一阶微分方程典型例题
典型的一阶微分方程1常微分方程
解:这是一阶线性微分方程
由公式, 可得其通解为
P( x) 1 , Q( x) sin x ,
x
x
y e P(x)dx[ Q(x)e P(x)dxdx C]
e
1 x
dx
sin x
x
e
1 x
dx
dx
C
e
ln
x
sin x
x
eln
xdx
C
1 x
sin
xdx
C
1 cos x C .
x
y 例2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲
积分得 u( x) Q( x)e P( x)dxdx C ,
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
y [ Q( x)e P( x)dxdx C ]e P( x)dx
Ce P( x)dx e P( x)dx
Q(
x
)e
P
(
x
)dx
dx
对应齐次方程
非齐次方程特解
通解
例1 求方程 y 1 y sin x 的通解. xx
f
ax by c
(ax
by)
c1
作变量替换，令z=ax+by,就化成可分离变量的方程
dz dx
a
bf
zc
z c1
例4 求 dy x y 1 的通解. dx x y 3
解
1
1 2 0,
11
方程组hh
k k
1 0 3 0,
h
1, k
2,
令 x X 1, y Y 2. 代入原方程得
e ( (1n)P( x)dx Q( x)(1 n)e (1n)P( x)dxdx C ).
四节一阶微分方程应用举例-文档资料
一、一阶微分方程求解 二、解微分方程应用问题
一、一阶微分方程求解
1. 一阶标准类型方程求解 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程
关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解
(1) 变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式
可分离变量方程求解
( 4 )y 2 ( x 3 y ) d x ( 1 3 x y 2 ) d y 0 变方程为 y2xdxdy3y2(ydxxdy)0
两边乘积分因子 y2
x d x y 2 d y 3 ( y d x x d y ) 0
用凑微分法得通解:
(2) 积分因子法 —— 选积分因子, 解全微分方程
例1. 求下列方程的通解 (1)yy12ey3x 0;
(3) y2x1y2 ;
(2 )xyx2y2y; (4) y36xx23y3x2yy23.
提示: (1) 因 ey3xey3ex,故为分离变量方程:
y2ey3dyexdx
(ba),且鸭子游动方向始终朝着点O ,
求鸭子游动的轨迹方程 .
y
A
h b
Pa
提示: 如图所示建立坐标系. 则
a(a,0)
o
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x
设时刻t 鸭子位于点P (x, y) , 则鸭子游速 b 为
bbPO0b
x, x2y2
y
x2y2
y A
鸭子的实际运动速度为 v dx, dy ,
dt dt
用线性方程通解公式求解 .
(4) y36xx23y3x2yy23 方法 1 这是一个齐次方程 . 令 u y x
一阶线性微分方程组
第4章 一阶线性微分方程组一 内容提要1． 基本概念一阶微分方程组：形如⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===),,,,( ),,,,(),,,,(2121222111n n n nn y y y x f dxdy y y y x f dxdy y y y x f dx dy （3.1） 的方程组，（其中n y y y ,,,21 是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。
若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n 使得在[a,b]上有恒等式),,2,1))((,),(),(,()(21n i x y x y x y x f dxx dy n i i ==成立，则)(,),(),(21x y x y x y n 称为一阶微分方程组(3.1)的一个解含有n 任意常数n C C C ,,,21 的解⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===),,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n nn C C C x y C C C x y C C C x y ϕϕϕ 称为(3.1)通解。
如果通解满方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=Φ=Φ=Φ0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n nn n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x则称这个方程组为（3.1）的通积分。
满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y === 的解，叫做初值问题的解。
令n 维向量函数Y )(x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡)( )()(21x y x y x y n ，F （x ，Y ）=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡),,,,( ),,,,(),,,,(21212211n nn n y y y x f y y y x f y y y x f⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=dx dy dx dy dx dy dx x dY n )(21，⎰⎰⎰⎰⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=x x x x n x x x x dx x f dx x f dx x f x F 0000)( )()()(21 则（3.1）可记成向量形式),,(Y x F dxdY= (3.2) 初始条件可记为Y (0x )=0Y ,其中⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=no y y y Y 20100 则初值问题为:⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(Y x Y Y x F dxdY(3.3) 一阶线性微分方程组:形如⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧++++=++++=++++=)()()()( )()()()()()()()(21211222221212112121111x f x a y x a y x a dxdy x f x a y x a y x a dx dy x f x a y x a y x a dx dy n nn n n n n n (3.4)的一阶微分方程组,叫做一阶线性微分方程组.令A (x )=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡)(a )(a )(a )(nn n11n 11x x x x a 及F ()x =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡)( )()(21x f x f x f n 则(3.4)的向量形式:)()(x F Y x A dx dY+= (3.5) F (0)≡x 时 Y x A dxdY)(= (3.6) 称为一阶线性齐次方程组,(3.5)式称为一阶线性非齐次方程组。
(整理)一阶常微分方程习题(一).
一阶常微分方程习题（一）1．dxdy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：ydy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1特解为y= e2x .2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e特解：y=|)1(|ln 1+x c 3．dx dy =yx xy y 321++ 解：原方程为：dxdy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 24. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0解：原方程为： y y -1dy=-xx 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c另外 x=0,y=0也是原方程的解。
5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0解：原方程为：dx dy =-yx y x +- 令xy =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -112++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg2x y . 6. x dxdy -y+22y x -=0 解：原方程为：dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令xy =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1dx arcsin xy =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=xc cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +ye xy 32+=0 解：原方程为：dx dy =ye y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c.9.x(lnx-lny)dy-ydx=0解：原方程为：dx dy =x y ln xy令xy =u ,则dx dy =u+ x dx du u+ xdx du =ulnu ln(lnu-1)=-ln|cx| 1+lnx y =cy. 10. dxdy =e y x - 解：原方程为：dx dy =e x e y - e y =ce x 11 dxdy =(x+y)2 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dxdu -1=u 2 211u +du=dx arctgu=x+carctg(x+y)=x+c 12. dx dy =2)(1y x + 解：令x+y=u,则dx dy =dx du -1 dx du -1=21uu-arctgu=x+cy-arctg(x+y)=c. 13. dx dy =1212+-+-y x y x 解: 原方程为：（x-2y+1）dy=(2x-y+1)dxxdy+ydx-(2y-1)dy-(2x+1)dx=0dxy-d(y 2-y)-dx 2+x=cxy-y 2+y-x 2-x=c 14: dx dy =25--+-y x y x 解：原方程为：（x-y-2）dy=(x-y+5)dxxdy+ydx-(y+2)dy-(x+5)dx=0dxy-d(21y 2+2y)-d(21x 2+5x)=0 y 2+4y+x 2+10x-2xy=c. 15:dxdy =(x+1) 2+(4y+1) 2+8xy 1+ 解：原方程为：dxdy =（x+4y ）2+3 令x+4y=u 则dx dy =41dx du -41 41dx du -41=u 2+3 dxdu =4 u 2+13 u=23tg(6x+c)-1 tg(6x+c)=32(x+4y+1). 16:证明方程y x dxdy =f(xy),经变换xy=u 可化为变量分离方程，并由此求下列方程： 1）2） y(1+x 2y 2)dx=xdy 3） y x dx dy =2222x -2 y x 2y+证明： 令xy=u,则xdx dy +y=dxdu 则dx dy =x 1dx du -2xu ，有： u x dx du =f(u)+1)1)((1+u f u du=x1dx所以原方程可化为变量分离方程。
高数一阶微分方程(可分离变量型)
【解】 (1)
dH ∵ <0 dt
dH ∴ = − k ( H − 20) dt
分离变量得
dH = − kdt H − 20 ln( H − 20) = − kt + C1
∴ H = 20 + Ce
∵ t = 0 时 ，H = 37 又 ∵ t = 2 时 ，H = 35
第二节
一阶微分方程
（可分离变量型 ）
可分离变量方程
dy = f1(x) f2 ( y) dx M1(x)M2 ( y) dx + N1(x) N2 ( y) dy = 0
转化
解分离变量方程 g( y) dy = f (x) dx
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一、可分离变量的微分方程
分离变量方程的解法: 分离变量方程的解法:
即
dy = 3x2 dx 另解】 【另解】分离变量得 y
令C = ± e ( C 为任意常数 )
C1
⇒ ln y = x3 + C1
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【*****】变量代换后,化为可分离变量的微分方程题型 】变量代换后 化为可分离变量的微分方程题型 【例2】 求方程 f ( xy) ydx + g( xy)xdy = 0 通解 】 . 【解】
由 和差化积公式： 和差化积公式：
y d dy x y 2 = −2 sin x d x ⇒∫ = −2 sin ⋅ sin ⇒ ∫ 2 2 y dx 2 2 sin 2 x y y ln csc − cot = 2 cos + C , ∴ 通解为 2 2 2
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【思考与练习题】 思考与练习题】
一阶微分方程求解例题
一阶微分方程求解例题今天分享一篇一阶微分方程求解的例题，也是在高中，初中阶段的微分方程中求解一阶微分方程的常用方法。
因为一阶导数方程一般在函数中解，所以一阶导数方程很难被求解，尤其是初年级和高中阶段。
接下来就用一阶不等式来解答这类几何问题。
先看两道例题：例1,假设 X=4 b+2 k+1 k+1 m,此时一阶导数方程为()例2,若在函数(x, y)中定义为 x, y的一维微分方程是 m=5 x+1 k j表示的x轴对称解。
一、设微分方程为 a= b+ b+2 c+2 c,且 a和 b都是常数，那么 c是一个常数，那么此时方程应该为 a= b (c>0)+ b (c≤0)+ b (c≤1),其中 c是常数。
因为常数 c越大，方程的解就越难求解。
但一般的问题中，往往要考虑到求导问题，一般需要先把常数 c降低。
这里就需要把 c值降低到0或1。
此时如果 a是常数，那么方程就是 a= b (c>0)+ b (c≤1),其中 c是常数；如果 a是常数，那么方程就是 a= a= b (c>0)+ b (c≤1),其中 c为常数。
所以如果将这些常数取一个来求解一阶微分方程（多根方程）就不难了。
再分析一下：假设方程中有两个常数分别为 y和 b (t>0),则这两个常数必然是一个最大值问题。
那么这个最大值问题解决了吗？二、求出 b的值后我们再利用几何中两种图形形式的简单变式就可以求出 b= b+2k-1 k的一阶不等式了，即 n是唯一解。
由于 a, b在函数中的值是未知的，所以可以通过变换 a, b的值来求出 a= b+2k-1 k。
注意这道题中并没有解方法，因为 b只有一种基本的解法，即 m。
于是我们只需要继续利用(x, y)中的简单变形即可取得正确的结果了。
我们把 b= c+ b 2 k+ b 1 k转化为 b= b+2k-1 k就可以了。
但要注意不能转化成 u= a/b或者 a= a/b/2了。
一阶线性微分方程例题与习题
v1
C2
v2
解 设t时刻，容器内物质A的质量为x=x（t）， 浓度为 C2 , 由微元法，经过时间dt，容器内物 质A的增量dx为
dx =C1v 1 dt -C2v2 dt
或 又
增量=流入量-流出量
dx = C1v 1 -C2v2 dt
x C2 = V0 + v1 -v2 t
时又排出等量的室内气体，问30分钟后室内所
含 co2 的百分比。 解 设在t时刻，厂房内co 2 的百分比为 x t %, 由题意，在（1）式中，有 v 1 =v2 , 于是问题为
dx x = C1 - v 1 , 2 dt V0 x 0 =x . 0 现在 0.05% 3 3 V0 =45 15 6m , C1 = , v 1 =360m /s V0 代入（2），得
ds
x a s - x0
a x - x0
当
x
x0
e a s - x0 f ( s)e ds 时，有
x
0 lim
f s e
x x0
a x - x0
e f x b lim . x a a x a s - x0 当 f (s)e ds , 有
s a s - x0 x0
ds lim f C e
ds
1 a x- x0 lim f C e -1 x a
这与已知条件
x0
f (s)e
a s - x0
ds 矛盾, 于是有
x
lim f x 0.
例7 混合流体问题。容器内有含物质A的流体， 当t=0时，流体体积V0 ,物质A的质量为x0。 流入：流速 v1 ,浓度C1 ; 流出：流速 v2 . 求时刻t时容器中物质A的质量及流体浓度。
高等数学 上、下册6_4 一阶线性微分方程的应用举例
在空中下落时，同时受到重力 P
与阻力 R 的作用（图 6-5）.重力
大小为 mg 方向与 v 一致，阻力大 小为 kv（k 为比例系数），方向与 v
R=kv
相反，从而降落伞所受外力为
P=mg
F=mg-kv
图 6-5
根据牛顿第二定律
F ma
（ 其 中 a 为 加 速 度 ）， 得 函 数v(t ) 应 满 足 的 方 程 为
(2)分 辨 所 建 立 的 微 分 方 程 的 类 型 ， 运 用 相 应 解 法 求 出 其通解；
(3)利 用 初 始 条 件 ， 定 出 通 解 中 的 任 意 常 数 ， 求 得 满 足 初始条件的特解；
(4)根 据 某 些 实 际 问 题 的 需 要 ， 利 用 所 求 得 的 特 解 来 解 释问题的实际意义或求得题设所需的其他结果.
Y y 1 (X x) y
如图 6-4 所示,令 Y=0，得法 线在 x 轴上的截距为
X yy x，
y
P(x,y)
QO
x
图6-4
由题设条件得
x yy x 0 2
即得曲线 y=y(x)应满足微分方程 yy 2x 0
（1）
由于曲线通过点（2，3），故得初始条件
ⅲ ） 确 定 任 意 常 数 以 求 得 特 解 将 初 始 条 件 （ 6） 带 入 通 解 ， 解 得C=9,则 所 求 曲 线
方 程 为
y x2y29.
* 例4容器内有100L的盐水,含10kg的盐， 先以3L/min 的均匀速率，往容器内注入（定净水与盐水立刻混合） ，
又以2L/min的均匀速率从容器中抽出盐水，问60min后 容器内盐水中盐的含量是多少？
微分方程例题
典型例题1、判断下列一阶微分方程的类型并求其通解（1）0)41(2=+−dy x ydx ；（2）.0cos )cos (=+−dy x yx dx x y y x ；（3）0)sin (=−+dx x y xdy ；（4）0)4(3=+−dx y y x xdy ；（5）ydy dx y xydy dx +=+2；（6）0)12(23=−+dy xy dx y ；（7）.0324223=−+dy y x y dx y x （8）231dy x x ydx x++=−+2、求一阶微分方程的特解（1）求解微分方程x yx ydx dytan +=满足初始条件61π==x y 的特解.（2）求微分方程,0)ln (ln =−+dx x y xdy x 满足所给初始条件.1==e x y 的特解3、求下列微分方程的通解（1）求x y xe ′′′=的通解（2）02)1(222=−+dx dyx dx y d x （3）求方程02=′−′′y y y 的通解4、求下列微分方程的特解（1）求方程x e y x cos 2−=′′满足1)0(,0)0(=′=y y 的特解.（2）求微分方程初值问题：,2)1(2y x y x ′=′′+,10==x y 30=′=x y （3）求微分方程)(22y y y y ′−′=′′满足初始条件,1)0(=y 2)0(=′y 的特解.5、求下列微分方程的通解（1）440y y y ′′′++=（2）340y y y ′′′−−=（3）250y y y ′′′++=（4）(5)(4)220y y y y y y ′′′′′′+++++=（5）(4)250y y y ′′′′′−+=6、求方程12360y y y′′′−+=满足条件：01x y ==，00x y =′=的特解。
7、求解下列微分方程（1）求方程22y y y x ′′′−+=的一个特解。
（2）求方程2x y y y e ′′′−+=的一个特解。
高数C6-2一阶微分方程
−y
e − y dy = sin xdx ,
- ∫ e dy = − ∫ sin xdx ,
e = cos x + C ,
-y
y = − ln(cos x + C ).
3
dy 例2 求微分方程 = 2xy 的通解. dx 解 分离变量 dy = 2xdx, 两端积分 ∫ dy = ∫ 2xdx, x ∫ 1 dx ⋅ e x dx + C ∫ x
sin x x
=e
1 = x
−lnx
(∫ sin x dx + C)
∫
⋅e
lnx
1 = ( −cos x + C) . x
dx + C
21
C( x) C′( x) 2C( x) 用常数变易法, 用常数变易法,令 y = , − 2 , 有 y′ = 2 3 x x x
− p( x)dx
= cos x ∫ sec2 xdx + C
= cos x ⋅ (tan x + C ).
18
例9 求微分方程 y′ + 1 y = sinx 的通解. x x
解法一：常数变易法. 解法一：常数变易法
dy 1 原方程所对应的齐次微分方程为： 原方程所对应的齐次微分方程为： + y = 0 dx x
∫ y =C e
− P( x)dx
∫ =C e
− tan xdx
= Ce
lncos x
= C cos x.
16
变换常数C ,令y = C ( x )cos x , 则
一阶非齐次微分方程例题
以下是一个一阶非齐次微分方程的例题及其解法：
例题：解一阶非齐次微分方程 y' + 2y = e^x
解法：
首先，对于一阶非齐次线性微分方程，我们可以使用待定系数法来求解。
步骤如下：
1. 找到对应齐次方程的通解：对于方程 y' + 2y = 0，这是一个一阶线性齐次微分方程。
它的特征根为 r = -2。
因此，齐次方程的通解为 y_h = C*e^(-2x)，其中 C 是常数。
2. 设非齐次方程的特解为 y_p。
为了找到特解，我们通常需要对非齐次项进行试探或猜测。
由于非齐次项是 e^x，我们可以猜测特解的形式为 y_p = Ax^m * e^x，其中 A 和 m 是待定系数。
将 y_p = Ax^m * e^x 代入原方程，得：
(Ax^m * e^x)' + 2(Ax^m * e^x) = e^x
=> A(x^m * e^x)' + 2Ax^m * e^x = e^x
=> Amx^(m-1) * e^x + 2Ax^m * e^x = e^x
比较等式两边的指数和系数，我们可以得到：
Am(m-1)x^(m-1) + 2Amx^m = 1
令 m = 1，可以简化上述方程。
于是，我们得到 A = 1/3。
所以，特解为 y_p = (1/3)x * e^x。
3. 最后，原方程的通解为 y = y_h + y_p = C*e^(-2x) + (1/3)x * e^x。
这就是一阶非齐次微分方程 y' + 2y = e^x 的解。
一阶线性微分方程.
2
2x dx x2 1
x2 1
1 4x 2 ( x 2 1)dx C
x2 1 x2 1
1 4x 2dx C
x2 1
1 4 x 3 C .
x2 1 3
5
将 y 代入上式,得 C 2, 所以所求特解为:
再用常数变异法求原方程的解.设
y u( x)( x 1)2
为原方程的解,代入原方程并整理,得
u( x) x 1
两端积分,得
1 u( x) x 2 x C
2
所以原方程的通解为:
1 y ( x 1)2 ( x 2 x C )
2
例4 求方程 ( x 2 1) y 2xy 4x 2 0 满足初
将 y 0 代入通解,得 C 2, 于是所求曲线方程 x0
为:
y 2(e x x 1)
例6 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲
线 y f ( x)与 y x3 ( x 0)截下的线段PQ之
长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x).n2 y C ；
3、 x Cy3 1 y2. 2
二、1、 y sin x 5ecos x 1；
2、2 y
x3
x
3
e
1 x2
1
.
三、v
k1 k2
t
k1m k22
(1
k0 t
em
).
四、1、 xy x C ；
2、
x y
2 2
C
2 3
3、 dy dx
一阶常微分方程及解法
解法：
对于变量分离方程：
dy f (x)( y)
分离变量得： dx
dy f (x)dx
( y)
再积分，得：
dy
( y)
f
(x)dx
ห้องสมุดไป่ตู้
C
注：在变量分离的过程中，必须保证 ( y) 0 。但如果( y) 0 有根为 y y0 ，
则不难验证 y y0 也是微分方程的解，有时无论怎样扩充通解的表达式中的 任意常数，此解不包含在其中，解题时要另外补充上，不能遗漏。
常微分方程：自变量的个数只有一个的微 分方程。
微分方程的阶数：微分方程中出现的未知 函数最高阶导数的阶数。
微分方程的解：若把某函数带入微分方程 能使该方程成为恒等式，则称这个函数为 该微分方程的解。
通解：含有与微分方程的阶数同样个数的 独立任意常数的解。
特解：不含任意常数的解。
初始条件：给定微分方程中未知函数及其 导数在指定点的函数值的条件。
二、变量分离的微分方程
形如
dy f (x)( y)
dx
的方程，称为变量可分离
方程，其中 f (x) 和 (y) 分别是 x, y 的连续
函数。
以微分形式出现的变量分离方程，形如
M (x)N( y)dx P(x)Q( y)dy 0
一阶常微分方程及解法
——于海珠
微分方程的基本概念 几种特殊类型的一阶常微分方程及其解法 应用举例
例1.已知曲线y=y(x)在任意一点(x,y)处的切 线斜率等于4x，且曲线过点(1,3)，求曲线 方程。
一、基本概念
微分方程：联系着自变量、未知函数及其 导数（或微分）的关系式。
【习题】第二章一阶微分方程的初等解法
第二章一阶微分方程的初等解法x2-1已知f(x) f(t)dt 1, x0,试求函数f (x)的一般表达式。
0 x解 对方程f(x) f (t)dt 1，两边关于x 求导得xf (x) f (t)dt f 2(x)0，f (X)丄 f(x) f 2(x) 0，分离变量，可求得代入原方程可得 C 0,从而f(x)的一般表达式为f (x)评注：本题中常数的确定不能直接通过所给积分方程得到, 确定。
解由导数的定义可得x(t s) x(t)x (t) lims 0s2|im x(s) x (t)x(s) s 0[1 x(t)x(s)]slim 丄辿型 s 01 x(t)x(s) s显然可得x(0)0，故分离变量，再积分可得x(t)[1 2x (t)] !i 叫x(s) x(0)sx (0) [1 x 2(t)]f(x)、2(x C)'12x 。
而是需将通解代回原方程来2-2求具有性质x(t S) x(t) x(s) 1 x(t)x(s)的函数x(t)，已知x (0)存在。
x(t) tan[x(O)t C],再由x(0) 0,知C 0,从而x(t) ta n[x(0)t]。
评注：本题是函数方程的求解问题，利用导数定义建立微分关系，转化为求解常微分方程的初值问题。
2-3 若M(x,y)x N(x,y)y 0，证明齐次方程M (x, y)dx N(x,y)dy 0 有积分因1xM(x,y) yN(x, y)证方法1用凑微分法求积分因子。
我们有恒等式M (x, y)dx N (x, y)dy1 dx dv2{(M(x，y)x N(x，v)v)U 寺(M(x，v)x鱼din (xy)，x y空翌din仝，x y y所以原方程变为-{( M (x, y)x N (x, y)y)d ln(xy) (M (x, y)x N (x, y)y)d ln —} 0。
2 y1 1 M (x, y)x N(x, y)y「x-d ln(xy) d in 0，2 2 M(x,y)x N(x,y)y y由于M(x,y)xN(x, y)y为零次齐次函数，故它可表成仝的某一函数，记为f (上)，M (x,y)x N(x, y)y y yI XMX" N(x,y)y % 巧F(in^)，M(x,y)x N(x,y)y y yN(x，y)y)(¥3)}y用(x,y)1M(x,y)x乘上式两边，得N(x,y)y1(M) y(七)y2 [卫(xM(xM yN) yyN)原方程进一步可改写成1d In xy 21 x x -F(ln )d In0,2 y y它为一个恰当方程，表明1(x, y)为齐次方程的积分因子。
一阶微分方程的应用举例
dT 由牛顿冷却定律，得 k (T 20)， dt dT 分离变量，得 kdt， T 20
dT 两端积分，得 kdt， T 20
即 ln(T 20) lne
kt
ln C ln(Ce
kT
)
(C为任意常数)，
所求通解为 T 20 Ce kt .
(2)求水温自 100℃降至30℃所需的时间 在上式中，令T 30，代入得 30 ＝ 20 80e 0.138 6t，
3 ln 2 t 15(min). 0.1386
例2 设质量为m的降落伞从飞机上落下后，所受空气阻
力与速度成正比，并设降落伞离开飞机时(t 0)速度为 零，求降落伞下落的速度与时间的函数关系 .
解 设降落伞下落速度为v(t )，
其所受力为 F mg-kv，
由牛顿第二定律得 F ma， dv 其中a为运动加速度 ， dt
dv dv dt ， m mg kv ， mg-kv m dt
k t (1 e m ).
mg 所求特解为v k
例3 把温度为100℃的沸水注入杯中，放在室温为20℃ 的环境中自然冷却，经5min时测得水温为60℃.试求 (1)水温T(℃)与时间t(min)之间的函数关系；
(2)问水温自100℃降至30℃所需的时间.
解 这是一个热力学中的冷却
问题.取t 0为沸水冷却开 始的时刻，设经t分钟时水 温为T℃，即T T (t ).此 dT 时水温下降的速度为 ， dt
第四节 一阶微分方程的应用举例
例1 一曲线通过点(1,2)，它在两坐标轴间的任意切线
线段均被切点所平分，求这曲线的方程.
解 (i)建立微分方程并确定初 值条件.
一阶微分方程典型例题
一阶微分方程典型例题例1 在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为N ，在0=t 时刻已掌握新技术的人数为0x ，在任意时刻t 已掌握新技术的人数为)(t x (将)(t x 视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术的人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数0>k ，求)(t x .解 由题设知未掌握新技术人数为)(t x N −，且有)(x N kx dtdx −=，00x x t == 变量分离后，有 kdt x N x dx =−)(，积分之，kNtkNtce cNe x +=1，由00x x t ==，求得 00x N x c −= 例2 求2sin 2sin y x y x y −=++′的通解. 解：利用三角公式将方程改写为2sin 2cos 2y x y −=′.当02sin ≠y 时，用它除方程的两端，得变量分离方程dx x y dy 2cos 22sin −=, 积分之，得通积分 2sin 44tan ln x c y −=. 对应于02sin =x ，再加特解 ),2,1,0(2"±±==n n y π. 在变量分离时，这里假设02sin≠y ，故所求通解中可能会失去使 02sin =y 的解.因此，如果它们不能含于通解之中的话，还要外加上这种形式的特解. 例3 求微分方程 x xe y y x =+′ 满足条件11==x y的特解.解法1 把原方程改写为x e y xy =+′1，它是一阶线性方程，其通解为 ()11()()1()1dx dx p x dx p x dx x x x x y e q x e c e e e dx c x e c x −−⎛⎞∫∫⎛⎞∫∫⎡⎤=+=⋅+=−+⎜⎟⎜⎟⎣⎦⎝⎠⎝⎠∫∫ 用1,1==y x 代入，得 1=c ，所以特解为xe x x y x 11+−=. 解法2 原方程等价于x xe xy dxd =)(，积分后，得ce x xy x +−=)1(. 当 1,1==y x 时， 1=c 故所求特解为xe x x y x 11+−=. 例4 求方程 0)cos 2()1(2=−+−dx x xy dy x 满足初始条件 10==x y 之特解. 解 将原方程改写为1cos 1222−=−+x x y x x dx dy . 于是，通解为 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∫−∫=∫−−−c dx e x x e y dx x x dx x x 12212221cos 即 1sin 2−+=x c x y ， 由01x y ==，得1c =−，故特解为2sin 11x y x −=−. 例5 求方程 4yx y dx dy +=的通解. 解 将原方程改写成以 为未知函数的方程31y x y dx dy =−. 于是，由一阶线性方程的通解公式，得⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∫∫=∫−c y y c dy e y e x dy y dy y 313131 在判断方程的类型时，不能只考虑以y 为因变量的情况.因有些方程在以 x 为因变量时方能为线性方程或伯努利方程，解题时必须全面分析.例6 求方程22y xy y x =+′满足初始条件11==x y 的特解. 解法1 将原方程写成对称形式0)(22=+−dy x dx y xy 记 22)(,),(x x q y xy y x p =−=.由于),(),(),,(),(22y x q t ty tx q y x p t ty tx p ==，因此原方程是齐次方程. 令xu y =则u x u y ′+=′，代入原方程，得u u u x 22−=′ 分离变量后，有x dx u u du =−22 积分得22cx u u =−，即22cx y x y =−.再由 11==x y ，得1−=c ，故特解为212x x y +=. 解法2 将原方程改写为 122=+′y x y yx ，这是伯努利方程. 因为 111222=+′⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=+′y x y x y x y y x ，故令 z y =1，于是有211x z x z −=−′ 解之，得cx x c dx x x z +=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∫2113，即2212cx x y +=.再由 11==x y ，得 21=c ，于是 212x x y +=. 例7 设有连接点)0,0(O 和)1,1(A 的一段向上凸的曲线弧p OA对于上任一点(,)P x y ，曲线弧p OP 与有向线段OP 所围图形的面积为 ，求曲线弧p OA 的方程. 解：设曲线弧p OA 的方程为)(x y y =，p OA上任一点改写为),(00y x P ，则p OP 与OP 所围图形的面积可表为00 000 0 001()()2x x y y t t dt y t dt y x ⎡⎤−=−⎢⎥⎣⎦∫∫. 然后再将00,y x 换为 y x ,.据题意得)0(,21)(20>=−∫x x xy dt t y x两端对x 求导，得x y x y y 22121=′−−，即41−=−′y xy ，其通解为)(ln 4c x x y +=−. 由初始条件 11==x y 得1=c 得出，故所求曲线弧p OA的方程为 ⎩⎨⎧=≤<+=−0010)1(ln 4x x x x y。
微分方程一阶11
2. 解线性非齐次方程 dyP(x)yQ(x). dx
采用常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.
设 yc(x)eP(x)dx 是非齐次方程的解
y c (x )e P (x )d x c (x )[ P (x )]e P (x )d x ,
将y和y代入原方程 c(x得 )eP(x)dxQ(x),
例 求方 y程 1ysix n的通 . 解 xx
解1：先 求 齐 次 方 程 y1y0的 通 解 .
齐次通解为
x c y
x
常数变易法设 y c ( x ) 为非齐次的解 x
带入原方程求得 c(x)cosxc
原方程的通解为：y cos x c x
例 求 方 程 d y2y (x 1)5 0 的 通 解 . d x x 1
1 x2
(
x2 lnxdxc)
x12(1 3x3lnx1 3 x2dxc)x12(13x3lnx19x3c)
1xlnx1xc
3
9
由已知y =-1 x1 9
代入y1xlnx1xc 得c 0
3
9
所 以 特 解 为 y1xlnx1x 39
练习：解下列微分方程
(x21)y2xy0
inxdxC
1coxsC.
x
例 求 方 程 d y2y(x1)5= 0 的 通 解 . d x x1
解2： P(x) 2 , Q(x)（x1)5,
x 1
通 解 ： y e P (x )d x [Q (x )e P (x )d x d x C ]
当 Q(x)0, 方程称为齐次的.
当 Q(x)0, 方程称为非齐次的.
一阶线性微分方程的解法
一阶微分方程的初等解法
X
40 求解
50 变量还原
例7
求微分方程
dy x y 1 dx x y 3
的通解.
解:
解方程组
x y 1 0 x y 3 0
得x 1, y 2,
令X x 1,Y y 2代入方程得
dY X Y
1 Y X
dX X Y 1 Y
du dx
1u2 x
整理后得 u 1 u2 cx
变量还原得 y 1 ( y )2 cx
x
x
最后由初始条件y(1) 0,可得到c 1.
故初值问题的解为 y 1 (x2 1) 2
(II) 形如
dy a1x b1 y c1 , dx a2 x b2 y c2
du dx 2u x
两边积分得:
u ln(x) c
du dx 2u x
即 u (ln(x) c)2, ln(x) c 0, c为任意常数
代入原来变量,得原方程的通解为
x[ln(x) c]2, ln(x) c 0,
y
0.
例6 求下面初值问题的解
这里a1,b1, c1, a2 ,b2 , c2为常数.
的方程可经过变量变换化为变量分离方程.
分三种情况讨论
1
c1
c2 0的情形 dy a1x b1 y dx a2 x b2 y
a1 b1 a2 b2
y
x y
x
g( y) x
为齐次方程,由(I)可化为变量分离方程.
2 a1 a2 0的情形 b1 b2 设 a1 b1 k,则方程可改写成 a2 b2
【典型例题】第三章一阶微分方程的解的存在定理
【典型例题】第三章一阶微分方程的解的存在定理第三章一阶微分方程的解的存在定理例3-1 求方程22y x dxdy+= 满足初始条件0)0(=y 的解的逐次逼近)(),(),(321x y x y x y ，并求出h 的最大值，其中h 的意义同解的存在唯一性定理中的h 。
解函数22),(y x y x f +=在整个平面上有意义，则在以原点为中心的任一闭矩形区域b y a x D ≤≤,:上均满足解的存在唯一性定理的条件，初值问题=+=0)0(22y yx dxdy 的解在],[h h -上存在唯一，其中)(max ),,min(22),(y x M Mba h D y x +==∈。
因为逐次逼近函数序列为-+=xx n n dx x y x f y x y 0))(,()(10，此时，2200),(,0,0y x y x f y x +===，所以0)(0=x y ，=+=xx dx x y x x y 03213)]([)(，|633)]([)(7032122x x dx x y x x y x+=+=?，+++=+=xxdxx x x x dx x y x x y 01410622223)396918929()]([)(5953520792633151173x x x x +++=。
现在求h 的最大值。
因为 ),, min(22b a ba h +=对任给的正数b a ,，ab b a 222≥+，上式中，当 b a = 时，22b+取得最大值aab b 212=。
此时，)21,min()2,min(a a ab b a h ==，当且仅当aa 21=，即22==b a 时，h 取得最大值为22。
评注：本题主要考查对初值问题的解的存在唯一定理及其证明过程的基本思想（逐次逼近方法）的理解。
特别地，对其中的b y a x D y x f M Mba h D y x ≤≤==∈,:),,(max ),,min(),(等常数意义的理解和对逐次逼近函数列?-+=xx n n dx x y x f y x y 0))(,()(10的构造过程的理解。
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一阶微分方程典型例题
例1 在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为N ，在0=t 时刻已掌握新技术的人数为0x ，在任意时刻t 已掌握新技术的人数为)(t x (将)(t x 视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术的人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数0>k ，求)(t x .
解 由题设知未掌握新技术人数为)(t x N −，且有
)(x N kx dt
dx −=，00x x t == 变量分离后，有 kdt x N x dx =−)(，积分之，kNt
kNt
ce cNe x +=1，由00x x t ==，求得 0
0x N x c −= 例2 求2
sin 2sin y x y x y −=++′的通解. 解：利用三角公式将方程改写为2sin 2cos 2y x y −=′.当02
sin ≠y 时，用它除方程的两端，得变量分离方程dx x y dy 2cos 22
sin −=, 积分之，得通积分 2
sin 44tan ln x c y −=. 对应于02
sin =x ，再加特解 ),2,1,0(2"±±==n n y π. 在变量分离时，这里假设02sin
≠y ，故所求通解中可能会失去使 02
sin =y 的解.因此，如果它们不能含于通解之中的话，还要外加上这种形式的特解. 例3 求微分方程 x xe y y x =+′ 满足条件11==x y
的特解.
解法1 把原方程改写为x e y x
y =+′1，它是一阶线性方程，其通解为 ()11()()1()1dx dx p x dx p x dx x x x x y e q x e c e e e dx c x e c x −−⎛⎞∫∫⎛⎞∫∫⎡⎤=+=⋅+=−+⎜⎟⎜⎟⎣⎦⎝⎠⎝⎠
∫∫ 用1,1==y x 代入，得 1=c ，所以特解为x
e x x y x 11+−=. 解法2 原方程等价于x xe xy dx
d =)(，积分后，得c
e x xy x +−=)1(. 当 1,1==y x 时， 1=c 故所求特解为x
e x x y x 11+−=. 例4 求方程 0)cos 2()1(2=−+−dx x xy dy x 满足初始条件 10
==x y 之特解. 解 将原方程改写为1
cos 1222−=−+x x y x x dx dy . 于是，通解为 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∫−∫=∫−−−
c dx e x x e y dx x x dx x x 12212221cos 即 1sin 2−+=x c x y ， 由01x y ==，得1c =−，故特解为2sin 11
x y x −=−. 例5 求方程 4y
x y dx dy +=的通解. 解 将原方程改写成以 为未知函数的方程
31y x y dx dy =−. 于是，由一阶线性方程的通解公式，得
⎟⎠
⎞⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∫∫=∫−c y y c dy e y e x dy y dy y 313131 在判断方程的类型时，不能只考虑以y 为因变量的情况.因有些方程在以 x 为因变量时方能为线性方程或伯努利方程，解题时必须全面分析.
例6 求方程22y xy y x =+′满足初始条件11==x y 的特解. 解法1 将原方程写成对称形式0)(22=+−dy x dx y xy 记 22)(,),(x x q y xy y x p =−=.由于),(),(),,(),(22y x q t ty tx q y x p t ty tx p ==，因此原方程是齐次方程. 令xu y =则u x u y ′+=′，代入原方程，得u u u x 22−=′ 分离变量后，有
x dx u u du =−22 积分得22cx u u =−，即22cx y x y =−.再由 11==x y ，得1−=c ，故特解为212x x y +=
. 解法2 将原方程改写为 122=+′y x y y
x ，这是伯努利方程. 因为 111222=+′⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝⎛−=+′y x y x y x y y x ，故令 z y =1，于是有211x z x z −=−′ 解之，得cx x c dx x x z +=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∫2113，即2212cx x y +=.再由 11==x y ，得 21=c ，于是 2
12x x y +=. 例7 设有连接点)0,0(O 和)1,1(A 的一段向上凸的曲线弧p OA
对于上任一点(,)P x y ，曲线弧p OP 与有向线段OP 所围图形的面积为 ，求曲线弧p OA 的方程. 解：设曲线弧p OA 的方程为)(x y y =，p OA
上任一点改写为),(00y x P ，则p OP 与OP 所围图形的面积可表为00 000 0 001()()2x x y y t t dt y t dt y x ⎡⎤−=−⎢⎥⎣
⎦∫∫. 然后再将00,y x 换为 y x ,.据题意得)0(,2
1)(20>=−∫x x xy dt t y x
两端对x 求导，得x y x y y 22121=′−−，即41−=−′y x
y ，其通解为)(ln 4c x x y +=−. 由初始条件 11==x y 得1=c 得出，故所求曲线弧p OA
的方程为 ⎩
⎨⎧=≤<+=−0010)1(ln 4x x x x y。