数xe x xf 2)(=的带有佩亚诺型余项的n 阶麦克劳林公式．解：因为)(!!2!112n nxx o n x x x e +++++= ，所以xe x xf 2)(==2222[1()]1!2!(2)!n n x x x x o x n --+++++-=)()!2(!2!1432n n x o n x x x x +-++++ ．3． 求一个二次多项式)(x p ，使得)()(22x x p x ο+=． 解：设xx f 2)(=，则2ln 2)(x x f ='，2)2(ln 2)(x x f =''． 2)2(ln )0(,2ln )0(,1)0(=''='=f f f ，故 )(!2)2(ln !12ln 12222x x x xο+++=， 则 222)2(ln 2ln 1)(x x x p ++=为所求． 4．利用泰勒公式求极限)]11ln([lim 2xx x x +-∞→． 解：因为 ))1((3)1(2)1(1)11ln(332xo x x x x ++-=+，所以 )11ln(2x x x +-=)])1((3)1(2)1(1[3322x o x x x x x ++--=)1(3121x o x +-， 故 21)]1(3121[lim )]11ln([lim 2=+-=+-∞→∞→x o x x x x x x ．5． 设)(x f 有三阶导数,且0)1(,0)(lim 2==→f x x f x ,证明在)1,0(内存在一点ξ,使0)(='''ξf ． 证明： 因为 0)(lim20=→x x f x ，所以0)0(,0)0(,0)0(=''='=f f f ．由麦克劳林公式得：332!3)(!3)(!2)0()0()0()(x f x f x f x f f x f ξξ'''='''+''+'+= （ξ介于0与x 之间），因此 !3)()1(ξf f '''=，由于0)1(=f ，故0)(='''ξf ．§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性1． 填空题（１） 函数)ln(422x x y -=的单调增加区间是),21()0,21(+∞-，单调减少区间)21,0()21,( --∞．（２）若函数)(x f 二阶导数存在，且0)0(,0)(=>''f x f ，则xx f x F )()(=在+∞<<x 0上是单调 增加 ．（３）函数12+=ax y 在),0(∞+内单调增加，则a 0>．（４）若点（1，3)为曲线23bx ax y +=的拐点，则=a 23-，=b 29，曲线的凹区间为)1,(-∞，凸区间为),1(∞．2． 单项选择题（１）下列函数中，（ A ）在指定区间内是单调减少的函数. A . xy -=2),(∞+-∞ B . xy e = )0,(-∞C . x y ln = ),0(∞+D . x y sin = ),0(π（２）设)12)(1()(+-='x x x f ，则在区间)1,21(内（ B ）． A . )(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凹的 B. )(x f y = 单调减少，曲线)(x f y =为凹的 C. )(x f y =单调减少，曲线)(x f y =为凸的 Ｄ．)(x f y =单调增加，曲线)(x f y =为凸的（３）)(x f 在),(+∞-∞内可导, 且21,x x ∀,当 21x x >时, )()(21x f x f >,则( D ) A. 任意0)(,>'x f x B. 任意0)(,≤-'x f x C. )(x f -单调增 D. )(x f --单调增（４）设函数)(x f 在]1,0[上二阶导数大于0, 则下列关系式成立的是（ B ） A. )0()1()0()1(f f f f ->'>' B. )0()0()1()1(f f f f '>->' C. )0()1()0()1(f f f f '>'>- D. )0()1()0()1(f f f f '>->' 2． 求下列函数的单调区间 （１）1--=x e y x．解：1-='x e y ，当0>x 时，0>'y ,所以函数在区间),0[+∞为单调增加； 当0<x 时，0<'y ，所以函数在区间]0,(-∞为单调减少．（２）(2y x =-解：)1(31031-='-x x y ， 当1>x ，或0<x 时，0>'y ,所以函数在区间),1[]0,(+∞-∞ 为单调增加； 当01x <<时，0<'y ，所以函数在区间]1,0[为单调减少．（３）)1ln(2x x y ++=解： 011111222>+=++++='xxx x x y ，故函数在),(+∞-∞单调增加．3． 证明下列不等式（１）证明： 对任意实数a 和b , 成立不等式||1||||1||||1||b b a a b a b a +++≤+++．证明：令xxx f +=1)(，则0)1(1)(2>+='x x f ， )(x f 在) , 0 [∞+内单调增加. 于是, 由 |||| ||b a b a +≤+, 就有 ) |||| () || (b a f b a f +≤+, 即||1||||1||||||1||||||1||||||1||||||1||b b a a b a b b a a b a b a b a b a +++≤+++++=+++≤+++（２）当1>x 时, 1)1(2ln +->x x x ． 证明：设)1(2ln )1()(--+=x x x x f ， 11ln )('-+=xx x f ，由于当1x >时，211()0f x x x''=->, 因此)(x f '在),1[+∞单调递增, 当 1x >时, 0)1()(='>'f x f , 故)(x f 在),1[+∞单调递增, 当 1>x 时, 有0)1()(=>f x f .故当1>x 时,0)1(2ln )1()(>--+=x x x x f ,因此1)1(2ln +->x x x ．（３）当 0>x 时，6sin 3x x x ->．证明：设6sin )(3x x x x f +-=, 021cos )(2=+-='x x x f ，当0>x ，()sin 0f x x x ''=->，所以)(x f '在),0[+∞单调递增, 当 0>x 时, 0)0()(='>'f x f , 故)(x f 在),0[+∞单调递增, 从而当 0>x 时, 有0)0()(=>f x f . 因此当 0>x 时，6sin 3x x x ->．4． 讨论方程k x x =-sin 2π(其中k 为常数)在)2,0(π内有几个实根． 解：设()sin ,2x x x k πϕ=-- 则()x ϕ在]2,0[π连续, 且k k -=-=)2(,)0(πϕϕ， 由()1cos 02x x πϕ'=-=，得2arccos x π=为)2,0(π内的唯一驻点．()x ϕ在2[0,arccos ]π上单调减少，在2[arccos ,]2ππ上单调增加．故k ---=242arccos )2(arccos 2πππϕ为极小值，因此)(x ϕ在]2,0[π的最大值是k -,最小值是k ---242arccos 2ππ．（１） 当,0≥k 或242arccos 2--<ππk 时,方程在)2,0(π内无实根；（２） 当0242arccos2<<--k ππ时,有两个实根；（３） 当242arccos2--=ππk 时，有唯一实根．5． 试确定曲线d cx bx ax y +++=23中的a 、b 、c 、d ，使得2-=x 处曲线有水平切线，)10,1(-为拐点，且点)44,2(-在曲线上．解： c bx ax y ++='232,b ax y 26+=''，所以2323(2)2(2)062010(2)(2)(2)44a b c a b a b c d a b c d ⎧-+-+=⎪+=⎪⎨+++=-⎪⎪-+-+-+=⎩ 解得： 16,24,3,1=-=-==d c b a ．6．求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间（１）12-+=x xx y 解： 222)1(11-+-='x x y , 323)1(62-+=''x xx y ,令0=''y ,得0=x ，当1x =±时y ''不存在．当01<<-x 或1>x 时, 0>''y ,当1-<x 或10<<x 时, 0<''y ．故曲线12-+=x xx y 在)1,0()1,( --∞上是凸的, 在区间和),1()0,1(+∞- 上是凹的，曲线的拐点为)0,0(．（２）32)52(x x y -=拐点及凹或凸的区间解：y '=，y ''=．当0=x 时，y y ''',不存在；当21-=x 时，0=''y ．故曲线在)21,(--∞上是凸的, 在),21(+∞-上是凹的，)23,21(3--是曲线的拐点,7．利用凹凸性证明: 当π<<x 0时, πxx >2sin 证明：令πx x x f -=2sin )(, 则π12cos 21)(-='x x f , 2sin 41)(xx f -=''．当π<<x 0时, 0)(<''x f , 故函数πxx x f -=2sin )(的图形在),0(π上是凸的, 从而曲线)(x f y =在线段AB （其中)(,()),0(,0(ππf B f A ）的上方，又0)()0(==πf f , 因此0)(>x f ,即πx x >2sin ．§3.5 函数的极值与最大值最小值1． 填空题（１）函数xx y 2=取极小值的点是1ln 2x =-． （２） 函数31232)1()(--=x x x f 在区间]2,0[上的最大值为322)21(=f ，最小值为(0)1f =- ．2．选择题（１） 设)(x f 在),(+∞-∞内有二阶导数，0)(0='x f ，问)(x f 还要满足以下哪个条件，则)(0x f 必是)(x f 的最大值？（ C ）A ． 0x x =是)(x f 的唯一驻点B ． 0x x =是)(x f 的极大值点C ． )(x f ''在),(+∞-∞内恒为负D ． )(x f ''不为零（２） 已知)(x f 对任意)(x f y =满足xex f x x f x --='+''1)]([3)(2，若00()0 (0)f x x '=≠，则（ B ）A. )(0x f 为)(x f 的极大值B. )(0x f 为)(x f 的极小值C. ))(,00x f x （为拐点D. )(0x f 不是极值点, ))(,00x f x （不是拐点（３）若)(x f 在0x 至少二阶可导, 且1)()()(lim 2000-=--→x x x f x f x x ,则函数)(x f 在0x 处( Ａ )A ． 取得极大值B ． 取得极小值C ． 无极值D ． 不一定有极值3． 求下列函数的极值 （１） ()3/223x x x f -=． 解：由13()10f x x-'=-=，得1=x ．4''31(),(1)03f x x f -''=>，所以函数在1=x 点取得极小值．（２）xx x f 1)(=．解：定义域为),0(+∞，11ln 21, (1ln )x xxy ey xx x '==-， 令0y '=得驻点x e =，当(0,)x e ∈时，0y '>，当(,)x e ∈+∞时，0y '<．因此ee e y 1)(=为极大值．4． 求14123223+-+=x x x y 的在]4,3[-上的最大值与最小值．解：(3)23, (4)132y y -==．由266120y x x '=+-=，得1=x , 2-=x ．而34)2(,7)1(=-=y y , 所以最大值为132，最小值为7．5． 在半径为R 的球内作一个内接圆锥体，问此圆锥体的高、底半径为何值时，其体积V 最大． 解：设圆锥体的高为h , 底半径为r ,故圆锥体的体积为h r V 2 31π=， 由于222)(R r R h =+-，因此)2( 31)(2h Rh h h V -=π )20(R h <<， 由0)34( 31)(2=-='h Rh h V π，得34R h =，此时R r 322=． 由于内接锥体体积的最大值一定存在,且在)2,0(R 的内部取得. 现在0)(='h V 在)2,0(R 内只有一个根,故当34Rh =, R r 322=时, 内接锥体体积的最大．6. 工厂C 与铁路线的垂直距离AC 为20km , A 点到火车站B 的距离为100km . 欲修一条从工厂到铁路的公路CD , 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5，为了使火车站B 与工厂C 间的运费最省, 问D 点应选在何处？解: 设AD x =, B 与C 间的运费为y , 则 )100(340052x k x k y -++= （1000≤≤x ）， 其中k 是某一正数． 由 0)34005(2=-+='xx k y , 得15=x .由于k y x 400|0==, k y x 380|15==, 2100511500|+==x y , 其中以k y x 380|15==为最小, 因此当AD =15=x km 时, 总运费为最省．7． 宽为b 的运河垂直地流向宽为a 的运河. 设河岸是直的,问木料从一条运河流到另一条运河去,其长度最长为多少?解： 问题转化为求过点C 的线段AB 的最大值. 设木料的长度为l , y CB x AC ==,，木料与河岸的夹角为t ，则l y x =+，且t by t a x sin ,cos ==, t b t a l sin cos += )2,0(π∈t ．则ttb t t a l 22sin cos cos sin -='， 由0='l 得3tan abt =, 此时233232)(b a l +=， 故木料最长为233232)(b a l +=．§3.6 函数图形的描绘１．求23)1(+=x x y 的渐近线.解：由 -∞=+-→231)1(limx x x ，所以1x =为曲线)(x f y =的铅直渐近线． 因为 2)1(lim )(lim ,1)1(limlim 2322-=-+=-=+=∞→∞→∞→∞→x x x x y x x x y x x x x 所以2-=x y 为曲线)(x f y =的斜渐近线．2．作函数23)1(22--=x x y 的图形。
第三章微分中值定理与导数的应用作业习题共6页
第三章 微分中值定理与导数的应用作业习题1、证明下列的不等式。
（1）y x y x -≤-arctan arctan ；（2）)0(,ln x y yyx y x x y x ≤<-≤≤-。
2、设121,,+k a a Λ是任意实数，求证x k a x a x a x f k )12sin(3sin sin )(1231++++=+Λ在)2,2(ππ-内必有零点。
3、设)(x f 在),[+∞a 可导，)(lim x f x +∞→存在，b x f x ='+∞→)(lim ，求证0=b 。
4、求下列极限。
（1）x e x xx -+→10)1(lim；（2）)3ln(cos )2ln(cos lim 0x x x →；（3）x x x 2tan 04)(tan lim +→π； （4）)ln ln 1(lim 1x xx x -→；（5）x x x +-→22)(cos lim ππ；（6）x x x )1(ln lim 0+→；（7）2222lim x x x x -+-→；（8）x x e x x 630sin 13lim --→。
5、求函数x xx g 2ln 1)(=的单调区间与极值点。
6、证明当20π<<x 时，有x x x 2tan sin >+。
7、求证当]2,21[-∈x 时，有232≤-x x 。
8、证明方程122=-x x 有且仅有三个实根。
9、求椭圆12222=+by a x 的曲率半径。
10、在半径为R 的球内作一内接圆锥体，要使锥体体积最大，问其高，底半径应是多少？ 作业习题参考答案：1、 证：（1）取,11)(,arctan )(2xx f x x f +='=在],[y x 上对)(x f 用拉格朗日中值定理，),(y x ∈∃ξ使得y x y f x f arctan arctan )()(-=-y x y x -≤-+=211ξ， 即 y x y x -≤-arctan arctan 。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3第三章微分中值定理与导数的应用习题解答23309第三章微分中值定理与导数的应用答案§3.1 微分中值定理«Skip Record If...»1．填空题（１）«Skip Record If...»（２） 3 , «Skip Record If...»2．选择题（１） B （２） C （３） B3．证明：令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»为一常数．设«Skip Record If...»，又因为«Skip Record If...»，故 «Skip Record If...»．4．证明：由于«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续,在«Skip Record If...»可导,且«Skip Record If...»，根据罗尔定理知，存在«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»．同理存在«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»．又«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上符合罗尔定理的条件，故有«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»．5．证明：设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，根据零点存在定理至少存在一个«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»．另一方面，假设有«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»，根据罗尔定理，存在«Skip Record If...»使«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，这与«Skip Record If...»矛盾．故方程«Skip Record If...»只有一个实根．6．证明：由于«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内可导，从而«Skip Record If...»在闭区间«Skip Record If...»内连续，在开区间«Skip Record If...»内可导．又因为«Skip Record If...»，根据零点存在定理，必存在点«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»．同理，存在点«Skip Record If...»，使得«Skip Record If...»．因此«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上满足罗尔定理的条件，故存在«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»成立．7.证明：只需令«Skip Record If...»，利用柯西中值定理即可证明.8．（１）证明：设«Skip Record If...»，函数«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»上满足拉格朗日中值定理的条件，且«Skip Record If...», 故«Skip Record If...», 即«Skip Record If...» («Skip Record If...»)因此，当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»．（２）证明：设«Skip Record If...»，则函数在区间«Skip Record If...»上满足拉格朗日中值定理得条件，有«Skip Record If...»因为«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»，又因为«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»，从而 «Skip Record If...»．§3.2 洛毕达法则1．填空题（１）«Skip Record If...»（２） 0 （３）«Skip Record If...»（４）1２．选择题（１） B （２） C3．（１）解： «Skip Record If...»=«Skip Record If...»．（２）解： «Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»．（３）解：«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»．（４）解：«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»．（５）解：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»«Skip Record If...»．（６）解：«Skip Record If...»（７）解：«Skip Record If...»．（８）解： «Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»．（９）解：因为«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»=1．§3.3 泰勒公式１．解： «Skip Record If...»，同理得«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»．由泰勒公式得：«Skip Record If...»=«Skip Record If...»．2．解：因为«Skip Record If...»，所以 «Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»．3．解：设«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，«Skip Record If...»．«Skip Record If...»，故 «Skip Record If...»，则 «Skip Record If...»为所求．4．解：因为 «Skip Record If...»，所以 «Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»，故 «Skip Record If...»．5．证明：因为 «Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»．由麦克劳林公式得：«Skip Record If...»（«Skip Record If...»介于0与«Skip Record If...»之间），因此 «Skip Record If...»，由于«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»．§3.4函数的单调性与曲线的凹凸性1．填空题（１）«Skip Record If...» , «Skip Record If...»（２）增加（３）«Skip Record If...»（４）«Skip Record If...»，«Skip Record If...»， «Skip Record If...»， «Skip Record If...»．2．单项选择题（１）A （２） B （３） D （４）B3．（１）解：«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»,所以函数在区间«Skip Record If...»为单调增加；当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，所以函数在区间«Skip Record If...»为单调减少．（２）解：«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»，或«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»,所以函数在区间«Skip Record If...»为单调增加；当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，所以函数在区间«Skip Record If...»为单调减少．（３）解： «Skip Record If...»，故函数在«Skip Record If...»单调增加．3．（１）证明：令«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»， «Skip Record If...»在«Skip Record If...»内单调增加.于是, 由«Skip Record If...», 就有«Skip Record If...», 即«Skip Record If...»（２）证明：设«Skip Record If...»， «Skip Record If...»，由于当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...», 因此«Skip Record If...»在«Skip Record If...»单调递增, 当 «Skip Record If...»时, «Skip Record If...», 故«Skip Record If...»在«Skip Record If...»单调递增, 当«Skip Record If...»时, 有«Skip Record If...».故当«Skip Record If...»时,«Skip Record If...», 因此«Skip Record If...»．（３）证明：设«Skip Record If...», «Skip Record If...»，当«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»在«Skip Record If...»单调递增, 当 «Skip Record If...»时, «Skip Record If...», 故«Skip Record If...»在«Skip Record If...»单调递增, 从而当 «Skip Record If...»时, 有«Skip Record If...». 因此当 «Skip Record If...»时，«Skip Record If...»．4．解：设«Skip Record If...»则«Skip Record If...»在«Skip Record If...»连续, 且«Skip Record If...»，由«Skip Record If...»，得«Skip Record If...»为«Skip Record If...»内的唯一驻点．«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上单调减少，在«Skip Record If...»上单调增加．故«Skip Record If...»为极小值，因此«Skip Record If...»在«Skip Record If...»的最大值是«Skip Record If...»,最小值是«Skip Record If...»．（１）当«Skip Record If...»或«Skip Record If...»时,方程在«Skip Record If...»内无实根；（２）当«Skip Record If...»时,有两个实根；（３）当«Skip Record If...»时，有唯一实根．5．解： «Skip Record If...»,«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»解得 «Skip Record If...»．6．（１）解：«Skip Record If...», «Skip Record If...»,令«Skip Record If...»,得«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时«Skip Record If...»不存在．当«Skip Record If...»或«Skip Record If...»时, «Skip Record If...»,当«Skip Record If...»或«Skip Record If...»时, «Skip Record If...»．故曲线«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上是凸的, 在区间和«Skip Record If...»上是凹的，曲线的拐点为«Skip Record If...»．（２）解：«Skip Record If...»，«Skip Record If...»．时，«Skip 当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»不存在；当«Skip Record If...»Record If...»．故曲线在«Skip Record If...»上是凸的, 在«Skip Record If...»上是凹的，«Skip Record If...»是曲线的拐点,7．证明：令«Skip Record If...», 则«Skip Record If...», «Skip Record If...»．当«Skip Record If...»时, «Skip Record If...», 故函数«Skip Record If...»的图形在«Skip Record If...»上是凸的, 从而曲线«Skip Record If...»在线段«Skip Record If...»（其中«Skip Record If...»）的上方，又«Skip Record If...», 因此«Skip Record If...»,即«Skip Record If...»．§3.5 函数的极值与最大值最小值1．填空题（１）«Skip Record If...»（２） «Skip Record If...»， «Skip Record If...»2．选择题（１） C （２）B（３）Ａ3．（１）解：由«Skip Record If...»，得«Skip Record If...»．«Skip Record If...»，所以函数在«Skip Record If...»点取得极小值．（２）解：定义域为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，令«Skip Record If...»得驻点«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»．因此«Skip Record If...»为极大值．4．解：«Skip Record If...»．由«Skip Record If...»，得«Skip Record If...», «Skip Record If...»．而«Skip Record If...», 所以最大值为132，最小值为7．5．解：设圆锥体的高为«Skip Record If...», 底半径为«Skip Record If...»,故圆锥体的体积为«Skip Record If...»，由于«Skip Record If...»，因此«Skip Record If...» «Skip Record If...»，由«Skip Record If...»，得«Skip Record If...»，此时«Skip Record If...»．由于内接锥体体积的最大值一定存在,且在«Skip Record If...»的内部取得. 现在«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内只有一个根,故当«Skip Record If...», «Skip Record If...»时, 内接锥体体积的最大．6.解: 设«Skip Record If...»,«Skip Record If...»与«Skip Record If...»间的运费为«Skip Record If...», 则«Skip Record If...»（«Skip Record If...»），其中«Skip Record If...»是某一正数．由 «Skip Record If...»,得«Skip Record If...».由于«Skip Record If...», «Skip Record If...», ↔∑κιπ Pεχορδ Iφ...≈,其中以«Skip Record If...»为最小,因此当AD=«Skip Record If...»km时,总运费为最省．7．解：问题转化为求过点«Skip Record If...»的线段«Skip Record If...»的最大值. 设木料的长度为«Skip Record If...», «Skip Record If...»，木料与河岸的夹角为«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»，且 «Skip Record If...», «Skip Record If...» «Skip Record If...»．则 «Skip Record If...»，由«Skip Record If...»得«Skip Record If...», 此时«Skip Record If...»，故木料最长为«Skip Record If...»．§3.6 函数图形的描绘１．解：由 «Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»为曲线«Skip Record If...»的铅直渐近线．因为 «Skip Record If...»所以«Skip Record If...»为曲线«Skip Record If...»的斜渐近线．2．解：函数的定义域为«Skip Record If...»．«Skip Record If...»．令«Skip Record If...»，得«Skip Record If...»；令«Skip Record If...»，得«Skip Record If...»．列表讨论如下：«Skip Record«SkipRecord«SkipRecord«SkipRecord«SkipRecord«SkipRecord«SkipRecord«Skip Record ＋«SkipRecord－＋«SkipRecord＋«Skip Record －－－－«SkipRecord＋«Skip Record If...»⎛极大值«SkipRecord⎫⎛拐点«SkipRecordIf...»⎭由于«Skip Record If...»， «Skip Record If...»，所以，«Skip Record If...»是曲线的斜渐近线．又因为«Skip Record If...»，所以«Skip Record If...»是曲线的铅垂渐近线．当«Skip Record If...»时«Skip Record If...»；当«Skip Record If...»时«Skip Record If...»．综合上述讨论，作出函数的图形如下3－-1 «S§3.7 曲率1．填空题:（１） __0__ （２） ___2____， «Skip Record If...»（３） «Skip Record If...»．2．解：由题设可知函数«Skip Record If...»与«Skip Record If...»在«Skip Record If...»处由相同的函数值，一阶导数值，二阶导数值，故«Skip Record If...»．3．解： «Skip Record If...», 曲线在一点处的曲率为«Skip Record If...»令 «Skip Record If...», «Skip Record If...»，当«Skip Record If...»时,«Skip Record If...»,故«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上单调增加, 因此«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上的最大值是«Skip Record If...», 即«Skip Record If...»在点«Skip Record If...»处的曲率半径最小, 其曲率半径为«Skip Record If...»．4．解：«Skip Record If...»因此曲率«Skip Record If...»，曲率半径«Skip Record If...»．§3.7方程的近似解1.证明: 令«Skip Record If...»，函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»单调递增．«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上连续，且«Skip Record If...»,故方程«Skip Record If...»在区间«Skip Record If...»内有唯一的实根．求近似值的过程略．第三章综合练习题1．填空题（１） 0 （２） «Skip Record If...»， «Skip Record If...»（３） «Skip Record If...»．（４） 1 ．2．（１）解：«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»＝«Skip Record If...»．（２）解：«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»=«Skip Record If...»．3．证明：令«Skip Record If...», 则«Skip Record If...»,当«Skip Record If...»时, «Skip Record If...»，故«Skip Record If...»在«Skip Record If...»单调增．当«Skip Record If...»时，有«Skip Record If...»，即 «Skip Record If...»．4．证明：设«Skip Record If...», 则«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»．由拉格朗日中值定理知, 存在«Skip Record If...»，使«Skip Record If...», 即«Skip Record If...»．5．证明：设«Skip Record If...»分别在«Skip Record If...»取得最大值«Skip Record If...»，则«Skip Record If...», 且«Skip Record If...»．令«Skip Record If...»．当«Skip Record If...»时, «Skip Record If...», 由罗尔定理知, 存在«Skip Record If...», 使«Skip Record If...», 进一步由罗尔定理知, 存在«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»当«Skip Record If...»时, «Skip Record If...»,«Skip Record If...»，由零点存在定理可知，存在«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»．由于«Skip Record If...»，由前面证明知, 存在«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»．6．证明：设«Skip Record If...»．当«Skip Record If...»，显然«Skip Record If...»只有一个正的实根．下考虑«Skip Record If...»时的情况．先证存在性：因为«Skip Record If...»在«Skip Record If...»内连续，且«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，由零点存在定理知，至少存在一个«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»至少有一个正的实根．再证唯一性：假设有«Skip Record If...»，且«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»，根据罗尔定理，存在«Skip Record If...»，使«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，从而«Skip Record If...»，这与«Skip Record If...»矛盾．故方程«Skip Record If...»只有一个正的实根．7．解：因为«Skip Record If...»,«Skip Record If...», 令«Skip Record If...»,得«Skip Record If...»．又当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»．函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上单调增加；当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»，函数«Skip Record If...»在«Skip Record If...»上单调减少．故当«Skip Record If...»时，«Skip Record If...»达到最大, 即上午11时这个工人的工作效率最高．。