一阶微分方程典型例题

一阶微分方程典型例题

例1 在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的.设该人群的总人数为N ，在0=t 时刻已掌握新技术的人数为0x ，在任意时刻t 已掌握新技术的人数为)(t x (将)(t x 视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术的人数和未掌握新技术人数之积成正比，比例常数0>k ，求)(t x .

解 由题设知未掌握新技术人数为)(t x N −，且有

)(x N kx dt

dx −=，00x x t == 变量分离后，有 kdt x N x dx =−)(，积分之，kNt

kNt

ce cNe x +=1，由00x x t ==，求得 0

0x N x c −= 例2 求2

sin 2sin y x y x y −=++′的通解. 解：利用三角公式将方程改写为2sin 2cos 2y x y −=′.当02

sin ≠y 时，用它除方程的两端，得变量分离方程dx x y dy 2cos 22

sin −=, 积分之，得通积分 2

sin 44tan ln x c y −=. 对应于02

sin =x ，再加特解 ),2,1,0(2"±±==n n y π. 在变量分离时，这里假设02sin

≠y ，故所求通解中可能会失去使 02

sin =y 的解.因此，如果它们不能含于通解之中的话，还要外加上这种形式的特解. 例3 求微分方程 x xe y y x =+′ 满足条件11==x y

的特解.

解法1 把原方程改写为x e y x

y =+′1，它是一阶线性方程，其通解为 ()11()()1()1dx dx p x dx p x dx x x x x y e q x e c e e e dx c x e c x −−⎛⎞∫∫⎛⎞∫∫⎡⎤=+=⋅+=−+⎜⎟⎜⎟⎣⎦⎝⎠⎝⎠

∫∫ 用1,1==y x 代入，得 1=c ，所以特解为x

e x x y x 11+−=. 解法2 原方程等价于x xe xy dx

d =)(，积分后，得c

e x xy x +−=)1(. 当 1,1==y x 时， 1=c 故所求特解为x

e x x y x 11+−=. 例4 求方程 0)cos 2()1(2=−+−dx x xy dy x 满足初始条件 10

==x y 之特解. 解 将原方程改写为1

cos 1222−=−+x x y x x dx dy . 于是，通解为 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∫−∫=∫−−−

c dx e x x e y dx x x dx x x 12212221cos 即 1sin 2−+=x c x y ， 由01x y ==，得1c =−，故特解为2sin 11

x y x −=−. 例5 求方程 4y

x y dx dy +=的通解. 解 将原方程改写成以 为未知函数的方程

31y x y dx dy =−. 于是，由一阶线性方程的通解公式，得

⎟⎠

⎞⎜⎝⎛+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+∫∫=∫−c y y c dy e y e x dy y dy y 313131 在判断方程的类型时，不能只考虑以y 为因变量的情况.因有些方程在以 x 为因变量时方能为线性方程或伯努利方程，解题时必须全面分析.

例6 求方程22y xy y x =+′满足初始条件11==x y 的特解. 解法1 将原方程写成对称形式0)(22=+−dy x dx y xy 记 22)(,),(x x q y xy y x p =−=.由于),(),(),,(),(22y x q t ty tx q y x p t ty tx p ==，因此原方程是齐次方程. 令xu y =则u x u y ′+=′，代入原方程，得u u u x 22−=′ 分离变量后，有

x dx u u du =−22 积分得22cx u u =−，即22cx y x y =−.再由 11==x y ，得1−=c ，故特解为212x x y +=

. 解法2 将原方程改写为 122=+′y x y y

x ，这是伯努利方程. 因为 111222=+′⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛−=+′y x y x y x y y x ，故令 z y =1，于是有211x z x z −=−′ 解之，得cx x c dx x x z +=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∫2113，即2212cx x y +=.再由 11==x y ，得 21=c ，于是 2

12x x y +=. 例7 设有连接点)0,0(O 和)1,1(A 的一段向上凸的曲线弧p OA

对于上任一点(,)P x y ，曲线弧p OP 与有向线段OP 所围图形的面积为 ，求曲线弧p OA 的方程. 解：设曲线弧p OA 的方程为)(x y y =，p OA

上任一点改写为),(00y x P ，则p OP 与OP 所围图形的面积可表为00 000 0 001()()2x x y y t t dt y t dt y x ⎡⎤−=−⎢⎥⎣

⎦∫∫. 然后再将00,y x 换为 y x ,.据题意得)0(,2

1)(20>=−∫x x xy dt t y x

两端对x 求导，得x y x y y 22121=′−−，即41−=−′y x

y ，其通解为)(ln 4c x x y +=−. 由初始条件 11==x y 得1=c 得出，故所求曲线弧p OA

的方程为 ⎩

⎨⎧=≤<+=−0010)1(ln 4x x x x y